10.9.Силы, возникающие на кривой поверхности жидкости

поверхность жидкости была плоской, необходимо действие внешней силы — силы тяжести или силы взаимодействия с поверхностью (растекание).

Рассмотрим сферическую частицу. Вследствие сил поверхностного натяжения ее объем может измениться.

Работа сжатия dA равна

dA=pdV

Уменьшение же поверхностной энергии

dF = σdS,

где dS — уменьшение поверхности шара, соответствующее уменьшению радиуса на dr. Из

известных формул для поверхности S = 4πr2 и объема шара и V = 4/3 πr3 получаем очевидные выражения:

dS= 8πr, V = 4 πr2

Подставляя эти значения для dS и dV в уравнения и принимая во внимание, что |dA|=|dF| , получаем:

откуда для давления, оказываемого на жидкость ее кривой поверхностью, получается следующее выражение:

(1) Если поверхность жидкости не сферическая, а цилиндрическая, то дополнительное давление, вызванное кривизной, определяется формулой

(2) В общем случае поверхности любой формы (не сферической не цилиндрической) давление, обусловленное кривизной поверхности, выражается уравнением, известным под названием уравнения Лапласа:

(3)

где r1,и r2 — главные радиусы кривизны в данной точке поверхности, или, точнее, для данного элемента поверхности.

Для сферы оба главных радиуса кривизны совпадают и равны радиусу сферы, т. е. r1=r1=r, и

(3) переходит в (1). У цилиндра один из главных радиусов кривизны равен ∞, а другой совпадает с радиусом, цилиндра; Дополнительное давление, определяемое формулой Лапласа, направлено к центру кривизны

поверхности. Поэтому в случае выпуклой поверхности оно направлено внутрь жидкости и добавляется к нормальному давлению жидкости. В случае же вогнутой поверхности жидкость будет находиться под давлением меньшим, чем та же жидкость под плоской поверхностью. Математически это соответствует тому, что радиус кривизны для вогнутой поверхности, когда центр кривизны находится вне жидкости, считается отрицательным, а выпуклой поверхности — положительным.

Нужно помнить, что дополнительное давление, создаваемое кривизной поверхности и определяемое уравнением (3), нельзя отождествлять с поверхностными силами, которые, направлены по касательной к поверхности, в то время как дополнительное давление Лапласа направлено перпендикулярно к ней. Оно возникает лишь в результате действия сил

поверхностного натяжения, искривляющих поверхность жидкости.

10.9.Капиллярные явления

Когда жидкость находится в узком сосуде, влияние стенок простирается на всю поверхность жидкости, и она оказывается искривленной на всем своем протяжении (сосуд может считаться узким, когда его размеры сравнимы с радиусом кривизны поверхности жидкости, соприкасающейся со стенками сосуда).

Если размеры сосуда, в котором находится жидкость, или, в более общем случае, если расстояние между поверхностями, ограничивающими жидкость, сравнимы с радиусом кривизны поверхности жидкости, то такие сосуды называются капиллярными (волосными). Явления, происходящие в таких сосудах, называются капиллярными явлениями.

Так как для капиллярных сосудов характерна, прежде всего, кривизна поверхности жидкости в них, то естественно, что здесь больше всего сказывается влияние дополнительного давления, вызванного кривизной поверхности (давление Лапласа). Непосредственным следствием этого дополнительного давления является так называемый капиллярный подъем.

На рис. изображена узкая трубка, опущенная в широкий сосуд с жидкостью.

Пусть стенки трубки смачиваются жидкостью. Тогда жидкость, проникшая в трубку, образует вогнутый мениск. Пусть трубка настолько узка, что ее радиус r сравним с радиусом r0 мениска.

Вследствие давления, вызванного кривизной поверхности, жидкость, заполняющая трубку, испытывает давление р, направленное к центру кривизны мениска, т. е.

вверх, и равное 2 σ/r0 , где r0 —радиус мениска и σ — коэффициент поверхностного

натяжения жидкости.

Под действием этого давления жидкость поднимается по трубке

до уровня h, при котором гидростатическое давление ρgh столба жидкости высотой h уравновешивает давление р. Условием равновесия будет равенство

Это равенство определяет высоту подъема жидкости в капилляре. Нетрудно установить связь между высотой подъема h и радиусом трубки r. Обратимся для этого к рис., на котором мениск и капилляр изображены в крупном масштабе. Центр сферы, частью которой является мениск, находится в точке О. Краевой угол жидкости, соприкасающейся со стенками капилляра, равен θ. Из чертежа непосредственно следует, что r0 = r/cosθ. Поэтому приведенное выше равенство перепишется в виде:

откуда

В частности, для жидкости, которая полностью смачивает стенки капилляра и для которой θ=0, a cosθ = 1, имеем:

Как и следовало ожидать, высота подъема жидкости в капилляре (капиллярный подъем) растет с уменьшением радиуса капилляра и с увеличением коэффициента поверхностного натяжения жидкости.

Если жидкость не смачивает капилляра, картина будет обратной, так как мениск теперь выпуклый, а центр кривизны находится не вне, а внутри жидкости, и давление Лапласа окажется направленным вниз. Уровень жидкости в капилляре будет теперь ниже уровня в сосуде, в который опущен капилляр (отрицательный капиллярный подъем).

Капиллярным подъемом объясняется ряд широко известных явлений: впитывание жидкости фильтровальной бумагой, изготовляемой так, чтобы в ней были узкие извилистые поры; перенос керосина вдоль фитиля, волокна которого также являются тонкими капиллярами, и т. п. Капиллярные силы обеспечивают и подъем воды из почвы по стволам деревьев: волокна древесины играют роль очень тонких капилляров.

Капиллярные волны —это другое название известного всем явления «ряби» на поверхности жидкости. Образуются эти волны под влиянием небольших возмущений и их возникновение связайо с силами поверхностного натяжения. Механизм образования капиллярных волн в общих чертах следующий. Под действием тех или иных внешних воздействий поверхность жидкости в данном месте «вдавливается», становясь вогнутой

Давление на слои жидкости под этой вогнутой поверхностью становится меньше (на величину σ /r ), чем давление в соседних слоях, где поверхность осталась плоской. Возникшая таким образом разность давлений заставляет жидкость из соседних слоев приливать под вогнутую поверхность, и жидкость снова поднимается к начальному уровню, но проходит его по инерции за счет накопленной кинетической энергии. Поверхность поэтому станет выпуклой, и давление, обусловленное кривизной поверхности, будет теперь направлено вниз.

Ясно, что такого рода колебания жидкости в одном месте заставят и соседние точки совершать такие же колебания. Это и значит, что явление имеет волновой характер. Капиллярные волны отличаются малой отличаются малой амплитудой и малой длиной волны. Из-за малости амплитуды можно пренебречь влиянием силы тяжести, которая может вызывать такое же действие. (крутые морские волны обязаны своим происхождением силе тяжести).

Волны только в тех случаях и называются капиллярными, когда в их образовании участвуют только силы поверхностного натяжения и они образуются за счет значительной кривизны на гребне и впадине волны.

Расчет показывает, что параметры капиллярных волн связаны с коэффициентом поверхностного натяжения следующим уравнением:

где n — частота колебаний в волне, λ — длина волны и ρ — плотность жидкости. Формула может быть использована для определения коэффициента поверхностного натяжения жидкости, плотность которой известна. Для этого необходимо измерить частоту колебаний и длину волны. Обычно измеряют скорость распространения волн, с которой частота

колебаний связана простым соотношением.