4. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

4.1. Уравнение теплопроводности

1. В этой главе будут рассмотрены элементы математической теории теплопроводности. Основы этой теории были заложены французским математиком Фурье (1768—1830) в первой четверти 19 века.

Фурье исходил из представлений теории теплорода и распространение тепла рассматривалось подобно течению жидкости.

Эти представления в общем случае неверны.

Однако в математической теории теплопроводности распространение тепла можно рассматривать подобно течению жидкости.

Однако, для выполнения этих условий следует ввести ряд ограничений.

1)Передача тепла осуществляется исключительно путем теплообмена.

Конвекции нет. В твердых телах это осуществляется само собой. В жидкостях же и газах надо позаботиться, чтобы конвекция была устранена, например, нагревать эти тела сверху.

2)объем системы остается постоянным,

так что никаких перемещений вещества в процессе передачи тепла не возникает.

Кроме того будем Рассматривать только одномерные задачи, когда температура тела, помимо времени, зависит только от одной пространственной координаты.

Пусть объем постоянный, тогда из 1 закона термодинамики

δ Q=dU + PdV δQ=dU

При постоянном объеме подводимое тепло идет на увеличение внутренней энергии. Рассмотрим аналогию с озером. Внутреннюю энергию можно отождествить с количеством воды в озере. Подводимое тепло можно отождествить с рекой впадающей в озеро.

Подобная аналогия возможно и при постоянстве давления. В этом случае количество тепла следует отождествить с энтальпией системы.

В обоих случаях математические основы теории теплопередачи Фурье остаются верными, хотя их физическое обоснование не имеет ничего общего с представлениями, из которых исходил сам Фурье.

2. Введем понятие потока.

Плотностью потока тепла называется вектор J совпадающий с направлением распространения тепла и численно равный количеству тепла, проходящему в одну секунду через площадку в один квадратный сантиметр, перпендикулярную к направлению потока тепла.