vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

dVON (alias qNO[, iOGANN) FON nEJMAN (28.12.1903, bUDAPE[T —

08.02.1957, wA[INGTON) — ODIN IZ SAMYH ZAME^ATELXNYH I WLIQTELXNYH MATEMATIKOW XX WEKA, AWTOR PO^TI 200 STATEJ I 10 KNIG PO RAZLI^NYM WOPROSAM MATEMATIKI I EE PRILOVENIJ. s 1927 GODA PREPODAWAL W bERLINE I gAMBURGE, A W 1930 GODU \MIGRIROWAL W s{a, GDE RABOTAL W pRINSTONE, SNA^ALA W pRINSTONSKOM uNIWERSITETE, A NA^INAQ S 1933 W Institute for Advanced Studies (WOT POLNYJ SPISOK PERWYH [ESTI POSTOQNNYH PROFESSOROW IAS: dV.aLEKSANDER, a.|JN[TEJN, m.mORS, o.wEBLEN, dV.FON nEJMAN, g.wEJLX). pOSLE RANNIH RABOT PO OSNOWANIQM TEORII MNOVESTW I LOGIKE FON nEJMAN ZAINTERESOWALSQ FUNKCIONALXNYM ANALIZOM, W OSOBENNOSTI W EGO ALGEBRAI^ESKIH ASPEKTAH. sREDI WER[IN EGO TWOR^ESTWA W \TOM NAPRAWLENII MOVNO UPOMQNUTX SPEKTRALXNU@ TEOREMU DLQ OPERATOROW W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE, \RGODI^ESKU@ TEOREMU I TEORI@ KOLEC OPERATOROW (C¤-ALGEBRY, FAKTORY, : : : ). s BOLX[IM USPEHOM ON PRIMENIL \TI PONQTIQ W KLASSI^ESKOJ I KWANTOWOJ MEHANIKE, I W NASTOQ]EE WREMQ OPERATORNYE METODY STALI ODNIM IZ GLAWNYH INSTRUMENTOW TEORETI^ESKOJ FIZIKI. iMENNO FON nEJMANU I g.wEJL@ PRINADLEVIT MATEMATI^ESKAQ FORMULIROWKA KWANTOWOJ MEHANIKI W TERMINAH OPERATOROW W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE. dRUGIE RABOTY FON nEJMANA OTNOSQTSQ K TOPOLOGI^ESKIM GRUPPAM, NEPRERYWNYM GEOMETRIQM I T.D. pOMIMO RABOT PO ^ISTOJ MATEMATIKE I FIZIKE dVON FON nEJMAN BYL OSNOWATELEM NESKOLXKIH GROMADNYH NAPRAWLENIJ W computer science I PRIKLADNOJ MATEMATIKE, W TOM ^ISLE TEORII AWTOMATOW I TEORII IGR. nA^INAQ S 1940-H GODOW BYL ODNIM IZ KL@^EWYH U^ASTNIKOW AMERIKANSKOGO QDERNOGO PROEKTA, DIREKTOROM B@RO PO PROEKTIROWANI@ \LEKTRONNYH WY^ISLITELXNYH MA[IN. nA RUSSKIJ QZYK PEREWEDENY EGO KNIGI ‘tEORIQ SAMOWOSPROIZWODQ]IHSQ AWTOMATOW’, ‘tEORIQ IGR I \KONOMI^ESKOE POWEDENIE’ (SOWM. S o.mORGEN[TERNOM) I OSNOWNYE STATXI PO ALGEBRAM OPERATOROW (dV.FON nEJMAN, iZBRANNYE TRUDY PO FUNKCIONALXNOMU ANALIZU.

— m., nAUKA, 1987, T.I, S.1–376; T.II, S.1–370.). fON nEJMAN WYSKAZAL MNOGO PRONIKNOWENNYH MYSLEJ PO POWODU MATEMATIKI, SAMAQ ZNAMENITAQ SREDI KO-

TORYH ZWU^IT SLEDU@]IM OBRAZOM: In Mathematics you don't understand things, you just get used to them.

Isaak Paul Bernays (17.10.1888, lONDON — ) — ODIN IZ KRUPNEJ[IH SPECIALISTOW PO TEORII MNOVESTW I MATEMATI^ESKOJ LOGIKE. bYL U^ENIKOM |DMUNDA lANDAU W gETTINGENE, POSLE ^EGO DO 1933 GODA RABOTAL TAM, WNA- ^ALE KAK ASSISTENT dAWIDA gILXBERTA, A POTOM DO 1933 GODA KAK PROFESSOR. nA^INAQ S 1945 RABOTAL W ETH W c@RIHE. nA RUSSKIJ QZYK PEREWEDENA EGO SOWMESTNAQ S d.gILXBERTOM DWUHTOMNAQ MONOGRAFIQ ‘oSNOWANIQ MATEMATIKI’, T.1, ‘lOGI^ESKIE IS^ISLENIQ I FORMALIZACIQ ARIFMETIKI’, 1979, S.1–557; T.2, ‘tEORIQ DOKAZATELXSTW’, 1982, S.1–652.

s ^ISTO LOGI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ SISTEMA gEDELQ—bERNAJSA OBLADAET NEKOTORYMI PREIMU]ESTWAMI PERED SISTEMOJ cERMELO—fRENKELQ. dELO W TOM, ^TO AKSIOMA PODSTANOWKI PREDSTAWLQET SOBOJ FAKTI^ESKI BESKONE^NOE ^ISLO AKSIOM I MOVNO POKAZATX, ^TO WSQ SISTEMA ZF NE MOVET WYTEKATX NI IZ KAKOGO KONE^NOGO IH ^ISLA70. w TO VE WREMQ, SISTEMA gEDELQ—bERNAJSA GB SODERVIT WSEGO 18

70p.kO\N, tEORIQ MNOVESTW I KONTINUUM-GIPOTEZA. — mIR, m., 1969, S.1–345;

ILI 19 AKSIOM — OBY^NYE AKSIOMY DLQ MNOVESTW I AKSIOMY OBRAZOWANIQ KLASSOW. pERE^ISLIM WSE \TI AKSIOMY TAK, KAK ONI SFORMULIROWANY W KNIGE kO\NA71;72:

GB1 |LEMENTY KLASSOW QWLQ@TSQ MNOVESTWAMI. GB2 aKSIOMA \KSTENSIONALXNOSTI DLQ KLASSOW. GB3 sU]ESTWOWANIE PUSTOGO MNOVESTWA.

GB4 sU]ESTWOWANIE NEUPORQDO^ENNOJ PARY (KOTORAQ QWLQETSQ MNOVESTWOM). GB5 aKSIOMA OB_EDINENIQ DLQ MNOVESTW.

GB6 aKSIOMA BESKONE^NOSTI.

GB7 aKSIOMA STEPENI DLQ MNOVESTW.

GB8 aKSIOMA PODSTANOWKI DLQ KLASSOW (ZAMENQQ KAVDYJ \LEMENT KLASSA NA NEKOTOROE MNOVESTWO, MY SNOWA POLU^AEM KLASS).

sLEDU@]AQ GRUPPA AKSIOM OTNOSITSQ K OBRAZOWANI@ KLASSOW. GB9 sU]ESTWUET KLASS WSEH PAR (x; y), GDE x 2 y.

GB10 sU]ESTWOWANIE PERESE^ENIQ DLQ KLASSOW. GB11 sU]ESTWOWANIE DOPOLNENIQ DLQ KLASSOW.

GB12 sU]ESTWOWANIE PROEKCII KLASSA: \LEMENTY y TAKIE, ^TO SU]ESTWUET x TAKOE, ^TO (x; y) 2 X OBRAZU@T KLASS.

GB13 sU]ESTWUET KLASS PAR (x; y) TAKIH, ^TO y 2 X. GB14 sU]ESTWUET KLASS PAR (x; y) TAKIH, ^TO (y; x) 2 X.

GB15 sU]ESTWUET KLASS TROEK (y; z; x) TAKIH, ^TO (x; y; z) 2 X. GB16 sU]ESTWUET KLASS TROEK (x; z; y) TAKIH, ^TO (x; y; z) 2 X.

pOSLEDNIE DWE AKSIOMY QWLQ@TSQ SILXNYMI FORMAMI AKSIOMY WYBORA I AKSIOMY REGULQRNOSTI:

GB17 sU]ESTWUET KLASS WSEH PAR WIDA (x; y), GDE x 2 y, A y PROBEGAET KLASS WSEH NEPUSTYH MNOVESTW.

iNYMI SLOWAMI, \TOT KLASS WYBIRAET ROWNO PO ODNOMU \LEMENTU IZ KAVDOGO NEPUSTOGO MNOVESTWA.

GB18 w L@BOM NEPUSTOM KLASSE X SU]ESTWUET \LEMENT, KOTORYJ NE SODERVIT W KA^ESTWE \LEMENTA NI ODNOGO DRUGOGO \LEMENTA KLASSA X.

tO^NOE SOOTNO[ENIE MEVDU SISTEMAMI ZF I GB DAETSQ SLEDU@]IM REZULXTOM73.

tEOREMA mOSTOWSKOGO. kAVDAQ TEOREMA TEORII ZF QWLQETSQ TEOREMOJ TEO- RII GB. oBRATNO, KAVDAQ TEOREMA TEORII GB, W KOTOROJ FIGURIRU@T TOLXKO MNOVESTWA, QWLQETSQ TEOREMOJ TEORII ZF.

tAKIM OBRAZOM, S TO^KI ZRENIQ WSEH PRILOVENIJ W OBY^NOJ MATEMATIKE TEORII ZF I GB \KWIWALENTNY I PO\TOMU BOLX[INSTWO RABOTA@]IH MATEMATIKOW PREDPO^ITAET POLXZOWATXSQ BOLEE PRIWY^NOJ SISTEMOJ ZF, LI[X IZREDKA UPOMINAQ “KLASS WSEH MNOVESTW”, “KLASS WSEH GRUPP”, “KLASS WSEH KOLEC” I T.D.

W ^ASTNOSTI, STR.163.

71p.kO\N, ibid., STR.143–145.

72k.fEJS, aLGEBRA: KOLXCA, MODULI, KATEGORII. T.1. — m., 1977, 1–676.

73p.kO\N, ibid., STR.149.

x 12. tEORII TIPOW: SISTEMY PM, NF I ML

kAK-TO NO^X@, PROSNUW[ISX S SILXNOGO POHMELXQ, fEDOR O^ENX ZAHOTEL PITX. nE ZAVIGAQ SWETA, ON WY[EL NA KUHN@, NA]U- PAL NA POLKE BUTYLX I NA^AL PITX. sDELAW PERWYJ GLOTOK, ON PONQL, ^TO O[IBSQ, I W BUTYLI NE WODA, KAK ON PREDPOLAGAL, A KEROSIN. oDNAKO fEDOR S TAKOJ SILOJ OWLADEL DZENBUDDIZMOM, ^TO NA[EL W SEBE MUVESTWO NE ISPRAWLQTX O[IBKI I SPOKOJNO DOPIL BUTYLX DO KONCA.

wLADIMIR {INKAREW, ‘mAKSIM I fEDOR’

pRINCIPIALXNO DRUGOJ SPOSOB IZBAWITXSQ OT ANTINOMIJ — TEORIQ TIPOW — BYL PREDLOVEN bERTRANOM rASSELOM (SM. POPULQRNOE IZLOVENIE \TOJ IDEI W74;75). w SISTEMAH, OSNOWANNYH NA \TOJ IDEE, WSE MATEMATI^ESKIE OB_EKTY RAZDELQ@TSQ NA TIPY I OB_EKTY BOLEE WYSOKOGO TIPA MOGUT SODERVATX W KA^ESTWE \LEMENTOW TOLXKO OB_EKTY BOLEE NIZKOGO TIPA, ^TO AWTOMATI^ESKI USTRANQET WOZMOVNOSTX WOZNIKNOWENIQ PARADOKSOW ANALOGI^NYH PARADOKSAM rASSELA ILI kANTORA (TAK KAK W NEJ NELXZQ GOWORITX O MNOVESTWE WSEH OB_EKTOW OBLADA@]IH NEKOTORYM SWOJSTWOM, A TOLXKO O MNOVESTWE WSEH OB_EKTOW FIKSIROWANNOGO TIPA S \TIM SWOJSTWOM). oDNAKO DOSTIGAETSQ \TO ZA S^ET TOGO, ^TO TEORIQ TIPOW ZAPRE]AET OBRAZOWANIE TAKIH MNOVESTW KAK fx; fxgg.

1. rAZWETWLENNAQ TEORIQ TIPOW. tITANI^ESKAQ POPYTKA POSTROITX WS@ KLASSI^ESKU@ MATEMATIKU NA OSNOWE TEORII TIPOW PREDPRINQTA rASSELOM I uAJTHEDOM W MONUMENTALXNOM TRUDE “Principia Mathematica”76

aLXFRED nORT uAJTHED (15.02.1861, rAMSGEJT — 30.12.1947, kEMBRIDV, mASS.) — ANGLIJSKIJ LOGIK I FILOSOF, PROFESSOR lONDONSKOGO uNIWERSITETA. oSNOWNYE EGO RABOTY OTNOSQTSQ K POPYTKAM LOGI^ESKOGO OBOSNOWANIQ MATEMATIKI. w 1924 GODU \MIGRIROWAL W s{a, W \TOT PERIOD EGO INTERESY OKON^ATELXNO SMESTILISX W OBLASTX FILOSOFII. w [IROKIH KRUGAH uAJTHED ZNAMENIT GLAWNYM OBRAZOM SWOIMI bon mots — OSTROUMNYMI ZAME^ANIQMI O NAUKE I U^ENYH.

iSPOLXZOWANNAQ TAM ^REZWY^AJNO SLOVNAQ SISTEMA OBOZNA^AETSQ OBY^NO PM I NAZYWAETSQ RAZWETWLENNOJ (ramified) TEORIEJ TIPOW. w \TOJ TEORII NUVNO OTDELXNO WWODITX WSE PONQTIQ NA KAVDOM UROWNE. tAKIM OBRAZOM, PONQTIQ RAWENSTWA, PUSTOGO MNOVESTWA, KARDINALXNOGO ^ISLA I T.D. RASSLAIWA@TSQ NA BESKONE^NU@ IERARHI@ PONQTIJ. aNRI pUANKARE POQSNQET SU]NOSTX (RAZWETWLENNOJ) TEORII TIPOW SLEDU@]EJ ILL@STRACIEJ77. “wOZXMEM PRIMER |PIMENIDA. lVECOM 1-GO PORQDKA BUDET TOT, KOTORYJ LVET WSEGDA, ZA ISKL@^ENIEM SLU^AQ, KOGDA ON GOWORIT: “Q LVEC 1-GO PORQDKA”. lVECOM 2-GO PORQDKA BUDET TOT, KOTORYJ LVET

74B.Russell, Mathematical logic as based on the theory of types. — Amer. J. Math., 1908, vol.30, p.222–262.

75B.Russell, Introduction to Mathematical philosophy. — London, 1919.

76A.N.Whitehead, B.Russell, Principia mathematica, vol.I–III. 2nd ed. — Cambridge, 1925–1927.

77a.pUANKARE, “lOGIKA BESKONE^NOSTI”, S.455.

WSEGDA, DAVE I TOGDA, KOGDA GOWORIT “Q LVEC 1-GO PORQDKA”, NO KOTORYJ NE LVET, GOWORQ “Q LVEC 2-GO PORQDKA”, I T.D. tAKIM OBRAZOM, KOGDA |PIMENID SKAVET NAM “Q LVEC”, MY MOVEM EGO SPROSITX, “KAKOGO PORQDKA?”. i TOLXKO POSLE TOGO, KAK ON OTWETIT NA \TOT ZAKONNYJ WOPROS, EGO UTWERVDENIE BUDET IMETX SMYSL.” |TO RASSUVDENIE HORO[O POKAZYWAET I TO, KAKIM OBRAZOM TEORIQ TIPOW SNIMAET ‘PARADOKSY’ NAIWNOJ TEORII MNOVESTW, I TO, NASKOLXKO TQVELOWESNO I DALEKO OT OBY^NOJ PRAKTIKI MATEMATIKOW PODOBNOE RE[ENIE. rASSEL I uAJTHED PREDPRINQLI POPYTKU IZBAWITXSQ OT \TOJ TQVELOWESNOSTI, PERESTAW STAWITX INDEKSY I WWODQ FRAZU “PRI USLOWII, ^TO WSE TERMY PRINADLEVAT SOOTWETSTWU@]IM UROWNQM”, ODNAKO, KAK ZAMETIL W 1944 GODU gEDELX, POTERPELI NA \TOM PUTI SOKRU[ITELXNU@ NEUDA^U.

2. pROSTAQ TEORIQ TIPOW. rAMSEJ78 PREDLOVIL OGRANI^ITXSQ PROSTOJ TEORIEJ TIPOW I WSE POSLEDU@]EE RAZWITIE \TOJ TEORII SLEDOWALO PO PUTI rAMSEQ79. w DALXNEJ[EM — WPLOTX DO SRAWNITELXNO NEDAWNEGO WREMENI – PREDPRINIMALOSX E]E NESKOLXKO POPYTOK SPASTI I UPROSTITX TEORI@ TIPOW PUTEM KOMPROMISA S IDEQMI cERMELO I FON nEJMANA. nAIBOLEE IZWESTNYE IZ \TIH POPYTOK — SISTEMY tARSKOGO T I kUAJNA NF I ML, NO BYLO I MNOGO DRUGIH — SISTEMY kARNAPA, lORENCENA80, wAN hAO, : : : ). w 1937 GODU kUAJN81 PREDLOVIL UPROSTITX TEORI@ TIPOW SLEDU@]IM OBRAZOM: LI[X SLEGKA OSLABITX AKSIOMU fREGE, POTREBOWAW, ^TOBY STRATIFICIROWANNYE PO TIPAM SWOJSTWA QWLQLISX KOLLEKTIWIZIRU@]IMI. |TA SISTEMA, IZWESTNAQ KAK NF, (New Foundations) BYLA DETALXNO RAZWITA W ^REZWY- ^AJNO INTERESNOJ KNIGE rOSSERA82. kAK OTMETIL kARRI, SISTEMA NF OBLADA-

ET RQDOM OSOBENNOSTEJ, KOTORYE DELA@T EE ABSOL@TNO NEPRIEMLEMYMI (unacceptable) DLQ RABOTA@]EGO MATEMATIKA — NAPRIMER, KLASS ODNO\LEMENT-

NYH PODMNOVESTW L@BOGO MNOVESTWA NE MOVET S^ITATXSQ MNOVESTWOM! w \TOJ SISTEME NELXZQ DOKAZATX TEOREMU kANTORA O MO]NOSTI 2X, TAK KAK W EE DOKAZATELXSTWO WHODQT NESTRATIFICIROWANNYE FORMULY. nO — PO TOJ VE PRI^INE — TAM NELXZQ DOKAZATX I BOLX[U@ ^ASTX OBY^NYH REZULXTATOW TEORII ^ISEL (WEDX TEPERX PRINCIP MATEMATI^ESKOJ INDUKCIQ SPRAWEDLIW TOLXKO DLQ STRATIFICIROWANNYH FORMUL!). w DALXNEJ[EM kUAJN SLEGKA WIDOIZMENIL SWO@ SISTEMU83, ^TOBY SOGLASOWATX EE S OBY^NOJ MATEMATI^ESKOJ PRAKTIKOJ. |TA WIDOIZMENENNAQ SISTEMA POLU^ILA NAZWANIE ML (Mathematical Logic). oDNAKO, POSLE WYHODA PERWOGO IZDANIQ KNIGI kUAJNA W 1940 GODU lINDON I rOSSER84, NEZAWISIMO ZAMETILI, ^TO \TA SISTEMA PROTIWORE^IWA, TAK KAK W NEJ NE USTRANQETSQ PARADOKS bURALI-

78E.P.Ramsey, The foundations of mathematics. — in The foundations of mathematics and other logical essays. London, 1931, p.1–61.

79wPRO^EM, gERMAN wEJLX S^ITAET, ^TO IDE@ RAZWETWLENNOJ TEORII TIPOW UBIL SAM rASSEL SWOEJ AKSIOMOJ SWODIMOSTI — SM. g.wEJLX, sTRUKTURA mATEMATIKI. — uSPEHI mAT. nAUK., 1976, T.31, N.1, S.220–238.

80P.Lorenzen, Einf¨uhrung in die operative Logik und Mathematik. — Berlin et al.,

1955.

81W.V.Quine, New foundations for mathematical logic. — Amer. Math. Monthly, 1937, vol.44, p.70–80. — RAS[IRENNAQ WERSIQ PEREPE^ATANA W W.V.Quine, From a logical point of view. — Cambridge, Mass., 1951, p.80–101.

82J.B.Rosser, Logic for mathematicians. — N.Y., 1953.

83W.V.Quine, Mathematical logic. — Cambridge, Mass., 1951.

84J.B.Rosser, The Burali-Forti paradox. — J. Symb. Logic., 1942, vol.7, p.1–17.

fORTI. |TO NE POME[ALO kUAJNU WOSPROIZWESTI TU VE SISTEMU WO WTOROM IZDANII EGO KNIGI W 1947 GODU! tOLXKO W TRETXEM IZDANII \TA “SLU^AJNAQ OPLO[NOSTX” BYLA ISPRAWLENA wAN hAO.

oDNAKO DAVE W PROSTEJ[IH WARIANTAH TEORII TIPOW PRIWODQT K GROMOZDKOJ SIMWOLIKE I NEESTESTWENNYM OGRANI^ENIQM MATEMATI^ESKOGO QZYKA, A, S DRUGOJ STORONY, WSE OBY^NYE WARIANTY TEORII TIPOW SLABEE TEORII cERMELO. sU]ESTWENNYM NEDOSTATKOM \TIH SISTEM QWLQETSQ IH NESOWMESTIMOSTX S AKSIOMOJ WYBORA. pO\TOMU AKSIOMATIKI, OSNOWANNYE NA \TOJ IDEE, NE PRIOBRELI NIKAKOJ POPULQRNOSTI SREDI RABOTA@]IH MATEMATIKOW I OBSUVDA@TSQ W OSNOWNOM LOGIKAMI I FILOSOFAMI. pOSLEDNIE AWTORY, PRIDERVIWAW[IESQ PRINCIPOW TEORII TIPOW, VILI I TWORILI W gdr85 I S IS^EZNOWENIEM \TOJ STRANY TEORIQ TIPOW OKON^ATELXNO PREKRATILA SWOE SU]ESTWOWANIE.

x 13. uNIWERSUMY, SISTEMA gROTENDIKA ZFG

|TO TO, ^TO NAZYWA@T UNIWERSUMOM. |TO NE POSTIGAETSQ RAZUMOM, \TO MOVNO LIBO PRINQTX, LIBO OTWERGNUTX. eSLI MY PRINQLI, W NAS WDOHNULI NOWU@ VIZNX. eSLI OTWERGLI

— MY HIREEM. ~TO BY POD \TIM NI PODRAZUMEWALOSX, ONO NEULOWIMO; ONO NASTOLXKO OGROMNO, ^TO O NEM NIKOGDA NELXZQ SKAZATX POSLEDNEGO SLOWA.

gENRI mILLER, “sEKSUS”, gL. I

wO MNOGIH RAZDELAH MATEMATIKI, OSOBENNO W TEORII KATEGORIJ, I NAHODQ]IHSQ POD EE WLIQNIEM OBLASTQH (TAKIH KAK GOMOLOGI^ESKAQ ALGEBRA, ALGEBRAI^ESKAQ GEOMETRIQ I T.D.) ^A]E WSEGO ISPOLXZUETSQ SISTEMA gROTENDIKA IZWESTNAQ TAKVE KAK SISTEMA cERMELO—fRENKELQ—gROTENDIKA ZFG. |TO SISTEMA cERME-

LO—fRENKELQ ZF S DOPOLNITELXNOJ AKSIOMOJ gROTENDIKA G, UTWERVDA@]EJ SU- ]ESTWOWANE UNIWERSUMOW.

1. uNIWERSUMY. sEJ^AS MY WWEDEM MNOVESTWA NASTOLXKO BOLX[IE, ^TO IH MOVNO PREDSTAWLQTX SEBE KAK FORMALIZACI@ NAIWNOGO PONQTIQ “MNOVESTWO WSEH MNOVESTW”. nA SAMOM DELE, KAK MY ZNAEM, PONQTIE MNOVESTWA WSEH MNOVESTW PROTIWORE^IWO, ODNAKO W SAMOM STROGOM TEHNI^ESKOM SMYSLE KAVDYJ UNIWERSUM MOVNO PREDSTAWLQTX SEBE KAK KLASS WSEH MNOVESTW.

oPREDELENIE. mNOVESTWO U NAZYWAETSQ UNIWERSUMOM, ESLI ONO UDOWLETWO- RQET SLEDU@]IM USLOWIQM

U1 ! 2 U,

U2 A 2 U =) A µ U,

U3 A 2 U =) 2A 2 U,

U4 A 2 U =) [A 2 U,

U5 DLQ L@BOGO OTOBRAVENIQ f : A ¡! U IMEEM A 2 U =) f(A) 2 U.

85G.Wunsch, Algebraische Grundbegri e. — VEB Verlag f¨ur Technik, Berlin, 1970, S.1–212.

lEGKO UBEDITXSQ, ^TO WSE OBY^NYE TEORETIKO-MNOVESTWENNYE KONSTRUKCII S \LEMENTAMI U MOGUT BYTX REALIZOWANY UVE WNUTRI U.

zADA^A. pOKAVITE, ^TO ESLI U UNIWERSUM, TO

U6 A 2 U & B µ A =) B 2 U

U8 ESLI I 2 U & Ai 2 U DLQ WSEH i 2 I, TO QAi 2 U, i 2 I.

2. uNIWERSUMY KAK MODELI SISTEMY gEDELQ—bERNAJSA. dAVE SAMYJ KRO-

[E^NYJ UNIWERSUM ^UDOWI]NO WELIK. w ^ASTNOSTI, ON SODERVIT W KA^ESTWE \LEMENTOW MNOVESTWO WE]ESTWENNYH ^ISEL R I WSE EGO PODMNOVESTWA, MNOVESTWO WSEH EGO PODMNOVESTW 2R I WSE EGO PODMNOVESTWA, MNOVESTWO 22R I WSE EGO PODMNOVESTWA I T.D. w DEJSTWITELXNOSTI, KAVDYJ UNIWERSUM MOVNO RASSMATRIWATX KAK MODELX SISTEMY gEDELQ—bERNAJSA. nAZOWEM MNOVESTWO A MALYM, ESLI A 2 U, BOLX[IM, ESLI A µ U, NO A 2= U, I \KSTRAORDINARNYM, ESLI A 6µU. tEPERX MY MOVEM RASSMATRIWATX MALYE MNOVESTWA KAK MNOVESTWA MODELI, A BOLX[IE MNOVESTWA KAK

SOBSTWENNO KLASSY, PRI \TOM SAM U WYSTUPAET W KA^ESTWE KLASSA WSEH MNOVESTW. w TAKOJ MODELI MOVNO OSU]ESTWLQTX WSE KONSTRUKCII NAD MNOVESTWAMI I KLASSAMI, DOPUSTIMYE W SISTEME gEDELQ—bERNAJSA, I, SWERH TOGO, RASSMATRIWATX MNOVESTWA KLASSOW, KOTORYE c TO^KI ZRENIQ UNIWERSUMA BUDUT \KSTRAORDINARNYMI MNOVESTWAMI.

3. aKSIOMA gROTENDIKA. uNIWERSUMY NASTOLXKO WELIKI, ^TO SU]ESTWOWANIE HOTQ BY ODNOGO UNIWERSUMA NE MOVET WYTEKATX IZ AKSIOM cERMELO—fRENKELQ I DOLVNO GARANTIROWATXSQ SPECIALXNOJ AKSIOMOJ. sLEDU@]U@ AKSIOMU MOVNO RASSMATRIWATX KAK O^ENX SMELOE OBOB]ENIE AKSIOMY BESKONE^NOSTI.

G (aKSIOMA gROTENDIKA). dLQ KAVDOGO MNOVESTWA A SU]ESTWUET TAKOJ UNIWERSUM U, ^TO A 2 U.

w ^ASTNOSTI, \TA AKSIOMA UTWERVDAET, ^TO KAVDYJ UNIWERSUM QWLQETSQ \LEMENTOM NEKOTOROGO BOLX[EGO UNIWERSUMA! tEM SAMYM, \TA AKSIOMA POLNOSTX@ USTRANQET NEOBHODIMOSTX RASSMOTRENIQ KLASSOW. w SAMOM DELE, WMESTO MNOVESTWA WSEH MNOVESTW MY MOVEM RASSMATRIWATX MNOVESTWO WSEH MNOVESTW, SODERVA]IHSQ W DANNOM UNIWERSUME — SOGLASNO AKSIOME gROTENDIKA \TO DEJSTWITELXNO MNOVESTWO! w DEJSTWITELXNOSTI, DLQ BOLX[INSTWA PRAKTI^ESKIH CELEJ \TA AKSIOMA SLI[KOM SILXNA, TAK KAK WS@ OBY^NU@ MATEMATIKU MOVNO STROITX NA \LEMENTAH ODNOGO KAKOGO-TO UNIWERSUMA. pO\TOMU MNOGIE MATEMATIKI ISPOLXZU@T SISTEMU BOLEE SLABU@, ^EM SISTEMA gROTENDIKA, W KOTOROJ WMESTO AKSIOMY G NAKLADYWAETSQ LI[X SLEDU@]AQ ZNA^ITELXNO BOLEE SLABAQ AKSIOMA (SM., NAPRIMER86;87).

G0 (sLABAQ AKSIOMA gROTENDIKA). sU]ESTWUET HOTQ BY ODIN UNIWERSUM.

s TO^KI ZRENIQ WSEH OBY^NYH PRILOVENIJ UNIWERSUM ^REZWY^AJNO WELIK, TAK KAK ON SODERVIT BESKONE^NU@ IERARHI@ BESKONE^NOSTEJ, IZ KOTORYH W OBY^-

NOJ MATEMATIKE REDKO ISPOLXZU@TSQ BOLX[E, ^EM DWE ILI TRI. s DRUGOJ STORONY, S TO^KI ZRENIQ kANTOROWSKOJ TEORII MNOVESTW UNIWERSUM BEZNADEVNO MAL, POTOMU ^TO BESKONE^NO BOLX[E MO]NOSTEJ OSTA@TSQ WNE UNIWERSUMA, ^EM POPADA@T WNUTRX.

86S.MacLane, Categories for the working mathematicians. — Berlin, 1972.

87H.Herrlich, G.Strecker, Category theory. — Boston, 1973.

aLEKSANDR gROTENDIK (ROD. 1928, bERLIN) — oDIN IZ KRUPNEJ[IH MATEMATIKOW W ISTORII, ZNA^ENIE OSU]ESTWLENNOJ IM REWOL@CII W MATEMATIKE MOVNO SOPOSTAWITX SO WKLADOM lEJBNICA, nX@TONA, kANTORA, gILXBERTA. w 1933 GODU EGO RODITELI POPALI W KONCENTRACIONNYJ LAGERX, A ON OKAZALSQ W SIROTSKOM DOME W {WEJCARII. pOSLE WOJNY U^ILSQ WO fRANCII I RABOTAL W pARIVE, b@R-S@R-iWET I mONPELXE. eGO RANNIE RABOTY OTNOSQTSQ K OBLASTI FUNKCIONALXNOGO ANALIZA I GOMOLOGI^ESKOJ ALGEBRY. pOSLE \TOGO EGO OSNOWNYE INTERESY PEREKL@^ILISX NA ALGEBRAI^ESKU@ GEOMETRI@. eGO MNOGOTOMNYE ’|LEMENTY ALGEBRAI^ESKOJ GEOMETRII’ (^ASTI^NO SOWMESTNYE

SdXEDONNE), ‘sEMINAR PO ALGEBRAI^ESKOJ GEOMETRII’ (^ASTI^NO SOWMESTNYE

SdEMAZ@ROM, wERDXE I DRUGIMI) I DRUGIE RABOTY 1960-H GODOW STALI BIBLIEJ DLQ NESKOLXKIH POKOLENIJ MATEMATIKOW. oSNOWAL NESKOLXKO BOLX[IH NAPRAWLENIJ MATEMATIKI, W TOM ^ISLE K-TEORI@. nA MATEMATI^ESKOM KONGRESSE 1966 GODA W mOSKWE NAGRAVDEN FILDSOWSKOJ PREMIEJ. w NA^ALE 1970-H GODOW OTO[EL OT MATEMATIKI I ZANQLSQ MEDITACIEJ I LITERATURNOJ DEQTELXNOSTX@. nA RUSSKIJ PEREWEDENA EGO STATXQ ‘o NEKOTORYH WOPROSAH GOMOLOGI^ESKOJ ALGEBRY’ I ^ASTI KNIGI ‘uROVAI I POSEWY’.

x 14. tEORIQ GIPERMNOVESTW

A well-known scientist (some say it was Bertrand Russell) once gave a public lecture on astronomy. He described how the earth orbits around the sun and how the sun, in turn, orbits around the centre of a vast collection of stars called our galaxy. At the end of the lecture, a little old lady at the back of the room got up and said: “What you have told us is rubbish. The world is really a flat plate supported on the back of a giant tortoise”. The scientist gave a superior smile before replying, “What is the tortoise standing on?” — “You’re very clever, young man, very clever”, said the old lady, “But it’s turtles all the way down!”.

Stephen W.Hawking, “A brief history of time”.

1. tEORIQ GIPERMNOVESTW. nAIBOLEE OSPARIWAEMOJ W NASTOQ]EE WREMQ AKSIOMOJ TEORII ZFC QWLQETSQ AKSIOMA REGULQRNOSTI. mNOGIE SPECIALISTY S^ITA@T, ^TO ONA WNESENA W ZFC PO ^ISTO TEHNI^ESKIM PRI^INAM, NE OTRAVAET OB]EPRIZNANNOGO MATEMATI^ESKOGO PRINCIPA I SU]ESTWENNO OGRANI^IWAET PRIMENIMOSTX TEORII MNOVESTW K MODELIROWANI@ CIKLI^ESKIH QWLENIJ (WOZNIKA@]IH, SKAVEM, W PROGRAMMIROWANII ILI LINGWISTIKE). |TA AKSIOMA NIKOGDA NE ISPOLXZOWALASX W ALGEBRE ILI TOPOLOGII SOZNATELXNO, A TAM, GDE EE ISPOLXZOWANIE NOSIT NEOSOZNANNYJ HARAKTER (NAPRIMER, OPREDELENIE UPORQDO^ENNOJ PARY (x; y) KAK fx; fx; ygg), EGO LEGKO OBOJTI, ^UTX PODPRAWIW OPREDELENIQ. lI^NO MNE PREDSTAWLQETSQ, ^TO EE PRINQTIE WEDET K NEDOPUSTIMOMU OBEDNENI@ NA[EJ TEORETIKO-MNOVESTWENNOJ INTUICII. tEORIQ MNOVESTW BEZ AKSIOMY ZF9 OBOZNA^AETSQ ZF¡ (ILI ZFC¡,

ESLI HOTQT POD^ERKNUTX NALI^IE W NEJ AKSIOMY WYBORA) I NAZYWAETSQ TEORIEJ

GIPERMNOVESTW88;89;90.

88P.Aczel, Non-well-founded sets. – SCLI Public., Stanford, 1988.

89J.Barwise, L.Moss, Hypersets. — Math. Int., 1991, vol 13, N.4, p.31–41.

90J.Barwise, L.Moss, Vicious circles and the mathematics of non-wellfounded Phe-

rAZUMEETSQ, NEDOSTATO^NO PROSTO OTBROSITX ZF9 I KONSTATIROWATX, ^TO GIPERMNOVESTWA MOGUT SU]ESTWOWATX. nUVNO DOBAWITX KAKU@-TO NOWU@ AKSIOMU, KOTORAQ POZWOLIT STROITX GIPERMNOVESTWA, NE QWLQ@]IESQ FUNDIROWANNYMI, NAPODOBIE TOGO KAK MY STROIM MNOVESTWA PRI POMO]I OBY^NYH AKSIOM SWERTYWANIQ. pUSTX x L@BOE MNOVESTWO. sOPOSTAWIM EMU GRAF SOSTAWLQ@]IH, WER[INAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ SAMO MNOVESTWO x I WSE EGO SOSTAWLQ@]IE, PRI^EM STRELKA IZ WER[INY y W WER[INU z RISUETSQ W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA y 2 z. oDNA IZ NAIBOLEE POPULQRNYH AKSIOM, AKSIOMA ANTIFUNDIROWANIQ AFA, UTWERVDAET, ^TO DLQ L@BOGO ORIENTIROWANNOGO GRAFA, UDOWLETWORQ@]EGO O^EWIDNYM NEOBHODIMYM USLOWIQM, SU]ESTWUET GIPERMNOVESTWO S DANNYM GRAFOM SOSTAWLQ@]IH.

tIPI^NYM PRIMEROM GIPERMNOVESTWA, NE QWLQ@]EGOSQ FUNDIROWANNYM, SLUVIT

y = fx; fx; fx; fx : : : gggg:

qSNO, ^TO y 2 y. w NEKOTOROM SMYSLE, KOTORYJ MOVNO UTO^NITX, MNOVESTWO y QWLQETSQ PREDELOM OBY^NYH HORO[O FUNDIROWANNYH MNOVESTW

fxg; fx; fxgg; fx; fx; fxggg; fx; fx; fx; fxgggg;

KOTORYE STANOWITSQ WSE TRUDNEE OTLI^ATX OT y PO MERE PRODWIVENIQ PO \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI.

tAKIM OBRAZOM, ESLI OBY^NAQ kANTOROWSKAQ TEORIQ MNOVESTW IZU^AET \KSTENSIWNU@ BESKONE^NOSTX, UHODQ]U@ W[IRX, TEORIQ GIPERMNOVESTW DOBAWLQET K NEJ E]E I INTENSIWNU@ BESKONE^NOSTX, UHODQ]U@ WGLUBX.

lEGKO PRIWESTI PRIMER GIPERMNOVESTWA, KOTOROE NE QWLQETSQ SWOIM SOBSTWENNYM \LEMENTOM, NO QWLQETSQ \LEMENTOM SWOEGO \LEMENTA (I TEM SAMYM, WHODIT W SEBQ NA WSEH ^ETNYH UROWNQH). a IMENNO, WOZXMEM DWE RAZLI^NYH WE]I u 6= v I POLOVIM

lEGKO WIDETX, ^TO x =6 y, x 2 y I y 2 x.

x 15. tEORIQ MULXTIMNOVESTW

1. oPREDELENIE. gOWORQT, ^TO NA MNOVESTWE X ZADANA FUNKCIQ KRATNOSTI f, ESLI f QWLQETSQ OTOBRAVENIEM f : X ¡! Z. pARA (X; f), SOSTOQ]AQ IZ MNO- VESTWA X I FUNKCII KRATNOSTI f NA NEM, NAZYWAETSQ MULXTIMNOVESTWOM NA MNOVESTWE X, ESLI FUNKCIQ KRATNOSTI f PRINIMAET NEOTRICATELXNYE ZNA^E- NIQ, T.E. f(x) ¸ 0 DLQ WSEH x 2 X. zNA^ENIE f(x) NAZYWAETSQ KRATNOSTX@ \LEMENTA x. mNOVESTWO Supp(X; f) TEH x 2 X, DLQ KOTORYH f(x) > 0, NAZYWA- ETSQ NOSITELEM MULXTIMNOVESTWA (X; f).

~ASTO FUNKCIQ KRATNOSTI f OBOZNA^AETSQ ^EREZ mult, A KRATNOSTX \LEMENTA ZAPISYWAETSQ W \TOM SLU^AE mx = mult(x), PRI \TOM GOWORQT, ^TO (X; f) SODERVIT \LEMENT x S KRATNOSTX@ mx. sUMMA KRATNOSTEJ WSEH \LEMENTOW (KONE^NOGO) MULXTIMNOVESTWA Pmx, x 2 X, OBY^NO NAZYWAETSQ PORQDKOM \TOGO MULXTIMNOVESTWA.

nomena. — CSLI Public., Stanford, 1996, p.1–390.

TAKIE, ^TO PERWYJ \LEMENT W \TOM MNOVESTWE ESTX NEKAQ OBEZXQNKA ~ARLI, KAVDYJ NE PERWYJ \LEMENT ESTX SYN NEPOSREDSTWENNO PRED[ESTWU@]EGO \LEMENTA I POSLEDNIJ \LEMENT ESTX SAM dARWIN. sOWOKUPNOSTX A WSEH OBEZXQN IZ MNOVESTWA D NE QWLQETSQ MNOVESTWOM; W PROTIWNOM SLU^AE A SODERVALO BY POSLEDNIJ \LEMENT. nO, KAK ZNAET WSQKIJ, SYNOWXQ OBEZXQN SUTX OBEZXQNY. tAKIM OBRAZOM, OKAZALOSX BY, ^TO WSE ^LENY D, WKL@^AQ I dARWINA, BYLI BY OBEZXQNAMI.

pETR wOPENKA91

nA BA[NE SPORILI HIMERY: kOTORAQ IZ NIH UROD?

oSIP mANDELX[TAM

1. nEKANTOROWSKAQ TEORIQ MNOVESTW. kONE^NO, WSE PERE^ISLENNYE W \TOM PARAGRAFE SISTEMY TEORII MNOVESTW MOVNO BYLO BY NAZWATX NEKANTOROWSKIMI, NO OBY^NO, GOWORQ O NEKANTOROWSKOJ TEORII MNOVESTW IME@T W WIDU TEORII BEZ AKSIOMY STEPENI, W KOTORYH NELXZQ GOWORITX O MNOVESTWE WSEH PODMNOVESTW FIKSIROWANNOGO MNOVESTWA. nAIBOLEE IZWESTNOJ IZ TAKIH SISTEM QWLQETSQ SISTE-

MA cERMELO—fRENKELQ BEZ AKSIOMY STEPENI ZF–P, W KOTOROJ WYPOLNQ@TSQ WSE AKSIOMY, KROME ZF7. iZWESTNO, ^TO \TA SISTEMA NE POZWOLQET POSTROITX WE]E- STWENNYE ^ISLA. kLASSI^ESKOJ WO FRANCUZSKOJ LITERATURE S^ITAETSQ PEREPISKA rENE b\RA, |MILQ bORELQ I aNRI lEBEGA (IMENUEMYH W DALXNEJ[EM AKADEMIKAMI) S vAKOM aDAMAROM92. wNA^ALE AKADEMIKI S^ITALI, ^TO W SLEDSTWIQH TEORII MNOVESTW, PROTIWORE^A]IH IH INTUICII, WINOWATA AKSIOMA WYBORA. k IH ^ESTI NUVNO ZAMETITX, ^TO DOWOLXNO SKORO ONI RAZOBRALISX, ^TO ISTINNAQ PRI^INA SOSTOIT W AKSIOME STEPENI. kOGDA vAK aDAMAR UKAZAL AKADEMIKAM NA TO OBSTOQTELXSTWO, ^TO BEZ AKSIOMY STEPENI NEWOZMOVNO POSTROITX WE]ESTWENNYE ^ISLA, ONI BEZ KOLEBANIJ93 OTKAZALISX OT PONQTIQ MNOVESTWA WE]ESTWENNYH ^ISEL!!!

rENE b\R (1874 — 1932)

nAIBOLEE RADIKALXNYJ OTKAZ OT KANTOROWSKOJ MATEMATIKI (I OT SAMOJ IDEI AKTUALXNOJ BESKONE^NOSTI) PROISHODIT W TEORII POLUMNOVESTW, RAZWIWAEMOJ pETROM wOPENKOJ I DRUGIMI pRAVSKIMI LOGIKAMI. oT^ASTI W \TOJ TEORII (KAK I W ULXTRAINTUICIONIZME eSENINA-wOLXPINA) PROISHODIT WOZWRA]ENIE K IDEQM pUANKARE I bRAU\RA, NO W GORAZDO BOLEE RADIKALXNOJ FORME. a IMENNO, wOPENKA OTRICAET NE TOLXKO TO, ^TO WSE PODMNOVESTWA DANNOGO MNOVESTWA OBRAZU@T MNOVESTWO, NO DAVE I TO, ^TO PODKLASS MNOVESTWA OBQZAN BYTX MNOVESTWOM! iMENNO PODKLASSY MNOVESTW I NAZYWA@TSQ POLUMNOVESTWAMI.

91p.wOPENKA, mATEMATIKA W ALXTERNATIWNOJ TEORII MNOVESTW, m., mIR, 1983,

S.1–150; STR.35.

92R.Baire, E.Borel, J.Hadamard, H.Lebesgue, Cinq lettres sur la th´eorie des ensembles. — Bull. Soc. Math. France, 1905, v.33, p.261–273.

93SM. bURBAKI, S.338–339.