vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

oPREDELENIE. fILXTR F ½ 2X NAZYWAETSQ ULXTRAFILXTROM, ES-

LI ON SOBSTWENNYJ I DLQ L@BOGO PODMNOVESTWA Y µ X IMEET MESTO ALXTERNATIWA: LIBO Y 2 F , LIBO Y 2 F .

sEJ^AS MY POKAVEM, ^TO ULXTRAFILXTRY — \TO W TO^NOSTI MAKSIMALXNYE FILXTRY. nAPOMNIM, ^TO FILXTR F NAZYWAETSQ MAKSIMALXNYM, ESLI ON MAKSIMALEN SREDI SOBSTWENNYH FILXTROW. pRI \TOM PORQDOK NA MNOVESTWE FILXTROW INDUCIRUETSQ WKL@^ENIEM KAK PODMNOVESTW W 2X. pUSTX E I F — DWA FILXTRA NA X TAKIE, ^TO E SODERVITSQ W F , T.E. E µ F . w \TOM SLU^AE, KAK I DLQ TOPOLOGIJ, ^ASTO GOWORQT, ^TO F SILXNEE, ^EM E, A E SLABEE, ^EM F .

pREDLOVENIE ?. fILXTR F W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE QWLQETSQ ULXTRAFILXTROM, KOGDA ON MAKSIMALEN.

dOKAZATELXSTWO. pUSTX F — ULXTRAFILXTR I E — KAKOJ-TO STROGO BOLX[IJ FILXTR. pUSTX Y 2 E n F . tOGDA PO OPREDELENI@ ULXTRAFILXTRA Y 2 F µ E. tAKIM OBRAZOM, Y; Y 2 E I, ZNA^IT, FILXTR E NE QWLQETSQ SOBSTWENNYM.

oBRATNO, PUSTX F NE QWLQETSQ ULXTRAFILXTROM, TO NAJDETSQ TAKOE PODMNOVESTWO Y µ X, ^TO NI SAMO Y , NI EGO DOPOLNENIE Y NE PRINADLEVAT F . tOGDA SEMEJSTWO D = F [fY g OBLADAET SWOJSTWOM KONE^NYH PERESE^ENIJ. w SAMOM DELE, TAK KAK F FILXTR, L@BOE KONE^NOE PERESE^ENIE \LEMENTOW IZ D IMEET WID Z \ Y DLQ NEKOTOROGO Z 2 F , A (TAK KAK MY PREDPOLOVILI, ^TO Y 2= F ) TAKOE PERESE^ENIE NE MOVET BYTX PUSTYM. w SILU PREDYDU]EJ ZADA^I SEMEJSTWO D SODERVITSQ W SOBSTWENNOM FILXTRE E, PRI^EM Y 2 E n F , TAK ^TO E STROGO BOLX[E, ^EM F .

w DEJSTWITELXNOSTI, W TEORII KOLEC ESTX KLASS IDEALOW GORAZDO BOLEE WAVNYJ, ^EM KLASS MAKSIMALXNYH IDEALOW, A IMENNO, KLASS PROSTYH IDEALOW. aNALOGOM PROSTOGO IDEALA DLQ FILXTROW QWLQETSQ SLEDU@]EE PONQTIE. fILXTR F NAZYWAETSQ PROSTYM, ESLI DLQ L@BOGO

Y 2 F IZ TOGO, ^TO Y = Z1 [Z2, SLEDUET, ^TO Z1 2 F ILI Z2 2 F . rAZUMEETSQ, PO INDUKCII OTS@DA SLEDUET, ^TO TO VE SAMOE WERNO DLQ L@BO-

GO PREDSTAWLENIQ Y 2 F W WIDE KONE^NOGO OB_EDINENIQ Y = Z1[: : :[Zn. w L@BOM TAKOM OB_EDINENII HOTQ BY ODNO IZ Zi PRINADLEVIT F . kAK MY ZNAEM, KAVDYJ MAKSIMALXNYJ IDEAL QWLQETSQ PROSTYM.

zADA^A ?. dOKAVITE, ^TO KAVDYJ ULXTRAFILXTR PROST. rE[ENIE. pUSTX Y = Z1 [ Z2 2 F , A Z1; Z2 2= F . tOGDA PO OPREDELENI@ ULXTRAFILXTRA Y = Z1 \ Z2 2 F , TAK ^TO ? = Y \ Y 2 F , ^TO PROTIWORE^IT TOMU, ^TO F SOBSTWENNYJ.

kAK MY TOLXKO ^TO UBEDILISX, DLQ L@BOGO FILXTRA IMEET MESTO SLEDU@]AQ ALXTERNATIWA: ON LIBO QWLQETSQ GLAWNYM, LIBO NE MOVET BYTX POROVDEN KONE^NYM ^ISLOM SWOIH \LEMENTOW. pOSMOTRIM, WO ^TO \TA ALXTERNATIWA PREWRA]AETSQ DLQ ULXTRAFILXTROW. oHARAKTERIZOWATX GLAWNYE ULXTRAFILXTRY SOWSEM PROSTO.

zADA^A ?. dOKAVITE, ^TO EDINSTWENNYMI GLAWNYMI ULXTRAFILXTRAMI QWLQ@TSQ FILXTRY WIDA Fx 2 Ffxg, x 2 X, POROVDENNYE ODNO\LEMENTNYMI MNOVESTWAMI. rE[ENIE. qSNO, ^TO DLQ PODMNOVESTWA Y µ X IMEETSQ ALXTERNATIWA x 2 Y ILI x 2 Y , PO\TOMU Fx — ULXTRAFILXTR. oBRATNO, ESLI FY , Y µ X, GLAWNYJ FILXTR POROVDENNYJ PODMNOVESTWOM Y , SODERVA]IM BOLEE ODNOGO \LEMENTA, A Z — NEPUSTOE SOBSTWENNOE PODMNOVESTWO W Y , TO GLAWNYJ FILXTR FZ SOBSTWENNYJ I STROGO BOLX[E, ^EM FY .

bYLO BY SOWSEM NEPROSTO STOLX VE QWNO OPISATX ULXTRAFILXTRY, NE QWLQ@]IESQ GLAWNYMI, ODNAKO ONI DOPUSKA@T SLEDU@]U@ PROSTU@ HARAKTERIZACI@, POD^ERKIWA@]U@ FUNDAMENTALXNU@ WAVNOSTX KOKONE^NOGO FILXTRA CofX.

pREDLOVENIE ?. uLXTRAFILXTR F W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE NE QWLQETSQ GLAWNYM, KOGDA ON SODERVIT CofX.

dOKAZATELXSWO. eSLI F — ULXTRAFILXTR, NE QWLQ@]IJSQ GLAWNYM, TO DLQ L@BOJ TO^KI x 2 X IMEEM fxg 2= F . tOGDA PO OPREDELENI@ ULXTRAFILXTRA x = X n fxg 2 F . tAKIM OBRAZOM, DLQ L@BOGO KONE^NOGO

MNOVESTWA Y = fx1; : : : ; xng EGO DOPOLNENIE Y = x1 \ : : : \ xn PRINADLEVIT F , NO \TO I ZNA^IT, ^TO F ¸ CofX. oBRATNO, ESLI F SODERVIT

CofX, TO x 2 F DLQ WSEH x 2 X I, TAK KAK F SOBSTWENNYJ, TO fxg 2= F .

x ?. fILXTR OKRESTNOSTEJ

sEJ^AS MY NAU^IMSQ ZADAWATX TOPOLOGI@ NABOROM LOKALXNYH DANNYH.

x ?. oPERACII ZAMYKANIQ I WNUTRENNOSTI

sTRUKTURU TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA NA X MOVNO ZADAWATX I E]E ODNIM SPOSOBOM, POSREDSTWOM UNARNYH OPERACIJ NA 2X, UDOWLETWORQ@]IM NESKOLXKIM ESTESTWENNYM USLOWIQM.

oPREDELENIE. uNARNAQ OPERACIQ Cl : 2X ¡! 2X NA MNOVESTWE POD- MNOVESTW NEKOTOROGO MNOVESTWA X NAZYWAETSQ OPERACIEJ ZAMYKANIQ, ESLI ONA UDOWLETWORQET SLEDU@]IM ^ETYREM AKSIOMAM:

(C1) Cl(A [ B) = Cl(A) [ Cl(B),

(C2) A µ Cl(A),

(C3) Cl(Cl(A)) = Cl(A), (C4) Cl(?) = ?, Cl(X) = X.

eSLI NA MNOVESTWE 2X ZADANA OPERACIQ ZAMYKANIQ, TO DLQ L@BOGO A µ X MNOVESTWO Cl(A) NAZYWAETSQ ZAMYKANIEM MNOVESTWA A

fIGURIRU@]IE W \TOM OPREDELENII AKSIOMY OBY^NO NAZYWA@TSQ AKSIOMAMI kURATOWSKOGO, HOTQ, KAK OTME^AET SAM kURATOWSKIJ [Ku], ANALOGI^NYE AKSIOMY WWODILISX RANEE f.rISSOM.

zADA^A. pOKAZATX, ^TO IZ AKSIOM kURATOWSKOGO WYTEKA@T SLEDU@]IE SWOJSTWA ZAMYKANIQ:

(C5) A µ B ) Cl(A) µ Cl(B),

(C6) Cl(A \ B) µ Cl(A) \ Cl(B),

(C7) Cl(A n B) µ Cl(A) n Cl(B).

nESLOVNO PRIWESTI PRIMERY, POKAZYWA@]IE, ^TO WKL@^ENIQ W PUNKTAH (C6) I (C7) NE OBQZANY BYTX RAWENSTWAMI.

lEGKO OPREDELITX OPERACI@, DWOJSTWENNU@ K OPERACII ZAMYKANIQ, NUVNO LI[X OBRATITX WSE ZNAKI WKL@^ENIQ, POMENQTX MESTAMI \ I [ I T.D.

oPREDELENIE. uNARNAQ OPERACIQ Int : 2X ¡! 2X NA MNOVESTWE POD- MNOVESTW NEKOTOROGO MNOVESTWA X NAZYWAETSQ OPERACIEJ WNUTRENNOSTI, ESLI ONA UDOWLETWORQET SLEDU@]IM ^ETYREM AKSIOMAM:

(C1) Int(A \ B) = Int(A) \ Int(B), (C2) Int(A) µ A,

(C3) Int(Int(A)) = Int(A), (C4) Int(?) = ?, Int(X) = X.

eSLI NA MNOVESTWE 2X ZADANA OPERACIQ WNUTRENNOSTI, TO DLQ L@BOGO A µ X MNOVESTWO Int(A) NAZYWAETSQ WNUTRENNOSTX@ MNO- VESTWA A

oBOZNA^ENIQ Cl(A) I Int(A) PROISHODQT OT ANGLIJSKIH TERMINOW ‘Closure’ I ‘Interior’. w TRADICIONNYH KNIGAH PO TOPOLOGII ILI ANALIZU ZAMYKANIE MNOVESTWA A OBY^NO OBOZNA^AETSQ ^EREZ A (ILI INOGDA ^EREZ [A]), A WNUTRENNOSTX ^EREZ A±.

zADA^A ?. dOKAZATX, ^TO ESLI NA 2X ZADANA OPERACIQ ZAMYKANIQ, TO Int(A) = Cl(A) ZADAET NA 2X OPERACI@ WNUTRENNOSTI, DLQ KOTOROJ

Cl(A) = Int(A). tAKIM OBRAZOM, ZADANIE NA 2X OPERACIJ ZAMYKANIQ I WNUTRENNOSTI \KWIWALENTNO.

eSLI Cl I Int — OPERACII ZAMYKANIQ I WNUTRENNOSTI, POSTROENNYE PO ODNOJ I TOJ VE TOPOLOGII T NA MNOVESTWE X, TO ONI NAHODQTSQ W DWOJSTWENNOSTI, OPISANNOJ W zADA^E ?, T.E. DLQ L@BOGO PODMNOVESTWA A µ X WYPOLNQ@TSQ RAWENSTWA Cl(A) = Int(A) I Int(A) = Cl(A).

x ?. pROIZWEDENIE TOPOLOGIJ

lEMMA.

dOKAZATELXSTWO.

(C4) A µ B ) Int(A) µ Int(B),