vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

zAKON TRIHOTOMII. dLQ L@BYH DWUH \LEMENTOW x; y LINEJNO UPORQ- DO^ENNOGO MNOVESTWA X IMEET MESTO ROWNO ODNA IZ TREH SLEDU@- ]IH WOZMOVNOSTEJ:

x < y; x = y; x > y:

pREDOSTEREVENIE. wO MNOGIH STARYH RUSSKIH KNIGAH TERMINY LINEJNYJ PORQDOK I POLNYJ PORQDOK ISPOLXZU@TSQ KAK SINONIMY. |TA ZLOBNAQ PRAKTIKA PREDSTAWLQETSQ MNE KRAJNE NEUDA^NOJ I SPECIALXNO SOZDANNOJ DLQ TOGO, ^TOBY WWODITX W ZABLUVDENIE NA^INA@]IH I NESPECIALISTOW. pO ZAMYSLU TERMIN POLNYJ PORQDOK QWLQETSQ PERE-

WODOM NEMECKOGO vollstÄandig geordnet ILI totalgeordnet. nO PRI \TOM OSTAETSQ SOWER[ENNO NEQSNO, KAK RUSSKIJ ^ITATELX MOVET OTLI- ^ITX \TO OT wohlgeordnet, TEM BOLEE, ^TO NA ANGLIJSKIJ \TOT POSLEDNIJ TERMIN PEREWODITSQ KAK totally ordered!!! w NASTOQ]EJ KNIGE MY ISPOLXZUEM TERMIN POLNYJ PORQDOK ISKL@^ITELXNO W PRIMENENII K ARTINOWYM LINEJNO UPORQDO^ENNYM MNOVESTWAM. tAKIM OBRAZOM, POLNYJ PORQDOK \TO OTN@DX NE PROIZWOLXNYJ LINEJNYJ PORQDOK, A TAKOJ LINEJNYJ PORQDOK, OTNOSITELXNO KOTOROGO KAVDOE NEPUSTOE PODMNOVESTWO IMEET NAIMENX[IJ \LEMENT.

tEOREMA {PILXRAJNA. wSQKOE UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO WKLADY- WAETSQ W LINEJNO UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO.

dLQ KONE^NOGO MNOVESTWA \TO O^EWIDNO. dOSTATO^NO UPORQDO^ITX \LEMENTY PO WYSOTE, A POTOM PROIZWOLXNYM OBRAZOM WNUTRI WYSOTY. dLQ BESKONE^NYH MNOVESTW \TO E]E ODNA FORMULIROWKA AKSIOMY WYBORA.

x 18. pRIMERY OTNO[ENIJ PORQDKA

3. pERWYE PRIMERY. pRIWEDEM TEPERX O^EWIDNYE PRIMERY PORQDKA.

²oBY^NOE OTNO[ENIE < PORQDKA NA Z, Q, R ZADAET TAM LINEJNYJ PORQDOK.

²mNOVESTWO X = 2Z UPORQDO^ENO PO WKL@^ENI@ µ. eSLI jZj ¸

2, \TOT PORQDOK NE QWLQETSQ LINEJNYM. nAPRIMER, ESLI Z = fa; bg, TO MNOVESTWA fag I fbg NESRAWNIMY. |TOT PRIMER PORQDKA QWLQETSQ UNIWERSALXNYM W TOM SMYSLE, ^TO KAVDOE UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO X WKLADYWAETSQ W MNOVESTWO 2Z DLQ NEKOTOROGO Z (W DEJSTWITELXNOSTI, UVE DLQ Z = X).

² mNOVESTWO N UPORQDO^ENO OTNOSITELXNO DELIMOSTI j. w SAMOM DELE, a) 8n 2 N, njn; b) 8m; n 2 N, mjn & njm =) m = n; S)

8l; m; n 2 N, ljm & mjn =) ljn.

²mNOVESTWO WSEH L@DEJ UPORQDO^ENO OTNOSITELXNO OTNO[ENIQ a < b () a POTOMOK b.

²bOLX[INSTWO ESTESTWENNYH ALFAWITOW, NAPRIMER,

±RUSSKIJ fA,B,W,: : : ,Qg,

±LATINSKIJ fa,b,S,: : : ,zg

±GRE^ESKIJ f®; ¯; °; : : : ; !g,

UPORQDO^ENY OBY^NYM OBRAZOM. iMENNO \TOT PORQDOK POZWOLQET ISKATX SLOWA W SLOWARE. nA SAMOM DELE ALFAWIT WSEH \TIH QZYKOW SODERVIT E]E ODIN WAVNEJ[IJ ZNAK — PROBEL (space), OBOZNA^AEMYJ OBY^NO W RUKOWODSTWAH PO PROGRAMMIROWANI@ ^EREZ . kAK LEGKO UBEDITXSQ, RASSMATRIWAQ PERWU@ STRANICU L@BOGO SLOWARQ, PROBEL PRED- [ESTWUET L@BOJ DRUGOJ BUKWE, NO PRI \TOM NI ODNO SLOWO NE MOVET NA^INATXSQ S PROBELA.

² mNOGIE DRUGIE MNOVESTWA TRADICIONNO SNABVA@TSQ NEKOTORYM FIKSIROWANNYM LINEJNYM PORQDKOM:

±MNOVESTWO NOT fDO, RE, MI, FA, SOLX, LQ, SIg,

±MNOVESTWO CWETOW RADUGI fKRASNYJ, ORANVEWYJ, VELTYJ, ZELENYJ, GOLUBOJ, SINIJ, FIOLETOWYJg,

w DEJSTWITELXNOSTI, KAK MY UZNAEM W x ?, NA MNOVESTWE IZ n \LEMENTOW MOVNO WWESTI n! RAZLI^NYH LINEJNYH PORQDKOW. nAPRIMER, MNOVESTWO NOT I MNOVESTWO CWETOW RADUGI MOGUT BYTX LINEJNO UPORQDO^ENY 7! = 5040 RAZLI^NYMI SPOSOBAMI.

²UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO X, W KOTOROM L@BYE DWA RAZLI^NYH \LEMENTA NESRAWNIMY, NAZYWAETSQ ANTICEPX@. dLQ ANTICEPI x · y

() x = y.

²pUSTX X — TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO. rASSMOTRIM NA X SLEDU@]EE OTNO[ENIE R: POLOVIM x · y W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA x 2 y. o^EWIDNO, ^TO \TO OTNO[ENIE REFLEKSIWNO I TRANZITIWNO I, TAKIM OBRAZOM, QWLQETSQ PREDPORQDKOM. |TO OTNO[ENIE W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE BUDET PORQDKOM, KOGDA HOTQ BY U ODNOJ IZ DWUH TO^EK x; y ESTX OKRESTNOSTX, NE SODERVA]AQ WTORU@ IZ NIH, T.E. KOGDA

X UDOWLETWORQET AKSIOME OTDELIMOSTI T0. bOLEE TOGO, KAVDYJ PORQDOK NA KONE^NOM MNOVESTWE X POLU^AETSQ TAKIM OBRAZOM IZ KAKOJ-TO T0-TOPOLOGII.

² pUSTX X — MNOVESTWO WSEH PODGRUPP GRUPPY G, I F · H DLQ DWUH PODGRUPP F; H 2 X W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA F µ H.

² pUSTX X µ 2Z SOSTOIT IZ WSEH RAZBIENIJ MNOVESTWA Z. pOLOVIM U v V W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA U BOLEE TONKOE, ^EM V , INYMI SLOWAMI, KAVDYJ \LEMENT MNOVESTWA U SODERVITSQ W KAKOMTO \LEMENTE V . kSTATI, PO^EMU MY NE MOGLI BY OPREDELITX TAKIM OBRAZOM PORQDOK NA MNOVESTWE WSEWOZMOVNYH PODMNOVESTW W 22Z ?

x 19. oSNOWNYE KONSTRUKCII NAD UPORQDO^ENNYMI MNOVESTWAMI

² kAVDOE PODMNOVESTWO Y µ X UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA (X; R) TEM BOLEE QWLQETSQ UPORQDO^ENNYM MNOVESTWOM OTNOSITELXNO PORQDKA R \ Y £ Y — ILI, KAK OBY^NO GOWORQT, OTNOSITELXNO TOGO VE PO-

RQDKA.

w SLEDU@]EM PRIMERE UTWERVDAETSQ, ^TO OTNO[ENIE OBRATNOE K OTNO[ENI@ PORQDKA SAMO QWLQETSQ OTNO[ENIEM PORQDKA.

² dLQ KAVDOGO PORQDKA NA X MOVNO OPREDELITX DWOJSTWENNYJ PORQDOK, DLQ KOTOROGO x PRED[ESTWUET y W TOM I TOLXKO TOM SLU- ^AE, KOGDA x SLEDUET ZA y W ISHODNOM PORQDKE. mY BUDEM OBOZNA^ATX MNOVESTWO X S TAKIM PORQDKOM ^EREZ X¤.

pRI \TOM KAVDOMU UTWERVDENI@ W UPORQDO^ENNOM MNOVESTWE X SOOTWETSTWUET DWOJSTWENNOE (alias DUALXNOE) UTWERVDENIE W UPORQDO^ENNOM MNOVESTWE X¤, W KOTOROM KAVDOE WHOVDENIE ¸ ZAMENENO NA · I NAOBOROT. kROME TOGO, QSNO, ^TO (X¤)¤ = X. tAKIM OBRAZOM, ESLI KAKOE-TO UTWERVDENIE SPRAWEDLIWO DLQ WSEH UPORQDO^ENNYH MNOVESTW, TO SPRAWEDLIWO I UTWERVDENIE, KOTOROE POLU^ITSQ, ESLI WS@DU ZAMENITX W NEM ¸ NA · I NAOBOROT. |TOT PRINCIP, IZWESTNYJ KAK PRINCIP DWOJSTWENNOSTI, BYL WPERWYE QWNO SFORMULIROWAN {REDEROM W 1890-H GODAH. |TO ZNA^IT, ^TO WSE PONQTIQ I WSE TEOREMY TEORII UPORQDO^ENNYH MNOVESTW WOZNIKA@T PARAMI:

etc., etc., etc., I MY MOGLI BY WS@DU OGRANI^ITXSQ OBSUVDENIEM TOLXKO ODNOGO IZ PARY DWOJSTWENNYH PONQTIJ. rAZUMEETSQ, PRI \TOM NELXZQ ISKL@^ITX WOZMOVNOSTX TOGO, ^TO NEKOTORYE PONQTIQ SAMODWOJSTWENNY, T.E. NE MENQ@TSQ PRI ZAMENE W NIH WS@DU ¸ NA ·. bOLEE TOGO, WO MNOGIH WAVNYH PRIMERAH DWOJSTWENNOSTX REALIZUETSQ UVE NA ODNOM MNOVESTWE, TAK KAK O^ENX MNOGIE WSTRE^A@]IESQ W PRIRODE MNOVESTWA DWOJSTWENNY SAMIM SEBE. tAKOWY, NAPRIMER, MNOVESTWA Z, Q, R OTNOSITELXNO ESTESTWENNOGO PORQDKA, MNOVESTWO 2Z OTNOSITELXNO WKL@^ENIQ I T.D.

² pUSTX X — UPORQDO^ENNOE MNODVESTWO, A Y — PROIZWOLXNOE MNOVESTWO. mNOVESTWO XY WE]ESTWENNYH FUNKCIJ UPORQDO^ENO OTNO[E- NIEM f · g W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA f(x) · g(x) DLQ WSEH x 2 X.

pREDOSTEREVENIE. w SOOTWETSTWII S \TIM OPREDELENIEM f > g \K- WIWALENTNO DWUM SLEDU@]IM USLOWIQM:

±f(x) ¸ g(x) DLQ WSEH x 2 X;

±NAJDETSQ TAKAQ TO^KA x 2 X, ^TO f(x) > g(x).

iNYMI SLOWAMI, f > g OTN@DX NE OZNA^AET (KAK PRIHODITSQ INOGDA SLY[ATX!), ^TO f(x) > g(x) DLQ WSEH x 2 X.

² pUSTX Z — UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO. tOGDA EGO BULEAN 2Z MOVNO UPORQDO^ITX SLEDU@]IM OTNO[ENIEM X · Y W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA 8x 2 X, 8y 2 Y , x · y.

x 20. pREDPORQDOK

oPREDELENIE. pREDPORQDKOM NA MNOVESTWE X NAZYWAETSQ REF- LEKSIWNOE I TRANZITIWNOE, NO NE OBQZATELXNO ANTISIMMETRI^NOE, BINARNOE OTNO[ENIE R.

²w TO VE WREMQ NA MNOVESTWE Z DELIMOSTX NE QWLQETSQ PORQDKOM, TAK KAK ZDESX NE IMEET MESTA ANTISIMMETRI^NOSTX: ESLI DLQ DWUH CELYH ^ISEL m I n IMEEM mjn I njm, TO MOVNO UMOZAKL@^ITX LI[X, ^TO m = §n.

²pUSTX Z — PROIZWOLXNOE MNOVESTWO. wWEDEM NA MNOVESTWE PAR

2Z £ 2Z = f(X; Y ) j X; Y µ Zg;

OTNO[ENIE (X; Y ) b (U; V ), ESLI X [ Y µ U [ V .

² pUSTX Z — UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO. wWEDEM NA EGO BULEANE 2Z OTNO[ENIE ., POLAGAQ X . Y W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA 9y 2 Y ,

8x 2 X, x · y.

sLEDU@]AQ KONSTRUKCIQ O^ENX ^ASTO ISPOLXZUETSQ W MATEMATIKE, W OSOBENNOSTI, W WE]ESTWENNOM I FUNKCIONALXNOM ANALIZE, TEORII MERY, TOPOLOGII I T.D. nAPRIMER, MY UVE WIDELI, ^TO OTNO[ENIE DELIMOSTI ZADAET NA KOLXCE LI[X PREDPORQDOK. sLEDU@]AQ TEOREMA POKAZYWAET, ^TO DLQ TOGO, ^TOBY POLU^ITX NASTOQ]IJ PORQDOK, NUVNO PEREJTI K KLASSAM ASSOCIIROWANNYH \LEMENTOW.

tEOREMA. pUSTX X — MNOVESTWO, NA KOTOROM ZADAN PREDPORQDOK

.. tOGDA OTNO[ENIE »=. y [ x & PREDSTAWLQET SOBOJ OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI NA X. wWEDEM NA FAKTOR-MNOVESTWE X = X=» OTNO[ENIE ·, POLAGAQ x · y W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA x . y. |TO OTNO[ENIE OPREDELENO KORREKTNO I ZADAET PORQDOK NA

X.

dOKAZATELXSTWO.

dWA PORQDKA NA DIZ_@NKTNOM OB_EDINENII MNOVESTW

x 21. pORQDKI NA PRQMOM PROIZWEDENII

“tRI UPORQDO^ENIQ” OZNA^A@T: UPORQDO^ENIE ORGANIZACII, UPORQDO^ENIE W IDEOLOGI^ESKOM OTNO[ENII I UPORQDO^ENIE STILQ.

pREDSEDATELX mAO cZE-DUN, “dEMOKRATI^ESKOE DWIVENIE W ARMII” (30 QNWARQ 1948 GODA)

pUSTX TEPERX X I Y — DWA UPORQDO^ENNYH MNOVESTWA. iMEETSQ DWA O^EWIDNYH SPOSOBA WWESTI PORQDOK NA X £ Y , KOTORYE, ODNAKO, PRIWODQT K RAZLI^NYM REZULXTATAM.

²lEKSIKOGRAFI^ESKIJ PORQDOK. pOLOVIM (x1; y1) · (x2; y2)

() x1 · x2 _ (x1 = x2 & y1 · y2). pOLU^IW[IJSQ PORQDOK BUDET LINEEN, ESLI PORQDOK NA X I Y LINEJNY. nAPRIMER, (3; 4) < (4; 3). zAMETIM, ^TO W \TOM OPREDELENII MY NEQWNO ISPOLXZUEM OBY^NYJ PORQDOK NA MNOVESTWE INDEKSOW f1; 2g.

²pOKOMPONENTNYJ PORQDOK. pOLOVIM TEPERX (x1; y1) · (x2; y2)

() x1 · x2 & y1 · y2. pRI \TOM POLU^IW[IJSQ PORQDOK NE BUDET LINEJNYM DAVE ESLI PORQDKI NA X I Y LINEJNY. nAPRIMER, ESLI X = Y = Z S OBY^NYM PORQDKOM, TO TEPERX W OTLI^IE OT PREDYDU]EGO PRIMERA (3; 4) I (4; 3) NESRAWNIMY. mNOVESTWO X £ Y , SNABVENNOE TAKIM PORQDKOM, NAZYWAETSQ PRQMYM PROIZWEDENIEM ^UMOW X I Y .

aNTILEKSIKOGRAFI^ESKIJ PORQDOK.

|TI PRIMERY LEGKO OBOB]A@TSQ NA SLU^AJ L@BOGO KONE^NOGO ^ISLA SOMNOVITELEJ. nAPRIMER, W OPREDELENII OBY^NOGO LEKSIKOGRAFI^E- SKOGO PORQDKA, ISPOLXZUEMOGO PRI SOSTAWLENII SLOWAREJ, BUKWY, SOSTAWLQ@]IE SLOWO, NUMERU@TSQ NA^INAQ S PERWOJ W WOZRASTA@]EM PO-

RQDKE: 1 < 2 < 3 < : : : .

kOMMENTARIJ. pRI RASSMOTRENII NESKOLXKIH UPORQDO^ENNYH MNOVESTW O^ENX WAVNO ^ETKO PONIMATX, ^TO IMENNO MY DUALIZIRUEM. tAK, NAPRIMER, PORQDOK W TAK NAZYWAEMYH OBRATNYH SLOWARQH (ISPOLXZUEMYH, NAPRIMER, PO\TAMI I SOSTAWITELQMI KROSSWORDOW), W KOTORYH SLOWA RASPOLAGA@TSQ W PORQDKE WOZRASTANIQ IH POSLEDNIH BUKW, OTWE^AET OBY^NOMU PORQDKU ALFAWITA, NO INWERTIROWANNOMU, PO SRAWNENI@ S OPREDELENIEM ?), PORQDKU INDEKSOW, KOTORYE TEPERX RASPOLAGA@TSQ W PORQDKE UBYWANIQ: ¡1 > ¡2 > ¡3 > : : : . (ZDESX ¡1 OTWE^AET POSLEDNEJ BUKWE, ¡2

— PREDPOSLEDNEJ, I T.D.). pOLU^A@]IJSQ TAKIM OBRAZOM PORQDOK NA MNOVESTWE SLOW WOWSE NE QWLQETSQ DWOJSTWENNYM K OBY^NOMU LEKSIKOGRAFI^ESKOMU PORQDKU.

x 22. iNTERWALY

rASSMOTRIM DWA \LEMENTA x; y 2 X, x · y, UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA X. s NIMI MOVNO SWQZATX SLEDU@]IE PODMNOVESTWA X, KOTORYE W KOMBINATORIKE PRINQTO NAZYWATX INTERWALAMI:

² ZAMKNUTYJ INTERWAL:

[x; y] = fz 2 X j x · z · yg;

² OTKRYTYJ SPRAWA INTERWAL:

[x; y) = fz 2 X j x · z < yg;

² OTKRYTYJ SLEWA INTERWAL:

(x; y] = fz 2 X j x < z · yg;

² OTKRYTYJ INTERWAL:

(x; y) = fz 2 X j x < z < yg:

pREDOSTEREVENIE. |TA TERMINOLOGIQ NAHODITSQ W KONFLIKTE S TRADICIQMI, PRINQTYMI W PREPODAWANII MATEMATI^ESKOGO ANALIZA. tO, ^TO MY NAZYWAEM INTERWALAMI, W ANALIZE PRINQTO NAZYWATX PROMEVUTKAMI, A INTERWALAMI TAM NAZYWA@T TOLXKO OTKRYTYE INTERWALY. s DRUGOJ STORONY, ZAMKNUTYM INTERWALAM TAM OBY^NO DA@T SPECIALXNOE NAZWANIE, ^A]E WSEGO OTREZOK ILI SEGMENT. tO^NOE SOOTWETSTWIE OPISYWAETSQ SLEDU@]EJ TABLICEJ:

zADA^A. eSLI z 2 [x; y] ILI z 2 [y; x], TO GOWORQT, ^TO \LEMENT z LEVIT MEVDU x I y. eSLI z 2 (x; y) ILI z 2 (y; x), TO GOWORQT, ^TO \LEMENT z LEVIT STROGO MEVDU x I y I PI[UT G (x; z; y). dOKAVITE, ^TO

²G (x; z; y) =) G (y; z; x);

²G (x; z; y)

lINEJNO UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO X NAZYWAETSQ PLOTNYM, ESLI MEVDU L@BYMI DWUMQ EGO RAZLI^NYMI SRAWNIMYMI \LEMENTAMI MOVNO WSTAWITX E]E ODIN: DLQ L@BYH x; y 2 X, x < y, SU]ESTWUET z 2 X, TAKOE, ^TO x < z < y.

uPRAVNENIE. pUSTX < — OTNO[ENIE STROGOGO PORQDKA NA MNOVESTWE X. uBEDITESX, ^TO X W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE PLOTNOE, KOGDA <

¢ <µ<.

uPRAVNENIE. eSLI X — PLOTNOE LINEJNO UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO, TO DLQ L@BYH x; y 2 X, x < y SU]ESTWUET BESKONE^NO MNOGO TAKIH z 2 X, ^TO x < z < y.

uPRAVNENIE. lINEJNO UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO X W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE PLOTNO, KOGDA NI U ODNOGO EGO \LEMENTA NET NEPOSREDSTWENNO PRED[ESTWU@]EGO (ILI NEPOSREDSTWENNO SLEDU@]EGO).

x 23. sE^ENIQ, SKA^KI I ]ELI

pREDSTAWLENIE LINEJNO UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA X W WIDE DIZ_- @NKTNOGO OB_EDINENIQ X = X¡ tX+ NAZYWAETSQ SE^ENIEM, ESLI DLQ L@BYH x 2 X¡ I y 2 X+ WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO x < y. w \TOM SLU- ^AE X¡ NAZYWAETSQ NIVNIM KLASSOM SE^ENIQ, A X+ — EGO WERHNIM KLASSOM.

eSLI

x 24. nEPOSREDSTWENNO SLEDU@]IE I NEPOSREDSTWENNO PRED[ESTWU@]IE

pOPROBUEM ZADATX PORQDOK ‘·’ NAIBOLEE \KONOMI^NYM OBRAZOM. tAK KAK AWTOMATI^ESKI x · x, MY MOVEM W DALXNEJ[EM OBSUVDATX TOLXKO STROGOE NERAWENSTWO ‘<’. gOWORQT, ^TO y LEVIT STROGO MEVDU x I z,

ESLI x < y < z. w SILU TRANZITIWNOSTI NERAWENSTWO x < z BUDET TOGDA WYTEKATX IZ NERAWENSTW x < y I y < z. |TO MOTIWIRUET SLEDU@]EE OPREDELENIE.

oPREDELENIE. gOWORQT, ^TO y NEPOSREDSTWENNO SLEDUET ZA x ,

ESLI y > x I NE SU]ESTWUET \LEMENTOW, LEVA]IH STROGO MEVDU x I y.

iNYMI SLOWAMI, \TO ZNA^IT, ^TO y > x I 8z, y > z > x =) z = y _ z = x. w \TOM SLU^AE GOWORQT TAKVE, ^TO y POKRYWAET x, ILI DWOJSTWENNYM OBRAZOM, ^TO x NEPOSREDSTWENNO PRED[ESTWUET y ILI ^TO x POKRYWAETSQ y.

w OB]EM SLU^AE \LEMENTY NEPOSREDSTWENNO SLEDU@]IE ZA KAKIMLIBO \LEMENTOM NE OBQZANY SU]ESTWOWATX. nAPRIMER, DLQ OBY^NOGO PORQDKA NA Q NI DLQ ODNOGO RACIONALXNOGO ^ISLA NE SU]ESTWUET NI NEPOSREDSTWENNO SLEDU@]EGO NI NEPOSREDSTWENNO PRED[ESTWU@]E- GO (PUSTX x < y, TOGDA (x + y)=2 LEVIT STROGO MEVDU y I x).

x 25. dIAGRAMMA hASSE

rAZUMEETSQ, IDEQ POSTROENIQ DIAGRAMMY hASSE W TE^ENIE STOLETIJ ISPOLXZOWALASX PRI POSTROENII GINEKOLOGI^ESKIH DEREWXEW

(genealogical tree, family tree).

dIAGRAMMA UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA.

kAK MY WIDELI W PREDYDU]EM PARAGRAFE, W OB]EM SLU^AE NE OBQZANY SU]ESTWOWATX NI \LEMENTY NEPOSREDSTWENNO SLEDU@]IE ZA KAKIMLIBO \LEMENTOM, NI \LEMENTY NEPOSREDSTWENNO EMU PRED[ESTWU@]IE. bOLEE TOGO, DAVE ESLI TAKIE \LEMENTY SU]ESTWU@T, OTNO[ENIE PORQDKA NE OBQZANO BYTX TRANZITIWNYM ZAMYKANIEM OTNO[ENIQ NEPOSREDSTWENNOGO SLEDOWANIQ. w TO VE WREMQ DLQ MNOGIH WAVNYH SLU^AEW OTNO[ENIE ‘<’ BUDET CELIKOM OPREDELQTXSQ OTNO[ENIEM NEPOSREDSTWENNOGO SLEDOWANIQ. |TO TAK, NAPRIMER, DLQ KONE^NYH MNOVESTW.

dIAGRAMMA (ILI, TO^NEE, DIAGRAMMA hASSE) KONE^NOGO UPORQDO- ^ENNOGO MNOVESTWA X IZOBRAVAETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM. eE WER[INY OTWE^A@T \LEMENTAM MNOVESTWA X. dWE WER[INY x I y SOEDINQ@TSQ STRELKOJ, NAPRAWLENNOJ OT x K y, ESLI y POKRYWAET x. ~ASTO STRELKA NE STAWITSQ, A MEVDU x I y RISUETSQ REBRO, NO y RASPOLAGAETSQ WY[E x. pRIWEDEM W KA^ESTWE PRIMERA DIAGRAMMU hASSE MNOVESTWA 2fx;y;zg:

x 26. mAVORIROWANIE I MINORIROWANIE

w NASTOQ]EM PARAGRAFE MY OBSUDIM KL@^EWYE PONQTIQ TEORII MNOVESTW, SWQZANNYE S MAVORIROWANIEM. |TI PONQTIQ RAZBIWA@TSQ NA

PARY DWOJSTWENNYH PONQTIJ I IH T]ATELXNOE RAZLI^ENIE QWLQETSQ WAVNYM \LEMENTOM OB]EJ MATEMATI^ESKOJ KULXTURY:

²MAVORANTA (WERHNQQ GRANX) I MINORANTA (NIVNQQ GRANX);

²MAKSIMALXNYJ I MINIMALXNYJ \LEMENT;

²NAIBOLX[IJ I NAIMENX[IJ \LEMENT;

²SUPREMUM (TO^NAQ WERHNQQ GRANX) I INFIMUM (TO^NAQ NIVNQQ GRANX).

sEJ^AS MY OPREDELIM I OBSUDIM WSE \TI PONQTIQ.

mAVORANTY I MINORANTY.

majorant, upper bound, obere Schranke minorant, lower bound, untere Schranke

oPREDELENIE. pUSTX X — UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO I Y µ X. gOWORQT, ^TO x 2 X MAVORIRUET Y — ILI ^TO x QWLQETSQ MAVO-

RANTOJ ILI WERHNEJ GRANX@ Y , — ESLI 8y 2 Y , x ¸ y. mNOVESTWO WSEH MAVORANT PODMNOVESTWA Y µ X NAZYWAETSQ WERHNIM KONUSOM MNOVESTWA Y I OBOZNA^AETSQ Y M.

OPREDELQETSQ DWOJSTWENNYM OBRAZOM.

oPREDELENIE. pUSTX X — UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO I Y µ X. gOWORQT, ^TO x 2 X MINORIRUET Y — ILI ^TO x QWLQETSQ MINO-

RANTOJ ILI NIVNEJ GRANX@ Y , — ESLI 8y 2 Y , x · y. mNOVESTWO WSEH MINORANT PODMNOVESTWA Y µ X NAZYWAETSQ NIVNIM KONUSOM MNOVESTWA Y I OBOZNA^AETSQ Y O.

zADA^A. dOKAVITE SLEDU@]IE SWOJSTWA WERHNIH/NIVNIH GRANEJ:

²eSLI Y µ Z, TO Y M ¶ ZM I Y O ¶ ZO;

²Y µ Y MO I Y µ Y OM;

²(Y [ Z)M = Y M \ ZM I (Y [ Z)O = Y O \ ZO;

²(Y \ Z)M ¶ Y M [ ZM I (Y \ Z)O ¶ Y O [ ZO;

²Y MOM = Y M I Y OMO = Y O;

²dLQ PODMNOVESTWA Y µ X, WOOB]E GOWORQ, NE OBQZANY SU]ESTWOWATX WERHNIE ILI NIVNIE GRANI. sLEDU@]EE PONQTIE ^REZWY^AJNO [IROKO ISPOLXZUETSQ W ANALIZE. pODMNOVESTWO Y µ X NAZYWAETSQ OGRANI^ENNYM SWERHU, ESLI U NEGO SU]ESTWUET WERHNQQ GRANX, OGRANI^ENNYM SNIZU, ESLI U NEGO SU]ESTWUET NIVNQQ GRANX I OGRANI^ENNYM, ESLI U NEGO SU]ESTWU@T KAK WERHNQQ, TAK I NIVNQQ GRANX. sKAVEM, OTNOSITELXNO OBY^NOGO PORQDKA NA R PODMNOVESTWO [a; b], GDE

a; b 2 R OGRANI^ENO, PODMNOVESTWO (¡1; b] OGRANI^ENO SWERHU, PODMNOVESTWO [a; 1) OGRANI^ENO SNIZU, NO SAMO R NE OGRANI^ENO NI SWERHU, NI SNIZU.

w ALGEBRE I TOPOLOGII GORAZDO ^A]E ISPOLXZUETSQ BOLEE SLABAQ WERSIQ OGRANI^ENNOSTI, KOGDA TREBUETSQ SU]ESTWOWANIE WERHNIH/NIVNIH GRANEJ NE DLQ SAMOGO MNOVESTWA Y , A DLQ WSEH EGO KONE^NYH PODMNOVESTW. l@BOE ODNO\LEMENTNOE PODMNOVESTWO, O^EWIDNO, OGRANI^ENO. oDNAKO DLQ DWUH\LEMENTNYH PODMNOVESTW \TO UVE, WOOB]E GOWORQ, NEWERNO. oDNAKO ESLI DWU\LEMENTYE MNOVESTWA, TO PO INDUKCII OGRANI^ENY WSE KONE^NYE PODMNOVESTWA.

² pODMNOVESTWO Y NAZYWAETSQ FILXTRU@]IMSQ WPRAWO, ESLI DLQ L@BYH EGO DWUH \LEMENTOW x; y 2 Y SU]ESTWUET WERHNQQ GRANX. pODMNOVESTWO Y NAZYWAETSQ FILXTRU@]IMSQ WLEWO, ESLI DLQ L@- BYH EGO DWUH \LEMENTOW x; y 2 Y SU]ESTWUET NIVNQQ GRANX.

x 27. nAIBOLX[IE I NAIMENX[IE \LEMENTY

nAIBOLX[IE I NAIMENX[IE \LEMENTY.

largest element, grÄo¼tes Element, le plus grand el¶ement smallsest element, kleinstes Element, le plus petit el¶ement

oPREDELENIE. |LEMENT x NAZYWAETSQ NAIBOLX[IM \LEMENTOM UPO- RQDO^ENNOGO MNOVESTWA X, ESLI x — WERHNQQ GRANX SAMOGO X, T.E., INYMI SLOWAMI, x ¸ y DLQ L@BOGO y 2 X.

oPREDELENIE. |LEMENT x NAZYWAETSQ NAIMENX[IM \LEMENTOM UPO- RQDO^ENNOGO MNOVESTWA X, ESLI x — NIVNQQ GRANX SAMOGO X, T.E., INYMI SLOWAMI, x · y DLQ L@BOGO y 2 X.

nAIBOLX[IJ/NAIMENX[IJ \LEMENT SOWER[ENNO NE OBQZAN SU]ESTWOWATX, NO ESLI ON SU]ESTWUET, TO W SILU ANTISIMMETRI^NOSTI ON EDINSTWENEN. w OB]EJ TEORII UPORQDO^ENNYH MNOVESTW NAIBOLX[IJ \LEMENT OBY^NO NAZYWAETSQ EDINICEJ I OBOZNA^AETSQ 1. nAIMENX[IJ \LEMENT ^ASTO NAZYWAETSQ NULEM I OBOZNA^AETSQ 0.

²nAIBOLX[IJ/NAIMENX[IJ \LEMENT QWLQETSQ WERHNEJ/NIVNEJ GRANX@ MNOVESTWA X. iNYMI SLOWAMI, \LEMENT x 2 X W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE QWLQETSQ NAIBOLX[IM \LEMENTOM MNOVESTWA X, KOGDA XM = fxg. aNALOGI^NO, \LEMENT x 2 X W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE QWLQETSQ NAIMENX[IM \LEMENTOM MNOVESTWA X, KOGDA XO = fxg.

²nAIMENX[IJ \LEMENT LINEJNO UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA X, ESLI ON SU]ESTWUET, ^ASTO NAZYWAETSQ EGO PERWYM \LEMENTOM (first