vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

²pUSTOE MNOVESTWO ?, QWLQ@]EESQ INICIALXNYM alias UNIWERSALXNYM OTTALKIWA@]IM OB_EKTOM, T.E. DLQ KAVDOGO MNOVESTWA X SU]ESTWUET EDINSTWENNOE OTOBRAVENIE ? ¡! X;

²oDNO\LEMENTNOE MNOVESTWO f?g, QWLQ@]EESQ FINALXNYM alias

UNIWERSALXNYM PRITQGIWA@]IM OB_EKTOM, T.E. DLQ KAVDOGO MNO-

VESTWA X SU]ESTWUET EDINSTWENNOE OTOBRAVENIE X ¡! f?g;

²dWUH\LEMENTNOE MNOVESTWO f?; f?gg, KOTOROE QWLQETSQ KLASSIFIKATOROM PODOB_EKTOW, T.E. OBLADAET TEM SWOJSTWOM, ^TO PODMNOVESTWA MNOVESTWA X OTWE^A@T OTOBRAVENIQM X ¡! f?; f?gg, SM. OB \TOM x 10.

2.pERWYE PRIMERY OTOBRAVENIJ. wOT NESKOLXKO O^EWIDNYH, NO OT \TOGO NE MENEE WAVNYH PRIMEROW OTOBRAVENIJ.

²pOSTOQNNOE OTOBRAVENIE. pUSTX X I Y — L@BYE MNOVESTWA,

A c 2 Y — PROIZWOLXNYJ, NO FIKSIROWANNYJ \LEMENT MNOVESTWA Y . oTOBRAVENIE f : X ¡! Y , PEREWOVQ]EE WSE \LEMENTY MNOVESTWA X W \LEMENT c NAZYWAETSQ POSTOQNNYM OTOBRAVENIEM, KOTOROE BUDET W

DALXNEJ[EM OBOZNA^ATXSQ ^EREZ coc. nAPRIMER, ESLI Y = R — KOMMUTATIWNOE KOLXCO, TO POSTOQNNOE OTOBRAVENIE co0 NAZYWAETSQ OBY^NO

NULEWYM OTOBRAVENIEM ILI NULEWOJ FUNKCIEJ. eSLI NET OPAS-

NOSTI DWUSMYSLENNOSTI, WMESTO co0 OBY^NO PI[UT PROSTO 0.

²tOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE. pUSTX X — L@BOE MNOVESTWO.

tOGDA OPREDELENO OTOBRAVENIE id = idX : X ¡! X TAKOE, ^TO x 7!x DLQ WSEH x 2 X, NAZYWAEMOE TOVDESTWENNYM OTOBRAVENIEM X NA SE-

BQ. oBOZNA^ENIE idX QWLQETSQ SOKRA]ENIEM OT ANGLIJSKOGO identical. nEKOTORYE AWTORY OBOZNA^A@T idX ^EREZ 1X I NAZYWA@T EGO EDINI^- NYM OTOBRAVENIEM X NA SEBQ. w SLEDU@]EM PARAGRAFE MY POKAVEM, KAK POSTROITX GROMADNYE KLASSY OTOBRAVENIJ IZ \TIH DWUH BAZISNYH TIPOW.

²wLOVENIE. pUSTX TEPERX X µ Y — L@BAQ PARA MNOVESTW. tOGDA OPREDELENO OTOBRAVENIE ,!: X ¡! Y TAKOE, ^TO x 7!x DLQ WSEH x 2 X, NAZYWAEMOE WLOVENIEM X W Y . oBOZNA^ENIE ,! QWLQETSQ SOKRA]ENIEM OT ANGLIJSKOGO inclusion. wLOVENIE OBY^NO OBOZNA-

^AETSQ SPECIALXNOJ STRELKOJ f : X ,! Y , KOTORAQ TEXNI^ESKI NAZYWAETSQ nhookrightarrow. zAMETIM, ^TO HOTQ GRAFIK OTOBRAVENIQ

,!: X ¡! Y SOWPADAET S GRAFIKOM OTOBRAVENIQ idX, \TI OTOBRAVENIQ RAZLI^NY (NAPRIMER, PERWOE IZ NIH NE S@R_EKTIWNO, ESLI X 6= Y , W TO WREMQ KAK WTOROE S@R_EKTIWNO).

²dIAGONALXNOE OTOBRAVENIE. tOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE QWLQETSQ ^ASTNYM SLU^AEM SLEDU@]EGO O^ENX WAVNOGO OTOBRAVENIQ. a

IMENNO, PUSTX Y = Xn ESTX n-Q DEKARTOWA STEPENX MNOVESTWA X. oPREDELIM OTOBRAVENIE : X 7!Xn POSREDSTWOM Δ(x) = (x; : : : ; x). |TO OTOBRAVENIE NAZYWAETSQ DIAGONALXNYM OTOBRAVENIEM.

² nAIMENX[IJ \LEMENT. pUSTX X NEKOTOROE UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO, A Y µ X — KAKOE-TO EGO PODMNOVESTWO. oBOZNA^IM ^EREZ inf(Y ) NAIMENX[IJ \LEMENT MNOVESTWA Y , ESLI ON SU]ESTWUET. sOGLASNO OPREDELENI@ NAIMENX[EGO \LEMENTA, ESLI TAKOJ \LEMENT W MNOVESTWE Y SU]ESTWUET, TO ON EDINSTWENEN, TAK ^TO SOPOSTAWLENIE Y 7! inf(Y ) ZADAET OTOBRAVENIE IZ MNOVESTWA TEH Y 2 2X, DLQ KOTORYH NAIMENX[IJ \LEMENT SU]ESTWUET, W MNOVESTWO X. oDNAKO, PRIMER Y = ? POKAZYWAET, ^TO NAIMENX[IJ \LEMENT NE OBQZAN SU]ESTWOWATX. oDNA IZ FORMULIROWOK AKSIOMY INDUKCII SOSTOIT W TOM, ^TO DLQ L@BOGO NEPUSTOGO PODMNOVESTWA Y µ N NAIMENX[IJ \LEMENT SU]ESTWUET. tAKIM OBRAZOM, MATEMATI^ESKAQ INDUKCIQ OSNOWANA NA TOM, ^TO SOPOSTAWLENIE Y 7!inf(Y ) ZADAET OTOBRAVENIE inf : 2N n f?g ¡! N.

x 7. nEKOTORYE KLASSI^ESKIE FUNKCII

w \TOM PARAGRAFE MY UPOMINAEM NESKOLXKO KLASSI^ESKIH PRIMEROW FUNKCIJ, KOTORYE RASSMATRIWA@TSQ (ILI MOGLI BY RASSMATRIWATXSQ) W [KOLXNOM KURSE MATEMATIKI, NO NE QWLQ@TSQ “\LEMENTARNYMI”.

²aBSOL@TNAQ WELI^INA. rASSMOTRIM FUNKCI@ j j : R ¡! R+, x 7!xjj, SOPOSTAWLQ@]U@ WE]ESTWENNOMU ^ISLU x EGO ABSOL@TNU@

² zNAK. oPREDELIM FUNKCI@ sign : R ¡! f0; +1; ¡1g, POLAGAQ

zNAK I ABSOL@TNAQ WELI^INA QWLQ@TSQ PRIMERAMI FUNKCIJ, POLU^ENNYH SKLEJKOJ, SM. x 31.

² pOL I POTOLOK. fUNKCIQ CELAQ ^ASTX Ent : R ¡! Z, x 7!

Ent(x), SOPOSTAWLQET KAVDOMU WE]ESTWENNOMU ^ISLU x NAIBOLX[EE CELOE, NE PREWOSHODQ]EE x. tRADICIONNO \TA FUNKCIQ NAZYWAETSQ ANTXE (OT FRANCUZSKOGO entier) I OBOZNA^AETSQ E]E x 7![x], A W POSLEDNEE WREMQ ONA WSE ^A]E NAZYWAETSQ POL (OT ANGLIJSKOGO floor) I OBOZNA^A- ETSQ x 7!xbc. oDNAKO NAM BUDET UDOBNO RAZLI^ATX POL I CELU@ ^ASTX.

a IMENNO, MY RASSMATRIWAEM POL KAK FUNKCI@ b c : R ¡! R. pO ANALOGII S NEJ OPREDELQETSQ FUNKCIQ POTOLOK d e : R ¡! R, x 7!xde, SOPOSTAWLQ@]AQ KAVDOMU WE]ESTWENNOMU ^ISLU x NAIMENX[EE CELOE, NE MENX[EE x. qSNO, ^TO dxe = ¡b¡xc.

²dROBNAQ ^ASTX. fUNKCIQ Frac : R ¡! [0; 1[, x 7!Frac(x), SO-

POSTAWLQET WE]ESTWENNOMU ^ISLU x RAZNOSTX x ¡ bxc. tRADICIONNO Frac(x) OBOZNA^AETSQ ^EREZ fxg, NO \TO PRIWODIT K TAKIM ^UDOWI]NYM KONFLIKTAM OBOZNA^ENIJ, ^TO MY PREDPO^ITAEM POLNOSTX@ OTKAZATXSQ OT \TOGO OBOZNA^ENIQ. nU W SAMOM DELE, NE PISATX VE f0g = 0.

²fUNKCIQ dIRIHLE. fUNKCIQ Dir : R ¡! f0; 1g, x 7!Dir(x),

OPREDELQETSQ FORMULOJ

Dir(x) =

½ 1; ESLI x RACIONALXNO; 0; ESLI x IRRACIONALXNO:

iNYMI SLOWAMI, FUNKCIQ dIRIHLE — \TO HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ PODMNOVESTWA RACIONALXNYH ^ISEL W MNOVESTWE WE]ESTWENNYH ^I- SEL.

² fUNKCIQ rIMANA. fUNKCIQ R : R ¡! R, x 7!R(x), OPREDELQETSQ FORMULOJ R(x) = 1=n, ESLI x = m=n PREDSTAWLENIE RACIONALXNOGO ^ISLA x W WIDE NESOKRATIMOJ DROBI, I R(x) = 0, ESLI x IRRACIONALXNO.

zADA^A PO ANALIZU. dOKAZATX, ^TO R NEPRERYWNA WO WSEH IRRACIONALXNYH TO^KAH I RAZRYWNA WO WSEH RACIONALXNYH TO^KAH.

rE[ENIE. w KAVDOM INTERWALE (a; b), a < b, SODERVITSQ BESKONE^NOE ^ISLO IRRACIONALXNYH TO^EK, NO LI[X KONE^NOE ^ISLO RACIONALXNYH TO^EK WIDA m=n, GDE n NE PREWOSHODIT NAPERED ZADANNOE ^ISLO N.

² fUNKCIQ hEWISAJDA. fUNKCIQ H : R ¡! f0; 1g, x 7!H(x),

OPREDELQETSQ FORMULOJ

x 8. nEKOTORYE ARIFMETI^ESKIE FUNKCII

aRIFMETI^ESKIMI FUNKCIQMI NAZYWA@TSQ FUNKCII, OPREDELENNYE NA N ILI N0, OBY^NO S KOMPLEKSNYMI ZNA^ENIQMI. wPRO^EM, NIVE MY RASSMATRIWAEM TOLXKO ARIFMETI^ESKIE FUNKCII, PRINIMA@]IE CELYE ILI NATURALXNYE ZNA^ENIQ. iSPOLXZUEMYE NAMI OBOZNA^ENIQ ARIFMETI^ESKIH FUNKCIJ TRADICIONNY, NAPRIMER, OBOZNA^ENIE Á(n) DLQ FUNKCII |JLERA WOSHODIT E]E K gAUSSU.

1.oSNOWNAQ TEOREMA ARIFMETIKI. pROWERKA KORREKTNOSTI MNO-

GIH PRIWODIMYH NIVE OPREDELENIJ ZAWISIT OT SLEDU@]EGO UTWERVDE-

NIQ, TRADICIONNO NAZYWAEMOGO OSNOWNOJ TEOREMOJ ARIFMETIKI,

KOTOROE BUDET DOKAZANO W kNIGE III. kAVDOE NATURALXNOE ^ISLO n 2 N MOVET BYTX EDINSTWENNYM S TO^NOSTX@ DO PORQDKA OBRAZOM RAZLOVE-

NO W PROIZWEDENIE PROSTYH MNOVITELEJ: n = p1 : : : pr, GDE pi 2 Prim. iNYMI SLOWAMI, ESLI n = q1 : : : qs, GDE qi 2 Prim, TO r = s I, BYTX MOVET POSLE PERESTANOWKI SOMNOVITELEJ, qi = pi. oBY^NO RAZ-

LOVENIE NA PROSTOE ZAPISYWAETSQ KAK KANONI^ESKOE RAZLOVENIE

n = pm1 1 : : : pms t , GDE PROSTYE p1; : : : ; pt POPARNO RAZLI^NY I RASPOLOVENY W PORQDKE WOZRASTANIQ, p1 < : : : < pt. mNOGIE IZ PRIWODIMYH NIVE FUNKCIJ OPREDELQ@TSQ W TERMINAH WHODQ]IH W KANONI^ESKOE RAZLOVENIE PROSTYH I IH STEPENEJ. kORREKTNOSTX OPREDELENIQ \TIH FUNKCIJ WYTEKAET IZ EDINSTWENNOSTI KANONI^ESKOGO RAZLOVENIQ.

2.aRIFMETI^ESKIE FUNKCII. wOT NESKOLXKO KLASSI^ESKIH PRIMEROW.

²fAKTORIAL. rASSMOTRIM OTOBRAVENIE ! : N0 ¡! N, n 7!n!, KOTOROE OPREDELQETSQ REKURSIWNO POSREDSTWOM 0! = 1, n! = (n ¡ 1)!n.

²fUNKCIQ |JLERA. fUNKCIQ ' : N ¡! N, n 7!Á(n), OBOZNA^A- ET KOLI^ESTWO \LEMENTOW IZ n, WZAIMNO PROSTYH S n. w gLAWE 5 MY POLU^IM FORMULU DLQ '(n) W TERMINAH KANONI^ESKOGO RAZLOVENIQ. w STARINNYH U^EBNIKAH FUNKCIQ Á(n) IMENOWALASX TOTIENTOJ.

²fUNKCIQ mEBIUSA. fUNKCIQ ¹ : N ¡! Z, n 7!¹(n), OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM. ¹(n) = 0, ESLI n DELITSQ NA KWADRAT PROTSOGO ^ISLA p I ¹(n) = (¡1)t, GDE t — ^ISLO RAZLI^NYH PROSTYH DELITELEJ ^ISLA n (W ^ASTNOSTI, TAK KAK ^ISLO RAZLI^NYH PROSTYH DELITELEJ 1

RAWNO 0, TO ¹(1) = 0).

²~ISLO DELITELEJ. fUNKCIQ d : N ¡! N, n 7!d(n), SOPOSTAWLQET NATURALXNOMU n ^ISLO RAZLI^NYH NATURALXNYH DELITELEJ ^ISLA n.

²~ISLO PROSTYH DELITELEJ. fUNKCIQ ! : N ¡! N, n 7!!(n),

SOPOSTAWLQET NATURALXNOMU n ^ISLO RAZLI^NYH PROSTYH DELITELEJ ^ISLA n, A FUNKCIQ Ω : N ¡! N, n 7!Ω(n), — ^ISLO WSEH PROSTYH DELITELEJ ^ISLA n (T.E. KOLI^ESTWO MNOVITELEJ W RAZLOVENII n W PROIZWEDENIE PROSTYH). w OBOZNA^ENIQH PUNKTA 2 IMEEM !(n) = t,

aΩ(n) = s = m1 + : : : + mt.

²sUMMA DELITELEJ. fUNKCIQ ¾ : N ¡! N, n 7!¾(n), SOPOSTAWLQET NATURALXNOMU n SUMMU WSEH EGO RAZLI^NYH NATURALXNYH DELITELEJ ^ISLA n.

² fUNKCIQ lIUWILLQ. fUNKCIQ ¸ : N ¡! N, n 7!¸(n), ZADAETSQ

POSREDSTWOM

¸(n) = (¡1)Ω(n) = (¡1)m1+:::+mt :

² fUNKCIQ hARMSA. oPREDELIM FUNKCI@ h : N ¡! N, POLAGAQ

|TA FUNKCIQ HORO[O IZWESTNA SPECIALISTAM PO TEORII ALGORITMOW KAK PRIMER aKKERMANA122;123. oNA ZAME^ATELXNA TEM, ^TO QWLQETSQ OB]EREKURSIWNOJ, NO PRI \TOM RASTET BYSTREE, ^EM L@BAQ PRIMITIWNO REKURSIWNAQ FUNKCIJ.

² pODRQD IDU]IE CIFRY ^ISLA ¼. oPREDELIM FUNKCI@ f :

N ¡! f0; 1g SLEDU@]IM OBRAZOM. pOLOVIM f(n) = 1 ESLI W DESQTI^NOM RAZLOVENII ^ISLA ¼ ESTX ROWNO n IDU]IH PODRQD CIFR 7 I f(n) = 0 W PROTIWNOM SLU^AE. pODAWLQ@]EE BOLX[INSTWO MATEMATIKOW SOGLASITSQ S TEM, ^TO PRIWEDENNAQ WY[E FRAZA POLNOSTX@ OPISYWAET PRAWILO OPREDELQ@]EE NEKOTORU@ FUNKCI@ NA N. tEM NE MENEE, W NASTOQ]EE WREMQ NE IZWESTNO NIKAKOGO ALGORITMA DLQ WY^ISLENIQ ZNA^ENIQ FUNKCII f W DANNOJ TO^KE n.

x 9. gEOMETRI^ESKIE PREOBRAZOWANIQ

w DEJSTWITELXNOSTI, KROME ^ISLOWYH FUNKCIJ W [KOLXNOM KURSE RASSMATRIWAETSQ SOWSEM DRUGOJ TIP OTOBRAVENIJ, W KOTOROM DINAMI- ^ESKIJ ASPEKT WYRAVEN GORAZDO OT^ETLIWEE, ^EM W ^ISLOWYH FUNKCIQH

— GEOMETRI^ESKIE PREOBRAZOWANIQ. rASSMOTRIM, NAPRIMER, WOZ-

NIKA@]IE W [KOLXNOM KURSE GEOMETRII PREOBRAZOWANIQ \WKLIDOWOJ PLOSKOSTI R2. mY OTOVDESTWLQEM TO^KU PLOSKOSTI S PAROJ (a; b) EE KO-

ORDINAT, PRI \TOM \WKLIDOWO RASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI x = (a; b) p

I y = (c; d) OPREDELQETSQ KAK d(x; y) = (a ¡ c)2 + (b ¡ d)2.

1. |WKLIDOWY DWIVENIQ. w \LEMENTARNOJ GEOMETRII ^A]E WSEGO ISPOLXZU@TSQ IZOMETRII, T.E. PREOBRAZOWANIQ, SOHRANQ@]IE RASSTOQNIQ. iZOMETRII \WKLIDOWYH PROSTRANSTW NAZYWA@TSQ \WKLIDOWYMI DWIVENIQMI. iNYMI SLOWAMI, \WKLIDOWO DWIVENIE f : R2 ¡! R2 HARAKTERIZUETSQ TEM SWOJSTWOM, ^TO DLQ L@BYH DWUH TO^EK

d(f(x); f(y)) = d(x; y):

122W.Ackermann, Zum Hilbertschen Aufbau der reelen Zahlen. – Math. Ann., 1928, Bd.99, S.118–133.

123a.i.mALXCEW, aLGORITMY I REKURSIWNYE FUNKCII. — nAUKA, m., 1965, S.1– 391; RAZDEL 5.3 NA STR.112–114.

x 10. tABLI^NOE ZADANIE OTOBRAVENIJ

w SLU^AE, KOGDA OBLASTX OTOBRAVENIQ f KONE^NA, DLQ NEGO ^ASTO ISPOLXZUETSQ TABLI^NAQ ZAPISX.

1. tABLICA ZNA^ENIJ FUNKCII. w \LEMENTARNOJ MATEMATIKE POD “TABLI^NYM ZADANIEM” FUNKCII OBY^NO IME@T W WIDU TABLICU ZNA- ^ENIJ \TOJ FUNKCII, T.E. KARTINKU WIDA

pRI \TOM NE PODRAZUMEWAETSQ, ^TO xi W WERHNEJ STRO^KE PROBEGA@T WSE \LEMENTY OBLASTI PREDELENIQ D(f). qSNO, ^TO NA SAMOM DELE PODOBNAQ TABLICA ZADAET NE SAMU FUNKCI@ f, A LI[X EE OGRANI^ENIE NA fx1; : : : ; xng.

2. tABLI^NOE ZADANIE FUNKCII. w SLU^AE VE, KOGDA X KONE^-

NO, FUNKCIQ DEJSTWITELXNO MOVET BYTX POLNOSTX@ ZADANA PERE^ISLENIEM WSEH EE ZNA^ENIJ. pRI \TOM OTOBRAVENIE ZAPISYWAETSQ W WIDE DWUSTRO^NOJ MATRICY, W WERHNEJ STRO^KE KOTOROJ PERE^ISLQ@TSQ WSE \LEMENTY OBLASTI OTOBRAVENIQ f, W KAKOM-TO PORQDKE, A POD NIMI W NIVNEJ STRO^KE — SOOTWETSTWU@]IE ZNA^ENIQ OTOBRAVENIQ f, PRI \TOM ZAPQTYE MEVDU \LEMENTAMI OBY^NO NE STAWQTSQ. nAPRIMER, ESLI OBLASTX OTOBRAVENIQ f RAWNA X = fx1; : : : ; xng, TO ONO ZAPI[ETSQ TAK:

qSNO, ^TO OTOBRAVENIE NE ZAWISIT OT PORQDKA \LEMENTOW WERHNEJ STROKI, A TOLXKO OT TOGO, KAKIE \LEMENTY STOQT W NIVNEJ STROKE POD SOOTWETSTWU@]IMI \LEMENTAMI WERHNEJ STROKI.

3. pRIMERY TABLI^NOGO ZADANIQ. tABLI^NOE ZADANIE FUNKCIJ OKRUVAET NAS POWS@DU. pRAKTI^ESKI L@BOJ SPISOK, S KOTORYM NAM PRIHODITSQ WSTRE^ATXSQ, PREDSTAWLQET SOBOJ IMENNO TABLI^NOE ZADANIE NEKOTOROJ FUNKCII.

²oGLAWLENIE KNIGI PREDSTAWLQET SOBOJ TABLI^NOE ZADANIE FUNKCII, SOPOSTAWLQ@]EJ KAVDOJ GLAWE NOMER EE PERWOJ STRANICE.

²uKAZATELX ZADAET FUNKCI@, SOPOSTAWLQ@]U@ KAVDOMU TERMINU STRANICU, NA KOTOROJ ON POQWLQETSQ W PERWYJ RAZ.

²wEDOMOSTX \KZAMENA MOVNO RASSMATRIWATX KAK TABLI^NOE ZADANIE FUNKCII, SOPOSTAWLQ@]EJ KAVDOMU STUDENTU GRUPPY EGO OCENKU NA \KZAMENE.

²mEN@ W RESTORANE ESTX ZADANIE FUNKCII, SOPOSTAWLQ@]EJ KAVDOMU BL@DU EGO CENU (WPRO^EM, ONO MOVET SODERVATX I DOPOLNITELXNU@ INFORMACI@).

²sPISOK WIDA

~nheartsuit

}ndiamondsuit

| nclubsuit

Änspadesuit

ZADAET FUNKCI@, SOPOSTAWLQ@]U@ MASTI EE TEXOWSKOE IMQ.

4. pERESTANOWKI. tABLI^NOE ZADANIE O^ENX ^ASTO ISPOLXZUETSQ DLQ ZADANIQ FUNKCIJ IZ m W n. nAPOMNIM, ^TO SOGLASNO NA[EMU OB]EMU SOGLA[ENI@ FUNKCIQ, ZADAWAEMAQ TABLICEJ, NE ZAWISIT OT PORQDKA \LEMENTOW PERWOJ STROKI, A TOLXKO OT TOGO, KAKIK \LEMENTY STOQT POD SOOTWETSTWU@]IMI \LEMENTAMI PERWOJ STROKI. nAPRIMER,

tABLI^NAQ ZAPISX OSOBENNO ^ASTO ISPOLXZUETSQ DLQ IZOBRAVENIQ PERESTANOWOK STEPENI n, T.E. BIEKTIWNYH OTOBRAVENIJ n NA SEBQ (SM. x ?). |LEMENTY WTOROJ STROKI PERESTANOWKI S TO^NOSTX@ DO PORQDKA SOWPADA@T S \LEMENTAMI PERWOJ STROKI I WSTRE^A@TSQ PO ODNOMU RAZU.

tABLI^NAQ ZAPISX ^ASTO NAZYWAETSQ E]E POLNOJ ZAPISX@ PERESTANOWKI, W OTLI^IE OT SOKRA]ENNOJ ZAPISI, W KOTOROJ PERESTANOWKA IZOBRAVAETSQ WTOROJ STROKOJ SWOEJ TABLICY. pRI \TOM PODRAZUMEWAETSQ, ^TO W PERWOJ STROKE \LEMENTY MNOVESTWA n RASPOLAGA@TSQ W

ESTESTWENNOM PORQDKE, T.E. KAK 1; 2; : : : ; n.

x 11. pOLINOMIALXNYE FUNKCII

w SLEDU@]IH PRIMERAH ^EREZ R OBOZNA^AETSQ PROIZWOLXNOE KOMMUTATIWNOE KOLXCO. |TO OZNA^AET, ^TO \LEMENTY R MOVNO SKLADYWATX I UMNOVATX, PRI^EM OPERACII SLOVENIQ I UMNOVENIQ W R POD^INQ@T- SQ OBY^NYM PRAWILAM DEJSTWIJ NAD ^ISLAMI. tOT, KTO POKA NE ZNAKOM S \TIM PONQTIEM, MOVET PREDSTAWLQTX SEBE, ^TO R = Z; Q; R ILI C. w DEJSTWITELXNOSTI POSLEDNIE TRI IZ \TIH ^ISLOWYH OBRAZOWANIJ QWLQ@TSQ POLQMI, T.E. W NIH, KROME TOGO, MOVNO DELITX NA L@BOE NENULEWOE ^ISLO.

1. sUMMA I PROIZWEDENIE FUNKCIJ. pUSTX, WNA^ALE, X – PROIZ-

WOLXNOE MNOVESTWO, A R — POLE. tOGDA DLQ L@BYH DWUH FUNKCIJ f; g : X ¡! R MOVNO OPREDELITX DWE NOWYE FUNKCII f + g; fg : X ¡! R, NAZYWAEMYE SUMMOJ I PROIZWEDENIEM f I g, SOOTWETSTWENNO. ~TOBY ZADATX \TI FUNKCII, DOSTATO^NO OPREDELITX IH ZNA^ENIE W KAVDOJ TO^KE x 2 X. |TI ZNA^ENIQ OPREDELQ@TSQ KAK SUMMA I PROIZWEDENIE ZNA^ENIJ f I g W TO^KE x, SOOTWETSTWENNO:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) (fg)(x) = f(x)g(x):

uVE \TI PROSTEJ[IE OPERACII POZWOLQ@T STROITX GROMADNYJ ZAPAS NOWYH FUNKCIJ, OTPRAWLQQSX OT NESKOLXKIH PROSTEJ[IH FUNKCIJ, TAKIH, KAK TOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE id I KONSTANTY coc. nAPRIMER, UMNOVAQ FUNKCI@ f NA POSTOQNNU@ FUNKCI@ coc MY POLU^AEM SKALQRNOE KRATNOE cf FUNKCII f, T.E. FUNKCI@, ZNA^ENIQ KOTOROJ OPREDELQ@TSQ POSREDSTWOM (cf)(x) = cf(x), INYMI SLOWAMI, ZNA^ENIE cf W TO^KE x RAWNO PROIZWEDENI@ ZNA^ENIQ f W x NA c. w ^ASTNOSTI, TAK POLU^AETSQ FUNKCIQ ¡f = (¡1)f, NAZYWAEMAQ PROTIWOPOLOVNOJ K f. a IMEQ PROTIWOPOLOVNU@ FUNKCI@ MY MOVEM OPREDELITX RAZNOSTX FUNKCIJ f ¡g KAK f +(¡g). tAKIM OBRAZOM, PO OPREDELENI@, ZNA^ENIE FUNKCII f ¡ g W TO^KE x RAWNO (f ¡ g)(x) = f(x) ¡ g(x).

2. pOLINOMIALXNYE FUNKCII. pUSTX, DALEE, f 2 K[t] – PRO-

IZWOLXNYJ MNOGO^LEN OT ODNOJ PEREMENNOJ t NAD POLEM K. nAPOMNIM, ^TO NAIWNO POD MNOGO^LENOM PODRAZUMEWAETSQ WYRAVENIE WIDA

f= antn + : : : + a1t + a0, GDE ai 2 K. mNOGO^LENU f MOVNO SOPOSTAWITX OTOBRAVENIE f : K ¡! K PO SLEDU@]EMU PRAWILU: \LEMENT a 2 K ZA-

MENQETSQ NA POSTOQNNOE OTOBRAVENIE coa, PEREMENNAQ t ZAMENQETSQ NA TOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE idK, A SLOVENIE I UMNOVENIE MNOGO^LENOW NA SLOVENIE I UMNOVENIE FUNKCIJ. iNYMI SLOWAMI, OTOBRAVENIE

fPEREWODIT L@BOJ \LEMENT x 2 K W ZNA^ENIE f(x) MNOGO^LENA f W

TO^KE x, T.E. W \LEMENT f(x) = anxn +: : : a1x+a0 POLQ K, POLU^A@]IJSQ PODSTAWNOWKOJ x W MNOGO^LEN f WMESTO PEREMENNOJ t I FAKTI^ESKIM

PROWEDENIEM OPERACIJ W POLE K.

pOLU^A@]IESQ TAK OTOBRAVENIQ f, f 2 K[t], NAZYWA@TSQ POLINOMIALXNYMI FUNKCIQMI, ILI, W ALGEBRAI^ESKOJ GEOMETRII, REGULQRNYMI FUNKCIQMI. pRIMERAMI POLINOMIALXNYH FUNKCIJ QWLQ@TSQ OTOBRAVENIQ x 7!1, x 7!x2, x 7!(x ¡ 1)3 I WOOB]E L@BYE FUNKCII, POLU^A@]IESQ IZ TOVDESTWENNOGO OTOBRAVENIQ I POSTOQNNYH OTOBRAVENIJ PRIMENENIEM SLOVENIQ I UMNOVENIQ. mOVNO NAZY-

WATX POLINOMIALXNYE FUNKCII POLINOMIALXNYMI OTOBRAVENIQ-

MI, NO W ALGEBRE \TOT POSLEDNIJ TERMIN OBY^NO UKAZYWAET NA TO, ^TO RASSMATRIWAETSQ MNOGOMERNAQ SITUACIQ (NESKOLXKO MNOGO^LENOW OT NESKOLXKIH PEREMENNYH).

w [KOLXNOM KURSE f OBY^NO OTOVDESTWLQETSQ S f. pRI \TOM f OBOZNA^AETSQ PROSTO ^EREZ f I W ^ASTO IMENNO \TA FUNKCIQ I NAZYWAETSQ MNOGO^LENOM. s TO^KI ZRENIQ PROFESSIONALXNOGO ALGEBRAISTA \TO PRESTUPNAQ PRAKTIKA. dEJSTWITELXNO, MNOGO^LEN f OPREDELQET FUNKCI@ f. bOLEE TOGO, W OBY^NO RASSMATRIWAEMYH W [KOLXNOJ PROGRAMME SLU^AQH ON, W SWO@ O^EREDX, ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ FUNKCIEJ f. tEM NE MENEE SOWER[ENNO NEPRAWILXNO GOWORITX, ^TO ON QWLQETSQ \TOJ FUNKCIEJ. dELO W TOM, ^TO W DRUGIH NE MENEE WAVNYH SLU^AQH DWA RAZLI^NYH MNOGO^LENA MOGUT OPREDELQTX ODNU I TU VE POLINOMIALXNU@ FUNKCI@. ~EM BY NI BYL MNOGO^LEN, ON ZAWEDOMO NE QWLQETSQ FUNKCIEJ f : K ¡! K. kAK MY OB_QSNQEM W KNIGE III, ESLI MNOGO^LEN I MOVNO ESTESTWENNYM OBRAZOM OTOVDESTWITX S KAKOJ-TO FUNKCIEJ, TO TOGDA UV S FUNKCIEJ f : N0 ¡! K.

x 12. rACIONALXNYE FUNKCII

w \TOM PARAGRAFE MY PRODOLVIM OBSUVDENIE PRIMEROW FUNKCIJ, WSTRE^AW[IHSQ W [KOLXNOJ PROGRAMME. zDESX MY PREDPOLAGAEM, ^TO K QWLQETSQ NEKOTORYM POLEM, NAPRIMER, K = Q; R ILI C.

1. mNOVESTWO NULEJ FUNKCII. |LEMENT x 2 X NAZYWAETSQ NULEM

FUNKCII g : X ¡! K, ESLI g OBRA]AETSQ W 0 W TO^KE x, T.E. g(x) = 0. oBOZNA^IM ^EREZ X(g) MNOVESTWO NULEJ FUNKCII g, T.E.

X(g) = fx 2 X j g(x) = 0g:

w SLU^AE, KOGDA g = f : K ¡! K — POLINOMIALXNAQ FUNKCIQ, OPREDELENNAQ MNOGO^LENOM f 2 K[t], PRINQTO NAZYWATX NULI FUNKCII g KORNQMI MNOGO^LENA f W POLE K. w \LEMENTARNOJ MATEMATIKE ^ASTO