vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv
.pdf
MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive |
131 |
gLAWA 3. pROIZWEDENIQ I KOPROIZWEDENIQ
bOLEE WSEGO ON L@BIL PRQMOLINEJNYJ PROSPEKT; \TOT PROSPEKT NAPOMINAL EMU O TE^ENII WREMENI MEVDU DWUH VIZNENNYH TO^EK; I E]E OB ODNOM: INYE WSE GORODA PREDSTAWLQ@T SOBOJ DEREWQNNU@ KU^U DOMI[EK, I RAZITELXNO OT NIH WSEH OTLI^AETSQ pETERBURG. eSTX BESKONE^NOSTX W BESKONE^NOSTX BEGU]IH PROSPEKTOW S BESKONE^NOSTX@ W BESKONE^NOSTX BEGU]IH PERESEKA@]IHSQ TENEJ. wESX pETERBURG — BESKONE^- NOSTX PROSPEKTA, WOZWEDENNOGO W n-@ STEPENX. zA pETERBURGOM VE — NI^EGO.
aNDREJ bELYJ, pETERBURG, gLAWA I
zDESX MY NAPOMINAEM OPREDELENIQ I OSNOWNYE SWOJSTWA TEORETIKO- KATEGORNYH OPERACIJ NAD MNOVESTWAMI, TAKIH KAK PRQMOE PROIZWEDENIE I KOPROIZWEDENIE. |TI OPERACII PRINCIPIALXNO OTLI^A@TSQ OT RASSMOTRENNYH W PREDYDU]EJ GLAWE BULEWYH OPERACIJ TEM, ^TO ONI OPREDELENY NE NA SAMOM DELE, NA UROWNE \LEMENTOW, A LI[X S TO^NOSTX@ DO KANONI^ESKOGO IZOMORFIZMA. nEPONIMANIE \TOGO PRINCIPIALXNOGO MOMENTA PRIWODIT WSEH AWTOROW, STOQ]IH NA ‘NAIWNYH’ POZICIQH, K GRUBEJ[IM O[IBKAM.
nAIBOLEE WAVNAQ S TO^KI ZRENIQ ALGEBRAISTA OPERACIQ NAD MNOVE-
STWAMI — \TO OBRAZOWANIE PRQMOGO ILI DEKARTOWA PROIZWEDENIQ.
rENE dEKART (31.03.1596, La Haye (SEGODNQ Descartes), Touraine — 11.02.1650, sTOKGOLXM) — ZAME^ATELXNYJ MATEMATIK I MYSLITELX. s 1618 GODA ON PRINQL U^ASTIE W NESKOLXKIH WOENNYH POHODAH W RAZLI^NYH STRANAH eWROPY, A S 1628 GODA OSEL W nIDERLANDAH. w 1637 GODU WY[LA EGO GLAWNAQ KNIGA ‘gEOMETRIQ’, GDE ON SWQZAL GEOMETRI@ S ALGEBROJ I, TEM SAMYM, ZALOVIL OSNOWY ALGEBRAI^ESKOJ GEOMETRII. oN SFORMULIROWAL MNOGO TEOREM, KASA- @]IHSQ ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ, KOTORYE BYLI DOKAZANY TOLXKO MNOGO POZVE. dEKART BYL ODNIM IZ PREKURSOROW DIFFERENCIALXNOGO I INTEGRALXNOGO IS^ISLENIQ, BOLX[OE WLIQNIE NA RAZWITIE KOTOROGO OKAZALI PROIZWEDENNYE IM WY^ISLENIQ DLIN KRIWYH, PLO]ADEJ OGRANI^ENNYH IMI FIGUR, URAWNENIJ KASATELXNYH I T.D. dRUGIE MATEMATI^ESKIE RABOTY dEKARTA OTNOSQTSQ K TEORII ^ISEL. w NA[EM KURSE WSTRE^A@TSQ DEKARTOWY KOORDINATY, DEKARTOWY PROIZWEDENIQ, TEOREMY dEKARTA I T.D. w DRUGIH (KON)TEKSTAH WSTRE^A@TSQ TAKVE dEKARTOW LIST, OWAL dEKARTA, dEKARTOWY KWADRATY, I T.D. s DETSTWA dEKART PRIWYK OSTAWATXSQ W KROWATI DO 11 UTRA I PREDAWATXSQ RAZMY[LENIQM. w 1649 GODU KOROLEWA kRISTINA UBEDILA dEKARTA PEREBRATXSQ W sTOKGOLXM. oDNAKO ONA HOTELA ZANIMATXSQ S NIM GEOMETRIEJ W 5 UTRA. kAK IZWESTNO, BUDITX MATEMATIKA — PRESTUPLENIE, PO\TOMU ^EREZ NESKOLXKO MESQCEW TAKOJ VIZNI dEKART UMER OT PNEWMONII.
|TA KONSTRUKCIQ QWLQETSQ O^ENX [IROKIM OBOB]ENIEM PONQTIQ SISTEMY KOORDINAT S ODNOJ STORONY I PONQTIQ MNOVESTWA XI WSEH OTOB-
132 |
NIKOLAJ WAWILOW |
RAVENIJ IZ I W X S DRUGOJ. pOSKOLXKU \TA KONSTRUKCIQ IGRAET STOLX WAVNU@ ROLX W DALXNEJ[EM, W \TOJ GLAWE MY DETALXNO I S BOLX[IM KOLI^ESTWOM PRIMEROW IZU^AEM PRQMYE PROIZWEDENIQ DWUH MNOVESTW, KONE^NOGO ^ISLA MNOVESTW I, NAKONEC, PROIZWOLXNYH SEMEJSTW MNOVESTW. kROME TOGO, MY OBSUVDAEM DWOJSTWENNU@ KONSTRUKCI@ KOPROIZWEDENIQ, A TAKVE NESKOLXKO DRUGIH KONSTRUKCIJ, QWLQ@]IHSQ OBOB]ENIQMI ILI WARIANTAMI PRQMOGO PROIZWEDENIQ.
x 1. uPORQDO^ENNYE PARY
If it were not possible to represent ordered pairs in set theory, set theory would be of virtually no mathematical interest at all.
Jon Barwise & Larry Moss110
sODERVIT LI PARA EDINICU? — pARA NE SODERVIT EDINICY.
—sODERVIT LI PARA PRAWOE? — pARA NE SODERVIT PRAWOGO.
—sODERVIT LI PARA LEWOE? — pARA NE SODERVIT LEWOGO.
—mOVNO LI DATX PRAWOMU NAZWANIE ‘PARA’? — nELXZQ. — mOVNO LI DATX LEWOMU NAZWANIE ‘PARA’? — nELXZQ. — kOGDA LEWOE SOEDINQETSQ S PRAWYM, MOVNO LI \TOMU DATX NAZWANIE ‘PARA’? — mOVNO. — mOVNO LI IZMENQ@]EESQ NAZWATX ‘NEIZMENQ@]IMSQ’? — mOVNO. — kOGDA K PRAWOMU IMEETSQ PRISOEDINENIE, MOVNO LI DATX NAZWANIE ‘IZMENQ@]EESQ’? — mOVNO. — ~TO VE IZMENQETSQ? — PRAWOE. — nO ESLI PRAWOE IZMENQETSQ, TO KAK VE MOVNO NAZWATX EGO ‘PRAWYM’? a ESLI NE IZMENQETSQ, TO KAK MOVNO DAWATX NAZWANIE ‘NEIZMENQ@]EGOSQ’? eSLI PARA NE SODERVIT NI LEWOGO, NI PRAWOGO, TO KAK VE POLU^AETSQ PARA OT SOEDINENIQ LEWOGO I PRAWOGO?
gUNXSUN lUN-CZY, gL. 3: o PRONIKNOWENII W IZMENENIQ
oBY^NAQ W U^EBNOJ LITERATURE (‘NAIWNAQ’) KONSTRUKCIQ PRQMOGO PROIZWEDENIQ OSNOWANA NA PONQTII UPORQDO^ENNOJ PARY.
1. uPORQDO^ENNYE PARY. nARQDU S NEUPORQDO^ENNYMI W MATEMATIKE O^ENX ^ASTO PRIMENQ@TSQ TAKVE UPORQDO^ENNYE PARY. uPORQDO^ENNAQ PARA, SOSTOQ]AQ IZ WE]EJ x I y, NE OBQZATELXNO RAZLI^- NYH, OBOZNA^AETSQ OBY^NO ^EREZ (x; y). pRI \TOM PO PRI^INAM, KOTORYE WSKORE STANUT PONQTNY, x I y OBY^NO NAZYWA@TSQ NE \LEMENTA-
MI, A KOMPONENTAMI ILI KOORDINATAMI UPORQDO^ENNOJ PARY (x; y). nEKOTORYE AWTORY TEM NE MENEE NAZYWA@T x ‘PERWYM \LEMENTOM’ UPORQDO^ENNOJ PARY, A y — EE ‘WTORYM \LEMENTOM’, NO \TO S NEOBHODIMOSTX@ PRIWODIT K WYSKAZYWANIQM W DUHE mO dI I gUNXSUN lUNA:
110J.Barwise, L.Moss, Hypersets — Math. Intelligencer, 1991, vol.13, N.1, p.31-41.
MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive |
133 |
“PERWYJ \LEMENT UPORQDO^ENNOJ PARY NE QWLQETSQ EE \LEMENTOM” (“BELAQ LO[ADX NE QWLQETSQ LO[ADX@”).
hARAKTERISTI^ESKIM SWOJSTWOM UPORQDO^ENNYH PAR QWLQETSQ TO, ^TO DWE UPORQDO^ENNYH PARY RAWNY ESLI I TOLXKO ESLI RAWNY IH SOOTWETSTWU@]IE KOMPONENTY, T.E. (x; y) = (u; v) W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA x = u I y = v. w OTLI^IE OT NEUPORQDO^ENNYH PAR, UPORQDO^ENNYE PARY (x; y) I (y; x) RAZLI^NY, ESLI x 6= y, I MOVNO GOWORITX OB UPORQDO^ENNOJ PARE (x; x) S RAWNYMI KOMPONENTAMI. nEKOTORYE AWTORY OBOZNA^A@T UPORQDO^ENNU@ PARU (x; y) ^EREZ hx; yi, NO W ALGEBRE hx; yi OBY^NO PONIMAETSQ INA^E!
2.pO^EMU FILOSOFY NE SMOGLI OPREDELITX UPORQDO^ENNU@ PARU? nA^-
NEM SO SLU^AQ PRQMOGO PROIZWEDENIQ DWUH MNOVESTW X £ Y . pREVDE WSEGO MY POKAVEM, ^TO AKSIOMA ZF3 POZWOLQET WWESTI TAKVE UPORQDO^ENNYE PARY. |TO
NE SOWSEM O^EWIDNO I WOZNIK[U@ ZDESX PROBLEMU O^ENX VIWOPISNO OPISYWAET qN sT@ART111: “tRUDNOSTX SOSTOQLA ZDESX W TOM, ^TOBY IZBEVATX SSYLOK NA SPOSOB IZOBRAVENIQ TAKOJ PARY W WIDE (a; b). nELXZQ GOWORITX “a — LEWYJ \LEMENT”, POTOMU ^TO “LEWYJ” NE QWLQETSQ PONQTIEM TEORII MNOVESTW. rANNIE FILOSOFY SOWER[ENNO ZAPUTALISX W \TOM WOPROSE (SM. [Russell]). “qWLQETSQ LI UPORQDO^ENIE SWOJSTWOM a?” nET, ONO ZAWISIT TAKVE I OT b IBO, SKAVEM, PARY (1; 2) I (3; 1) RAZLI^NY. “qWLQETSQ LI ONO SWOJSTWOM a?” nET, PO TOJ VE PRI^INE. “tOGDA \TO SWOJSTWO a I b?” tOVE NET, POTOMU ^TO a I b NE OTLI^AETSQ OT b I a, I TOGDA POLU^A- ETSQ, ^TO (a; b) I (b; a) — ODNO I TO VE. tREBUETSQ KAK-TO IZBAWITXSQ OT SIMMETRII MEVDU a I b. fILOSOFY OKAZALISX ZDESX BESSILXNY, POTOMU ^TO NE PONIMALI RAZNICY MEVDU x I fxg. oNI NE HOTELI RAZLI^ATX \TI WE]I. oDNAKO STOIT TOLXKO OSOZNATX \TU RAZNICU, KAK OTKRYWAETSQ CELYJ RQD RAZNOOBRAZNYH PUTEJ RE[ENIQ ZADA^I.”.
3.pREDSTAWLENIE UPORQDO^ENNYH PAR W TEORII MNOVESTW.
eDINSTWENNOE SWOJSTWO UPORQDO^ENNYH PAR, KOTOROE BUDET NAS INTERESOWATX, WYRAVAETSQ SLEDU@]EJ AKSIOMOJ.
OP (aKSIOMA UPORQDO^ENNYH PAR). rAWENSTWO DWUH UPORQDO^EN-
NYH PAR (x; y) = (u; v) IMEET MESTO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA x = u I y = v.
pRI \TOM x NAZYWAETSQ PERWOJ KOMPONENTOJ, A y – WTOROJ KOM-
PONENTOJ UPORQDO^ENNOJ PARY (x; y).
mOVNO LI PROMODELIROWATX PONQTIE UPORQDO^ENNOJ PARY W ORTODOKSALXNOJ TEORII MNOVESTW? lOGIKI I FILOSOFY NA^ALA XX WEKA WYSKAZYWALI SAMYE PRI^UDLIWYE MNENIQ PO \TOMU WOPROSU. sLEDU@]EE OPREDELENIE UPORQDO^ENNYH PAR NAZYWAETSQ OPREDELENIEM wINERA—kURATOWSKOGO.
oPREDELENIE. uPORQDO^ENNOJ PAROJ (x; y) S PERWOJ KOMPONENTOJ
x I WTOROJ KOMPONENTOJ y, NAZYWAETSQ MNOVESTWO (x; y) = ffxg; fx; ygg.
111q.sT@ART, kONCEPCII SOWREMENNOJ MATEMATIKI – wY[EJ[AQ [KOLA, mINSK, 1980, S.1–382. SM. S.372.
134 |
NIKOLAJ WAWILOW |
nORBERT wINER (26.11.1894, kOLUMBIQ, mISSURI — 19.03, sTOKGOLXM) — ZNAMENITYJ AMERIKANSKIJ MATEMATIK, OSNOWATELX KIBERNETIKI. sYN lEO wINERA (1862–1939), IZWESTNOGO POLXSKOGO FILOLOGA. sEMXQ wINEROW PROISHODIT OT WYDA@]EGOSQ EWREJSKOGO MYSLITELQ mOISEQ mAJMONIDA (1135– 1204). mATEMATI^ESKIJ TALANT wINERA PROQWILSQ W O^ENX RANNEM WOZRASTE, UVE W 18 LET ON POLU^IL Ph.D. W MIT ZA RABOTY PO MATEMATI^ESKOJ LOGIKE. oSNOWNYE MATEMATI^ESKIE RABOTY wINERA OTNOSQTSQ K GARMONI^ESKOMU ANALIZU I TEORII SLU^AJNYH PROCESSOW (TAUBEROWY TEOREMY). oN INTERESOWALSQ I PRILOVENIQMI K FIZIKE (BRAUNOWO DWIVENIE, TEORIQ POTENCIALA I T.D.). w 1948 GODU BYLA OPUBLIKOWANA EGO KNIGA ‘Cybernetics, or control and communication in the animal and the machine’, KOTORAQ STALA KULXTO-
WOJ I DALA NAZWANIE NOWOJ NAUKE. nA RUSSKIJ QZYK PEREWEDENY EGO KNIGI ‘pREOBRAZOWANIE fURXE W KOMPLEKSNOJ OBLASTI’ (SOWMESTNAQ S r.p\LI), ‘kIBERNETIKA’ I AWTOBIOGRAFI^ESKIE ‘bYW[IJ WUNDERKIND’ I ‘q — MATEMATIK’. tRUDNO REZ@MIROWATX STILX wINERA LU^[E, ^EM \TO SDELAL ON SAM: ‘kAVDYJ TWOR^ESKI RABOTA@]IJ U^ENYJ WOLEN LOMATX L@BYE PEREGORODKI, ESLI \TO NUVNO DLQ USPEHA EGO RABOTY’.
kAZIMEV kURATOWSKIJ (02.02.1896, wAR[AWA — 1980) — POLXSKIJ MATE-
MATIK, U^ENIK wACLAWA sERPINXSKOGO, OSNOWNYE RABOTY KOTOROGO OTNOSQTSQ K TEORII MNOVESTW I TOPOLOGII. s 1927 GODA PROFESSOR lXWOWSKOGO, A S 1934
— wAR[AWSKOGO UNIWERSITETA. w 1948 STAL PERWYM DIREKTOROM OSNOWANNOGO TOGDA mATEMATI^ESKOGO iNSTITUTA PAN. nA RUSSKIJ QZYK PEREWEDEN EGO DWUHTOMNIK ‘tOPOLOGIQ’ I ‘tEORIQ MNOVESTW’ SOWM. S k.mOSTOWSKIM.
iNOGDA, ^TOBY POD^ERKNUTX, ^TO ISPOLXZUETSQ IMENNO \TO OPREDELENIE UPORQDO^ENNOJ PARY, GOWORQT, ^TO (x; y) UPORQDO^ENNAQ PARA x I y PO kURATOWSKOMU. w \TOM OPREDELENII SIMMETRIQ MEVDU x I y NARU- [AETSQ NESKOLXKO BOLX[E, ^EM W ZAPISI (x; y), PO\TOMU MNOGIE MATEMATIKI NE S^ITA@T EGO WPOLNE UBEDITELXNYM I RASSMATRIWA@T PONQTIE UPORQDO^ENNOJ PARY KAK PERWI^NOE. kROME TOGO, OTOVDESTWLENIE PARY (x; x) S MNOVESTWOM ffxgg W OPREDELENII kURATOWSKOGO WYGLQDIT DOWOLXNO STRANNYM – ^TO TAKOE TOGDA UPORQDO^ENNAQ EDINICA (x)?. oDNAKO, KAK BY TO NI BYLO, SEJ^AS MY UBEDIMSQ, ^TO \TO OPREDELENIE RABOTAET. pOSLE \TOGO MOVNO STANDARTNYM OBRAZOM OPREDELITX UPORQDO^ENNYE n-KI, DEKARTOWY PROIZWEDENIQ KONE^NOGO ^ISLA MNOVESTW, OTNO[ENIQ, OTOBRAVENIQ I PR.
lEMMA. uPORQDO^ENNAQ PARA PO kURATOWSKOMU UDOWLETWORQET OP.
dOKAZATELXSTWO. pUSTX WNA^ALE x = y. tOGDA fxg = fug = fu; vg. iZ PERWOGO RAWENSTWA SLEDUET, ^TO x = u I TEPERX IZ WTOROGO RAWENSTWA SLEDUET, ^TO I v = x. pUSTX TEPERX x =6 y. tOGDA fxg QWLQETSQ ODNIM IZ \LEMENTOW ffug; fu; vgg, NO SLU^AJ fxg = fu; vg ISKL@^EN, POTOMU ^TO \TO RAWENSTWO WLE^ET x = u = v I TOGDA fug = fu; vg I, ZNA^IT, fx; yg = fug, TAK ^TO x = y = u, WOPREKI PREDPOLOVENI@, ^TO x =6 y.
MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive |
135 |
|TO ZNA^IT, ^TO fxg = fug I, TEM SAMYM, x = u. s DRUGOJ STORONY, W \TOM SLU^AE fx; yg OBQZANO SOWPADATX S fug ILI S fu; vg. oDNAKO ESLI fx; yg = fug, TO TO^NO TAKOE VE RASSUVDENIE, KAK WY[E, POKAZYWAET, ^TO x = y = u, WOPREKI PREDPOLOVENI@. |TO ZNA^IT, ^TO fx; yg = fu; vg I, ZNA^IT, y = u ILI y = v. sLU^AJ y = u = x ISKL@^EN, PO\TOMU, OKON^ATELXNO, y = v.
wPRO^EM, SPECIALXNYJ WID MNOVESTWA ffxg; fx; ygg W OPREDELENII UPORQDO^ENNOJ PARY (x; y) NE IGRAET ABSOL@TNO NIKAKOJ ROLI, MY MOGLI BY OPREDELQTX EE KAK ffyg; fx; ygg I MNOVESTWOM DRUGIH OBRAZOW. wOZNIKAET ISKU[ENIE OPREDELITX UPORQDO^ENNU@ PARU (x; y) BEZ ZATEJ, KAK ff1; xg; f2; ygg. oDNAKO ESLI x I/ILI y RAWNY 1 I/ILI 2, ZDESX MOGUT WOZNIKNUTX TRUDNOSTI. pOSKOLXKU W BOLX[INSTWE KONKRETNYH ZADA^ PRIHODITSQ RASSMATRIWATX LI[X PARY (x; y), GDE x I y PROBEGA@T KONKRETNYE MNOVESTWA, TO MOVNO OPREDELITX (x; y) KAK ff°c ; xg; fU; ygg, GDE °c I U SUTX DWE POTUSTORONNIE WE]I, OTLI^- NYE OT WSEH OSTALXNYH WE]EJ, S KOTORYMI NAM W DANNYJ MOMENT PRIHODITSQ IMETX DELO (SU]ESTWOWANIE POTUSTORONNIH WE]EJ SLEDUET IZ AKSIOMY PODSTANOWKI ZF6).
zADA^A. dOPUSTIM, ^TO UPORQDO^ENNAQ PARA (x; y) OPREDELQETSQ KAK
(x; y) = ff°c ; xg; fU; ygg;
GDE °c I U — DWE RAZLI^NYE POTUSTORONNIE WE]I. dOKAZATX, ^TO TAK OPREDELENNYE UPORQDO^ENNYE PARY UDOWLETWORQET OP.
pRIWET kUDRQWCEWU. iNTERESNO OTMETITX, ^TO (W OTSUTSTWIE AKSIOMY ZF9) MY NE MOGLI BY OPREDELITX UPORQDO^ENNU@ PARU (x; y) KAK fx; fx; ygg, TAK KAK MOGLO BY OKAZATXSQ, ^TO fx; yg 2 x. w KA- ^ESTWE KURXEZA UKAVEM, ^TO IMENNO TAK OPREDELQETSQ UPORQDO^ENNAQ PARA W “mATEMATI^ESKOJ \NCIKLOPEDII”, T.V, S.713. pRI \TOM, UVE SOWER[ENNO ANEKDOTI^ESKIM OBRAZOM, UPORQDO^ENNAQ PARA (a; b) OPREDELQETSQ TAM TOLXKO DLQ PARY fa; bg, TAK ^TO AWTOMATI^ESKI a 6= b!
x 2. pRQMYE PROIZWEDENIQ MNOVESTW: NAIWNOE OPREDELENIE
sLOWO ‘LO[ADX’ OBOZNA^AET FORMU, SLOWO ‘BELYJ’ OBOZNA^AET CWET. tO, ^TO OBOZNA^AET CWET, NE ESTX TO, ^TO OBOZNA^A- ET FORMU, pO\TOMU Q UTWERVDA@, ^TO BELAQ LO[ADX NE ESTX LO[ADX.
gUNXSUN lUN-CZY, gL. 2: rASSUVDENIE O BELOJ LO[ADI
mY NA^NEM S NAIWNOGO OPREDELENIQ PRQMOGO PROIZWEDENIQ, KOTOROE W DALXNEJ[EM BUDET UTO^NENO.
136 |
NIKOLAJ WAWILOW |
1. pRQMOE PROIZWEDENIE DWUH MNOVESTW. pUSTX WNA^ALE A I B
— DWA MNOVESTWA.
nAIWNOE OPREDELENIE. pRQMYM PROIZWEDENIEM A £B MNOVESTW A I B NAZYWAETSQ MNOVESTWO
A £ B = f(a; b) j a 2 A; b 2 Bg
WSEH UPORQDO^ENNYH PAR, PERWYJ ^LEN KOTORYH PRINADLEVIT A, A WTOROJ — B.
oSOBENNO WAVEN DLQ NAS SLU^AJ, KOGDA A = B. mNOVESTWO A £ A = A2 NAZYWAETSQ DEKARTOWYM KWADRATOM MNOVESTWA A.
2. sU]ESTWOWANIE PRQMOGO PROIZWEDENIQ. rAZUMEETSQ, TOT FAKT, ^TO WSE PARY (a; b) MOGUT BYTX SOBRANY W MNOVESTWO, SOWER[ENNO NE QWLQETSQ SAMOO^EWIDNYM I DOLVEN LIBO SPECIALXNO POSTULIROWATXSQ, LIBO WYWODITXSQ IZ OSTALXNYH AKSIOM. pOKAVEM, ^TO ESLI (a; b) OPREDELQETSQ PO kURATOWSKOMU, TO SU]ESTWOWANIE A £ B MOVET BYTX WYWEDENO IZ AKSIOMY OB_EDINENIQ, AKSIOMY STEPENI I AKSIOMY PODMNOVESTW. w SAMOM DELE, \LEMENTY PARY ffag; fa; bgg PRINADLEVAT MNOVESTWU
2A[B I, TEM SAMYM, WSE TAKIE PARY PRINADLEVAT MNOVESTWU 22A[B , SU]ESTWOWANIE KOTOROGO GARANTIRUETSQ AKSIOMAMI OB_EDINENIQ I STEPENI. tEPERX A £ B MOVET BYTX OPREDELENO KAK
n o
A £ B = X 2 22A[B j X = ffag; fa; bgg; a 2 A; b 2 B ;
PRI^EM \TO MNOVESTWO SU]ESTWUET W SILU AKSIOMY PODMNOVESTW.
zAMETIM, ^TO \TO DOKAZATELXSTWO WESXMA NEKONSTRUKTIWNO, POTOMU ^TO, ONO APELLIRUET K WYDELENI@ PODMNOVESTW IZ ^UDOWI]NO BOLX[OGO MNOVESTWA 22A[B . nAPRIMER, ESLI MNOVESTWA A I B S^ETNY, TO MNOVESTWO 22A[B IMEET MO]NOSTX, STROGO BOLX[U@ MO]NOSTI KONTINUUMA (SM. x ?). w DEJSTWITELXNOSTI NA OBOIH [AGAH DOSTATO^NO ISPOLXZOWATX LI[X ZNA^ITELXNO BOLEE SLABOE UTWERVDENIE, A IMENNO, SU]ESTWOWANIE NE SAMOGO BULEANA 2X, A LI[X EGO KRO[E^NOJ ^ASTI V(X)
— MNOVESTWA WSEH KONE^NYH PODMNOVESTW MNOVESTWA X.
3. pRAWILO PROIZWEDENIQ. eSLI MNOVESTWA A I B KONE^NY, PRI^EM A SODERVIT m \LEMENTOW, A B SODERVIT n \LEMENTOW, TO MNOVESTWO A £ B TOVE KONE^NO I SODERVIT mn \LEMENTOW. wOOB]E, DLQ L@BYH DWUH MNOVESTW A I B MO]NOSTX IH PRQMOGO PROIZWEDENIQ A £B RAWNA PROIZWEDENI@ MO]NOSTEJ MNOVESTW A I B, jA £ Bj = jAjjBj, GDE ^EREZ jXj OBOZNA^ENA MO]NOSTX MNOVESTWA X (SM. x ?). w ^ASTNOSTI, DEKARTOWO PROIZWEDENIE NEPUSTYH SOMNOVITELEJ NEPUSTO. dLQ DWUH SOMNOVITELEJ (NO, RAZUMEETSQ, NE W OB]EM SLU^AE!) \TOT FAKT MOVNO DOKAZATX BEZ ISPOLXZOWANIQ AKSIOMY WYBORA.
nAPRIMER, ESLI f0; 1; 2g — TREH\LEMENTNOE MNOVESTWO, A fx; yg — DWUH\LEMENTNOE MNOVESTWO, TO IH PRQMOE PROIZWEDENIE
f0; 1; 2g £ fx; yg = f(0; x); (0; y); (1; x); (1; y); (2; x); (2; y)g
MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive |
137 |
SODERVIT 3 ¢ 2 = 6 \LEMENTOW.
4. pERWYE PRIMERY. wOT NESKOLXKO O^EWIDNYH PRIMEROW PRQMYH PROIZWEDENIJ DWUH MNOVESTW.
²dEKARTOWY KOORDINATY. nAIBOLEE ZNAKOMYJ ^ASTNYJ SLU^AJ DEKARTOWA PROIZWEDENIQ — PO ANALOGII S KOTORYM kURATOWSKIJ I DAL NAZWANIE OB]EMU SLU^A@ — \TO DEKARTOWY KOORDINATY NA PLOSKOSTI. pRI \TOM KAVDOJ TO^KE PLOSKOSTI SOPOSTAWLQ@TSQ EE PROEKCII NA DWE KOORDINATNYE OSI, NAZYWAEMYE OSX@ ABSCISS I OSX@ ORDINAT, SOOTWETSTWENNO. w SWO@ O^EREDX TO^KA z PLOSKOSTI ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ SWOIMI PROEKCIQMI x I y NA \TI OSI, NAZYWAEMYMI W [KOLXNOM KURSE EE ABSCISSOJ I ORDINATOJ. wPRO^EM, PROFESSIONALXNYE MATEMATIKI OBY^NO ISPOLXZU@T MENEE WY^URNYE NAZWANIQ x I y I GOWORQT PROSTO O PERWOJ KOORDINATE I WTOROJ KOORDINATE TO^KI z. tAKIM OBRAZOM, TO^KA z PLOSKOSTI MOVET BYTX OTOVDESTWLENA S PAROJ SWOIH KOORDINAT (x; y). pRI \TOM PLOSKOSTX (WMESTE S PROEKCIQMI NA KOORDINATNYE OSI!) OTOVDESTWITSQ S PRQMYM PROIZWEDENIEM KOORDINATNYH OSEJ, T.E. DWUH \KZEMPLQROW R. tAKIM OBRAZOM, \WKLIDOWU PLOSKOSTX MOVNO RASSMATRIWATX KAK DEKARTOW KWADRAT WE]ESTWENNOJ OSI. |TO OPRAWDYWAET OBY^NOE OBOZNA^ENIE \WKLIDOWOJ PLOSKOSTI ^EREZ R2.
²pOLQRNYE KOORDINATY. rASSMOTRIM PLOSKOSTX, IZ KOTOROJ UDALENO NA^ALO KOORDINAT 0. kAVDOJ TO^KE z PLOSKOSTI SOPOSTAWLQETSQ EE MODULX r, QWLQ@]IJSQ (\WKLIDOWYM) RASSTOQNIEM MEVDU z I
0.eSLI z = (x; y), TO r = px2 + y2. qSNO, ^TO MODULX TO^KI z 6= 0
QWLQETSQ POLOVITELXNYM WE]ESTWENNYM ^ISLOM, T.E. \LEMENTOM R+. s DRUGOJ STORONY, ESLI z 6= 0, TO SU]ESTWUET EDINSTWENNYJ LU^ ISHODQ]IJ IZ NA^ALA KOORDINAT 0 I PROHODQ]IJ ^EREZ TO^KU z. tAKIM OBRAZOM, KAVDOJ TO^KE z 6= 0 MOVNO SOPOSTAWITX EE ARGUMENT, T.E. TO^KU w PERESE^ENIQ \TOGO LU^A S EDINI^NOJ OKRUVNOSTX@ S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT. w PRED[ESTWU@]IH OBOZNA^ENIQH Á = (x=r; y=r) (IMENNO ZDESX ISPOLXZUETSQ, ^TO z 6= 0 ILI, ^TO TO VE SAMOE, ^TO r 6= 0). lEGKO WIDETX, ^TO I OBRATNO L@BAQ TO^KA z 6= 0 ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ PAROJ (r; Á). zAPISX TO^KI z 6= 0 W WIDE z = (r; Á) NAZYWAETSQ EE ZAPISX@ W POLQRNYH KOORDINATAH. oNA TESNEJ[IM OBRAZOM SWQZANA S TRIGONOMETRI^ESKOJ FORMOJ KOMPLEKSNOGO ^ISLA z. tAKIM OBRAZOM, R2 n f0g MOVET BYTX OTOVDESTWLENA S PRQMYM PROIZWEDENIEM R+ £ T.
²pRQMOUGOLXNIKI: PUSTX a; b; c; d 2 R. qSNO, ^TO [a; b] £ [c; d]
MOVNO OTOVDESTWITX S PRQMOUGOLXNIKOM NA PLOSKOSTI, S WER[INAMI
(a; c), (a; d), (b; c), (b; d):
[a; b] £ [c; d] = f(x; y) j a · x · b; c · y · dg:
138 |
NIKOLAJ WAWILOW |
|TO ZAMKNUTYJ PRQMOUGOLXNIK, WKL@^A@]IJ SWO@ GRANICU.
zADA^A. kAK USTROENO MNOVESTWO WSEH NETRIWIALXNYH INTERWALOW NA PRQMOJ?
oTWET. kAVDYJ NETRIWIALXNYJ INTERWAL IMEET ODNOZNA^NO OPREDELENNYJ LEWYJ KONEC a I DLINU l > 0, I OBRATNO L@BAQ PARA ^ISEL (a; l), a 2 R I l 2 R+, ZADAET NETRIWIALXNYJ INTERWAL ]a; a + l[. pO\TOMU MNOVESTWO NETRIWIALXNYH INTERWALOW MOVNO OTOVDESTWITX S WERHNEJ POLUPLOSKOSTX@ R £ R+.
zADA^A. rAZLOVITE MNOVESTWO NENULEWYH WE]ESTWENNYH ^ISEL R¤ W PRQMOE PROIZWEDENIE.
oTWET. sOPOSTAWLENIE WE]ESTWENNOMU ^ISLU x 2 R¤ PARY (jxj; sign(x)), SOSTOQ]EJ IZ EGO ABSOL@TNOJ WELI^INY I ZNAKA, POZWOLQET OTOVDESTWITX R¤ S PRQMYM PROIZWEDENIEM R+ £ f1; ¡1g.
zADA^A. rAZLOVITE R W PRQMOE PROIZWEDENIE DWUH MNOVITELEJ, ODIN IZ KOTORYH Z.
oTWET. sOPOSTAWLENIE WE]ESTWENNOMU ^ISLU x 2 R PARY (bxc; Frac(x)) POZWOLQET OTOVDESTWITX R S PRQMYM PROIZWEDENIEM Z £ [0; 1[.
x 3. dALXNEJ[IE PRIMERY PRQMYH PROIZWEDENIJ
|LEMENTARNOJ Q^EJKOJ OBY^NO NAZYWA@T PARALLELEPIPED, ZAPOLNENNYJ KONKRETNYM HIMI^ESKIM SODERVANIEM.
w.a.fRANK-kAMENECKIJ112
w NASTOQ]EM PARAGRAFE MY PRIWODIM DOWOLXNO MNOGO PRIMEROW PRQMYH PROIZWEDENIJ. pAFOS ZDESX SOSTOIT W TOM, ^TO, WO-PERWYH, WSEGDA, KOGDA RE^X IDET O DWUH NEZAWISIMO MENQ@]IHSQ WELI^INAH (ABSCISSA I ORDINATA, MODULX I ARGUMENT, [IROTA I DOLGOTA, CELAQ I DROBNAQ ^ASTX, WERTIKALI I GORIZONTALI, RQD I MESTO, MASTX I RANG, LICO I ^ISLO I T.D.) MY IMEEM DELO S PRQMYM PROIZWEDENIEM I, WO-WTORYH, ^TO RAZLOVENIE MNOVESTWA W PRQMOE PROIZWEDENIE ZADAET NA NEM NETRIWIALXNU@ STRUKTURU. wO WSEH RASSMOTRENNYH NIVE SITUACIQH STRUKTURA PRQMOGO PROIZWEDENIQ O^EWIDNA DLQ MATEMATIKA-PROFESSIONALA, NO NA^INA@]IJ NE WSEGDA SMOTRIT NA WE]I POD \TIM UGLOM. sTUDENT, S^ITA@]IJ, ^TO ON WLADEET \TIMI IDEQMI, MOVET SMELO PROPUSTITX \TOT PARAGRAF. oBOB]IM DLQ PRIMERA RAZLOVENIE WE]ESTWENNOGO ^ISLA NA CELU@ I DROBNU@ ^ASTX NA SLU^AJ WYS[IH RAZMERNOSTEJ, dLQ \TOGO NAM PONADOBITSQ E]E DWA WAVNYH PONQTIQ.
² dWUMERNAQ RE[ETKA. fIKSIRUEM DWA NEKOLLINEARNYH WEKTORA u I v NA PLOSKOSTI. mNOVESTWO L TO^EK PLOSKOSTI, POLU^A@]IHSQ IZ NA^ALA KOORDINAT 0 PROIZWOLXNYMI ITERACIQMI SDWIGOW NA u I v I OBRATNYH K NIM, NAZYWAETSQ DWUMERNOJ RE[ETKOJ, POROVDENNOJ WEKTORAMI u I v. pRI \TOM O PARE WEKTOROW
112rEDAKCIONNOE PRIME^ANIE NA STR.18 W KNIGE t.pENKALQ, o^ERKI KRISTALLO-
HIMII, iZ-WO “hIMIQ”, l., 1974, c.1–496
MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive |
139 |
(u; v) GOWORQT KAK O BAZISE RE[ETKI. tAKIM OBRAZOM, L = fmu + nv j u; v 2 Zg. kRISTALLOGRAFY OBY^NO NAZYWA@T L PLOSKOJ SETKOJ A \LEMENTY L — UZLAMI \TOJ SETKI. qSNO, ^TO SOPOSTAWLENIE TO^KE x = mu + nv 2 L PARY EE KOORDINAT (m; n) W BAZISE (u; v) ZADAET IZOMORFIZM L S PRQMYM PROIZWEDENIEM Z£Z. zAMETIM, ^TO STRUKTURA PRQMOGO PROIZWEDENIQ NA L (T.E. ZADANIE PROEKCIJ pr1; pr2 : L ¡! Z) ZAWISIT NE TOLXKO OT SAMOJ RE[ETKI L, NO I OT WYBORA WEKTOROW u, v I, W SWO@ O^EREDX, OPREDELQET \TI WEKTORY.
² |LEMENTARNYE Q^EJKI. pUSTX L — DWUMERNAQ RE[ETKA, POROVDENNAQ WEK-
TORAMI u I v. nAZOWEM STANDARTNOJ \LEMENTARNOJ Q^EJKOJ \TOJ RE[ETKI MNOVESTWO C = fau + bv j 0 · a; b < 1g, \LEMENTARNOJ Q^EJKOJ — L@BOJ SDWIG C PRI POMO]I CELYH KRATNYH WEKTOROW u I v:
Cmn = C + mu + nv =fx + mu + nv j x 2 Cg =
fau + bv j m · a < m + 1; n · b < n + 1g:
tAKIM OBRAZOM, KAVDAQ \LEMENTARNAQ Q^EJKA SODERVIT ROWNO ODIN UZEL RE[ETKI I, OBRATNO, KAVDYJ UZEL RE[ETKI SODERVITSQ W EDINSTWENNOJ \LEMENTARNOJ Q^EJKE. qSNO, ^TO \LEMENTARNAQ Q^EJKA IZOMORFNA DEKARTOWU KWADRATU [0; 1[2. wPRO^EM, W KRISTALLOGRAFII \LEMENTARNOJ Q^EJKOJ ^ASTO NAZYWA@T ZAMYKANIE NA[EJ \LEMENTARNOJ Q^EJKI, T.E., NAPRIMER, MNOVESTWO C = fau + bv j 0 · a; b · 1g, IZOMORFNOE DEKARTOWU KWADRATU [0; 1]2.
tEPERX MY W SOSTOQNII OBOB]ITX PREDSTAWLENIE ^ISLA W WIDE SUMMY CELOJ I DROBNOJ ^ASTEJ NA SLU^AJ PLOSKOSTI. pRI \TOM ROLX CELYH ^ASTEJ BUDUT IGRATX TO^KI NEKOTOROJ RE[ETKI L.
zADA^A. pOSTROJTE RAZLOVENIE \WKLIDOWOJ PLOSKOSTI R2 W PRQMOE PROIZWEDENIE DWUH MNOVITELEJ, ODIN IZ KOTORYH L.
oTWET. nU, KONE^NO, \TO R2 = L £ C, GDE C – STANDARTNAQ (W DEJSTWITELXNOSTI, KAKAQ-TO) \LEMENTARNAQ Q^EJKA.
² kOORDINATY NA SFERE. rASSMOTRIM SFERU S2 S DWUMQ WYDELENNYMI PROTIWOPOLOVNYMI TO^KAMI, NAZYWAEMYMI SEWERNYM POL@SOM z I @VNYM POL@SOM z¤, SOOTWETSTWENNO. w GEOGRAFII I ASTRONOMII POL@SY OBY^NO OBOZNA^A@TSQ NP I SP, PRI^EM ASTRONOMY NAZYWA@T z ZENITOM, A z¤ — NADIROM. pRQMAQ, PROHODQ]AQ ^EREZ POL@SY, BUDET NAZYWATXSQ POLQRNOJ OSX@. pUSTX, DALEE, 0 — CENTR SFERY. bOLX[AQ OKRUVNOSTX, LEVA]AQ W PLOSKOSTI, ORTOGONALXNOJ K POLQRNOJ OSI I PROHODQ]EJ ^EREZ 0 NAZYWAETSQ \KWATOROM (W ASTRONOMII — GORIZONTOM, \KLIPTIKOJ I TOMU PODOBNOE, W ZAWISIMOSTI OT WYBORA POLQRNOJ OSI), SAMA \TA PLOSKOSTX NAZYWAETSQ PLOSKOSTX@ \KWATORA. pERESE^ENIQ SFERY S PLOSKOSTQMI, PARALLELXNYMI PLOSKOSTI \KWATORA, NAZYWA@TSQ PARALLELQMI, PRI \TOM KAVDAQ TO^KA x LEVIT NA EDINSTWENNOJ PARALLELI. l@BAQ DUGA BOLX[OGO KRUGA, OPIRA- @]AQSQ NA POL@SA NAZYWAETSQ MERIDIANOM, KAVDAQ TO^KA x =6 z; z¤ LEVIT NA EDINSTWENNOM MERIDIANE. oBY^NO ODIN IZ MERIDIANOW FIKSIRUETSQ I PROWOZGLA-
[AETSQ NULEWYM MERIDIANOM.
tOGDA KAVDOJ TO^KE x =6 z; z¤ NA \TOJ SFERE SOPOSTAWLQETSQ PARA (µ; Á), SOSTOQ- ]AQ IZ DWUH UGLOW, NAZYWAEMYH, SOOTWETSTWENNO, [IROTOJ I DOLGOTOJ \TOJ TO^KI
(A W ASTRONOMII — SKLONENIEM I PRQMYM WOSHOVDENIEM I T.D.). {IROTA TO^KI x OPREDELQETSQ KAK PROEKCIQ TO^KI x NA NULEWOJ MERIDIAN, T.E. TO^KA PERESE^E- NIQ NULEWOGO MERIDIANA S EDINSTWENNOJ PARALLELX@, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU x.
140 |
NIKOLAJ WAWILOW |
oBY^NO [IROTA OTOVDESTWLQETSQ S UGLOM µ 2] ¡ ¼=2; ¼=2[ MEVDU LU^OM 0x I PLOSKOSTX@ \KWATORA. nA SAMOM DELE, KONE^NO, OTRICATELXNYMI [IROTAMI OBY^NO NE POLXZUETSQ, W GEOGRAFII POLOVITELXNYE [IROTY NAZYWA@TSQ SEWERNYMI, A OTRICATELXNYE – @VNYMI, A W MEHANIKE [IROTOJ OBY^NO NAZYWAETSQ UGOL MEVDU OSX@ 0x I OSX@ 0z, IZMENQ@]IJSQ W INTERWALE ]0; ¼[. dOLGOTOJ TO^KI x NAZYWAETSQ EE PROEKCIQ NA \KWATOR, T.E. TO^KA PERESE^ENIQ \KWATORA S MERIDIANOM, PROHODQ]IM ^EREZ TO^KU x. pRI \TOM [IROTA TOVE OBY^NO OTOVDESTWLQETSQ S UGLOM Á 2 [0; 2¼[ MEVDU PLOSKOSTX@ NULEWOGO MERIDIANA I PLOSKOSTX@ MERIDIANA, NA KOTOROM LEVIT TO^KA x. pRI \TOM POLOVITELXNYM NAPRAWLENIEM OBY^NO S^ITAETSQ NAPRAWLENIE PROTIW ^ASOWOJ STRELKI, ESLI SMOTRETX IZ z. tAKIM OBRAZOM, DOLGOTA POL@SOW NE OPREDELENA, A L@BAQ DRUGAQ TO^KA SFERY ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ PAROJ (µ; Á). |TO ZNA^IT, ^TO SFERA S WYKOLOTYMI POL@SAMI S2 n fz; z¤g ESTESTWENNO OTOVDESTWLQETSQ S PRQMYM PROIZWEDENIEM (¡¼=2; ¼=2) £ T NULEWOGO MERIDIANA NA \KWATOR.
²nUMERACIQ BILETOW. tIPI^NYJ PRIMER DEKARTOWA PROIZWEDENIQ KONE^NYH MNOVESTW, S KOTORYM KAVDOMU PRIHODITSQ STALKIWATXSQ W VIZNI — \TO NUMERACIQ AWIACIONNYH I TEATRALXNYH BILETOW. nA BILETE OBY^NO UKAZYWAETSQ RQD I ME- STO. w PROSTEJ[EM SLU^AE, KOGDA W SAMOLETE TOLXKO ODIN KLASS, WSE RQDY SODERVAT ODINAKOWOE KOLI^ESTWO MEST. kAVDOE MESTO ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ ZADANIEM RQDA, KOTORYJ OBY^NO OBOZNA^AETSQ ^ISLOM OT 1 DO n, W SAMOLETE SREDNEGO RAZMERA, SKAVEM, n = 30 I ZADANIEM MESTA W RQDU, KOTOROE OBY^NO OBOZNA^AETSQ LATINSKOJ BUKWOJ, W SAMOLETE SREDNEGO RAZMERA A; B; C; D; E; F . tAKIM OBRAZOM, MESTO W SAMOLETE MOVET BYTX OTOVDESTWLENO S PAROJ (i; x), GDE i 2 n, x 2 fA; B; C; D; E; F g. tAKVE I W KINOTEATRAH I MNOGIH TEATRAH NA BILETE UKAZYWAETSQ NOMER RQDA I NOMER MESTA W RQDU. w PROSTEJ[EM SLU^AE PRQMOUGOLXNOGO ZALA (SKAVEM, W SLU^AE PARTERA BOLX[OGO ZALA pETERBURGSKOJ fILARMONII) MNOVESTWO MEST MOVET BYTX OTOVDESTWLENO S m £ n, GDE m — ^ISLO RQDOW, A n — ^ISLO MEST W RQDU. aNALOGI^NAQ SISTEMA ISPOLXZUETSQ I PRI NUMERACII VELEZNODOROVNYH BILETOW, GDE NA BILETE UKAZYWAETSQ NOMER WAGONA I NOMER MESTA. sNOWA W PREDPOLOVENII, ^TO WSE WAGONY IME@T ODINAKOWOE KOLI^ESTWO MEST, MNOVESTWO WSEH MEST W POEZDE MOVNO OTOVDESTWITX S MNOVESTWOM PAR (i; j), GDE i — NOMER WAGONA, A j — NOMER MESTA W WAGONE.
²{AHMATNAQ DOSKA. w PERWOM PRIBLIVENII [AHMATNOJ DOSKOJ NAZYWAETSQ MNOVESTWO, SOSTOQ]EE IZ 64 POLEJ (ILI KLETOK), RASPOLOVENYH W WIDE KWADRATA 8 £ 8. |TO MNOVESTWO MOVET BYTX RAZBITO NA 8 WERTIKALXNYH POLOS [IRINOJ W 1 KLETKU, NAZYWAEMYH, WERTIKALQMI ILI 8 GORIZONTALXNYH POLOS WYSOTOJ W ODNU KLETKU, NAZYWAEMYH GORIZONTALQMI. kAVDOE POLE ODNOZNA^NO OPREDELQET WERTIKALX I GORIZONTALX, W KOTORYH ONO RASPOLOVENO (NA [KOLXNOM VARGONE ‘ABSCISSU’ I ‘ORDINATU’ \TOGO POLQ). w SWO@ O^EREDX, POLE ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ ZADANIEM SWOEJ WERTIKALI I SWOEJ GORIZONTALI. |TO ZNA^IT, ^TO POLE MOVET BYTX OTOVDESTWLENO S UPORQDO^ENNOJ PAROJ, SOSTOQ]EJ IZ WERTIKALI I GORIZONTALI. tRADICIONNO WERTIKALI NUMERU@TSQ LATINSKIMI BUKWAMI OT a DO f, A GORIZONTALI — ARABSKIMI CIFRAMI OT 1 DO 8, PO\TOMU MY WWEDEM MNOVESTWA V = fa; b; c; d; e; f; g; hg I H = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8g. tAKIM OBRAZOM, [AHMATNU@ DOSKU B MOVNO OTOVDESTWITX S PRQMYM PROIZWEDENIEM V £ H. pRI \TOM W OBY^NOJ [AHMATNOJ NOTACII WMESTO (b; 4) PI[UT b4, NO SUTX OT \TOGO, KONE^NO, NE MENQETSQ.
w DEJSTWITELXNOSTI, KROME RAZLOVENIQ W PRQMOE PROIZWEDENIE, [AHMATNAQ DOSKA IMEET E]E ODNU WAVNEJ[U@ STRUKTURU, KOTORAQ BUDET ^REZWY^AJNO POLEZNA PRI