vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

GOWORQT DAVE O KORNQH FUNKCII g. tAKOE SLOWOUPOTREBLENIE SOWER- [ENNO ^UVDO PRAKTIKE, PRINQTOJ, SKAVEM, W KOMPLEKSNOM ANALIZE, GDE ISPOLXUETSQ ISKL@^ITELXNO TERMIN NULX FUNKCII (KAK W WYRAVENII “NULI I POL@SY”). bOLEE TOGO, PROFESSIONALXNYE ALGEBRAI^ESKIE GEOMETRY OBY^NO GOWORQT DAVE O NULQH MNOGO^LENOW.

oBOZNA^IM ^EREZ Xg DOPOLNENIE K MNOVESTWU NULEJ FUNKCII g, T.E. MNOVESTWO TEH TO^EK x 2 X, W KOTORYH FUNKCIQ f NE OBRA]AETSQ W

0.

Xg = X n X(g) = fx 2 X j g(x) 6= 0g:

tO^KI, W KOTORYH g NE OBRA]AETSQ W 0, NAZYWA@TSQ E]E NENULQMI FUNKCII g.

kOMMENTARIJ. w SLU^AE, KOGDA MNOVESTWO X KONE^NO ILI DISKRETNO, ESTESTWENNO NAZYWATX Xg NOSITELEM FUNKCII g, I OBOZNA^ATX EGO ^EREZ Supp(g). oDNAKO OSNOWNOJ SLU^AJ, KOTORYJ NAS BUDET INTERESOWATX W NASTOQ]EM PARAGRAFE — \TO SLU^AJ POLINOMIALXNOGO OTOBRAVENIQ g : K ¡! K. dLQ BESKONE^NOGO POLQ K NAZYWATX Xg NOSITELEM NE SOWSEM UMESTNO. dELO W TOM, ^TO L@BOE POLE K ESTESTWENNO SNABVAETSQ KOKONE^NOJ TOPOLOGIEJ (SOWPADA@]EJ W \TOM SLU^AE S TOPOLOGIEJ zARISKOGO), A W SLU^AE TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW NOSITELEM FUNKCII OBY^NO NAZYWAETSQ ZAMYKANIE MNOVESTWA EE NENULEJ. tEM SAMYM W SLU^AE BESKONE^NOGO POLQ NOSITELEM L@BOJ NENULEWOJ POLINOMIALXNOJ FUNKCII QWLQETSQ WSE POLE K, A WOWSE NE MNOVESTWO NENULEJ \TOJ FUNKCII.

f=g : x 7!f(x)=g(x). ~ASTNOE DWUH FUNKCIJ NE OPREDELENO W NULQH FUNKCII g, T.E TEH x 2 X, DLQ KOTORYH g(x) = 0. tAKIM OBRAZOM, S TEORETIKO-MNOVESTWENNOJ TO^KI ZRENIQ f=g : Xg ¡! K. |TO ZNA^IT, ^TO PO OTNO[ENI@ K ISHODNOJ OBLASTI OPREDELENIQ X FUNKCIJ f I g IH ^ASTNOE f=g QWLQETSQ, WOOB]E GOWORQ, LI[X ^ASTI^NOJ FUNKCIEJ, T.E. OTOBRAVAET W Y NE SAMO MNOVESTWO X, A LI[X EGO PODMNOVESTWO Xg. tEM NE MENEE, S KATEGORNOJ TO^KI ZRENIQ (PRINQTOJ, SKAVEM, W ALGEBRAI^ESKOJ GEOMETRII) f=g QWLQETSQ MORFIZMOM X W K. ~TOBY OTMETITX \TOT FAKT I SOHRANITX X W OBOZNA^ENIQH, OBY^- NO PI[UT f=g : X 99K K, GDE STRELKA 99K, TEXNI^ESKI NAZYWAEMAQ ndashrightarrow, UKAZYWAET NA TO, ^TO f=g NE QWLQETSQ WS@DU OPREDELENNYM. qSNO, ^TO FUNKCIQ f=g W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE WS@DU OPREDELENA, KOGDA g NIGDE NE OBRA]AETSQ W 0, T.E. g(x) =6 0 DLQ WSEH x 2 X.

3. rACIONALXNYE FUNKCII. nEFORMALXNO, RACIONALXNYMI FUNKCIQMI NAZYWA@TSQ FUNKCII, POLU^A@]IESQ IZ POSTOQNNYH OTOBRAVENIJ I TOVDESTWENNOGO OTOBRAVENIQ PRIMENENIEM RACIONALXNYH ALGEBRAI^ESKIH OPERACIJ SLOVENIQ, UMNOVENIQ I DELENIQ NA NENULEWU@

FUNKCI@. dADIM TEPERX TO^NOE OPREDELENIE. pO PRI^INAM, KOTORYE STANUT QSNY ^EREZ MGNOWENIE, MY PREDPO^TEM OTSTUPITX OT [KOLXNOJ TERMINOLOGII I NAZYWATX OTNO[ENIE DWUH POLINOMIALXNYH FUNKCIJ

RACIONALXNYM OTOBRAVENIEM.

oPREDELENIE. rACIONALXNYM OTOBRAVENIEM NAZYWAETSQ OTOB-

RAVENIE WIDA f=g : Kg ¡! K, GDE f I g SUTX DWE POLINOMIALXNYE FUNKCII K ¡! K, PRI^EM g 6= 0.

nAPOMNIM, ^TO g =6 0 OZNA^AET, ^TO NAJDETSQ HOTQ BY ODNO x 2 X, DLQ KOTOROGO g(x) =6 0. pRIMERAMI RACIONALXNYH OTOBRAVENIJ QWLQ- @TSQ POLINOMIALXNYE FUNKCII, KOTORYE W \TOM KONTEKSTE NAZYWA@TSQ E]E CELYMI RACIONALXNYMI FUNKCIQMI. a WOT NESKOLXKO PRIMEROW RACIONALXNYH OTOBRAVENIJ, NE QWLQ@]IHSQ CELYMI (I, SLEDOWATELXNO, WOOB]E GOWORQ, NE WS@DU OPREDELENNYH!):

zADA^A. gDE OPREDELENY UKAZANNYE WY[E OTOBRAVENIQ?

oTWET. nU, PO KRAJNEJ MERE DLQ TRETXEGO I ^ETWERTOGO IZ NIH \TO ZAWISIT OT TOGO, NAD KAKIM POLEM MY IH RASSMATRIWAEM.

4. rAWENSTWO RACIONALXNYH FUNKCIJ. n@ANS ZDESX SOSTOIT W TOM, ^TO OBY^NO ISPOLXZUEMOE PONQTIE RAWENSTWA RACIONALXNYH FUNKCIJ OTLI^AETSQ OT OB]EGO PONQTIQ RAWENSTWA OTOBRAVENIJ. a IMENNO, PO OPREDELENI@ f : x 7!x2=x QWLQETSQ RACIONALXNYM OTOBRAVENIEM. sOWPADAET LI ONO S TOVDESTWENNYM OTOBRAVENIEM idK : x 7!x. eSLI ISPOLXZOWATX OB]EE OPREDELENIE RAWENSTWA OTOBRAVENIJ, TO NET, TAK KAK OBLASTI OPREDELENIQ \TIH OTOBRAVENIJ RAZLI^NY. w SAMOM DELE, idK WS@DU OPREDELENA NA K, W TO WREMQ KAK f OPREDELENA LI[X W TEH TO^KAH, GDE ZNAMENATELX DROBI x2=x NE OBRA]AETSQ W 0, T.E. LI[X DLQ x 6= 0. tAKIM OBRAZOM,

D(f) = K n f0g 6= K = D(idK).

w TO VE WREMQ, L@BOJ [KOLXNYJ U^EBNIK ALGEBRY SKAVET wAM, ^TO x2=x = x. dLQ \TOGO W [KOLXNOJ PROGRAMME WWODITSQ PONQTIE ‘ESTESTWENNOJ OBLASTI OPREDELENIQ’ RACIONALXNOJ FUNKCII. sLEDU@]EE NEFORMALXNOE RASSUVDENIE SLUVIT LI[X MOTIWIROWKOJ POSLEDU@]EGO FORMALXNOGO OPREDELENIQ, PO\TOMU MY SOHRANQEM W NEM WS@ NE^ISTOPLOTNOSTX \LEMENTARNOGO PODHODA. a IMENNO, PUSTX f=g

— L@BOE RACIONALXNOE OTOBRAVENIE. mOL^ALIWO OTOVDESTWIW POLINOMIALXNYE FUNKCII S SOOTWETSTWU@]IMI MNOGO^LENAMI I WSPOMNIW ARIFMETI^ESKIE SWOJSTWA MNOGO^LENOW, MOVNO NAJTI NAIBOLX[IJ OB]IJ DELITELX ^ISLITELQ I ZNAMENATELQ, SKAVEM h. tOGDA, f = f0h, g = g0h, GDE f0 I g0 WZAIMNO PROSTY. pOSLE \TOGO MNO-

VESTWO Kg0 PROWOZGLA[AETSQ ESTESTWENNOJ OBLASTX@ OPREDELENIQ FUNKCII f=g, PRI^EM ZNA^ENIE f=g W TO^KE x 2 Kg0 OPREDELQETSQ KAK (f=g)(x) = f0(x)=g0(x). tAKIM OBRAZOM, ‘ESTESTWENNAQ OBLASTX OPREDELENIQ’ RACIONALXNOJ FUNKCII f=g MOVET BYTX STROGO [IRE, ^EM OBLASTX OPREDELENIQ f=g KAK RACIONALXNOGO OTOBRAVENIQ, ^TO I NABL@DAETSQ, NAPRIMER, DLQ FUNKCII x 7!x2=x. a TEPERX FORMALIZUEM OPISANNOE WY[E RASSUVDENIE.

5. rOSTKI OTOBRAVENIJ. |TO ZNA^IT, ^TO W DEJSTWITELXNOSTI POD RACIONALXNOJ FUNKCIEJ’ W [KOLXNOJ PROGRAMME PODRAZUMEWAETSQ WOWSE NE RACIONALXNOE OTOBRAVENIE, A NE^TO SOWSEM DRUGOE, I SEJ^AS MY POKAVEM, KAK MOVNO PRIDATX SMYSL PERESKAZANNOJ WY[E ^EPUHE. dLQ \TOGO NAPOMNIM, ^TO PODMNOVESTWO A MNOVESTWA X NAZYWAETSQ KOKONE^NYM (co-finite), ESLI X n A KONE^NO. mNOVESTWO WSEH KOKONE^NYH PODMNOVESTW W X OBOZNA^AETSQ ^EREZ CofX.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO CofX OBRAZUET FILXTR W 2X, A IMENNO,

1)eSLI A I B KOKONE^NY, TO I A \ B KOKONE^NO;

2)eSLI A KOKONE^NO I A µ B, TO I B KOKONE^NO.

oPREDELENIE. rOSTKOM OTOBRAVENIJ IZ X W Y NAZYWAETSQ KLASS \KWIWALENT- NOSTI OTOBRAVENIJ f : Xf ¡! Y , GDE Xf – NEKOTOROE KOKONE^NOE PODMNOVE- STWO W X, OTNOSITELXNO SLEDU@]EGO OTNO[ENIQ \KWIWALENTNOSTI: f » g W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA fjXf \Xg = gjXf \Xg .

zADA^A. pOKAVITE, ^TO OPISANNOE W \TOM OPREDELENII OTNO[ENIE DEJSTWITELXNO QWLQETSQ OTNO[ENIEM \KWIWALENTNOSTI NA MNOVESTWE ^ASTI^NYH OTOBRAVENIJ f : X 99K Y S KOKONE^NOJ OBLASTX@ OPREDELENIQ.

uKAZANIE. wOSPOLXZUJTESX PREDYDU]EJ ZADA^EJ.

oPISANNYE WY[E ROSTKI PREDSTAWLQ@T SOBOJ TAK NAZYWAEMYE OB]IE ILI RODOWYE ROSTKI FUNKCIJ (generic germs). oNI OPREDELQ@TSQ POSREDSTWOM OTKRYTYH MNOVESTW KOKONE^NOJ TOPOLOGII, SOWPADA@]EJ W SLU^AE POLQ S TOPOLOGIEJ zARISKOGO. tOLXKO ONI OBY^NO I BUDUT NAS INTERESOWATX W ALGEBRE, W SWQZI S RACIONALXNYMI FUNKCIQMI. rAZUMEETSQ, W GEOMETRII I ANALIZE OBY^NO RASSMATRIWA@T ROSTKI OTNOSITELXNO DRUGIH FILXTROW, NAPRIMER, FILXTRA OKRESTNOSTEJ DANNOJ TO^KI (‘ROSTOK W TO^KE’), FILXTRA MNOVESTW, DOPOLNENIE K KOTORYM IMEET MERU 0, I T.D.

6. rOSTKI RACIONALXNYH OTOBRAVENIJ. tEPERX QSNO, ^TO, NAPRIMER, OTOB-

RAVENIQ f : x 7!x=x I g : x 7!x ¡ 1=x ¡ 1 BUDU^I RAZNYMI OTOBRAVENIQMI, PRINADLEVAT ODNOMU I TOMU VE ROSTKU. w SAMOM DELE, PERWOE IZ NIH OPREDELENO NA K n f0g, A WTOROE NA K n f1g, NO NA PERESE^ENII IH OBLASTEJ OPREDELENIQ K n f0; 1g ONI SOWPADA@T. tEPERX MY GOTOWY DATX PRAWILXNOE OPREDELENIE RACIONALXNOJ FUNKCII.

oPREDELENIE. rACIONALXNOJ FUNKCIEJ h : K 99K K NAZYWAETSQ ROSTOK RA-

CIONALXNYH OTOBRAVENIJ IZ K W K.

l@BOE RACIONALXNOE OTOBRAVENIE f=g : Kg ¡! K, PRINADLEVA]EE DANNOMU ROSTKU, PREDSTAWLQET DANNU@ RACIONALXNU@ FUNKCI@. pRI \TOM SU]ESTWUET EDINSTWENNOE RACIONALXNOE OTOBRAVENIE f0=g0 : Kg0 ¡! K, OBLASTX OPREDELENIQ KOTOROGO SODERVIT OBLASTI OPREDELENIQ WSEH DRUGIH RACIONALXNYH OTOBRAVENIJ, PREDSTAWLQ@]IH DANNU@ RACIONALXNU@ FUNKCI@. tOGDA Kg0 I NAZYWAETSQ ESTESTWENNOJ OBLASTX@ OPREDELENIQ \TOJ RACIONALXNOJ FUNKCII. mNOVESTWO K(g0) NULEJ FUNKCII g0 NAZYWAETSQ MNOVESTWOM POL@SOW RACIONALXNOJ FUNKCII f=g.

x 13. aLGEBRAI^ESKIE FUNKCII

~TO TAKOE ALGEBRAI^ESKAQ FUNKCIQ PEREMENNYH x1; : : : ; xn? oBY^NO GOWORQT, ^TO \TO FUNKCIQ, UDOWLETWORQ@]AQ ALGEBRAI^ESKOMU URAWNENI@

f(x1; : : : ; xn; y) = 0:

w SLU^AE FUNKCIJ ODNOJ NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ \TO PROSTO FUNKCII UDOWLETWORQ@]IE ALGEBRAI^ESKOMU URAWNENI@ f(x; y) = 0, T.E., INYMI

SLOWAMI,

fn(x)xn + : : : + f1(x)y + f0(x) = 0:

pO \TOMU OPREDELENI@ WYHODIT, ^TO y = jxj ALGEBRAI^ESKAQ FUNKCIQ, TAK KAK ONA UDOWLETWORQET ALGEBRAI^ESKOMU URAWNENI@ y2 ¡ x2 = 0. kONE^NO, \TO GLUPOSTX, NO PRI^INA ZDESX PRINCIPIALXNAQ. dELO W TOM, ^TO ALGEBRAI^ESKAQ FUNKCIQ PO SAMOJ SUTI SWOEJ MNOGOZNA^NA I W jxj W TO^KE 0 PROISHODIT SKA^OK S WETKI NA WETKU.

mNOGOZNA^NYE FUNKCII. oBOB]IM PONQTIE OTOBRAVENIQ. sKAVEM, ^TO ZADANA MNOGOZNA^NAQ FUNKCIQ f : X ( Y , ESLI KAVDOMU x 2 X SOPOSTAWLENO NEPUSTOE PODMNOVESTWO W Y . sU]ESTWUET DWA OSNOWNYH SPOSOBA SWESTI PONQTIE MNOGOZNA^NOJ FUNKCII K PONQTI@ OTOBRAVENIQ.

² rASSMATRIWATX MNOGOZNA^NU@ FUNKCI@ KAK OTOBRAVENIE X 7!2Y .

e

² rASSMATRIWATX MNOGOZNA^NU@ FUNKCI@ KAK OTOBRAVENIE X 7!Y .

mY NE BUDEM PYTATXSQ DAWATX OB]EE OPREDELENIE ALGEBRAI^ESKOJ FUNKCII, A OGRANI^IMSQ NESKOLXKIMI PRIMERAMI I POQSNENIQMI, DOSTATO^NYMI, ^TOBY OHWATITX TE ALGEBRAI^ESKIE FUNKCII, KOTORYE WSTRE^ALISX W [KOLXNOJ PROGRAMME.

l@BAQ RACIONALXNAQ FUNKCIQ a fortiori QWLQETSQ ALGEBRAI^ESKOJ. a WOT NESKOLXKO PRIMEROW IRRACIONALXNYH ALGEBRAI^ESKIH FUNKCIJ:

pUSTX TEPERX K — POLE, SKAVEM, K = R; C. wOOB]E, ALGEBRAI- ^ESKAQ FUNKCIQ PEREMENNOJ x — \TO FUNKCIQ f, UDOWLETWORQ@]AQ ALGEBRAI^ESKOMU URAWNENI@ F (x; f) = 0, GDE F 2 K[x; y] MNOGO^LEN OT DWUH PEREMENNYH. wOOB]E GOWORQ, ALGEBRAI^ESKAQ FUNKCIQ NE QWLQETSQ OTOBRAVENIEM. dELO W TOM, ^TO ODNOMU ZNA^ENI@ ARGUMENTA KAK PRAWILO SOOTWETSTWUET NESKOLXKO RAZLI^NYH ZNA^ENIJ FUNKCII.

p

fUNKCIQ x 7! x. eSLI OGRANI^ITXSQ WE]ESTWENNYMI ^ISLAMI, TO WOOB]E NEWOZMOVNO OPREDELITX px W SLU^AE, KOGDA x < 0. pO\TOMU W \LEMENTARNOJ MATEMATIKE OBY^NO GOWORQT, ^TO px OPREDELEN TOLXKO ESLI x ¸ 0. s DRUGOJ STORONY, W \TOM SLU^AE WSE RAWNO SU]ESTWUET DWA ZNA^ENIQ KORNQ px I W \LEMENTARNOJ MATEMATIKE SOWER[ENNO PRO-

IZWOLXNO WYBIRAETSQ ODIN IZ NIH, A IMENNO, NEOTRICATELXNYJ. tAKIM p

OBRAZOM, x 7! x RASSMATRIWAETSQ KAK FUNKCIQ R+ ¡! R+. nASTOQ]EE RE[ENIE PROBLEMY MNOGOZNA^NOSTI SOSTOIT NE W TOM,

^TOBY S^ITATX, ^TO ODNOMU ARGUMENTU SOPOSTAWLQETSQ MNOVESTWO ZNA- ^ENIJ, A W TOM, ^TOBY SOZDATX NESKOLXKO KOPIJ ARGUMENTA. iMENNO W \TOM SOSTOIT IDEQ WWEDENIQ RIMANOWYH POWERHNOSTEJ.

x 14. `|LEMENTARNYE' FUNKCII

q STAL NEMNOGO ZABYWATX TEORI@ FUNKCIJ. nU, \TO WOSSTANOWITSQ. wRA^ OBE]AL ... WRET, NAWERNO.

wLADIMIR wYSOCKIJ. ‘dELXFINY I PSIHI (ZAPISKI SUMA- S[ED[EGO)’

mY NE BUDEM PYTATXSQ DATX MATEMATI^ESKOE OPREDELENIE WYRAVENI@ “\LEMENTARNAQ FUNKCIQ”. w OBY^NOM SLOWOUPOTREBLENII \TO WYRAVENIE NE QWLQETSQ MATEMATI^ESKIM TERMINOM, A OZNA^AET, PRIMERNO, “FUNKCIQ WSTRE^A@]AQSQ ILI UPOTREBLQEMAQ W \LEMENTARNOJ MATEMATIKE”[. wOT KAKOE (DE)LIRI^ESKOE OPREDELENIE DAETSQ, NAPRIMER, W mATEMATI^ESKOJ |NCIKLOPEDII: ‘|LEMENTARNYE FUNKCII —

KLASS FUNKCIJ, SOSTOQ]IJ IZ MNOGO^LENOW, POKAZATELXNYH FUNKCIJ, LOGARIFMI^ESKIH FUNKCIJ, TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ I OBRAT- NYH TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ, A TAKVE FUNKCIJ, POLU^A@]IHSQ IZ PERE^ISLENNYH WY[E S POMO]X@ ARIFMETI^ESKIH OPERACIJ I SUPERPOZICII, PRIMENENNYH KONE^NOE ^ISLO RAZ.’ nAPRIMER, IZ \TOGO OPREDELENIQ SOWER[ENNO NEQSNO, GDE OPREDELENY \LEMENTARNYE FUNKCII. iNTERESNO, ^TO AWTORY SPRAWO^NIKA124 NE PYTA@TSQ DATX OPREDELENIE ‘\LEMENTARNOJ FUNKCII’, A PROSTO RASSMATRIWA@T OSNOWNYE PRIMERY. aNALITI^ESKIE FUNKCII, NE QWLQ@]IESQ \LEMENTARNYMI, PRINQTO NAZYWATX SPECIALXNYMI.

kOMMENTARIJ 1. qSNO, PO^EMU NA \LEMENTARNOM UROWNE NIKTO NE PYTALSQ DATX OPREDELENIE \LEMENTARNOJ FUNKCII. wEDX W \LEMENTARNOJ MATEMATIKE NET NI ODNOJ TEOREMY, KOTORAQ NA^INALASX BY TAK: ‘pUSTX f — \LEMENTARNAQ FUNKCIQ.

[aNALITI^ESKAQ FUNKCIQ | FUNKCIQ WSTRE^A@]AQSQ ILI UPOTREBLQEMAQ W ANALIZE.

124l.a.l@cTERNIK, o.a.~ERWONENKIc, a.r.qNPOLXSKIJ, mATEMATI^ESKIJ ANALIZ, wY^ISLENIE \LEMENTARNYH FUNKCIJ. — fIZMATGIZ, m., 1963, S.1–247.

tOGDA : : : ’ a TAM, GDE NET DOKAZATELXSTW, NE NUVNY I TO^NYE OPREDELENIQ. iMENNO TAKOJ HARAKTER NOSIT BOLX[AQ ^ASTX PRIKLADNOJ MATEMATIKI — RAZUMEETSQ, NE NASTOQ]IH PRILOVENIJ MATEMATIKI, KOTORYMI ZANIMALISX MATEMATIKI PERWOGO RQDA, A FIKTIWNOJ PRIKLADNOJ MATEMATIKI, KOTOROJ ZANIMA@TSQ PRIKLADNYE MATEMATIKI\;\, KOTORYE SKRYWA@T BESSODERVATELXNOSTX SWOEJ DEQTELXNOSTI I SWOE NEPONIMANIE DUHA MATEMATIKI MNIMYM PRIKLADNYM HARAKTEROM SWOIH ISSLEDOWANIJ. tIPI^NYMI ILL@STRACIQMI QWLQ@TSQ TEORIQ NE^ETKIH MNOVESTW, KLASSI^ESKIJ HAOS, W OSOBENNOSTI, ‘TEORIQ’ FRAKTALEJz I PR.

kOMMENTARIJ 2. dLQ MENQ LI^NO, KLASSE TAK W 7-M, GLAWNOJ TRUDNOSTX@ PRI IZU^ENII [KOLXNOJ MATEMATIKI BYLO PONQTX, ^TO ^ASTX DAWAEMYH W [KOLXNYH U^EBNIKAH ‘OPREDELENIJ’ QWLQETSQ NASTOQ]IMI MATEMATI^ESKIMI OPREDELENIQMI, ^ASTX MOVNO PREWRATITX W NASTOQ]IE MATEMATI^ESKIE OPREDELENIQ, A ^ASTX NOSIT ^ISTO LINGWISTI^ESKIJ HARAKTER. nAPRIMER, Q POMN@ SWOI MU^ITELXNYE (I, RAZUMEETSQ, ABSOL@TNO BEZUSPE[NYE!) POPYTKI PONQTX DAWAEMYE W [KOLXNYH U^EBNIKAH “OPREDELENIQ” URAWNENIQ, RAWENSTWA I TOVDESTWA. s MOEJ TO^KI ZRENIQ OSNOWNAQ CELX IZU^ENIQ MATEMATIKI W [KOLE — WOSPITANIE PRIWY^KI K INTELLEKTUALXNOJ ^ESTNOSTI. i HUD[EE, ^TO MOVNO ZDESX WOOBRAZITX, \TO SME[IWATX NASTOQ]IE MATEMATI^ESKIE OPREDELENIQ I PSEWDO-OPREDELENIQ, W DUHE PRIWEDENNOGO WY[E “OPREDELENIQ” \LEMENTARNYH FUNKCIJ. w L@BOM SLU^AE \TO GORAZDO BOLEE PRESTUPNAQ PRAKTIKA, ^EM (WYZWANNAQ NEOBHODIMOSTX@!) TRADICIQ WYDAWATX PSEWDO-DOKAZATELXSTWA.

kOMMENTARIJ 3. |TO NE ZNA^IT, ^TO WYRAVENIE \LEMENTARNAQ FUNKCIQ NE IMEET MATEMATI^ESKOGO SMYSLA. nAPROTIW, ABSOL@TNO TO^NYJ SMYSL TERMINU \LEMENTARNAQ FUNKCIQ BYL PRIDAN lIUWILLEM I IMENNO \TOT SMYSL INSTRUMENTALEN W DIFFERENCIALXNOJ ALGEBRE. a IMENNO, \LEMENTARNOJ FUNKCIEJ NAZYWAETSQ FUNKCIQ, PRINADLEVA]AQ NEKOTOROMU POL@, POLU^A@]EMUSQ IZ POLQ RACIONALXNYH FUNKCIJ PRISOEDINENIEM KONE^NOGO ^ISLA ALGEBRAI^ESKIH \LEMENTOW, INTEGRALOW I \KSPONENT OT INTEGRALOW. rAZUMEETSQ, NEOBHODIMOSTX W PODOBNOM MATEMATI^E- SKOM OPREDELENII WOZNIKAET TOLXKO W TOT MOMENT, KOGDA MY HOTIM DOKAZATX, ^TO NE WSE \LEMENTARNYE FUNKCII IME@T \LEMENTARNYE PREWOOBRAZNYE.

pO\TOMU MY NE BUDEM PYTATXSQ OPREDELITX \LEMENTARNYE FUNKCII, A PROSTO PERE^ISLIM OSNOWNYE \LEMENTARNYE FUNKCII, RASSMATRIWAW- [IESQ W [KOLXNOJ PROGRAMME. iNWARIANTNYJ SMYSL \TIH FUNKCIJ SOSTOIT W TOM, ^TO ONI QWLQ@TSQ EDINSTWENNYMI NEPRERYWNYMI GOMOMORFIZMAMI MEVDU ADDITIWNOJ I MULXTIPLIKATIWNOJ STRUKTURAMI WE]ESTWENNYH ^ISEL (SM. kNIGU II). w KNIGE III MY DAEM PRAWILXNYE OPREDELENIQ WSEH \TIH FUNKCIJ W KOMPLEKSNOJ OBLASTI, A W kNIGE IV

—LINEJNYE ZAWISIMOSTI MEVDU NIMI.

²pOKAZATELXNAQ FUNKCIQ: R ¡! R+, x 7!cx, GDE c 2 R+.

\“kTO PRIKLADYWAET MATEMATIKA?” — “Who applies the mathematician?”.

\‘Applied Mathematics is bad mathematics’ — Paul Halmos.

zq NE UTWERVDA@, ^TO W TEORII FRAKTALEJ NET MATEMATI^ESKOGO SUBSTRATA — NAOBOROT, ZA NEJ STOIT O^ENX SODERVATELXNAQ MATEMATIKA. q UTWERVDA@ LI[X, ^TO KOMMER^ESKAQ DEQTELXNOSTX bENUA mANDELXBROTA & Coo NE UDOWLETWORQET PRINQTYM W MATEMATIKE STANDARTAM.

²sTEPENNAQ FUNKCIQ: R+ ¡! R+, x 7!xc, GDE c 2 R.

²lOGARIFM R+ 7!R, x 7!logc(x), GDE c 2 R+, c 6= 0.

sLEDU@]IE DWA TIPA FUNKCIJ OPREDELQ@TSQ KAK LINEJNYE KOMBINACII POKAZATELXNYH FUNKCIJ. oNI TOVE ESTESTWENNO WOZNIKA@T W KNIGAH II I III KAK KOMPONENTY GOMOMORFIZMOW R 7!GL(2; R).

²kRUGOWYE FUNKCII: R 7!R, x 7!cos(x) I x 7!sin(x).

²gIPERBOLI^ESKIE FUNKCII: R 7!R, x 7!ch(x) I x 7!sh(x). x 14. tRANSCENDENTNYE FUNKCII

1.aLGEBRAI^ESKI TRANSCENDENTNYE FUNKCII. oB]IM DLQ WSEH \LEMENTAR-

NYH FUNKCIJ QWLQETSQ TO, ^TO ONI UDOWLETWORQ@T O^ENX PROSTYM FUNKCIONALXNYM URAWNENIQM (TEOREMY SLOVENIQ, kNIGA II) I O^ENX PROSTYM DIFFERENCIALXNYM URAWNENIQM (kNIGA IV). nAPOMNIM, ^TO FUNKCIQ f NAZYWAETSQ ALGEBRAI^ESKI TRANSCENDENTNOJ, ESLI ONA UDOWLETWORQET ALGEBRAI^ESKOMU DIFFERENCIALXNO-

MU URAWNENI@, IZU^ENIE TAKIH FUNKCIJ SOSTAWLQET PREDMET DIFFERENCIALXNOJ ALGEBRY. s ^ISTO ALGEBRAI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ125 ALGEBRAI^ESKI TRANSCENDENTNAQ FUNKCIQ — \TO FUNKCIQ, PROIZWODNYE KOTOROJ POROVDA@T POLE KONE^NOJ STEPENI TRANSCENDENTNOSTI NAD Q. wSE \LEMENTARNYE FUNKCII — I BOLX[INSTWO NAIBOLEE UPOTREBITELXNYH SPECIALXNYH FUNKCIJ (TAKIE KAK FUNKCII bESSELQ I MNOGIE DRUGIE) — QWLQ@TSQ ALGEBRAI^ESKI TRANSCENDENTNYMI. kLASS ALGEBRAI-

^ESKI TRANSCENDENTNYH FUNKCIJ QWLQETSQ KOLXCOM, ZAMKNUTYM OTNOSITELXNO KOMPOZICII I PEREHODA K OBRATNYM FUNKCIQM126

gAMMA-FUNKCIQ. pERWYJ PRIMER TRANSCENDENTNO TRANSCENDENTNOJ FUNK-

CII BYL POSTROEN |JLEROM, \TO ZNAMENITAQ gAMMA-FUNKCIQ, OPREDELQEMAQ INTEGRALXNYM PREDSTAWLENIEM

Z1

(x) = tx¡1e¡tdt;

0

oDNAKO PERWOE BEZUKORIZNENNOE DOKAZATELXSTWO TOGO, ^TO \TA FUNKCIQ NE UDOWLETWORQET NIKAKOMU ALGEBRAI^ESKOMU DIFFERENCIALXNOMU URAWNENI@, BYLO POLU^E- NO TOLXKO W SAMOM KONCE XIX WEKA oTTO gELXDEROM127. pOZVE aLEKSANDR oSTROWKIJ POLU^IL SOWSEM PROSTOE DOKAZATELXSTWO128 OSNOWANNOE NA BESKONE^NOM SPUSKE S ISPOLXZOWANIEM FUNKCIONALXNOGO URAWNENIQ (x + 1) = x (x).

125J.F.Ritt, E.Gourin, An assemblage-theoretic proof of the existence of transcendentally transcendental functions. – Bull. Amer. Math. Soc., 1927, vol.33, p.182–184.

128A.Ostrowski, Zum H¨olderschen Satz uber¨ (x). — Math. Ann., 1925, Bd.94, S.248–251.

sRAZU POSLE RABOTY gELXDERA aDOLXF gURWIC RASSMATRIWAQ O^ENX BYSTRO SHO-

DQ]IESQ RQDY POSTROIL CELYE KLASSY TRANSCENDENTNO TRANSCENDENTNYH FUNK-

CIJ129 NAPODOBIE

X1 xn

:

n=0 (nn)!

mNOGO DALXNEJ[IH PRIMEROW MOVNO NAJTI W STATXE130

x 15. hARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ PODMNOVESTWA

uPOMQNUTOE W PREDYDU]EM PARAGRAFE OBOZNA^ENIE Y X DLQ MNOVESTWA WSEH OTOBRAVENIJ IZ X W Y SOGLASOWANO S OBOZNA^ENIEM 2X DLQ MNOVESTWA WSEH PODMNOVESTW MNOVESTWA X, O KOTOROM [LA RE^X W gLAWE 2. sLEDU@]EE OPREDELENIE BYLO DANO {ARLEM DE LA wALLE pUSSENOM131.

oPREDELENIE. sOPOSTAWIM PODMNOVESTWU A µ X HARAKTERISTI-

^ESKU@ FUNKCI@ ÂA : X ¡! f0; 1g, PRINIMA@]EJ NA x 2 X ZNA^E- NIE 1, ESLI x 2 A I 0 W PROTIWNOM SLU^AE:

o^EWIDNO, ^TO PODMNOVESTWO A µ X ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ SWOEJ HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCIEJ ÂA, T.E. DLQ DWUH TAKIH PODMNOVESTW

A = B () ÂA = ÂB tAKIM OBRAZOM 2X DEJSTWITELXNO \KWIWALENTNO f0; 1gX.

2. pOLE F2 = f0; 1g IZ DWUH \LEMENTOW. nAPOMNIM, ^TO NA MNO-

VESTWE f0; 1g ESTESTWENNO WWODQTSQ OPERACII SLOVENIQ I UMNOVENIQ, NAZYWAEMYE BULEWYMI SLOVENIEM I UMNOVENIEM ILI, INA^E, SLOVENIEM I UMNOVENIEM PO MODUL@ 2. |TI OPERACII IZWESTNY W LOGIKE I computer science KAK RAZDELITELXNAQ DIZ_@NKCIQ xor I KON_@NKCIQ and, SOOTWETSTWENNO. nAPOMNIM IH TABLICY k\LI:

129A.Hurwitz, Sur le d´eveloppement des fonctions satisfaisant `a une ´equation diff´e- rentielle alg´ebrique. — Ann. Ecole Norm. Sup., 1889, t.6, p.327–332

130L.A.Rubel, A survey of transcendentally transcendental functions. — Amer. Math. Monthly, 1989, vol.96, N.9, p.777–788.

131C.de la Vall´ee Poussin, Int´egrales de Lebesgue, fonctions d’ensemble, classes de Baire. — Paris, 1916.

mNOVESTWO f0; 1g S \TIMI OPERACIQMI NAZYWAETSQ POLEM IZ 2-H \LEMENTOW I OBOZNA^AETSQ F2. nA^INA@]EMU PRO]E WSEGO MYSLITX SEBE \TO POLE SLEDU@]IM OBRAZOM. bUDEM S^ITATX, ^TO 0 — \TO MNOVESTWO 2Z ^ETNYH ^ISEL, A 1 — \TO MNOVESTWO 2Z + 1 NE^ETNYH ^ISEL. tOGDA PRIWEDENNYE WY[E TABLICY k\LI W TO^NOSTI OPISYWA@T ^ETNOSTX/NE^ETNOSTX REZULXTATA SLOVENIQ/UMNOVENIQ ^ETNYH ILI NE^ETNYH ^ISEL. nAPRIMER, SUMMA DWUH NE^ETNYH ^ISEL ^ETNA, ^TO I OB_QSNQET PRAWILO 1 + 1 = 0.

3. hARAKTERISTI^ESKIE FUNKCII I BULEWY OPERACII. sMYSL WWEDENIQ OPERACIJ NA MNOVESTWE f0; 1g SOSTOIT W TOM, ^TO TEPERX MY MOVEM WYRAZITX BULEWY OPERACII NA PODMNOVESTWAH MNOVESTWA X W TERMINAH OPERACIJ NAD IH HARAKTERISTI^ESKIMI FUNKCIQMI.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO DLQ L@BYH DWUH PODMNOVESTW A; B µ X IME- @T MESTO RAWENSTWA

i)ÂA\B = ÂAÂB,

ii)ÂA4B = ÂA + ÂB,

iii)ÂA[B = ÂA + ÂB + ÂAÂB,

iv)ÂAnB = ÂA + ÂAÂB.

rEZULXTATY \TOJ ZADA^I SLUVAT E]E ODNIM ARGUMENTOM W POLXZU TOGO, ^TOBY RASSMATRIWATX \ KAK PROIZWEDENIE MNOVESTW, I 4 — A WOWSE NE [ — KAK SUMMU MNOVESTW.

4. hARAKTERISTI^ESKIE FUNKCII SO ZNA^ENIQMI W Z. iNOGDA UDOBNO S^I-

TATX, ^TO ZNA^ENIQ 0 I 1 HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII QWLQ@TSQ CELYMI ^ISLAMI I DEJSTWIQ NAD NIMI PROIZWODQTSQ PO OBY^NYM PRAWILAM DEJSTWIQ NAD CELYMI ^ISLAMI. nAPRIMER, W \TOM SLU^AE ^ISLO \LEMENTOW KONE^NOGO PODMNOVESTWA A µ X BUDET WYRAVATXSQ KAK SUMMA PÂA(x), x 2 X, W TO WREMQ KAK OBRAZOWAW PODOBNU@ SUMMU PO MODUL@ 2, MY MOVEM UZNATX LI[X, ^ETNOE ILI NE^ETNOE ^ISLO \LEMENTOW SODERVIT MNOVESTWO A. oDNAKO W \TOM SLU^AE WYRAVENIE BULEWYH OPERACIJ W TERMINAH OPERACIJ NAD HARAKTERISTI^ESKIMI FUNKCIQMI ^UTX SLOVNEE.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO ESLI INTERPRETIROWATX 0 I 1 W OPREDELENII HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII NE KAK \LEMENTY POLQ F2, A KAK CELYE ^ISLA, TO PRAWILO i) IZ PREDYDU]EJ ZADA^I NE MENQETSQ, A PRAWILA ii) — iv) PRIOBRETA@T SLEDU@]U@ FORMU:

ii)0 ÂA4B = ÂA + ÂB ¡ 2ÂAÂB, iii)0 ÂA[B = ÂA + ÂB ¡ ÂAÂB, iv)0 ÂAnB = ÂA ¡ ÂAÂB.

x 16. mNOVESTWO WSEH OTOBRAVENIJ

1. mNOVESTWO OTOBRAVENIJ Map(X; Y ). mNOVESTWO WSEH OTOB-

RAVENIJ IZ X W Y OBOZNA^AETSQ OBY^NO ODNIM IZ SLEDU@]IH TREH

OBRAZOW: Map(X; Y ) (OT ANGLIJSKOGO map ILI mapping — OTOBRAVENIE), Mor(X; Y ) (OT ANGLIJSKOGO morphism — OSOBENNO UPOTREBITELXNO W POSLEDNEE WREMQ POD WLIQNIEM TEORII KATEGORIJ), LIBO, NAKONEC, Y X — OBRATITE WNIMANIE, ^TO IMENNO Y X, A NE XY !.

pERWYE DWA OBOZNA^ENIQ QSNY SAMI PO SEBE, A POSLEDNEE SWQZANO S TEM OBSTOQTELXSTWOM, ^TO DEJSTWITELXNO IMEET MESTO SLEDU@]EE:

pRAWILO STEPENI. jY Xj = jY jjXj.

zADA^A. dOKAVITE PRAWILO STEPENI DLQ SLU^AQ, KOGDA MNOVESTWO X KONE^NO.

rE[ENIE. wYTEKAET IZ RASSMOTRENNOGO NAMI W PREDYDU]EJ GLAWE PRAWILA PROIZWEDENIQ. w SAMOM DELE, KAVDOE OTOBRAVENIE IZ X W Y MOVNO OTOVDESTWITX S \LEMENTOM PROIZWEDENIQ Y £ : : : £ Y , GDE ^ISLO MNOVITELEJ RAWNO jXj.

|TO OBOZNA^ENIE SOGLASOWANO S OBOZNA^ENIEM 2X DLQ MNOVESTWA WSEH PODMNOVESTW MNOVESTWA X, O KOTOROM [LA RE^X W x 1. w SAMOM DELE, L@BOE PODMNOVESTWO A µ X MOVET BYTX ODNOZNA^NO OPISANO S POMO-

]X@ SWOEJ HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII ÂA : X ¡! f0; 1g, PRI-

NIMA@]EJ NA x 2 X ZNA^ENIE 1, ESLI x 2 A I 0 W PROTIWNOM SLU^AE. tAKIM OBRAZOM 2X DEJSTWITELXNO \KWIWALENTNO f0; 1gX.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO WSE OTOBRAVENIQ IZ X W Y DEJSTWITELXNO OBRAZU@T MNOVESTWO.

rE[ENIE. eSLI X I Y ZADANY, TO OTOBRAVENIE f : X £ Y POLNOSTX@ OPRELELQETSQ SWOIM GRAFIKOM Z, KOTORYJ QWLQETSQ PODMNOVESTWOM W X £ Y . tAKIM OBRAZOM, Map(X; Y ) MOVET BYTX OTOVDESTWLENO S PODMNOVESTWOM W 2X£Y , SOSTOQ]IM IZ WSEH Z 2 2X£Y , UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ 8x 2 X 9!y 2 Y , (x; y) 2 Z. tAKIM OBRAZOM, SU]ESTWOWANIE Map(X; Y ) WYTEKAET IZ AKSIOMY STEPENI, AKSIOMY PODMNOVESTW I SU]ESTWOWANIQ PRQMOGO PROIZWEDENIQ.

x 17. oGRANI^ENIE I PRODOLVENIE OTOBRAVENIQ

1. oGRANI^ENIE OTOBRAVENIQ. oTOBRAVENIE ZADAETSQ KAK TROJKA, SOSTOQ]AQ IZ OBLASTI, KOOBLASTI I GRAFIKA. |TO OPRAWDYWAET SLEDU- @]EE OPREDELENIE.

oPREDELENIE. gOWORQT, ^TO OTOBRAVENIE f QWLQETSQ PODOTOBRAVENIEM OTOBRAVENIQ g I PI[UT f µ g, ESLI WYPOLNQ@TSQ TRI SLEDU@]IH USLOWIQ:

1) D(f) µ D(g);