vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

DILOSX STOLXKO FILOSOFOW, ^TO NEMUDRENO BYLO ZAPUTATXSQ PROSTOMU DETEKTIWU.

— kOGDA Q BUDU UBIWATX WAS W SLEDU@]IJ RAZ, — OTWETIL {ARLAH, — Q WAM OBE]A@ TAKOJ LABIRINT, KOTORYJ SOSTOIT IZ ODNOJ-EDINSTWENNOJ PRQMOJ LINII, LABIRINT NEWIDIMYJ I NEPRERYWNYJ.

hORHE lUIS bORHES, sMERTX I bUSSOLX (sOBR. sO^., T.1,

S.387–388)

iZ NES^ETNOSTI MNOVESTWA SAMIH WE]ESTWENNYH ^ISEL SLEDUET DAVE, ^TO NE SU]ESTWUET QZYKA, W KOTOROM KAVDOE DEJSTWITELXNOE ^ISLO IMELO BY IMQ. tAKAQ WE]X, KAK, NAPRIMER, BESKONE^NOE DESQTI^NOE RAZLOVENIE, NE MOVET, KONE^NO, RASSMATRIWATXSQ KAK IMQ SOOTWETSTWU@]EGO WE]ESTWENNOGO ^ISLA, POSKOLXKU BESKONE^NOE DESQTI^NOE RAZLOVENIE NE MOVET DAVE BYTX POLNOSTX@ WYPISANO ILI WKL@^ENO KAK ^ASTX W KAKOE-NIBUDX FAKTI^ESKI WYPISANNOE ILI PROIZNESENNOE SUVDENIE.

aLONZO ~ER^147

x 10. nEPRERYWNYE DROBI

iNOGDA UDOBNO POLXZOWATXSQ DRUGIM PREDSTAWLENIEM WE]ESTWENNYH ^ISEL, A IMENNO IH PREDSTAWLENIEM W WIDE PRAWILXNYH NEPRERYWNYH DROBEJ, KONE^NYH ILI BESKONE^NYH. mY DOSTATO^NO PODROBNO OBSUDIM KONE^NYE NEPRERYWNYE DROBI, TAK KAK ONI TESNO SWQZANY S NEKOTORYMI WOPROSAMI, KOTORYE BUDUT RASSMATRIWATXSQ W \TOM KURSE W DALXNEJ[EM (ALGORITM |WKLIDA, WY^ISLENIE NEKOTORYH OPREDELITELEJ I T.D.). w TO VE WREMQ, MY NE BUDEM PRIWODITX NIKAKIH DOKAZATELXSTW W SLU^AE BESKONE^NYH NEPRERYWNYH DROBEJ. hOTQ \TOT S@VET SOWER[ENNO \LEMENTAREN, NO DOKAZATELXSTWA DOSTATO^NO DLINNY I ISPOLXZU@T NE ALGEBRAI^ESKU@, A ANALITI- ^ESKU@ TEHNIKU. pO\TOMU MY PROSTO TO^NO SFORMULIRUEM OSNOWNOJ REZULXTAT O BESKONE^NYH NEPRERYWNYH DROBQH, KOTORYJ BUDET ISPOLXZOWATXSQ W DALXNEJ[EM DLQ POSTROENIQ NEKOTORYH BIEKCIJ. TEHNIKU I

1. kONE^NYE NEPRERYWNYE DROBI. wYRAVENIE WIDA

GDE q1 2 Z, q2; : : : ; qt 2 N, PRI^EM qt =6 1, NAZYWAETSQ PRAWILXNOJ KONE^NOJ NEPRERYWNOJ DROBX@. sLEDU@]IE FAKTY HORO[O IZWESTNY IZ \LEMENTARNOJ TEORII ^ISEL.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO DLQ L@BYH q1 2 Z, q2; : : : ; qt 2 N, CELAQ ^ASTX PRAWILXNOJ KONE^NOJ NEPRERYWNOJ DROBI [q1; q2; : : : ; qt] RAWNA q1.

147a.~ER^, wWEDENIE W MATEMATI^ESKU@ LOGIKU. T.I. – iil, m.,1960, S.1–484,

STR.354.

rE[ENIE. dLQ t = 1 \TO O^EWIDNO. dLQ t ¸ 2 ZAMETXTE, ^TO

1

[q1; q2; : : : ; qt] = q1 + [q2; : : : ; qt] ;

PRI^EM USLOWIE PRAWILXNOSTI DROBI GARANTIRUET, ^TO [q2; : : : ; qt] > 1.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO L@BOE RACIONALXNOE ^ISLO MOVET BYTX PREDSTAWLENO W WIDE PRAWILXNOJ KONE^NOJ NEPRERYWNOJ DROBI.

rE[ENIE. sU]ESTWOWANIE TAKOGO PREDSTAWLENIQ GARANTIRUETSQ ALGORITMOM |WKLIDA. w SAMOM DELE, RASSMOTRIM RACIONALXNOE ^ISLO m=n, m 2 Z, n 2 N. pODELIM m S OSTATKOM NA n; POTOM PODELIM n c OSTATKOM NA OSTATOK r1, POLU^A@- ]IJSQ PRI PERWOM DELENII; POTOM PODELIM r1 S OSTATKOM NA OSTATOK r2, POLU^A@- ]IJSQ PRI WTOROM DELENII I T.D., POKA NE PROIZOJDET DELENIQ NACELO:

rt¡3 = qt¡1rt¡2 + rt¡1; 0 · rt¡1 < rt¡2;

rt¡2 = qtrt¡1;

GDE qi — NEPOLNYE ^ASTNYE ALGORITMA |WKLIDA, A ri — OSTATKI. tEPERX RAZDELIW PERWOE RAWENSTWO NA n POLU^IM m=n = q1 + r1=n = q1 + 1=(n=r1). pODSTAWLQQ S@DA WTOROE RAWENSTWO, RAZDELENNOE NA r1 I TAK DALEE, OKON^ATELXNO POLU^IM

m=n = [q1; q2; : : : ; qt]:

zADA^A. dOKAVITE, ^TO PREDSTAWLENIE IZ PREDYDU]EJ ZADA^I EDINSTWENNO.

rE[ENIE. pUSTX [p1; : : : ; ps] = [q1; : : : ; qt] DWA PREDSTAWLENIQ ODNOGO I TOGO VE RACIONALXNOGO ^ISLA x W WIDE PRAWILXNYH KONE^NYH NEPRERYWNYH DROBEJ, PRI^EM s · t. pROWEDEM INDUKCI@ PO s. w KA^ESTWE BAZY INDUKCII WOZXMEM SLU^AJ s = 1, KOGDA UTWERVDENIE O^EWIDNO. w OB]EM SLU^AE ZAMETIM, ^TO p1 = q1 = bxc ESTX CELAQ ^ASTX x. tEM SAMYM, [p2; : : : ; ps] = [q2; : : : ; qt] I, SLEDOWATELXNO, PO INDUKCIONNOMU PREDPOLOVENI@, WYPOLNQ@TSQ RAWENSTWA s = t I pi = qi DLQ WSEH

2 · i · s.

2. bESKONE^NYE NEPRERYWNYE DROBI. wYRAVENIE WIDA

GDE q1 2 Z, q2; q3 : : : 2 N, NAZYWAETSQ PRAWILXNOJ BESKONE^NOJ NEPRERYWNOJ DROBX@. mOVNO POKAZATX, ^TO DLQ KAVDOJ TAKOJ DROBI POSLEDOWATELXNOSTX PODHODQ]IH DROBEJ [q1], [q1; q2], [q1; q2; q3], : : : IMEET PREDEL, NAZYWAEMYJ ZNA^ENIEM DROBI [q1; q2; q3; : : : ]. pRI \TOM ZNA^ENIE BESKONE^NOJ DROBI QWLQETSQ IRRACIONALXNYM ^ISLOM, PRI^EM KAVDOE IRRACIONALXNOE ^ISLO x QWLQETSQ ZNA^ENIEM EDINSTWENNOJ PRAWILXNOJ BESKONE^NOJ NEPRERYWNOJ DROBI. |TA BESKONE^NAQ

DROBX OPISYWAETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM. w KA^ESTWE q1 WOZXMEM CELU@ ^ASTX ^ISLA x, W KA^ESTWE q2 — CELU@ ^ASTX ^ISLA 1=(x ¡ q1), W KA^ESTWE q3 — CELU@ ^ASTX ^ISLA 1=(1=(x¡q1)¡q2) I TAK DALEE. tAK KAK ^ISLO x IRRACIONALXNO, \TOT PROCESS DOLVEN BYTX BESKONE^EN.

tAK KAK \TI UTWERVDENIQ LEVAT NA GRANI \LEMENTARNOJ TEORII ^ISEL I MATEMATI^ESKOGO ANALIZA, MY NE BUDEM IH DOKAZYWATX (SM., NAPRIMER, gL. 6 KNIGI mIHELOWI^A “tEORIQ ^ISEL”, m., wYS[AQ [KOLA, 1967, 336s.), ODNAKO DLQ POSTROENIQ QWNYH BIEKCIJ MEVDU NEKOTORYMI MNOVESTWAMI MO]NOSTI KONTINUUMA MY BUDEM ISPOLXZOWATX SLEDU@]IJ REZULXTAT.

tEOREMA. sOPOSTAWLENIE DROBI [q1; q2; q3; : : : ], q1 2 Z, q2; q3; : : : 2 N, EE ZNA^E- NIQ OSU]ESTWLQET BIEKCI@ MEVDU MNOVESTWOM WSEH PRAWILXNYH BESKONE^NYH

NEPRERYWNYH DROBEJ I MNOVESTWOM WSEH IRRACIONALXNYH ^ISEL.

3. pERIODI^ESKIE NEPRERYWNYE DROBI. kAK MY ZNAEM, RACIONALXNYE ^ISLA IZOBRAVA@TSQ PERIODI^ESKIMI DESQTI^NYMI DROBQMI. a WOT ^TO IZOBRAVA@T PERIODI^ESKIE NEPRERYWNYE DROBI? zNA^ENIE L@BOJ PERIODI^ESKOJ DROBI ZAWEDOMO DOLVNO BYTX IRRACIONALXNYM ^ISLOM, NO ^TO \TO ZA ^ISLA? oTWET NA \TOT WOPROS DAETSQ ZAME^ATELXNOJ TEOREMOJ lAGRANVA: ZNA^ENIE L@BOJ PRAWILXNOJ PERIO-

DI^ESKOJ NEPRERYWNOJ DROBI QWLQETSQ WE]ESTWENNOJ KWADRATI^ESKOJ IRRACIONALX- p

NOSTX@, T.E. IMEET WID m § l=n, m 2 Z, l; n 2 N, I, OBRATNO, KAVDAQ WE]ESTWENNAQ KWADRATI^ESKAQ IRRACIONALXNOSTX IZOBRAVAETSQ PERIODI^ESKOJ NEPRERYWNOJ DROBX@.

x 11. mO]NOSTX KONTINUUMA

When, in early adolescence, I first saw the proof that the real numbers were uncountable, it seemed the most wonderful thing in the world to me, and I found it quite strange that the rest of the world did not share my enthusiasm.

Judith Roitman, [R], p.vii

1. |KWIWALENTNOSTX DWUH L@BYH NETRIWIALXNYH PROMEVUT-

KOW. pOKAVEM, ^TO DWA L@BYH PROMEVUTKA WE]ESTWENNOJ OSI, NE PUSTYH I NE SWODQ]IHSQ K ODNOJ TO^KE, \KWIWALENTNY. pUSTX WNA^ALE [a; b] I [c; d], GDE a < b I c < d, DWA NETRIWIALXNYH OTREZKA WE]E- STWENNOJ OSI. lEGKO POSTROITX MNOGO PRIMEROW BIEKCIJ MEVDU NIMI. nAPRIMER, O^EWIDNO, ^TO SU]ESTWUET LINEJNAQ FUNKCIQ, REALIZU@]AQ BIEKCI@ MEVDU \TIMI OTREZKAMI, PRITOM, ESLI POTREBOWATX DOPOLNITELXNO, ^TOBY \TA FUNKCIQ BYLA WOZRASTA@]EJ — EDINSTWENNAQ TAKAQ FUNKCIQ. w SAMOM DELE, ^EREZ L@BYE DWE RAZLI^NYE TO^KI NA PLOSKOSTI, W ^ASTNOSTI ^EREZ TO^KI (a; c) I (b; d), PROHODIT EDINSTWENNAQ PRQ-

MAQ, A IMENNO, PRQMAQ, OPREDELENNAQ URAWNENIEM y = ((bd¡¡ac))(x¡a)+c.

zAMETIM, ^TO TO VE SAMOE DOKAZATELXSTWO DOKAZYWAET I ^TO L@BYE DWA NETRIWIALXNYH INTERWALA ]a; b[ I ]c; d[ \KWIWALENTNY.

tAK KAK POLUOTKRYTYE PROMEVUTKI ]a; b] I [a; b[ LEVAT MEVDU INTERWALOM ]a; b[ I OTREZKOM [a; b], TO PO TEOREME kANTORA-bERN[TEJNA DLQ ZAWER[ENIQ DOKAZATELXSTWA TOGO, ^TO L@BYE DWA NETRIWIALXNYH PROMEVUTKA \KWIWALENTNY, NAM OSTAETSQ LI[X POKAZATX, ^TO INTERWAL ]a; b[ \KWIWALENTEN OTREZKU [a; b], PRI^EM, TAK KAK MY UVE ZNAEM, ^TO L@BYE DWA NETRIWIALXNYH INTERWALA I L@BYE DWA NETRIWIALXNYH OTREZKA \KWIWALENTNY MEVDU SOBOJ, DOSTATO^NO DOKAZATX, ^TO INTERWAL ]0; 1[ \KWIWALENTEN OTREZKU I = [0; 1]. dLQ DOKAZATELXSTWA \TOGO SNOWA WOSPOLXZUEMSQ TEOREMOJ kANTORA—bERN[TEJNA. qSNO, ^TO ]0; 1[µ [0; 1], PO\TOMU MO]NOSTX ]0; 1[ NE BOLX[E MO]NOSTI [0; 1]. s DRUGOJ STORONY [1=3; 2=3] — NETRIWIALXNYJ OTREZOK, SODERVA]IJSQ W ]0; 1[, PO UVE DOKAZANNOMU ON \KWIWALENTEN [0; 1] I, ZNA^IT, MO]NOSTX ]0; 1[ NE MENX[E MO]NOSTI [0; 1]. pO TEOREME kANTORA—bERN[TEJNA \TI MO]NOSTI RAWNY.

2. kONSTRUKTIWNYE IZWRA]ENIQ. mY TOLXKO ^TO ISPOLXZOWALI TEOREMU kAN- TORA—bERN[TEJNA WMESTO TOGO, ^TOBY QWNO POSTROITX BIEKCII MEVDU [0; 1], [0; 1[, ]0; 1] I ]0; 1[. pODOBNAQ SITUACIQ W WYS[EJ STEPENI TIPI^NA: ESLI DANY DWA MNOVESTWA A I B, OTNOSITELXNO KOTORYH MY PODOZREWAEM, ^TO ONI \KWIWALENTNY, TO OBY^NO ZNA^ITELXNO LEG^E POSTROITX DWE IN_EKCII A W B I B I A, ^EM ODNU BIEKCI@ MEVDU A I B. pRI \TOM W BOLX[INSTWE SLU^AEW PODOBNAQ QWNAQ BIEKCIQ ABSOL@TNO BESPOLEZNA I EE KONSTRUKCIQ NE DAET NI^EGO NOWOGO, PO SRAWNENI@ S FAKTOM SU]ESTWOWANIQ BIEKCII, WYTEKA@]IM IZ TEOREMY kANTORA—bERN[TEJNA. pO\TOMU WOZNIKA@]AQ WO MNOGIH \LEMENTARNYH RUKOWODSTWAH BORXBA ZA QWNOE POSTROENIE BIEKCIJ W PODOBNYH SLU^AQH PREDSTAWLQETSQ MNE PO MENX[EJ MERE ^ISTO OLIMPIADNOJ DEQTELXNOSTX@, NE IME@]EJ NIKAKOGO OTNO[ENIQ K MATEMATIKE BOLX- [OGO STILQ — A W NEKOTORYH SLU^AQH PROSTO IZWRA]ENIEM. oDNAKO SEJ^AS I MY SLEGKA IZWRATIMSQ.

zADA^A. pOSTROITX QWNYE BIEKCII MEVDU [0; 1], [0; 1[, ]0; 1] I ]0; 1[.

uKAZANIE. oBRATITE WNIMANIE, ^TO BESKONE^NYE OB_EDINENIQ USTRANQ@T RAZLI- ^IE MEVDU OTREZKAMI I INTERWALAMI, NAPRIMER,

[[1=2n; 1 ¡ 1=2n] = []1=2n; 1 ¡ 1=2n[= (0; 1);

I PODUMAJTE, KAK \TO MOVNO ISPOLXZOWATX.

nA^ALO RE[ENIQ. pOSTROIM DLQ PRIMERA BIEKCI@ MEVDU ]0; 1[ I ]0; 1]. tAK KAK W ]0; 1] ESTX NAIBOLX[IJ \LEMENT, A W ]0; 1[ NET, TO TREBUEMAQ BIEKCIQ NE MOVET BYTX WOZRASTA@]EJ (PO^EMU?). |TO PODSKAZYWAET, ^TO NUVNO PORODITX NA ]0; 1] DOSTATO^NOE (NU, HOTQ BY, S^ETNOE) KOLI^ESTWO RAZRYWOW. nU, NAPRIMER, PREDSTAWITX ]0; 1] W WIDE BESKONE^NOGO DIZ_@NKTNOGO OB_EDINENIQ

a a a

POSLE ^EGO ZADATX BIEKCI@ ]0; 1] NA ]0; 1[ RUKOWODSTWUQSX IZWESTNOJ MAKSIMOJ ‘POSLEDNIE STANUT PERWYMI’. a IMENNO, SU]ESTWUET WOZRASTA@]AQ LINEJNAQ FUNKCIQ, OTOBRAVA@]AQ ]1=2; 1] NA ]0; 1=2], E]E ODNA TAKAQ VE FUNKCIQ, OTOBRAVA@]AQ

]1=4; 1=2] NA ]1=2; 3=4], E]E ODNA, OTOBRAVA@]AQ ]1=8; 1=4] NA ]3=4; 7=8] I T.D. oD-

NAKO QSNO, ^TO a a a

]0; 1=2] ]1=2; 3=4] ]3=4; 7=8] : : : =]0; 1[:

pOSTROJTE W TAKOM VE DUHE OSTALXNYE BIEKCII.

3. |KWIWALENTNOSTX R I L@BOGO NEPUSTOGO INTERWALA. tAK KAK MY UVE POKAZALI, ^TO WSE NETRIWIALXNYE INTERWALY \KWIWALENTNY, NAM DOSTATO^NO POKAZATX \KWIWALENTNOSTX KAKOGO-NIBUDX IZ NIH S R. pOSTROENIE BIEKTIWNOGO SOOTWETSTWIQ MEVDU INTERWALOM ] ¡ 1; 1[ I WSEJ WE]ESTWENNOJ OSX@ SOWER[ENNO QSNO IZ SLEDU@]EJ KARTINKI:

KARTINKA — KARTINKA

w DEJSTWITELXNOSTI, BIEKCIQ, OPISANNAQ \TOJ KARTINKOJ, SOSTOIT IZ KOMPOZICII DWUH BIEKCIJ: IZMERENIQ UGLOW, KOTOROE MY PROIZWODIM DOWOLXNO STRANNYM OBRAZOM, I SOPOSTAWLENIQ UGLU EGO TANGENSA. tAK ZA^EM NAM POSLE \TOGO IZMERQTX UGLY? mY MOVEM PROSTO WSPOMNITX, ^TO, KAK HORO[O IZWESTNO IZ TRIGONOMETRII (DOLVNA VE I ONA KOGDANIBUDX DLQ ^EGO-NIBUDX PRIGODITXSQ!), FUNKCIQ tan USTANAWLIWAET BIEKCI@ INTERWALA ] ¡ ¼=2; ¼=2[ S WE]ESTWENNOJ OSX@ R.

zADA^A PO TRIGONOMETRII. a KAKAQ W TO^NOSTI FUNKCIQ OPISANA KARTINKOJ ??

rAZUMEETSQ, MOVNO PRIDUMATX TYSQ^I DRUGIH BIEKCIJ MEVDU INTERWALAMI WE]ESTWENNOJ OSI I WSEJ OSX@.

zADA^A NA DIFFERENCIROWANIE. pOSTROJTE RACIONALXNU@ FUNK-

CI@, USTANAWLIWA@]U@ BIEKCI@ MEVDU INTERWALOM ]0; 1[ I WSEJ WE- ]ESTWENNOJ OSX@.

uKAZANIE. qSNO, ^TO \TA FUNKCIQ NE MOVET BYTX NEPRERYWNOJ NA OTREZKE [0; 1], INA^E ONA OGRANI^ENA. pRO]E WSEGO S^ITATX, ^TO ONA

OBRA]AETSQ W ¡1 W 0+ I W +1 W 1¡ NU, SKAVEM, x 7!1 ¡1 x ¡ x1 .

uSTANAWLIWAET LI UVE \TA FUNKCIQ TREBUEMU@ BIEKCI@ ILI EE NUVNO KAK-TO PODPRAWITX?

zADA^A. pOKAVITE, ^TO FUNKCIQ x 7!1 +xjxj USTANAWLIWAET BIEKCI@

R I (¡1; 1).

uKAZANIE. dOSTATO^NO PROWERITX, ^TO x 7!1 ¡xjxj ZADAET OBRATNOE OTOBRAVENIE.

4. nES^ETNOSTX MNOVESTWA WE]ESTWENNYH ^ISEL. kAVDYJ \LE-

MENT INTERWALA (0; 1) MOVET BYTX PREDSTAWLEN W DESQTI^NOJ ZAPISI

PRI^EM ISKL@^ENY DWE SLEDU@]IE SITUACII:

±WSE ci ODNOWREMENNO RAWNY 0

±WSE ci, KROME KONE^NOGO IH ^ISLA, RAWNY 9.

tEOREMA kANTORA. mNOVESTWO R WE]ESTWENNYH ^ISEL NES^ETNO.

dOKAZATELXSTWO. tAK KAK R RAWNOMO]NO INTERWALU (0; 1), TO DOSTATO^NO DOKAZATX, ^TO INTERWAL (0; 1) NES^ETEN. pREDPOLOVIM, ^TO MNOVESTWO (0; 1) S^ETNO I PUSTX (0; 1) = fx1; : : : ; xn; : : : g. pREDSTAWIM KAVDOE xi W DESQTI^NOJ ZAPISI KAK xi = 0; ci1ci2ci3 : : : . pOSTROIM TEPERX NOWOE ^ISLO x = 0; c1c2c3 : : : W INTERWALE (0; 1) SLEDU@]IM OBRAZOM. pOLOVIM ci RAWNYM

ci =

qSNO, ^TO ^ISLO x OTLI^NO OT WSEH ^ISEL xi. w SAMOM DELE, DLQ TOGO, ^TOBY UBEDITXSQ, ^TO x =6 xi, DOSTATO^NO POSMOTRETX NA EGO i-@ CIFRU ci, KOTORAQ PO SAMOMU POSTROENI@ x OTLI^NA OT cii.

mETOD, STOLX \FFEKTNO PRIMENENNYJ W DOKAZATELXSTWE \TOJ TEORE-

MY, NAZYWAETSQ kANTOROWSKIM DIAGONALXNYM PROCESSOM (Cantorsche Diagonalverfahren). |TO ODIN IZ NAIBOLEE PRODUKTIWNYH PRIEMOW, KOTORYJ PRIMENQETSQ W GROMADNOM KOLI^ESTWE DOKAZATELXSTW. pO\TOMU SOZNATELXNOE WLADENIE \TIM METODOM SOWER[ENNO NEOBHODIMO KAVDOMU, KTO SERXEZNO IZU^AET MATEMATIKU. kOGDA Q W PERWYJ RAZ UWIDEL kANTOROWSKOE DOKAZATELXSTWO W 9-M KLASSE [KOLY, ONO PROIZWELO NA MENQ TAKOE WPE^ATLENIE, ^TO Q RE[IL STATX MATEMATIKOM.

5. wTOROE DOKAZATELXSTWO kANTORA. w DEJSTWITELXNOSTI, kANTOR DAL E]E ODNO (ISTORI^ESKI, PO-WIDIMOMU, PERWOE) STOLX VE ZAME^ATELXNOE DOKAZATELXSTWO TEOREMY O NES^ETNOSTI MNOVESTWA WE]ESTWENNY_ ^ISEL, OSNOWANNOE NEPOSREDSTWENNO NA AKSIOME kANTORA. |TO DOKAZATELXSTWO NOSIT ZNA^ITELXNO BOLEE OB]IJ HARAKTER I LEGKO OBOB]AETSQ NA [IROKIJ KLASS TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW.

wTOROE OKAZATELXSTWO tEOREMY ?. pREDPOLOVIM, ^TO MY ZANUMEROWALI WSE TO^- KI OTREZKA [0; 1] TAK ^TO [0; 1] = fx1; x2; x3; : : : g. wYBEREM L@BOJ NETRIWIALXNYJ OTREZOK I1 µ [0; 1] NE SODERVA]IJ x1. tEPERX WOZXMEM L@BOJ NETRIWIALXNYJ OTREZOK I2 µ I1, NE SODERVA]IJ x2 I PRODOLVIM DEJSTWOWATX TAKIM VE OBRAZOM. w REZULXTATE MY POLU^IM UBYWA@]U@ POSLEDOWATELXNOSTX WLOVENNYH OTREZKOW I1 ¶ I2 ¶ I3 ¶ : : : . rASSMOTRIM PERESE^ENIE \Ii, i 2 N, \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI. sOGLASNO AKSIOME kANTORA ONO NEPUSTO, TAK ^TO SU]ESTWUET TO^KA x 2 \Ii. qSNO, ^TO x NE MOVET SOWPADATX NI S ODNOJ IZ TO^EK xi. w SAMOM DELE, xi 2= Ii, W TO WREMQ

KAK x 2 Ii. pOLU^ENNOE PROTIWORE^IE POKAZYWAET, ^TO ZANUMEROWATX WSE TO^KI OTREZKA [0; 1] NEWOZMOVNO.

sAM kANTOR OPISYWAL \TO DOKAZATELXSTWO W TERMINAH BOLEE BLIZKIH K PERWOMU DOKAZATELXSTWU I TESNEJ[IM OBRAZOM SWQZANNYH S POSTROENIEM KANTOROWA MNOVESTWA. a IMENNO, ON STROIL TO^KU x SLEDU@]IM OBRAZOM. pREDSTAWIM [0; 1] W WIDE OB_EDINENIQ TREH OTREZKOW [0; 1=3] [ [1=3; 2=3] [ [2=3; 1]. zAMETIM, ^TO \TO NE RAZBIENIE OTREZKA [0; 1], NO TAK KAK WTOROJ OTREZOK PERESEKAETSQ S PERWYM LI[X PO TO^KAM 1=3 I 2=3 SOOTWETSTWENNO, TO PO KRAJNEJ MERE ODIN IZ \TIH OTREZKOW NE SODERVIT TO^KI x1. wOZXMEM \TOT OTREZOK W KA^ESTWE I1 — W MASSOWOM SLU- ^AE TAKIH OTREZKOW DWA, I MY WOZXMEM LEWYJ. pOWTORIM \TU PROCEDURU, RAZBIW OTREZOK NA TRI RAWNYE ^ASTI I WOZXMEM W KA^ESTWE I2 OTREZOK, NE SODERVA]IJ x2, I T.D. w TAKOM WIDE \TO DOKAZATELXSTWO PO^TI TEKSTUALXNO SOWPADAET S PERWYM DOKAZATELXSTWOM, NO W TROI^NOJ SISTEME.

x 13. sWOJSTWA MO]NOSTI KONTINUUMA

Alice laughed: “There’s no use trying,” she said; “one can’t believe impossible things.” “I daresay you haven’t had much practice,” said the Queen. “When I was younger, I always did it for half an hour a day. Why, sometimes I’ve believed as many as six impossible things before breakfast.”

Lewis Carroll, ‘Alice in Wonderland’

1. oB_EDINENIE S^ETNOGO MNOVESTWA MNOVESTW MO]NOSTI KON-

TINUUMA. dLQ MNOVESTW MO]NOSTI KONTINUUMA WYPOLNQ@TSQ ANALOGI UTWERVDENIJ ? I ?.

tEOREMA. oB_EDINENIE KONE^NOGO ^ISLA MNOVESTW MO]NOSTI KON- TINUUMA IMEET MO]NOSTX KONTINUUMA.

dOKAZATELXSTWO. pUSTX X1; : : : ; Xn SUTX n MNOVESTW MO]NOSTI KONTINUUMA. zAFIKSIRUEM BIEKCI@ fi :]i ¡ 1; i[¡! Xi. tOGDA OTOBRAVENIE f = f1 `: : : `fn, QWLQ@]EESQ SKLEJKOJ OTOBRAVENIJ f1; : : : ; fn, QWLQETSQ S@R_EKCIEJ MNOVESTWA []i ¡ 1; i[, i 2 n, IME@]EGO MO]NOSTX KONTINUUMA (PO^EMU?), NA MNOVESTWO X = [Xi, i 2 n. tAKIM OBRAZOM, MO]NOSTX X NE PREWOSHODIT MO]NOSTI KONTINUUMA.

w \TOM RASSUVDENII MY ISPOLXZOWALI AKSIOMU WYBORA (GDE?), NO ZDESX EE LEGKO OBOJTI (KAK?). a WOT W SLEDU@]EJ ZADA^E OBOJTISX BEZ ISPOLXZOWANIQ AKSIOMY WYBORA NEWOZMOVNO.

zADA^A. pOKAVITE, ^TO OB_EDINENIE S^ETNOGO ^ISLA MNOVESTW MO]- NOSTI KONTINUUMA SNOWA IMEET MO]NOSTX KONTINUUMA.

uKAZANIE. mNOVESTWO []i ¡ 1; i[, i 2 N, IMEET MO]NOSTX KONTINUUMA.

2. sKOLXKO TO^EK W KWADRATE? w TE^ENIE TREH LET kANTOR BEZUSPE[NO PYTALSQ DOKAZATX, ^TO MO]NOSTX MNOVESTWA TO^EK KWADRATA

BOLX[E MNOVESTWA TO^EK OTREZKA. nAKONEC, ON OBNARUVIL WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU NIMI, T.E. DOKAZAL, ^TO KWADRAT IMEET STOLXKO VE TO^EK, SKOLXKO OTREZOK. “q WIVU \TO SOOTWET-

STWIE, NO Q NE WER@ W NEGO”, NAPISAL ON W ODNOM IZ PISEM. tEOREMA kANTORA. mNOVESTWO I2 \KWIWALENTNO I.

pERWOE DOKAZATELXSTWO. rASSMOTRIM EDINI^NYJ OTREZOK I = fx 2 R j 0 · x · 1g I EDINI^NYJ KWADRAT I2 = f(x; y) j x; y 2 R; 0 · x; y · 1g. tAK KAK f : I ¡! I2, x 7!(x; 0), ZADAET WLOVENIE I W I2, TO TEOREME bERN[TEJNA—kANTORA DOSTATO^NO POKAZATX, ^TO KWADRAT IMEET NE BOLX[E TO^EK, ^EM OTREZOK. kAVDAQ TO^KA (x; y) KWADRATA PREDSTAWLQETSQ DWUMQ UPORQDO^ENNYMI POSLEDOWATELXNOSTQMI CIFR x = 0; i1i2i3 : : : I y = 0; y1y2y3 : : : . oBRAZUEM NOWU@ POSLEDOWATELXNOSTX z = 0; x1y1x2y2x3y3 : : : . qSNO, ^TO ZADANIE POSLEDOWATELXNOSTI z POLNOSTX@ OPREDELQET ISHODNYE POSLEDOWATELXNOSTI x I y, TAK ^TO RAZLI^NYM TO^KAM KWADRATA OTWE^A@T RAZLI^NYE TO^KI OTREZKA, MOVET BYTX NE WSE.

lEGKO WIDETX, ^TO IZ TEOREMY kANTORA SRAZU WYTEKA@T TAKIE SLEDSTWIQ.

sLEDSTWIE 1. |WKLIDOWA PLOSKOSTX R2 IMEET MO]NOSTX KONTINU- UMA.

sLEDSTWIE 2. mNOVESTWO C KOMPLEKSNYH ^ISEL IMEET MO]NOSTX KONTINUUMA.

3. tAK ^EM VE KWADRAT OTLI^AETSQ OT OTREZKA? l@DQM, NEISKU[ENNYM W MATEMATIKE, KAVETSQ, ^TO W KWADRATE BOLX[E TO^EK, ^EM W OTREZKE. |TO SWQZANO S TEM, ^TO S NAIWNOJ (DOKANTOROWSKOJ) TO^KI ZRENIQ PONQTIE KOLI^ESTWA TO- ^EK, SODERVA]IHSQ W FIGURE, SWQZYWAETSQ S DRUGIMI INWARIANTAMI \TOJ FIGURY, NAPRIMER, MEROJ ILI RAZMERNOSTX@ \TOJ FIGURY. oBY^NO, PREDSTAWLQQ SEBE OTREZOK ILI KWADRAT, MY MYSLIM IH NE PROSTO KAK MNOVESTWA, A KAK MNOVESTWA S DOPOLNITELXNYMI STRUKTURAMI.

oBY^NOJ MEROJ PLOSKOJ FIGURY QWLQETSQ EE PLO]ADX. pLO]ADX OTREZKA RAWNA NUL@, PO\TOMU ON KAVETSQ MALENXKIM, PO SRAWNENI@ S KWADRATOM, PLO]ADX KOTOROGO POLOVITELXNA. oDNAKO PLO]ADX QWLQETSQ DOWOLXNO TONKIM ANALITI^ESKIM INWARIANTOM PLOSKIH MNOVESTW, SWQZANNYH S NALI^IEM NA \WKLIDOWOJ PLOSKOSTI KAKIH-TO DOPOLNITELXNYH STRUKTUR, A NIKAK NE STROENIEM KWADRATA I OTREZKA KAK MNOVESTW. tAKIM OBRAZOM, RAZLI^IE PLO]ADEJ DWUH FIGUR OZNA^AET WSEGO LI[X, ^TO NEWOZMOVNO PEREWESTI ODNU IZ NIH W DRUGU@ PREOBRAZOWANIEM SOHRANQ@]IM MERU, NAPRIMER, DWIVENIEM.

e]E ODIN SMYSL, W KOTOROM KWADRAT KAVETSQ BOLX[E OTREZKA — \TO RAZMERNOSTX. rAZMERNOSTX OTREZKA RAWNA 1, W TO WREMQ KAK RAZMERNOSTX KWADRATA RAWNA 2. rAZMERNOSTX QWLQETSQ ^REZWY^AJNO SLOVNYM TOPOLOGI^ESKIM INWARIANTOM

— ^UDOWI]NO BOLEE SLOVNYM, ^EM S^ITAET BOLX[INSTWO NEMATEMATIKOW I DAVE

MATEMATIKOW-NESPECIALISTOW. pODOBNO MERE ONA ZAWISIT OT NALI^IQ NA MNOVESTWE KAKIH-TO DOPOLNITELXNYH STRUKTUR. rAZLI^IE RAZMERNOSTEJ DWUH FIGUR OZNA^A- ET LI[X, ^TO NE SU]ESTWUET NEPRERYWNYH BIEKTIWNYH PREOBRAZOWANIJ, PEREWODQ]IH ODNU IZ NIH W DRUGU@. kAK LEGKO WIDETX, OTOBRAVENIE, POSTROENNOE W DOKAZATELXSTWE tEOREMY ?, NE QWLQETSQ NEPRERYWNYM.

zADA^A PO TOPOLOGII. pOKAVITE, ^TO NE SU]ESTWUET NEPRERYWNOJ BIEKCII f : I2 ¡! I. pRI \TOM DOSTATO^NO DAVE PREDPOLAGATX, ^TO f RAZDELXNO NEPRERYWNA PO KAVDOJ PEREMENNOJ.

tEM NE MENEE DAVE W TOM, ^TO KASAETSQ NEPRERYWNYH OTOBRAVENIJ SITUACIQ ZNA^ITELXNO SLOVNEE, ^EM KAVETSQ NA PERWYJ WZGLQD. w 1890 GODU pEANO POSTROIL NEPRERYWNOE S@R_EKTIWNOE OTOBRAVENIE OTREZKA I NA KWADRAT I2 — KRIWAQ pEANO.

3. a SKOLXKO TO^EK W \WKLIDOWOM PROSTRANSTWE? iNYMI SLO-

WAMI, tEOREMA ? UTWERVDAET, ^TO DEKARTOWO PROIZWEDENIE DWUH MNOVESTW MO]NOSTI KONTINUUMA SNOWA IMEET MO]NOSTX KONTINUUMA. s ISPOLXZOWANIEM OPERACIJ NAD MO]NOSTQMI \TO STANOWITSQ SOWSEM O^E- WIDNYM.

wTOROE DOKAZATELXSTWO. tAK KAK OB_EDINENIE DWUH S^ETNYH MNOVESTW S^ETNO, TO

c £ c = 2@ £ 2@ = 2@£@ = 2@ = c:

|TO NABL@DENIE LEGKO OBOB]ITX.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO PROIZWEDENIE KONE^NOGO ^ISLA MNOVESTW MO]- NOSTI KONTINUUMA IMEET MO]NOSTX KONTINUUMA.

rE[ENIE. dLQ KONE^NOGO ^ISLA MNOVESTW \TO SRAZU WYTEKAET PO INDUKCII IZ tEOREMY ?, LIBO MOVET BYTX DOKAZANO TEM VE RASSUVDENIEM, ^TO WTOROE DOKAZATELXSTWO tEOREMY ?.

sLEDSTWIE. |WKLIDOWO PROSTRANSTWO Rn IMEET MO]NOSTX KONTI- NUUMA.

4. mO]NOSTX MNOVESTWA BESKONE^NYH POSLEDOWATELXNOSTEJ. w PREDPOLOVENII AKSIOMY WYBORA \TO MOVET BYTX OBOB]ENO E]E DALX- [E.

tEOREMA. pROIZWEDENIE S^ETNOGO ^ISLA MNOVESTW MO]NOSTI KON- TINUUMA SAMO IMEET MO]NOSTX KONTINUUMA.

dOKAZATELXSTWO. w SILU AKSIOMY WYBORA MO]NOSTX \TOGO PROIZWEDE-

NIQ RAWNA

c@ = (2@)@ = 2@£@ = 2@ = c:

pREDOSTEREVENIE. bEZ AKSIOMY WYBORA \TA TEOREMA NEWERNA — PROIZWEDENIE S^ETNOGO ^ISLA MNOVESTW MO]NOSTI KONTINUUMA MOVET BYTX PUSTYM! oDNAKO WSEGDA MOVNO UTWERVDATX, ^TO MO]NOSTX S^ETNOGO PROIZWEDENIQ MNOVESTW MO]NOSTI KONTINUUMA IMEET MO]NOSTX, NE PREWOSHODQ]U@ MO]NOSTX KONTINUUMA.

kONTROLXNYJ WOPROS. gDE W PREDYDU]EM DOKAZATELXSTWE ISPOLXZOWANA AKSIOMA WYBORA?

oTWET. nU, KONE^NO, W SAMOM NA^ALE, KOGDA MY NAPISALI, ^TO MO]- NOSTX PROIHWEDENIQ S^ETNOGO ^ISLA MNOVESTW MO]NOSTI KONTINUUM RAWNA c@.

sLEDSTWIE. mNOVESTWO RN BESKONE^NYH POSLEDOWATELXNOSTEJ WE- ]ESTWENNYH ^ISEL IMEET MO]NOSTX KONTINUUMA.

5. mO]NOSTX MNOVESTWA NEPRERYWNYH FUNKCIJ. kAK MY WIDELI W x ? UVE MO]NOSTX MNOVESTWA OTOBRAVENIJ IZ R W 2 STROGO BOLX[E MO]NOSTI KONTINUUMA. tEM BOLEE \TO OTNOSITSQ K MNOVESTWU RR WSEH WE]ESTWENNYH FUNKCIJ WE]ESTWENNOGO ARGUMENTA. pO\TOMU NA PERWYJ WZGLQD SLEDU@]EE UTWERVDENIE PREDSTAWLQETSQ DOSTATO^NO UDIWITELXNYM.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO MNOVESTWO NEPRERYWNYH FUNKCIJ R ¡! R IMEET MO]- NOSTX KONTINUUMA.

rE[ENIE. o^EWIDNO, ^TO DLQ L@BOGO c 2 R POSTOQNNAQ FUNKCIQ x 7!c NEPRERYWNA NA WSEJ WE]ESTWENNOJ OSI, PO\TOMU MO]NOSTX MNOVESTWA NEPRERYWNYH FUNKCIJ NE MENX[E MO]NOSTI KONTINUUMA. s DRUGOJ STORONY, QSNO, ^TO NEPRERYWNAQ FUNKCIQ f : R ¡! R POLNOSTX@ OPREDELQETSQ SWOIMI ZNA^ENIQMI W RACIONALXNYH TO^KAH. w SAMOM DELE, L@BOE WE]ESTWENNOE ^ISLO x MOVET BYTX PREDSTAWLENO KAK PREDEL POSLEDOWATELXNOSTI xi, i 2 N, RACIONALXNYH ^ISEL. aNALITI^ESKOE OPREDELENIE NEPRERYWNOSTI KAK RAZ I SOSTOIT W TOM, ^TO TOGDA f(x) QWLQETSQ PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI f(xi), i 2 N. tAKIM OBRAZOM, MO]NOSTX MNOVESTWA NEPRERYWNYH FUNKCIJ NE BOLX[E, ^EM MO]NOSTX QR. oDNAKO \TO POSLEDNEE MNOVESTWO NAHODITSQ WO WZAIMNO ODNOZNA^NOM SOOTWETSTWII S MNOVESTWOM WSEH POSLEDOWATELXNOSTEJ WE]ESTWENNYH ^ISEL, KOTOROE, KAK MY TOLXKO ^TO WIDELI, IMEET MO]NOSTX KONTINUUMA.

x 14. dALXNEJ[IE PRIMERY MNOVESTW MO]NOSTI KONTINUUMA

1. mNOVESTWA IRRACIONALXNYH I TRANSCENDENTNYH ^ISEL. wSE MNOVESTWO WE]ESTWENNYH ^ISEL R QWLQETSQ DIZ_@NKTNYM OB_EDINENIEM MNOVESTWA Q RACIONALXNYH ^ISEL I MNOVESTWA R n Q IRRACIONALXNYH ^ISEL. kAK MY ZNAEM, MNOVESTWO RACIONALXNYH ^ISEL S^ETNO. eSLI BY MNOVESTWO IRRACIONALXNYH ^ISEL TOVE BYLO S^ETNO, TO PO ?.? OTS@DA SLEDOWALO BY, ^TO R TOVE S^ETNO, A KAK MY TOLXKO ^TO WIDELI, \TO NE TAK. tAKIM OBRAZOM RnQ NES^ETNO. s DRUGOJ STORONY, EGO MO]NOSTX, O^EWIDNO, NE PREWOSHODIT MO]NOSTI R. w ^ASTNOSTI, W