vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

dOKAZATELXSTWO. oBOB]ENNAQ ASSOCIATIWNOSTX + POROVDENIE Sn FUNDAMENTALXNYMI TRANSPOZICIQMI.

3. kOMMUTIRU@]IE \LEMENTY. dAVE ESLI OPERACIQ ¤ NEKOMMUTATIWNA, MOGUT NAJTISX TAKIE PARY \LEMENTOW, ^TO xy = yx. tAKIE \LEMENTY x I y NAZYWA@TSQ KOMMUTIRU@]IMI ILI PERESTANOWO^- NYMI.

fANTAZIQ. nAJTI WSE PARY WE]ESTWENNYH ^ISEL x; y 2 R>0 KOMMUTIRU@]IH OTNOSITELXNO \KSPONENCIROWANIQ, T.E. TAKIH, ^TO xy = yx. kROME TRIWIALXNYH RE[ENIJ x = y SU]ESTWU@T I NETRIWIALXNYE RE[ENIQ (NAPRIMER, 24 = 42). eSLI xy 6= yx, TO KOTOROE IZ NIH BOLX- [E? nAPRIMER, POPROBUJTE OTWETITX BEZ KALXKULQTORA, KOTOROE IZ ^ISEL e¼ ILI ¼e BOLX[E? pOLNYJ OTWET NA \TI I PODOBNYE WOPROSY DAET |JLER W SWOEM “wWEDENII W ANALIZ BESKONE^NO MALYH”.

zADA^A. pROWERXTE, ^TO x = xs = s1=(s¡1) I y = ys = ss=(s¡1) KOMMUTIRU@T. kAKOJ WYBOR t PRIWODIT K PARE xt = ys, yt = ys?

oKAZYWAETSQ (loc. cit.), \TO EDINSTWENNYJ NETRIWIALXNYJ PRIMER KOMMUTIRU@]IH PAR. tO^KI S RACIONALXNYMI KOORDINATAMI POLU^A- @TSQ ZDESX PRI s = m=(m + 1) I s = (m + 1)=m, GDE m 2 N. pRIMER x = 4, y = 2 POLU^AETSQ, KOGDA MY BEREM ZDESX m = 1. wYBOR m = 2

4. pROWERKA KOMMUTATIWNOSTI PO TABLICE k\LI. kOMMUTATIW-

NOSTX UMNOVENIQ xy OZNA^AET, ^TO ONO SOWPADAET S PROTIWOPOLOVNYM DEJSTWIEM ¤, OPREDELQEMYM POSREDSTWOM x ¤ y = yx. tABLICA k\LI PROTIWOPOLOVNOGO DEJSTWIQ POLU^AETSQ IZ ISHODNOJ TABLICY ZAMENOJ STROK NA SOOTWETSTWU@]IE STOLBCY I NAOBOROT, T.E. TRANSPONIROWANIEM, ILI, ^TO TO VE SAMOE, OTRAVENIEM OTNOSITELXNO GLAWNOJ DIAGONALI. nAPRIMER, TABLICA DLQ POLUGRUPPY PRAWYH NULEJ POLU^AETSQ TRANSPONIROWANIEM IZ TABLICY DLQ POLUGRUPPY LEWYH NULEJ. tAK WOT, KOMMUTATIWNOSTX \KWIWALENTNA SIMMETRI^NOSTI TABLICY k\LI, KOTORAQ, TAKIM OBRAZOM, NE DOLVNA MENQTXSQ PRI TRANSPONIROWANII.

x 5. sTEPENI \LEMENTA

1. sTEPENI \LEMENTA. w ^ASTNOSTI, ESLI OPERACIQ ¤ NA X ASSOCIATIWNA, TO DLQ L@BOGO \LEMENTA x 2 X I L@BOGO NATURALXNOGO ^ISLA n 2 N MY MOVEM OPREDELITX n-@ STEPENX xn \LEMENTA x PO INDUKCII, POLAGAQ x1 = x I xn = xn¡1 ¤ x. oDNAKO SOGLASNO PREDLOVENI@ x RAWNQETSQ PROIZWEDENI@ n \KZEMPLQROW x PRI L@BOJ RASSTANOWKE

\LEMENT MNOVESTWA G = fxm; m · lg, A WSE \LEMENTY MNOVESTWA G OBRATIMY.

dOKAZATELXSTWO. eDINSTWENNOSTX IDEMPOTENTA xl O^EWIDNA. w SAMOM DELE, PUSTX xl I xm DWA IDEMPOTENTA. tOGDA xl = xlm = xml = xm. dLQ DOKAZATELXSTWA SU]ESTWOWANIQ ZAMETIM, ^TO IZ KONE^NOSTI MNOVESTWA xN WYTEKAET SU]ESTWOWANIE TAKIH l =6 m, ^TO xl = xm. rASSMOTRIM LEKSIKOGRAFI^ESKI NAIMENX[U@ PARU (h; h + k) TAKU@, ^TO xh = xh+k. qSNO, ^TO TOGDA DLQ L@BOGO l ¸ h IMEEM xl = xl+k = xl+2k = : : : . wOZXMEM NAIMENX[EE l ¸ h KRATNOE k, PUSTX SKAVEM, l = ks. qSNO, ^TO e = xl = (xk)s IDEMPOTENT, W SAMOM DELE, e2 = x2l = xl+ks = xl. pO TOJ VE PRI^INE xl QWLQETSQ NEJTRALXNYM \LEMENTOM W G, W SAMOM DELE, UVE xkxm = xm = xmxk, NO xk MOVET NE PRINADLEVATX G. dOPOLNQQ POKAZATELX STEPENI m DO BLIVAJ[EGO KRATNOGO k BOLX[EGO m + l, MY WIDIM, ^TO WSE xm OBRATIMY W G.

x 5. dISTRIBUTIWNOSTX

1. dISTRIBUTIWNOSTX. w [KOLXNOM KURSE WSTRE^A@TSQ E]E DWA WAVNEJ[IH TOVDESTWA, W KOTORYH U^ASTWU@T DWE ALGEBRAI^ESKIH OPERACII. rASSMOTRIM MNOVESTWO X S OPERACIQMI ¤ I ±.

oPREDELENIE. oPREDELENNAQ NA MNOVESTWE X OPERACIQ ¤ NAZYWA- ETSQ DISTRIBUTIWNOJ SLEWA OTNOSITELXNO ±, ESLI

x ¤ (y ± z) = (x ± y) ¤ (x ± z)

I DISTRIBUTIWNOJ SPRAWA OTNOSITELXNO ±, ESLI

(x ± y) ¤ z = (x ± z) ¤ (y ± z)

DLQ L@BYH x; y; z 2 X.

eSLI ¤ DISTRIBUTIWNO OTNOSITELXNO ± KAK SLEWA, TAK I SPRAWA, GO-

WORQT O DWUSTORONNEJ DISTRIBUTIWNOSTI ILI PROSTO O DISTRI-

BUTIWNOSTI ¤ OTNOSITELXNO ± (W [KOLE ZDESX GOWORILOSX O ‘RASPREDELITELXNOM ZAKONE’).

eSLI OPERACIQ ¤ KOMMUTATIWNA, TO DLQ PROWERKI DISTRIBUTIWNOSTI ¤ OTNOSITELXNO ± DOSTATO^NO PROWERITX ODNOSTORONN@@ DISTRIBUTIWNOSTX. pRIWEDEM NEKOTORYE PRIMERY, DALXNEJ[IE PRIMERY WSTRETQTSQ NAM W gLAWE III.

pRIMERY DWUSTORONNE DISTRIBUTIWNYH OPERACIJ:

²uMNOVENIE ^ISEL DISTRIBUTIWNO OTNOSITELXNO SLOVENIQ: x(y + z) = xy + xz I (x + y)z = xz + yz.

²uMNOVENIE DISTRIBUTIWNO OTNOSITELXNO WY^ITANIQ: x(y ¡ z) = xy ¡ xz I (x ¡ y)z = xz ¡ yz.

²oB_EDINENIE I PERESE^ENIE DISTRIBUTIWNY DRUG OTNOSITELXNO DRUGA: A [(B \s) = (A \B) [(A \s) I A \(B [C) = (A [B) \(A [s)

²nA R SLOVENIE DISTRIBUTIWNO OTNOSITELXNO max I min:

² nA R OPERACII max I min DISTRIBUTIWNY DRUG OTNOSITELXNO DRUGA:

min(x; max(y; z)) = max(min(x; y); min(x; z)): pRIMERY ODNOSTORONNE DISTRIBUTIWNYH OPERACIJ:

²dELENIE DISTRIBUTIWNO OTNOSITELXNO SLOVENIQ SPRAWA, NO NE SLE-

WA: (x + y)=z = x=z + y=z, NO x=(y + z) 6= x=y + x=z.

²nA N WOZWEDENIE W STEPENX DISTRIBUTIWNO OTNOSITELXNO UMNOVENIQ SLEWA, NO NE SPRAWA: (xy)z = xzy=z, NO xyz 6= xyxz.

²pUSTX X — MNOVESTWO S BINARNOJ OPERACIEJ ¤. rASSMOTRIM DWE OPERACII NA MNOVESTWE OTOBRAVDENIJ XX: KOMPOZICI@ ± I POTO^E^- NU@ OPERACI@ (f ¤ g)(x) = f(x) ¤ g(x). tOGDA KOMPOZICIQ DISTRIBUTIWNA OTNOSITELXNO ¤ SLEWA (f ¤ g) ± h = (f ± h) ¤ (g ± h), NO NE SPRAWA f ± (g ¤ h) 6= (f ± g) ¤ (f ± h),

pRIMERY NEDISTRIBUTIWNYH OPERACIJ:

²sLOVENIE NE DISTRIBUTIWNO OTNOSITELXNO UMNOVENIQ: x + yz 6= (x + y)(x + z).

²wZQTIE SUPREMUMA I INFIMUMA W RE[ETKE X, WOOB]E GOWORQ, NE DISTRIBUTIWNY DRUG OTNOSITELXNO DRUGA. rE[ETKA, W KOTOROJ WYPOL-

175nAPRIMER, KLASSI^ESKAQ TEOREMA oRE (O.Ore, Structures and group theory. II. – Duke Math. J., 1938, vol.4, p.247–269) UTWERVDAET, ^TO RE[ETKA X = L(G)

PODGRUPP GRUPPY G W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE DISTRIBUTIWNA, KOGDA G LOKALXNO CIKLI^ESKAQ (L@BOE KONE^NOE MNOVESTWO \LEMENTOW GRUPPY G POROVDAET CIKLI^ESKU@ PODGRUPPU). w ^ASTNOSTI, RE[ETKA PODGRUPP KONE^NOJ GRUPPY W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE DISTRIBUTIWNA, KOGDA G CIKLI^ESKAQ.

zADA^A. pUSTX K — PROIZWOLXNOE POLE, A f I g — DWE FUNKCII K ¡! K. nAPOMNIM, ^TO IH SUMMOJ I PROIZWEDENIEM NAZYWA@TSQ FUNKCII f + g I fg, POLU^ENNYE PRIMENENIEM SLOVENIQ I UMNOVENIQ K IH ZNA^ENIQM, T.E. (f + g)(x) = f(x) + g(x) I (fg)(x) = f(x)g(x),

SOOTWETSTWENNO, SM. NIVE. wERNO LI, ^TO KOMPOZICIQ FUNKCIJ f; g 7! f ±g DISTRIBUTIWNA OTNOSITELXNO SLOVENIQ FUNKCIJ? a OTNOSITELXNO UMNOVENIQ?

zADA^A. pOKAZATX, ^TO OPERACIQ WZQTIQ SUMMY MNOVESTW PO mINKOWSKOMU DISTRIBUTIWNA OTNOSITELXNO OB_EDINENIQ, NO, WOOB]E GOWORQ, NE PERESE^ENIQ.

zADA^A. pOKAVITE, ^TO A+(B \C) µ (A+B)\(A+s) I (A\B)+C µ

(A + C) \ (B + C).

zADA^A. wERNO LI, ^TO OPERACIQ WZQTIQ RAZNOSTI PO mINKOWSKOMU DISTRIBUTIWNA OTNOSITELXNO PERESE^ENIQ? a OTNOSITELXNO OB_EDINENIQ?

zADA^A. w TEORII INTEGRALA dANI\LQ–sTOUNA ^ASTO ISPOLXZUETSQ OPERACIQ f, OPREDELQEMAQ KAK

f f g = sign(fg)(jfj \ jgj):

pROWERXTE, BUDET LI ONA ASSOCIATIWNOJ? dISTRIBUTIWNOJ OTNOSITELXNO SLOVENIQ I WY^ITANIQ?

x 6. nARU[ENIE ASSOCIATIWNOSTI I DISTRIBUTIWNOSTI W MA[INNOJ ARIFMETIKE

pRI SLOVENII ^ISEL W STOLBIK SNA^ALA SNIZU WWERH, A POTOM NAOBOROT, WY WSEGDA POLU^ITE RAZNYE SUMMY.

MADAM m.p.lA tU[, CITIRUETSQ PO176

sLEDU@]IE KOMANDY PEREWODQT NAS REVIM \MULQCII ARIFMETIKI ^ISEL S PLAWA@]EJ ZAPQTOJ S TO^NOSTX@ DO 8 ZNA^A]IH CIFR, OBY^NOJ DLQ MNOGIH MIKROKALXKULQTOROW:

<< NumericalMath`ComputerArithmetic`; SetArithmetic[8]

wPRO^EM, ^ITATELX MOVET POWTORITX \TI WY^ISLENIQ I NA OBY^NOM MIKROKALXKULQTORE. oKAZYWAETSQ, SLOVENIE I UMNOVENIE KOMPX@TERNYH ^ISEL KOMMUTATIWNY. oTKLONENIE OT WYPOLNENIQ DRUGIH TOVDESTW W PROGRAMMISTSKOJ PRAKTIKE PRINQTO

176d.|.kNUT, iSKUSSTWO PROGRAMMIROWANIQ. tOM 2. pOLU^ISLENNYE ALGORITMY, 3E IZD., wILXQMS, m.–spB–kIEW, 2000, S.1–828. STR.225

IZMERQTX W ULXPAH. uLXPOM??? (ulp — unit in the last place) NAZYWAETSQ NAIMENX- [EE KOMPX@TERNOE ^ISLO " TAKOE, ^TO W ISPOLXZUEMOM FORMATE 1+" 6= 1. nAPRIMER, DLQ TO^NOSTI 8 ZNA^A]IH CIFR 1 ULXP RAWEN 0:0000001. nESLOVNAQ OCENKA O[IBKI OKRUGLENIQ177 POKAZYWAET, ^TO UMNOVENIE ASSOCIATIWNO S TO^NOSTX@ DO DWUH ULXPOW OTNOSITELXNOJ POGRE[NOSTI.

a WOT S ASSOCIATIWNOSTX@ SLOVENIQ SITUACIQ PODLINNO TRAGI^ESKAQ. wOT NESLOVNYJ PRIMER, W KOTOROM O[IBKA SOSTAWLQET MILLIONY ULXPOW. rASSMOTRIM SLEDU@]IE TRI KOMPX@TERNYH ^ISLA:

x=ComputerNumber[10000001], y=-x, z=ComputerNumber[0.51100000]

tEPERX WY^ISLENIE POKAZYWAET, ^TO (x © y) © z = 0:51100000, NO x © (y © z) = 1:0000000.

aNALOGI^NYE PRIMERY LEGKO PRIWESTI I DLQ DISTRIBUTIWNOSTI UMNOVENIQ. w SWQZI S \TIM MNOGIE SPECIALISTY PREDLAGA@T POLNOSTX@ OTKAZATXSQ OT METO-

DOW WY^ISLENIJ, ^ISLENNOGO ANALIZA I ISPOLXZOWATX TOLXKO WY^ISLENIQ S CELYMI ^ISLAMI, (infinite precision arithmetic, error-free calculations). pO KRAJNEJ MERE

x 6. tOVDESTWO qKOBI

1. tOVDESTWO qKOBI178. pUSTX TEPERX NA X ZADANY DWE OPERACII ¤ I +. gOWORQT, ^TO W X WYPOLNQETSQ TOVDESTWO qKOBI, ESLI DLQ L@BYH x; y; z 2 X IMEET MESTO RAWENSTWO

(x ¤ y) ¤ z + (y ¤ z) ¤ x + (z ¤ x) ¤ y = 0:

iZWESTNYJ IZ [KOLXNOGO KURSA GEOMETRII PRIMER WYPOLNENIQ \TOGO TOVDESTWA OTNOSITSQ K SLU^A@, KOGDA + ESTX SLOVENIE WEKTOROW TREHMERNOGO PROSTRANSTWA, A ¤ ESTX WEKTORNOE PROIZWEDENIE, OBOZNA^AEMOE OBY^NO [x; y], KOGDA TOVDESTWO PRINIMAET WID

[[x; y]; z] + [[y; z]; x] + [[z; x]; y] = 0:

177ibid., S.268–269

178kARL gUSTAW qKOB qKOBI (10.12.1804, pOTSDAM — 18. 02.1851) — ODIN IZ KLASSIKOW XIX WEKA, KOTOROMU PRINADLEVAT ZAME^TAELXNYE RABOTY PO MNOGIM OBLASTQM MATEMATIKI. s 1826 PO 1842 GODY RABOTAL W kENIGSBERGE, POTOM W bERLINE. oSNOWNYE RABOTY qKOBI OTNOSQTSQ K ALGEBRE, TEORII ^ISEL, TEORII \LLIPTI- ^ESKIH FUNKCIJ, TEORII DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ S ^ATSNYMI PROIZWODNYMI I MEHANIKE. kROME TOVDESTWA qKOBI S EGO IMENEM SWQZANY MNOGO^LENY qKOBI, T\TA-FUNKCII, SIMWOL qKOBI, qKOBIEWY MATRICY, FUNKCIONALXNYJ OPREDELITELX (QKOBIAN) I MNOVESTWO UPOMINAEMYH W NA[EM KURSE TEOREM. w 1833 GODU qKOBI BYL IZBRAN INOSTRANNYM ^LENOM pETERBURGSKOJ aKADEMII NAUK I K KONCU VIZNI PLANIROWAL PEREEHATX W pETERBURG, NO, K SOVALENI@, RANNQQ SMERTX POME[ALA OSU]ESTWITXSQ \TIM PLANAM.

|TO OSNOWNOE TOVDESTWO, WHODQ]EE W OPREDELENIE ALGEBR lI. pRIWEDEM DALXNEJ[IE PRIMERY OPERACIJ UDOWLETWORQ@]IH TOVDESTWU qKOBI:

²KOMMUTIROWANIE W ASSOCIATIWNOJ ALGEBRE,

²KOMMUTIROWANIE DIFFERENCIROWANIJ,

²SKOBKA lI WEKTORNYH POLEJ,

²SKOBKA pUASSONA.

kOMMENTARIJ. |TO ZAME^ATELXNOE TOVDESTWO QWLQETSQ WARIANTOM PRAWILA lEJBNICA DIFFERENCIROWANIQ PROIZWEDENIQ, ESLI S^ITATX, ^TO DIFFERENCIALXNYE OPERATORY I FUNKCII, NA KOTORYH ONI DEJSTWU@T, VIWUT W ODNOM I TOM VE KOLXCE — A IMENNO W \TOM I SOSTOIT TO^KA ZRENIQ ALGEBR lI. w TEORII ALGEBR lI \TO TOVDESTWO WSEGDA ISPOLXZUETSQ WMESTE S ANTIKOMMUTATIWNOSTX@: [y; x] = ¡[x; y]. w POSLEDNIE 10–15 LET WO MNOGIH RABOTAH TOVDESTWO qKOBI ISPOLXZUETSQ BEZ PREDPOLOVENIQ ANTIKOMMUTATIWNOSTI OPERACII [x; y], T.E. NEPOSREDSTWENNO W FORME TOVDESTWA lEJBNICA

[x; [y; z]] = [[x; y]; z] + [y; [x; z]]:

s TOVDESTWAMI qKOBI I lEJBNICA TESNO SWQZANO TOVDESTWO pUASSONA, W KOTOROM FIGURIRU@T TRI OPERACII, A IMENNO, ODNO IZ KOMMUTIROWANIJ ZAMENENO NA ASSOCIATIWNOE UMNOVENIE:

[x; yz] = [x; y]z + y[x; z]:

|TO ZAME^ATELXNOE TOVDESTWO HARAKTERIZUET KLASS ALGEBR pUASSONA. oNO WYPOLNQETSQ, NAPRIMER, DLQ OBY^NOJ SKOBKI pUASSONA, SLOVENIQ I UMNOVENIQ FUNKCIJ.

aNALOGI TOVDESTWA qKOBI, IZWESTNYE KAK TOVDESTWO rI^^I, TOVDESTWO bXQNKI I T.D. WYPOLNQ@TSQ DLQ OPERACIJ W RIMANOWOJ GEOMETRII.

x 7. dRUGIE WAVNYE TOVDESTWA S ODNOJ OPERACIEJ

1. iDEMPOTENTNOSTX. |LEMENT x 2 X NAZYWAETSQ IDEMPOTENTOM,

ESLI x ¤ x = x. gOWORQT, ^TO BINARNAQ OPERACIQ ¤ UDOWLETWORQET TOVDESTWU

IDEMPOTENTNOSTI: x ¤ x = x; DLQ L@BOGO x 2 X.

w PREFIKSNOJ ZAPISI \TO OZNA^AET, ^TO f(x; x) = x. pRIMERY IDEMPOTENTNYH OPERACIJ:

²KON_@NKCIQ I DIZ_@NKCIQ,

²OPERACII OB_EDINENIQ I PERESE^ENIQ MNOVESTW,

²WZQTIQ MAKSIMUMA I MAKSIMUMA,

²NAIBOLX[EGO OB]EGO DELITELQ I NAIMENX[EGO OB]EGO KRATNOGO.

2.oSLABLENNAQ ASSOCIATIWNOSTX. w NEKOTORYH SLU^AQH ASSOCIATIWNOSTX NE IMEET MESTA DLQ PROIZWOLXNYH TROEK, NO WYPOLNQ@TSQ KAKAQ-TO EE OSLABLENNAQ WERSIQ. kROME TOVDESTWA qKOBI, KOTOROE QWLQETSQ SKOREE ANALOGOM ASSOCIATIWNOSTI, ^EM EE WARIANTOM, NAIBOLX[EE ZNA^ENIE IME@T SLEDU@]IE TOVDESTWA,

LEWAQ ALXTERNATIWNOSTX: (xx)y = x(xy); \LASTI^NOSTX: (xy)x = x(yx);

PRAWAQ ALXTERNATIWNOSTX: (xy)y = x(yy).

kAK OBY^NO, O TOVDESTWE GOWORQT, ESLI SOOTWETSTWU@]EE RAWENSTWO WYPOLNQETSQ DLQ WSEH x; y; z 2 X. mY WERNEMSQ K ANALIZU \TIH TOVDESTW W gLAWE V PRI RASSMOTRENII UMNOVENIQ W ALGEBRAH OKTAW I OKTONIONOW.

pRI ANALIZE ISKL@^ITELXNYH GEOMETRIJ rUT mUFANG OTKRYLA SLEDU@]IE ZAME^ATELXNYE OSLABLENIQ ASSOCIATIWNOSTI:

LEWOE TOVDESTWO mUFANG: ((xy)x)z = x(y(xz));

PRAWOE TOVDESTWO mUFANG: x(y(zy)) = ((xy)z)y; CENTRALXNOE TOVDESTWO mUFANG: (xy)(zx) = x(yz)x.

|TI TOVDESTWA KAVUTSQ \KZOTIKOJ, NO NA SAMOM DELE ONI ESTESTWENNO WOZNIKA@T W SAMYH RAZLI^NYH RAZDELAH MATEMATIKI, NAPRIMER, W ALGEBRAI^ESKOJ GEOMETRII179. tAK KAK \TI TOVDESTWA KAK PRAWILO ISPOLXZU@TSQ W SO^ETANII S \LASTI^- NOSTX@ (LIBO KAKIMI-TO DOPOLNITELXNYMI USLOWIQMI, PRI KOTORYH ONI WLEKUT \LASTI^NOSTX), PRI IH ZAPISI SKOBKI W PROIZWEDENIQH WIDA xyx I yzy OBY^NO NE STAWQTSQ. nA SAMOM DELE, W OTSUTSTWIE \LASTI^NOSTI WYPISANNYE WY[E TOVDESTWA mUFANG OTLI^A@TSQ OT SLEDU@]IH TOVDESTW:

LEWOE TOVDESTWO bOLA: (x(yx))z = x(y(xz));

PRAWOE TOVDESTWO bOLA: x((yz)y) = ((xy)z)y.

3. jORDANOWO TOVDESTWO. wSTRE^A@TSQ E]E BOLEE PRI^UDLIWYE NA PERWYJ WZGLQD OSLABLENIQ ASSOCIATIWNOSTI, TAKIE KAK

JORDANOWO TOVDESTWO: (x2 ¤ y) ¤ x = x2 ¤ (y ¤ x),

GDE POD x2 KAK OBY^NO PONIMAETSQ x ¤ x.

kOMMENTARIJ. |TO TOVDESTWO POQWILOSX W 1934 GODU W RABOTE pASKUALQ jORDANA, `DVINA wIGNERA I dVONA FON nEJMANA, POSWQ]ENNOJ MATEMATI^ESKIM OSNOWANIQM KWANTOWOJ MEHANIKI. pREDSTAWLQETSQ NEWEROQTNYM, ^TOBY PODOBNOE TOVDESTWO MOGLO BYTX INTERESNYM, ODNAKO W DEJSTWITELXNOSTI SU]ESTWU@T SOWER[ENNO ZAME- ^ATELXNYE 27-MERNYE ALGEBRY NAD R I NAD C, UDOWLETWORQ@]IE \TOMU TOVDESTWU.

179`.i.mANIN “kUBI^ESKIE FORMY”, m., 1972, gL.1.

iMENNO S \TIMI ALGEBRAMI SWQZANY WSE NAIBOLEE ZAME^ATELXNYE ISKL@^ITELXNYE OB_EKTY ALGEBRY I GEOMETRII (ISKL@^ITELXNYE PROSTYE ALGEBRY lI I GRUPPY lI, SIMMETRI^ESKIE RIMANOWY PROSTRANSTWA I T.D.)

4. mEDIALXNOSTX I AWTODISTRIBUTIWNOSTX. wOT E]E TRI WAVNYH TOVDESTWA,

W KOTORYE WHODIT ODNA OPERACIQ:

LEWAQ AWTODISTRIBUTIWNOSTX: x(yz) = (xy)(xz);

PRAWAQ AWTODISTRIBUTIWNOSTX: (xy)z = (xz)(yz). MEDIALXNOSTX: (xy)(zw) = (xz)(yw);

mEDIALXNOSTX POHOVA NA KOMMUTATIWNOSTX, NO \TO SOWSEM NE KOMMUTATIWNOSTX. wY^ITANIE NEKOMMUTATIWNO, NO LEGKO WIDETX, ^TO ONO MEDIALXNO,

(x ¡ y) ¡ (z ¡ w) = (x ¡ z) ¡ (y ¡ w):

zADA^A. zAFIKSIRUEM a; b 2 R I WWEDEM NA R BINARNU@ OPERACI@, POLAGAQ x ¤ y = ax + by. pROWERXTE, ^TO DLQ L@BOGO WYBORA a I b OPERACIQ ¤ MEDIALXNA. kOGDA ONA BUDET ASSOCIATIWNOJ? kOMMUTATIWNOJ?

zADA^A. pOKAVITE, ^TO MEDIALXNAQ OPERACIQ, DLQ KOTOROJ SU]ESTWUET (DWUSTORONNIJ) NEJTRALXNYJ \LEMENT, W DEJSTWITELXNOSTI KOMMUTATIWNA I ASSOCIATIWNA.

zADA^A. pUSTX A — ABELEWA GRUPPA, Á; Ã 2 Aut(G), ÁÃ = ÃÁ — DWA KOMMUTIRU@- ]IH AWTOMORFIZMA GRUPPY A, c 2 A. oPREDELIM NA A OPERACI@ bRAKA-tOJODY xy = Á(x) + Ã(y) + c. pOKAVITE, ^TO \TA OPERACIQ MEDIALXNA. bUDET LI ONA KOMMUTATIWNOJ?

x 8. dRUGIE WAVNYE TOVDESTWA S DWUMQ OPERACIQMI

1. aNTIKOMMUTATIWNOSTX. pREDPOLOVIM, ^TO NA MNOVESTWE X ZADANO DWE OPERACII — UMNOVENIE I SLOVENIE, PRI^EM UMNOVENIE DISTRIBUTIWNO OTNOSITELXNO SLOVENIQ. uMNOVENIE NAZYWAETSQ ANTIKOMMUTATIWNYM, ESLI x2 = 0 DLQ WSEH x 2 X. wY^ISLQQ (x + y)2 = x2 + xy + yx + y2 TAK ^TO xy + yx = 0 ILI, ESLI X OBRAZUET ABELEWU GRUPPU PO SLOVENI@, TO xy = ¡yx. nAIBOLEE IZWESTNYM PRIMEROM ANTIKOMMUTATIWNOJ OPERACII QWLQETSQ WEKTORNOE UMNOVENIE WEKTOROW.

kOMMENTARIJ. fAKTI^ESKI TOVDESTWO ANTIKOMMUTATIWNOSTI WOZNIKLO E]E W PERWOJ POLOWINE XIX WEKA U gRASSMANA I qKOBI, I W DALXNEJ[EM EGO ZNA^ENIE W MATEMATIKE POSTOQNNO ROSLO. |TO TOVDESTWO WSTRE^AETSQ KAK SAMO PO SEBE — NARQDU S TOVDESTWOM qKOBI ONO WYPOLNQETSQ W ALGEBRAH lI — TAK I W BOLEE RAFINIROWANNOM WIDE W SO^ETANII S KOMMUTATIWNOSTX@. iMENNO, W TAK NAZYWAEMYH SUPERALGEBRAH \LEMENTY RAZBIWA@TSQ NA ODNORODNYE KOMPONENTY OPREDELENNYH STEPENEJ, PRI^EM SAMI \TI ODNORODNYE \LEMENTY LIBO KOMMUTIRU@T, LIBO ANTIKOMMUTIRU@T. w POSLEDNIE GODY WSE BOLX[EE RASPROSTRANENIE POLU^A@T DRUGIE WIDY KONTROLIRUEMOJ NEKOMMUTATIWNOSTI, NAPRIMER, q-KOMMUTATIWNOSTX xy = qyx.

2. tOVDESTWO WZAIMNOJ DISTRIBUTIWNOSTI. sLEDU@]EE TOVDESTWO ESTE-

STWENNO WOZNIKAET W ALGEBRAI^ESKOJ TOPOLOGII PRI IZU^ENII GOMOTOPI^ESKIH GRUPP I H-PROSTRANSTW (SM. [Spa]). gOWORQT, ^TO DWE OPERACII ± I ¤ NA MNOVESTWE X WZAIMNO DISTRIBUTIWNY, ESLI DLQ L@BYH x; y; u; v 2 X IMEET MESTO RAWENSTWO

(x ± y) ¤ (u ± v) = (x ¤ u) ± (y ¤ v):

zADA^A. dOKAVITE, ^TO ESLI DWA ZAKONA KOMPOZICII ± I ¤ NA MNOVESTWE X WZAIMNO DISTRIBUTIWNY I IME@T OB]IJ DWUSTORONNIJ NEJTRALXNYJ \LEMENT, TO ONI SOWPADA@T MEVDU SOBOJ, T.E. x ¤ y = x ± y DLQ L@BYH x; y 2 X.

zAMETIM, ^TO IZ zADA^I ? WYTEKAET, ^TO W \TOM SLU^AE ZAKON ¤ ASSOCIATIWEN I KOMMUTATIWEN.

kOAN. iZWESTNO, ^TO UMNOVENIE MATRIC I TENZORNOE PROIZWEDENIE SWQZANY TOVDESTWOM (x - y)(z - w) = xz - yw. pO^EMU VE ONI NE SOWPADA@T MEVDU SOBOJ?

3. tOVDESTWO MODULQRNOSTI. gOWORQT, ^TO OPERACII ± I ¤ SWQZANY TOVDE-

STWOM MODULQRNOSTI, ESLI DLQ L@BYH x; y; z 2 X IMEET MESTO RAWENSTWO

x ± (y ¤ z) = x ± ((y ± (x ¤ z)) ¤ z):

kOMMENTARIJ. |TO TOVDESTWO, PO-WIDIMOMU, WPERWYE ISPOLXZOWAL rIHARD dEDEKIND OKOLO 1900 GODA. oNO HARAKTERIZUET MODULQRNYE RE[ETKI. oDNAKO ^A]E USLOWIE MODULQRNOSTI RE[ETKI FORMULIRUETSQ W WIDE BOLEE PROSTOGO TOVDESTWA x ± (y ¤ z) = (x ± y) ¤ z, KOTOROE, ODNAKO WYPOLNQETSQ UVE NE DLQ WSEH x; y; z 2 X A TOLXKO DLQ TEH TROEK, DLQ KOTORYH x ¸ z.

4. sTANDARTNOE TOVDESTWO. sLEDU@]EE TOVDESTWO QWLQETSQ OBOB]ENIEM KOMMUTATIWNOSTI: X

sgn(¼)x¼(1) : : : x¼(n) = 0:

¼2Sn

zAPI[EM DLQ PRIMERA STANDARTNOE TOVDESTWO STEPENI 3:

xyz + yzx + zxy = yxz + zyx + xzy:

x 9. aSSOCIATIWNOSTX I KOMMUTATIWNOSTX W QZYKE

1. oTSUTSTWIE ASSOCIATIWNOSTI. w RUSSKOM, KAK I W DRUGIH FLEKTIWNYH QZYKAH, WOZMOVNOSTI STROITX FRAZY, DOPUSKA@]IE RAZLI^NU@ RASSTANOWKU SKOBOK, WESXMA OGRANI^ENY. sAKRAMENTALXNYJ PRIMER, KOGDA RASSTANOWKA SKOBOK NEOBHODIMA, ‘KAZNITX NELXZQ POMILOWATX’. w \TOM SLU^AE ZAPQTAQ NUVNA IMENNO DLQ TOGO, ^TOBY ZAFIKSIROWATX RASSTANOWKU SKOBOK ‘(KAZNITX NELXZQ) POMILOWATX’ ILI ‘KAZNITX (NELXZQ POMILOWATX)’.

wOZMOVNOSTI IZOLIRU@]IH QZYKOW (TAKIH, KAK KITAJSKIJ ILI ANGLIJSKIJ) W \TOM SMYSLE GORAZDO BOLX[E, OSOBENNO W SWQZI S TEM, ^TO W \TIH QZYKAH PO^TI L@BOE SLOWO MOVET BYTX L@BOJ ^ASTX@ RE^I. pROBLEMA RASSTANOWKI SKOBOK REALXNO WOZNIKAET PRI PEREWODE, W ^ASTNOSTI, KOMPX@TERNOM. wOT KLASSI^ESKIJ PRIMER nOAMA hOMSKOGO: they are flying planes. bOLX[INSTWO NOSITELEJ QZYKA W OBY^NOJ SITUACII PROINTERPRETIRU@T \TU FRAZU KAK they (are flying) planes,