vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

KORREKTNO OPREDELQET SLOVENIE KLASSOW. tAKIM OBRAZOM, MS = M £ S=» PREDSTAWLQET SOBOJ MONOID OTNOSITELXNO \TOJ OPERACII, 0 = [0 ¡ 0].

oTOBRAVENIE M ¡! MS, a 7![a ¡ 0], QWLQETSQ MONOMORFIZMOM MONOIDOW, KOTORYJ W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE IN_EKTIWEN, KOGDA S SOSTOIT IZ REGULQRNYH \LEMENTOW, T.E. a + u = b + u =) a = b DLQ WSEH a; b 2 M, u 2 S. |LEMENTY [u ¡ 0], u 2 S, OBRATIMY W MS, TAK KAK

¡[u ¡ 0] = [0 ¡ u].

pOSTROENNYJ TAK MONOID MS NAZYWAETSQ MONOIDOM RAZNOSTEJ

(difference monoid, Differenzenmonoid). w SLU^AE, KOGDA M ZAPI-

SYWAETSQ MULXTIPLIKATIWNO, WMESTO \TOGO OBY^NO GOWORQT O MONO-

IDE ^ASTNYH (quotient monoid, Quotientenmonoid) — NE PUTATX S FAKTOR-MONOIDOM!!

2. uNIWERSALXNOE SWOJSTWO. mONOID RAZNOSTEJ MOVNO OHARAKTERIZOWATX SLEDU@]IM UNIWERSALXNYM SWOJSTWOM. eSLI Á : M ¡! N

— GOMOMORFZM MONOIDOW TAKOJ, ^TO Á(S) µ N¤, TO SU]ESTWUET EDINSTWENNYJ GOMOMORFIZM MONOIDOW ÁS : MS ¡! N TAKOJ, ^TO DIAGRAMMA

¶

M ¡¡¡¡! MS

N

KOMMUTATIWNA: Á = ÁS ± ¶. pRI \TOM ÃS([a ¡ u]) = Á(a) ¡ Á(u).

3. gRUPPA gROTENDIKA. wAVNEJ[IJ ^ASTNYJ SLU^AJ OPISANNOJ WY[E KONSTRUKCII SOSTOIT W SLEDU@]EM. w MONOIDE MM WSE \LEMENTY OBRATIMY, T.E. \TOT MONOID W DEJSTWITELXNOSTI QWLQETSQ GRUPPOJ. |TA GRUPPA OBOZNA^AETSQ ^EREZ G(M) I NAZYWAETSQ GRUPPOJ gROTENDIKA MONOIDA M. iNYMI SLOWAMI, GRUPPA gROTENDIKA HARAKTERIZUETSQ SLEDU@]IMI UNIWERSALXNYMI SWOJSTWOM

¶

M ¡¡¡¡! G(M)

G

DLQ L@BOGO GOMOMORFIZMA MONOIDA M W ABELEWU GRUPPU G SU]ESTWUET EDINSTWENNYJ GOMOMORFIZM GRUPP à : G(M) ¡! G, TAKOE, ^TO Á = ñ¶. oTOBRAVENIE ¶ : M ¡! G(M) W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE QWLQETSQ WLOVENIEM, KOGDA M MONOID S SOKRA]ENIEM, T.E. WSE EGO \LEMENTY

REGULQRNY.

tEMA 5. obob}eniq ponqtiq operacii

dO SIH POR MY IMELI DELO PREIMU]ESTWENNO S NAIBOLEE WAVNYM SLU^AEM WNUTRENNIH BINARNYH OPERACIJ. sEJ^AS MY KOROTKO OBSUDIM UNARNYE OPERACII I WNUTRENNIE OPERACII WYS[IH ARNOSTEJ, A TAKVE WNE[NIE OPERACII, OPERACII BESKONE^NOJ ARNOSTI I ^ASTI^NYE OPERACII. pRI \TOM MY OGRANI^IMSQ OBSUVDENIEM NESKOLXKIH PRIMEROW.

x 1. nULXARNYE OPERACII

kAK MY USTANOWILI W x 1, NULEWAQ STEPENX L@BOGO NEPUSTOGO MNOVESTWA RAWNA f?g, TAK ^TO NULXARNAQ OPERACIQ SWODITSQ K WYBORU KONSTANTY W X. nAIBOLEE WAVNYMI KONSTANTAMI QWLQ@TSQ, KONE^NO, 0 I 1 (KOTORYE MOGUT PRINIMATX W RAZNYH KONTEKSTAH RAZNYE OBLI^IQ, NAPRIMER, 0 DLQ OB_EDINENIQ MNOVESTW — \TO ?, A 1 DLQ KOMPOZICII OTOBRAVENIJ — \TO id, SM. SLEDU@]IJ PARAGRAF). tREMQ KONSTANTAMI W ALGEBRE OTNO[ENIJ QWLQ@TSQ TRIWIALXNOE, TOVDESTWENNOE I TOTALXNOE OTNO[ENIQ. e]E ODNA WAVNEJ[AQ KONSTANTA W Z — \TO BAZA SISTEMY S^ISLENIQ, SREDI KOTORYH NAIBOLEE UPOTREBIMYMI QWLQ@TSQ 2 (DWOI^NAQ SISTEMA), 8 (WOSXMERI^NAQ SISTEMA), 10 (DESQTI^NAQ SISTEMA), 16 ([ESTNADCATIRI^NAQ SISTEMA, ISPOLXZUEMAQ OBY^NO W KOMPX@TERAH), 60 (WAWILONSKAQ [ESTIDESQTIRI^NAQ SISTEMA, REFLEKSY KOTOROJ SOHRANILISX W IZMERENII WREMENI, UGLOW, etc.). tREMQ DRUGIMI ZAME^ATELXNYMI KONSTANTAMI W POLE C KOMPLEKSNYH ^ISEL QWLQ@TSQ MNIMAQ EDINICA i, OSNOWANIE NATURALXNOGO LOGARIFMA e I ^ISLO ¼. oDNOJ IZ SAMYH KRASIWYH

W MATEMATIKE QWLQETSQ FORMULA |JLERA, SWQZYWA@]AQ WSE \TI KONSTANTY MEVDU SOBOJ: e¼i = ¡1, SM. gLAWU 3.

pUSTX TEPERX A I B — DWA MNOVESTWA S OTME^ENNOJ TO^KOJ.

oPREDELENIE. bUKETNYM PROIZWEDENIEM A _B MNOVESTW A I B S OTME^EN-

NOJ TO^KOJ NAZYWAETSQ IH AMALXGAMIROWANNAQ SUMMA A `C B POD ODNO\LEMENT- NYM MNOVESTWOM C = f¤g.

~TOBY A C B BYLO MNOVESTWOM S OTME^ENNOJ TO^KOJ, OTOBRAVENIQ f I g ZDESX

OTME^ENNAQ TO^KA ¤A 2 A OTOVDESTWLENA S OTME^ENNOJ TO^KOJ ¤B 2 B.

2.pRIMERY BUKETNYH PROIZWEDENIJ. nIVE NARISOWANO BUKETNOE PROIZWEDENIE DWUH OKRUVNOSTEJ I BUKETNOE PROIZWEDENIE DWUH OTREZKOW, WYDELENNYE TO^KI KOTORYH QWLQ@TSQ IH SEREDINAMI.

KARTINKA — KARTINKA — KARTINKA

3.wLOVENIE BUKETNOGO PROIZWEDENIQ W PRQMOE PROIZWEDENIE. zAMETIM,

^TO BUKETNOE PROIZWEDENIE MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ MOVET BYTX ESTESTWENNYM OBRAZOM REALIZOWANO NE TOLXKO KAK FAKTOR-MNOVESTWO SWOBODNOGO OB_EDINENIQ SOOTWETSTWU@]IH MNOVESTW, NO I KAK PODMNOVESTWO IH PRQMOGO PROIZWEDENIQ. a IMENNO, BUKETNOE PROIZWEDENIE A I B PRO]E WSEGO PREDSTAWLQTX SEBE

KAK

A _ B = f(a; ¤B) 2 A £ B j a 2 Ag [ f(¤A; b) 2 A £ B j b 2 Bg:

sOWER[ENNO QSNO, ^TO DWA MNOVESTWA, OB_EDINENIE KOTORYH RASSMATRIWAETSQ W PRAWOJ ^ASTI, PERESEKA@TSQ ROWNO PO ODNOMU \LEMENTU, A IMENNO, PO (¤A; ¤B).

4. sMQTOE PROIZWEDENIE MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ. sMQTYM PRO-

IZWEDENIEM (smash product) MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ A I B NAZYWAETSQ FAKTOR-MNOVESTWO A]B = A £ B= » IH PRQMOGO PROIZWEDENIQ A £ B PO NAIMENX- [EMU OTNO[ENI@ \KWIWALENTNOSTI », DLQ KOTOROGO WSE \LEMENTY A _ B POPADA@T W ODIN KLASS. |TO OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRA-

ZOM: (a1; b1) » (a2; b2), W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA (a1; b1) = (a2; b2) ILI (a1; b1); (a2; b2) 2 A _ B. sMQTOE PROIZWEDENIE DOWOLXNO INTERESNAQ OPERACIQ.

zADA^A. uBEDITESX, ^TO S1]S1 » S2.

=

x 2. uNARNYE OPERACII

2.uNARNYE OPERACII. pO OPREDELENI@ UNARNAQ OPERACIQ \TO PROSTO OTOBRAVENIE f : X ¡! X. oDNAKO OBY^NO TERMIN ‘UNARNAQ OPERACIQ’ PRIMENQETSQ NE K PROIZWOLXNYM OTOBRAVENIQM TAKOGO WIDA, A TOLXKO K OTOBRAVENIQM, LIBO ESTESTWENNO SWQZANNYM S BINARNYMI OPERACIQMI, LIBO UDOWLETWORQ@]IM OSOBENNO PROSTYM FUNKCIONALX- NYM URAWNENIQM. oTMETIM DWA NAIBOLEE WAVNYH I ^ASTO ISPOLXZUEMYH TOVDESTWA:

²iNWOL@TIWNOSTX f ±f = id. tAKIM OBRAZOM, DLQ INWOL@TIWNOJ OPERACII f(f(x)) = x DLQ L@BOGO x 2 X.

²iDEMPOTENTNOSTX f ±f = f. tAKIM OBRAZOM, DLQ IDEMPOTENTNOJ OPERACII f(f(x)) = f(x) DLQ L@BOGO x 2 X.

3.pRIMERY UNARNYH OPERACIJ. wOT NESKOLXKO PRIMEROW INWO- L@TIWNYH OPERACIJ:

²pROTIWOPOLOVNYJ \LEMENT x 7! ¡x

²oBRATNYJ \LEMENT x 7!x¡1

²sIMMETRI^NAQ TO^KA NA SFERE pUSTX Sn — n-MERNAQ SFERA EDINI^NOGO RADIUSA (NAPRIMER, S2 — OBY^NAQ SFERA W TREHMERNOM PROSTRANSTWE) I x 7!x0 — PEREHOD K SIMMETRI^NOJ TO^KE.

²sIMMETRI^NOE OTNO[ENIE. pUSTX X = Rel(X) — BINARNOE OTNO[ENIE I R 7!R0 — PEREHOD K SIMMETRI^NOMU OTNO[ENI@.

²kOMPLEKSNOE SOPRQVENIE. zDESX X = C I z 7!z.

sLEDU@]IE OPERACII IDEMPOTENTNY.

² aBSOL@TNAQ WELI^INA. IDEMPOTENTNA: jjfjj = jfj.

² pOLOVITELXNAQ I OTRICATELXNAQ ^ASTX. f+ = f [ 0, f¡ =

¡f [ 0, INYMI SLOWAMI,

pOKAVITE, ^TO f = f+ ¡ f¡.

²kWANTORY SU]ESTWOWANIQ I WSEOB]NOSTI. pUSTX x — PERE-

MENNAQ, A f — FORMULA, SODERVA]AQ \TU PEREMENNU@. tOGDA 9xf I 8xf TAKVE PREDSTAWLQ@T SOBOJ FORMULY.

²dIFFERENCIROWANIE. pUSTX K[t] — KOLXCO MNOGO^LENOW OT ODNOJ PEREMENNOJ, POLOVIM f 7!df=dt.

3.tEOREMA KOSINUSOW.

²kWADRAT. x 7!x2.

w KOMMUTATIWNOM KOLXCE R TAKOM, ^TO 2 2 R¤, UMNOVENIE WYRAVAETSQ W TERMINAH SLOVENIQ I KWADRATA, SOOTWETSTWU@]AQ FORMULA NAZYWAETSQ TEOREMOJ KOSINUSOW:

xy = 12((x + y)2 ¡ x2 ¡ y2):

|TI SWOJSTWA [IROKO ISPOLXZU@TSQ DLQ PROWERKI TOGO ^TO NEKOTOROE PODMNOVESTWO KOMMUTATIWNOGO KOLXCA (NAPRIMER, KOLXCA FUNKCIJ) SAMO QWLQETSQ KOLXCOM OTNOSITELXNO TEH VE OPERACIJ.

w OB]EM SLU^AE, KOGDA KOLXCO R NE KOMMUTATIWNO I/ILI 2 2= R¤ ^EREZ SLOVENIE I KWADRAT MOVNO WYRAZITX LI[X ANTIKOMMUTATOR

W R:

x ± y = xy + yx = (x + y)2 ¡ x2 ¡ y2:

4. uNARNYE OPERACII NA MATRICAH. wOT NESKOLXKO NAIBOLEE IZWESTNYH UNARNYH OPERACIJ NA MATRICAH.

² tRANSPONIROWANNAQ MATRICA. pUSTX K PROIZWOLXNOE POLE. tRANSPONIROWANIE x 7!xt, SOPOSTAWLQET MATRICE x = (xij) 2 M(n; K) EE TRANSPONIROWANNU@ xt, U KOTOROJ NA METSE (i; j) STOIT xij. dLQ

pREDOSTEREVENIE. w TEORII mORSA TERMIN GESSIAN ^ASTO PRIMENQETSQ K SAMOJ

@2f

MATRICE @xi@xj , A TAKVE K KWADRATI^NOJ FORME S \TOJ MATRICEJ. wIDIMO,

^TOBY RAZLI^ATX \TI PONQTIQ, BYLO BY PRAWILXNEE GOWORITX OPREDELITELX gES-

SE, MATRICA gESSE, FORMA gESSE. kROME TOGO, W TEORII FUNKCIJ NESKOLXKIH

@2f

KOMPLEKSNYH PEREMENNYH RASSMATRIWAETSQ KOMPLEKSNYJ GESSIAN @zi@zj .

4. uNARNYE OPERACII W TOPOLOGII. sLEDU@]IE ^ETYRE PRIMERA WOZNIKA@T W TOPOLOGII. pUSTX X = 2Z — MNOVESTWO PODMNOVESTW MNOVESTWA Z. tOPOLOGI@ NA Z MOVNO OPISATX W TERMINAH NEKOTORYH UNARNYH OPERACIJ NA X. oPERACIQ DOPOLNENIQ INWOL@TIWNA, A OPERACII WNUTRENNOSTI I ZAMYKANIQ IDEMPOTENTNY.

²dOPOLNENIE. Y 7!Z n Y

²wNUTRENNOSTX. Y 7!Int(Y )

²zAMYKANIE. Y 7!Clos(Y )

²gRANICA. Y 7!Fr(Y )

oTOBRAVENIE Fr UDOWLETWORQET TOVDESTWU Fr ± Fr ± Fr = Fr ± Fr, ANALOGI^NOMU TOVDESTWU IDEMPOTENTNOSTI, INYMI SLOWAMI, DLQ L@BOGO PODMNOVESTWA Y µ Z IMEEM

Fr(Fr(Fr(Y ))) = Fr(Fr(Y )):

zADA^A. pOKAVITE, ^TO PEREHOD K DOPOLNENI@ QWLQETSQ IZOMORFIZMOM (2Z; Clos) I (2Z; Int), A IMENNO,

x 4. oPERACII WYS[IH ARNOSTEJ

1. wNUTRENNIE n-ARNYE OPERACII. nAPOMNIM, ^TO WNUTREN-

NEJ n-ARNOJ OPERACIEJ NA X NAZYWAETSQ L@BOE OTOBRAVENIE f : X £: : :£X ¡! X. nA \LEMENTARNOM UROWNE DOWOLXNO ZATRUDNITELXNO PRIWESTI SODERVATELXNYE PRIMERY WNUTRENNIH TERNARNYH OPERACIJ I OPERACIJ BOLEE WYSOKOJ ARNOSTI, ZA ISKL@^ENIEM OPERACIJ, O^EWIDNYM OBRAZOM POLU^A@]IHSQ SUPERPOZICIEJ BINARNYH OPERACIJ. zAMETIM, WPRO^EM, ^TO TAKIE SODERVATELXNYE PRIMERY SU]ESTWU@T — I MY WSTRETIM NEKOTORYE IZ NIH W POLILINEJNOJ ALGEBRE. pRIWEDEM POKA NESKOLXKO BESSODERVATELXNYH PRIMEROW.

² pROEKCII. pUSTX X £ : : : £ X — PROIZWEDENIE n \KZEMPLQROW

MNOVESTWA X, A prj : X £ : : : £ X ¡! X, (x1; : : : ; xn) 7!xj –PROEKCIQ NA j-J MNOVITELX.

2. pROIZWODNYE OPERACII. eSLI NA MNOVESTWE X ZADANY NESKOLXKO BINARNYH OPERACIJ, TO KOMBINIRUQ IH MOVNO POLU^ATX OPERACII BOLEE WYSOKOJ ARNOSTI, NAPRIMER, (x; y; z) 7!x+yz. iZWESTNYMI PRIMERAMI TAKIH PROIZWODNYH OPERACIJ QWLQ@TSQ

² WZQTIE SREDNEGO ARIFMETI^ESKOGO

(x1; : : : ; xn) 7!x1 + :n: : + xn

ILI SREDNEGO GEOMETRI^ESKOGO

p

(x1; : : : ; xn) 7!n x1 : : : xn:

²pOLINOMIALXNYE FUNKCII. pUSTX K — POLE, f 2 K[x1; : : : ; xn]

—MNOGO^LEN OT n PEREMENNYH NAD K. tOGDA f OPREDELQET POLINO-

MIALXNOE OTOBRAVENIE fe : K £ : : : £ K ¡! K, c = (c1; : : : ; cn) 7! f(c1; : : : ; cn), KOTOROE MOVNO RASSMATRIWATX KAK n-ARNU@ OPERACI@ NA

K. |TA OPERACIQ QWLQETSQ PROIZWODNOJ PO OTNO[ENI@ K BINARNYM OPERACIQM SLOVENIQ I UMNOVENIQ I NESKOLXKIM NULXARNYM OPERACIQM (KONSTANTY, RAWNYE KO\FFICIENTAM MNOGO^LENA f).

oTMETIM POKA E]E ODIN PRIMER, KOTORYJ OBXQSNQET, KAK OPERACII BOLEE WYSOKOJ ARNOSTI MOGUT WOZNIKATX IZ BINARNYH OPERACIJ NE NA SAMOM MNOVESTWE X, A NA KAKOM-TO BOLX[EM MNOVESTWE.

²oPERACII NA SMEVNYH KLASSAH PO PODGRUPPE. rASSMOT-

RIM MNOVESTWO X = 2Z ^ETNYH ^ISEL. sUMMA DWUH NE^ETNYH ^I- SEL ^ETNA, NO SUMMA TREH NE^ETNYH ^ISEL SNOWA NE^ETNA, TAK ^TO (x; y; z) 7!x + y + z PREDSTAWLQET SOBOJ TERNARNU@ OPERACI@ NA X.

tO^NO TAKAQ VE KONSTRUKCIQ PRIMENIMA K MNOVESTWU Sn n An WSEH NE^ETNYH PERESTANOWOK. pROIZWEDENIE DWUH NE^ETNYH PERESTANOWOK QWLQETSQ ^ETNOJ PERESTANOWKOJ, NO PROIZWEDENIE TREH NE^ETNYH PERESTANOWOK SNOWA NE^ETNO. pO\TOMU NA MNOVESTWE NE^ETNYH PERESTANOWOK IMEETSQ ESTESTWENNOE TERNARNOE PROIZWEDENIE.

3.sODERVATELXNYE PRIMERY n-ARNYH OPERACIJ. wSE RASSMATRIWAW[IESQ DO SIH POR PRIMERY NOSQT NESKOLXKO ISKUSSTWENNYJ HARAKTER, NO WOT NETRIWIALXNYJ I WESXMA SODERVATELXNYJ PRIMER PROIZWODNOJ TERNARNOJ OPERACII.

²tENZOR KRIWIZNY. pUSTX M — DIFFERENCIRUEMOE MNOGOOBRAZIE, NA KO-

TOROM ZADANA LINEJNAQ SWQZNOSTX r. oPREDELIM NA Vect(M) TERNARNYJ ZAKON KOMPOZICII R, POLAGAQ

R(X; Y; Z) = r(X; r(Y; Z)) ¡ r(Y; r(X; Z)) ¡ r([X; Y ]; Z):

w DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRII \TOT ZAKON KOMPOZICII OBY^NO NAZYWAETSQ TEN-

ZOROM KRIWIZNY.

kOMMENTARIJ. w OB]EJ TEORII OTNOSITELXNOSTI \TOT ZAKON KOMPOZICII PRINQTO NAZYWATX TENZOROM rIMANA-kRISTOFFELQ, OTS@DA OBOZNA^A@]AQ EGO BUKWA R. sMYSL \TOJ OPERACII O^ENX NAGLQDNO OBXQSNQETSQ W KNIGE w.i.aRNOLXDA193.

193w.i.aRNOLXD, mATEMATI^ESKIE METODY KLASSI^ESKOJ MEHANIKI, 1979, pRILOVENIE 1.

a IMENNO, PRI OBHODE WDOLX MALENXKIH PARALLELOGRAMMOW, ZADAWAEMYH W KAVDOJ TO^KE x 2 M KASATELXNYMI WEKTORAMI X I Y , WEKTOR Z PEREHODIT W WEKTOR R(X; Y; Z). nA PERWYJ WZGLQD WEKTORNYE POLQ X I Y , S ODNOJ STORONY, I POLE Z, S DRUGOJ STORONY, U^ASTWU@T W \TOM OPREDELENII SOWER[ENNO NESIMMETRI^NYM OBRAZOM. oDNAKO W DEJSTWITELXNOSTI, DLQ REALXNO RASSMATRIWAEMYH W RIMANOWOJ GEOMETRII SWQZNOSTEJ, OPERACIQ R UDOWLETWORQET NESKOLXKIM SOWER[ENNO ZAME^A-

TELXNYM TOVDESTWAM, W ^ASTNOSTI TOVDESTWU qKOBI:

R(X; Y; Z) + R(Y; Z; X) + R(Z; X; Y ) = 0;

POKAZYWA@]IM, SREDI PRO^EGO, POLNOE RAWNOPRAWIE WEKTORNYH POLEJ X, Y I Z.

dWA SLEDU@]IH PRIMERA n-ARNYH OPERACIJ OPREDELQ@TSQ W TERMINAH OPREDELITELQ. oNI ESTESTWENNO WOZNIKA@T WO MNOGIH WOPROSAH ALGEBRY, ANALIZA, DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRII I TOPOLOGII, I TEORII DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ.

² qKOBIAN. pUSTX f1; : : : ; fn — FUNKCII n PEREMENNYH x1; : : : ; xn. tOGDA

GDE @fi

@xj

MENNYH x1; : : : ; xn, NAZYWAEMOJ QKOBIANOM FUNKCIJ f1; : : : ; fn.

² wRONSKIAN. pUSTX f1; : : : ; fn — FUNKCII ODNOJ PEREMENNOJ x. tOGDA OPRE-

GDE fi(j) OBOZNA^AET j-@ PROIZWODNU@ fi PO x, SAM QWLQETSQ FUNKCIEJ x, NAZYWAEMOJ

WRONSKIANOM FUNKCIJ f1; : : : ; fn.

x 5. `oB]AQ' ALGEBRA

oDNO IZ OPREDELENIJ ALGEBRY, KOTOROE PRIHODITSQ SLY[ATX, SOSTOIT W SLEDU- @]EM: “aLGEBRA — \TO NAUKA O MNOVESTWAH S ZADANNYMI NA NIH OPERACIQMI”. dEJSTWITELXNO, TAKIE MNOVESTWA NAZYWA@TSQ UNIWERSALXNYMI ALGEBRAMI (W SMYSLE bIRKGOFA) I IZU^A@TSQ RAZDELOM ALGEBRY, IZWESTNYM POD NAZWANIEM ‘UNIWERSALXNOJ’ ILI ‘OB]EJ’ ALGEBRY194;195. iNOGDA CELX \TOGO RAZDELA FORMULIRUETSQ ^UTX BOLEE [IROKO, KAK IZU^ENIE ALGEBRAI^ESKIH SISTEM, T.E. MNOVESTW

194p.kON, uNIWERSALXNAQ ALGEBRA. — m., mIR, 1968, S.1–351. 195a.g.kURO[, lEKCII PO OB]EJ ALGEBRE, m., 1962, c.1–396.

S ZADANNYMI NA NIH OPERACIQMI I OTNO[ENIQMI196. pUSTX X — MNOVESTWO S ZADANNYMI NA NEM OPERACIQMI ARNOSTEJ n1; : : : ; nt, SOOTWETSTWENNO. w \TOM SLU^AE GOWORQT, ^TO X — UNIWERSALXNAQ ALGEBRA SIGNATURY (n1; : : : ; nt).

pRIWEDEM NESKOLXKO PRIMEROW UNIWERSALXNYH ALGEBR

²POLUGRUPPA: SIGNATURA (2) (UMNOVENIE),

²MONOID: SIGNATURA (2; 0) (UMNOVENIE I NEJTRALXNYJ \LEMENT),

²GRUPPA: SIGNATURA (2; 1; 0) (UMNOVENIE, OBRATNYJ \LEMENT, NEJTRALXNYJ \LEMENT),

²KOLXCO: SIGNATURA (2; 2; 1; 0) (SLOVENIE, UMNOVENIE, PROTIWOPOLOVNYJ \LEMENT, 0),

²KOLXCO lI: SIGNATURA (2; 2; 1; 0) (SLOVENIE, SKOBKA lI, PROTIWOPOLOVNYJ \LEMENT, 0),

²KOLXCO S 1: SIGNATURA (2; 2; 1; 0; 0) (SLOVENIE, UMNOVENIE, PROTIWOPOLOVNYJ \LEMENT, 0 I 1),

²RE[ETKA: SIGNATURA (2; 2) (SUPREMUM I INFIMUM),

²OGRANI^ENNAQ RE[ETKA: SIGNATURA (2; 2; 0; 0) (SUPREMUM, INFIMUM, 0 I 1),

²BULEWA ALGEBRA: SIGNATURA (2; 2; 1; 0; 0) (OB_EDINENIE, PERESE^ENIE, DOPOLNE-

NIE, 0 I 1).

rASSMATRIWA@TSQ I ALGEBRY S BOLX[IM ^ISLOM OPERACIJ, SKAVEM, NAPRIMER,

²ALGEBRA pUASSONA: SIGNATURA (2; 2; 2; 1; 0; 0) (SLOVENIE, ASSOCIATIWNOE UMNOVENIE, SKOBKA pUASSONA, PROTIWOPOLOVNYJ \LEMENT, 0 I 1)

²RELQCIONNAQ ALGEBRA: SIGNATURA (2; 2; 2; 1; 1; 0; 0; 0) (OB_EDINENIE, PERESE- ^ENIE, KOMPOZICIQ, DOPOLNENIE, TRANSPONIROWANIE, TRIWIALXNOE OTNO[ENIE, TOVDESTWENNOE OTNO[ENIE I TOTALXNOE OTNO[ENIE).

oDNAKO W DEJSTWITELXNOSTI PROBLEMATIKA ‘UNIWERSALXNOJ ALGEBRY’ SOSTAWLQLA IS^EZA@]E MALU@ ^ASTX ALGEBRAI^ESKIH ISSLEDOWANIJ. oSNOWNAQ MASSA SODERVATELXNYH REZULXTATOW OTNOSILASX K POLUD@VINE KLASSI^ESKIH STRUKTUR, TAKIH KAK

GRUPPY, POLQ, RE[ETKI, ASSOCIATIWNYE KOLXCA, ALGEBRY lI I SWQZANNYE S NIMI ALGEBRY BLIZKIE K ASSOCIATIWNYM (JORDANOWY, ALXTERNATIWNYE),

MODULI. w POSLEDNIE DESQTILETIQ K \TOMU MOVNO DOBAWITX E]E KOALGEBRY I ALGEBRY hOPFA, KOTORYE, KSTATI, WOOB]E NE QWLQ@TSQ ‘UNIWERSALXNYMI ALGEBRAMI’ W UKAZANNOM WY[E SMYSLE, TAK KAK IH STRUKTURA ZADAETSQ DRUGIMI OTOBRAVENIQMI , NE QWLQ@]IMISQ ‘ALGEBRAI^ESKIMI OPERACIQMI’, W SMYSLE DANNOGO WY[E OPREDELENIQ. kAK ZAME^AET i.r.{AFAREWI^ [Sh], DEJSTWITELXNO INTERESNYJ WOPROS SOSTOIT NE W TOM, ^TOBY DATX PODOBNOE SHOLASTI^ESKOE OPREDELENIE, A W TOM, ^TOBY PONQTX, PO^EMU IMENNO \TI STRUKTURY PRIOBRELI TAKOE ZNA^ENIE.

w RIMANOWOJ GEOMETRII, GDE ESTX WOZMOVNOSTX PODNQTIQ I OPUSKANIQ INDEKSOW, L@BOE TENZORNOE POLE WALENTNOSTI n+1 MOVET RASSMATRIWATXSQ KAK n-ARNAQ ALGEBRAI^ESKAQ OPERACIQ NA Vect(X). w OTSUTSTWIE VE METRIKI \TO NE TAK. uPOMQNUTYE WY[E I DRUGIE PODOBNYE IM STRUKTURY ZADA@TSQ TENZORAMI WIDA A - : : : - A ¡! A - : : : - A, KOTORYE NE SWODQTSQ K OBY^NYM ALGEBRAI^ESKIM OPERACIQM WIDA

A - : : : - A ¡! A.

196a.i.mALXCEW