vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

mAKS cORN kROME LEMMY kURATOWSKOGO—cORNA W NA[EM KURSE UPOMINA- @TSQ MATRICY cORNA, REALIZU@]IE ALGEBRU OKTONIONOW, I TEOREMA cORNA O KONE^NOMERNYH ALXTERNATIWNYH ALGEBRAH S DELENIEM NAD R (“OBOB]ENNAQ TEOREMA fROBENIUSA”)

UTWERVDENII, OPREDELQ@TSQ W gLAWE ?, A EGO \KWIWALENTNOSTX AKSIOME WYBORA DOKAZYWAETSQ W gLAWE ?.

lEMMA kURATOWSKOGO—cORNA. pUSTX Z NEPUSTOE ^ASTI^NO UPO- RQDO^ENNOE MNOVESTWO W KOTOROM KAVDAQ CEPX IMEET WERHN@@ GRANX. tOGDA W Z SU]ESTWUET HOTQ BY ODIN MAKSIMALXNYJ \LEMENT.

3. dOKAZATELXSTWO ZAKONA TRIHOTOMII. dOSTATO^NO POKAZATX,

^TO MNOVESTWO Z NEPUSTO, W SAMOM DELE, (?; ?; ?) 2 Z. wWEDEM NA \TOM MNOVESTWE SLEDU@]IJ PORQDOK, SKAVEM, ^TO (A; B; f) · (C; D; g), ESLI A µ C, B µ D I f = gjA. qSNO, ^TO OPISANNOE OTNO[ENIE DEJSTWITELXNO ZADAET PORQDOK NA MNOVESTWE Z.

|TOT PORQDOK OBLADAET TEM SWOJSTWOM, ^TO L@BAQ WOZRASTA@]AQ CEPO^KA IMEET TO^NU@ WERHN@@ GRANX. w SAMOM DELE, PUSTX (Ai; Bi; fi), i 2 N, TAKAQ CEPO^KA. pOLOVIM A = [Ai, B = [Bi I OPREDELIM OTOBRAVENIE f : A ¡! B, POLAGAQ f(x) = fi(x), GDE i — NAIMENX[IJ INDEKS TAKOJ, ^TO x 2 Ai. qSNO, ^TO TOGDA DLQ L@BOGO j, TAKOGO, ^TO x 2 Aj, WYPOLNQETSQ RAWENSTWO f(x) = fj(x). lEGKO WIDETX, ^TO f S@R_EKTIWNO, DEJSTWITELXNO, ESLI y 2 Bi, TO y = fi(x) = f(x) DLQ NEKOTOROGO x 2 Ai. lEGKO PROWERITX, ^TO f IN_EKTIWNO. w SAMOM DELE, ESLI f(x) = f(y) DLQ NEKOTORYH x; y 2 A, TO RASSMOTRIM NAIMENX[IE INDEKSY i I j TAKIE, ^TO x 2 Ai I y 2 Aj, SOOTWETSTWENNO. pUSTX h = max(i; j), TOGDA x; y 2 Ah I, ZNA^IT, fh(x) = fh(y), TAK ^TO, OKON^ATELXNO, x = y.

tAKIM OBRAZOM, PO LEMME kURATOWSKOGO—cORNA Z IMEET MAKSIMALXNYJ \LEMENT. pUSTX (A; B; f) — KAKOJ-TO MAKSIMALXNYJ \LEMENT MNOVESTWA Z. pOKAVEM, ^TO TOGDA A = X ILI B = Y . w SAMOM DELE, PREDPOLOVIM, WOPREKI OVIDANIQM, ^TO A ½ X I B ½ Y . tOGDA NAJDUTSQ x 2 X n A I y 2 Y n B. oPREDELIM TROJKU (C; D; g), POLAGAQ

C = A [ fxg, D = D [ fyg, I g(z) = f(z) DLQ z 2 X, A f(x) = y. qSNO, ^TO (C; D; g) 2 Z, PRI^EM (C; D; g) > (A; B; f). |TO ZNA^IT, ^TO TROJKA (A; B; f) NE QWLQETSQ MAKSIMALXNOJ. pOLU^ENNOE PROTIWORE^IE POKAZYWAET, ^TO A = X ILI B = Y . w PERWOM SLU^AE jXj · jY j, A WO WTOROM jY j · jXj

4. |KWIWALENTNOSTX ZAKONA TRIHOTOMII AKSIOME WYBORA. kAK MY WIDELI, DOKAZATELXSTWO ZAKONA TRIHOTOMII SOWER[ENNO \LEMENTARNO, GORAZDO BOLEE GLUBOKIM QWLQETSQ UTWERVDENIE, ^TO WERNO I OBRATNOE, T.E. TRIHOTOMIQ WLE^ET AKSIOMU WYBORA I, ZNA^IT, \KWIWALENTNA AKSIOME WYBORA.

tEOREMA gARTOGSA. aKSIOMA WYBORA \KWIWALENTNA TOMU, ^TO DLQ L@BYH DWUH MNOVESTW X I Y IMEET MESTO ROWNO ODNA IZ TREH WOZ- MOVNOSTEJ jXj < jY j, jXj = jY j ILI jXj > jY j.

oBY^NOE DOKAZATELXSTWO \TOJ TEOREMY ISPOLXZUET TEOREMU cERMELO O POLNOM UPORQDO^ENII, MY OTLOVIM DOKAZATELXSTWO \TOJ \KWIWALENTNOSTI DO gLAWY ?. aNALOGI^NOE UTWERVDENIE DLQ SUPERWALENTNOSTI TAKVE SPRAWEDLIWO.

tEOREMA lINDENBAUMA. aKSIOMA WYBORA \KWIWALENTNA TOMU, ^TO DLQ L@BYH DWUH MNOVESTW X I Y IMEET MESTO ROWNO ODNA IZ TREH WOZMOVNOSTEJ jXj <¤ jY j, jXj = jY j ILI jXj >¤ jY j.

x 6. tEOREMA kANTORA

w NASTOQ]EM PARAGRAFE MY USTANOWIM E]E ODIN KL@^EWOJ REZULXTAT kANTOROWSKOJ TEORII MNOVESTW.

tEOREMA kANTORA. mO]NOSTX MNOVESTWA 2X STROGO BOLX[E, ^EM MO]NOSTX MNOVESTWA X.

dOKAZATELXSTWO. qSNO, ^TO OTOBRAVENIE X ¡! 2X, KOTOROE SOPOSTAWLQET KAVDOMU \LEMENTU x 2 X ODNO\LEMENTNOE MNOVESTWO fxg 2 2X IN_EKTIWNO, PO\TOMU MO]NOSTX X NE PREWOSHODIT MO]NOSTI 2X. pOKAVEM, ^TO NE SU]ESTWUET S@R_EKTIWNOGO OTOBRAVENIQ X ¡! 2X. w SAMOM DELE, PUSTX f : X ¡! 2X — L@BOE OTOBRAVENIE. rASSMOTRIM MNOVESTWO Y = fx 2 X j x 2= f(x)g. pOKAVEM, ^TO TOGDA Y 2= f(X). w SAMOM DELE, PREDPOLOVIM, ^TO SU]ESTWUET y 2 Y TAKOE, ^TO f(y) = Y . tOGDA IMEET MESTO ALXTERNATIWA: LIBO y 2 Y , LIBO y 2= Y . pO OPREDELENI@ Y , ESLI y 2 Y = f(y), TO y 2= Y . oBRATNO, ESLI y 2= Y = f(y), TO, SNOWA PO OPREDELENI@ Y IMEEM y 2 Y . pOLU^ENNOE PROTIWORE^IE POKAZYWAET, ^TO NE SU]ESTWUET TAKOGO y 2 X, ^TO

f(y) = Y .

dLQ TOGO, KTO PONQL IDE@ \TOGO DOKAZATELXSTWA NE SOSTAWIT TRUDA RE[ITX SLEDU@]U@ ZADA^U.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO DLQ L@BOGO MNOVESTWA X I DLQ L@BOGO MNOVESTWA Y , TAKOGO, ^TO jY j ¸ 2, MO]NOSTX MNOVESTWA Map(X; Y ) STROGO BOLX[E MO]NOSTI MNOVESTWA X.

gEOMETRI^ESKOE DOKAZATELXSTWO TEOREMY kANTORA. w [kUmO] PRI-

WODITSQ SLEDU@]EE GEOMETRI^ESKOE ISTOLKOWANIE WY[EPRIWEDENNOGO DOKAZATELXSTWA. rASSMOTRIM MNOVESTWO X £ X. rASSMOTRIM MNOVESTWO R = f(x; y) j y 2 f(x)g. tOGDA f(x) — \TO W TO^NOSTI PROEKCIQ NA OSX ORDINAT TEH TO^EK IZ R, ABSCISSA KOTORYH RAWNA x. pUSTX TEPERX Y

— PROEKCIQ NA OSX ORDINAT TEH TO^EK DIAGONALI = f(x; x) j x 2 Xg, KOTORYE NE PRINADLEVAT R. iZ \TOGO GEOMETRI^ESKOGO PREDSTAWLENIQ O^EWIDNO, ^TO y =6 f(x) NI DLQ ODNOGO x 2 X. w SAMOM DELE, ESLI

(x; x) 2 R, TO x 2 f(x), NO x 2= Y . eSLI VE (x; x) 2= R, TO x 2= f(x), NO x 2 Y .

pARADOKS kANTORA. eSLI X — MNOVESTWO WSEH MNOVESTW, TO, O^EWIDNO, 2X = X, TAK ^TO, W ^ASTNOSTI, j2Xj = jXj. s DRUGOJ STORONY PO TEOREME kANTORA j2Xj > jXj.

|TO PROTIWORE^IE WLE^ET TAKOE SLEDSTWIE.

sLEDSTWIE. nE SU]ESTWUET MNOVESTWA WSEH MNOVESTW.

x 7. s^ETNAQ MO]NOSTX

To illustrate the use of the axiom of choice let me consider some banality like the following: everyone knows that the union of countably many countable sets is countable. This is used in real analysis all over and most people do not even realize that the proof uses the axiom of choice.

Thomas J.Jech

1. s^ETNYE MNOVESTWA. w DEJSTWITELXNOSTI W OBY^NOJ MATEMATIKE DOSTATO^NO ISPOLXZOWATX LI[X DWE–TRI BESKONE^NYH MO]NOSTI.

oPREDELENIE. mNOVESTWO NAZYWAETSQ S^ETNYM, ESLI ONO \KWIWA- LENTNO MNOVESTWU N NATURALXNYH ^ISEL.

sEJ^AS MY POKAVEM, ^TO OB_EDINENIE KONE^NOGO ^ISLA S^ETNYH MNOVESTW S^ETNO.

tEOREMA. oB_EDINENIE DWUH S^ETNYH MNOVESTW S^ETNO.

dOKAZATELXSTWO. qSNO, ^TO A [ B NE MENEE, ^EM S^ETNO. pUSTX f : N ¡! A g : N ¡! B — BIEKCII N NA A I B, SOOTWETSTWENNO. oPREDELIM OTOBRAVENIE f [ g : N ¡! A [ B, POLAGAQ f [ g(n) = f((n + 1)=2), ESLI n NE^ETNO I f [ g(n) = g(n=2), ESLI n ^ETNO. tOGDA OTOBRAVENIE f [g S@R_EKTIWNO I, SLEDOWATELXNO, PO AKSIOME WYBORA, MO]NOSTX A [ B NE PREWOSHODIT @.

zAME^ANIE. w \TOM DOKAZATELXSTWE MY WOSPOLXZOWALISX AKSIOMOJ WYBORA, NO NA SAMOM DELE \TOT REZULXTAT NE ZAWISIT OT AKSIOMY WYBORA. dOSTATO^NO ZAMETITX, ^TO PRI POMO]I OBRATNYH OTOBRAVENIJ f¡1 I g¡1 MOVNO QWNO POSTROITX IN_EKCI@ A [ B ¡! N.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO MNOVESTWO CELYH ^ISEL Z S^ETNO.

rE[ENIE. pREDSTAWIM Z KAK OB_EDINENIE DWUH MNOVESTW N0 I ¡N = f¡n j n 2 Ng, KAVDOE IZ KOTORYH, O^EWIDNO, \KWIWALENTNO N.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO OB_EDINENIE KONE^NOGO ^ISLA S^ETNYH MNOVESTW S^ETNO.

uKAZANIE. dEJSTWUJTE PO INDUKCII, LIBO QWNO POSTROJTE S@R_EKTIWNOE OTOBRAVENIE N ¡! A1 [ : : : [ An, OBOB]A@]EE OTOBRAVENIE f [ g, POSTROENNOE W TEOREME.

2. pROIZWEDENIE KONE^NOGO ^ISLA S^ETNYH MNOVESTW. sLEDU@-

]IJ FAKT BUDET ^ASTO ISPOLXZOWATXSQ W DALXNEJ[EM. zAME^ATELXNO, ^TO ON NE ZAWISIT OT AKSIOMY WYBORA.

tEOREMA. dEKARTOWO PROIZWEDENIE DWUH S^ETNYH MNOVESTW S^ET- NO.

dOKAZATELXSTWO. pUSTX f : N ¡! A I g : N ¡! B — BIEKCII N NA A I B, SOOTWETSTWENNO. kAVDOE NATURALXNOE ^ISLO n 2 N ODNOZNA^NO PREDSTAWLQETSQ W WIDE n = 2l¡1(2m ¡ 1), GDE l; m 2 N, PRI^EM OTOBRAVENIE n 7!(l; m) PREDSTAWLQET SOBOJ BIEKCI@ N 7!N £ N. oPREDELIM OTOBRAVENIE f ¤g : N ¡! A £B, POLAGAQ f ¤g(n) = (f(l); g(m)). tOGDA OTOBRAVENIE f ¤ g BIEKTIWNO I, SLEDOWATELXNO, MO]NOSTX A [ B RAWNA

@0.

nA SAMOM DELE, O^EWIDNO, DOSTATO^NO POSTROITX IN_EKTIWNOE OTOBRAVENIE N £ N ¡! N, A SDELATX \TO SOWSEM PROSTO, MOVNO POLOVITX, NAPRIMER, (m; n) 7!2m3n. sU]ESTWUET I MNOGO RAZLI^NYH SPOSOBOW OPREDELITX BIEKTIWNOE OTOBRAVENIE f : N £ N ¡! N. nAPRIMER, MOV-

zADA^A. iZOBRAZITE \TO OTOBRAVENIE NA KARTINKE.

oTWET. pRO]E IZOBRAZITX OBRATNOE K NEMU OTOBRAVENIE: RASPOLOVIM PARY (m; n) NATURALXNYH ^ISEL W PERWOM KWADRANTE I BUDEM NUMEROWATX IH PO DIAGONALQM NA^INAQ S PERWOJ, W NAPRAWLENII S `GOwOSTOKA NA sEWERO-zAPAD. |TO TAK NAZYWAEMYJ DIAGONALXNYJ PRO-

CESS kO[I (Cauchysche Diagonalverfahren).

zADA^A. dEKARTOWO PROIZWEDENIE KONE^NOGO ^ISLA S^ETNYH MNOVESTW S^ETNO.

rE[ENIE. iSPOLXZUJTE INDUKCI@ ILI OPREDELITE IN_EKCI@ N£: : :£

N ¡! N, POLAGAQ (n1; : : : ; nt) 7!pn11 ¢: : :¢pnt t , GDE p1; : : : ; pt SUTX PERWYE t PROSTYH ^ISEL.

4. s^ETNOSTX S^ETNOGO OB_EDINENIQ S^ETNYH MNOVESTW. a WOT DOKAZATX SLEDU@]U@ TEOREMU BEZ ISPOLXZOWANIQ AKSIOMY WYBORA NE UDASTSQ. dELO W TOM, ^TO BEZ AKSIOMY WYBORA SOOTWETSTWU@]IJ FAKT BEZNADEVNO NEWEREN. fEFERMAN I lEWI POSTROILI TAKU@ MODELX SISTEMY ZF, W KOTOROJ MNOVESTWO WE]ESTWENNYH ^ISEL QWLQETSQ S^ETNYM OB_EDINENIEM S^ETNYH MNOVESTW!

tEOREMA. w TEORII ZFC (S AKSIOMOJ WYBORA!!!) OB_EDINENIE S^ET- NOGO ^ISLA S^ETNYH MNOVESTW S^ETNO.

dOKAZATELXSTWO. pUSTX Ai, i 2 N, — S^ETNOE SEMEJSTWO S^ETNYH MNOVESTW. kAK I RANX[E MNOVESTWO SAi PO KRAJNEJ MERE S^ETNO I NAM NUVNO LI[X DOKAZATX, ^TO ONO NE BOLEE, ^EM S^ETNO. rASSMOTRIM MNOVESTWO Xi = Bij(N; Ai) BIEKCIJ IZ N W Ai. StOGDA SOGLASNO AKSIOME WYBORA SU]ESTWUET OTOBRAVENIE f : N ¡! Xi TAKOES , ^TO f(i) = fi 2 Xi. pOSTROIM TEPERX OTOBRAVENIE F : N £ N ¡! Xi, POLAGAQ F (i; j) = fi(j) 2 Ai. tAK KAK KAVDOE fi S@R_EKTIWNO, TO F TOVE S@R_EKTIWNO I, ZNA^IT, SNOWA PO AKSIOME WYBORA, MO]NOSTX SAi NE BOLX[E jN £ Nj = jNj.

kOMMENTARIJ. w ODNOJ STATXE 1921 GODA aNRI lEBEG UTWERVDAL, ^TO S^ETNOSTX S^ETNOGO OB_EDINENIQ S^ETNYH MNOVESTW NE ZAWISIT OT AKSIOMY WYBORA: “Supposons, par exemple, qu’il s’agisse de prouver que la somme d’une infinit´e d´enombrable d’ensembles d´enombrables est une ensemble d´enombrable. : : : Il me semble que ceux qui voient dans ces d´emonstrations l’emploi de l’axiome de Zermelo, donnent aux enonc´es une sens “id´ealiste”, alors que je ne con¸cois que le sens “empiriste”.” kAK PO-

KAZYWAET TOLXKO ^TO UPOMQNUTAQ MODELX fEFERMANA—lEWI, ‘DOKAZATELXSTWO’, KOTOROE lEBEG PRIWODIT W PODTWERVDENIE NEZAWISIMOSTI \TOGO REZULXTATA OT AKSIOMY WYBORA, SODERVIT O[IBKU. wPRO^EM, KAK ZAME^AET sERPINXSKIJ, SPUSTQ 17 LET lEBEG, POHOVE, SAM PRIZNAL \TU O[IBKU [Se], p.122.

6. kONE^NYE POSLEDOWATELXNOSTI \LEMENTOW S^ETNOGO MNOVE-

STWA. pOKAVEM TEPERX, ^TO MNOVESTWO KONE^NYH PODMNOVESTW S^ETNOGO MNOVESTWA S^ETNO.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO MNOVESTWO WSEH KONE^NYH POSLEDOWATELXNOSTEJ \LEMENTOW S^ETNOGO MNOVESTWA S^ETNO.

rE[ENIE. dOSTATO^NO DOKAZATX, ^TO MNOVESTWO KONE^NYH POSLEDOWATELXNOcTEJ NATURALXNYH ^ISEL S^ETNO. o^EWIDNO, ^TO ONO PO KRAJNEJ MERE S^ETNO. pOSTROIM IN_EKTIWNOE OTOBRAVENIE IZ MNOVESTWA POSLEDOWATELXNOSTEJ W N. pUSTX Prim = fpi j i 2 Ng — MNOVESTWO PROSTYH ^ISEL, GDE pi OBOZNA^AET i-E PROSTOE ^ISLO, RASPOLOVENNOE W PORQDKE WOZRASTANIQ. uSTROIM OTOBRAVENIE, SOPOSTAWLQQ POSLEDOWATELXNOSTI NATURALXNYH ^ISEL m1; : : : ; mn ^ISLO pm1 1 ¢ : : : ¢ pmn n . oSNOWNAQ TEOREMA ARIFMETIKI (SM. gL. 4, x ?) UTWERVDAET, ^TO \TO OTOBRAVENIE IN_EKTIWNO, T.E. ^TO RAZNYM POSLEDOWATELXNOSTQM OTWE^A@T RAZNYE ^ISLA. tAKIM OBRAZOM, MO]NOSTX MNOVESTWA KONE^NYH POSLEDOWATELXNOSTEJ NATURALXNYH ^ISEL NE BOLX[E, ^EM MO]NOSTX MNOVESTWA NATURALXNYH ^ISEL, I DLQ ZAWER[ENIQ DOKAZATELXSTWA OSTAETSQ LI[X SOSLATXSQ NA TEOREMU kANTORA—bERN[TEJNA.

kONE^NO, POSTROENNOE W PREDYDU]EJ ZADA^E OTOBRAVENIE QWLQETSQ LI[X ODNOJ IZ WOZMOVNOSTEJ SWESTI IZU^ENIE POSLEDOWATELXNOSTEJ NATURALXNYH ^ISEL K NATURALXNYM ^ISLAM, SEJ^AS MY POSTROIM E]E ODNO PODOBNOE OTOBRAVENIE.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO OTOBRAVENIE

(n1; n2; : : : ; nm) 7!2n1¡1 + 2n1+n2¡1 + : : : + 2n1+n2+:::+nm¡1

USTANAWLIWAET BIEKCI@ MEVDU MNOVESTWOM WSEH KONE^NYH POSLEDOWATELXNOSTEJ NATURALXNYH ^ISEL I MNOVESTWOM NATURALXNYH ^ISEL.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO MNOVESTWO V(X) WSEH KONE^NYH PODMNOVESTW S^ETNOGO MNOVESTWA X S^ETNO.

rE[ENIE. mOVNO PREDPOLAGATX, ^TO X = N. sOPOSTAWIW KAVDOMU NATURALXNOMU ^ISLU n ODNO\LEMENTNOE PODMNOVESTWO fng, MY WIDIM, ^TO MO]NOSTX V(N) NE MENX[E MO]NOSTI N. oBRATNO, SOPOSTAWIM KAVDOMU KONE^NOMU PODMNOVESTWU Y = fi1; : : : ; ing POSLEDOWATELXNOSTX EGO \LEMENTOW i1; : : : ; in, RASPOLOVENNYH W PORQDKE WOZRASTANIQ, i1 < : : : < in. qSNO, ^TO \TA POSLEDOWATELXNOSTX POLNOSTX@ OPREDELQET MNOVESTWO Y , TAK ^TO MO]NOSTX MNOVESTWA V(N) NE BOLX[E MO]NOSTI MNOVESTWA KONE^NYH POSLEDOWATELXNOSTEJ NATURALXNYH ^ISEL.

x 8. nE KAVDOE BESKONE^NOE MNOVESTWO SODERVIT S^ETNOE PODMNOVESTWO

dAVE ^A[KA RISA ILI ^AQ DOLVNA BRATXSQ W RUKI DOLVNYM OBRAZOM, BEZ MALEJ[EJ NERQ[LIWOSTI I S SOHRANENIEM DOLVNOJ BDITELXNOSTI.

`DZAN dAJDODZI “bUDOS<SINS@”

dAVE VARENOGO CYPLENKA SLEDUET PRIWQZYWATX.

qMAMOTO cUNETOMO “hAGAKUR\”

dOKAZATELXSTWO BYLO PROSTYM, KOROTKIM, NO NEWERNYM. aNRI lEBEG145

w \TOM PARAGRAFE MY RAZBEREM ODNU TIPI^NU@ O[IBKU, KOTORU@ PO^TI NEIZBEVNO SOWER[A@T WSE MATEMATIKI-NESPECIALISTY. lI^NO MNE NE IZWESTNO NI ODNOGO U^EBNIKA MATEMATI^ESKOGO ANALIZA, W KOTOROM NE DELALASX BY \TA O[IBKA.

1. wSQKOE BESKONE^NOE MNOVESTWO SODERVIT S^ETNOE PODMNOVESTWO: DO-

KAZATELXSTWO, : : : sLEDU@]AQ TEOREMA I EE DOKAZATELXSTWO WOSPROIZWODQTSQ BEZ IZMENENIQ SO STR.14 KNIGI a.l.bRUDNO146.

nquote tEOREMA 1. wSQKOE BESKONE^NOE MNOVESTWO IMEET S^ETNOE PODMNOVE-

STWO.

dOKAZATELXSTWO. pUSTX a1 — KAKOJ-NIBUDX \LEMENT BESKONE^NOGO MNOVESTWA A, a2 — KAKOJ-NIBUDX \LEMENT BESKONE^NOGO MNOVESTWA A n fa1g, a3 — \LEMENT WSE E]E BESKONE^NOGO MNOVESTWA A n fa1; a2g I T.D. pOPARNO RAZLI^NYE \LEMENTY a1; a2; a3; : : : SOSTAWLQ@T S^ETNOE PODMNOVESTWO MNOVESTWA A. nunquote

uBEDITELXNO? kAZALOSX BY, GDE W TAKOM KOROTKOM I KRISTALXNO QSNOM DOKAZATELXSTWE MOVNO SOWER[ITX O[IBKU? tEM NE MENEE, \TO RASSUVDENIE, BEZUSLOWNO, NEPOLNO W ODNOM SU]ESTWENNOM PUNKTE I POLU^A@]IJSQ REZULXTAT, WOOB]E GOWORQ,

NEWEREN.

2. : : : OPROWERVENIE, : : : mOVNO, POVALUJ, SOGLASITXSQ S TEM, ^TO ESLI \TA SOWOKUPNOSTX \LEMENTOW SOSTAWLQET MNOVESTWO, TO \TO MNOVESTWO S^ETNO. oDNAKO TOT FAKT, ^TO \TA SOWOKUPNOSTX \LEMENTOW DEJSTWITELXNO MOVNO SOEDINITX W MNOVESTWO, KAK RAZ I NAZYWAETSQ AKSIOMOJ WYBORA AC. hORO[O, ZDESX DOSTATO^NO KAKOJ-TO OSLABLENNOJ FORMY AKSIOMY WYBORA, SKAVEM, AKSIOMY ZAWISIMOGO WYBORA DC ILI DAVE AKSIOMY S^ETNOGO WYBORA CAC. nO KAKAQ-TO FORMA AKSIOMY WYBORA BEZUSLOWNO NUVNA.

mOVNO BYLO BY S^ITATX, ^TO W \TOM MESTE AWTOR ISPOLXZUET AKSIOMU WYBORA, KAK NE^TO SAMO SOBOJ RAZUME@]EESQ, NE UPOMINAQ OB \TOM. k SOVALENI@, DALXNEJ- [IJ TEKST [??] UBEVDAET, W TOM, ^TO aLEKSANDR lXWOWI^ (KAK I WOOB]E WSE ANALITIKI, S KOTORYMI MNE DOWODILOSX OBSUVDATX \TOT WOPROS) WERIT, ^TO \TOT FAKT NE ZAWISIT OT AKSIOMY WYBORA. wOT ^TO GOWORITSQ PO POWODU TEOREMY TRIHOTOMII NA STR. 22 CITIROWANNOJ KNIGI: “oSTAETSQ E]E, PRAWDA, ODIN NEPRIQTNYJ SLU^AJ DLQ SRAWNENIQ MO]NOSTEJ: ESLI A NE \KWIWALENTNO NIKAKOMU PODMNOVESTWU B, A B NIKAKOMU PODMNOVESTWU A. tOGDA MY NE MOVEM PRINQTX NIKAKOGO IZ SOOTNO[ENIJ jAj = jBj, jAj < jBj, jAj > jBj I WYNUVDENY NAZYWATX A I B NESRAWNIMYMI (PO MO]NOSTI). eSLI A ILI B KONE^NO ILI S^ETNO, TO \TOGO NE MOVET SLU^ITXSQ.”

145a.lEBEG, pREDISLOWIE K KNIGE n.n.lUZINA “lEKCII OB ANALITI^ESKIH MNOVESTWAH I IH PRILOVENIQH” – uSPEHI mAT. nAUK, 1985, T. 40, N.3, S.9–14, STR.9.

146a.l.bRUDNO, tEORIQ FUNKCIJ DEJSTWITELXNOGO PEREMENNOGO. — nAUKA, m., 1971, c.1–119.

q WYNUVDEN S POLNOJ OTWETSTWENNOSTX@ ZAQWITX, ^TO ‘\TOGO’ MOVET SLU^ITXSQ, E]E KAK MOVET. w SAMOM DELE, SU]ESTWUET MODELX TEORII ZF, POSTROENNAQ p.kO\NOM, W KOTOROJ S^ETNAQ MO]NOSTX NE QWLQETSQ NAIMENX[EJ SREDI BESKONE^- NYH MO]NOSTEJ.

tEOREMA kO\NA. s TEORIEJ ZF SOWMESTIMO UTWERVDENIE O SU]ESTWOWANII BESKONE^NOGO MNOVESTWA WE]ESTWENNYH ^ISEL, NE SODERVA]EGO S^ETNOGO POD- MNOVESTWA.

bESKONE^NYE MNOVESTWA, NE SODERVA]IE S^ETNOGO PODMNOVESTWA, ^ASTO NAZYWA- @TSQ dEDEKINDOWYMI; KAK MY WSKORE UWIDIM, \TO W TO^NOSTI MNOVESTWA BESKONE^NYE W OBY^NOM SMYSLE, NO KONE^NYE PO dEDEKINDU. nA RUSSKOM QZYKE DOKAZATELXSTWO \TOGO (NEPROSTOGO) UTWERVDENIQ, SOSTOQ]EE W QWNOM POSTROENII MODELI kO\NA, MOVNO NAJTI, NAPRIMER, W KNIGE tOMASA jEHA [J], LEMMY 95 I 96. w DEJSTWITELXNOSTI, W MODELI jEHA PORQDOK NA BESKONE^NYH MO]NOSTQH MOVET BYTX WOOB]E SOWER[ENNO PROIZWOLXNYM. tEM SAMYM, W TEORII MNOVESTW BEZ AKSIOMY WYBORA RU[ITSQ WESX \LEMENTARNYJ ANALIZ, KOTOROMU U^AT NA 1-M KURSE. iZ SU- ]ESTWOWANIQ dEDEKINDOWA MNOVESTWA SRAZU WYTEKAET, ^TO TOPOLOGI^ESKOE OPREDELENIE PREDELA I NEPRERYWNOSTI (^EREZ OKRESTNOSTI) NE \KWIWALENTNO ANALITI- ^ESKOMU (^EREZ POSLEDOWATELXNOSTI).

3. : : : ^ASTI^NAQ REABILITACIQ : : : tEM NE MENEE, PRIWEDENNOE WY[E RASSUVDENIE NE QWLQETSQ POLNOSTX@ LI[ENNYM SMYSLA. wOT, ^TO ONO DOKAZYWAET NA SAMOM DELE.

tEOREMA. eSLI X BESKONE^NOE MNOVESTWO, TO DLQ L@BOGO n 2 Z MNOVESTWO X SODERVIT PODMNOVESTWO, \KWIWALENTNOE n.

dOKAZATELXSTWO. nA^INAEM RASSUVDENIE TAK VE, KAK W PRIWEDENNOM WY[E ‘DOKAZATELXSTWE’ I DEJSTWUEM PO INDUKCII. pREDPOLOVIM, ^TO MY UVE DOKAZALI, ^TO X SODERVIT n-\LEMENTNOE PODMNOVESTWO fx1; : : : ; xng. tAK KAK X n fx1; : : : ; xng WSE E]E BESKONE^NO, TO SU]ESTWUET xn+1 2 X n fx1; : : : ; xng. tEM SAMYM X SODERVIT (n + 1)-\LEMENTNOE PODMNOVESTWO fx1; : : : ; xn+1g

iNYMI SLOWAMI, DLQ L@BOGO BESKONE^NOGO MNOVESTWA X WSE MNOVESTWA Vn(X), n 2 N, NEPUSTY. oTS@DA W PREDPOLOVENII AKSIOMY WYBORA DEJSTWITELXNO LEGKO POLU^ITX PRAWILXNOE DOKAZATELXSTWO tEOREMY.

dOKAZATELXSTWO tEOREMY 1. pUSTX X — BESKONE^NOE MNOVESTWO. sOGLASNO PREDYDU]EJ TEOREME WSE MNOVESTWA Vn(X) NEPUSTY. w SILU AKSIOMY WYBORA SU]ESTWUET OTOBRAVENIE N ¡! V(X), SOPOSTAWLQ@]EE KAVDOMU n 2 N KAKOJ-TO \LEMENT Yn 2 Vn(X). rASSMOTRIM MNOVESTWO Y = [Yn, n 2 N. bUDU^I S^ETNYM OB_EDINENIEM KONE^NYH MNOVESTW, MNOVESTWO Y NE BOLEE, ^EM S^ETNO. s DRUGOJ STORONY, TAK KAK Y ¶ Yn, TO jY j ¸ n DLQ WSEH n 2 N, TAK ^TO Y W TO^NOSTI S^ETNO.

4. : : : I WSQ PRAWDA. a WOT, ^TO NA SAMOM DELE MOVNO DOKAZATX NE ISPOLXZUQ AKSIOMU WYBORA.

tEOREMA. sLEDU@]IE UTWERVDENIQ \KWIWALENTNY:

1)X BESKONE^NO W SMYSLE dEDEKINDA;

2)X SODERVIT S^ETNOE PODMNOVESTWO.

dOKAZATELXSTWO. iMPLIKACIQ 2) =) 1) O^EWIDNA. w SAMOM DELE, PUSTX Y µ X —

\KWIWALENTNO SWOEMU SOBSTWENNOMU PODMNOVESTWU Y ½ X. tAK KAK X n Y =6 ?, TO NAJVETSQ x 2 X n Y . a TAK KAK X \KWIWALENTNO Y , TO SU]ESTWUET BIEKCIQ Á : X ¡! Y . rASSMOTRIM OBRAZY TO^KI x POD DEJSTWIEM POSLEDOWATELXNYH ITERACIJ

OTOBRAVENIQ Á,

x; Á(x); Á±2(x); Á±3(x); : : :

I ZAMETIM, ^TO WSE ^LENY \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI POPARNO RAZLI^NY. w SAMOM DELE, ESLI Á±m(x) = Á±n(x) DLQ NEKOTORYH m < n, TO, TAK KAK Á, A ZNA^IT I Á±m(x),

— BIEKCIQ, TO x = Á±(n¡m)(x), ^TO NEWOZMOVNO, TAK KAK x 2= Y , A Á±(n¡m)(x) 2 Y . nO \TO ZNA^IT, ^TO X SODERVIT S^ETNOE PODMNOVESTWO Z = fx; Á(x); Á±2(x); : : : g, ^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX.

zADA^A. oB_QSNITE, ^EM \TO (PRAWILXNOE!) DOKAZATELXSTWO OTLI^AETSQ OT PRIWEDENNOGO WY[E (NEPRAWILXNOGO!) ‘DOKAZATELXSTWA’ TOGO, ^TO WSQKOE BESKONE^NOE MNOVESTWO SODERVIT S^ETNOE PODMNOVESTWO.

rE[ENIE. fOKUS ZDESX W TOM, ^TO W NA[EM SLU^AE Z QWLQETSQ OBRAZOM OTOBRAVENIQ ! ¡! X, n 7!Á±n(x), A OBRAZ OTOBRAVENIQ QWLQETSQ MNOVESTWOM NEZAWISIMO OT AKSIOMY WYBORA.

kAK UVE BYLO OTME^ENO, BEZ AKSIOMY WYBORA NEWOZMOVNO DOKAZATX, ^TO WSQKOE BESKONE^NOE MNOVESTWO BESKONE^NO W SMYSLE dEDEKINDA. iNYMI SLOWAMI, W TEORII ZF SU]ESTWU@T MNOVESTWA, BESKONE^NYE S TO^KI ZRENIQ MATEMATI^ESKOGO OBYWATELQ (W TOM SMYSLE, ^TO ONI SODERVAT n-\LEMENTNOE PODMNOVESTWO DLQ L@BOGO NATURALXNOGO n) NO NE \KWIWALENTNYE NIKAKOMU SWOEMU SOBSTWENNOMU PODMNOVESTWU I, TEM SAMYM, NE SODERVA]IE NI ODNOGO S^ETNOGO PODMNOVESTWA.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO KAVDOE BESKONE^NOE PO dEDEKINDU MNOVESTWO QWLQETSQ DIZ_@NKTNYM OB_EDINENIEM DWUH BESKONE^NYH MNOVESTW.

rE[ENIE. nU DLQ S^ETNOGO-TO MNOVESTWA \TO WERNO.

pREDOSTEREVENIE. bEZ AKSIOMY WYBORA NEWOZMOVNO DOKAZATX, ^TO KAVDOE BESKONE^NOE MNOVESTWO OBLADAET \TIM SWOJSTWOM.

zADA^A. ([J], x 5) pOKAVITE, ^TO OB_EDINENIE KONE^NOGO PO dEDEKINDU MNOVESTWA POPARNO DIZ_@NKTNYH MNOVESTW, KONE^NYH PO dEDEKINDU, SAMO QWLQETSQ KONE^- NYM PO dEDEKINDU.

pREDOSTEREVENIE. kAK WYTEKAET IZ REZULXTATOW [J], x 27, ESLI NE PREDPOLAGATX, ^TO \TI MNOVESTWA POPARNO DIZ_@NKTNY, TO BEZ AKSIOMY WYBORA NEWOZMOVNO DOKAZATX DAVE SLEDU@]EE ZNA^ITELXNO BOLEE SLABOE UTWERVDENIE: OB_EDINENIE KONE^NOGO PO dEDEKINDU MNOVESTWA KONE^NYH MNOVESTW KONE^NO PO dEDEKINDU.

5. wERNO LI, ^TO 22X BESKONE^NEE, ^EM X? kAK WYTEKAET IZ TEOREMY kANTORA I tEOREMY ?, W PREDPOLOVENII AKSIOMY WYBORA DLQ L@BOGO BESKONE^NOGO MNOVESTWA X MO]NOSTX MNOVESTWA 2X NE MENX[E MO]NOSTI KONTINUUMA. bEZ AKSIOMY WYBORA NE WIDNO DAVE NIKAKOGO PROSTOGO SPOSOBA DOKAZATX, ^TO MNOVESTWO 2X PO KRAJNEJ MERE S^ETNO! tEM NE MENEE, KAK ZAMETIL tARSKIJ, DLQ MNOVESTWA 22X \TO LEGKO DOKAZATX I NE ISPOLXZUQ AKSIOMU WYBORA.