vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

x 6. wNE[NIE BINARNYE OPERACII

dLQ NA^ALA WERNEMSQ K OPREDELENI@ ALGEBRAI^ESKOJ OPERACII. kAK MY UVE OTME^ALI, W SAMOM OB]EM WIDE ALGEBRAI^ESKAQ OPERACIQ — \TO PROSTO OTOBRAVENIE f : X1 £ : : : £ Xn ¡! Y , GDE X1; : : : ; Xn SUTX NEPUSTYE MNOVESTWA. oDNAKO PRI \TOM DO SIH POR MY RASSMATRIWALI PREIMU]ESTWENNO SLU^AJ, KOGDA, WO-PERWYH, n = 2 (T.E. OPERACIQ f BINARNA), I, WO-WTORYH, X1 = X2 = Y (T.E. OPERACIQ f WNUTRENNQQ). sEJ^AS MY PRIWEDEM NESKOLXKO PRIMEROW WNE[NIH BINARNYH OPERACIJ, KOGDA, PO-PREVNEMU, n = 2, NO MNOVESTWA X1, X2 I Y MOGUT BYTX RAZLI^NY.

nAM WSTRE^ALISX UVE SLEDU@]IE PRIMERY.

²kOMPOZICIQ OTNO[ENIJ. pUSTX SNOWA X; Y; Z — TRI MNOVE-

STWA. tOGDA OPREDELENA OPERACIQ Rel(X; Y ) £ Rel(Y; Z) ¡! Rel(X; Z), (R; S) 7!R ± S, SOPOSTAWLQ@]EE PARE BINARNYH OTNO[ENIJ IH KOMPOZICI@.

²sWORA^IWANIE INDEKSA. oPERACIQ W POLUGRUPPE MATRI^NYH EDINIC DOPUSKAET SLEDU@]EE OBOB]ENIE, LEVA]EE W OSNOWE UMNOVENIQ NEKWADRATNYH MATRIC. pUSTX X; Y; Z — TRI MNOVESTWA, A 0 — \LEMENT, NE PRINADLEVA]IJ X £Z. zADADIM OTOBRAVENIE (X £Y )£(Y £ Z) ¡! X £ Z [ f0g, POLAGAQ DLQ L@BYH (x; y) 2 X £ Y I (u; z) 2 Y £ Z IH PROIZWEDENIE (x; y)(u; z) RAWNYM (x; z), ESLI y = u, I RAWNYM 0 W PROTIWNOM SLU^AE.

²dVOJN. pUSTX X — PROIZWOLXNOE MNOVESTWO, TOGDA OPREDELENA OPERACIQ ? : Xm £ Xn ¡! Xm+n IZWESTNAQ KAK DVOJN ILI SOEDINE-

NIE SPISKOW (list join):

(x1; : : : ; xm) ? (y1; : : : ; yn) = (x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn):

kOMMENTARIJ. pERWYM MATEMATIKOM, KOTORYJ SOZNATELXNO ISPOLXZOWAL WNE[NIE ALGEBRAI^ESKIE OPERACII, BYL, PO WSEJ WIDIMOSTI, mEBIUS. w OPUBLIKOWANNOM W 1827 GODU ‘bARICENTRI^ESKOM IS^ISLENII’ ON RASSMATRIWAL OPERACII NAD WEKTORAMI I TO^KAMI (SUMMA TO^- KI I WEKTORA, RAZNOSTX DWUH TO^EK, I T.D.). pOZVE TAKIMI OPERACIQMI [IROKO POLXZOWALSQ gAMILXTON W SWOIH ‘lEKCIQH O KWATERNIONAH’

(1853).

x 7. wNE[NIE OPERACII NA FUNKCIQH

² zNA^ENIE OTOBRAVENIQ. pUSTX X I Y — DWA PROIZWOLXNYH MNOVESTWA, A Z = Map(X; Y ) — MNOVESTWO OTOBRAVENIJ IZ X W Y . tO-

GDA SOPOSTAWLENIE OTOBRAVENI@ f 2 Map(X; Y ) I TO^KE x 2 X ZNA^E- NIQ f(x) 2 Y OPREDELQET ALGEBRAI^ESKU@ OPERACI@ Map(X; Y )£X ¡! Y . zAMETIM, ^TO PRI TAKOM PODHODE STIRAETSQ RAZLI^IE MEVDU \LEMENTAMI MNOVESTW X I Z, T.E. \LEMENTY X MOVNO RASSMATRIWATX KAK FUNKCII NA Z. |TA IDEQ — RASSMOTRENIE ZNA^ENIJ ARGUMENTA KAK FUNKCIJ NA MNOVESTWE FUNKCIJ OT \TOGO ARGUMENTA — QWLQETSQ ODNOJ IZ KL@^EWYH IDEJ MATEMATIKI XX WEKA.

²kOMPOZICIQ OTOBRAVENIJ. pUSTX X; Y; Z — TRI MNOVESTWA. tOGDA OPREDELENA OPERACIQ Map(Y; Z) £ Map(X; Y ) ¡! Map(X; Z), (f; g) 7!f ± g, SOPOSTAWLQ@]EE PARE OTOBRAVENIJ IH KOMPOZICI@.

²pRQMOE PROIZWEDENIE OTOBRAVENIJ. pUSTX X; Y; U; V – ^E-

TYRE MNOVESTWA. oPREDELIM PRQMOE PROIZWEDENIE OTOBRAVENIJ

KAK (f £ g)(x; y) = (f(x); g(y)).

² tENZORNOE PROIZWEDENIE FUNKCIJ. sLEDU@]AQ OPERACIQ QW-

LQETSQ KL@^EWOJ W TEORII MNOGOMERNOGO INTEGRIROWANIQ. pUSTX R — KOLXCO (NAPRIMER, R = Z, Q, R ILI C), A X I Y — DWA MNOVESTWA. oPREDELIM TENZORNOE PROIZWEDENIE FUNKCIJ

SLEDU@]IM OBRAZOM: (f - g)(x; y) = f(x)g(y). |TO OPREDELENIE SOOTWETSTWUET TO^KE ZRENIQ, ^TO MNOVESTWA QWLQ@TSQ ^ASTNYM SLU^AEM WEKTORNYH PROSTRANSTW.

zADA^A. pROWERXTE, ^TO TENZORNOE PROIZWEDENIE FUNKCIJ LINEJNO PO KAVDOMU ARGUMENTU, T.E.

(f1 + f2) - g = f1 - g + f2 - g;

f - (g1 + g2) = f - g1 + f - g2;

¸f - g = ¸(f - g) = f - ¸g:

kOMMENTARIJ. nA^INAQ S 60-H GODOW MNOGIE ALGEBRAISTY RASSMATRIWA@T IMENNO TENZORNOE PROIZWEDENIE FUNKCIJ KAK OSNOWNU@ OPERACI@ NAD FUNKCIQMI, A OPERACIQ UMNOVENIQ FUNKCIJ PRI \TOM TRAKTUETSQ KAK PROIZWODNAQ, A IMENNO, KAK KOMPOZICIQ DIAGONALXNOGO WLOVENIQ I TENZORNOGO PROIZWEDENIQ:

X ¡! X £ X ¡! R; x 7!(x; x) 7!f(x)g(x):

|TA TO^KA ZRENIQ DOMINIRUET W ALGEBRAI^ESKOJ GEOMETRII, TEORII ALGEBRAI^ESKIH GRUPP I TEORII ALGEBR hOPFA I POLU^AET WSE BOLX[EE RASPROSTRANENIE W DRUGIH RAZDELAH ALGEBRY. wPRO^EM, NA SAMO TENZORNOE PROIZWEDENIE MOVNO SMOTRETX KAK NA PROIZWODNU@ OPERACI@, A IMENNO, KAK NA KOMPOZICI@ PRQMOGO PROIZWEDENIQ S UMNOVENIEM W OSNOWNOM KOLXCE

X £ Y ¡! R £ R ¡! R; (x; y) 7!(f(x); g(y)) 7!f(x)g(y):

tAKIM OBRAZOM, W KONE^NOM S^ETE PROIZWEDENIE FUNKCIJ OKAZYWAETSQ KOMPOZICIEJ TREH OTOBRAVENIJ:

pREDOSTEREVENIE. eSLI F — NEKOTOROE SEMEJSTWO FUNKCIJ X ¡! R, A G — NEKOTOROE SEMEJSTWO FUNKCIJ Y ¡! R, TO F - G OBY^NO PONIMAETSQ NE PO mINKOWSKOMU, A KAK

F - G = ff1 - g1 + : : : + fn - gn j n 2 N0; fi 2 F; gi 2 Gg:

iNYMI SLOWAMI, F - G \TO NE MNOVESTWO RAZLOVIMYH TENZOROW WIDA f - g, f 2 F , g 2 G, A MNOVESTWO IH KONE^NYH SUMM!

x 8. wNE[NIE OPERACII NA MATRICAH

² uMNOVENIE PRQMOUGOLXNYH MATRIC. pUSTX K – POLE, a m; n; p — TRI NATURALXNYH ^ISLA. tOGDA OPREDELENA OPERACIQ

£ : M(m; n; K) £ M(n; p; K) ¡! M(m; p; K);

SOPOSTAWLQ@]AQ PARE MATRIC x 2 M(m; n; K), y 2 M(n; p; K) IH PROIZWEDENIE, T.E. TAKU@ MATRICU xy 2 M(m; p; K), KO\FFICIENT KOTOROJ W POZICII (i; j) RAWEN (xy)ij = xi1y1j + : : : + xinynj.

² pRQMAQ SUMMA MATRIC. pUSTX l; m; n; p – ^ETYRE NATURALXNYH ^ISLA, TOGDA OPREDELENA OPERACIQ

© : M(l; m; K) £ M(n; p; K) ¡! M(l + n; m + p; K);

SOPOSTAWLQ@]AQ PARE MATRIC x 2 M(l; m; K), y 2 M(n; p; K) IH PRQMU@ SUMMU x © y, KOTORU@ PRO]E WSEGO PREDSTAWLQTX SEBE KAK BLO^- NU@ MATRICU WIDA

² tENZORNOE PROIZWEDENIE MATRIC. pUSTX l; m; n; p — ^ETYRE NATURALXNYH ^ISLA, TOGDA OPREDELENA OPERACIQ

- : M(l; m; K) £ M(n; p; K) ¡! M(lm; np; K);

SOPOSTAWLQ@]AQ PARE MATRIC x 2 M(l; m; K), y 2 M(n; p; K) IH TENZORNOE PROIZWEDENIE x - y, KOTORU@ PRO]E WSEGO PREDSTAWLQTX SEBE KAK BLO^NU@ MATRICU WIDA

w Mathematica TENZORNOE PROIZWEDENIE MATRIC x I y WY^ISLQETSQ WSTROENNOJ FUNKCIEJ Outer[Times,x,y].

² kRONEKEROWA SUMMA MATRIC. pUSTX m; n — DWA NATURALXNYH ^ISLA, TOGDA OPREDELENA OPERACIQ

¢ : M(m; K) £ M(n; K) ¡! M(mn; K);

SOPOSTAWLQ@]AQ PARE MATRIC x 2 M(m; K), y 2 M(n; K) IH KRONEKE-

ROWU SUMMU (alias SIMMETRI^ESKU@ SUMMU) x¢y = x-en +em -y,

GDE ^EREZ el OBOZNA^ENA EDINI^NAQ MATRICA STEPENI l.

oPERACII PRQMOJ SUMMY I TENZORNOGO PROIZWEDENIQ ^A]E WSEGO ISPOLXZU@TSQ DLQ KWADRATNYH MATRIC. w \TOM SLU^AE ONI STROQT PO PARE MATRIC x 2 M(m; K), y 2 M(n; K) MATRICY x ©y 2 M(m + n; K) I x-y 2 M(mn; K). pRIWEDEM DLQ PRIMERA QWNYE FORMULY, OPISYWA- @]IE REZULXTAT PRIMENENIQ \TIH OPERACIJ K KWADRATNYM MATRICAM

^ISEL. tOGDA SUMMA ^ISEL OPREDELQET OTOBRAVENIE Q£I ¡! I, KOTOROE PREWRA]AET Q W OPERATORY NA I.

x 10. fORMY

w DEJSTWITELXNOSTI, NAM BUDET WSTRE^ATXSQ, HOTQ I NESKOLXKO REVE, E]E ODIN TIP BINARNYH OPERACIJ, A IMENNO, OTOBRAVENIQ WIDA X £ X ¡! Y . tAKIE OPERACII OBY^NO NAZYWA@TSQ FORMAMI. nE PYTAQSX OBSUVDATX TAKIE OPERACII BOLEE PODROBNO, OTMETIM NESKOLXKO PRIMEROW FORM, K KOTORYM MY WERNEMSQ W RAZDELE, POSWQ]ENNOM LINEJNOJ ALGEBRE.

² sKALQRNOE PROIZWEDENIE. pUSTX V — MNOVESTWO WEKTOROW NA OBY^NOJ \WKLIDOWOJ PLOSKOSTI (ILI W TREHMERNOM PROSTRANSTWE). tOGDA OPREDELENA OPERACIQ V £ V ¡! R, SOPOSTAWLQ@]AQ PARE WEKTOROW u; v 2 V IH SKALQRNOE PROIZWEDENIE.

² rAZNOSTX TO^EK. pUSTX, KAK W PRIMERE 5) WY[E, X – MNOVESTWO TO^EK \WKLIDOWOJ PLOSKOSTI (ILI TREHMERNOGO PROSTRANSTWA), A V — SOOTWETSTWU@]EE MNOVESTWO WEKTOROW. tOGDA OPREDELENA OPERACIQ X £ X ¡! V , SOPOSTAWLQ@]EE TO^KAM x; y 2 X WEKTOR y ¡ x S NA^ALOM x I KONCOM y.

mOVNO RASSMATRIWATX FORMY BOLX[EJ ARNOSTI.

² sME[ANNOE PROIZWEDENIE. pUSTX V = K3 — MNOVESTWO WEK-

TOROW W TREHMERNOM PROSTRANSTWE NAD POLEM K. tOGDA OPREDELENA OPERACIQ V £ V £ V ¡! K, SOPOSTAWLQ@]AQ PARE WEKTOROW u; v; w 2 V

IH SME[ANNOE PROIZWEDENIE (u; [v; w]). w SLU^AE K = R \TA FOR-

MA WYRAVAET ORIENTIROWANNYJ OB_EM PARALLELEPIPEDA, NATQNUTOGO NA u; v; w.

² oPREDELITELX KAK FORMA OT STOLBCOW. sME[ANNOE PROIZ-

WEDENIE QWLQETSQ ^ASTNYM SLU^AEM OPREDELITELQ. a IMENNO, MOVNO RASSMOTRETX FORMU det : V £ V ¡! K, SOPOSTAWLQ@]AQ NABORU STOLBCOW u1; : : : ; un 2 V = Kn, OPREDELITELX SOSTAWLENNOJ IZ NIH MATRICY det(u1; : : : ; un). sME[ANNOE PROIZWEDENIE POLU^AETSQ ZDESX PRI n = 3.

sAMYM IZWESTNYM PRIMEROM TERNARNOJ FORMY QWLQETSQ GENETI^E- SKIJ KOD (SM., NAPRIMER, KNIGU gOPPA198)

x 11. bESKONE^NOMESTNYE OPERACII

tIPI^NOJ OTLI^ITELXNOJ ^ERTOJ DISCIPLIN ANALITI^ESKOGO CIKLA QWLQETSQ RASSMOTRENIE OPERACIJ BESKONE^NOJ ARNOSTI, OBY^NO NAZYWAEMYH BESKONE^-

198w.p.gOPPA, wWEDENIE W ALGEBRAI^ESKU@ TEORI@ INFORMACII, m., 1995.

NOMESTNYMI, I TAKIH OPERACIJ KONE^NOJ ARNOSTI, KOTORYE OPREDELQ@TSQ W TERMINAH BESKONE^NOMESTNYH OPERACIJ. rAZUMEETSQ, TAKIE OPERACII OBY^NO NE BYWA- @T WS@DU OPREDELENNYMI. w DEJSTWITELXNOSTI MOVNO DAVE UTWERVDATX, ^TO, ZA ISKL@^ENIEM TRIWIALXNYH SLU^AEW (TIPA POSTOQNNYH OPERACIJ), BESKONE^NOMESTNAQ OPERACIQ, OBLADA@]AQ ESTESTWENNYMI SWOJSTWAMI, NIKOGDA NE BYWAET WS@DU OPREDELENNOJ. tAK, LEGKO WIDETX, ^TO PROIZWEDENIE BESKONE^NOGO ^ISLA \LEMENTOW W GRUPPE SU]ESTWUET W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA \TA GRUPPA TRIWIALXNA, T.E. SOSTOIT IZ ODNOGO \LEMENTA. |TO ZNA^IT, ^TO OPREDELITX ASSOCIATIWNU@ SUMMU BESKONE^NOGO ^ISLA WE]ESTWENNYH ^ISEL MOVNO ROWNO W ODNOM SLU^AE, A IMENNO, KOGDA WSE ^ISLA RAWNY 0. tAKIM OBRAZOM, PRI OPREDELENII BESKONE^NOMESTNYH OPERACIJ NUVNO OTKAZATXSQ

?LIBO OT TOGO, ^TOBY ONI BYLI WS@DU OPREDELENNYMI,

?LIBO OT TOGO, ^TOBY ONI OBLADALI OBY^NYMI SWOJSTWAMI,

?LIBO I OT TOGO I OT DRUGOGO SRAZU,

?LIBO, NAKONEC, KAK \TO OBY^NO DELAETSQ W ALGEBRE, OT TOGO, ^TOBY OPERACIQ BYLA WNUTRENNEJ, T.E. OT TOGO, ^TOBY REZULXTAT BYL ^ISLOM W OBY^NOM PONIMANII.

nAPOMNIM, ^TO REZULXTAT PRIMENENIQ ALGEBRAI^ESKOJ OPERACII ¤ K KONE^NOMU ^ISLU \LEMENTOW OBY^NO OPREDELQETSQ PO INDUKCII KAK x ¤ y ¤ z = (x ¤ y) ¤ z, x ¤ y ¤ z ¤ w = ((x ¤ y) ¤ z) ¤ w I T.D. eSLI ISHODNAQ OPERACIQ ASSOCIATIWNA, TO, KAK BUDET POKAZANO W SLEDU@]EM PARAGRAFE, DLQ L@BOGO KONE^NOGO ^ISLA OPERANDOW REZULXTAT NE ZAWISIT OT RASSTANOWKI SKOBOK. ~TOBY POQSNITX ^ITATEL@, W ^EM SOSTOIT PROBLEMA OPREDELENIQ BESKONE^NYH KOMPOZICIJ, PRIWEDEM SLEDU@]EE IZWESTNOE ‘DOKAZATELXSTWO’ TOGO, ^TO 0 = 1:

0 = (1 ¡ 1) + (1 ¡ 1) + : : : = 1 ¡ (1 ¡ 1) ¡ (1 ¡ 1) + : : : = 1

(NAPOMNIM, ^TO SLOVENIE WE]ESTWENNYH ^ISEL ASSOCIATIWNO!) sAMOE ZAME^ATELXNOE, ^TO \TO DOKAZATELXSTWO, HOTQ I NE SOWSEM WERNOE DLQ ^ISEL, IMEET GLUBOKIJ MATEMATI^ESKIJ SMYSL I [IROKO PRIMENQETSQ W ALGEBRE I TOPOLOGII (TR@K |JLENBERGA W LINEJNOJ ALGEBRE I TR@K mAZURA W TEORII WEKTORNYH RASSLOENIJ). w TO VE WREMQ WSLED ZA lEJBNICEM, aBELEM I ~EZARO199 NEKOTORYE ALGEBRAISTY WERQT, A BOLX[INSTWO ANALITIKOW ZNA@T, ^TO DLQ WE]ESTWENNYH ^ISEL

1 ¡ 1 + 1 ¡ 1 + : : : = 12 :

w SWQZI S TEM, ^TO BESKONE^NOMESTNYE OPERACII NE MOGUT BYTX WS@DU OPREDELENNYMI, OSNOWNOJ WOPROS ANALIZA KAK RAZ I SOSTOIT W NAHOVDENII USLOWIJ, KOGDA VE IMENNO IMEET SMYSL PRIMENQTX TU ILI INU@ OPERACI@, — T.E. AKCENT PERENOSITSQ S TOVDESTW NA WOPROSY SHODIMOSTI. tIPI^NOJ BESKONE^NOMESTNOJ OPERACIEJ QWLQETSQ OPERACIQ WZQTIQ PREDELA lim. w TERMINAH \TOJ OPERACII OPREDELQ@T- SQ BESKONE^NYE SUMMY, PROIZWEDENIQ etc., A TAKVE TAKIE UNARNYE OPERACII, KAK DIFFERENCIROWANIE I INTEGRIROWANIE FUNKCIJ, etc.

gROMADNYE USILIQ MNOGIH POKOLENIJ MATEMATIKOW NA PROTQVENII MNOGIH WEKOW BYLI POSWQ]ENY WOPROSU O TOM, W KAKOM IMENNO SMYSLE MOVNO OPREDELITX

199v.-p.rAMIS, rASHODQ]IESQ RQDY I ASIMPTOTI^ESKAQ TEORIQ. — iVEWSK, iN-T kOMPX@TERNYH iSSL., 2002, S.1–79.

REZULXTAT BESKONE^NOMESTNOJ OPERACII. dO XVIII WEKA GLAWENSTWOWALA GRE^ESKAQ TO^KA ZRENIQ ‘IS^ERPYWANIQ’, KOTORAQ I DO SIH POR QWLQETSQ PREOBLADA@]EJ W STANDARTNYH U^EBNIKAH (STANDARTNOGO) MATEMATI^ESKOGO ANALIZA. oNA SOSTOIT W TOM, ^TO x1 ¤x2 ¤: : : ¤xn ¤: : : S^ITAETSQ OPREDELENNYM, ESLI REZULXTAT PRIMENENIQ ¤ K BESKONE^NOMU HWOSTU xn ¤ xn+1 ¤ : : : MOVET BYTX SDELAN SKOLX UGODNO BLIZOK K NEJTRALXNOMU \LEMENTU OTNOSITELXNO ¤ PRI ROSTE n. wPRO^EM, KAK POKAZYWAET WNIMANIE, UDELQEMOE FILOSOFAMI, WPLOTX DO NOWEJ[EGO WREMENI, TAK NAZYWAEMYM ‘APORIQM zENONA’, DAVE PONIMANIE BANALXNOSTEJ, PODOBNYH RAWENSTWU

12 + 14 + 18 + : : : = 1;

SOPRQVENO S NEKOTORYMI PSIHOLOGI^ESKIMI TRUDNOSTQMI.

w XVIII — XX WEKAH POQWILISX GORAZDO BOLEE INTERESNYE WOZZRENIQ NA TO, KAK SLEDUET OPREDELQTX REZULXTAT BESKONE^NOMESTNOJ OPERACII. nAPRIMER, DLQ SUMM I PROIZWEDENIJ WE]ESTWENNYH ^ISEL RAZLI^NYE (NEBANALXNYE I, WOOB]E GOWORQ, NE SOWPADA@]IE MEVDU SOBOJ!) OTWETY NA \TOT WOPROS DA@T, SREDI PRO^EGO, BESKONE^NAQ KOMBINATORIKA, p-ADI^ESKIJ ANALIZ, TEORIQ FUNKCIJ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO I NESTANDARTNYJ ANALIZ. tAK, NAPRIMER, S KOMPLEKSNO ANALITI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ IMEET MESTO RAWENSTWO

1 + 2 + 3 + : : : = ¡121

(FORMULA |JLERA DLQ ³(¡1)), W TO WREMQ KAK S TO^KI ZRENIQ IS^ERPYWANIQ ZNA- ^ENIE SUMMY 1 + 2 + 3 + : : : W LEWOJ ^ASTI NE OPREDELENO I BOLX[INSTWO TRADICIONNYH U^EBNIKOW ‘MATEMATI^ESKOGO ANALIZA’ NAZOWUT \TOT RQD ‘RASHODQ]IMSQ’. rAZUMEETSQ, MANIPULQCII S BESKONE^NYMI SUMMAMI TAKOGO WIDA TREBU@T NAWYKA I WNIMANIQ, TAK KAK ONI NE UDOWLETWORQ@T OBY^NYM TOVDESTWAM ALGEBRY. gURU TAKOGO RODA MANIPULQCIJ W XVIII WEKE BYL |JLER, A W XX WEKE — rAMANUDVAN. sAMOE ZAME^ATELXNOE, ^TO PRI IH WYPOLNENII ONI NIKOGDA (ILI PO^TI NIKOGDA!)

NE O[IBALISX. s TO^KI ZRENIQ p-ADI^ESKOGO ANALIZA SHODQ]IMSQ QWLQETSQ RQD 1 + p + p2 + p3 + : : : , GDE p — PROSTOE ^ISLO, NAPRIMER, RQD 1 + 2 + 4 + 8 + : : :

SHODITSQ 2-ADI^ESKI.

x 12. ~ASTI^NYE OPERACII

kAK UVE UPOMINALOSX WY[E, W MATEMATIKE ^ASTO ESTESTWENNO WOZNIKA@T NE WS@DU OPREDELENNYE OPERACII.

oPREDELENIE. ~ASTI^NOJ WNUTRENNEJ n-ARNOJ OPERACIEJ NA NEPUSTOM MNO-

VESTWE X NAZYWAETSQ OTOBRAVENIE f : Y ¡! X, GDE Y µ X £ : : : £ X.

oBY^NO DLQ OBOZNA^ENIQ ^ASTI^NYH OTOBRAVENIJ ISPOLXZUETSQ PUNKTIRNAQ STRELKA, TAKIM OBRAZOM, ^TOBY UKAZATX n-ARNU@ ^ASTI^NU@ OPERACI@ NA X MY PI[EM X £ : : : £ X 99K X. pRIWEDEM NESKOLXKO PRIMEROW ^ASTI^NYH WNUTRENNIH BINARNYH OPERACIJ.

?) wY^ITANIE I DELENIE. wY^ITANIE I DELENIE QWLQ@TSQ ^ASTI^NOJ OPERACIEJ NA MNOVESTWE N NATURALXNYH ^ISEL. dELENIE QWLQETSQ ^ASTI^NOJ OPERACIEJ W Z. oNO PRODOLVAET OSTAWATXSQ ^ASTI^NOJ OPERACIEJ W L@BOM POLE: DELENIE NA 0 NEWOZMOVNO.

?) wOZWEDENIE W STEPENX.

wSE DANNYE WY[E OPREDELENIQ, OTNOSQ]IESQ K SLU^A@ WS@DU OPREDELENNYH OPERACIJ, NUVDA@TSQ W UTO^NENII, U^ITYWA@]EM TOT FAKT, ^TO TEPERX NA[A OPERACIQ NE WS@DU OPREDELENA. nAPRIMER, ^ASTI^NAQ WNUTRENNQQ OPERACIQ ¤ NA MNOVESTWE X NAZYWAETSQ ASSOCIATIWNOJ, ESLI DLQ L@BYH TREH \LEMENTOW x; y; z 2 X IZ TOGO, ^TO ODNO IZ PROIZWEDENIJ (xy)z I x(yz) OPREDELENO, SLEDUET, ^TO OPREDELENO I WTOROE I ONI RAWNY MEVDU SOBOJ.

?) kOMPOZICIQ PUTEJ. pUSTX SNOWA, KAK W PRIMERE 20 WY[E, X — TOPOLOGI- ^ESKOE PROSTRANSTWO, x0; x1 2 X. pUTEM W PROSTRANSTWE X S NA^ALOM x0 I KONCOM x1 NAZYWAETSQ NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE f : [0; 1] ¡! X TAKOE, ^TO f(0) = x0 I f(1) = x1. bUDEM PISATX x0 = S(f) I x1 = T (f) (OT ANGLIJSKOGO ‘source’ I ‘target’

ILI ‘terminus’, SOOTWETSTWENNO). eSLI f I g — DWE PUTI TAKIE, ^TO T (f) = S(g), TO IH KOMPOZICIEJ NAZYWAETSQ OTOBRAVENIE f ¤ g : [0; 1] ¡! X ZADANNOE POSRED-

STWOM (f ¤ g)(t) = f(2t), ESLI t 2 [0; 1=2] I (f ¤ g)(t) = g(2E ¡ 1), ESLI t 2 [1=2; 1]. lEGKO WIDETX, ^TO f ¤ g SNOWA PUTX W PROSTRANSTWE X TAKOJ, ^TO S(f ¤ g) = S(f) I T (f ¤ g) = T (g). nA SAMOM DELE \TA KOMPOZICIQ NE QWLQETSQ ASSOCIATIWNOJ I W TOPOLOGII OBY^NO RASSMATRIWA@T NE SAMU KOMPOZICI@ PUTEJ, A INDUCIROWANNU@ KOMPOZICI@ NA GOMOTOPI^ESKIH KLASSAH PUTEJ, KOTORAQ ASSOCIATIWNA.

?) uMNOVENIE MATRIC. pUSTX X — MNOVESTWO WSEH MATRIC KONE^NOGO RAZMERA S KO\FFICIENTAMI IZ NEKOTOROGO KOLXCA (NAPRIMER, S CELYMI, WE]ESTWENNYMI ILI KOMPLEKSNYMI KO\FFICIENTAMI). tOGDA UMNOVENIE MATRIC ESTX ^ASTI^NAQ OPERACIQ NA \TOM MNOVESTWE. w SAMOM DELE, PUSTX R(x) ESTX ^ISLO STROK MATRICY x, A C(x) — ^ISLO EE STOLBCOW. tOGDA PROIZWEDENIE xy MATRIC x I y OPREDELENO W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA C(x) = R(y). mY BUDEM PODROBNO OBSUVDATX UMNOVENIE MATRIC W gLAWE ?. kAK WYQSNITSQ PRI \TOM, UMNOVENIE MATRIC ASSOCIATIWNO.

?) kOMPOZICIQ SWQZOK.

?) kOMPOZICIQ MORFIZMOW W KATEGORII. wSE TRI PRIWEDENNYH WY[E PRI-

MERA QWLQ@TSQ ^ASTNYMI SLU^AQMI SLEDU@]EJ OB]EJ KONSTRUKCII. pUSTX C — KATEGORIQ, OB_EKTY KOTOROJ OBRAZU@T MNOVESTWO. rASSMOTRIM MNOVESTWO Mor(C) WSEH MORFIZMOW \TOJ KATEGORII, T.E. OB_EDINENIE WSEH MNOVESTW Hom(a; b), GDE a; b 2 Ob(C).

iNOGDA WOZNIKA@T ^ASTI^NYE WNE[NIE OPERACII.

² oPERACII, OPREDELENNYE INCIDENTNOSTX@. pUSTX X I Y — MNOVESTWA TO^EK I PRQMYH \WKLIDOWOJ PLOSKOSTI, SOOTWETSTWENNO. zADADIM ^ASTI^NOE OTOBRAVENIE X £ X W Y SLEDU@]IM OBRAZOM. pUSTX x I y — DWE RAZLI^NYE TO^KI. sOPOSTAWIM IM PROHODQ]U@ ^EREZ NIH PRQMU@. sOWER[ENNO ANALOGI^NO OPREDELQETSQ I ^ASTI^NOE OTOBRAVENIE Y £ Y W X. pUSTX l I m — DWE NEPARALLELXNYE PRQMYE. sOPOSTAWIM IM IH TO^KU PERESE^ENIQ. sU]ESTWENNYM ZDESX QWLQETSQ TO, ^TO \TI OTOBRAVENIQ OPREDELENY PO^TI WS@DU, T.E. DLQ PAR \LEMENTOW, NAHODQ- ]IHSQ ‘W OB]EM POLOVENII’. qSNO, ^TO \TOT PRIMER LEGKO OBOB]AETSQ NA PROSTRANSTWA BOLX[EGO ^ISLA IZMERENIJ. nAPRIMER, TRI TO^KI W OB]EM POLOVENII W TREHMERNOM PROSTRANSTWE OPREDELQ@T PLOSKOSTX, A TRI PLOSKOSTI W OB]EM POLOVENII TO^KU, ^EM OPREDELQ@TSQ ^ASTI^NYE TERNARNYE OPERACII. aNALOGI^NO, PRQMAQ I PLOSKOSTX W OB]EM POLOVENII OPREDELQ@T TO^KU, A PRQMAQ I TO^KA W OB- ]EM POLOVENII — PLOSKOSTX, ^TO ZADAET ^ASTI^NYE WNE[NIE BINARNYE OPERACII.

440 NIKOLAJ WAWILOW

² sKLEJKA OTOBRAVENIJ. pUSTX X; Y; Z — TRI MNOVESTWA. oPREDELIM

KAK TAKOE OTOBRAVENIE X [ Y ¡! Z, ZNA^ENIE KOTOROGO W TO^KE x 2 X [ Y OPREDELQETSQ KAK (f ] g)(x) = f(x), ESLI x 2 X, I (f ] g)(x) = g(x), ESLI x 2 Y . qSNO, ^TO SKLEJKA OTOBRAVENIJ f I g W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE BUDET OTOBRAVENIEM, KOGDA

fX[Y = gX\Y .