vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

²oGRANI^ENIQ FUNKCII cos NA OTREZOK [0; ¼] USTANAWLIWAET BIEKCI@ \TOGO OTREZKA NA [¡1; 1]. oBRATNAQ FUNKCIQ arccos : [¡1; 1] ¡! [0; ¼] NAZYWAETSQ ARKKOSINUSOM.

²oGRANI^ENIQ FUNKCII cos NA OTREZOK [¡¼=2; ¼=2] USTANAWLIWAET BIEKCI@ \TOGO OTREZKA NA [¡1; 1]. oBRATNAQ FUNKCIQ arcsin : [¡1; 1] ¡! [¡¼=2; ¼=2] NAZYWAETSQ ARKSINUSOM.

²oGRANI^ENIQ FUNKCII tg NA INTERWAL (¼=2; ¼=2) USTANAWLIWAET BIEKCI@ \TOGO INTERWALA S WE]ESTWENNOJ OSX@ R. oBRATNAQ FUNKCIQ arctg : R ¡! (¼=2; ¼=2) NAZYWAETSQ ARKTANGENSOM.

sOWER[ENNO ANALOGI^NO OPREDELQ@TSQ I OBRATNYE GIPERBOLI^ESKIE FUNKCII. w DEJSTWITELXNOSTI, KONE^NO, OPISANNYE WY[E FUNKCII ZADA@T ODNU IZ WETWEJ MNOGOZNA^NYH FUNKCIJ, SWQZANNYH S KOMPLEKSNYM LOGARIFMOM I MY WERNEMSQ K \TOMU W kNIGE III.

x 29. oTOBRAVENIQ W PRQMOE PROIZWEDENIE

sLEDU@]IJ FAKT QWLQETSQ HARAKTERISTI^ESKIM SWOJSTWOM PRQMOGO PROIZWEDENIQ.

tEOREMA. dLQ L@BYH TREH MNOVESTW X; Y; Z IMEET MESTO RAWEN- STWO

Map(X; Y £ Z) = Map(X; Y ) £ Map(X; Z):

zADA^A. wERNO LI, ^TO

Inj(X; Y £ Z) = Inj(X; Y ) £ Inj(X; Z):

oTWET. rAZUMEETSQ, NET: IN_EKTIWNYH OTOBRAVENIJ W PRQMOE PROIZWEDENIE ZNA^ITELXNO BOLX[E, ^EM PAR IN_EKTIWNYH OTOBRAVENIJ W SOMNOVITELI. nAPRIMER, ESLI MNOVESTWA X; Y I Z KONE^NY, PRI^EM PORQDOK X BOLX[E PORQDKA KAVDOGO IZ MNOVESTW Y I Z, NO MENX[E PORQDKA IH PROIZWEDENIQ, TO IN_EKTIWNYH OTOBRAVENIJ X W Y I Z WOOB]E NE SU]ESTWUET (PRINCIP dIRIHLE), A W Y £ Z — SU]ESTWU@T. tAKIM OBRAZOM, W \TOM SLU^AE PRAWAQ ^ASTX PUSTA, A LEWAQ — NET.

zADA^A. sU]ESTWUET LI PRQMOE PROIZWEDENIE W KATEGORII MNOVESTW I IN_EKTIWNYH OTOBRAVENIJ?

oTWET. nET. eSLI f¤g — SINGLETON, TO DLQ L@BOGO MNOVESTWA Z IMEEM

Inj(f¤g; Z) = Map(f¤g; Z) » Z:

=

pO\TOMU ESLI PRQMOE PROIZWEDENIE Z DWUH MNOVESTW X I Y W KATEGORII MNOVESTW I IN_EKTIWNYH OTOBRAVENIJ SU]ESTWUET, TO

Z » Inj(f¤g; Z) = Inj(f¤g; X) £ Inj(f¤g; Y ) » X £ Y;

=

A MY TOLXKO ^TO WIDELI, ^TO \TO NEWOZMOVNO. zADA^A. wERNO LI, ^TO

Sur(X; Y £ Z) = Sur(Z; Y ) £ Sur(X; Z)?

oTWET. rAZUMEETSQ, NET: S@R_EKTIWNYH OTOBRAVENIJ NA PRQMOE PROIZWEDENIE ZNA^ITELXNO MENX[E, ^EM PAR S@R_EKTIWNYH OTOBRAVENIJ NA SOMNOVITELI. nAPRIMER, ESLI MNOVESTWA X; Y I Z KONE^NY, PRI- ^EM PORQDOK X BOLX[E PORQDKA KAVDOGO IZ MNOVESTW Y I Z, NO MENX[E PORQDKA IH PROIZWEDENIQ, TO S@R_EKTIWNYH OTOBRAVENIJ X NA Y £ Z WOOB]E NE SU]ESTWUET, A S@R_EKTIWNYE OTOBRAVENIQ X NA KAVDOE IZ MNOVESTW Y I Z SU]ESTWU@T. tAKIM OBRAZOM, W \TOM SLU^AE LEWAQ ^ASTX PUSTA, A PRAWAQ — NET.

x 30. pRQMOE PROIZWEDENIE OTOBRAVENIJ

sEJ^AS MY WERNEMSQ K FUNKTORIALXNOSTX PRQMOGO PROIZWEDENIQ, O KOTOROJ [LA RE^X W gLAWE 3.

oPREDELENIE. pUSTX f : X ¡! U I g : Y ¡! V SUTX DWA OTOB- RAVENIQ. iH PRQMYM PROIZWEDENIEM NAZYWAETSQ OTOBRAVENIE f £ g : X £ Y ¡! U £ V , ZADANNOE POSREDSTWOM (x; y) 7!(f(x); g(y)).

zADA^A. dOKAVITE, ^TO PRQMOE PROIZWEDENIE OTOBRAVENIJ WZAIMNO DISTRIBUTIWNO OTNOSITELXNO KOMPOZICII.

iNYMI SLOWAMI, ESLI DANY OTOBRAVENIQ

TO TOGDA

(g1 £ g2) ± (f1 £ f2) = (g1 ± f1) £ (g2 ± f2):

oBOB]ITE NA L@BOE ^ISLO SOMNOVITELEJ. zADA^A. dOKAVITE, ^TO ESLI DANY OTOBRAVENIQ

TO TOGDA

(g1 £ g2) ± (f1; f2) = (g1 ± f1; g2 ± f2):

zADA^A. wERNO LI, ^TO PRQMOE PROIZWEDENIE DWUH IN_EKCIJ QWLQETSQ IN_EKCIEJ? pRQMOE PROIZWEDENIE DWUH S@R_EKCIJ QWLQETSQ S@R_EKCIEJ?

zADA^A. pUSTX NAD DANY DWA OTOBRAVENIQ f I g I DWA PODMNOVESTWA A µ C(f) I B µ C(g). wERNO LI, ^TO

(f £ g)¡1(A £ B) = f¡1(A) £ g¡1(B):

x 31. sKLEJKA I KOPROIZWEDENIE OTOBRAVENIJ

oPREDELENIE. pUSTX f : X ¡! Z I g : Y ¡! Z SUTX DWA OTOBRAVE- NIQ TAKIH, ^TO fjX\Y = gjX\Y . tOGDA OTOBRAVENIE f ] g : X [ Y 7! Z, OPREDELENNOE POSREDSTWOM

NAZYWAETSQ SKLEJKOJ OTOBRAVENIJ f I g.

iNYMI SLOWAMI, GRAFIK SKLEJKI f ] G — \TO PROSTO OB_EDINE- NIE GRAFIKOW OTOBRAVENIJ f I g – PRI USLOWII, ^TO \TO OB_EDINENIE DEJSTWITELXNO QWLQETSQ GRAFIKOM NEKOTOROGO OTOBRAVENIQ. pRI \TOM RAWENSTWO fjX\Y = gjX\Y KAK RAZ I GARANTIRUET, ^TO PRIWEDENNAQ W \TOM OPREDELENII FORMULA ZADAET OTOBRAVENIE. eSLI \TO USLOWIE NE WYPOLNENO, TO NAJDETSQ TAKOE x 2 X \ Y , ^TO f(x) =6 g(x) I TOGDA \TA FORMULA QWLQETSQ KORREKTNYM OPREDELENIEM OTOBRAVENIQ TAK KAK NEQSNO, ^EMU RAWNO ZNA^ENIE f ] g W TO^KE x. eSLI X I Y DIZ_@NKTNY, TO \TO USLOWIE WYPOLNENO AWTOMATI^ESKI, TAK ^TO MOVNO SKLEITX L@BYE DWA OTOBRAVENIQ f : X ¡! Z I g : Y ¡! Z. w \TOM SLU^AE SKLEJKA OBY^NO NAZYWAETSQ KOPROIZWEDENIEM.

234 NIKOLAJ WAWILOW

zADA^A. wERNO LI, ^TO

a

Inj(X Y; Z) = Inj(X; Z) £ Inj(Y; Z)?

oTWET. rAZUMEETSQ, NET: IN_EKTIWNYH OTOBRAVENIJ KOPROIZWEDENIQ ZNA^ITELXNO MENX[E, ^EM PAR IN_EKTIWNYH OTOBRAVENIJ IZ X I Y W Z. nAPRIMER, ESLI X; Y I Z KONE^NY, PRI^EM PORQDOK Z BOLX[E, ^EM PORQDOK KAVDOGO IZ MNOVESTW X I Y , NO MENX[E, ^EM SUMMA IH PORQDKOW, TO LEWAQ ^ASTX PUSTA, A PRAWAQ — NET.

zADA^A. wERNO LI, ^TO

a

Sur(X Y; Z) = Sur(X; Z) £ Sur(Y; Z)?

oTWET. rAZUMEETSQ, NET: S@R_EKTIWNYH OTOBRAVENIJ KOPROIZWEDENIQ ZNA^ITELXNO BOLX[E, ^EM PAR S@R_EKTIWNYH OTOBRAVENIJ IZ X I Y W Z. nAPRIMER, ESLI X; Y I Z KONE^NY, PRI^EM PORQDOK Z BOLX[E, ^EM PORQDOK KAVDOGO IZ MNOVESTW X I Y , NO MENX[E, ^EM SUMMA IH PORQDKOW, TO PRAWAQ ^ASTX PUSTA, A LEWAQ — NET.

x 32. iN_EKCII = MONOMORFIZMY = KORETRAKCII

oKAZYWAETSQ, IN_EKTIWNYE OTOBRAVENIQ MOVNO ESTESTWENNO OHARAKTERIZOWATX W TERMINAH KOMPOZICII, NE RASSMATRIWAQ OBRAZY INDIWIDUALXNYH \LEMENTOW.

oPREDELENIE. oTOBRAVENIE f : X ¡! Y NAZYWAETSQ MONOMORFIZMOM, ESLI NA f MOVNO SOKRA]ATX SLEWA, INYMI SLOWAMI, ESLI DLQ L@BYH DWUH OTOBRAVENIJ g1; g2 : Z ¡! X IZ RAWENSTWA f ± g1 = f ± g2 WYTEKAET, ^TO g1 = g2.

oPREDELENIE. oTOBRAVENIE f 2 Map(X; Y ) NAZYWAETSQ OBRATIMYM SLEWA ILI KORETRAKCIEJ, ESLI SU]ESTWUET TAKOE OTOBRA- VENIE g 2 Map(Y; X), ^TO g ± f = idX, L@BOE TAKOE g NAZYWAETSQ

LEWYM OBRATNYM K f.

tEOREMA. dLQ L@BOGO OTOBRAVENIQ f : X ¡! Y SLEDU@]IE UTWER- VDENIQ \KWIWALENTNY

1)f IN_EKTIWNO,

2)f MONOMORFIZM,

3)f OBRATIMO SLEWA.

dOKAZATELXSTWO. iMPLIKACIQ 3) =) 2) TRIWIALXNA. w SAMOM DELE, PUSTX h : Y ¡! X — LEWYJ OBRATNYJ K f, TO ESTX h ± f = idX. tOGDA RASSMATRIWAQ KOMPOZICI@ RAWENSTWA f ±g1 = f ±g2 c h I WOSPOLXZOWAW- [ISX ASSOCIATIWNOSTX@ KOMPOZICII, MY WIDIM, ^TO IZ \TOGO RAWENSTWA WYTEKAET, ^TO idX ±g1 = idX ±g2, ILI, ^TO TO VE SAMOE, g1 = g2.

iMPLIKACI@ 2) =) 1) MOVNO USMOTRETX SLEDU@]IM OBRAZOM. pREDPOLOVIM, ^TO f NE QWLQETSQ IN_EKTIWNYM. tOGDA NAJDUTSQ \LEMENTY

x 6= y 2 X TAKIE, ^TO f(x) = f(y). pUSTX TEPERX g1 I g2 — DWA OTOBRAVENIQ SINGLETONA Z = f¤g W X, TAKIE, ^TO g1(¤) = x, A g2(¤) = y.

tOGDA f ±g1(¤) = f(x) = f(y) = f ±g2(¤), TAK ^TO f ±g1 = f ±g2. oDNAKO, O^EWIDNO, g1 =6 g2, TAK ^TO f NE QWLQETSQ MONOMORFIZMOM.

pOKAVEM, NAKONEC, ^TO 1) =) 3). w SAMOM DELE, ESLI f IN_EKTIWNO, TO LEWYJ OBRATNYJ K NEMU MOVNO POSTROITX, NAPRIMER, SLEDU@]IM OBRAZOM (W OB]EM SLU^AE LEWYJ OBRATNYJ SOWER[ENNO NE OBQZAN BYTX EDINSTWENNYM!). zAFIKSIRUEM KAKOJ-TO \LEMENT z 2 X I OPREDELIM OTOBRAVENIE h : Y ¡! X POLAGAQ

h(y) =

½ x ESLI f(x) = y; z; ESLI y 2= Im(f):

tAK KAK f IN_EKTIWNO, DLQ KAVDOGO y 2 Im(f) SU]ESTWUET ROWNO ODNO TAKOE x 2 X, ^TO f(x) = y, TAK ^TO \TIM DEJSTWITELXNO OPREDELQETSQ

OTOBRAVENIE h : Y ¡! X. qSNO, ^TO h ± f = idX.

x 33. s@R_EKCII = \PIMORFIZMY = RETRAKCII

w TEORII ZFC S@R_EKTIWNYE OTOBRAVENIQ TAKVE MOVNO ESTESTWENNO OHARAKTERIZOWATX W TERMINAH KOMPOZICII, NE RASSMATRIWAQ OBRAZY INDIWIDUALXNYH \LEMENTOW. wPRO^EM, \TA HARAKTERIZACIQ W TO^NOSTI \KWIWALENTNA AKSIOME WYBORA. w DEJSTWITELXNOSTI, HARAKTERIZACIQ S@R_EKTIWNYH OTOBRAVENIJ, O KOTOROJ POJDET RE^X NIVE, I BYLA

PERWOJ QWNOJ FORMULIROWKOJ AKSIOMY WYBORA, PREDLOVENNOJ bEPPO lEWI.

oPREDELENIE. oTOBRAVENIE f : X ¡! Y NAZYWAETSQ \PIMORFIZMOM, ESLI NA f MOVNO SOKRA]ATX SPRAWA, INYMI SLOWAMI, ESLI DLQ L@BYH DWUH OTOBRAVENIJ g1; g2 : Y ¡! Z IZ RAWENSTWA g1 ± f = g2 ± f WYTEKAET, ^TO g1 = g2.

oPREDELENIE. oTOBRAVENIE f 2 Map(X; Y ) NAZYWAETSQ OBRATIMYM SPRAWA ILI RETRAKCIEJ, ESLI SU]ESTWUET TAKOE OTOBRAVE- NIE g 2 Map(Y; X), ^TO f ± g = idY , L@BOE TAKOE g NAZYWAETSQ PRA-

WYM OBRATNYM K f.

pRAWOE OBRATNOE OTOBRAVENIE K f NAZYWAETSQ TAKVE SE^ENIEM \TOGO OTOBRAVENIQ. oNO SOPOSTAWLQET KAVDOMU \LEMENTU y 2 Y KAKOJ-TO PROOBRAZ \TOGO \LEMENTA.

aKSIOMA lEWI. s@R_EKTIWNOE OTOBRAVENIE OBRATIMO SPRAWA.

tEOREMA. dLQ L@BOGO OTOBRAVENIQ f : X ¡! Y SLEDU@]IE UTWER- VDENIQ \KWIWALENTNY

1)f S@R_EKTIWNO,

2)f \PIMORFIZM,

3)f OBRATIMO SPRAWA.

dOKAZATELXSTWO. iMPLIKACIQ 3) =) 2) O^EWIDNA. w SAMOM DELE, PUSTX h : Y ¡! X — PRAWYJ OBRATNYJ K f, TO ESTX f ± h = idY . tOGDA RASSMATRIWAQ KOMPOZICI@ h S RAWENSTWOM g1 ± f = g2 ± f I WOSPOLXZOWAW[ISX ASSOCIATIWNOSTX@ KOMPOZICII, MY WIDIM, ^TO IZ \TOGO RAWENSTWA WYTEKAET, ^TO °1 ± idY = °2 ± idY , ILI, ^TO TO VE SAMOE, g1 = g2.

iMPLIKACI@ 2) =) 1) MOVNO PROWERITX, NAPRIMER, SLEDU@]IM OBRAZOM. pREDPOLOVIM, ^TO f NE QWLQETSQ S@R_EKTIWNYM. tOGDA NAJDETSQ \LEMENT y 2 X TAKOJ, ^TO y 2= Im(f). pUSTX TEPERX g1 I g2 — DWA OTOBRAVENIQ X W TREH\LEMENTNOE MNOVESTWO f0; 1; 2g, TAKIE, ^TO g1(x) = g2(x) = 0 DLQ WSEH x 2 X, x 6= y, A ZNA^ENIQ \TIH OTOBRAVENIJ W TO^KE y RAZLI^NY, g1(y) = 1 I g2(y) = 2. tAK KAK y 2= Im(f), TO DLQ

L@BOGO z 2 X IMEEM g1 ± f(z) = 0 = g2 ± f(z), TAK ^TO g1 ± f = g2 ± f. oDNAKO, g1(y) = 1 =6 2 = g2(y), TAK ^TO, g1 =6 g2, A \TO ZNA^IT, ^TO f NE QWLQETSQ \PIMORFIZMOM.

nAKONEC, IMPLIKACIQ 1) =) 3) — \TO W TO^NOSTI AKSIOMA lEWI.

x 34. fUNKCII NESKOLXKIH ARGUMENTOW

pREDPOLOVIM, TEPERX, ^TO X µ X1 £ : : : £ Xn. w \TOM SLU^AE ZNA- ^ENIE f((x1; : : : ; xn)) OTOBRAVENIQ f NA n-KE (x1; : : : ; xn) OBY^NO OBOZNA^AETSQ PROSTO f(x1; : : : ; xn) I f RASSMATRIWAETSQ KAK ‘FUNKCIQ n ARGUMENTOW’ (ILI ‘n PEREMENNYH’). wOT PROSTEJ[IE PRIMERY FUNKCIJ NESKOLXKIH ARGUMENTOW.

² pROEKCII. pUSTX X £ Y — PROIZWEDENIE MNOVESTW X I Y . w PREDYDU]EJ GLAWE NAM UVE WSTRE^ALISX OTOBRAVENIQ pr1 : X £ Y ¡!

X, (x; y) 7!x I pr2 : X £ Y ¡! Y , (x; y) 7!y.

² pERESTANOWKI SOMNOVITELEJ. pUSTX SNOWA X £ Y — PROIZWE-

DENIE MNOVESTW X I Y . tOGDA sw : X £ Y ¡! Y £ X, (x; y) 7!(y; x).

²rASSTOQNIE. sTRUKTURA METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA NA MNOVE-

STWE X WWODITSQ ZADANIEM OTOBRAVENIQ d : X£X ¡! R+, NAZYWAEMOGO RASSTOQNIEM, UDOWLETWORQ@]EGO NEKOTORYM SWOJSTWAM (KOTORYE PODROBNO OBSUVDA@TSQ W gLAWE ?).

²aLGEBRAI^ESKIE OPERACII. bINARNAQ ALGEBRAI^ESKAQ OPERACIQ ESTX PO OPREDELENI@ OTOBRAVENIE X£X ¡! X. pRIMERAMI TAKIH OPERACIJ QWLQ@TSQ SLOVENIE I UMNOVENIE CELYH ^ISEL, T.E. OTOBRAVENIQ Z£Z ¡! Z, OPREDELENNYE POSREDSTWOM (x; y) 7!x+y I (x; y) 7!xy. aLGEBRAI^ESKIE OPERACII PODROBNO OBSUVDA@TSQ W gLAWE ?.

nEKOTORYE FUNKCII, SWQZANNYE S PORQDKOM.

² dELXTA-FUNKCIQ. fUNKCIQ ± : X £ X ¡! Z, OPREDELENNAQ PO-

NAZYWAETSQ DELXTA-FUNKCIEJ. |TO W TO^NOSTI HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ ± = Â DIAGONALI = f(x; x) j x 2 Xg. iNOGDA ZNA^E- NIE ±(x; y) DELXTA-FUNKCII ZAPISYWAETSQ KAK ±xy. |TO OBOZNA^ENIE OSOBENNO ^ASTO ISPOLXZUETSQ DLQ SLU^AQ X = n. dELXTA-FUNKCIQ

± : n £ n ¡! Z, (i; j) 7!±ij OBY^NO NAZYWAETSQ DELXTOJ kRONEKE-

RA.

² dZETA-FUNKCIQ. fUNKCIQ ³ : X £X ¡! Z OPREDELENNAQ POSRED-

NAZYWAETSQ DZETA-FUNKCIEJ. |TO HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ ³ = ÂZ GRAFIKA Z = f(x; y) 2 X2 j x · yg OTNO[ENIQ ‘·’. |TU KOMBINATOR-

NU@ DZETA-FUNKCI@ NE SLEDUET PUTATX S ARIFMETI^ESKOJ ³-FUNKCIEJ (³-FUNKCIQ rIMANA I EE OBOB]ENIQ).

gLAWA 5. oTNO[ENIQ

pOWS@DU W pODNEBESNOJ SU]ESTWU@T PQTX OTNO[ENIJ I TRI PRINCIPA, POSREDSTWOM KOTORYH ONI OSU]ESTWLQ@TSQ.

lI cZI, gL.52, u^ENIE O SEREDINE

w WOZRASTE LET DESQTI ILI ODINNADCATI MNE PRI[LO W GOLOWU, ^TO IZRE^ENIE mARKSA “bYTIE OPREDELQET SOZNANIE” WERNO LI[X DO TEH POR, POKA SOZNANIE NE OWLADELO ISKUSSTWOM OT^UVDENIQ; DALEE SOZNANIE VIWET SAMOSTOQTELXNO I MOVET KAK REGULIROWATX, TAK I IGNORIROWATX SU]ESTWOWANIE.

iOSIF bRODSKIJ, Less than one

w \TOJ GLAWE MY OBSUVDAEM PONQTIE BINARNOGO OTNO[ENIQ, OPERACII NAD OTNO[ENIQMI I OSNOWNYE TIPY OTNO[ENIJ. w SWQZI S INTERESAMI KURSA ALGEBRY MY OSOBENNO DETALXNO IZU^AEM OTNO[ENIQ \KWIWALENTNOSTI I OTNO[ENIQ PORQDKA.

x 1. oTNO[ENIQ

w PONQTIE OTOBRAVENIQ OBLASTX OPREDELENIQ X I OBLASTX ZNA^ENIJ Y WHODQT NERAWNOPRAWNO. pRI \TOM KAVDOMU \LEMENTU x 2 X SOOTWETSTWUET ROWNO ODIN \LEMENT MNOVESTWA Y , NO \LEMENT y 2 Y MOVET NE SOOTWETSTWOWATX NIKAKOMU x, LIBO SOOTWETSTWOWATX BOLEE, ^EM ODNOMU x. pONQTIE (BINARNOGO) OTNO[ENIQ WOSSTANAWLIWAET SIMMETRI@ MEVDU X I Y .

1. bINARNYE OTNO[ENIQ. pUSTX, KAK I W PREDYDU]EJ GLAWE, X I Y — DWA MNOVESTWA.

oPREDELENIE. bINARNYM OTNO[ENIEM MEVDU \LEMENTAMI MNO-

VESTW X I Y NAZYWAETSQ TROJKA (X; Y; R), GDE R PODMNOVESTWO DEKARTOWA PROIZWEDENIQ X £ Y .

w \TOM SLU^AE WMESTO OBLASTI I KOOBLASTI X I Y OBY^NO GOWORQT O LEWOJ I PRAWOJ OBLASTQH OTNO[ENIQ (X; Y; R), A SAMO MNOVESTWO R ^ASTO NAZYWAETSQ GRAFIKOM \TOGO OTNO[ENIQ. kAK I DLQ OTOBRAVENIJ MY S^ITAEM, ^TO DWA OTNO[ENIQ RAWNY, ESLI RAWNY IH LEWYE OBLASTI, RAWNY IH PRAWYE OBLASTI I RAWNY IH GRAFIKI. eSLI X I Y OPREDELENY KONTEKSTOM, OTNO[ENIE POLNOSTX@ OPREDELQETSQ SWOIM GRAFIKOM I W \TOM SLU^AE DOPUSKAQ WOLXNOSTX RE^I DLQ KRATKOSTI GOWORQT PROSTO OB OTNO[ENII R. w NEKOTORYH OBLASTQH MATEMATIKI (TAKIH, KAK ALGEBRAI^ESKAQ GEOMETRIQ) I W NEKOTORYH SPECIALXNYH KONTEKSTAH PRINQTO GOWORITX O SOOTWETSTWII (correspondence)

MEVDU \LEMENTAMI X I Y , ZADAWAEMYM OTNO[ENIEM R. oPISANNOE WY- [E ^ISTO \KSTENSIONALXNOE PONIMANIE OTNO[ENIJ WOZNIKLO TOLXKO W XX WEKE POD WLIQNIEM pEANO. bURBAKI DAVE UTWERVDA@T, ^TO ONO BYLO WPERWYE ISPOLXZOWANO ITALXQNSKIMI ALGEBRAI^ESKIMI GEOMETRAMI, W PERWU@ O^EREDX sEGRE, W RABOTAH OB ALGEBRAI^ESKIH SOOTWETSTWIQH ([Bu], STR.307). dLQ ZAPISI OTNO[ENIJ OBY^NO ISPOLXZUETSQ INFIKSNAQ ZAPISX, TAK ^TO WMESTO (x; y) 2 R PI[UT PROSTO xRy I GOWORQT, ^TO

²x SOOTWETSTWUET y OTNOSITELXNO R,

²x NAHODITSQ W OTNO[ENII R K y.

mNOVESTWO WSEH BINARNYH OTNO[ENIJ MEVDU \LEMENTAMI MNOVESTW X I Y OBOZNA^AETSQ Rel(X; Y ) (OT ANGLIJSKOGO relation). eSLI X I Y FIKSIROWANY, TO OTNO[ENIE MOVNO OTOVDESTWITX S EGO GRAFIKOM, TAK ^TO Rel(X; Y ) STANOWITSQ PROSTO DRUGIM IMENEM DLQ 2X£Y . sLEDUET, ODNAKO, IMETX W WIDU, ^TO ESLI R µ U £ V \ X £ Y , TO R, RASSMATRIWAEMOE KAK \LEMENT W Rel(U; V ), NE SOWPADAET S R, RASSMATRIWAEMYM KAK \LEMENT W Rel(X; Y ). w SLU^AE, KOGDA LEWAQ I PRAWAQ OBLASTI OTNO[ENIQ SOWPADA@T, T.E. X = Y , GOWORQT O BINARNYH OTNO[ENIQH NA X — OTNO[ENIQ TAKOGO TIPA OBY^NO NAZYWA@TSQ WNUTRENNIMI: PRI \TOM Rel(X; X) ^ASTO OBOZNA^AETSQ PROSTO Rel(X). mNOVESTWO X NAZYWAETSQ NOSITELEM OTNO[ENIQ R 2 Rel(X).

kOMMENTARIJ. w U^EBNOJ LITERATURE NA RUSSKOM QZYKE PRINQTO RAZLI^ATX SOOTWETSTWIQ I OTNO[ENIQ, PRI \TOM OTNO[ENIQMI NAZYWA@TSQ WNUTRENNIE BINARNYE SOOTWETSTWIQ (SM., NAPRIMER, [Shi]). oDNAKO, S MOEJ TO^KI ZRENIQ, \TOT PORO^NYJ UZUS WHODIT W WOPI@]EE PROTIWORE- ^IE S MATEMATI^ESKOJ PRAKTIKOJ. nAPRIMER, PRINQTO GOWORITX OTNO-

[ENIE INCIDENTNOSTI, A NE WOWSE SOOTWETSTWIE INCIDENTNOSTI, HOTQ INCIDENTNY DRUG DRUGU \LEMENTY RAZNYH MNOVESTW (TO^KI I PRQMYE, WER[INY I REBRA I T.D.). pO\TOMU W DALXNEJ[EM MY ISPOLXZUEM TER-

MIN SOOTWETSTWIE KAK SINONIM TERMINA BINARNOE OTNO[ENIE.

2. oB_EDINENIE I PERESE^ENIE BINARNYH OTNO[ENIJ. lEGKO WIDETX, ^TO OB_EDINENIE ILI PERESE^ENIE GRAFIKOW DWUH RAZLI^NYH OTOBRAVENIJ NIKOGDA NE QWLQETSQ GRAFIKOM OTOBRAVENIQ. oDNO IZ WAVNEJ[IH PREIMU]ESTW OTNO[ENIJ PO SRAWNENI@ S OTOBRAVENIQMI SOSTOIT W TOM, ^TO PRIMENQQ K OTNO[ENIQM L@BU@ TEORETIKO MNOVESTWENNU@ OPERACI@, MY SNOWA POLU^AEM OTNO[ENIE. w ^ASTNOSTI, DLQ OTNO[ENIJ (X; Y; R) I (X; Y; S) MOVNO POSTROITX IH

²OB_EDINENIE (X; Y; R [ S),

²PERESE^ENIE (X; Y; R \ S).