vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

w SLEDU@]EM PARAGRAFE NA PONADOBITSQ SLEDU@]EE SWOJSTWO, USTANAWLIWA@]EE DISTRIBUTIWNOSTX PERESE^ENIQ OTNOSITELXNO SIMMETRI- ^ESKOJ RAZNOSTI

D dISTRIBUTIWNOSTX A \ (B 4 C) = (A 4 B) \ (A 4 C).

iMENNO SWOJSTWA G3 I G5 OTLI^A@T SIMMETRI^ESKU@ RAZNOSTX OT WSEH OSTALXNYH BULEWYH OPERACIJ. pODOBNO SIMMETRI^ESKOJ RAZNOSTI OB_EDINENIE IMEET NEJTRALXNYJ \LEMENT ?, NO NI DLQ ODNOGO A 6= ? NE SU]ESTWUET MNOVESTWA B SIMMETRI^NOGO K A PO OTNO[ENI@ K OB_EDINENI@, T.E. TAKOGO, ^TO A [ B = ?. dLQ SIMMETRI^ESKOJ VE RAZNOSTI KAVDOE MNOVESTWO SIMMETRI^NO SEBE. ~ASTO, OSOBENNO W SLU^AE ISPOLXZOWANIQ ADDITIWNOJ ZAPISI A + B = A 4 B GOWORQT, ^TO KAVDOE MNOVESTWO PROTIWOPOLOVNO SEBE PO OTNO[ENI@ K BULEWOJ SUMME. dOKAVEM DLQ PRIMERA SWOJSTWO G1, DOKAZATELXSTWO OSTALXNYH SWOJSTW PROWODITSQ PO TOJ VE SHEME, NO GORAZDO PRO]E.

dOKAZATELXSTWO ASSOCIATIWNOSTI 4. uSLOWIE NA PRINADLEVNOSTX x LEWOJ ^ASTI SOSTOIT W TOM, ^TO ((x 2 A & x 2= B) _ (x 2= A & x 2 B) & x 2= C) _ (:((x 2 A & x 2= B) _ (x 2= A & x 2

sNOWA WOSPOLXZOWAW[ISX DISTRIBUTIWNOSTX@, POLU^AEM OKON^ATELXNO SLEDU@]EE USLOWIE (x 2 A & x 2= B & x 2= C) _ (x 2= A & x 2 B & x 2= C) _ (x 2= A & x 2= B & x 2 C) _ (x 2 A & x 2 B & x 2 C). tAKIM OBRAZOM, x PRINADLEVIT LEWOJ ^ASTI W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA ON PRINADLEVIT LIBO ROWNO ODNOMU IZ MNOVESTW A, B, C, LIBO WSEM TREM. wOSPOLXZOWAW[ISX KOMMUTATIWNOSTX@ A4(B 4C) = (B 4 C) 4A, MY WIDIM, ^TO TAKOWO VE I USLOWIE PRINADLEVNOSTI x PRAWOJ ^ASTI.

eSLI BY MOVNO BYLO GOWORITX O MNOVESTWE WSEH MNOVESTW, USLOWIQ G1 — G4 OZNA^ALI BY, ^TO BULEWA SUMMA ZADAET NA NEM STRUKTURU ABELEWOJ GRUPPY, A USLOWIE G5, ^TO PORQDOK L@BOGO A =6 ? RAWEN DWUM. oDNAKO, KAK MY ZNAEM, NI^EGO POHOVEGO NA MNOVESTWO WSEH MNOVESTW NE MOVET SU]ESTWOWATX. pO\TOMU W DALXNEJ[EM MY BUDEM PRIMENQTX BULEWU SUMMU K PODMNOVESTWAM NEKOTOROGO FIKSIROWANNOGO MNOVESTWA U, GDE ONA DEJSTWITELXNO BUDET ZADAWATX STRUKTURU ABELEWOJ GRUPPY PERIODA 2 NA BULEANE 2U . mY MOVEM POLXZOWATXSQ WSEMI OBY^NYMI SWOJSTWAMI GRUPP. nAPRIMER, SU]ESTWOWANIE PROTIWOPOLOVNOGO \LEMENTA POZWOLQET RE[ATX URAWNENIQ WIDA A+X = B. pRIBAWLQQ K OBE-

IM ^ASTQM X, MY WIDIM, ^TO A = A+? = A+(X +X) = (A+X)+X = B + X. w SILU TOJ VE PRI^INY DLQ RAWENSTW S SIMMETRI^ESKOJ RAZNOSTX@ WOZMOVNO SOKRA]ENIE, T.E. IZ A + C = B + C SLEDUET A = B (DOSTATO^NO PRIBAWITX K OBEIM ^ASTQM C).

3. CIMMETRI^ESKAQ RAZNOSTX KONE^NOGO SEMEJSTWA MNOVESTW. pODOBNO PERESE^ENI@ I OB_EDINENI@ SIMMETRI^ESKU@ RAZNOSTX MOVNO OPREDELITX DLQ L@BOGO KONE^NOGO SEMEJSTWA MNOVESTW PRI POMO]I FORMULY X 4 Y 4 Z = (X 4 Y ) 4 Z.

zADA^A. wERNO LI, ^TO A 4 B 4 C = (A [ B [ C) n (A \ B \ C)?

oTWET. “|TO WRQD LI”. lEWAQ ^ASTX SOSTOIT IZ TEH x, KOTORYE PRINADLEVAT ROWNO ODNOMU ILI TREM IZ MNOVESTW A, B, C, A PRAWAQ ^ASTX - IZ TEH x, KOTORYE PRINADLEVAT ROWNO ODNOMU ILI DWUM IZ \TIH MNOVESTW.

eSLI Xi — POPARNO NEPERESEKA@]IESQ MNOVESTWA, TO 4Xi = `Xi. oBOZNA^IM SIMMETRI^ESKU@ RAZNOSTX X 4 : : : 4 X MNOVESTWA X S SOBOJ m RAZ, ^EREZ mX. qSNO, ^TO mX ZAWISIT LI[X OT ^ETNOSTI m.

eSLI m ^ETNO, TO mX = ?, A ESLI m NE^ETNO, TO mX = X.

zADA^A. pUSTX X — n-\LEMENTOE MNOVESTWO. wY^ISLITX 4Y 2Vn¡1(X)Y . rE[ENIE. qSNO, ^TO

nX 4 (4Y 2Vn¡1(X)Y ) = 4Y 2Vn¡1(X)(X 4 Y ) = 4x2Xfxg = X:

pRIBAWLQQ K OBEIM ^ASTQM RAWENSTWA nX, POLU^AEM 4Y = (n + 1)X.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO DLQ L@BYH ^ETYREH MNOVESTW A, B, C, D IMEET MESTO WKL@^ENIE

(A n B) 4 (C n D)??(A 4 C) [ (B 4 D):

w OTLI^IE OT PERESE^ENIQ I OB_EDINENIQ SIMMETRI^ESKU@ RAZNOSTX NELXZQ OPREDELITX DLQ BESKONE^NOGO SEMEJSTWA MNOVESTW.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO

i) (A 4 B) n C = (A [ B) 4 (A [ C);

ii)A n (B 4 C) = (A n (B [ C)) [ (A \ B \ C);

4.wYRAVENIE BULEWYH OPERACIJ ^EREZ DWE IH NIH. w DEJSTWI-

TELXNOSTI, BULEWY OPERACII MOVNO WYRAZITX ^EREZ 2 IZ NIH.

² wYRAVENIE ^EREZ \ I 4. dOKAVITE, ^TO OPERACII [ I n WYRAVA@TSQ ^EREZ OPERACII \ I 4 SLEDU@]IM OBRAZOM:

A [ B = (A 4 B) 4 (A \ B); A n B = A 4 (A \ B):

² wYRAVENIE ^EREZ [ I 4. dOKAVITE, ^TO OPERACII \ I n WYRAVA@TSQ ^EREZ OPERACII [ I 4. tAK KAK n UVE WYRAVEN ^EREZ 4 I \, DOSTATO^NO WYRAZITX \ ^EREZ [ I 4. tAKOE WYRAVENIE DAETSQ SLEDU@]EJ FORMULOJ:

A \ B = (A [ B) 4 (A 4 B);

² nA SAMOM DELE, ^TOBY OPREDELITX STRUKTURU BULEWOJ ALGEBRY NA 2U NE NUVNO I DWUH OPERACIJ. oPREDELIM OPERACI@ BINARNOGO OTKLONENIQ (IZWESTNU@ TAKVE KAK [TRIH {EFFERA) FORMULOJ XjY = X0 \ Y 0. tOGDA WSE OPERACII WYRAVA@TSQ W TERMINAH \TOJ ODNOJ OPERACII:

x 11. bULEWY KOLXCA

tEORIQ RE[ETOK PREDSTAWLQET SOBOJ U^ENIE, W ZNA^ITELXNOJ STEPENI PARALLELXNOE TEORIQM DRUGIH ALGEBRAI^ESKIH STRUKTUR, TAKIH KAK GRUPPY ILI KOLXCA. w TO VE WREMQ, TEORIQ BULEWYH ALGEBR OBY^NO NE RASSMATRIWAETSQ KAK SAMOSTOQTELXNAQ ALGEBRAI^ESKAQ TEORIQ\. dELO W TOM, ^TO W 1935 GODU sTOUN ZAMETIL, ^TO IZU^ENIE BULEWYH ALGEBR MOVET BYTX WKL@^ENO KAK O^ENX SPECIALXNAQ GLAWA W TEORI@ ASSOCIATIWNYH KOLEC108. w NASTOQ]EM PARAGRAFE MY IZLOVIM OSNOWNYE MOMENTY \TOJ KONSTRUKCII, OSTAWLQQ ^ITATEL@ (TRIWIALXNYE) PROWERKI TEHNI^ESKIH UTWERVDENIJ.

oPREDELENIE. aSSOCIATIWNOE KOLXCO A S 1 NAZYWAETSQ BULEWYM, ESLI WSE EGO \LEMENTY IDEMPOTENTNY, T.E. x2 = x DLQ WSEH x 2 A.

sEJ^AS MY POKAVEM, ^TO W L@BOM BULEWOM KOLXCE WYPOLNQ@TSQ TOVDESTWA 2x = 0 (HARAKTERISTIKA 2) I xy = yx (KOMMUTATIWNOSTX).

tEOREMA. bULEWO KOLXCO QWLQETSQ KOMMUTATIWNYM KOLXCOM HARAK- TERISTIKI 2.

dOKAZATELXSTWO. rAWENSTWO x2 = x WLE^ET

x + y = (x + y)2 = x2 + xy + yx + y2 = x + xy + yx + y;

PO\TOMU xy + yx = 0. pOLAGAQ ZDESX y = 1 (ILI y = x), MY POLU^IM 2x = 0. tEM SAMYM, RAWENSTWO xy + yx = 0 MOVNO PEREPISATX W WIDE xy = yx.

\rE^X ZDESX IDET O BULEWYH ALGEBRAH S KONE^NYMI OPERACIQMI. kOGDA GOWORQT O TEORII BULEWYH ALGEBR, IME@T W WIDU BULEWY ALGEBRY W KOTORYH SU]ESTWU@T TE ILI INYE KLASSY BESKONE^NYH PERESE^ENIJ I OB_EDINENIJ [Vla], [RS], [Sik].

108M.H.Stone, The theory of representations for Boolean algebras. — Trans Amer. Math. Soc., 1936, vol.40, p.37–111.

tEOREMA sTOUNA. pUSTX A — BULEWA ALGEBRA S OPERACIQMI \, [, 0. oPREDELIM NA NEJ UMNOVENIE KAK XY = X \Y , A SLOVENIE FORMULOJ

X + Y = (X \ Y 0) [ (X0 \ Y ) = (X [ Y ) \ (X0 [ Y 0):

|TI OPERACII PREWRA]A@T ALGEBRU A W BULEWO KOLXCO.

oBRATNO, ESLI R — BULEWO KOLXCO S OPERACIQMI + I ¢ I EDINICEJ 1, TO POLAGAQ X \ Y = XY , X [ Y = X + Y + XY I X0 = 1 ¡ X, MY OPREDELIM NA R STRUKTURU BULEWOJ ALGEBRY.

nA^NEM S DOKAZATELXSTWA TOGO, ^TO BULEWO KOLXCO QWLQETSQ BULEWOJ ALGEBROJ. dLQ \TOGO WWEDEM NA BULEWOM KOLXCE A PORQDOK, POLAGAQ

X · Y () XY = X. pROWERXTE, ^TO 1) 0 · X · 1, 2) X · X, 3)

ESLI X · Y , I Y · X, TO X = Y , 4) ESLI X · Y I Y · Z, TO X · Z. tAKIM OBRAZOM, A PREWRA]AETSQ W ^ASTI^NO UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO S NAIMENX[IM I NAIBOLX[IM \LEMENTAMI.

pROWERXTE, ^TO OTNOSITELXNO WWEDENNOGO PORQDKA 5) inf(X; Y ) = XY I 6) sup(X; Y ) = X+Y +XY , 7) OTOBRAVENIE X 7!X0 = 1¡X QWLQETSQ ANTIAWTOMORFIZMOM PORQDKA ·, PRI^EM 8) X \X0 = 0, X [X0 = 1. wSE SWOJSTWA BULEWYH OPERACIJ, KROME BYTX MOVET, DISTRIBUTIWNOSTI 9) X \ (Y \ Z) = (X \ Y ) [ (X \ Z) TEPERX O^EWIDNY.

dLQ DOKAZATELXSTWA TEOREMY W DRUGU@ STORONU PROWERXTE, ^TO OPREDELIW SLOVENIE PRIWEDENNOJ W TEOREME FORMULOJ, MY POLU^AEM 1) 0 + X = X, 2) X + X = 0, 3) X + Y = Y + X. tRUDNEE WSEGO PRO-

WERITX ASSOCIATIWNOSTX SLOVENIQ. dLQ \TOGO NUVNO ZAMETITX, ^TO 4) OBE SUMMY (X + Y ) + Z I X + (Y + Z) RAWNY

(X \ Y 0 \ Z0) [ (X0 [ Y [ Z0) [ (X0 [ Y 0 [ Z) [ (X [ Y [ Z):

sWOJSTWA UMNOVENIQ O^EWIDNY, TAK KAK ONI SOWPADA@T S SOOTWETSTWU- @]IMI SWOJSTWAMI PERESE^ENIQ, A DLQ PROWERKI DISTRIBUTIWNOSTI DOSTATO^NO PROWERITX, ^TO 5) OBA WYRAVENIQ X(Y + Z) I XY + XZ

RAWNY (X \ Y \ Z0) [ (Y 0 \ X \ Z).

x 12. pERESE^ENIE I OB_EDINENIE PROIZWOLXNYH SEMEJSTW

sPECIFIKA OPERACIJ PERESE^ENIQ I OB_EDINENIQ SOSTOIT W TOM, ^TO ONI MOGUT BYTX OPREDELENY DLQ PROIZWOLXNYH SEMEJSTW MNOVESTW.

1. oB_EDINENIQ I PERESE^ENIQ SEMEJSTW MNOVESTW. sLEDU@-

]IE OPREDELENIQ ESTESTWENNO OBOB]A@T OPREDELENIQ KONE^NYH PERESE^ENIJ I OB_EDINENIJ.

oPREDELENIE. eSLI Ω — L@BOE MNOVESTWO MNOVESTW, TO PERESE^ENIEM EGO \LEMENTOW NAZYWAETSQ MNOVESTWO TX, X 2 Ω, SO- STOQ]EE IZ TEH I TOLXKO TEH \LEMENTOW, KOTORYE PRINADLEVAT KAVDOMU MNOVESTWU X 2 Ω.

tAKIM OBRAZOM, SOGLASNO \TOMU OPREDELENI@ DLQ L@BOGO MNOVESTWA

X2Ω

oPREDELENIE OB_EDINENIQ SOWER[ENNO ANALOGI^NO.

oPREDELENIE. eSLI Ω — L@BOE MNOVESTWO MNOVESTW, TO OB_EDINENIEM EGO \LEMENTOW NAZYWAETSQ MNOVESTWO SX, X 2 Ω, SOSTOQ- ]EE IZ TEH I TOLXKO TEH \LEMENTOW, KOTORYE PRINADLEVAT PO KRAJ- NEJ MERE ODNOMU IZ MNOVESTW X 2 Ω.

sOGLASNO \TOMU OPREDELENI@ DLQ L@BOGO MNOVESTWA MNOVESTW X

X2Ω

sU]ESTWOWANIE PROIZWOLXNYH PERESE^ENIJ SRAZU WYTEKAET IZ AKSIOMY PODMNOVESTW ZF60. w TO VE WREMQ, SU]ESTWOWANIE OB_EDINENIJ NE WYTEKAET IZ OSTALXNYH AKSIOM I DOLVNO POSTULIROWATXSQ OTDELXNO, ^TO MY I SDELALI W AKSIOME OB_EDINENIQ ZF4.

~ASTO GOWORQT O PERESE^ENII ILI OB_EDINENII SEMEJSTWA MNOVESTW. nAPRIMER, ESLI X = (Xi)i2I — TAKOE SEMEJSTWO, TO PERESE^ENIE ISOB_EDINENIETWSEH Xi IZ \TOGO SEMEJSTWA OBY^NO OBOZNA^AETSQ ^EREZ Xi, i 2 I, I Xi, i 2 I, SOOTWETSTWENNO. w STARINNYH KNIVKAH OB_EDINENIE I PERESE^ENIE SEMEJSTWA OBOZNA^ALISX SXi, i 2 I I DXi, i 2 I I, GDE S I D — PERWYE BUKWY NEMECKIH SLOW Summe I Durchschnitt, SOOTWETSTWENNO.

2. sWOJSTWA BESKONE^NYH OB_EDINENIJ I PERESE^ENIJ. oB_-

EDINENIQ I PERESE^ENIQ SEMEJSTW IDEALXNO SOGLASOWANY S OB_EDINENI-

|TI TOVDESTWA QWLQ@TSQ ^ASTNYMI SLU^AEM OB]EGO TOVDESTWA ASSOCIATIWNOSTI. w SAMOM OB]EM WIDE ASSOCIATIWNOSTX WYGLQDIT SLE-

w TO VE WREMQ, POWEDENIE \TIH OPERACIJ PO OTNO[ENI@ K PERESE^ENI@ INDEKSNYH MNOVESTW NESKOLXKO SLOVNEE, W \TOM SLU^AE MOVNO UTWERVDATX LI[X, ^TO

w DEJSTWITELXNOSTI, PRAWILXNYM ANALOGOM QWLQ@TSQ TOVDESTWA DIS-

TRIBUTIWNOSTI:

nAKONEC, DLQ BESKONE^NYH OB_EDINENIJ I PERESE^ENIJ IME@T MESTO ANALOGI TOVDESTW DE mORGANA:

x 13. nEPERESEKA@]IESQ MNOVESTWA, DIZ_@NKTNOE OB_EDINENIE

1. dIZ_@NKTNOE OB_EDINENIE. w KONKRETNYH SITUACIQH O^ENX ^ASTO WOZNIKAET OB_EDINENIE POPARNO NEPERESEKA@]IHSQ MNOVESTW I NAM BUDET UDOBNO WWESTI DLQ NEGO SPECIALXNOE OBOZNA^ENIE.

oPREDELENIE. gOWORQT, ^TO MNOVESTWA X I Y NE PERESEKA@TSQ

(alias DIZ_@NKTNY), ESLI X \Y = ?. w PROTIWNOM SLU^AE GOWORQT, ^TO ONI PERESEKA@TSQ ILI, ESLI NUVNA OSOBAQ TO^NOSTX, ^TO ONI IME@T NETRIWIALXNOE PERESE^ENIE.

wOOB]E, PUSTX Ω — L@BOE MNOVESTWO MNOVESTW. gOWORQT, ^TO \LEMENTY Ω NE PERESEKA@TSQ (ILI, ESLITNUVNA OSOBAQ TO^NOSTX, NE PERESEKA@TSQ W SOWOKUPNOSTI), ESLI X = ?, GDE PERESE^ENIE BE-

RETSQ PO WSEM X 2 Ω. gOWORQT, ^TO \LEMENTY W POPARNO NE PERESE-

KA@TSQ (alias, POPARNO DIZ_@NKTNY), ESLI L@BYE DWA RAZLI^NYH

\LEMENTA X; Y 2 Ω NE PERESEKA@TSQ, T.E. ESLI IZ TOGO, ^TO X; Y 2 Ω, X 6= Y , SLEDUET, ^TO X \ Y = ?.

wOZXMEM TRI POPARNO RAZLI^NYH WE]I x; y; z I RASSMOTRIM MNOVE-

STWO U = fX; Y; Zg, GDE X = fy; zg, Y = fx; zg I Z = fx; yg. tOGDA \LEMENTY U NE PERESEKA@TSQ W cOWOKUPNOSTI, NO L@BYE DWA IZ NIH IME@T NETRIWIALXNOE PERESE^ENIE.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO ESLI X I Y DIZ_@NKTNY, U µ X, V µ Y , TO U I V TOVE (‘TEM BOLEE’) DIZ_@NKTNY.

w SLU^AE, KOGDA X I Y DIZ_@NKTNY, MY BUDEM ISPOLXZOWATX DLQ OB_EDINENIQ X [Y ZAPISX X tY I NAZYWATX EGO DIZ_@NKTNYM OB_EDINENIEM. tAKIM OBRAZOM, U = X t Y PO OPREDELENI@ OZNA^AET, ^TO U = X [ Y I X \ Y = ?. |TO OPREDELENIE RASPROSTRANQETSQ NA L@BOE KOLI^ESTWO OB_EDINQEMYH MNOVESTW. tAK, ZAPISX U = X tY tZ OZNA^AET, ^TO U = X [Y [Z, PRI^EM X \Y; X \Z; Y \Z = ?. wOOB]E, ESLI Ω — L@BOE MNOVESTWO POPARNO NE PERESE^KA@]IHSQ MNOVESTW, MY BUDEM ISPOLXZOWATX DLQ SX, X 2 Ω, ZAPISX `X, X 2 Ω.

w SLEDU@]EJ GLAWE MY PRIDADIM SMYSL WYRAVENI@ X t Y I DLQ OB]EGO SLU^AQ, KOGDA MNOVESTWA X I Y PERESEKA@TSQ. w \TOM SLU^AE XtY BUDET NAZYWATXSQ KOPROIZWEDENIEM MNOVESTW X I Y . oDNAKO DLQ SLU^AQ DIZ_@NKTNYH MNOVESTW \TOT NOWYJ SMYSL BUDET SOGLASOWAN TOLXKO ^TO OPISANNYM.

2. bETHOWEN I MORSKIE SWINKI. w XIX WEKE LOGIKI L@BILI MASKIROWATX USLOWIQ TIPA DIZ_@NKTNOSTI DWOJNYMI OTRICANIQMI (“Hobbits delighted in such things”). wOT PRIMER RAZWLEKATELXNOJ ZADA^I NA \TU TEMU IZ KNIGI lX@ISA k\R- ROLA “Symbolic logic” (KAK PI[ET PO \TOMU POWODU kELLI, “IZ lX@ISA k\RROLA, S PRIWETOM {REDERU”).

zADA^A. rASSMOTRIM SLEDU@]IE TRI WYSKAZYWANIQ:

(1)Nobody, who really appreciates Beethoven fails to keep silence while the Moonlight Sonata is being played.

(2)Guinea pigs are hopelessly ignorant of music.

(3)No one who is hopelessly ignorant of music ever keeps silence while the Moonlight Sonata is being played.

wERNO LI, ^TO IZ \TIH WYSKAZYWANIJ WYTEKAET SLEDU@]EE:

(4) Guinea pigs do not really appreciate Beethoven.

rE[ENIE. sM. PREDYDU]U@ ZADA^U.

x 14. aLGEBRY I TOPOLOGII

w DEJSTWITELXNOSTI, WO MNOGIH RAZDELAH MATEMATIKI PRINQTO RASSMATRIWATX RE[ETKI I BULEWY ALGEBRY, W KOTORYH SU]ESTWU@T RAZLI^NYE KLASSY BESKONE^- NYH PERESE^ENIJ I OB_EDINENIJ.

1. pOLNYE RE[ETKI. wERNEMSQ K OPREDELENI@ RE[ETKI. w x 4 MY OB_QSNILI, ^TO RE[ETKU MOVNO WOSPRINIMATX KAK TAKOE ^ASTI^NO UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO, W KOTOROM SU]ESTWU@T SUPREMUM I INFIMUM L@BYH DWUH \LEMENTOW I, TEM SAMYM, L@BOGO KONE^NOGO PODMNOVESTWA. rE[ETKA NAZYWAETSQ POLNOJ, ESLI W NEJ SU]E- STWU@T SUPREMUM I INFIMUM L@BOGO PODMNOVESTWA. w \TOM SLU^AE inf Ω OBY^NO

zADA^A. pUSTX L — RE[ETKA S 0 I 1. eSLI W L SU]ESTWU@T OB_EDINENIQ PROIZWOLXNYH SEMEJSTW, TO W L SU]ESTWU@T I PERESE^ENIQ PROIZWOLXNYH SEMEJSTW, I NAOBOROT.

rE[ENIE. w SAMOM DELE, PUSTX, NAPRIMER, W L SU]ESTWU@T BESKONE^NYE OB_EDINENIQ. rASSMOTRIM PROIZWOLXNOE MNOVESTWO Ω µSL. mNOVESTWO Θ EGO NIVNIH GRANEJ SODERVIT 0 I, ZNA^IT, NEPUSTO. pUSTX Y = X, X 2 Θ. tOGDA Y = inf(Ω)

2. ¾-ALGEBRY. ~ASTO USLOWIE SU]ESTWOWANIQ PROIZWOLXNYH BESKONE^NYH PERESE- ^ENIJ I OB_EDINENIJ QWLQETSQ ^ERES^UR SILXNYM. pUSTX i — KAKOJ-TO BESKONE^- NYJ KARDINAL. gOWORQT, ^TO RE[ETKA L QWLQETSQ i-POLNOJ, ESLI W NEJ SU]ESTWU- @T SUPREMUM I INFIMUM L@BOGO PODMNOVESTWA Ω TAKOGO, ^TO jΩj · i. w SLU^AE, KOGDA i = @0 ANALISTY OBY^NO NAZYWA@T @0-POLNYE RE[ETKI ¾-POLNYMI ILI PROSTO ¾-RE[ETKAMI.

w SLU^AE, KOGDA i-POLNAQ RE[ETKA L = A, KROME TOGO, QWLQETSQ BULEWOJ ALGEBROJ, T.E. ZAMKNUTA OTNOSITELXNO PEREHODA K DOPOLNENI@, EE OBY^NO NAZYWA@T i-POLNOJ BULEWOJ ALGEBROJ. pRI \TOM @0-POLNYE BULEWY ALGEBRY OBY^NO NAZYWA@TSQ PROSTO ¾-ALGEBRAMI. iNYMI SLOWAMI, ¾-ALGEBRA Ω PODMNOVESTW W U UDOWLETWORQET SLEDU@]IM ^ETYREM AKSIOMAM:

iZ FORMUL DE mORGANA WYTEKAET, ^TO DOSTATO^NO TREBOWATX TOLXKO SU]ESTWOWANIQ S^ETNYH PERESE^ENIJ ILI OB_EDINENIJ. nEKOTORYE AWTORY NAZYWA@T ¾-

ALGEBRY ¾-KOLXCAMI.

pONQTIE ¾-ALGEBRY QWLQETSQ OSNOWNYM W TEORII MERY. a IMENNO, PUSTX Ω ESTX NEKOTORAQ ¾-PODMNOVESTW W U. mEROJ ¹, OPREDELENNOJ NA Ω, NAZYWAETSQ OTOBRAVENIE Ω ¡! R+, TAKOE, ^TO ¹(?) = 0, OBLADA@]EE SWOJSTWOM S^ETNOJ ADDITIWNOSTI: a X

¹( Xi) = ¹(Xi);

GDE OB_EDINENIE I SUMMA BERUTSQ PO PROIZWOLXNOMU S^ETNOMU SEMEJSTWU Xi PO-

PARNO DIZ_@NKTNYH MNOVESTW Xi 2 Ω. i 2 N.

3. tOPOLOGIQ. sTRUKTURA TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA QWLQETSQ ODNOJ IZ OSNOWNYH W MATEMATIKE. eE MOVNO ZADAWATX MNOGIMI RAZLI^NYMI (NO \KWIWALENTNYMI MEVDU SOBOJ) SPOSOBAMI. oBY^NYJ SPOSOB, PRIWODQ]IJ K NAIBOLEE \LEGANTNYM OPREDELENIQM, SOSTOIT W WYDELENII NA U TOPOLOGII.

oPREDELENIE. pODMNOVESTWO T µ 2U NAZYWAETSQ TOPOLOGIEJ NA MNOVESTWE U, ESLI ONO UDOWLETWORQET SLEDU@]IM TREM AKSIOMAM:

S O1 T ZAMKNUTO OTNOSITELXNO PROIZWOLXNYH OB_EDINENIJ: V® 2 T =)

V® 2 T ;

O2 T ZAMKNUTO OTNOSITELXNO KONE^NYH PERESE^ENIJ: V; W 2 T =) V \W 2

T ;

O3 ?; U 2 T .

mNOVESTWO U WMESTE S ZADANNOJ NA NEM TOPOLOGIEJ NAZYWAETSQ TOPOLOGI^E- SKIM PROSTRANSTWOM. pRI \TOM \LEMENTY A 2 T , RASSMATRIWAEMYE KAK PODMNOVESTWA W U, NAZYWA@TSQ OTKRYTYMI MNOVESTWAMI, A IH DOPOLNENIQ W U — ZAMKNUTYMI MNOVESTWAMI.

²sREDI WSEH TOPOLOGIJ NA X SU]ESTWUET SAMAQ SILXNAQ TOPOLOGIQ T = 2U , NAZYWAEMAQ DISKRETNOJ, W KOTOROJ WSE PODMNOVESTWA U OTKRYTY I SAMAQ SLABAQ TOPOLOGIQ T = f?; Ug, NAZYWAEMAQ TRIWIALXNOJ, EDINSTWENNYMI OTKRYTYMI MNOVESTWAMI W KOTOROJ QWLQ@TSQ ? I SAMO U.

²tOPOLOGIQ NA KONE^NOM MNOVESTWE U \TO TO VE SAMOE, ^TO PODRE[ETKA S 0 I 1 W RE[ETKE MNOVESTW 2U .

²pUSTX TEPERX U — BESKONE^NOE MNOVESTWO, A T = Cof(U) MNOVESTWO WSEH KO-KONE^NYH PODMNOVESTW W U. |TA TOPOLOGIQ NAZYWAETSQ KOKONE^NOJ.

w DEJSTWITELXNOSTI, ALGEBRAISTY OBY^NO ZADA@T TOPOLOGI@ DWOJSTWENNYM OBRAZOM, POSREDSTWOM ZADANIQ SISTEMY ZAMKNUTYH MNOVESTW.

oPREDELENIE. pODMNOVESTWO T µ 2X NAZYWAETSQ TOPOLOGIEJ NA MNOVESTWE X, ESLI ONO UDOWLETWORQET SLEDU@]IM TREM AKSIOMAM:

T Z1 T ZAMKNUTO OTNOSITELXNO PROIZWOLXNYH PERESE^ENIJ: Z® 2 T )

Z® 2 T ;

Z2 T ZAMKNUTO OTNOSITELXNO KONE^NYH OB_EDINENIJ: Y; Z 2 T ) Y [Z 2 T ;

Z3 ?; X 2 T .

nEZAWISIMO OT TOGO, KAK MY OPREDELQEM TOPOLOGI@, KAK ALGEBRAISTY, ILI KAK WSE OSTALXNOE ^ELOWE^ESTWO, MY DOLVNY BYTX W SOSTOQNII ZAMETITX RAZNICU MEVDU OPREDELENIEM TOPOLOGII I ¾-ALGEBRY. w ¾-ALGEBRE SU]ESTWU@T KAK S^ETNYE PERESE^ENIQ, TAK I S^ETNYE OB_EDINENIQ (POSKOLXKU ONA ZAMKNUTA OTNOSITELXNO DOPOLNENIJ!), S DRUGOJ STORONY W TOPOLOGII, SU]ESTWU@T PROIZWOLXNYE OB_EDINENIQ (ILI PERESE^ENIQ!) I KONE^NYE PERESE^ENIQ (ILI OB_EDINENIQ!). Feel the di erence!

4. Catch 666. tEPERX ^ITATELX MOVET PROWERITX, PONQL LI ON ^TO-NIBUDX IZ PRO^ITANNOGO W \TOM PARAGRAFE.

kOAN. rASSMOTRIM TOPOLOGI@ T µ 2U . pO OPREDELENI@ W T SU]ESTWU@T OB_EDINENIQ PROIZWOLXNYH SEMEJSTW \LEMENTOW. kAK MY TOLXKO ^TO DOKAZALI, TOGDA TAM SU]ESTWU@T I PERESE^ENIQ PROIZWOLXNYH SEMEJSTW. w HAUSDORFOWOM PROSTRANSTWE (SKAVEM W R S OBY^NOJ TOPOLOGIEJ) PERESE^ENIE WSEH OKRESTNOSTEJ TO^KI SOWPADAET S \TOJ TO^KOJ. zNA^IT L@BAQ TO^KA TAM OTKRYTA, TAK ^TO NA R NET NIKAKIH HAUSDORFOWYH TOPOLOGIJ, KROME DISKRETNOJ.

oTWET DLQ ZNATOKA. ‘pRO[U NE ^ITATX POME]ENNOGO DALEE RE[ENIQ DLQ U^A]E- GOSQ!’109

rE[ENIE DLQ U^A]EGOSQ. bYLO BY SLI[KOM VESTOKO OSTAWLQTX NA^INA@]E- GO, KOTORYJ WSE VE RE[IL (WOPREKI QWNOMU ZAPRETU!) ^ITATX TEKST, NABRANNYJ MELKIM [RIFTOM (I NENAROKOM DOLETEL DO \TOGO MESTA) W TAKOM POLOVENII. pO- \TOMU Q WSE VE (HOTQ \TO I NE W MOIH PRAWILAH: ‘SPASENIE NA^INA@]IH — DELO

109|.lANDAU, oSNOWY ANALIZA. T.I. — il, m., 1947, S.1–182, STR.7.