vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

^TO STOLX O^EWIDNAQ LOGI^ESKAQ O[IBKA TAK DOLGO OSTAWALASX NEZAME^ENNOJ.

lORENS qNG50

nIKAKIH FILOSOFSKIH PROBLEM NET, ESTX TOLXKO ANFILADA LINGWISTI^ESKIH TUPIKOW.

wIKTOR pELEWIN, nASTOLXNAQ KNIGA OBOROTNQ

And the more he looked inside, the more Piglet wasn't there.

A.A.Milne, ‘The house at Pooh corner’

pERWU@ GRUPPU PARADOKSOW rAMSEJ NAZWAL LOGI^ESKIMI PARADOKSAMI, \TO PARADOKSY, OTNOSQ]IESQ K FORME WYSKAZYWANIJ.

lINGWISTI^ESKIJ KOMMENTARIJ. pARADOKS — SPRAWEDLIWOE WYSKAZYWANIE ILI SUVDENIE, KAVU]EESQ NEOVIDANNYM, NELEPYM ILI PROTIWORE^IWYM — NO W DEJSTWITELXNOSTI NE QWLQ@]EESQ TAKOWYM!! A statement seemingly absurd or contradictory, yet in fact true — FW. bOLX[INSTWO PARADOKSOW OSNOWANO NA ISPOLXZOWANII NEQWNYH PREDPOLOVENIJ (hidden assumptions) I SRAZU SNIMA- @TSQ, KAK TOLXKO MY \KSPLICIRUEM \TI PREDPOLOVENIQ I POJMEM, ^TO W DEJSTWITELXNOSTI UTWERVDAETSQ. sOKRATI^ESKIJ METOD OBU^ENIQ SOSTOIT W TOM, ^TOBY STAWITX U^ENIKA PERED PARADOKSOM, OBDUMYWAQ KOTORYJ ON DOLVEN SAMOSTOQTELXNO PRIJTI K NOWYM IDEQM. pRIMERNO TAKU@ VE ROLX IGRA@T KOANY W METODE DZENSKIH U^ITELEJ.

pARADOKSY SLEDUET T]ATELXNO OTLI^ATX OT ANTINOMIJ. aNTINOMIQ — BEZZAKONIE, PROTIWORE^IE, OSOBENNO PROTIWORE^IE W ZAKONE ILI MEVDU ZAKONAMI. w PROTIWOPOLOVNOSTX PARADOKSU, KOTORYJ LI[X KAVETSQ PROTIWORE^IEM, ANTINOMIQ UKAZYWAET NA DEJSTWITELXNOE PROTIWORE^IE. pOSKOLXKU NIKAKIH PROTIWORE^IJ W TEORII MNOVESTW NIKOGDA NE BYLO, W DALXNEJ[EM Q WOOB]E NE UPOMINA@ OB ANTINOMIQH. w ^ASTNOSTI, Q GOWOR@ O PARADOKSE rASSELA, HOTQ SAM rASSEL O[IBO^NO S^ITAL EGO ANTINOMIEJ, T.E. PODLINNYM PROTIWORE^IEM. w NARODNOM QZYKE ^ASTO DOPUSKAETSQ METATEZA, PRIWODQ]AQ K SME[ENI@ SLOW ANTINOMIQ I ANTIMONIQ (ANTIMONIQ — SURXMA, RWOTNYJ PORO[OK), OTKUDA RAZWODITX ANTIMONII. kAK UKAZYWAET fASSMER, PRAWILXNO GOWORITX RAZWODITX ANTINOMII. |TO WYRAVENIE KAK NELXZQ LU^[E OPISYWAET DEQTELXNOSTX NEKOTORYH FILOSOFOW I LOGIKOW.

pARADOKSY SLEDUET OTLI^ATX TAKVE OT FANFREL@[EK I SOFIZMOW. fANFREL@[KA

— MELO^X, PUSTQK, BEZDELU[KA, BEZDELICA, DE[EWOE UKRA[ENIE. w SLEDU@]EM PARAGRAFE PRIMERNO W TOM VE ZNA^ENII ISPOLXZUETSQ KODOWOE SLOWO LAPPALIQ. pRI SOWPADENII OB]EGO SMYSLA, ISPOLXZOWANIE \TIH SLOW OTLI^AETSQ KONNOTACIQMI: LAPPALIQ UKAZYWAET W PERWU@ O^EREDX NA OTSUTSTWIE SMYSLA I BESPOLEZNOSTX, W TO WREMQ KAK FANFREL@[KA — NA SUETNOSTX, LEGKOMYSLIE I BEZWKUSIE. COFIZM — ZAWEDOMO LOVNOE WYSKAZYWANIE, LOVNOSTX KOTOROGO IZWESTNA GOWORQ]EMU, DOKAZYWAEMOE PRI POMO]I RASSUVDENIJ, KAVU]IHSQ PRAWILXNYMI. A false argument

50l.qNG, lEKCII PO WARIACIONNOMU IS^ISLENI@ I TEORII OPTIMALXNOGO UPRAW-

LENIQ. — mIR, m., 1974, S.1–488. STR.41–42.

intentionally used to deceive — FW. w OTLI^IE OT FANFREL@[EK SOFIZMY ^ASTO ISPOLXZU@TSQ DLQ SOZNATELXNOGO OBMANA I WWEDENIQ W ZABLUVDENIE.

1. pARADOKS rASSELA. nAPOMNIM, W ^EM IMENNO SOSTOQLI \TI TAK NAZYWAEMYE “PARADOKSY TEORII MNOVESTW”. wSE \TI PARADOKSY SWQZANY S PRINQTIEM SLEDU@- ]EGO ABSURDNOGO PREDPOLOVENIQ.

aKSIOMA fREGE. dLQ L@BOGO SWOJSTWA P SU]ESTWUET MNOVESTWO fx j P (x)g WSEH OB_EKTOW x, OBLADA@]IH SWOJSTWOM P .

w 1902 GODU rASSEL ZAMETIL, ^TO PRINQTIE \TOJ AKSIOMY WEDET K PROTIWORI@51. rASSMOTRIM PREDIKAT P (x) = (x 2= x). aKSIOMA fREGE UTWERVDAET, ^TO SU]ESTWUET MNOVESTWO X = fx j x 2= xg.

pARADOKS rASSELA. pUSTX X — MNOVESTWO WSEH MNOVESTW, KOTORYE NE QW- LQ@TSQ SOBSTWENNYMI \LEMENTAMI. tOGDA X W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE QWLQ- ETSQ SOBSTWENNYM \LEMENTOM, KOGDA ONO NE QWLQETSQ SOBSTWENNYM \LEMENTOM.

dOKAZATELXSTWO. pREDPOLOVIM, ^TO X 2 X. tOGDA X QWLQETSQ SOBSTWENNYM \LEMENTOM I, ZNA^IT, NE WHODIT W X PO OPREDELENI@ X. tAKIM OBRAZOM, X 2 X =) X 2= X. s DRUGOJ STORONY, ESLI X 2= X, TO X NE QWLQETSQ SOBSTWENNYM \LEMENTOM I, ZNA^IT, WHODIT W X PO OPREDELENI@ X. tAKIM OBRAZOM, X 2= X =) X 2 X.

pO \TOMU POWODU STOIT ZAMETITX, ^TO SAM kANTOR NE TOLXKO NIKOGDA NE POLXZOWALSQ PREDPOLOVENIQMI, PODOBNYM AKSIOME fREGE, NO UVE LET ZA 20 DO PARADOKSA rASSELA T]ATELXNEJ[IM OBRAZOM RAZLI^AL MNOVESTWA (Mengen) I SOWOKUPNO-

STI\ (Gesamtheiten, Vielheiten, TotalitÄaten, Unmengen), KOTORYE SLI[KOM WELI-

KI DLQ TOGO, ^TOBY BYTX MNOVESTWAMI I ^TOBY K NIM MOVNO BYLO PRIMENQTX STANDARTNYE PROCEDURY OBRAZOWANIQ NOWYH MNOVESTW. sOWOKUPNOSTI, K KOTORYM NEPRIMENIMA EGO TEORIQ TRANSFINITNYH MNOVESTW, kANTOR NAZYWAL ABSOL@T- NO BESKONE^NYMI. iNYMI SLOWAMI, UVE W 1880-H GODAH kANTORU BYLI IZWESTNY NE TOLXKO SAMI PARADOKSY, NO I SPOSOB IH PREODOLENIQ, PO SU]ESTWU \KWIWALENTNYJ PREDLOVENNOJ dV.FON nEJMANOM TEORII KLASSOW.

2. kLASSI^ESKIE FORMULIROWKI PARADOKSA rASSELA. pARADOKS rASSELA MOV-

NO SFORMULIROWATX I NE ISPOLXZUQ TEORI@ MNOVESTW, |TOT PARADOKS QWLQETSQ ODNOJ IZ UDA^NYH REFLEKSIWNYH [UTOK I S NEZAPAMQTNYH WREMEN IZWESTNY DESQTKI REFLEKSIWNYH [UTOK NA TEMU Every rule has an exception, except this one, etc. wOT TRI KLASSI^ESKIE FORMULIROWKI \TOGO PARADOKSA.

pARADOKS PARIKMAHERA. wOVDX AFINSKOJ DEMOKRATII kLISFEN POWELEL, ^TOBY EDINSTWENNYJ PARIKMAHER GORODA BRIL TEH I TOLXKO TEH GRAVDAN aFIN, KOTORYE NE BRE@TSQ SAMI. dOLVEN LI PARIKMAHER BRITX SEBQ?

51pISXMO rASSELA fREGE MOVNO NAJTI W KNIGE J.van Heijenoort, From Frege to G¨odel, a source book in Mathematical Logic, 1879–1931. — Harvard Univ. Press, Cambridge, Mass., 1967. kROME TOGO, \TA KNIGA SODERVIT PEREWODY ORIGINALXNYH STATEJ bURALI-fORTI, cERMELO I DRUGIH S PODROBNYMI KOMMENTARIQMI.

\tAKIE, NAPRIMER, KAK SOWOKUPNOSTX WSEH MNOVESTW, SOWOKUPNOSTX WSEH ORDINALXNYH ^ISEL, SOWOKUPNOSTX WSEH ALEFOW I T.D.

pARADOKS KATALOGA. bIBLIOTEKA bORHESA52 RE[ILA SOSTAWITX BIBLIOGRAFI^E- SKIJ KATALOG (KATALOG KATALOGOW), W KOTORYJ WHODQT TE I TOLXKO TE KATALOGI, KOTORYE NE WKL@^A@T SEBQ. wKL@^AET LI TAKOJ KATALOG[ SEBQ?

pARADOKS SAMOUWAVENIQ. iMEET LI PROFESSOR kONTE SAMOUWAVENIE, ESLI ON UWAVAET TOLXKO TEH, KTO NE UWAVAET SEBQ?

3. pARADOKSY kANTORA I bURALI-fORTI. dRUGIMI BLIZKIMI PARADOKSAMI QWLQ@TSQ PARADOKSY kANTORA I bURALI-fORTI.

pARADOKS kANTORA. kAK IZWESTNO, MO]NOSTX MNOVESTWA 2X PODMNOVESTW L@BOGO MNOVESTWA X STROGO BOLX[E, ^EM MO]NOSTX SAMOGO MNOVESTWA X. nO ESLI X - MNOVESTWO WSEH MNOVESTW, TO 2X QWLQETSQ PODNOVESTWOM X I, SLE- DOWATELXNO, MO]NOSTX 2X NE PREWOSHODIT MO]NOSTI X.

pARADOKS bURALI-fORTI — \TO WERSIQ PARADOKSA kANTORA, W KOTOROJ RASSMATRIWA@TSQ ORDINALXNYE ^ISLA WMESTO KARDINALXNYH. zAMETIM, ^TO \TO PERWYJ IZ OPUBLIKOWANNYH PARADOKSOW — STATXQ bURALI-fORTI POQWILASX ZA 6 LET DO KNIGI rASSELA53. oDNAKO W DEJSTWITELXNOSTI, KAK QSNO IZ TEKSTA ODNOGO IZ PISEM kANTORA gILXBERTU 1896 GODA \TOT PARADOKS BYL IZWESTEN SAMOMU kANTORU NE POZVE

1895 GODA: TO, ^TO POLU^IL bURALI-fORTI | SU]AQ ^EPUHA. nAPOMNIM, ^TO ORDINALOM NAZYWAETSQ WPOLNE UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO.

bURALI-fORTI (1861 — 1931)

pARADOKS bURALI-fORTI. qWLQETSQ LI MNOVESTWO X WSEH ORDINALOW, UPORQ- DO^ENNOE PO WKL@^ENI@, ORDINALOM? eSLI OTWET POLOVITELXNYJ, TO X DOLVNO BYTX SWOIM SOBSTWENNYM \LEMENTOM I, ZNA^IT, X < X.

4. oB_QSNENIE LOGI^ESKIH PARADOKSOW. lEGKO WIDETX, ^TO W DEJSTWITELXNO-

STI WSE \TI PARADOKSY NE SODERVAT W SEBE NI^EGO PARADOKSALXNOGO I MATEMATIKI POWSEDNEWNO STALKIWA@TSQ S PODOBNYMI SITUACIQMI. ~TOBY OBXQSNITX, W ^EM TUT DELO, DADIM E]E ODNU \KWIWALENTNU@ PEREFORMULIROWKU PARADOKSA rASSELA.

pARADOKS pIGLETA. pUSTX n — TAKOE CELOE ^ISLO, KOTOROE ODNOWREMENNO BOLX[E I MENX[E NULQ. tOGDA n W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE QWLQETSQ POLOVITELXNYM, KOGDA ONO QWLQETSQ OTRICATELXNYM.

nO WEDX TAKOGO ^ISLA NE SU]ESTWUET, WOSKLIKNET ZDESX KAVDYJ. wOT IMENNO! wSE “LOGI^ESKIE PARADOKSY” (NE PUTATX S “LINGWISTI^ESKIMI” ILI “SEMANTI^ESKIMI” PARADOKSAMI, TIPA PARADOKSA LVECA) POSTROENY PO SLEDU@]EJ SHEME:

52wSELENNAQ, NEKOTORYE NAZYWA@T EE bIBLIOTEKOJ, SOSTOIT IZ OGROMNOGO, WOZMOVNO, BESKONE^NOGO ^ISLA [ESTIGRANNYH GALEREJ — h.l.bORHES, ‘wAWILONSKAQ BIBLIOTEKA’, — sOBR. sO^., T.1, pOLQRIS, m., 1997, S.341–348.

[|TO NE PARADOKS, A ISTORI^ESKIJ FAKT: W 1765 GODU W wENE BYL OPUBLIKOWAN KATALOG ZAPRE]ENNYH PUBLIKACIJ, ODNAKO PUBLIKA ISPOLXZOWALA EGO KAK RUKOWODSTWO K POISKU INTERESNYH KNIG, PO\TOMU ^EREZ 12 LET \TOT KATALOG BYL WKL@^EN W SEBQ.

53C.Burali-Forti, Una questione sui numeri transfiniti. — Rend. Circolo Mat. Palermo, 1897, vol.11, p.154–164.

PREDPOLOVIM, ^TO SU]ESTWUET NEKOTORYJ OBXEKT X, TOGDA \TOT OBXEKT X ODNOWREMENNO OBLADAET I NE OBLADAET NEKOTORYM SWOJSTWOM. nO \TO W TO^NOSTI I ZNA^IT, ^TO TREBUEMOGO OBXEKTA X NE SU]ESTWUET, IMENNO TAK USTROENY DOKAZATELXSTWA OT PROTIWNOGO, NAPRIMER, DOKAZATELXSTWO IRRACIONALXNOSTI ^ISLA p2 ILI BESKONE^NOSTI MNOVESTWA PROSTYH ^ISEL. eDINSTWENNAQ RAZNICA SOSTO-

IT W TOM, ^TO W PARADOKSE pIGLETA PROTIWORE^IWOSTX USLOWIQ O^EWIDNA SRAZU, A W PARADOKSE rASSELA USLOWIE NE KAVETSQ PROTIWORE^IWYM | HOTQ I QWLQETSQ TAKOWYM! tAKIM OBRAZOM, PARADOKS rASSELA WSEGO LI[X DOKAZYWAET (OT PROTIWNOGO), ^TO NE SU]ESTWUET MNOVESTWA y = fx j x 2= xg WSEH MNOVESTW, NE QWLQ@]IHSQ SOBSTWENNYMI \LEMENTAMI, I, TEM SAMYM, NE DLQ L@BOGO SWOJSTWA P OBQZANO SU]ESTWOWATX MNOVESTWO fx j P (x)g. nO NIKTO IZ SERXEZNYH MATEMATIKOW NIKOGDA I NE UTWERVDAL, ^TO L@BOE SWOJSTWO DOLVNO OPREDELQTX MNOVESTWO, WO WSQKOM SLU^AE, kANTOROWSKOE OPREDELENIE GOWORIT NE^TO SOWER[ENNO DRUGOE! w DEJSTWITELXNOSTI, DLQ L@BOGO SWOJSTWA P IZ DWUH SWOJSTW P I :P NE BOLEE ODNOGO QWLQETSQ KOLLEKTIWIZIRU@]IM. tAKIM OBRAZOM, NE BOLEE ^EM ODNA IZ FORMUL fx j P (x)g I fx j :P (x)g MOVET OPREDELQTX NEKOTOROE MNOVESTWO. pOKA NA^I- NA@]IJ NE W SOSTOQNII SUDITX, KAKAQ IZ \TIH FORMUL IMEET SMYSL, ON DOLVEN POLNOSTX@ IZBEGATX OBOZNA^ENIE fx j P (x)g.

5. tEOREMA kANTORA—rASSELA. tAKIM OBRAZOM, “PARADOKS” rASSELA ESTX W DEJSTWITELXNOSTI NIKAKOJ NE PARADOKS, A TEOREMA, POKAZYWA@]AQ, ^TO NE SU]E- STWUET MNOVESTWA WSEH MNOVESTW. w DEJSTWITELXNOSTI \TOT FAKT BYL IZWESTEN E]E SAMOMU kANTORU I, KONE^NO, NE QWLQETSQ NIKAKIM “PARADOKSOM” (bURBAKI [bU] I NE NAZYWAET \TOT FAKT PARADOKSOM).

tEOREMA. nIKAKOE MNOVESTWO NE MOVET SODERVATX WSE MNOVESTWA W KA^E- STWE \LEMENTOW.

dOKAZATELXSTWO. dOPUSTIM, ^TO SU]ESTWUET MNOVESTWO WSEH MNOVESTW x. tOGDA PO AKSIOME ZF60 SU]ESTWUET MNOVESTWO y = fz 2 x j z 2= zg, I, KAK MY TOLXKO ^TO WIDELI, y 2 y W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA y 2= y, TAK ^TO y, A WMESTE S TEM I x NE SU]ESTWUET.

6. sU]ESTWOWANIE BOGA. w DEJSTWITELXNOSTI PARADOKS POLNOSTX@ ANALOGI^NYJ PARADOKSU rASSELA — I RE[A@]IJSQ TAKIM VE OBRAZOM — [IROKO OBSUVDALSQ SREDNEWEKOWYMI SOFISTAMI.

pARADOKS WSEMOGU]ESTWA. dOPUSTIM, BOG WSEMOGU]. mOVET LI ON SOZDATX KAMENX, KOTORYJ ON NE MOVET PODNQTX?

rAZUMEETSQ, L@BOJ OTWET POKAZYWAET, ^TO BOG NE WSEMOGU] I, ZNA^IT, USLOWIE WSEMOGU]ESTWA BOGA (A, TEM SAMYM, I OPREDELENIE BOGA HRISTIANSKIMI TEOLOGA-

MI, WKL@^A@]EE \TO USLOWIE) QWLQETSQ WNUTRENNE PROTIWORE^IWYM. tEOLOGI WOZRAVALI NA \TO, ^TO BOG NE OBQZAN POD^INQTXSQ ^ELOWE^ESKOJ LOGIKE

tEOLOGI^ESKIJ KOMMENTARIJ. q, KONE^NO, NE ZNAKOM S LITERATUROJ PO WOPROSU, NO OTGOLOSKI \TOJ DISKUSSII OT^ETLIWO SLY[NY NA MNOGIH STRANICAH KNIG rABLE I sTERNA: ‘’Tis above reason, cried the doctors on one side. — ’Tis below reason, cried the others. — ’Tis faith, cried one. — ’Tis a fiddlestick, said the other. — ’Tis possible, cried the one. — ’Tis impossible, said the other. — God’s power is infinite, cried the Nosarians; he can do anything. — He can do nothing, replied the

And the more he looked inside, the more Piglet wasn't there.

A.A.Milne, ‘The house at Pooh corner’

wTORU@ GRUPPU PARADOKSOW rAMSEJ NAZWAL SEMANTI^ESKIMI PARADOKSAMI, \TO PARADOKSY, SWQZANNYE SO SMYSLOM WYSKAZYWANIJ. pO SU]ESTWU WSE ONI OTNOSQTSQ K TOMU QZYKU, NA KOTOROM SFORMULIROWANY I PO\TOMU NAZYWA@TSQ TAKVE

LINGWISTI^ESKIMI PARADOKSAMI.

f.rAMSEJ (1903 — 1930) ZAME^ATELXNYJ ANGLIJSKIJ LOGIK. w GLAWE ? MY OBSUVDAEM TEOREMU rAMSEQ. s MOEJ NEPROSWE]ENNOJ TO^KI ZRENIQ TEOREMA rAMSEQ PREDSTAWLQET SOBOJ ODIN IZ TEH FAKTOW, S KOTORYH NA^INAETSQ NASTOQ]EE MATEMATIKA.

1. pARADOKS LVECA. nAIBOLEE DREWNIJ IZ QZYKOWYH PARADOKSOW — ZNAMENITYJ PARADOKS LVECA, KOTORYJ IZWESTEN W NESKOLXKIH RAZLI^NYH FORMAH.

pARADOKS |WBULIDA. nEKTO PROIZNOSIT SLEDU@]U@ FRAZU: “wYSKAZYWANIE, KOTOROE Q SEJ^AS PROIZNO[U, LOVNO”. |TO WYSKAZYWANIE W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE ISTINNO, KOGDA ONO LOVNO.

pARADOKS |PIMENIDA. “wSE UTWERVDENIQ, SDELANNYE KRITQNAMI, LOVNY”.

sLEDUET IMETX W WIDU, ^TO AWTOR \TOGO WYSKAZYWANIQ, |PIMENID, SAM KRITQNIN, TAK ^TO ESLI \TO WYSKAZYWANIE ISTINNO, TO ONO LOVNO. s DRUGOJ STORONY, ESLI ONO LOVNO, TO \TO OZNA^AET, ^TO NEKIJ KRITQNIN NEKOGDA PROIZNES ISTINNOE UTWERVDENIE. sAMO PO SEBE \TO NE QWLQETSQ LOGI^ESKI NEWOZMOVNYM, NO PREDSTAWLQETSQ DOWOLXNO UDIWITELXNYM, KAK PROIZNESENIE |PIMENIDOM \TOGO LOVNOGO WYSKAZYWANIQ MOVET POWLE^X NEKIJ \MPIRI^ESKIJ FAKT, A IMENNO, SU]ESTWOWANIE KRITQNINA, KOTORYJ NE LVET.

|TI PARADOKSY PROIZWELI GROMADNOE WPE^ATLENIE NA GREKOW, SOGLASNO LEGENDE ONI PRIWELI K SAMOUBIJSTWU fILITA kOSSKOGO. iDEQ \TIH PARADOKSOW POLOVENA W OSNOWU DOKAZATELXSTWA TEOREMY gEDELQ O NEPOLNOTE. pARADOKSU |WBULIDA MOVNO PRIDATX I SLEDU@]U@ BOLEE DRAMATI^ESKU@ FORMU, TOVE IZWESTNU@ S DREWNOSTI.

dILEMMA* KROKODILA. kROKODIL UKRAL REBENKA I OBE]AL WERNUTX EGO OTCU, ESLI TOT OTGADAET, WERNET LI EMU KROKODIL REBENKA. kAK DOLVEN POSTUPITX KROKODIL, ESLI OTEC SKAVET, ^TO KROKODIL NE WERNET REBENKA?

*dILEMMA — WYBOR IZ DWUH WZAIMOISKL@^A@]IH WOZMOVNOSTEJ. pRIMERNO TO VE SAMOE, ^TO ALXTERNATIWA, NO c OBERTONAMI. dILEMMA PODRAZUMEWAET NEWOZMOVNOSTX, NASILXSTWENNOSTX ILI ZATRUDNENNOSTX WYBORA: OBE WOZMOVNOSTI PREDSTAWLQ@TSQ ODINAKOWO NEPRIQTNYMI, PUGA@]IMI ILI ZLOWE]IMI. wEN.eROFEEW ILL@STRIRUET PONQTIE DILEMMY SLEDU@]IMI PRIMERAMI: “dILEMMA: LEVATX–NO^EWATX W BOLOTE S LQGU[KAMI ILI W KRAPIWE”, “iDE[X NAPRAWO — DURX NAHODIT, NALEWO — bREVNEW GOWORIT”; “pRQMO POJDE[X — VITX NE BUDE[X, NALEWO POJDE[X — VIZNX POTERQ- E[X, WPRAWO POJDE[X — UMRE[X, NAZAD POJDE[X — OKOLEE[X”.

eSLI wY PONQLI MEHANIZM \TIH PARADOKSOW, TO wAM NI^EGO NE STOIT RE[ITX SLEDU@]U@ ZADA^U.

zADA^A: mISSIONER I L@DOEDY. l@DOEDY RE[ILI, ^TO MISSIONER NADOEL IM SWOIMI PROPOWEDQMI I DAWNO PORA ISPOLXZOWATX EGO PO PRQMOMU NAZNA^ENI@. oDNAKO, POSKOLXKU ONI UVE PRONIKLISX DUHOM HRISTIANSKOGO MILOSERDIQ, ONI RAZRE[A@T MISSIONERU PROIZNESTI KAKOE-NIBUDX WYSKAZYWANIE S TEM USLOWIEM, ^TO ESLI WYSKAZYWANIE OKAVETSQ ISTINNYM, EGO SWARQT, A ESLI LOVNYM — ZAVARQT. ~TO DOLVEN SKAZATX MISSIONER?

o^ENX POHOVAQ ZADA^A SODERVITSQ W “pRIKL@^ENIQH HITROUMNOGO IDALXGO DON kIHOTA IZ LA mAN^I”, ~ASTX 2, gLAWA 51. |TA ZADA^A PO-SU]ESTWU \KWIWALENTNA PREDYDU]EJ, NO L@DOEDY NAZYWA@TSQ W NEJ PO-ISPANSKI ^INOWNIKAMI.

zADA^A sAN^O pANSY. wOT, ^TO GOWORITSQ W TEKSTE: Se˜nor, un caudaloso r´ıo divid´ıa dos t´erminos de un mismo se˜nor´ıo. Y est´ vuestra merced atento, porque el caso es de importancia y algo dificultoso. Digo, pues, que sobre este r´ıo estaba un puente, y al cabo de ´el, una horca y una como casa de audiencia, en la cual, de ordinario, hab´ıa cuatro jueces que juzgaban la ley que puso el due˜no del r´ıo, del puente y del se˜nor´ıo, que era en esta forma: “Si alguno pasare por esta puente de una parte a otra, ha de jurar primero ad´onde y a qu´e va; y si jurare verdad, d´ejenlo pasar, y si dijere mentira, muera por ello ahorcado en la horca que all´ı se muestra, sin remisi´on alguna.” : : :

Sucedi´o, pues, que tomando juramento a un hombre, jur´o y dijo que para el juramento que hac´ıa, que iba a morir en aquella horca que all´ı estaba, y no a otra cosa.*

oTSTUPLENIE: ISTORIQ PARADOKSA LVECA. gERMAN wEJLX DAET SLEDU@]EE WDOHNOWENNOE OPISANIE ISTORII \TIH PARADOKSOW: “sOKRATI^ESKIE FILOSOFY MEGARSKOJ [KOLY — |WKLID, |WBULID I DRUGIE — UPIWALISX PARADOKSAMI \TOGO SORTA, PRINADLEVAW[IMI, O^EWIDNO, K DRUGOMU SORTU UTWERVDENIJ, ^EM PARADOKSY DWIVENIQ \LEATOW, SFORMULIROWANNYE zENONOM. aRISTOTELX POSWQ]AET IM CELU@ KNIGU “De Sophisticis Elenchis”, INTENSIWNO ZANIMAETSQ IMI STOIK hRISIPP. wO WREMENA rIMSKOJ IMPERII ONI OBRAZOWYWALI SOSTAWNU@ ^ASTX [KOLXNOGO KURSA DIALEKTIKI. sREDNEWEKOWOE SHOLASTI^ESKOE RAZWITIE DOSTIGAET KULXMINACII U pAWLA wENETUSA, UMER[EGO W 1428 GODU : : : tIPI^NYM DLQ OTNO[ENIQ BOLEE SOWREMENNYH FILOSOFOW QWLQETSQ PREZRITELXNOE ZAME^ANIE k.pRANDTLQ W EGO KLASSI-

^ESKOJ “iSTORII LOGIKI NA zAPADE”: “Lappalien, wie die Mehrzeit der Fangschl¨usse sind, wird die wahre Logik uberhaupt¨ nicht ber¨ucksichtigt” ”.

2. pARADOKSY SAMOPRIMENIMOSTI. e]E ODNA GRUPPA REFLEKSIWNYH PARADOKSOW BYLA PRIDUMANA W NA^ALE XX WEKA W PERIOD DISKUSSII OB OSNOWANIQH MATEMATIKI. sLEDU@]IJ PARADOKS BYL ZAME^EN k.gRELLINGOM I l.nELXSONOM W 1908 GODU, PRI^EM SAMI ONI S^ITALI EGO PROSTO WARIACIEJ NA TEMU rASSELA.

*wOLXNYJ RUSSKIJ PERESKAZ: nEKOE POMESTXE RAZDELQETSQ NA DWE POLOWINY REKOJ, ^EREZ KOTORU@ PEREBRO[EN MOST, RQDOM S KOTORYM STOIT WISELICA. pOD \TOJ WISELICEJ ^ETYRE ^INOWNIKA T]ATELXNO SLEDQT ZA SOBL@DENIEM ZAKONA, SOGLASNO KOTOROMU WSQKIJ, PROHODQ]IJ PO MOSTU ^EREZ REKU, DOLVEN POD PRISQGOJ OB_QWITX, KUDA I ZA^EM ON IDET. pRI \TOM TEH, KTO GOWORIT PRAWDU, SLEDUET BESPREPQTSTWENNO PROPUSKATX, A TEH, KTO SOLVET, TUT VE OTPRAWLQTX NA STOQ]U@ RQDOM WISELICU. ~TO SLEDUET SDELATX S ^ELOWEKOM, KOTORYJ POD PRISQGOJ ZAQWIL, ^TO PRI[EL ZATEM, ^TOBY EGO WZDERNULI NA \TU SAMU@ WISELICU I NI ZA ^EM DRUGIM?

GLUBOKOE OB_QSNENIE. a IMENNO, ON UKAZAL, ^TO NET NIKAKIH OSNOWANIJ POLAGATX, ^TO BESKONE^NOE PODMNOVESTWO S^ETNOGO MNOVESTWA SAMO S^ETNO: MNOVESTWO WSEH FRAZ S^ETNO, NO \TO E]E SOWER[ENNO NE ZNA^IT, ^TO I MNOVESTWO TEH IZ NIH, KOTORYE DEJSTWITELXNO OPREDELQ@T KAKU@-TO ARIFMETI^ESKU@ FUNKCI@, TOVE S^ETNO. kAK MY UZNAEM W GLAWE 4, \TO MOVNO DOKAZATX TOLXKO ISPOLXZUQ AKSIOMU WYBORA. tEM SAMYM, FUNKCII, KOTORYE MOVNO OPISATX KONE^NOJ FRAZOJ, WOOB]E NEWOZMOVNO ZANUMEROWATX.

tRADICIONNYE OB_QSNENIQ SEMANTI^ESKIH PARADOKSOW. sOGLASNO MNENI@ rAMSEQ, W FORMULIROWKI SEMANTI^ESKIH PARADOKSOW WHODQT PONQTIQ, NE PRINADLEVA]IE MATEMATIKE I LOGIKE, NAPRIMER, PONQTIE ISTINNOSTI, PO\TOMU IH WOOB]E NEZA^EM RASSMATRIWATX. rASSEL S^ITAL, ^TO PRI^INOJ WOZNIKNOWENIQ WSEH PERE- ^ISLENNYH WY[E PARADOKSOW QWLQETSQ SAMOPRIMENIMOSTX (self-reference), INYMI SLOWAMI, WSE \TI PARADOKSY QWLQ@TSQ REFLEKSIWNYMI. w TEORII TIPOW, PREDLOVENNOJ IM I uAJTHEDOM W KA^ESTWE OSNOWANIQ MATEMATIKI, WWEDEN SPECIALXNYJ MEHANIZM, POZWOLQ@]IJ IZBEVATX SAMOPRIMENIMOSTX. oDNAKO W MATEMATIKE BYLO BY NEVELATELXNO SOWSEM OTKAZYWATXSQ OT KONSTRUKCIJ, ISPOLXZU@]IH SAMOPRIMENIMOSTX.

3. oB_QSNENIE SEMANTI^ESKIH PARADOKSOW. lEGKO WIDETX, ^TO W DEJSTWITELX-

NOSTI I WSE \TI PARADOKSY NE SODERVAT W SEBE NI^EGO PARADOKSALXNOGO, A WOZNIKA@T W REZULXTATE PRISU]EGO ESTESTWENNOMU QZYKU SME[ENIQ PONQTIJ. sFORMULIRUEM E]E ODIN PARADOKS, W KOTOROM NIKAKOJ SAMOPRIMENIMOSTI NET, TAK ^TO MEHANIZM WOZNIKNOWENIQ SEMANTI^ESKIH PARADOKSOW STANOWITSQ BOLEE QWNYM.

pARADOKS vIHARQ. rASSMOTRIM DWA WYSKAZYWANIQ. “vIHARX SWETLOWOLOS I GOLUBOGLAZ” I “vIHARX — MUVSKOE IMQ IZ [ESTI BUKW”. iZ NIH S O^EWIDNOSTX@ SLEDUET, ^TO SU]ESTWUET SWETLOWOLOSOE I GOLUBOGLAZOE MUVSKOE IMQ IZ [ESTI BUKW.

nO WEDX ZDESX SPUTANY DWA ZNA^ENIQ SLOWA ‘vIHARX’ — W PERWOM IZ NIH RE^X IDET O KONKRETNOM BOGATYRE PO IMENI vIHARX, A WO WTOROM — OB IMENI ‘vIHARX’ KAK TAKOWOM. wOT IMENNO! rOWNO TO VE SAMOE PROISHODIT WO WSEH SEMANTI^ESKIH PARADOKSAH. w NIH ODNO I TO VE SLOWO PONIMAETSQ W DWUH RAZNYH SMYSLAH: KAK IMQ NEKOTOROGO OB_EKTA I KAK IMQ IMENI \TOGO OB_EKTA. dEJSTWITELXNO, W ESTESTWENNYH QZYKAH NET MEHANIZMA, POZWOLQ@]EGO RAZLI^ATX UROWNI WYSKAZYWANIJ, NAPRIMER, OTLI^ATX WYSKAZYWANIQ O REALXNOSTI OT WYSKAZYWANIJ O QZYKE, KOTORYM MY OPISYWAEM \TU REALXNOSTX, A IH W SWO@ O^EREDX OT WYSKAZYWANIJ O QZYKE, KOTORYM MY OPISYWAEM \TOT QZYK I TAK DALEE.

pREDMETNYJ QZYK, METAQZYK, ARGO. ~ETKOE RAZLI^IE MEVDU PREDMETNYM QZYKOM, KOTORYM MY OPISYWAEM NETORYJ KRUG QWLENIJ, METAQZYKOM, KOTORYM MY OPISYWAEM \TOT PREDMETNYJ QZYK, METAMETAQZYKOM, KOTORYM MY OPISYWAEM \TOT METAQZYK, I TAK DALEE, MOMENTALXNO USTRANQET WSE QZYKOWYE PARADOKSY. nAPRIMER, W PARADOKSE gRELLINGA POME]ENNOE W KAWY^KI SLOWO ‘GETEROLOGI^NYJ’ OTNOSITSQ K QZYKU, OPISYWA@]EMU QZYK, OPISYWA@]IJ REALXNOSTX, A NE POME]ENNOE W KAWY^KI — K QZYKU, OPISYWA@]EMU QZYK, OPISYWA@]EMU QZYK, OPISYWA@]IJ REALXNOSTX. oDNAKO POSLEDOWATELXNOE PROWEDENIE PODOBNYH RAZLI^ENIJ NE WSEGDA UDOBNO I, PO\TOMU, W PROTIWOPOLOVNOSTX LOGIKAM, RABOTA@]IE MATEMATIKI REDKO STROGO EGO PRIDERVIWA@TSQ, A POLXZU@TSQ OB]EPRINQTYM ARGO (TERMIN `RIQ iWANOWI^A mANINA IZ [Ma]) I POLAGA@TSQ NA ZDRAWYJ SMYSL.

x 9. e]E ODIN REFLEKSIWNYJ PARADOKS

A new paradox o ers the opportunity to recapture the sense of confusion and uncertainty that faced mathematicians in the early part of the twentieth century.

W.S.Zwicker61

—pARDON! — OTOZWALSQ fAGOT, — Q IZWINQ@SX, ZDESX RAZOBLA^ATX NE^EGO, WSE QSNO.

—nET, WINOWAT! rAZOBLA^ENIE SOWER[ENNO NEOBHODIMO. bEZ \TOGO WA[I BLESTQ]IE NOMERA OSTAWQT TQGOSTNOE WPE^ATLENIE. zRITELXSKAQ MASSA TREBUET OB_QSNENIQ.

mIHAIL bULGAKOW, ‘mASTER I mARGARITA’

rAWENSTWO, BRAT, ISKL@^AET BRATSTWO, s \TIM SLEDUET RAZOBRATXSQ.

iOSIF bRODSKIJ

nIKAKIH FILOSOFSKIH PROBLEM NET, ESTX TOLXKO ANFILADA LINGWISTI^ESKIH TUPIKOW.

wIKTOR pELEWIN, nASTOLXNAQ KNIGA OBOROTNQ

And the more he looked inside, the more Piglet wasn't there.

A.A.Milne, ‘The house at Pooh corner’

zA PRO[ED[IE 100 S LI[NIM LET OPISANNYE W DWUH PREDYDU]IH PARAGRAFAH PARADOKSY PORQDKOM PODRASTERQLI SWO@ PARADOKSALXNOSTX I WOSPRINIMA@TSQ SEGODNQ[NIMI MATEMATIKAMI KAK OB]IE MESTA, PRIWY^NYE BANALXNOSTI, PRIGODNYE TOLXKO DLQ RAZWLE^ENIQ DETEJ, NARODNYH MASS I FILOSOFOW. oDNAKO NET NI^E- GO TAKOGO, ^TO NELXZQ BYLO BY NAZWATX DRUGIM IMENEM. wOT BOLEE SWEVIJ PARADOKS, KOTORYJ POZWOLIT DAVE PROFESSIONALU SEKUND NA 30 O]UTITX TU RASTERQNNOSTX, KOTORAQ OHWATILA MATEMATI^ESKIJ MIR W NA^ALE XX WEKA62;63;30.

1. pARADOKS GIPERIGRY. rASSMOTRIM DETERMINIROWANNU@ PO[AGOWU@ ANTAGONISTI^ESKU@ IGRU DWUH LIC S POLNOJ INFORMACIEJ G. |TO ZNA^IT, ^TO W \TU IGRU IGRA@T DWA IGROKA A I B, KOTORYE PO O^EREDI DELA@T HODY, PRI^EM A HODIT PERWYM. kAVDYJ IZ NIH ZNAET WSE HODY DRUGOGO. w IGRE G NET NIKAKOGO MESTA SLU^A@ (TIPA WYBRASYWANIQ KOSTEJ I T.D.). w IGRE G NEWOZMOVNA NI^XQ: KOGDA

61W.S.Zwicker, Playing games with games: the hypergame paradox. — Amer. Math. Monthly, 1987, June-July, p.507–514.

62R.Smullyan, 5000 B.C. and other philosophical fantasies. — St. Martin’s Press, N.Y., 1983, pages 40–41.

63M.Gardner, Puzzles from other worlds: fantastical brainteasers from Isaac Asimov’s science fiction magazine. — Randam House, N.Y., 1984, pages 60–61, 163.