vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

PUTUNHUA WSTRE^A@TSQ LI[X OKOLO 1200, KOTORYE I SOSTAWLQ@T POLNYJ FONETI^E- SKIJ SOSTAW KITAJSKOGO QZYKA. s \TIM SWQZANA GROMADNAQ SINONIMIQ I SERXEZNYE TRUDNOSTI W WOSPRIQTII KITAJSKOGO QZYKA NA SLUH, KOTORYE ISPYTYWA@T NE TOLXKO INOSTRANCY, NO DAVE SAMI KITAJCY, W OSOBENNOSTI UROVENCY `GA, DLQ KOTORYH PUTUNHUA NE QWLQETSQ RODNYM.

²~ETYREHBUKWENNYE SLOWA. fIKSIRUEM ALFAWIT X. tOGDA MNOVESTWO

Wl(X) WSEH SLOW DLINY l W ALFAWITE X MOVNO OTOVDESTWITX S l-J DEKARTOWOJ STEPNX@ Xl \TOGO ALFAWITA. dLQ WYRAVENIQ NESLOVNYH MYSLEJ OBY^NO UDAETSQ OBHODITXSQ NEBOLX[IMI PODMNOVESTWAMI \TIH MNOVESTW. nAPRIMER, OSNOWNOJ

SLOWARNYJ ZAPAS (Grundwortschatz) GEROEW BOLX[INSTWA AMERIKANSKIH FILXMOW OBRAZUET PODMNOVESTWO W Lat4, IZWESTNOE W PROSTORE^II KAK four-letter words.

²pARADIGMY. nAPOMNIM, ^TO PARADIGMOJ NAZYWAETSQ TABLICA FLEKTIWNYH FORM SLOWA W INDOEWROPEJSKIH I SEMITSKIH QZYKAH. nAPRIMER, W INDOEWROPEJSKIH QZYKAH PARADIGMA GLAGOLA OPREDELQETSQ PROIZWEDENIEM LICA Pers, ^ISLA Num, WREMENI Temp, NAKLONENIQ Modus, ZALOGA Vox I T.D. ~TO POLU^AETSQ W REZULXTATE, ZNAET KAVDYJ, KTO U^ILSQ W KLASSI^ESKOJ GIMNAZII I PYTALSQ PROSPRQGATX KAKOJNIBUDX PROSTENXKIJ GRE^ESKIJ GLAGOL.

²gARNITURY. rANX[E TIPOGRAFSKOE DELO BYLO WOT^INOJ PROFESSIONALOW, NO TEPERX, W SWQZI S RASPROSTRANENIEM KOMPX@TERNYH TIPOGRAFSKIH SISTEM, STALO WSEOB]IM DOSTOQNIEM. gARNITUROJ NAZYWAETSQ MNOVESTWO TIPOGRAFSKIH [RIFTOW ODINAKOWYH PO HARAKTERU RISUNKA, NO RAZLI^NYH NA^ERTANIJ I KEGLEJ. {RIF- TOM NAZYWAETSQ MNOVESTWO LITER, S BUKWAMI ALFAWITA I WSEMI OTNOSQ]IMISQ K NEMU ZNAKAMI I CIFRAMI. nA^ERTANIE [RIFTA OPREDELQETSQ EGO NAKLONOM (PRQMOJ, KURSIW, NAKLONNYJ), [IRINOJ (UZKIJ, NORMALXNYJ, [IROKIJ), NASY]ENNO-

STX@ (SWETLYJ, POLUVIRNYJ, VIRNYJ), PROPORCIONALXNOSTX@ I T.D. kEGLEM NA-

ZYWAETSQ RAZMER [RIFTA, IZMERQEMYJ W TIPOGRAFSKIH PUNKTAH (SOKRA]ENNO pt). nAIBOLEE UPOTREBITELXNY [RIFTY NA SLEDU@]IE KEGLI: BRILLIANT (3pt), DIAMANT (4pt), PERLX (5pt), NONPARELX (6pt), MINXON (7pt), PETIT (8pt), BORGES (9pt), KORPUS (10pt) I CICERO (12pt). w GAZETAH, PLAKATAH I T.D. ISPOLXZU@TSQ BOLEE KRUPNYE [RIFTY: TERCIQ (16pt), TEKST (20pt), MITTELX (24pt), MALYJ KANON (36pt) I BOLX[OJ KANON (48pt).

rASSMOTRIM TEPERX KAKU@-LIBO KONKRETNU@ GARNITURU, DLQ OPREDELENNOSTI GARNITURU CyrTimes, KOTOROJ NABRAN OSNOWNOJ (RUSSKIJ!) TEKcT NASTOQ]EJ KNIGI. pRI \TOM, KAK OBY^NO, WOZNIKA@T

±DWA REGISTRA Case=fUpper,Lowerg;

±PQTX RAZLI^NYH NA^ERTANIJ Type=fnrm,nit,nbf,ntt,nsmcg;

±TRI KEGLQ Size=f8pt,10pt,12ptg.

tAKIM OBRAZOM, W PERWOM PRIBLIVENII ISPOLXZOWANNU@ PRI NABORE NASTOQ]EGO TEKSTA GARNITURU CyrTimes MOVNO PREDSTAWLQTX SEBE KAK PROIZWEDENIE

CyrTimes = Cyr £ Case £ Type £ Size.

rAZUMEETSQ, PRI \TOM RUSSKIJ ALFAWIT Cyr NUVNO PONIMATX NE TAK, KAK ON OPREDELEN W gLAWE I, TAK KAK W NEGO DOLVNY TEPERX WHODITX CIFRY, ZNAKI PREPINANIQ I T.D. nE WSE \LEMENTY \TOGO MNOVESTWA FAKTI^ESKI RAZLI^A@TSQ KAK LITERY I DALEKO NE WSE ONI BYLI FAKTI^ESKI ISPOLXZOWANY. kROME TOGO, DLQ NABORA FRAGMENTOW NA ZAPADNYH QZYKAH ISPOLXZOWANO ANALOGI^NOE MNOVESTWO, OSNOWANNOE NA

Lat WMESTO Cyr. wSE \TO, KONE^NO, NE OTNOSITSQ K NABORU FORMUL, GDE ISPOLXZOWANY NESKOLXKO DOPOLNITELXNYH KEGLEJ, DRUGIE ALFAWITY (Greek I IWRITSKAQ BUKWA ‘ALEF’), DOPOLNITELXNYE NA^ERTANIQ (FRAKTURA nfrak, RUKOPISNYJ nCal, AVURNYJ nBbb, etc.), BOLX[OE KOLI^ESTWO DOPOLNITELXNYH ZNAKOW I T.D.

x 7. tOVDESTWA, SWQZYWA@]IE PROIZWEDENIE S BULEWYMI OPERACIQMI

w \TOM PARAGRAFE MY RASSMOTRIM POWEDENIE PRQMOGO PROIZWEDENIQ OTNOSITELXNO BULEWYH OPERACIJ. wSE FIGURIRU@]IE W \TOM PARAGRAFE TOVDESTWA WERNY I W NAIWNOM SMYSLE, ESLI, KONE^NO, WSE WHODQ]IE W NIH PRQMYE PROIZWEDENIQ INTERPRETIRU@TSQ ODINAKOWYM OBRAZOM, I W KATEGORNOM SMYSLE, KAK KANONI^ESKIE IZOMORFIZMY.

1. dISTRIBUTIWNOSTX PROIZWEDENIQ OTNOSITELXNO BULEWYH OPERACIJ. pROIZWEDENIE MNOVESTW DISTRIBUTIWNO OTNOSITELXNO BULEWYH OPERACIJ:

CWOJSTWO DISTRIBUTIWNOSTI PO OTNO[ENI@ K PERESE^ENI@ MNOVESTW NE TAK INTERESNO, POTOMU ^TO W DEJSTWITELXNOSTI DLQ PRQMOGO PROIZWEDENIQ I PERESE^ENIQ WYPOLNQETSQ ZNA^ITELXNO BOLEE SILXNOE TOV-

DESTWO WZAIMNOJ DISTRIBUTIWNOSTI.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO DLQ L@BYH ^ETYREH MNOVESTW X; Y; Z; W IMEET MESTO RAWENSTWO

(X \ Y ) £ (Z \ W ) = (X £ Z) \ (Y £ W ) = (X £ W ) \ (Y £ Z):

rE[ENIE. dOKAVEM, NAPRIMER, PERWOE IZ \TIH RAWENSTW, RAWENSTWO PERWOGO ^LENA TRETXEMU PROWERQETSQ SOWER[ENNO ANALOGI^NO. sOWER- [ENNO QSNO, ^TO (X \Y )£(Z \W ) µ (X £Z); (Y £W ), PO\TOMU PERWYJ ^LEN SODERVITSQ WO WTOROM. oBRATNO, PUSTX (x; y) 2 (X £Z)\(Y £W ). tOGDA, TAK KAK (x; y) 2 (X £ Z), TO x 2 X I y 2 Z, A TAK KAK (x; y) 2 (Y £ W ), TO x 2 Y I y 2 W . nO \TO I ZNA^IT, ^TO x 2 X \ Y I y 2 Z \W , TAK ^TO I WTOROJ ^LEN W SWO@ O^EREDX SODERVITSQ W PERWOM.

zADA^A. nARISUJTE DWUMERNU@ KARTINKU, IZOBRAVA@]U@ \TO TOVDESTWO.

iZ TOJ VE KARTINKI SOWER[ENNO QSNO, ^TO DLQ OB_EDINENIJ NI^EGO PODOBNOGO NE IMEET MESTA! wOOB]E GOWORQ, DISTRIBUTIWNOSTX PROIZWEDENIQ OTNOSITELXNO OB_EDINENIQ DAET LI[X

(X [ Y ) £ (Z [ W ) = (X £ Z) [ (Y £ W ) [ (X £ W ) [ (Y £ Z):

zADA^A. wERNO LI, ^TO

(X [ Y ) £ (Z [ W ) = (X £ (Z [ W )) [ ((X [ Y ) £ W ) [ (Y £ Z)?

~EMU PRI \TOM RAWNO (X £ (Z [ W )) \ ((X [ Y ) £ W )? zADA^A. wERNO LI, ^TO

X £ Y n Z £ W = (X n Z) £ Y [ X £ (Y n W )?

wSE SODERVANIE NASTOQ]EGO PARAGRAFA LEGKO OBOB]AETSQ NA BESKONE^NOMESTNYE BULEWY OPERACII. a IMENNO, PRQMOE PROIZWEDENIE DISTRIBUTIWNO OTNOSITELXNO OB_EDINENIJ I PERESE^ENIJ PROIZWOLXNYH SEMEJSTW:

x 8. dIAGRAMMY MNOVESTW I OTOBRAVENIJ

mY BUDEM O^ENX ^ASTO POLXZOWATXSQ DIAGRAMMAMI MNOVESTW I OTOBRAVENIJ. fORMALXNOE OPREDELENIE DIAGRAMM W OB]EM SLU^AE TREBUET WWEDENIQ PONQTIJ ORIENTIROWANNOGO GRAFA I FUNKTORA, KOTORYE RASSMATRIWA@TSQ LI[X W ^ASTQH II I III, SOOTWETSTWENNO. pO\TOMU POKA MY OGRANI^IMSQ LI[X NESKOLXKIMI PRIMERAMI, DOSTATO^NYMI DLQ NA- [IH BLIVAJ[IH CELEJ. wPRO^EM, TE SOGLA[ENIQ, KOTORYE MY WWEDEM SEJ^AS, BUDUT BEZ WSQKIH IZMENENIJ ISPOLXZOWATXSQ W OB]EM SLU^AE, DLQ DIAGRAMM, SOSTOQ]IH IZ OB_EKTOW I MORFIZMOW PROIZWOLXNOJ KATEGORII.

OTOBRAVENIQ IZ A W D, OPREDELENNYE \TIM KWADRATOM, SOWPADA@T, T.E.

° ± ® = ± ± ¯.

dRUGOJ TIP KOMMUTATIWNYH KWADRATOW POLU^AETSQ, ESLI INA^E ORIENTIROWATX ZDESX STRELKI. a IMENNO, KOMMUTATIWNOSTX KWADRATA

®

A ¡¡¡¡! B

C ¡¡¡¡! D

±

OZNA^AET, ^TO ± = ° ± ® ± ¯.

x 9. pRQMOE PROIZWEDENIE MNOVESTW: PROEKCII

w DEJSTWITELXNOSTI PRQMOE PROIZWEDENIE \TO NE PROSTO MNOVESTWO, A MNOVESTWO WMESTE S PROEKCIQMI NA SOMNOVITELI. nO ESLI \TI PROEKCII ZADANY, TO UVE SOWER[ENNO BEZRAZLI^NO, KAK INTERPRETIROWATX \LEMENTY PROIZWEDENIQ.

1. pROEKCII. sOPOSTAWLENIQ (a; b) 7!a I (a; b) 7!b OPREDELQ@T OTOBRAVENIQ (SM. x 2) pr1 : A £ B ¡! A I pr2 : A £ B ¡! B, NAZYWAEMYE, SOOTWETSTWENNO, PROEKCIEJ A £ B NA PERWYJ I NA WTOROJ SOMNOVITELX. tAKIM OBRAZOM, PRAWILXNOE OPREDELENIE PRQMOGO PROIZWEDENIQ SAMO TREBUET PONQTIQ OTOBRAVENIQ I MY WERNEMSQ K NEMU W gLAWE 3 POSLE TOGO, KAK OPREDELIM OTOBRAVENIQ. oDNAKO UVE SEJ^AS POD^ERKNEM, ^TO PRQMOE PROIZWEDENIE DWUH MNOVESTW A I B \TO NE PROSTO NEKOE MNOVESTWO A £ B, A MNOVESTWO A £ B WMESTE S OTOBRAVENIQ-

MI pr1 : A £ B ¡! A, (a; b) 7!a I pr2 : A £ B ¡! B, (a; b) 7!b NAZYWA-

EMYMI (KANONI^ESKIMI) PROEKCIQMI A£B NA PERWYJ I NA WTOROJ SOMNOVITELX, SOOTWETSTWENNO. tO VE SAMOE MNOVESTWO A £ B WMESTE S DRUGOJ PAROJ OTOBRAVENIJ f : A £ B ¡! A, g : A £ B ¡! B MOVET UVE NE BYTX PRQMYM PROIZWEDENIEM MNOVESTW A I B. pRIWEDENNOE WY[E NAIWNOE OPREDELENIE IGNORIRUET \TO KL@^EWOE OBSTOQTELXSTWO.

2. oTLI^IE PRQMOGO PROIZWEDENIQ OT BULEWYH OPERACIJ. w STANDARTNOJ TEORII MNOVESTW PONQTIE PRQMOGO PROIZWEDENIQ QWLQETSQ INSTRUMENTALXNYM DLQ OPREDELENIQ PONQTIJ OTNO[ENIQ I OTOBRAVENIQ. oDNAKO SU]ESTWU@T DRUGIE PODHODY K OBOSNOWANI@ MATEMATIKI (SKAVEM, SISTEMA FON nEJMANA N ILI TEORIQ KATEGORIJ), W KOTORYH PONQTIE OTOBRAVENIQ (NAZYWAEMOGO FUNKCIEJ ILI MORFIZMOM) QWLQETSQ PERWI^NYM. w \TOM SLU^AE NE PONQTIE OTOBRAVENIQ OPREDELQETSQ ^EREZ PONQTIE PRQMOGO PROIZWEDENIQ, A, NAOBOROT, PRQMOE PRO-

IZWEDENIE OPREDELQETSQ ^EREZ OTOBRAVENIQ. w OTLI^IE OT RASSMOTRENNYH W PREDYDU]EM PARAGRAFE BULEWYH OPERACIJ, OPERACIQ PRQMOGO PROIZWEDENIE QWLQETSQ NE TEORETIKO-MNOVESTWENNOJ, A TEORETIKOKATEGORNOJ. rEZULXTAT PRIMENENIQ BULEWYH OPERACIJ OPREDELEN NA SAMOM DELE. w OTLI^IE OT \TOGO PRQMOE PROIZWEDENIE DWUH MNOVESTW OPREDELENO NE EDINSTWENNYM OBRAZOM, A LI[X S TO^NOSTX@ DO KANO-

NI^ESKOGO IZOMORFIZMA.

3.pUZLY. mATEMATI^ESKOE SODERVANIE GOLOWOLOMKI, NAZYWAEMOJ PO-ANGLIJSKI jig-saw puzzle, A PO-RUSSKI PROSTO PUZL*, SOSTOIT W TOM, ^TO PRQMOE PROIZWEDENIE DWUH MNOVESTW RASSMATRIWAETSQ PROSTO KAK MNOVESTWO, BEZ UKAZANIQ KANONI^E- SKIH PROEKCIJ NA SOMNOVITELI, I TREBUETSQ WOSSTANOWITX \TI PROEKCII. |LEMENTY PUZLA NAZYWA@TSQ OBY^NO PISIKAMI (OT ANGLIJSKOGO pieces). dLQ WOSSTANOWLENIQ KANONI^ESKIH PROEKCIJ ISPOLXZUETSQ DOPOLNITELXNAQ INFORMACIQ, SOSTOQ]AQ W TOM, ^TO PUZL W CELOM QWLQETSQ NEKOTOROJ KARTINKOJ, A FORMA PISIKOW STROGO INDIWIDUALXNA (W HORO[O IZGOTOWLENNOM PUZLE NET DWUH ODINAKOWYH PISIKOW, TAK ^TO, W PRINCIPE, EGO MOVNO SOBRATX I BEZ POMO]I KARTINKI, PROSTO PO FORME PISIKOW). kAVDYJ, KTO PYTALSQ SOBRATX PUZL SREDNIH RAZMEROW, SKAVEM, SOSTOQ]IJ IZ 1000 = 40 £ 25 PISIKOW, ZNAET, ^TO DAVE S ISPOLXZOWANIEM \TOJ DOPOLNITELXNOJ INFORMACII WOSSTANOWLENIE KANONI^ESKIH PROEKCIJ QWLQETSQ SOWER[ENNO NETRIWIALXNYM ZANQTIEM. rAZUMEETSQ, POSLE TOGO, KAK PUZL ODNAVDY SOBRAN, A NA TYLXNOJ STORONE KAVDOGO PISIKA UKAZANY NOMERA SOOTWETSTWU@]EJ GORIZONTALI I WERTIKALI, SLEDU@]AQ SBORKA PUZLA NE TREBUET UVE NIKAKIH INTELLEKTUALXNYH USILIJ. sRAWNENIE KOROBKI S PISIKAMI I SOBRANNOJ KARTINKI ILL@STRIRUET RAZLI^IE MEVDU PRQMYM PROIZWEDENIEM KAK MNOVESTWOM I KAK MNOVESTWOM WMESTE S KANONI^ESKIMI PROEKCIQMI I POKAZYWAET, ^TO RAZLOVENIE MNOVESTWA W PRQMOE PROIZWEDENIE ZADAET NA \TOM MNOVESTWE NETRIWIALXNU@ I, W DEJSTWITELXNOSTI, ^REZWY^AJNO SILXNU@ STRUKTURU.

4.kOMMUTATIWNOSTX PRQMOGO PROIZWEDENIQ. w \LEMENTARNYH

U^EBNIKAH OBY^NO GOWORITSQ, ^TO PRQMOE PROIZWEDENIE MNOVESTW NEKOMMUTATIWNO, W TOM SMYSLE, ^TO, WOOB]E GOWORQ, A £ B 6= B £ A.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO ESLI A £ B = B £ A, TO A = B.

rE[ENIE. dEJSTWITELXNO, PREDPOLOVIM, ^TO A 6µB I PUSTX a 2 AnB, A b 2 B. tOGDA (a; b) 2 A£B, NO (a; b) 2= B£A. sOWER[ENNO ANALOGI^NO DOKAZYWAETSQ I ^TO A £ B =6 B £ A I DLQ SLU^AQ B 6µA.

oDNAKO W DEJSTWITELXNOSTI RAWENSTWO MNOVESTW QWLQETSQ ABSO- L@TNO BESSMYSLENNYM PONQTIEM PRI RASSMOTRENII PRQMYH PROIZWEDENIJ, KOTORYE OPREDELENY LI[X S TO^NOSTX@ DO KANONI^ESKIH IZO-

*nABOKOW ISPOLXZUET FRANCUZSKOE ZWU^ANIE PUZELX (S MNOVESTWENNYM ^ISLOM PUZELQ!), A SOWREMENNYJ SNOBIZM PREDPISYWAET PYTATXSQ WOSPROIZWESTI ANGLIJSKOE PAZL. oDNAKO MNE PREDSTAWLQETSQ, ^TO PO-RUSSKI WSEGDA SLEDUET ORIENTIROWATXSQ NA NEMECKOE PROIZNO[ENIE ZAIMSTWOWANIJ IZ ZAPADNYH QZYKOW, TAK KAK PRI \TOM PO ^ISTO FONETI^ESKIM PRI^INAM POLU^A@TSQ ESLI NE NAIBOLEE PRAWDOPODOBNYE, TO, PO KRAJNEJ MERE, NAIBOLEE UZNAWAEMYE REZULXTATY.

MORFIZMOW. a S \TOJ TO^KI ZRENIQ PRQMOE PROIZWEDENIE WPOLNE KOMMUTATIWNO.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO (B £ A; pr2; pr1) QWLQETSQ PRQMYM PROIZWEDENIEM A I B.

rE[ENIE. oPREDELIM OTOBRAVENIE sw : B £ A ¡! A £ B, POLAGAQ sw(b; a) = (a; b). qSNO, ^TO pr2 = pr1 ± sw I pr1 = pr2 ± sw.

tAKIM OBRAZOM, A £ B ¼ B £ A.

x 10. uNIWERSALXNOE SWOJSTWO PRQMOGO PROIZWEDENIQ

w NASTOQ]EM PARAGRAFE MY DADIM PRAWILXNOE OPREDELENIE PRQMOGO PROIZWEDENIQ. pRI \TOM MY PREDPOLAGAEM, ^TO ^ITATELX WLADEET PONQTIQMI KOMPOZICII OTOBRAVENIJ, BIEKCII I OBRATNOGO OTOBRAVENIQ. ~ITATEL@, NE ZNAKOMOMU S \TIMI PONQTIQMI, REKOMENDUETSQ PRI PERWOM ^TENII PROPUSTITX NASTOQ]IJ PARAGRAF.

oPREDELENIE. pRQMYM PROIZWEDENIEM DWUH MNOVESTW A I B NA-

ZYWAETSQ MNOVESTWO A£B WMESTE S OTOBRAVENIQMI pr1 : A£B ¡!

A I pr2 : A £ B ¡! B, NAZYWAEMYMI KANONI^ESKIMI PROEKCIQMI

A £ B NA PERWYJ I WTOROJ MNOVITELX, UDOWLETWORQ@]EE SLEDU@]E- MU UNIWERSALXNOMU SWOJSTWU. dLQ L@BOGO MNOVESTWA C I L@BYH OTOBRAVENIJ f : C ¡! A I g : C ¡! B

SU]ESTWUET EDINSTWENNOE OTOBRAVENIE (f; g) : C ¡! A £ B TAKOE,

^TO f = pr1 ±(f; g) I g = pr2 ±(f; g).

iNOGDA, ESLI NUVNO QWNO UKAZATX PROEKCII, PI[UT (A£B; pr1; pr2). w ^ASTNOSTI, ESLI W \TOM OPREDELENII WZQTX f = pr1 I g = pr2, TO, O^E- WIDNO, id = idA£B UDOWLETWORQET RAWENSTWU pri = pri ± id, i = 1; 2, PRI^EM, SOGLASNO UNIWERSALXNOMU SWOJSTWU id QWLQETSQ EDINSTWENNYM OTOBRAVENIEM IZ A £ B W SEBQ, OBLADA@]IM \TIM SWOJSTWOM.

zADA^A. uBEDITESX, ^TO (pr1; pr2) = idA£B.

2. kONSTRUKCIQ PRQMOGO PROIZWEDENIQ. pOKAVEM, ^TO NAIWNOE PRQMOE PROIZWEDENIE, O KOTOROM [LA RE^X W x 2, WMESTE S PROEKCIQMI pr1 I pr2, OPREDELENNYMI POSREDSTWOM (a; b) 7!a I (a; b) 7!b, DEJSTWITELXNO OBLADAET UNIWERSALXNYM SWOJSTWOM. dEJSTWITELXNO, PUSTX

f : C ¡! A I g : C ¡! B — DWA PROIZWOLXNYH OTOBRAVENIQ. oPREDELIM f £g : C ¡! A£B, POLAGAQ (f £g)(a; b) = (f(a); g(b)). dLQ L@BOGO c 2 C WYPOLNQ@TSQ RAWENSTWA pr1 ±(f £ g)(S) = pr1(f(c); g(c)) = A(S)

I pr2 ±(f £ g)(c) = pr2(f(c); g(c)) = g(c). o^EWIDNO, ^TO f £ g QWLQ-

ETSQ EDINSTWENNYM OTOBRAVENIEM S TAKIM SWOJSTWOM. w SAMOM DELE, PUSTX h : C ¡! A £ B DRUGOE OTOBRAVENIE, DA@]EE W KOMPOZICII S PERWOJ I WTOROJ PROEKCIQMI f I g, SOOTWETSTWENNO. l@BOE OTOBRAVENIE h : C ¡! A £ B SOPOSTAWLQET \LEMENTU c 2 C PARU (h1(c); h2(c)), h1(c) 2 A, h2(c) 2 B. uSLOWIE NA h OZNA^AET TEPERX W TO^NOSTI, ^TO h1(c) = f(c) I h2(c) = g(c). tAKIM OBRAZOM, NAIWNOE OPREDELENIE IZ x 1 QWLQETSQ W DEJSTWITELXNOSTI NE OPREDELENIEM, A KONSTRUKCIEJ PRQMOGO PROIZWEDENIQ. mOVNO PRIDUMATX MNOGO DRUGIH KONSTRUKCIJ PRQMOGO PROIZWEDENIQ, W TOM ^ISLE I NE OBRA]A@]IHSQ K PONQTI@ UPORQDO^ENNYH PAR.

3. kANONI^ESKIJ IZOMORFIZM PRQMYH PROIZWEDENIJ. sEJ^AS MY POKAVEM, ^TO UNIWERSALXNOE SWOJSTWO ODNOZNA^NO OPREDELQET PRQMOE PROIZWEDENIE MNOVESTW, S TO^NOSTX@ DO EDINSTWENNOJ BIEKCII, KOMMUTIRU@]EJ S KANONI^ESKIMI PROEKCIQMI.

tEOREMA. pUSTX C I D — DWA PRQMYH PROIZWEDENIQ MNOVESTW A I B, S KANONI^ESKIMI PROEKCIQMI ¼1 : C ¡! A, ¼2 : C ¡! B I ½1 : D ¡! A, ½2 : D ¡! B. tOGDA SU]ESTWUET EDINSTWENNAQ BIEKCIQ Á : C ¡! D TAKAQ, ^TO ¼i = ½i ± Á.

dOKAZATELXSTWO. iTAK, PUSTX TEPERX ZADANY DWA PRQMYH PROIZWEDENIQ C I D MNOVESTW A I B. tOGDA SOGLASNO UNIWERSALXNOMU SWOJSTWU C SU]ESTWUET EDINSTWENNOE OTOBRAVENIE Á : C ¡! D I TAKOE, ^TO ¼i = ½i ± Á. sOWER[ENNO ANALOGI^NO, SOGLASNO UNIWERSALXNOMU SWOJSTWU D SU]ESTWUET EDINSTWENNOE OTOBRAVENIE à : D ¡! C I TAKOE, ^TO ½i = ¼i ± Ã. tAKIM OBRAZOM, à ± Á : C ¡! C OBLADAET TEM SWOJSTWOM, ^TO ¼i = ¼i ±(à ±Á) I, W SILU UNIWERSALXNOGO SWOJSTWA C IMEEM à ± Á = id. tO^NO TAK VE IZ UNIWERSALXNOGO SWOJSTWA D WYTEKAET, ^TO Á ± à = id. |TO I OZNA^AET, ^TO Á I à QWLQ@TSQ WZAIMNO OBRATNYMI BIEKCIQMI.

pOSTROENNYE W TEOREME BIEKCII KOMMUTIRU@]IE S PROEKCIQMI, NA-

ZYWA@TSQ (KANONI^ESKIMI) IZOMORFIZMAMI C I D. pOSKOLXKU POSTROENNOE W x 1 NAIWNOE PRQMOE PROIZWEDENIE A £ B OBLADAET UNIWERSALXNYM SWOJSTWOM, L@BOE DRUGOE PRQMOE PROIZWEDENIE MNOVESTW

A I B KANONI^ESKI IZOMORFNO EMU, NO WOPROS OB IH RAWENSTWE ABSO-

L@TNO BESSMYSLENEN.

4. pRQMOE PROIZWEDENIE ^EREZ NEUPORQDO^ENNYE PARY. pUSTX

A I B DWA NEPERESEKA@]IHSQ MNOVESTWA. tOGDA LEGKO POSTROITX IH PRQMOE PROIZWEDENIE W TERMINAH NEUPORQDO^ENNYH PAR. w SAMOM DELE, POLOVIM

A £ B = ffa; bg j a 2 A; b 2 Bg

I OPREDELIM PROEKCII A £ B NA A I B, POLAGAQ pr1 : fa; bg 7!a I pr2 : fa; bg 7!b, ESLI a 2 A I b 2 B. zAMETIM, ^TO IZ TOGO, ^TO A I B DIZ_@NKTNY, WYTEKAET, ^TO TAK OPISANNYE PROEKCII pr1 I pr2 DEJSTWITELXNO QWLQ@TSQ OTOBRAVENIQMI. lEGKO WIDETX, ^TO SOPOSTAWLENIE fa; bg 7!(a; b) USTANAWLIWAET IZOMORFIZM TAK OPREDELENNOGO PRQMOGO PROIZWEDENIQ S PRQMYM PROIZWEDENIEM, OPREDELENNYM RANEE W TERMINAH UPORQDO^ENNYH PAR. rAZUMEETSQ, TOT FAKT, ^TO SOPOSTAWLENIE fa; bg 7!(a; b) QWLQETSQ OTOBRAVENIEM, SNOWA SLEDUET IZ DIZ_@NKTNOSTI A I B.

x 11. fUNKTORY NA KATEGORII MNOVESTW, 1st installment: KOWARIANTNYE FUNKTORY

|TOT PARAGRAF QWITSQ NA[IM PERWYM ZNAKOMSTWOM S ODNIM IZ WEDU]IH PRINCIPOW SOWREMENNOJ MATEMATIKI — FUNKTORIALXNOSTX@, KOTORAQ BUDET CENTRALXNOJ TEMOJ ~ASTI III. wWEDEM POKA PONQTIE FUNKTORA NA KATEGORII MNOVESTW I OTOBRAVENIJ. nA^NEM S FUNKTOROW ODNOGO ARGUMENTA.

1. kOWARIANTNYE FUNKTORY. sU]ESTWU@T DWA TIPA FUNKTOROW: FUNKTORY, SOHRANQ@]IE NAPRAWLENIE STRELOK, ONI BUDUT NAZYWATXSQ KOWARIANTNYMI I FUNKTORY, OBRA]A@]IE NAPRAWLENIE STRELOK, ONI BUDUT NAZYWATXSQ KONTRAWARIANTNYMI. oPREDELIM WNA^ALE KOWARIANTNYE FUNKTORY.

oPREDELENIE. kOWARIANTNYJ FUNKTOR F NA KATEGORII MNOVESTW SOSTOIT IZ SLEDU@]IH DANNYH:

1.sOPOSTAWLENIQ KAVDOMU MNOVESTWU X NEKOTOROGO ODNOZNA^NO OPREDELEN- NOGO MNOVESTWA F (X);

2.sOPOSTAWLENIE KAVDOMU OTOBRAVENI@ f : X ¡! Y NEKOTOROGO ODNOZNA^- NO OPREDELENNOGO OTOBRAVENIQ F (f) : F (X) ¡! F (Y );

POD^INENNYH SLEDU@]IM USLOWIQM:

Fun1 sOHRANENIE TOVDESTWENNOGO OTOBRAVENIQ: F (idX) = idF(X);

Fun2 sOHRANENIE KOMPOZICII: F (g ± f) = F (g) ± F (f) DLQ L@BYH DWUH OTOBRA- VENIJ f I g, DLQ KOTORYH OPREDELENA KOMPOZICIQ g ± f.

w ^ASTNOSTI, AKSIOMA Fun2 UTWERVDAET, ^TO KOMPOZICIQ F (g)±F (f) OPREDELENA, ESLI OPREDELENA KOMPOZICIQ g ± f.

² tOVDESTWENNYJ FUNKTOR. pERWYJ PRIMER KOWARIANTNOGO FUNKTORA, KOTORYJ PRIHODIT NA UM, \TO TOVDESTWENNYJ FUNKTOR, KOTORYJ SOPOSTAWLQET KAVDOMU MNOVESTWU SAMO \TO MNOVESTWO, A KAVDOMU OTOBRAVENI@ – SAMO \TO OTOBRAVENIE.

²pOSTOQNNYE FUNKTORY. l@BOE MNOVESTWO Z OPREDELQET POSTOQNNYJ FUNKTOR F NA KATEGORII MNOVESTW. a IMENNO, POLOVIM F (X) = Z DLQ L@BOGO

MNOVESTWA X I F (f) = idZ DLQ L@BOGO OTOBRAVENIQ f. sNOWA WYPOLNENIE AKSIOM FUNKTORA O^EWIDNO.

²gLAWNYE KOWARIANTNYE FUNKTORY. oKAZYWAETSQ, L@BOE MNOVESTWO Z

OPREDELQET NEKOTORYJ GORAZDO BOLEE INTERESNYJ KOWARIANTNYJ FUNKTOR F = Map(Z; ?) NA KATEGORII MNOVESTW. a IMENNO, FUNKTOR F SOPOSTAWLQET MNOVESTWU X MNOVESTWO Map(Z; X) WSEH OTOBRAVENIJ IZ Z W X, A OTOBRAVENI@ f : X ¡! Y — OTOBRAVENIE F (f) : F (X) ¡! F (Y ), TAKOE, ^TO g 7!f ± g DLQ L@BOGO g 2 F (X) = Map(Z; X).

zADA^A. pROWERXTE, ^TO OPISANNAQ WY[E KONSTRUKCIQ DEJSTWITELXNO OPREDELQET KOWARIANTNYJ FUNKTOR NA KATEGORII MNOVESTW.

x 12. fUNKTORY NA KATEGORII MNOVESTW, 2nd installment: KONTRAWARIANTNYE FUNKTORY

1. kONTRAWARIANTNYE FUNKTORY. w OTLI^IE OT KOWARIANTNYH FUNKTOROW KONTRAWARIANTNYE FUNKTORY ZAMENQ@T NAPRAWLENIE WSEH OTOBRAVENIJ NA PROTIWOPOLOVNOE.

oPREDELENIE. kONTRAWARIANTNYJ FUNKTOR F NA KATEGORII MNOVESTW SO-

STOIT IZ SLEDU@]IH DANNYH:

1.sOPOSTAWLENIQ KAVDOMU MNOVESTWU X NEKOTOROGO ODNOZNA^NO OPREDELEN- NOGO MNOVESTWA F (X);

2.sOPOSTAWLENIE KAVDOMU OTOBRAVENI@ f : X ¡! Y NEKOTOROGO ODNOZNA^- NO OPREDELENNOGO OTOBRAVENIQ F (f) : F (Y ) ¡! F (X);

POD^INENNYH SLEDU@]IM USLOWIQM:

Cof1 sOHRANENIE TOVDESTWENNOGO OTOBRAVENIQ: F (idX) = idF(X);

Cof2 sOHRANENIE KOMPOZICII: F (g ± f) = F (f) ± F (g) DLQ L@BYH DWUH OTOBRA- VENIJ f I g, DLQ KOTORYH OPREDELENA KOMPOZICIQ g ± f.

w ^ASTNOSTI, AKSIOMA Fun2 UTWERVDAET, ^TO KOMPOZICIQ F (f)±F (g) OPREDELENA, ESLI OPREDELENA KOMPOZICIQ g ± f. oBRATITE WNIMANIE, ^TO ZDESX OTOBRAVENI@ f : X ¡! Y SOPOSTAWLQETSQ OTOBRAVENIE F (f) IZ F (Y ) W F (X), A NE IZ F (X) W F (Y ), KAK W SLU^AE KOWARIANTNOGO FUNKTORA. |TU MYSLX WYRAVA@T, GOWORQ, ^TO

FOBRA]AET STRELKI.

²gLAWNYE KONTRAWARIANTNYE FUNKTORY. s DRUGOJ STORONY, GLAWNYE KOWARIANTNYE FUNKTORY IME@T STOLX VE WAVNYJ I INTERESNYJ KONTRAWARIANTNYJ ANALOG. a IMENNO, L@BOE MNOVESTWO Z OPREDELQET KONTRAWARIANTNYJ FUNKTOR F = Map(?; Z) NA KATEGORII MNOVESTW. |TOT FUNKTOR F SOPOSTAWLQET MNO-

VESTWU X MNOVESTWO Map(X; Z) WSEH OTOBRAVENIJ IZ Z W X, A OTOBRAVENI@ f : X ¡! Y – OTOBRAVENIE F (f) : F (Y ) ¡! F (X), TAKOE, ^TO g 7!g ± f DLQ L@BOGO g 2 F (Y ) = Map(Y; Z).

zADA^A. pROWERXTE, ^TO OPISANNAQ WY[E KONSTRUKCIQ DEJSTWITELXNO OPREDELQET KONTRAWARIANTNYJ FUNKTOR NA KATEGORII MNOVESTW.