vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv
.pdf
MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive |
31 |
W KA^ESTWE KLASSIFIKATORA PODOB_EKTOW WYSTUPAET f0; 1=2; 1g) ILI NE^ETKOJ (GDE KLASSIFIKATOROM PODOB_EKTOW QWLQETSQ SEGMENT [0; 1] µ R). oDNAKO WSE \TI TEORII LEGKO MODELIRU@TSQ W TEORII MNOVESTW I NE SOSTAWLQ@T EJ NIKAKOJ REALXNOJ ALXTERNATIWY. pODLINNOE OSWOBOVDENIE OT KLASSI^ESKOJ LOGIKI PRIHODIT TOLXKO W TEORII TOPOSOW, GDE WYQSNQETSQ, ^TO KLASSIFIKATOROM PODOB_EKTOW MOVET BYTX
^TO UGODNO.
x ?. o ^EM NE GOWORIL kONFUCIJ ILI GNOMY W TUMANE
q ^TU BOGOW I DEMONOW, NO DERVU IH OT SEBQ W OTDALENII. kONFUCIJ
tEOREMA gEDELQ W ^EM-TO NUVDAETSQ, ^TOBY STATX TEOREMOJ gEDELQ, NO TO, W ^EM ONA NUVDAETSQ, SLI[KOM NEOPREDELENNO.
~VUAN ~VOU
nET NI^EGO BOLEE OBMAN^IWOGO, ^EM QSNAQ I OT^ETLIWAQ IDEQ, KROME NEQSNOJ I NEOT^ETLIWOJ IDEI.
rENE dEKART
Das sch¨onste Gl¨uck des denkenden Menschen ist, das Erforschliche erforscht zu haben und das Unerforschliche ruhig zu verheren : : : Dinge, wovon man nicht reden w¨urde, wenn man w¨ußte, wovon die Rede ist*.
Johann Wolfgang Goethe
sKOLXKO LAMPO^EK NUVNO, ^TOBY WKRUTITX LAMPO^KU? oDNA, ESLI ONA ZNAET SWOJ GEDELEWSKIJ NOMER.
kURT gEDELX
w POPULQRNYH IZLOVENIQH MY ^ASTO ZAMENQEM TO^NYE UTWERVDENIQ NETO^NYMI ILI DAVE TO^NYMI, NO LOVNYMI.
k.sMORINSKIJ23
iNTERES TAKOGO IZU^ENIQ SOSTOIT W TOM VE, ^TO I W IZWESTNYH MATEMATI^ESKIH ISSLEDOWANIQH WOPROSA O TOM, KAKOGO RODA ZADA^I MOVNO RE[ITX DANNYMI OGRANI^ENNYMI SRED-
STWAMI, WRODE POSTROENIQ CIRKULEM I LINEJKOJ.
*wELI^AJ[EE S^ASTXE MYSLQ]EGO ^ELOWEKA SOSTOIT W TOM, ^TOBY ISSLEDOWATX WSE, ^TO PODDAETSQ ISSLEDOWANI@ I OSTAWITX W POKOE WSE, ^TO NE PODDAETSQ ISSLEDOWANI@ : : : eSTX WE]I, O KOTORYH BY WOOB]E NE GOWORILI, ESLI BY IMELI HOTX MALEJ[EE PONQTIE, O ^EM IDET RE^X.
23k.sMORINSKIJ, tEOREMY O NEPOLNOTE. w KN.: sPRAWO^NAQ KNIGA PO MATEMATI^ESKOJ LOGIKE. T.IV, m., nAUKA, 1983, S.9–53; STR.18.
32 |
NIKOLAJ WAWILOW |
sOLOMON fEFERMAN24
nIKAKIH FILOSOFSKIH PROBLEM NET, ESTX TOLXKO ANFILADA LINGWISTI^ESKIH TUPIKOW.
wIKTOR pELEWIN, nASTOLXNAQ KNIGA OBOROTNQ
And the more he looked inside, the more Piglet wasn't there.
A.A.Milne, ‘The house at Pooh corner’
eSTX NESKOLXKO WE]EJ, KOTORYE Q KATEGORI^ESKI NE HO^U UPOMINATX W \TOJ KNIGE. k TAKIM WE]AM OTNOSQTSQ, W ^ASTNOSTI, PRAWILA WYWODA, QZYK PERWOGO PORQDKA I TEOREMA gEDELQ.
‘nEWEVESTWO bURBAKI’\
²wO-PERWYH, Q S^ITA@, ^TO BOLX[AQ´ ^ASTX MATEMATI^ESKOJ LOGIKI ABSOL@TNO IRRELEWANTNA PRI IZU^ENII MATEMATIKI. wOPROSY, KOTORYE INTERESU@T NAS W \TOJ KNIGE, \TO KONKRETNYE WOPROSY, W OTWETE NA KOTORYE ISPOLXZUEMYE PRAWILA WYWODA NE MOGUT IGRATX WOOB]E NIKAKOJ ROLI, A ISPOLXZUEMYE AKSIOMY TEORII MNOVESTW — PO^TI NIKAKOJ. nIKAKAQ — NIKAKAQ!!! — REWIZIQ ‘OSNOWANIJ’, PRAWIL WYWODA I TUMANNYH AKSIOM LOGIKI I TEORII MNOVESTW NE W SOSTOQNII OTMENITX SIQ@]IE FAKTY, TAKIE KAK, SKAVEM, TO, ^TO SU]ESTWUET ROWNO 17 GRUPP SIMMETRII PLOSKOSTI ILI ROWNO 6 PRAWILXNYH MNOGOGRANNIKOW W ^ETYREHMERNOM PROSTRANSTWE. a IMENNO FAKTY TAKOGO RODA, IH OB_QSNENIQ, ISTOLKOWANIQ, SLEDSTWIQ I WZAIMOSWQZI SOSTAWLQ@T OSNOWNOE SODERVANIE MATEMATIKI. |TO ZNA^IT, ^TO L@BAQ POPYTKA
²eSLI BOLEE WNIMATELXNO WZGLQNUTX W DOKAZATELXSTWO TEOREMY gEDELQ, TO TAM DOKAZYWAETSQ, ^TO SU]ESTWUET WYSKAZYWANIE, WYRAVA@- ]EE NEPROTIWORE^IWOSTX ARIFMETIKI, A IMENNO, consis, KOTOROE NELX- ZQ DOKAZATX SREDSTWAMI SAMOJ ARIFMETIKI. nO WEDX OTS@DA NIKAK NE
24s.fEFERMAN, tEORII KONE^NOGO TIPA, RODSTWENNYE MATEMATI^ESKOJ PRAKTIKE.
— w KN.: sPRAWO^NAQ KNIGA PO MATEMATI^ESKOJ LOGIKE. T.IV, m., nAUKA, 1983,
S.100–159; STR.101.
\k SOVALENI@, SAM Q BYL LI[EN WOZMOVNOSTI IZBEVATX IZU^ENIQ MATEMATI^E- SKOJ LOGIKI, HOTQ BY POTOMU, ^TO REFORMA wak 1977 GODA WLILA SPECIALXNOSTX 01.01.03 — ALGEBRA I TEORIQ ^ISEL W SPECIALXNOSTX 01.01.06 — MATEMATI^ESKAQ LOGIKA I OSNOWANIQ MATEMATIKI ??, W REZULXTATE ^EGO OBRAZOWALASX NOWAQ SPECIALXNOSTX 01.01.06 — MATEMATI^ESKAQ LOGIKA, ALGEBRA I TEORIQ ^ISEL. oDNIM IZ POBO^NYH REZULXTATOW \TOGO BYLA TOTALXNAQ PERESDA^A WSEMI ASPIRANTAMI PERWOJ ^ASTI KANDIDATSKOGO \KZAMENA, S WKL@^ENIEM W NEE WOPROSOW PO MATEMATI^ESKOJ LOGIKE, W TOM ^ISLE, KONE^NO, I DOKAZATELXSTWA TEOREM gEDELQ. w NASTOQ]EE WREMQ W OFICIALXNOJ PROGRAMME PERWOJ ^ASTI \KZAMENA PO SPECIALXNOSTI 01.01.06 WOOB]E NE OSTALOSX NIKAKOGO KONTENTA, KROME LOGIKI.
MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive |
33 |
SLEDUET, ^TO NI ODNO WYSKAZYWANIE, WYRAVA@]EE NEPROTIWORE^IWOSTX ARIFMETIKI, NELXZQ DOKAZATX SREDSTWAMI SAMOJ ARIFMETIKI! i DEJSTWITELXNO, W 1950-E GODY eSENIN-wOLXPIN DOKAZAL, ^TO SU]ESTWUET WYSKAZYWANIE, WYRAVA@]EE NEPROTIWORE^IWOSTX ARIFMETIKI, KOTOROE MOVNO DOKAZATX SREDSTWAMI SAMOJ ARIFMETIKI. tAKIM OBRAZOM,
OBY^NAQ FORMULIROWKA TEOREMY gEDELQ I EE FILOSOFSKOE ISTOLKOWANIE W POPULQRNYH IZLOVENIQH GRUBO O[IBO^NY.
²~ISTO LINGWISTI^ESKIE UPRAVNENIQ. iNTUICIONISTY I KONSTRUKTIWISTY PREDLAGA@T ZAMENITX WYRAVENIE ‘MNOVESTWO X KONE^NO’ NA ‘MNOVESTWO X NE MOVET NE BYTX KONE^NYM’. q NE WIVU W \TOM NI^EGO, KROME MAN[X]ERIZMA. ~ELOWEK MOVET SLEDITX LIBO ZA TEM, ^TO ON GOWORIT, LIBO ZA TEM, KAK ON \TO GOWORIT, NO NE ZA TEM I DRUGIM SRAZU. dAVE S TO^KI ZRENIQ PROFESSIONALA NEPONQTNO, KAKU@ POLXZU PODOBNAQ WY^URNOSTX MOGLA BY PRINESTI PRI IZU^ENII SOBSTWENNO MATEMATI- ^ESKIH WOPROSOW. kAK W ISSLEDOWANII, TAK I OSOBENNO W PREPODAWANII AKKUMULQCIQ PODOBNYH ^ISTO WERBALXNYH \KZERSISOW NEMINUEMO PRIWODIT K RAZRYWU S TRADICIEJ, RAZRU[ENI@ SWQZEJ S DRUGIMI RAZDELAMI MATEMATIKI I POLNOJ POTERE SMYSLA. wSE \TO OBILXNO PROILL@- STRIROWANO PISANIQMI NEKOTORYH LOGI^ESKI ORIENTIROWANNYH O^ENX OB]IH[ ALGEBRAISTOW.
²sOMNENIQ W KLASSI^ESKOJ MATEMATIKE BOLEE SOMNITELX-
NY, ^EM ONA SAMA. mATEMATIK — \TO TOT, KTO WSE PODWERGAET SOMNE-
NI@ (le sage est celui-ci, qui s'etonne du tout). nO PODWERGAQ SOMNENI@ WSE, ON, RAZUMEETSQ, PODWERGAET SOMNENI@ I TO, ^TO WSE SLEDUET PODWERGATX SOMNENI@.
²pOTRQSAET NAIWNOSTX L@DEJ, KOTORYE S^ITA@T, ^TO PONQTIQ \LEMENTA, MNOVESTWA, FUNKCII, BESKONE^NOSTI, ^ISLA TREBU@T DALXNEJ- [EGO ANALIZA I OBOSNOWANIQ, W TO WREMQ KAK PONQTIQ SIMWOLA, TEKSTA, FORMALXNOGO QZYKA, KONSTRUKTIWNOGO OB_EKTA, PRAWILXNO SOSTAWLENNOJ FORMULY, WYWODIMOSTI, DOKAZUEMOSTI, ISTINNOSTI QSNY SAMI PO SEBE. w DEJSTWITELXNOSTI \TO ILL@ZIQ, OBOSNOWANIE MATEMATIKI S POMO]X@ LOGIKI | \TO OBOSNOWANIE PROZRA^NOGO S POMO- ]X@ TUMANNOGO*.
²kOGDA KONSTRUKTIWIST25 GOWORIT, ^TO NATURALXNOE ^ISLO WYRAVAETSQ W ALFAWITE, SOSTOQ]EM IZ ODNOGO SIMWOLA j, jj, jjj, I ZAQWLQET,
[iLI, KAK LASKOWO NAZYWAET IH aRNOLXD, PRESTUPNYH.
*iLI, KAK IZQ]NO WYRAVAET TU VE MYSLX hAUSDORF, obscurus per obscurium. 25p.mARTIN-l¨EF, o^ERKI PO KONSTRUKTIWNOJ MATEMATIKE. — iZD-WO mIR, 1975,
S.1—136, STR.9.
34 |
NIKOLAJ WAWILOW |
^TO \TOT PROCESS MOVNO NEOGRANI^ENNO PRODOLVATX, MNE KAVETSQ, ON NE U^ITYWAET ^EGO-TO WESXMA SU]ESTWENNOGO. a IMENNO, TOGO, ^TO W PROCESSE NAPISANIQ TAKIM OBRAZOM UVE KRO[E^NYH ^ISEL, NU HOTQ BY 101010 MY SOB_EMSQ SO S^ETA, KON^ATSQ ^ERNILA, KON^ITSQ BUMAGA, KON- ^ITSQ WREMQ, NO GLAWNOE WSE-TAKI, SOSTOIT W TOM, ^TO ESLI MY BUDEM PISATX WSE DALX[E I DALX[E, TO POD DEJSTWIEM GRAWITACII ^ERNILA I BUMAGA PREWRATQTSQ W ^ER[NILX]NU@ DYRU. sLOWOM, TREBUEMOGO KOLI- ^ESTWA ^ERTO^EK EMU NAPISATX NE UDASTSQ.
²kONSTRUKTIWNAQ MATEMATIKA OPIRAETSQ NA TYSQ^I NEQWNYH PREDPOLOVENIJ, PODRAZUMEWAEMYH, NO NE SFORMULIROWANNYH AKSIOM. kTO MOVET GARANTIROWATX, ^TO ZA NO^X W TEKSTE NE POQWLQ@TSQ NOWYE SIMWOLY I NE IS^EZA@T STARYE, ^TO MY W SOSTOQNII OTLI^ITX ODIN SIMWOL OT DRUGOGO. eSLI DLQ KOGO-TO SPRAWEDLIWOSTX WYPOLNENIQ PREDPOLOVENIJ PODOBNOGO RODA O^EWIDNA, TO DLQ MENQ WSE ONI QWLQ@TSQ GORAZDO MENEE UBEDITELXNYMI, ^EM WSE OBY^NYE NEQWNYE PREDPOLOVENIQ, NA KOTORYE OPIRAETSQ KLASSI^ESKAQ MATEMATIKA.
²eSLI UPOMINATX TEOREMU gEDELQ, TO TOLXKO W PARE S TEOREMOJ gENCENA. dELO W TOM, ^TO TEOREMA gEDELQ UTWERVDAET, ^TO NEPROTIWORE^IWOSTX ARIFMETIKI NEWOZMOVNO DOKAZATX OPREDELENNYMI SRED- STWAMI. oDNAKO ONA NE GOWORIT, ^TO \TOGO NELXZQ SDELATX DRUGIMI, NI^UTX NE MENEE NADEVNYMI SREDSTWAMI!!! dOKAZATELXSTWO gEDELQ26 SOSTOQLO W TOM, ^TO KAVDOJ LAMPO^KE (= FORMULE) SOPOSTAWLQETSQ NEKOTOROE O^ENX BOLX[OE NATURALXNOE ^ISLO — GEDELEWSKIJ NOMER. s DRUGOJ STORONY — I \TO PO^EMU-TO UVE GORAZDO MENEE IZWESTNO, W 1936 GODU gERHARD gENCEN27 TO^NO TAK VE DOKAZAL NEPROTIWORE^I- WOSTX ARIFMETIKI, SOPOSTAWLQQ KAVDOJ FORMULE NEKOTOROE NE O^ENX BOLX[OE S^ETNOE ORDINALXNOE ^ISLO. rAZNICA MEVDU DOKAZATELX-
STWOM gEDELQ I DOKAZATELXSTWOM gENCENA NE ZAMETNA NEWO-
ORUVENNYM GLAZOM. sTEPENX NA[EJ UWERENNOSTI W SPRAWEDLIWOSTI TOJ FORMY INDUKCII, KOTOROJ POLXZOWALSQ gENCEN, NI^UTX NE MENX[E, ^EM W OBY^NYH AKSIOMAH ARIFMETIKI. rAZUMEETSQ, REZULXTAT gENCENA NE PRIOBREL SKANDALXNOJ IZWESTNOSTI ZA PREDELAMI LOGI^ESKOGO SOOB- ]ESTWA ROWNO POTOMU, ^TO ON DOKAZYWAET TO, WO ^TO WSE I TAK WERQT, NEPROTIWORE^IWOSTX ARIFMETIKI!
26 |
K.G¨odel, |
¨ |
|
Uber formal unentscheidbare S¨atze der Principia Mathematica und |
verwandter Systeme. I. — Monatshefte f¨ur Math. und Physik, 1931, Bd.38, S.173–198. 27G.Gentzen, Die Widerspuchsfreiheit der reinen Zahlentheorie. — Math. Ann., 1936, Bd.112, N.2, S.493–565; RUSSKIJ PEREWOD W KNIGE mATEMATI^ESKAQ TEORIQ LO-
GI^ESKOGO WYWODA, m., nAUKA, 1967, S.77–153.
MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive |
35 |
²tEOREMA gEDELQ ZANIMAET PRIBLIZITELXNO TAKOE VE MESTO W ISTORII MATEMATIKI, KAK DOKAZATELXSTWO NEWOZMOVNOSTI TRISEKCII UGLA PRI POMO]I CIRKULQ I LINEJKI I NEWOZMOVNOSTX RE[ENIQ URAWNENIQ PQTOJ STEPENI W RADIKALAH. |TO O^ENX PO^ETNOE MESTO!!! |TI PROBLEMY SYGRALI OGROMNU@ ROLX W ISTORI^ESKOM RAZWITII MATEMATIKI. oDNAKO, ONI NE IME@T NIKAKOGO OTNO[ENIQ K EE SEGODNQ[NEMU SOSTOQNI@ I NIKAKIM OBRAZOM NE RASSMATRIWA@TSQ RABOTA- @]IMI MATEMATIKAMI W KA^ESTWE OGRANI^ENIJ.
²ZADOLGO DO TOGO, KAK NASTUPA@T OGRANI^ENIQ, PROISTEKA@]IE IZ TEOREMY gEDELQ ... ^ISTO FIZI^ESKIE OGRANI^ENIQ NA DLINU DOKAZATELXSTWA, SWQZANNYE S OGRANI^ENIEM WREMENI ILI PAMQTI.
²tEOREMA gEDELQ ESTX OBY^NAQ MATEMATI^ESKAQ TEOREMA, KOTORAQ KAK I L@BAQ DRUGAQ TEOREMA SOSTOIT IZ KONTEKSTA(OW?), FORMULIROWKI(OK?), DOKAZATELXSTWA(W?), INTERPRETACII(IJ?) I T.D. oDNAKO, VURNALISTSKAQ PRAKTIKA SOSTOIT W TOM, ^TOBY POZICIONIROWATX EE NE KAK TEOREMU MATEMATIKI, A KAK TEOREMU O MATEMATIKE. nO TEOREMA gEDELQ NE GOWORIT NI^EGO O MATEMATIKE. oNA GOWORIT NE^TO O GENERACII NEKOTOROGO SPECIALXNOGO WIDA TEKSTOW W NEKOTOROM SPECIALXNOM TIPE FORMALXNYH SISTEM.
²pROGRAMMA gILXBERTA NOSIT ^ISTO APOLOGETI^ESKIJ HARAKTER. oN HOTEL OGRANI^ITX TE SREDSTWA, KOTORYE ISPOLXZU@TSQ DLQ OBOSNOWANIQ (ILI, KAK GOWORIT fEFERMAN, OPRAWDANIQ) MATEMATIKI, DO ABSO- L@TNOGO MINIMUMA, DO SREDSTW PRIZNAWAEMYH KAK DOPUSTIMYE WSEMI MATEMATIKAMI, WKL@^AQ bRAU\RA. sAM gILXBERT, KAK SOWER[ENNO QSNO IZ WSEH OSTAWLENNYH IM TEKSTOW, NIKOGDA NE STOQL NA FINITIST-
SKIH POZICIQH I POLNOSTX@ RAZDELQL OBY^NU@ MATEMATI^E- SKU@ INTERPRETACI@ KANTOROWSKOGO U^ENIQ S NEOGRANI^ENNYM PRIZNANIEM AKTUALXNOJ BESKONE^NOSTI. pO\TOMU SME[NO NAZYWATX TEZISOM gILXBERTA ODIOZNOE UTWERVDENIE, ^TO NET LO-
GIKI, KROME LOGIKI PERWOGO PORQDKA. tEOREMA gEDELQ PREDSTAWLQET SOBOJ NE KRAH gILXBERTOWSKOJ PROGRAMMY OBOSNOWANIQ MATEMATIKI, KAK OB \TOM PI[UT VURNALISTY. oNA UTWERVDAET LI[X, ^TO gILXBERTU NE UDALOSX BY UBEDITX bRAU\RA.
kRATKIJ PUTEWODITELX PO LITERATURE
kOGDA POQWILOSX MUDRSTWOWANIE, WOZNIKLO I WELIKOE LICEMERIE. kOGDA BUDUT USTRANENY MUDRSTWOWANIE I U^ENOSTX, NAROD BUDET S^ASTLIWEE WO STO KRAT. wSE \TI WE]I PROISHODQT OT NEDOSTATKA ZNANIJ. pO\TOMU NUVNO UKAZYWATX L@- DQM, ^TO ONI DOLVNY BYTX PROSTYMI I SKROMNYMI. kOGDA BUDET UNI^TOVENA U^ENOSTX, TOGDA NE BUDET I PE^ALI.
36 |
NIKOLAJ WAWILOW |
dAO D\ CZIN, xx18–20.
rEKOMENDACIQ STUDENTAM: PRO^TITE [VSh], POSLE \TOGO SWODKU REZULXTATOW K [B], POTOM [KuM] I [Co]. eSLI wY HOTITE DEJSTWITELXNO PONQTX ORGANIZM TEORII MNOVESTW, PEREHODITE K [JW].
wWODNYE GLAWY WSEH U^EBNIKOW DISKRETNOJ MATEMATIKI, ALGEBRY, TOPOLOGII I MATEMATI^ESKOGO ANALIZA SODERVAT SWEDENIQ PO TEORII MNOVESTW. pRI \TOM BOLX- [AQ ^ASTX TOGO, ^TO SOOB]AETSQ IZ OBLASTI TEORII MNOVESTW W U^EBNIKAH MATEMATI^ESKOGO ANALIZA, SOSTOIT IZ SMESI NEWNQTNOGO BULXKANXQ28, PRQMOGO WRANXQ I FAKTI^ESKIH O[IBOK29 I NE ZASLUVIWAET WOOB]E NIKAKOGO DOWERIQ, OSOBENNO TAM, GDE POQWLQ@TSQ TAK NAZYWAEMYE DOKAZATELXSTWA30. tO, ^TO PI[ETSQ W U^EBNIKAH FUNKCIONALXNOGO ANALIZA [Di], [KF], ALGEBRY I OB]EJ TOPOLOGII, KAK PRAWILO, NESKOLXKO WRAZUMITELXNEE I ^UTOK DOSTOWERNEE, NO TOVE OBY^NO POWERHNOSTNO I NE TOLXKO DAET WESXMA SLABOE PREDSTAWLENIE O KANTOROWSKOJ TEORII MNOVESTW, NO DAVE NE PREDOSTEREGAET OT ISTO^NIKOW PRQMYH O[IBOK. iSKL@^ENIQ SOSTAWLQ@T POLUAKSIOMATI^ESKIE IZLOVENIQ TEORII MNOVESTW W [K], [Co], [Fa].
iZ SOWSEM \LEMENTARNYH WWEDENIJ W NAIWNU@ TEORI@ MNOVESTW I POPULQRNYH KNIG NA RUSSKOM QZYKE UPOMQNEM [S1], [Sta], [Vil]. sAMYM T]ATELXNYM I DETALXNYM IZ NIH QWLQETSQ KNIGA [Shi], OSNOWANNAQ NA LEKCIQH DLQ LINGWISTOW. iZ NEDAWNIH BOLEE PRODWINUTYH KNIG MOVNO UPOMQNUTX SOWER[ENNO ZAME^ATELXNYE PO QSNOSTI ZAPISKI KURSA [VSh]. sO SWOJSTWAMI ALGEBRY MNOVESTW MOVNO DETALXNO POZNAKOMITXSQ PO L@BOJ31 KNIGE PO RE[ETKAM ILI BULEWYM ALGEBRAM, ESLI IMETX W WIDU, ^TO PODMNOVESTWA FIKSIROWANNOGO MNOVESTWA OBRAZU@T DISTRIBUTIWNU@ RE[ETKU S DOPOLNENIQMI.
28bULXKANXE — NEWRAZUMITELXNOE IZLOVENIE BULEWOJ ALGEBRY. bULEWA ALGEBRA
—NAUKA O RAZLIWANII BUTYLOK PO KOLI^ESTWU SODERVA]IHSQ W NIH BULEK. bULXKA — KRUPNAQ KAPLQ ILI PUZYRX, GLOBULA, [ARIK, MQ^IK, KLUBOK, BUSINA, SNEVOK, BITOK, KATY[EK, ^ETKA, [I[KA, VELWAK, KOMOK, KLUBENX, LUKOWICA, (KRUGLAQ) PIL@LQ, ILI L@BOJ DRUGOJ NEBOLX[OJ PREDMET KRUGLOJ FORMY. w RUSSKOM QZYKE [IROKO PRED-
STAWLENY ODNOKORENNYE SLOWA: BULLA, BULAWA, BULXBA, BULO^KA, BULAWKA, BULYVNIK, BULXON, PULQ, BALLON, BALLOTIROWATXSQ, WOLDYRX (BULDYRX) (SRAWNI TAKVE LATINSKOE pila, bulla, bullire, bolus, FRANCUZSKOE boule, ITALXQNSKOE bolla, palla, NEMECKOE Ball, Bolle, ANGLIJSKOE ball, bullet, boulder, pill, pellet, GOLLANDSKOE puyl,
LITOWSKOE bulµ³s, SANSKRITSKOE bul¶³s I T.D.) pO\TOMU OSTAWIM NA SOWESTI fASSMERA
.
ZAQWLENIE, ^TO BULXKATX PREDSTAWLQET SOBOJ ZAIMSTWOWANIE T@RKSKOGO ZWUKOPODRAVANIQ BULX-BULX ILI BULX-MULX. pO SWIDETELXSTWU KRUPNEJ[EGO OTE^ESTWENNOGO SPECIALISTA W OBLASTI BULEWOJ ALGEBRY wENE^KI eROFEEWA W PRAWILXNO RAZLIWAEMOJ STANDARTNOJ BUTYLKE WODKI ROWNO 39 BULEK.
29rEKORD ZDESX PRINADLEVIT, PO-WIDIMOMU, l.d.kUDRQWCEWU, KOTORYJ DELAET O[IBKI UVE NA UROWNE OPREDELENIQ UPORQDO^ENNOJ PARY I OTOBRAVENIQ, SM., W ^ASTNOSTI, EGO STATX@ ‘FUNKCIQ’ W ‘mATEMATI^ESKOJ \NCIKLOPEDII’, T.5, sOWETSKAQ |NCIKLOPEDIQ, m., 1985, S.712–720.
30eSTX, KONE^NO, NESKOLXKO OTRADNYH ISKL@^ENIJ, most notably, KNIGA zORI- ^A [Zor], KOTORAQ I WO WSEH OSTALXNYH ASPEKTAH PREDSTAWLQETSQ MNE S BOLX[IM OTRYWOM LU^[IM BAZOWYM U^EBNIKOM ANALIZA NA RUSSKOM QZYKE.
31kNIGI bIRKGOFA [Bi1] I [Bi2] PREDSTAWLQ@T SOBOJ NE RAZNYE IZDANIQ ODNOJ I
TOJ VE KNIGI, A SOWER[ENNO RAZNYE KNIGI, PRI^EM PERWAQ GORAZDO LU^[E.
MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive |
37 |
iZ NAIWNYH IZLOVENIJ BOLX[OJ INTERES PREDSTAWLQET KNIGA fELIKSA hAUSDORFA [Ha]. |TA ZAME^ATELXNAQ KNIGA QWLQETSQ GIBRIDOM DWUH KNIG Grundz¨uge der Mengenlehre (1914) (\TO PERWYJ U^EBNIK PO TEORII MNOVESTW W MIROWOJ LITERATURE!) I Mengenlehre (1927), S WKL@^ENIEM NESKOLXKIH FRAGMENTOW, NAPISANNYH p.s.aLEKSANDROWYM. nESOMNENNYJ ISTORI^ESKIJ INTERES PREDSTAWLQ@T TAKVE KNIGI kURATOWSKOGO I mOSTOWSKOGO [KuM] I sERPINXSKOGO [S2], [S3]. kNIGA kURATOWSKOGO I mOSTOWSKOGO, KONE^NO, PORQDKOM USTARELA, TEM NE MENEE I SEGODNQ ONA OSTAETSQ SAMYM OSNOWATELXNYM I ZASLUVIWA@]IM DOWERIQ IZLOVENIEM TEORII MNOVESTW NA RUSSKOM QZYKE. kNIGA n.bURBAKI [B] PRETENDUET NA TO, ^TOBY BYTX WWEDENIEM W AKSIOMATI^ESKU@ TEORI@ MNOVESTW, NO NE MOVET RASSMATRIWATXSQ W KA^ESTWE TAKOWOJ W SILU POLNOJ NEKOMPETENTNOSTI EE AWTORA W MATEMATI^ESKOJ LOGIKE. s DRUGOJ STORONY, \TA KNIGA QWLQETSQ NEZAMENIMYM ISTO^NIKOM ZNANIJ PO WOPROSU O TOM, SKOLXKO SU]ESTWUET OTOBRAVENIJ IZ PUSTOGO MNOVESTWA W PUSTOE MNOVESTWO. sREDI SOTEN KNIG NA ANGLIJSKOM MOVNO OTMETITX [F], [H], [HJ], [Ro], [R], KAVDAQ IZ KOTORYH PO SWOEMU SOWER[ENNO ZAME^ATELXNA. oDNAKO DLQ POLNOGO PONIMANIQ SU]NOSTI Mengenlehre NI^TO NE MOVET ZAMENITX ^TENIQ RABOT kANTORA
[C1], [C2], [PB] NA NEMECKOM QZYKE.
nA RUSSKOM IMEETSQ IZUMITELXNOE PO KRASOTE I QSNOSTI WWEDENIE W AKSIOMATI^ESKU@ TEORI@ MNOVESTW, NAPISANNOE ODNIM IZ LU^[IH PROFESSIONALOW W \TOJ OBLASTI [Co] I, RASS^ITANNAQ NA BOLEE PODGOTOWLENNOGO ^ITATELQ [J1]. sOWER[ENNO FEERI^ESKAQ MONOGRAFIQ [JW], POZWOLQET NESPECIALISTU PRIOB]ITXSQ K DUHU I PROBLEMATIKE SOWREMENNYH ISSLEDOWANIJ. w ZAHWATYWA@]IH KNIGAH [J2] I [RR] PERE^ISLQETSQ NESKOLXKO SOTEN UTWERVDENIJ, \KWIWALENTNYH AKSIOME WYBORA. iSTORIQ I FILOSOFIQ TEORII MNOVESTW DETALXNO OBSUVDA@TSQ W [BHF], [Hal]. iZ NESTANDARTNYH TEORIJ MNOVESTW NAIBOLX[EE WPE^ATLENIE PROIZWODIT TEORIQ GIPERMNOVESTW [Acz], [BM].
wSE SERXEZNYE U^EBNIKI PO MATEMATI^ESKOJ LOGIKE I METAMATEMATIKE [EP], [Cur], [Kl2], [Me], [Sh] SODERVAT GLAWU ILI DWE, POSWQ]ENNYE LOGI^ESKIM PARADOKSAM I AKSIOMATI^ESKOJ TEORII MNOVESTW. oDNAKO WSE \TI IZLOVENIQ WEDUTSQ S TO^KI ZRENIQ LOGIKOW, NE OTRAVA@T POTREBNOSTEJ MATEMATIKI I ABSOL@TNO NEPRIGODNY DLQ PERWONA^ALXNOGO OZNAKOMLENIQ S PREDMETOM.
sOWER[ENNO OSOBOE MESTO WO WSEJ OKOLOMATEMATI^ESKOJ LITERATURE, PO SU]E- STWU PROMEVUTO^NOE MEVDU RELIGIEJ, IDEOLOGIEJ, LOGIKOJ I FILOSOFIEJ, ZANIMA@T TRUDY PO LOGICIZMU, INTUICIONIZMU, KONSTRUKTIWIZMU I DRUGIM SEKTANTSKIM NAPRAWLENIQM W OBLASTI ‘OSNOWANIJ MATEMATIKI’, KOTORYE PODDERVIWALISX IH PREDSTAWITELQMI S FANATIZMOM I RELIGIOZNYM RWENIEM (‘WOJNA MY[EJ I LQGU[EK’), SO WSEMI ATRIBUTAMI IDEOLOGI^ESKOJ BORXBY, TIPA SSYLOK NA MARKSIZM I PR. w MIROWOZZREN^ESKOM PLANE DISKUSSII OB OSNOWANIQH NE OKAZALI NIKAKOGO WLIQNIQ NA POZICI@ PODAWLQ@]EGO BOLX[INSTWA MATEMATIKOW, NO NA OPREDELENNOM \TAPE SWOEGO RAZWITIQ KONKRETNYE ISSLEDOWANIQ W OBLASTI INTUICIONISTSKOJ I KONSTRUKTIWNOJ MATEMATIKI BYLI INKORPORIROWANY W KLASSI^ESKU@ MATEMATIKU I W NASTOQ]EE WREMQ QWLQ@TSQ WPOLNE RESPEKTABELXNYMI, HOTQ I WESXMA \ZOTERI- ^ESKIMI RAZDELAMI TEORII ALGORITMOW, TEORII BULEWYH ALGEBR I TOPOSOW.
nASTOQ]AQ BIBLIOGRAFIQ NE PRETENDUET NA POLNOTU, Q PRIWOVU LI[X NEMNOGIE KNIGI, KOTORYE, PO MOEMU MNENI@, MOGLI BY BYTX POLEZNYMI ILI INTERESNYMI STUDENTU, A TAKVE TE KNIGI, KOTORYE POWLIQLI NA MOE SOBSTWENNOE PONIMANIE TEORII MNOVESTW ILI KOTORYE MNOGOKRATNO CITIRU@TSQ W TEKSTE. w TO VE WREMQ PO TEM TEMAM, GDE NA RUSSKOM QZYKE IMEETSQ OB[IRNAQ LITERATURA (LOGIKA, KON-
38 |
NIKOLAJ WAWILOW |
STRUKTIWIZM I T.D.), Q WOOB]E NE PRIWOVU SSYLOK NA KNIGI NA DRUGIH QZYKAH. oDNAKO POLNYH SOWREMENNYH U^EBNIKOW PO TEORII MNOVESTW I TEORII KATEGORIJ NA RUSSKOM QZYKE PROSTO NET, PO\TOMU Q WYNUVDEN UKAZYWATX INOQZY^NYE KNIGI.
iSTORIQ I FILOSOFIQ TEORII MNOVESTW
[C2] g.kANTOR, tRUDY PO TEORII MNOVESTW, nAUKA, m., 1985, pp. 1–431. [PB] pARADOKSY BESKONE^NOGO, iZDATELX w.p.iLXIN, mINSK, 2000, pp. 1–366.
[FBH] a.fRENKELX, i.bAR-hILLEL, oSNOWANIQ TEORII MNOVESTW, mIR, m., 1966, pp. 1–555.
[C1] G.Cantor, Gesammelte Abhandlungen, Berlin, 1932.
[Hal] m.Hallett, Cantorian set theory and limitations of size, Claredon Press, Oxford, 1984, pp. 1–343.
rUKOWODSTWA PO NAIWNOJ TEORII MNOVESTW
tO OBSTOQTELXSTWO, ^TO PROFESSOR ^ITAL “dRAMATURGI@”, MOVET POKAZATXSQ NESKOLXKO NEOVIDANNYM. oDNAKO, PROFESSOR, IZWESTNYJ NE TOLXKO KAK U^ENYJ, NO I KAK PEDAGOG, NEPREMENNO, NASKOLXKO POZWOLQLO EMU WREMQ, PROSMATRIWAL KNIGI, NE NUVNYE EMU PO SPECIALXNOSTI, NO W KAKOJ-TO STEPENI BLIZKIE MYSLQM I ^UWSTWAM SOWREMENNOGO STUDEN^ESTWA.
aKUTAGAWA r@NOSKE32
[Al] p.s.aLEKSANDROW, wWEDENIE W TEORI@ MNOVESTW I OB]U@ TOPOLOGI@, nA-
UKA, m., 1977.
[Br] a.l.bRUDNO, tEORIQ FUNKCIJ DEJSTWITELXNOGO PEREMENNOGO, nAUKA, m., 1971, pp. 1–119.
[VSh] n.k.wERE]AGIN, a.{ENX, nA^ALA TEORII MNOVESTW, mcnmo, m., 1999, pp. 1–127.
[Vil] n.q.wILENKIN, rASSKAZY O MNOVESTWAH, 2-E IZD., nAUKA, m., 1969, pp. 1– 159.
[Di] v.dXEDONNE, oSNOWY SOWREMENNOGO ANALIZA, mIR, m., 1964, pp. 1–430. [Zam] m.zAMANSKIJ, wWEDENIE W SOWREMENNU@ ALGEBRU I ANALIZ, nAUKA, m., 1974,
pp. 1–487.
[Zor] w.a.zORI^, mATEMATI^ESKIJ ANALIZ, T.I,II, m., 2002.
[KST] dV.kEMENI, dV.sNELL, dV.tOMPSON, wWEDENIE W KONE^NU@ MATEMATIKU, iil, m., 1963, pp. 1–486.
[KF] a.n.kOLMOGOROW, s.w.fOMIN, |LEMENTY TEORII FUNKCIJ I FUNKCIONALX-
NOGO ANALIZA, nAUKA, m., 1968, pp. 1–496.
[NO] w.n.nEFEDOW, w.a.oSIPOWA, kURS DISKRETNOJ MATEMATIKI, iZD-WO mai, m., 1992, pp. 1–262.
[S1] w.sERPINSKIJ, o TEORII MNOVESTW, pROSWE]ENIE, m., 1966, pp. 1–61. [Sta] r.r.sTOLL, mNOVESTWA, LOGIKA, AKSIOMATI^ESKIE TEORII, pROSWE]ENRE,
m., 1966, pp. 1–231.
32nOSOWOJ PLATOK, W KNIGE aKUTAGAWA, SO^INENIQ, T.I, pOLQRIS, m., 1998, S.106–
114.
MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive |
39 |
[FKD] r.fOR, a.kOFMAN, m.dENI-pAPEN, sOWREMENNAQ MATEMATIKA, mIR, m., 1966, pp. 1–271.
[Shi] `.a.{IHANOWI^, wWEDENIE W SOWREMENNU@ MATEMATIKU, nAUKA, m., 1965, pp. 1–376.
rUKOWODSTWA PO POLUNAIWNOJ TEORII MNOVESTW
[AD] g.p.aKILOW, dQTLOW, oSNOWY MATEMATI^ESKOGO ANALIZA, nAUKA, nOWOSI-
BIRSK, 1980.
[B]n.bURBAKI, tEORIQ MNOVESTW, mIR, m., 1965.
[K] dV.l.kELLI, oB]AQ TOPOLOGIQ, nAUKA, m., 1981, pp. 1–431. [Co] p.m.kON, uNIWERSALXNAQ ALGEBRA, mIR, m., 1968, pp. 1–351.
[KM] k.kURATOWSKIJ, a.mOSTOWSKIJ, tEORIQ MNOVESTW, mIR, m., 1970, pp. 1– 416.
[Fa] k.fEJS, aLGEBRA: KOLXCA, MODULI I KATEGORII, T.I, mIR, m., 1977, pp. 1– 688.
[Ha] f.hAUSDORF, tEORIQ MNOVESTW, gOSTEHIZDAT, m.–l., 1937, pp. 1–34.
[H]P.R.Halmos, Naive set theory, Springer-Verlag, Berlin et al., 1991.
[HJ] |
K.Hrbacek, T.Jech, Introduction to set theory, Marcel Dekker, N.Y. et al., 1978, |
|
pp. 1–190. |
[Ro] |
J.Roitman, Introduction to modern set theory, Graduate Studies in Math., 1996. |
[R]J.E.Rubin, Set theory for a mathematician, Holden Day, San Francisco, 1967, pp. 1–387.
[S2] |
W.Sierpi´nski, Algebre des ens`embles, Warszawa–WrocÃlaw, 1951. |
[S3] |
W.Sierpi´nski, Cardinal and ordinal numbers, PWN, Warszawa, 1965, pp. 1–491. |
|
rUKOWODSTWA PO AKSIOMATI^ESKOJ TEORII MNOVESTW |
[WM] |
wAN hAO, r.mAK-nOTON, aKSIOMATI^ESKIE SISTEMY TEORII MNOVESTW, |
|
il, m., 1963. |
[J1] |
t.jEH, tEORIQ MNOVESTW I METOD FORSINGA, mIR, m., 1983. |
[Co] |
p.dV.kO\N, tEORIQ MNOVESTW I KONTINUUM-GIPOTEZA, mIR, m., 1969, |
|
pp. 1–347. |
[Mo] |
a.mOSTOWSKIJ, kONSTRUKTIWNYE MNOVESTWA, mIR, m., 1973, pp. 1–256. |
[ML] |
sPRAWO^NAQ KNIGA PO MATEMATI^ESKOJ LOGIKE, T.II, tEORIQ MNOVESTW, |
|
nAUKA, m., 1982, pp. 1–374. |
[Be] |
P.Bernays, Axiomatic set theory, North Holland, Amsterdam, 1958, pp. 1–225. |
[F]A.A.Fraenkel, Abstract set theory, 2nd ed., North Holland, Amsterdam, 1961, pp. 1–295.
[JW] |
M.Just, M.Weese, Discovering modern set theory, I — Basics, Graduate Stu- |
|
dies in Math., 1996. |
|
aKSIOMA WYBORA |
[J2] |
T.Jech, The axiom of choice, North-Holland, Amsterdam, 1973. |
[RR]H.Rubin, J.E.Rubin, Equivalents of the axiom of choice, North Holland, Amsterdam et al., 1968.
40 |
NIKOLAJ WAWILOW |
lOGIKA I METAMATEMATIKA
Bienaventurados los que no saben leer ni escribir porque ser´an llamados analfabetos33
Jose Bergam´ın, La casa a P´ajaros
[GA] d.gILXBERT, w.aKKERMAN, oSNOWY TEORETI^ESKOJ LOGIKI, il, 1947.
[EP] `.l.eR[OW, e.a.pAL@TIN, mATEMATI^ESKAQ LOGIKA, nAUKA, m., 1979, pp. 1– 320.
[Cur] h.b.kARRI, oSNOWANIQ MATEMATI^ESKOJ LOGIKI, mIR, m., 1969, pp. 1–568. [K1] s.k.kLINI, wWEDENIE W METAMATIKU, il, m., 1957.
[K2] s.k.kLINI, mATEMATI^ESKAQ LOGIKA, mIR, m., 1973, pp. 1–480.
[M]`.i.mANIN, dOKAZUEMOE I NEDOKAZUEMOE, sOWETSKOE rADIO, m., 1979, pp. 1– 167.
[Me] |.mENDELXSON, wWEDENIE W MATEMATI^ESKU@ LOGIKU, nAUKA, m., 1971, pp. 1– 319.
[Chu] a.~ER^, wWEDENIE W MATEMATI^ESKU@ LOGIKU, T.I, iil, m., 1960, pp. 1– 485.
[Sh] dV.{ENFILD, mATEMATI^ESKAQ LOGIKA, nAUKA, m., 1975, pp. 1–527.
[En] |.|NGELER, mETAMATEMATIKA \LEMENTARNOJ MATEMATIKI, mIR, m., 1987, pp. 1–127.
|
nESTANDARTNYE TEORII MNOVESTW |
[Vo] |
p.wOPENKA, mATEMATIKA W ALXTERNATIWNOJ TEORII MNOVESTW, mIR, m., |
|
1983. |
[Acz] |
P.Aczel, Non-well-founded sets, SCLI, Stanford, 1988. |
[BM] |
J.Barwise, L.Moss, Vicious circles and the Mathematics of Non-Wellfounded |
|
Phenomena, CSLI Public., 1996, pp. 1–390. |
pRIMENENIQ AKSIOMATI^ESKOJ TEORII MNOVESTW W MATEMATIKE
[Ecl] p.|KLOF, tEORETIKO-MNOVESTWENNYE METODY W GOMOLOGI^ESKOJ ALGEBRE I TEORII ABELEWYH GRUPP, mIR, m., 1986, pp. 1–91.
kONE^NAQ KOMBINATORIKA
[Ai] m.aJGNER, kOMBINATORNAQ TEORIQ, mIR, m., 1982, pp. 1–556.
[GKP] r.gR\HEM, d.kNUT, o.pATA[NIK, kONKRETNAQ MATEMATIKA, mIR, m., 1998, pp. 1–703.
[tD] t.TOM dIK, gRUPPY PREOBRAZOWANIJ I TEORIQ PREDSTAWLENIJ, mIR, m., 1982.
[Iv] o.a.iWANOW, iZBRANNYE GLAWY \LEMENTARNOJ MATEMATIKI, iZD-WO spBgu, 1995, pp. 1–223.
[Ka] a.kOFMAN, wWEDENIE W PRIKLADNU@ KOMBINATORIKU, nAUKA, m., 1975, pp. 1– 479.
33‘bLAVENNY TE, KTO NE UME@T NI ^ITATX, NI PISATX, POTOMU ^TO BUDUT NAZWANY NEGRAMOTNYMI.’