vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

2. nESU]ESTWOWANIE KONTRAWARIANTNOGO ANALOGA TOVDESTWENNOGO FUNK-

TORA. dLQ L@BOGO MNOVESTWA Z POSTOQNNYJ FUNKTOR QWLQETSQ NE TOLXKO KOWARIANTNYM, NO I KONTRAWARIANTNYM. w TO VE WREMQ DLQ KATEGORII MNOVESTW NET NIKAKOGO ESTESTWENNOGO KONTRAWARIANTNOGO ANALOGA TOVDESTWENNOGO FUNKTORA. pERWYM KANDIDATOM NA \TU ROLX BYL BY FUNKTOR, KOTORYJ SOPOSTAWLQET KAVDOMU

MNOVESTWU X SAMO \TO MNOVESTWO, A KAVDOMU OTOBRAVENI@ f : X ¡! Y OBRATNOE OTOBRAVENIE f¡1 : Y ¡! X, PRI \TOM, O^EWIDNO, id¡X1 = idX I (g±f)¡1 = f¡1 ±g¡1.

oDNAKO OPREDELITX TAK KONTRAWARIANTNYJ FUNKTOR NA KATEGORII MNOVESTW I OTOBRAVENIJ TAK WRQD LI UDASTSTQ, POSKOLXKU DALEKO NE WSQKOE OTOBRAVENIE IMEET OBRATNOE OTOBRAVENIE. nA QZYKE TEORII KATEGORIJ \TO WYRAVA@T GOWORQ, ^TO KATEGORIQ MNOVESTW I OTOBRAVENIJ NE IZOMORFNA SWOEJ DWOJSTWENNOJ KATEGORII. kAK MY UWIDIM W SLEDU@]EJ ^ASTI, \TIM ONA RE[ITELXNO OTLI^AETSQ OT KATEGORII MNOVESTW I BINARNYH OTNO[ENIJ, KOTORAQ, KAK RAZ, SAMODWOJSTWENNA (DLQ KAVDOGO OTNO[ENIQ ESTX SIMMETRI^NOE OTNO[ENIE.)

x 13. fUNKTORY NA KATEGORII MNOVESTW, 3rd installment: FUNKTOR STEPENI

sJE^AS MY OBSUDIM DWA WAVNEJ[IH FUNKTORA, KAVDYJ IZ KOTORYH SOPOSTAWLQET MNOVESTWU X EGO BULEAN 2X.

²kONTRAWARIANTNYJ FUNKTOR STEPENI. pOLAGAQ W PRED[ESTWU@]EM OPRE-

DELENII Z = f0; 1g, MY POLU^AEM ^REZWY^AJNO WAVNYJ ^ASTNYJ SLU^AJ, ZASLUVI-

WA@]IJ SPECIALXNOGO IZU^ENIQ. a IMENNO, RASSMOTRIM FUNKTOR P¡, KOTORYJ SOPOSTAWLQET KAVDOMU MNOVESTWU X MNOVESTWO 2X EGO PODMNOVESTW, A KAVDOMU OTOBRAVENI@ f : X ¡! Y OTOBRAVENIE P¡(f) : 2Y ¡! 2X, KOTOROE SOPOSTAWLQET PODMNOVESTWU A µ Y EGO PROOBRAZ W X OTNOSITELXNO f, INYMI SLOWAMI, P¡(f)(A) = f¡1(A). tAK POSTROENNYJ FUNKTOR P¡ NAZYWAETSQ FUNKTOROM STE-

PENI ILI, ESLI NUVNA OSOBAQ TO^NOSTX, KONTRAWARIANTNYM FUNKTOROM STE-

PENI NA KATEGORII MNOVESTW. |TOT FUNKTOR, PO SU]ESTWU, QWLQETSQ SPECIALXNYM SLU^AEM GLAWNOGO KONTRAWARIANTNOGO FUNKTORA. w SAMOM DELE, HARAKTERISTI^E-

SKAQ FUNKCIQ PODMNOVESTWA P¡(A) QWLQETSQ KOMPOZICIEJ f I HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII PODMNOVESTWA A.

²kOWARIANTNYJ FUNKTOR STEPENI. fUNKTOR STEPENI DOPUSKAET ESTESTWEN-

NYJ KOWARIANTNYJ ANALOG. a IMENNO, RASSMOTRIM FUNKTOR P+, KOTORYJ SOPOSTAWLQET KAVDOMU MNOVESTWU X MNOVESTWO 2X EGO PODMNOVESTW, A KAVDOMU OTOBRAVENI@ f : X ¡! Y OTOBRAVENIE P+(f) : 2X ¡! 2Y , KOTOROE SOPOSTAWLQET PODMNOVESTWU A µ X EGO OBRAZ W Y OTNOSITELXNO f, INYMI SLOWAMI, P+(f)(A) = f(A). tAK POSTROENNYJ FUNKTOR P+ NAZYWAETSQ KOWARIANTNYM FUNKTOROM STEPENI NA KATEGORII MNOVESTW.

pREDOSTEREVENIE. sTOIT OTMETITX, ^TO \TOT FUNKTOR NE QWLQETSQ ^ASTNYM SLU^AEM GLAWNOGO KOWARIANTNOGO FUNKTORA I OBQZAN SWOIM SU]ESTWOWANIEM DOPOLNITELXNOJ STRUKTURE NA MNOVESTWE f0; 1g, A IMENNO TOMU, ^TO f0; 1g RASSMATRIWAETSQ KAK MNOVESTWO S OTME^ENNOJ TO^KOJ 0. w SAMOM DELE, HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ ˜ PODMNOVESTWA P+(A) WYRAVAETSQ ^EREZ HARAKTERISTI^ESKU@ FUNKCI@  PODMNOVESTWA A SLEDU@]IM OBRAZOM:

(

pO\TOMU, GOWORQ PROSTO O FUNKTORE STEPENI MY BUDEM WSEGDA IMETX W WIDU KONTRAWARIANTNYJ FUNKTOR STEPENI.

zADA^A. kAVDYJ IZ FUNKTOROW P¡P¡, P¡P+, P+P¡, P+P+ PEREWODIT X W 22X . wO ^TO \TI FUNKTORY PEREWODQT f : X ¡! Y ?

zADA^A. mOVNO LI OPREDELITX KONTRAWARIANTNYJ FUNKTOR V¡ I KOWARIANTNYJ FUNKTOR V+, SOPOSTAWLQ@]IE KAVDOMU MNOVESTWU X MNOVESTWO V(X) EGO KONE^- NYH PODMNOVESTW?

x 14. fUNKTORY NA KATEGORII MNOVESTW, 4th installment: FUNKTORY DWUH ARGUMENTOW

1. fUNKTORY DWUH ARGUMENTOW. w DEJSTWITELXNOSTI NAM ^ASTO PRIDETSQ RASSMATRIWATX FUNKTORY DWUH I BOLEE ARGUMENTOW. tAKOJ FUNKTOR MOVET BYTX KOWARIANTNYM PO ODNIM ARGUMENTAM I KONTRAWARIANTNYM PO DRUGIM. nAPRIMER, FUNKTOR DWUH ARGUMENTOW MOVET BYTX KOWARIANTEN PO OBOIM ARGUMENTAM, LIBO KOWARIANTEN PO PERWOMU ARGUMENTU I KONTRAWARIANTEN PO WTOROMU, LIBO KONTRAWARIANTEN PO PERWOMU ARGUMENTU I KOWARIANTEN PO WTOROMU, LIBO, NAKONEC, KONTRAWARIANTEN PO OBOIM ARGUMENTAM. mY DADIM OPREDELENIE FUNKTORA, KONTRAWARIANTNOGO PO PERWOMU I KOWARIANTNOGO PO WTOROMU ARGUMENTU, DLQ KOTOROGO U NAS ESTX INTERESNYJ PRIMER, FUNKTOR Map.

oPREDELENIE. fUNKTOR F DWUH ARGUMENTOW NA KATEGORII MNOVESTW KONTRA-

WARIANTNYJ PO PERWOMU ARGUMENTU I KONTRAWARIANTNYJ PO WTOROMU SO-

STOIT IZ SLEDU@]IH DANNYH:

1.sOPOSTAWLENIQ KAVDYM DWUM MNOVESTWAM X I Y NEKOTOROGO ODNOZNA^NO OPREDELENNOGO MNOVESTWA F (X; Y );

2.sOPOSTAWLENIE KAVDYM DWUM OTOBRAVENIQM f : X ¡! Y I g : U ¡! V NEKOTOROGO ODNOZNA^NO OPREDELENNOGO OTOBRAVENIQ F (f; g) : F (Y; U) ¡! F (X; V );

POD^INENNYH SLEDU@]IM USLOWIQM:

Bif1 sOHRANENIE TOVDESTWENNOGO OTOBRAVENIQ: F (idX; idY ) = idF(X;Y );

Bif2 sOHRANENIE KOMPOZICII: F (g±f; i±h) = F (f; i)±F (g; h) DLQ L@BYH ^ETYREH OTOBRAVENIJ X ¡!f Y ¡!g Z, U ¡!h V ¡!i W .

nEKOTORYE AWTORY NAZYWA@T FUNKTORY, KONTRAWARIANTNYE PO PERWOMU I KOWARIANTNYE PO WTOROMU ARGUMENTU, PROSTO KONTRA-KO-FUNKTORAMI). fUNKTORY DWUH ARGUMENTOW INOGDA NAZYWA@TSQ TAKVE BIFUNKTORAMI. |TO NAZWANIE OSOBENNO ^ASTO UPOTREBLQETSQ DLQ FUNKTOROW, KOWARIANTNYH PO OBOIM ARGUMENTAM. tAKIE FUNKTORY NAZYWA@TSQ E]E DWAVDY KOWARIANTNYMI, A FUNKTORY, KONTRAWARIANTNYE PO OBOIM ARGUMENTAM, — DWAVDY KONTRAWARIANTNYMI.

zADA^A. 1. oPREDELITX FUNKTORY DWUH ARGUMENTOW DLQ WSEH OSTALXNYH WOZMOVNYH KOMBINACIJ KOWARIANTNOSTI I KONTRAWARIANTNOSTI.

2. oPREDELITX FUNKTOR TREH ARGUMENTOW, KOWARIANTNYJ PO PERWOMU ARGUMENTU I KONTRAWARIANTNYJ PO WTOROMU I TRETXEMU.

² gLAWNYJ BIFUNKTOR. gLAWNYJ KOWARIANTNYJ FUNKTOR I GLAWNYJ KONTRAWARIANTNYJ FUNKTOR MOVNO OB_EDINITX W ODIN FUNKTOR DWUH ARGUMENTOW, NAZYWAEMYJ GLAWNYM BIFUNKTOROM. a IMENNO, Map SOPOSTAWLQET KAVDYM DWUM MNOVESTWAM X I Y MNOVESTWO Map(X; Y ) WSEH OTOBRAVENIJ IZ X W Y , A L@BYM DWUM

OTOBRAVENIQM f : X ¡! Y I g : U ¡! V — OTOBRAVENIE Map(f; g) : Map(Y; U) ¡! Map(X; V ), SOPOSTAWLQ@]EE KAVDOMU OTOBRAVENI@ h 2 Map(Y; U) KOMPOZICI@ g ± h ± f 2 Map(X; V ).

x 15. fUNKTORIALXNOSTX PRQMOGO PROIZWEDENIQ

nA KATEGORII MNOVESTW I OTOBRAVENIJ ZAWISIMOSTX OB_EDINENIQ I PERESE^ENIQ OT SWOIH ARGUMENTOW NE QWLQETSQ FUNKTORIALXNOJ. w TO VE WREMQ, PRQMOE PROIZWEDENIE (KAK I SWOBODNOE OB_EDINENIE) QWLQETSQ FUNKTOROM SWOIH ARGUMENTOW.

1. oB_EDINENIE I PERESE^ENIE NE QWLQ@TSQ FUNKTORAMI. sOPOSTAWLENIQ

(X; Y ) 7!X [ Y I (X; Y ) 7!X \ Y

NEWOZMOVNO ESTESTWENNO DOOPREDELITX DO FUNKTOROW DWUH ARGUMENTOW NA KATEGORII MNOVESTW I OTOBRAVENIJ. wPRO^EM, KAK LEGKO WIDETX, ONI ZADA@T FUNKTORY NA KATEGORII MNOVESTW I OTNO[ENIJ, SM. gL. ?. w SAMOM DELE, BUDEM POLXZOWATXSQ OBOZNA^ENIQMI PREDYDU]EGO PARAGRAFA I ZAPISYWATX [ I \ KAK PREFIKSY, T.E.

[(X; Y ) = X [ Y I \(X; Y ) = X \ Y . pUSTX TEPERX f : X ¡! Y I g : U ¡! V . ~TO ESTESTWENNO NAZYWATX [(f; g) I \(f; g)? |TO DOLVNY BYTX NEKOTORYE ESTESTWENNO OPREDELENNYE OTOBRAVENIQ IZ X [ U W Y [ V I IZ X [ U W Y [ V , SOOTWETSTWENNO. oDNAKO TAKIE OTOBRAVENIQ MOVNO OPREDELITX LI[X ESLI OGRANI^ENIQ f I g NA X \U SOWPADA@T, T.E. ESLI f(x) = g(x) DLQ L@BOGO x 2 X \U, A OTN@DX NE W OB]EM SLU^AE. a IMENNO, OTOBRAVENIE \(f; g) BUDET SOWPADATX S OGRANI^ENIEM fjX\U = gjX\U , A OTOBRAVENIE [(f; g) — SO SKLEJKOJ f [ g, OPREDELENNOJ POSREDSTWOM

|TO OPREDELENIE KORREKTNO LI[X POTOMU, ^TO OGRANI^ENIQ f I g NA X \ U SOWPADA@T.

2. fUNKTORIALXNOSTX PRQMOGO PROIZWEDENIQ. w OTLI^IE OT OB_EDINENIQ I PERESE^ENIQ, PRQMOE PROIZWEDENIE Q QWLQETSQ DWAVDY KONTRAWARIANTNYM FUNKTOROM. |TO ZNA^IT, ^TO ESLI POLOVITX Q(X; Y ) = X £ Y , TO L@BYM DWUM OTOBRAVENIQM f : X ¡! U I g : Y ¡! V MOVNO OSMYSLENNYM OBRAZOM SOPOSTAWITX NEKOTOROE OTOBRAVENIE f £ g : X £ Y ¡! U £ V TAK, ^TOBY PRI \TOM WYPOLNQLISX AKSIOMY FUNKTORA. dOSTATO^NO ZADATX ZNA^ENIE OTOBRAVENIQ f £ g NA WSEJ PARAH (x; y), x 2 X, y 2 Y . pOLAGAQ (f £g)(x; y) = (f(x); g(y)) MY DEJSTWITELXNO POLU^IM OTOBRAVENIE IZ Map(X £ Y; U £ V ).

zADA^A. pROWERXTE, ^TO IZLOVENNAQ WY[E KONSTRUKCIQ ZADAET DWAVDY KOWARIANTNYJ FUNKTOR NA KATEGORII MNOVESTW.

pREDOSTEREVENIE. pOSTROENNOE W PREDYDU]EM PUNKTE OTOBRAVENIE f £ g NE SLEDUET PUTATX S OTOBRAVENIEM (f; g), FIGURIROWAW[IM W OPREDELENII PRQMOGO PROIZWEDENIQ. nA SAMOM DELE (f; g) – OTOBRAVENIE, ZAWISQ]EE OT ODNOGO ARGUMENTA, (f; g)(z) = (f(z); g(z)), W TO WREMQ KAK f £ g – OTOBRAVENIE, ZAWISQ]EE OT DWUH ARGUMENTOW, (f £ g)(x; y) = (f(x); g(y)). wPRO^EM, ONI TESNO SWQZANY MEVDU SOBOJ, A IMENNO, OTOBRAVENIE (f; g) ESTESTWENNO ISTOLKOWYWAETSQ KAK KOMPOZICIQ

DIAGONALXNOGO OTOBRAVENIQ Z ¡! Z £ Z, z 7!(z; z) S OTOBRAVENIEM f £ g.

3. fUNKTORY ODNOGO ARGUMENTA. zAMORAVIWAQ ODIN IZ ARGUMENTOW W PRQMOM PROIZWEDENII MY POLU^AEM KOWARIANTNYE FUNKTORY ODNOGO ARGUMENTA ?£X I X£?. tAK KAK W SILU KOMMUTATIWNOSTI PRQMOGO PROIZWEDENIQ ONI BUDUT KANONI^ESKI IZOMORFNY (KAK FUNKTORY, SM. gLAWU 9), DOSTATO^NO RASSMOTRETX PERWYJ IZ NIH. wKL@^IM OTOBRAVENIE f : Y ¡! Z W KOMMUTATIWNYJ KWADRAT:

f£id

Y £ Z ¡¡¡¡¡! Z £ X

~TO MOVNO SKAZATX O SWQZI IN_EKTIWNOSTI I S@R_EKTIWNOSTI f I f £ id.

x 16. mETRI^ESKIE PROSTRANSTWA

oSNOWNOJ PRINCIP TEORII WOZMU]ENIJ SOSTOIT W TOM, ^TO WWEDENIE NEBOLX[O- GO DOPOLNITELXNOGO WOZMU]ENIQ, NARU[A@]EGO SIMMETRI@ ISHODNOJ ZADA^I, POZWOLQET RAZLI^ATX WE]I, KOTORYE W ISHODNOJ POSTANOWKE KAZALISX IDENTI^NYMI. kATEGORIQ MNOVESTW SLI[KOM PROSTA, ^TOBY W NEJ MOVNO BYLO QSNO WIDETX WSE ASPEKTY KATEGORNYH KONSTRUKCIJ. w NASTOQ]EM PARAGRAFE MY WWEDEM NEBOLX[OE DOPOLNITELXNOE WOZMU]ENIE: PEREJDEM OT KATEGORII MNOVESTW K KATEGORII METRI^ESKIH PROSTRANSTW.

1. mETRI^ESKIE PROSTRANSTWA. nAPOMNIM, ^TO METRI^ESKIM PROSTRAN-

STWOM NAZYWAETSQ MNOVESTWO X WMESTE S OTOBRAVENIEM d : X £ X ¡! R, NAZYWAEMYM OBY^NO RASSTOQNIEM ILI METRIKOJ, UDOWLETWORQ@]IM SLEDU@]IM SWOJSTWAM:

MS1 POLOVITELXNOSTX d(x; y) ¸ 0, PRI^EM d(x; y) = 0 W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA x = y;

MS2 SIMMETRI^NOSTX d(x; y) = d(y; x);

MS3 NERAWENSTWO TREUGOLXNIKA d(x; z) · d(x; y) + ±(y; z).

bOLX[INSTWO RASSMATRIWAEMYH W ALGEBRE METRI^ESKIH PROSTRANSTW, W DEJSTWITELXNOSTI QWLQ@TSQ ULXTRAMETRI^ESKIMI, T.E. WMESTO NERAWENSTWA TREUGOLXNIKA ONI UDOWLETWORQ@T BOLEE SILXNOMU ULXTRAMETRI^ESKOMU NERAWENSTWU:

d(x; z) · max(d(x; y); d(y; z)):

2. mORFIZMY METRI^ESKIH PROSTRANSTW. w \LEMENTARNYH U^EBNIKAH ANA-

LIZA, DAVE DOSTATO^NO PRODWINUTYH116, W KA^ESTWE MORFIZMOW METRI^ESKIH PROSTRANSTW OBY^NO RASSMATRIWA@TSQ SVIMA@]IE OTOBRAVENIQ. nAPOMNIM, ^TO OTOBRAVENIE f : X ¡! Y , GDE (X; dX), (Y; dY ) DWA METRI^ESKIH PROSTRANSTWA, NAZYWAETSQ SVIMA@]IM, ESLI

dY (f(x); f(y)) · dX(x; y)

116a.n.kOLMOGOROW, s.w.fOMIN, |LEMENTY TEORII FUNKCIJ I FUNKCIONALXNOGO ANALIZA. – m., nAUKA, 1976.

DLQ L@BYH x; y 2 X. w \TOM SLU^AE IZOMORFIZMAMI BUDUT IZOMETRII, T.E. TAKIE BIEKTIWNYE OTOBRAVENIQ, ^TO dY (f(x); f(y)) = dX(x; y) DLQ L@BYH x; y 2 X. s DRUGOJ STORONY, W TOPOLOGII, GOWORQ OB \KWIWALENTNYH METRIKAH NA X, OBY^NO IME@T W WIDU, ^TO ONI ZADA@T NA X ODNU I TU VE TOPOLOGI@ (W \TOM SLU^AE MORFIZMY – \TO PROSTO NEPRERYWNYE OTOBRAVENIQ).

oDNAKO W ALGEBRE PRINQTO RASSMATRIWATX KATEGORI@ METRI^ESKIH PROSTRANSTW S ZAPASOM MORFIZMOW GORAZDO BOLX[IM, ^EM SVIMA@]IE OTOBRAVENIQ, I GORAZ- DO MENX[IM, ^EM NEPRERYWNYE OTOBRAVENIQ. a IMENNO, W KA^ESTWE MORFIZMOW METRI^ESKIH PROSTRANSTW OBY^NO PRINIMA@TSQ LIP[ICEWY OTOBRAVENIQ. nAPOMNIM, ^TO f : X ¡! Y , NAZYWAETSQ LIP[ICEWYM, S KONSTANTOJ c 2 R+, ESLI

dY (f(x); f(y)) · cdX(x; y)

DLQ L@BYH x; y 2 X. tAKIM OBRAZOM, SVIMA@]EE OTOBRAVENIE – \TO W TO^NOSTI lIP[ICEWO OTOBRAVENIE S KONSTANTOJ c = 1. w \TOM SLU^AE IZOMORFIZMAMI BUDUT BILIP[ICEWY OTOBRAVENIQ, T.E. TAKIE BIEKTIWNYE OTOBRAVENIQ, DLQ KOTORYH SU]ESTWU@T KONSTANTY c1; c2 2 R+ TAKIE, ^TO

c1dX(x; y) · dY (f(x); f(y)) · c2dX(x; y)

DLQ L@BYH x; y 2 X.

zAME^ANIE. pROFESSIONALXNYE ANALISTY OBY^NO RASSMATRIWA@T KATEGORI@ METRI^ESKIH PROSTRANSTW S E]E BOLEE [IROKIM ZAPASOM MORFIZMOW. a IMENNO, GOWORQT, ^TO OTOBRAVENIE f : X ¡! Y UDOWLETWORQET USLOWI@ gELXDERA PORQDKA ®, 0 < ® · 1, ESLI SU]ESTWUET TAKAQ KONSTANTA c 2 R+, ^TO

dY (f(x); f(y)) · cdX(x; y)®

DLQ L@BYH x; y 2 X. uSLOWIE gELXDERA PORQDKA ® > 1 NE PREDSTAWLQET INTERESA, TAK KAK OPREDELQET SLI[KOM SILXNO SVIMA@]IE OTOBRAVENIQ. nAPRIMER, NE SU]ESTWUET NIKAKIH GELXDEROWYH FUNKCIJ f : R ¡! R PORQDKA ® > 1, KROME POSTOQNNYH117.

3.pRQMOE PROIZWEDENIE METRI^ESKIH PROSTRANSTW. w SOOTWETSTWII S

OB]IM OPREDELENIEM PRQMOE PROIZWEDENIE METRI^ESKIH PROSTRANSTW (X; dX) I (Y; dY ) — \TO TAKOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO (Z; dZ), WMESTE S LIP[ICEWYMI OTOBRAVENIQMI ¼1 : Z ¡! X, ¼2 : Z ¡! Y , ^TO DLQ L@BOGO METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA (W; dW ) I L@BYH LIP[ICEWYH OTOBRAVENIJ f : W ¡! X, g : W ¡! Y , SU]ESTWUET EDINSTWENNOE LIP[ICEWO OTOBRAVENIE h : W ¡! Z, TAKOE, ^TO f =

¼X ± h, g = ¼2 ± h.

qSNO, ^TO Z = X £Y KAK MNOVESTWO, NO KAK WWESTI METRIKU NA X £Y TAK, ^TOBY OTOBRAVENIE (f; g)(w) = (f(w); g(w)) STALO LIP[ICEWYM? mOVNO, NAPRIMER,

OPREDELITX NA X £ Y METRIKU ~EBY[EWA:

d1X£Y ((x1; y1); (x2; y2)) = max(dX(x1; x2); dY (y1; y2));

TOGDA (f; g) LIP[ICEWO S KONSTANTOJ max(c(f); c(g)).

117lORAN {WARC, aNALIZ, T.1, m., mIR, 1972. — S.87.

dLQ RAZNOOBRAZIQ MOVNO POLOVITX

d1X£Y ((x1; y1); (x2; y2)) = dX(x1; x2) + dY (y1; y2);

TOGDA (f; g) LIP[ICEWO S KONSTANTOJ c(f) + c(g) |TO TAK NAZYWAEMAQ GORODSKAQ METRIKA (taxicab metric).

mOVNO, NAKONEC, OPREDELITX RASSTOQNIE \WKLIDOWYM OBRAZOM

q

d2X£Y ((x1; y1); (x2; y2)) = dX(x1; x2)2 + dY (y1; y2)2;

p

TOGDA (f; g) LIP[ICEWO S KONSTANTOJ c(f)2 + c(g)2.

oDNAKO W DEJSTWITELXNOSTI, L@BAQ IZ \TIH METRIK (I MNOVESTWO DRUGIH) OPREDELQ@T NA X £ Y STRUKTURU PRQMOGO PROIZWEDENIQ W KATEGORII METRI^ESKIH PROSTRANSTW. tAKIM OBRAZOM, NI O KAKOJ ‘EDINSTWENNOSTI’ PRQMOGO PROIZWEDENIQ ‘NA SAMOM DELE’ ZDESX NE MOVET IDTI RE^I. qSNO, ^TO W KATEGORII METRI^ESKIH PROSTRANSTW I GELXDEROWYH OTOBRAVENIJ SU]ESTWUET E]E BOLX[E WOZMOVNOSTEJ WYBORA METRIKI NA X £ Y .

x 17. pRQMOE PROIZWEDENIE PROIZWOLXNYH SEMEJSTW

w NASTOQ]EM PARAGRAFE MY OBOB]IM PONQTIE PRQMOGO PROIZWEDENIQ NA SLU^AJ PROIZWOLXNOGO SEMEJSTWA MNOVESTW. |TA KONSTRUKCIQ PREDPOLAGAET ZNAKOMSTWO S PONQTIEM OTOBRAVENIQ. kROME TOGO, NEPUSTOTA BESKONE^NYH PROIZWEDENIJ NEPUSTYH MNOVESTW UVE SOWER[ENNO NE QWLQETSQ O^EWIDNOJ I GARANTIRUETSQ TOLXKO AKSIOMOJ WYBORA.

1. nAIWNOE OPREDELENIE. pUSTX TEPERX fXi; i 2 Ig – L@BOE SEMEJSTWO MNOVESTW, GDE I NEKOTOROE MNOVESTWO INDEKSOW.

oPREDELENIE. pRQMOE PROIZWEDENIE QXi, i 2 I, SEMEJSTWA fXigi2I

OPREDELQETSQ KAK MNOVESTWO WSEH OTOBRAVENIJ f : I ¡! [Xi, TA- KIH, ^TO fi = f(i) 2 Xi.

w ^ASTNOSTI, ESLI WSE MNOVESTWA Xi RAWNY MEVDU SOBOJ — MY OBOZNA^IM IH OB]EE ZNA^ENIE ^EREZ X, TO PROIZWEDENIE TAKOGO SEMEJSTWA ESTX W TO^NOSTI MNOVESTWO XI = Map(I; X) WSEH OTOBRAVENIJ IZ I W

X.

pROIZWEDENIE PUSTOGO SEMEJSTWA. oTMETIM PREDELXNYJ SLU-

^AJ PUSTOGO SEMEJSTWA, KOTORYJ REALXNO WOZNIKNET PRI ISSLEDOWANII ALGEBRAI^ESKIH OPERACIJ W rAZDELE 4. w \TOM SLU^AE KAK MNOVESTWO INDEKSOW I, TAK I OBXEDINENIE SEMEJSTWA PUSTY. qSNO, ^TO SU]ESTWUET ROWNO ODNO OTOBRAVENIE IZ PUSTOGO MNOVESTWA W L@BOE MNOVESTWO, A IMENNO PUSTOE OTOBRAVENIE (GRAFIK KOTOROGO PUST). tEM SAMYM PROIZWEDENIE PUSTOGO SEMEJSTWA ESTX ODNO\LEMENTNOE MNOVESTWO ?. w

^ASTNOSTI, DLQ L@BOGO NEPUSTOGO MNOVESTWA X IMEEM X0 = ? (EDINSTWENNYJ \LEMENT \TOGO MNOVESTWA MOVNO E]E INTERPRETIROWATX KAK

0-KU (‘NULXKU’) \LEMENTOW ‘Λ = ()’).

2. mULXTIPLIKATIWNAQ AKSIOMA. qSNO, ^TO ESLI HOTQ BY ODNO IZ MNOVESTW Xi PUSTO, TO PROIZWEDENIE QXi TAKVE PUSTO. oBRATNOE UTWERVDENIE NE STOLX O^EWIDNO. oNO NAZYWAETSQ NAZYWAETSQ AK-

SIOMOJ WYBORA W MULXTIPLIKATIWNOJ FORME, AKSIOMOJ WYBORA W FORME rASSELA ILI PROSTO MULXTIPLIKATIWNOJ AKSIOMOJ. w DEJSTWITELXNOSTI OTS@DA SRAZU WYTEKAET, ^TO TOGDA W MNOVESTWE QXi DOWOLXNO MNOGO \LEMENTOW.

ZF8 (mULXTIPLIKATIWNAQ FORMA AKSIOMY WYBORA). dEKARTOWO PROIZWEDENIE L@BOGO SEMEJSTWA NEPUSTYH MNOVESTW NEPUSTO.

o^EWIDNO, ^TO \TO UTWERVDENIE QWLQETSQ PEREFORMULIROWKOJ AKSIOMY WYBORA. eSLI QXi =6 ? I (xi) 2 QXi KAKOJ-TO \LEMENT \TOGO MNOVESTWA, TO f : I ¡! [Xi, i 7!ai QWLQETSQ FUNKCIEJ WYBORA I OBRATNO, ESLI f : I ¡! [Xi — KAKAQ-TO FUNKCIQ WYBORA, TO (f(i)) – \LEMENT PRQMOGO PROIZWEDENIQ QXi.

x 18. pRQMOE PROIZWEDENIE MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ

bOLX[INSTWO RASSMATRIWAEMYH W ALGEBRE OB_EKTOW IMEET WYDELENNYJ \LEMENT, OBY^NO \TO NEJTRALXNYJ \LEMENT NEKOTOROJ ALGEBRAI^ESKOJ OPERACII, SKAVEM, 0 ILI 1. dLQ TAKIH OB_EKTOW PONQTIE PRQMOGO PROIZWEDENIQ OBLADAET ZAME^ATELXNYMI OSOBENNOSTQMI, KOTORYE MY RASSMOTRIM W \TOM I SLEDU@]EM PARAGRAFAH.

1. mNOVESTWA S OTME^ENNOJ TO^KOJ. sEJ^AS MY OPREDELIM OB_EKTY, KOTORYJ S TO^KI ZRENIQ OB]EJ ALGEBRY QWLQETSQ MNOVESTWAMI S ODNOJ NULXARNOJ OPERACIEJ. uDIWITELXNO, KAKAQ BOGATAQ KOMBINATORNAQ STRUKTURA SKRYWAETSQ ZA \TIM NEPRITQZATELXNYM PONQTIEM.

oPREDELENIE. pARA (A; ¤A), SOSTOQ]AQ IZ MNOVESTWA A I \LEMENTA ¤ = ¤A 2

A, NAZYWAETSQ MNOVESTWOM S OTME^ENNOJ TO^KOJ.

~ASTO, DOPUSKAQ WOLXNOSTX RE^I, MNOVESTWO S OTME^ENNOJ TO^KOJ OBOZNA^A@T ODNOJ BUKWOJ A, ODNAKO \TO NE DOLVNO WWODITX W ZABLUVDENIE: POWEDENIE MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ RADIKALXNO OTLI^AETSQ OT POWEDENIQ MNOVESTW. w DEJSTWITELXNOSTI, ONO ESTESTWENNO OPISYWAETSQ W TEORETIKO-KATEGORNYH, A WOWSE NE W TEORETIKO-MNOVESTWENNYH TERMINAH.

mNOVESTWO S OTME^ENNOJ TO^KOJ WSEGDA NE PUSTO, TAK KAK ONO SODERVIT PO KRAJNEJ MERE ODIN \LEMENT — SAMU OTME^ENNU@ TO^KU. sOWER[ENNO OSOBU@ WO WSEJ TEORII IGRA@T ODNO\LEMENTNYE MNOVESTWA, SOSTOQ]IE LI[X IZ OTME^ENNOJ TO^- KI, TAKOE MNOVESTWO OBY^NO OBOZNA^AETSQ ^EREZ f¤g. dLQ MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ NEWOZMOVNO RAZUMNO OPREDELITX BULEWY OPERACII OB_EDINENIQ I PERESE^E- NIQ, TAK KAK NEPONQTNO, ^TO SLEDUET S^ITATX OTME^ENNOJ TO^KOJ W OB_EDINENII ILI PERESE^ENII DWUH MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ. |TI OPERACII IME@T SMYSL LI[X DLQ MNOVESTW S OB]EJ OTME^ENNOJ TO^KOJ).

2. mORFIZMY MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ. dLQ MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ IMEET SMYSL RASSMATRIWATX NE L@BYE OTOBRAVENIQ, A LI[X TAKIE, KOTORYE PEREWODQT OTME^ENNU@ TO^KU W OTME^ENNU@ TO^KU.

oPREDELENIE. pUSTX (A; ¤A) I (B; ¤B) — DWA MNOVESTWA S OTME^ENNOJ TO^- KOJ. oTOBRAVENIE f : A ¡! B NAZYWAETSQ MORFIZMOM MNOVESTW S OTME^EN- NOJ TO^KOJ, ESLI f(¤B) = ¤B.

zADA^A. uBEDITESX, ^TO TOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE, KOMPOZICIQ DWUH MORFIZMOW I OTOBRAVENIE, OBRATNOE K BIEKTIWNOMU MORFIZMU MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ, SAMI QWLQ@TSQ MORFIZMAMI MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ.

oSOBAQ ROLX MNOVESTWA f¤g SWQZANA S TEM, ^TO DLQ L@BOGO MNOVESTWA S OTME- ^ENNOJ TO^KOJ A SU]ESTWUET EDINSTWENNYJ MORFIZM A ¡! f¤g I EDINSTWENNYJ MORFIZM f¤g ¡! A. nA QZYKE TEORII KATEGORIJ \TO OZNA^AET, ^TO f¤g QWLQETSQ NULEWYM OB_EKTOM KATEGORII MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ

3. pRQMOE PROIZWEDENIE MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ. w x 1 I x 3

MY DALI DWA OPREDELENIQ PRQMOGO PROIZWEDENIQ MNOVESTW. kAVDOE IZ NIH LEGKO OBOB]ITX NA MNOVESTWA S OTME^ENNOJ TO^KOJ.

nAIWNOE OPREDELENIE. pRQMYM PROIZWEDENIEM MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ (A; ¤A) I (B; ¤B) NAZYWAETSQ MNOVESTWO S OTME^ENNOJ TO^KOJ (A £ B; (¤A; ¤B)).

w DALXNEJ[EM PARA (¤A; ¤B) BUDET OBOZNA^ATXSQ ^EREZ ¤A£B. o^EWIDNO, ^TO KANONI^ESKIE PROEKCII pr1 I pr2 QWLQ@TSQ MORFIZMAMI MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ, T.E. pr1(¤A£B) = ¤A I pr2(¤A£B) = ¤B.

kATEGORNOE OPREDELENIE. pUSTX A I B — DWA MNOVESTWA S OTME^ENNOJ TO^- KOJ. iH PRQMYM PROIZWEDENIEM NAZYWAETSQ MNOVESTWO S OTME^ENNOJ TO^- KOJ A £ B WMESTE S MORFIZMAMI pr1 : A £ B ¡! A, pr2 : A £ B ¡! B, NAZYWA- EMYMI KANONI^ESKIMI PROEKCIQMI A £ B NA PERWYJ I WTOROJ MNOVITELX, UDOWLETWORQ@]EE SLEDU@]EMU UNIWERSALXNOMU SWOJSTWU:

dLQ L@BOGO MNOVESTWA S OTME^ENNOJ TO^KOJ C I L@BYH MORFIZMOW f : C ¡! A I g : C ¡! B SU]ESTWUET EDINSTWENNYJ MORFIZM f £ g : C ¡! A £ B TAKOJ,

^TO f = pr1 ±(f £ g) I g = pr2 ±(f £ g).

zADA^A. dOKAVITE, ^TO NAIWNOE PRQMOE PROIZWEDENIE MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ UDOWLETWORQET UNIWERSALXNOMU SWOJSTWU I, TEM SAMYM, QWLQETSQ IH KATEGORNYM PRQMYM PROIZWEDENIEM.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO L@BYE DWA PRQMYH PROIZWEDENIQ KANONI^ESKI IZOMORFNY, T.E. ESLI C I D — DWA PRQMYH PROIZWEDENIQ MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ A I B, TO SU]ESTWUET EDINSTWENNYJ OBRATIMYJ MORFIZM MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ C ¡! D, KOMMUTIRU@]IJ S KANONI^ESKIMI PROEKCIQMI.

4. kANONI^ESKIE WLOVENIQ. dLQ PRQMOGO PROIZWEDENIQ MNOVESTW IME@TSQ KANONI^ESKIE PROEKCII pr1 : A £ B ¡! A I pr2 : A £ B ¡! B, NO NET, WOOB]E GOWORQ, NIKAKOGO ESTESTWENNOGO SPOSOBA OPREDELITX WLOVENIQ ¶1 : A ¡! A £ B I ¶2 : B ¡! A £ B. dLQ MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ TAKOJ SPOSOB ESTX.

oPREDELENIE. pUSTX A I B — DWA MNOVESTWA S OTME^ENNOJ TO^KOJ. mOR-

FIZMY ¶1 : A ¡! A £ B, a 7!(a; ¤B) I ¶2 : B ¡! A £ B, b 7!(¤A; b) NAZYWA@TSQ KANONI^ESKIMI WLOVENIQMI SOMNOVITELEJ A I B W PRQMOE PROIZWEDENIE.

zADA^A. uBEDITESX, ^TO pr1 ±¶1 = idA I pr2 ±¶2 = idB.

5. pRQMYE SUMMY. zABEGAQ WPERED, OTMETIM, ^TO DLQ MNOGIH WAVNEJ[IH KATEGORIJ (ABELEWY GRUPPY, WEKTORNYE PROSTRANSTWA, R-MODULI, KOLXCA) PROIZWEDENIE A £ B WMESTE S TOLXKO ^TO POSTROENNYMI KANONI^ESKIMI WLOVENIQMI ¶1 I ¶2 UDOWLETWORQET UNIWERSALXNOMU SWOJSTWU, DWOJSTWENNOMU K UNIWERSALXNOMU SWOJSTWU PRQMOGO PROIZWEDENIQ (WO WSEH PERE^ISLENNYH WY[E PRIMERAH OTME^ENNOJ TO^KOJ W A QWLQETSQ 0A). iNA^E GOWORQ, W \TIH SLU^AQH A £ B QWLQETSQ ODNOWREMENNO I PROIZWEDENIEM I KOPROIZWEDENIEM A I B. w \TIH SLU^AQH A£B OBY^NO NAZYWAETSQ PRQMOJ SUMMOJ A I B I OBOZNA^AETSQ A © B. oDNAKO PROIZWEDENIE A £ B NE QWLQETSQ KOPROIZWEDENIEM W KATEGORII MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ, PO\TOMU MY NE BUDEM GOWORITX O NEM KAK O PRQMOJ SUMME, TEM NE MENEE, WOZMOVNOSTX ESTESTWENNO WKLADYWATX A I B W A £ B IGRAET WAVNU@ ROLX. kOPROIZWEDENIEM MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ QWLQETSQ BUKETNOE PROIZWEDENIE, KOTOROE MY RASSMOTRIM W x 21.

zADA^A. oBOB]ITE WSE SODERVANIE \TOGO PARAGRAFA NA SLU^AJ i) PROIZWEDENIJ KONE^NOGO ^ISLA MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ, ii) PROIZWEDENIJ PROIZWOLXNOGO SEMEJSTWA MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ.

x 19. oGRANI^ENNOE PRQMOE PROIZWEDENIE

zDESX MY RASSMOTRIM O^ENX WAVNYJ WARIANT PRQMOGO PROIZWEDENIQ OTNOSQ]IJSQ K SLU^A@ BESKONE^NYH SEMEJSTW PAR MNOVESTW. w SLU^AE MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ \TA KONSTRUKCIQ QWLQETSQ ODNOJ IZ CENTRALXNYH KONSTRUKCIJ ALGEBRY

– KONSTRUKCIEJ SLABOGO PRQMOGO PROIZWEDENIQ/PRQMOJ SUMMY. kONSTRUKCIQ OGRANI^ENNOGO PRQMOGO PROIZWEDENIQ QWLQETSQ ODNOJ IZ OSNOWNYH W TEORII ^ISEL, GDE PRI POMO]I NEE STROQTSQ ADELI I IDELI.

1. oGRANI^ENNOE PRQMOE PROIZWEDENIE PAR MNOVESTW. mY BUDEM NAZY-

WATX PARAMI MNOVESTW TAKIE PARY (A; B), DLQ KOTORYH B µ A (‘MNOVESTWO S WYDELENNYM PODMNOVESTWOM’). eSLI (A1; B1) I (A2; B2) — DWE PARY MNOVESTW, TO MORFIZMOM (A1; B1) W (A2; B2) NAZYWAETSQ TAKOE OTOBRAVENIE f : A1 ¡! A2, ^TO

f(B1) µ B2.

nAPOMNIM, ^TO KOGDA MY GOWORIM, ^TO KAKOE-TO SWOJSTWO WYPOLNQETSQ DLQ PO- ^TI WSEH \LEMENTOW i 2 I NEKOTOROGO MNOVESTWA, \TO OZNA^AET, ^TO SWOJSTWO WYPOLNQETSQ DLQ WSEH i 2 I, KROME KONE^NOGO IH ^ISLA. nAPRIMER, UTWERVDENIQ “PO^TI WSE PLANETY WO wSELENNOJ NEOBITAEMY” I “PO^TI WSE PLANETY WO wSELENNOJ NASELENY MYSLQ]IMI SU]ESTWAMI” NE PROTIWORE^AT DRUG DRUGU. rASSMOTRIM PROIZWOLXNOE SEMEJSTWO PAR (Ai; Bi), i 2 I.

oPREDELENIE. pOLOVIM

Y n Y o

Bi Ai = (ai) 2 Ai j ai 2 Bi DLQ PO^TI WSEH i 2 I ;

GDE WSE PROIZWEDENIQ BERUTSQ PO i 2 I. pARA QBi Ai; QBi NAZYWAETSQ OGRA-

NI^ENNYM PRQMYM PROIZWEDENIEM SEMEJSTWA (Ai; Bi), i 2 I.

sU]ESTWOWANIE OGRANI^ENNOGO PRQMOGO PROIZWEDENIQ SRAZU SLEDUET IZ SU]E- STWOWANIQ PRQMOGO PROIZWEDENIQ I AKSIOMY PODMNOVESTW. oGRANI^ENIQ KANONI^E- SKIH PROEKCIJ pri S QAi NA QBi Ai PO PREVNEMU OBOZNA^A@TSQ ^EREZ pri. qSNO, ^TO

ESLI MNOVESTWO INDEKSOW I KONE^NO, TO QBi Ai = QAi, PO\TOMU \TA KONSTRUKCIQ OTLI^AETSQ OT KONSTRUKCII PRQMOGO PROIZWEDENIQ LI[X DLQ BESKONE^NOGO ^ISLA SOMNOVITELEJ.

2. oGRANI^ENNOE PRQMOE PROIZWEDENIE MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ. mNOVESTWA S OTME^ENNOJ TO^KOJ MOVNO RASSMATRIWATX KAK ^ASTNYJ SLU^AJ PAR MNOVESTW, ESLI SOPOSTAWITX TAKOMU MNOVESTWU (A; ¤A) PARU (A; f¤Ag). pOLU^A- @]IJSQ PRI \TOM SLU^AJ OGRANI^ENNYH PRQMYH PROIZWEDENIJ OSOBENNO WAVEN. iTAK, PUSTX Ai, i 2 I, — PROIZWOLXNOE SEMEJSTWO MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ. mNOVESTWO

Y¤ Ai = n(ai) 2 YAi j ai = ¤Ai DLQ PO^TI WSEH i 2 Io;

S OTME^ENNOJ TO^KOJ (¤Ai )i2I NAZYWAETSQ OGRANI^ENNYM PRQMYM PROIZWEDENIEM SEMEJSTWA Ai. dLQ BOLX[INSTWA KONKRETNYH SITUACIJ, W KOTORYH MY BUDEM ISPOLXZOWATX \TU KONSTRUKCI@, OGRANI^ENNOE PRQMOE PROIZWEDENIE BUDET NAZYWATXSQ PRQMOJ SUMMOJ Ai I OBOZNA^ATXSQ LAi, NO PO PRI^INAM, KOTORYE MY OB_QSNILI W PREDYDU]EM PARAGRAFE, MY WOZDERVIWAEMSQ OT TOGO, ^TOBY ISPOLXZOWATX \TO NAZWANIE W OB]EM SLU^AE.

sEJ^AS MY UBEDIMSQ, ^TO OGRANI^ENNOE PRQMOE PROIZWEDENIE NAMNOGO MENX[E PRQMOGO PROIZWEDENIQ. w SLEDU@]EJ ZADA^E PREDPOLAGAETSQ, ^TO ^ITATELX UVE WLADEET SODERVANIEM x ? I ? gLAWY 6.

zADA^A. pUSTX I = N, A WSE Ai = Z, PRI^EM Z RASSMATRIWAETSQ KAK MNOVESTWO S WYDELENNOJ TO^KOJ 0. pROWERXTE, ^TO Q¤ Ai S^ETNO, W TO WREMQ KAK QAi IMEET MO]NOSTX KONTINUUMA.

x 20. sWOBODNOE OB_EDINENIE

w \TOM PARAGRAFE MY RASSMOTRIM OPERACI@ SWOBODNOGO OB_EDINENIQ MNOVESTW, DWOJSTWENNU@ K OPERACII PRQMOGO PROIZWEDENIQ.

1. nAIWNOE OPREDELENIE SWOBODNOGO OB_EDINENIQ. sLEDU@]EE UTWERVDENIE POZWOLQET PROWESTI QWNU@ KONSTRUKCI@ SWOBODNOGO OB_EDINENIQ DWUH MNOVESTW.

lEMMA. dLQ DWUH PROIZWOLXNYH MNOVESTW A I B SU]ESTWU@T TA-

KIE MNOVESTWA A0 I B0, ^TO A » A0, B » B0 I A0 \ B0 = ?.

= =

dOKAZATELXSTWO. wOZXMEM DWE RAZLI^NYE WE]I a I b, NAPRIMER, a = ? I b = f?g I POLOVIM A0 = fag£A I B0 = fbg£B. tOGDA OTOBRAVENIQ A ¡! A0, x 7!(a; x) I B ¡! B0, y 7!(b; y) USTANAWLIWA@T BIEKCI@ MEVDU A I A0 I MEVDU B I B0, SOOTWETSTWENNO. s DRUGOJ STORONY, A0 \ B0 = ? TAK KAK IZ (a; x) = (b; y) DLQ NEKOTORYH x 2 A I y 2 B SLEDOWALO BY, ^TO a = b I x = y.

pUSTX A I B — L@BYE MNOVESTWA. sOGLASNO DOKAZATELXSTWU lEMMY MNOVESTWA UPORQDO^ENNYH PAR A0 = f(x; 1) j x 2 Ag I B0 = f(y; 2) j y 2 Bg DIZ_@NKTNY.