vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

IZ KOTOROJ WYREZANY DWE KLETKI NA PROTIWOPOLOVNYH KONCAH DIAGONALI?

rE[ENIE. nET, POTOMU ^TO KOSTQ[KA DOMINO POKRYWAET ODNU BELU@ I ODNU ^ERNU@ KLETKU, A OBE WYREZANNYE KLETKI ODNOGO CWETA (PRI \TOM NEWAVNO DAVE, ^TO WYREZANY KLETKI NA ODNOJ IZ GLAWNYH DIAGONALEJ).

zADA^A. pOKAVITE, ^TO DLQ L@BOGO POKRYTIQ [AHMATNOJ DOSKI £6 KOSTQ[KAMI DOMINO 2 £ 1 SU]ESTWUET TAKOE RAZREZANIE DOSKI WERTIKALXNOJ ILI GORIZONTALXNOJ LINIEJ, KOTOROE NE RAZREZAET NI ODNOJ KOSTQ[KI. wERNO LI TO VE SAMOE DLQ DOSKI 8 £ 8?

uKAZANIE. sKOLXKO KOSTQ[EK MOVET RAZREZATX TAKAQ LINIQ?

zADA^A. nA BELU@ PLOSKOSTX BRYZNULI ^ERNOJ KRASKOJ. dOKAVITE, ^TO NAJDUTSQ DWE TO^KI ODNOGO CWETA NA RASSTOQNII 1 METR DRUG OT DRUGA.

uKAZANIE 1. tAKIH PAR TO^EK O^ENX MNOGO.

uKAZANIE 2. wOSPOLXZUJTESX PRINCIPOM lAGRANVA I S^ITAJTE,

^TO 2 — PEREMENNAQ WELI^INA, NAPRIMER, ^TO 2 = 3. tOGDA NA BELOE PROSTRANSTWO BRYZNULI KRASKAMI DWUH CWETOW, SKAVEM ^ERNOJ I KRASNOJ. wAM BUDET MNOGO LEG^E UWIDETX RE[ENIE.

sFORMULIRUEM TEPERX PRINCIP dIRIHLE W ^UTX BOLX[EJ OB]NOSTI, KAK UTWERVDENIE O QDRE L@BOGO OTOBRAVENIQ m-\LEMENTNOGO MNOVESTWA W n-\LEMENTNOE.

zADA^A (PRINCIP dIRIHLE). pUSTX m = m1 + : : : + mn ¡ n + 1

KROLIKOW RASSAVENY PO n KLETKAM. tOGDA NAJDETSQ TAKOJ NOMER i, ^TO W i-J KLETKE OKAVETSQ PO KRAJNEJ MERE mi KROLIKOW.

uKAZANIE. +1.

zADA^A. w KLASSE 30 U^ENIKOW. aNDR@[A kRYLOW SDELAL W DIKTANTE 13 O[IBOK, A OSTALXNYE MENX[E. dOKAVITE, ^TO NAJDUTSQ TRI U^ENIKA, SDELAW[IE ODINAKOWOE KOLI^ESTWO O[IBOK (ILI NE SDELAW[IE NI ODNOJ).

zADA^A. dOKAVITE, ^TO U NEKOTOROJ NATURALXNOJ STEPENI ^ISLA 17 SEMX POSLEDNIH CIFR RAWNY 0000001.

zADA^A. rE[ENIE SLEDU@]EGO MINICIKLA PREDPOLAGAET PONIMANIE TOGO, ^TO ZNA^IT USPE[NO SDATX SESSI@, I, DO NEKOTOROJ STEPENI, PONIMANIQ RAZLI^IQ MEVDU MNOVESTWOM f3; 4g, NABOROM [3; 3; 4] I TUPELEM

(3; 4; 3).

²gRUPPA IZ 21 STUDENTA USPE[NO SDALA SESSI@ IZ TREH \KZAMENOW. dOKAVITE, ^TO PO KRAJNEJ MERE 3 STUDENTA SDALI SESSI@ S ODINAKOWYM

NABOROM OCENOK.

²gRUPPA IZ 22 STUDENTOW USPE[NO SDALA SESSI@ IZ TREH \KZAMENOW. dOKAVITE, ^TO PO KRAJNEJ MERE 4 STUDENTA SDALI SESSI@ S ODINAKOWYM

MNOVESTWOM OCENOK.

²gRUPPA IZ 28 STUDENTOW USPE[NO SDALA SESSI@ IZ TREH \KZAMENOW. dOKAVITE, ^TO PO KRAJNEJ MERE 2 STUDENTA SDALI SESSI@ S ODINAKOWOJ

POSLEDOWATELXNOSTX@ OCENOK.

x 24. s@R_EKTIWNYE OTOBRAVENIQ

nE REVE, ^EM IN_EKTIWNYE OTOBRAVENIQ, W MATEMATIKE WSTRE^A@TSQ I TAKIE OTOBRAVENIQ, DLQ KOTORYH KAVDYJ \LEMENT OBLASTI ZNA^ENIJ DEJSTWITELXNO QWLQETSQ ODNIM IZ ZNA^ENIJ FUNKCII.

oPREDELENIE. eSLI Im(f) = Y , TO OTOBRAVENIE f : X ¡! Y NAZY-

WAETSQ S@R_EKTIWNYM.

iNYMI SLOWAMI, \TO USLOWIE OZNA^AET, ^TO DLQ KAVDOGO y 2 Y NAJDETSQ HOTQ BY ODNO x 2 X TAKOE, ^TO f(x) = y. w \TOM SLU^AE GOWORQT TAKVE, ^TO f OTOBRAVENIE NA (WMESTO OBY^NOGO W). sLOWO S@R_EKCIQ LATINSKOGO PROISHOVDENIQ I OZNA^AET NALOVENIE. ~TOBY POD^ERKNUTX, ^TO f S@R_EKCIQ, ISPOLXZUETSQ SPECIALXNAQ STRELKA f : X ³ Y . TEXNI^ESKI STRELKA ‘³’ NAZYWAETSQ ntwoheadrightarrow. mNOVESTWO S@R_EKTIWNYH OTOBRAVENIJ IZ X NA Y OBOZNA^AETSQ ^EREZ

Sur(X; Y ).

zADA^A. pOKAVITE, ^TO SLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY:

²OTOBRAVENIE f : X ¡! Y — S@R_EKTIWNO,

²DLQ L@BOGO PODMNOVESTWA B µ Y WYPOLNQETSQ RAWENSTWO B = f(f¡1(B)).

zADA^A. pOKAVITE, ^TO ESLI g ± f S@R_EKTIWNO, TO g S@R_EKTIWNO.

pRIMERY S@R_EKTIWNYH OTOBRAVENIJ. uPOMQNEM NESKOLXKO OS-

NOWNYH PRIMEROW, KOTORYE BUDUT DETALXNO ANALIZIROWATXSQ W DALXNEJ[EM.

² eSLI » — OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI NA MNOVESTWE X, A X=» — MNOVESTWO KLASSOW \TOJ \KWIWALENTNOSTI (FAKTOR-MNOVESTWO PO OTNO- [ENI@ »), TO KANONI^ESKAQ PROEKCIQ ¼ : X ¡! X= », x 7!x, SOPOSTAWLQ@]AQ KAVDOMU \LEMENTU EGO KLASS, S@R_EKTIWNA.

224 NIKOLAJ WAWILOW

² dLQ L@BYH DWUH MNOVESTW X; Y KANONI^ESKAQ PROEKCIQ pr1 : X £ Y ¡! X, (x; y) 7!x, NA SOMNOVITELX S@R_EKTIWNA.

2 V2

² dLQ L@BOGO MNOVESTWA X OTOBRAVENIE X n X 7! (X), (x; y) 7! fx; yg, S@R_EKTIWNO (BYWAET LI ONO KOGDA-NIBUDX IN_EKTIWNYM?)

sLEDU@]IJ KL@^EWOJ REZULXTAT OPISYWAET POWEDENIE S@R_EKTIWNYH I IN_EKTIWNYH OTOBRAVENIJ OTNOSITELXNO FUNKTORA STEPENI. wEROQTNO, \TO SAMOE WAVNOE I SAMOE POLEZNOE UTWERVDENIE O SWQZI S@R_EKTIWNOSTI I IN_EKTIWNOSTI.

tEOREMA. oTOBRAVENIE F : 2Y ¡! 2X, B 7!f¡1(B) W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE IN_EKTIWNO, KOGDA ISHODNOE OTOBRAVENIE f : X ¡! Y S@R_EKTIWNO. oTOBRAVENIE F W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE S@R_EK- TIWNO, KOGDA OTOBRAVENIE f IN_EKTIWNO.

dOKAZATELXSTWO. !!!

zADA^A: FUNKCIQ vUKOWSKOGO. rASSMOTRIM OTOBRAVENIE

qWLQETSQ LI ONO IN_EKTIWNYM? s@R_EKTIWNYM?

~TOBY OTWETITX NA PERWYJ IZ \TIH WOPROSOW, NE OBQZATELXNO ZNATX KOMPLEKSNYE ^ISLA.

oTWET. nET, TAK KAK f(1=z) = f(z). dA, TAK KAK RAWENSTWO f(z) = w PREDSTAWLQET SOBOJ KWADRATNOE URAWNENIE OTNOSITELXNO z S NENULEWYM SWOBODNYM ^LENOM. tAKOE URAWNENIE IMEET NENULEWOJ KORENX W C.

x 25. bIEKTIWNYE OTOBRAVENIQ

nE MOVET SU]ESTWOWATX BOLEE SEMI METALLOW, PO ^ISLU PLANET: sOLNCU SOOTWETSTWUET ZOLOTO, lUNE — SEREBRO, mERKURI@ — RTUTX, mARSU – VELEZO, sATURNU — SWINEC, wENERE

— MEDX, `PITERU — OLOWO.

dVEROLAMO kARDANO

sOWER[ENNO OSOBU@ ROLX W TEORII MNOVESTW IGRA@T TAKIE OTOBRAVENIQ, KOTORYE USTANAWLIWA@T ODNO-ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU OBLASTX@ OPREDELENIQ I OBLASTX@ ZNA^ENIJ = 1-to-1-corres- pondence.

oPREDELENIE. oTOBRAVENIE, f : X ¡! Y , KOTOROE KAK IN_EKTIW- NO, TAK I S@R_EKTIWNO, NAZYWAETSQ BIEKTIWNYM (alias IZOMOR-

FIZMOM) ILI WZAIMNO ODNOZNA^NYM.

|TO OZNA^AET, ^TO DLQ L@BOGO y 2 Y SU]ESTWUET EDINSTWENNYJ x 2 X TAKOJ, ^TO f(x) = y. kOGDA NUVNO POD^ERKNUTX, ^TO f BIEKCIQ, ISPOLXZUETSQ SPECIALXNAQ STRELKA f : X Ã! Y . TEXNI^ESKI STRELKA ‘Ã!’ NAZYWAETSQ nlongleftrightarrow. mNOVESTWO BIEKTIWNYH OTOBRAVENIJ IZ X NA Y OBOZNA^AETSQ ^EREZ Bij(X; Y ). eSLI SU- ]ESTWUET BIEKCIQ IZ X W Y , TO GOWORQT, ^TO MEVDU \LEMENTAMI X I

Y MOVNO USTANOWITX WZAIMNO-ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE (‘1-to-1 correspondence’).

bIEKTIWNOE OTOBRAVENIE X NA SEBQ NAZYWAETSQ OBY^NO PERESTANOWKOJ MNOVESTWA X, \TOT TERMIN OSOBENNO UPOTREBIM W SLU^AE, KOGDA X KONE^NO. s TO^KI VE ZRENIQ TEORII KATEGORIJ BIEKTIWNOE OTOBRAVENIE X NA SEBQ NAZYWAETSQ AWTOMORFIZMOM. mNOVESTWO WSEH BIEKTIWNYH OTOBRAVENIJ X NA SEBQ ^ASTO OBOZNA^AETSQ S(X) ILI SX (\TA GRUPPA IZU^AETSQ W kNIGE II).

kOMBINIRUQ REZULXTATY zADA^ OBSUVDAW[IHSQ W xx 21 I 24, MY WIDIM, ^TO OTOBRAVENIE f : X ¡! Y W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE BIEKTIWNO, KOGDA DLQ L@BOGO PODMNOVESTWA B µ Y WYPOLNQETSQ RAWENSTWO B = f(f¡1(B)) I DLQ L@BOGO PODMNOVESTWA A µ Y WYPOLNQETSQ RAWENSTWO A = f¡1(f(A)). mY WERNEMSQ K \TOJ TEME W x ?.

pRIMERY BIEKTIWNYH OTOBRAVENIJ. pRIWEDEM NESKOLXKO O^E-

WIDNYH PRIMEROW, MNOGO DALXNEJ[IH PRIMEROW OBSUVDAETSQ W gLAWE

V.

²oTOBRAVENIE R ¡! R, x 7!x3, BIEKTIWNO.

²oTOBRAVENIE R+ ¡! R+, x 7!x2, BIEKTIWNO.

²dLQ L@BOGO MNOVESTWA X OTOBRAVENIE 2X ¡! 2X, Y 7!X n Y , BIEKTIWNO.

²dLQ L@BOGO MNOVESTWA X OTOBRAVENIE X 7!V1(X), x 7! xfg, BIEKTIWNO.

x 26. kOMPOZICIQ OTOBRAVENIJ

1. kOMPOZICIQ OTOBRAVENIJ. dWA OTOBRAVENIQ f I g TAKIE, ^TO R(f) = D(g) MOVNO SKOMPONIROWATX. tO^NEE, PUSTX f : X ¡! Y I g : Y ¡! Z SUTX DWA OTOBRAVENIQ, OBLASTX ZNA^ENIJ PERWOGO IZ KOTORYH SOWPADAET S OBLASTX@ OPREDELENIQ WTOROGO. tOGDA IH KOMPOZICIQ g ± f : X ¡! Z ZADAETSQ POSREDSTWOM RAWENSTWA (g ± f)(x) = g(f(x)),

226 NIKOLAJ WAWILOW

DLQ L@BOGO x 2 X. pRI \TOM g ± f ^ITAETSQ KAK KOMPOZICIQ f I g ILI g KRUVO^EK f (TEXNI^ESKI KRUVO^EK ± NAZYWAETSQ ncirc). oBRATITE WNIMANIE NA PORQDOK FAKTOROW: OTOBRAVENIE f, DEJSTWU@]EE PERWYM, ZAPISYWAETSQ WTORYM. |TO SWQZANO S TEM, ^TO MY PI[EM FUNKCI@ SLEWA OT ARGUMENTA, KAK f(x). rAZUMEETSQ, ESLI BY MY ISPOLXZOWALI OBOZNA^ENIE (x)f, TO I KOMPOZICIQ f I g ZAPISYWALASX BY KAK f ± g, PO FORMULE (x)(f ± g) = ((x)f)g. kOMPOZICIQ DWUH OTOBRAVENIJ ^ASTO NAZYWAETSQ TAKVE IH SUPERPOZICIEJ ILI PROIZWEDENIEM.

2. aSSOCIATIWNOSTX KOMPOZICII. sAMYM WAVNYM SWOJSTWOM KOM-

POZICII OTOBRAVENIJ QWLQETSQ EE ASSOCIATIWNOSTX.

lEMMA. eSLI ODNO IZ WYRAVENIJ (h ± g) ± f I h ± (g ± f) OPREDELENO, TO OPREDELENO I WTOROE I PRI \TOM (h ± g) ± f = h ± (g ± f).

dOKAZATELXSTWO. pUSTX, NAPRIMER, OPREDELENO PERWOE IZ \TIH OTOBRAVENIJ. pO OPREDELENI@ \TO OZNA^AET, ^TO D(h) = R(g) I D(g) = D(h ± g) = R(f). nO TOGDA, KONE^NO, OPREDELENO I g ± f I, KROME TOGO R(g ± f) = R(g) = D(h), TAK ^TO WTOROE OTOBRAVENIE DEJSTWITELXNO OPREDELENO. rAWENSTWO VE \TIH OTOBRAVENIJ DOKAZYWAETSQ SLEDU@]EJ WYKLADKOJ:

((h±g)±f)(x) = (h±g)(f(x)) = (h(g(f(x))) = h((g±f)(x)) = (h±(g±f))(x):

sM. x 7 PO POWODU NEKOTORYH SLEDSTWIJ IZ ASSOCIATIWNOSTI.

3. nEKOMMUTATIWNOSTX KOMPOZICII. kOMPOZICIQ OTOBRAVENIJ WESXMA DALEKA OT KOMMUTATIWNOSTI, T.E. DLQ DWUH OTOBRAVENIJ f I g, WOOB]E GOWORQ, f ± g =6 g ± f. |TO QSNO HOTQ BY IZ TOGO, ^TO ODNA IZ ^ASTEJ RAWENSTWA f ± g = g ± f MOVET BYTX OPREDELENA BEZ TOGO, ^TOBY BYLA OPREDELENA DRUGAQ, T.E. IZ RAWENSTWA R(f) = D(g) OTN@DX NE SLEDUET, ^TO R(g) = D(f). nO DAVE ESLI KAK f ± g, TAK I g ± f OBE OPREDELENY, ONI MOGUT BYTX SOWER[ENNO RAZLI^NY. nAPRIMER, ESLI f; g : N ¡! N ZADA@TSQ KAK f(n) = n2 I g(n) = n + 1, TO (g ± f)(n) = n2 + 1, W TO WREMQ KAK (f ± g)(n) = (n + 1)2, TAK ^TO DLQ L@BOGO NATURALXNOGO n ZNA^ENIQ FUNKCIJ f ± g I g ± f RAZLI^NY.

4. kOMPOZICIQ S POSTOQNNYM OTOBRAVENIEM. pUSTX f : X ¡! Y

— PROIZWOLXNOE OTOBRAVENIE, A coz : Y ¡! Z — POSTOQNNOE OTOBRAVENIE. ~EMU RAWNA KOMPOZICIQ coz ±f? a ^EMU RAWNA KOMPOZICIQ f ± cox, DLQ POSTOQNNOGO OTOBRAVENIQ cox : U ¡! X? sRAWNITE \TI KOMPOZICII W SLU^AE, KOGDA U = X = Y = Z, A x = z.

oTWET. pERWAQ IZ NIH RAWNA coz : X ¡! Z, A WTORAQ cof(x) : U ¡! Y . qSNO, ^TO cox I cof(x) \TO, WOOB]E GOWORQ, SOWSEM NE ODNO I TO VE, PO KRAJNEJ MERE ESLI X SODERVIT NE MENEE DWUH \LEMENTOW.

wOOB]E, GOWORQT, ^TO OTOBRAVENIE g : X ¡! Y QWLQETSQ LEWYM NULEM OTNOSITELXNO KOMPOZICII, ESLI DLQ L@BOGO OTOBRAVENIQ f : X ¡! X WYPOLNQETSQ RAWENSTWO g ± f = g. aNALOGI^NO, g NAZYWAETSQ PRAWYM NULEM, ESLI DLQ L@BOGO OTOBRAVENIQ h : Y ¡! Y WYPOLNQETSQ RAWENSTWO h ± g = g.

zADA^A. oPI[ITE WSE LEWYE NULI OTNOSITELXNO KOMPOZICII. pRI KAKOM USLOWII W Map(X; Y ) SU]ESTWUET PRAWYJ NULX OTNOSITELXNO KOMPOZICII?

rE[ENIE. eSLI g LEWYJ NULX, TO DLQ L@BOJ POSTOQNNOJ FUNKCII cox : X ¡! X IMEET MESTO RAWENSTWO g = g±cox = cof(x), TAK ^TO g QWLQETSQ POSTOQNNOJ FUNKCIEJ, PRI^EM, KAK MY TOLXKO ^TO WIDELI, POSTOQNNYE FUNKCII DEJSTWITELXNO QWLQ@TSQ LEWYMI NULQMI. s DRUGOJ STORONY, ESLI g PRAWYJ NULX, TO DLQ L@BOJ POSTOQNNOJ FUNKCII coy : Y ¡! Y IMEET MESTO RAWENSTWO g = coy ±g = coy, W ^ASTNOSTI, DLQ L@BYH DWUH y; z 2 Y IMEEM coy = coz, A \TO WOZMOVNO TOLXKO ESLI jY j = 1.

4. nULI W KATEGORII MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ. kAK MY TOLXKO ^TO UBEDILISX, DWUSTORONNIH NULEJ W KATEGORII MNOVESTW I OTOBRAVENIJ, WOOB]E GOWORQ, NET. kATEGORIQ MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ USTROENA W \TOM OTNO[ENII ZNA^ITELXNO LU^[E.

zADA^A. pOKAVITE, ^TO POSTOQNNOE OTOBRAVENIE 0XY = c¤ : X ¡! Y , PEREWODQ]EE WSE \LEMENTY MNOVESTWA X W WYDELENNU@ TO^KU ¤Y , QWLQETSQ LEWYM I PRAWYM NULEM OTNOSITELXNO KOMPOZICII. tO^NEE, DLQ L@BOGO OTOBRAVENIQ f : U ¡! X IMEET MESTO RAWENSTWO 0UY = 0XY ±f, A DLQ L@BOGO OTOBRAVENIQ g : Y ¡! Z IMEET MESTO RAWENSTWO

0XZ = g ± 0XY .

zADA^A. pUSTX K — NEKOTOROE POLE, f : K ¡! K I a 2 K. kOGDA f KOMMUTIRUET SO SDWIGOM NA a?

rE[ENIE. qSNO, ^TO t0 = idK — TOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE I ONO KOMMUTIRUET S L@BYM f. w OB]EM SLU^AE (f ± ta)(x) = f(x + a), W TO WREMQ KAK (ta ±f)(x) = f(x)+a. tAKIM OBRAZOM, DLQ TOGO, ^TOBY f KOMMUTIROWALA S ta, NEOBHODIMO WYPOLNENIE FUNKCIONALXNOGO URAWNENIQ f(x + a) = f(x) + a. qSNO, ^TO RE[ENIQMI \TOGO URAWNENIQ QWLQ@TSQ W TO^NOSTI FUNKCII WIDA g+id, GDE g PERIODI^ESKAQ FUNKCIQ S PERIODOM a.

x 27. iTERACII OTOBRAVENIJ

pOSLEDOWATELXNOE n-KRATNOE PRIMENENIE OTOBRAVENIQ f : X ¡! X NAZYWAETSQ n-J ITERACIEJ f I OBOZNA^AETSQ f±n = f ± : : : ± f (OTOBRAVENIE f PRIMENQETSQ n RAZ). sOGLASNO \TOMU OPREDELENI@, f±0 = idX,

f±1 = f. nAPRIMER, WO MNOGIH WOPROSAH TEORII SLOVNOSTI WY^ISLENIJ I W NEKOTORYH WOPROSAH TEORII ^ISEL WOZNIKA@T KRATNYE \KSPONENTY I KRATNYE LOGARIFMY:

rASSMOTRIM ITERACII FUNKCII f : x 7!1+1x , WOT, NAPRIMER, KAK WYGLQDIT f±17:

rAZUMEETSQ, \TOT AUTPUT NE NAPISAN OT RUKI, A POLU^EN S POMO]X@

wOOB]E, KOMANDA Nest[f,x,n] WY^ISLQET ZNA^ENIE f±n(x). w Mathematica ESTX I DRUGAQ KOMANDA, NestList[f,x,m], SWQZANNAQ S ITERACIQMI FUNKCII f, KOTORAQ GENERIRUET SPISOK ZNA^ENIJ

(x; f(x); f2(2); : : : ; fn(x)):

wOT, NAPRIMER, ^TO DAET WY^ISLENIE TeXForm[NestList[recip,x,5]]:

oPREDELENIE. gOWORQT, ^TO f : X ¡! X — OTOBRAVENIE KONE^- NOGO PORQDKA, ESLI NAJDETSQ TAKOE n 2 N, ^TO f±n = idX. eSLI TAKOGO NATURALXNOGO n NE SU]ESTWUET, TO GOWORQT, ^TO PORQDOK f BESKONE^EN.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO ESLI f±n = idX, TO f — BIEKCIQ. zADA^A. wY^ISLITE n-@ ITERACI@ OTOBRAVENIQ x 7!x=p1 + x2. oTWET. x 7!x=p1 + nx2.

zAMYKANIE, WNUTRENNOSTX, GRANICA. sO STRUKTUROJ TOPOLOGI-

^ESKOGO PROSTRANSTWA NA MNOVESTWE X SWQZANO NESKOLXKO RAZLI^NYH OTOBRAVENIJ 2X ¡! 2X, NAIBOLEE IZWESTNYMI IZ KOTORYH QWLQ@TSQ OTOBRAVENIQ ZAMYKANIQ Cl, WNUTRENNOSTI Int I GRANICY Fr. iZWESTNO, ^TO Cl±2 = Cl I Int±2 = Int, NO, WOOB]E GOWORQ, Fr±2 6= Fr. w TO VE WREMQ Fr±3 = Fr±2.

oPREDELENIE. pUSTX f 2 Map(X; X) I x 2 X. tOGDA MNOVESTWO xhfi = ff±n(x); x 2 N0g NAZYWAETSQ POLUORBITOJ TO^KI x POD DEJ- STWIEM OTOBRAVENIQ f.

mY NE NAZYWAEM xhfi ORBITOJ, TAK KAK DWE ORBITY DOLVNY LIBO NE PERESEKATXSQ, LIBO SOWPADATX. w TO VE WREMQ DWE POLUORBITY MOGUT PERESEKATXSQ NETRIWIALXNYM OBRAZOM, NE BUDU^I RAWNYMI.

x 28. oBRATNOE OTOBRAVENIE

tOVDESTWENNYE OTOBRAVENIQ DEJSTWITELXNO WEDUT SEBQ KAK NEJTRALXNYE \LEMENTY DLQ KOMPOZICII FUNKCIJ, NO OTSUTSTWIE KOMMUTATIWNOSTI NAKLADYWAET SWOJ OTPE^ATOK. a IMENNO, DLQ OTOBRAVENIJ IZ Map(X; Y ) TOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE idX WYSTUPAET KAK PRAWAQ EDINICA, A idY — KAK LEWAQ EDINICA. iNYMI SLOWAMI, DLQ L@- BOGO f 2 Map(X; Y ) IMEEM f ± idX = f = idY ±f. pO OTNO[ENI@ K OTOBRAVENIQM X W SEBQ idX QWLQETSQ UVE DWUSTORONNEJ EDINICEJ.

sAMYM WAVNYM SWOJSTWOM BIEKTIWNYH OTOBRAVENIJ QWLQETSQ TO, ^TO ONI OBRATIMY. iNA^E GOWORQ, W \TOM SLU^AE SOPOSTAWLENIE y 7! f¡1(y) ZADAET BIEKTIWNOE OTOBRAVENIE f¡1 : Y ¡! X, NAZYWAEMOE OTOBRAVENIEM, OBRATNYM K f, SM. NIVE. pRI \TOM (f¡1)¡1 = f, TAK ^TO W DEJSTWITELXNOSTI f I f¡1 SOWER[ENNO RAWNOPRAWNY. dLQ OBOZNA^ENIQ BIEKCIJ INOGDA ISPOLXZUETSQ SPECIALXNAQ STRELKA, POD- ^ERKIWA@]AQ SIMMETRI@ X I Y : X Ã! Y .

pUSTX TEPERX f 2 Map(X; Y ) — L@BOE OTOBRAVENIE. tOGDA f NAZYWAETSQ OBRATIMYM SLEWA, ESLI SU]ESTWUET TAKOE g 2 Map(Y; X), ^TO g ± f = idX (L@BOE TAKOE g NAZYWAETSQ LEWYM OBRATNYM K f). aNALOGI^NO, f NAZYWAETSQ OBRATIMYM SPRAWA, ESLI SU]ESTWUET TAKOE g 2 Map(Y; X), ^TO f ±g = idY (L@BOE TAKOE g NAZYWAETSQ PRAWYM OBRATNYM K f). oTOBRAVENIE f NAZYWAETSQ OBRATIMYM (INOGDA DLQ

POLNOJ OPREDELENNOSTI GOWORQT DWUSTORONNE OBRATIMYM), ESLI ONO OBRATIMO KAK SLEWA, TAK I SPRAWA.

lEGKO WIDETX (PODROBNEE OB \TOM SM. x 7), ^TO ESLI f DWUSTORONNE OBRATIMO, TO LEWYJ I PRAWYJ OBRATNYJ K NEMU OPREDELENY ODNOZNA^NO I SOWPADA@T MEVDU SOBOJ. iH OB]EE ZNA^ENIE OBOZNA^AETSQ f¡1 I NAZYWAETSQ OTOBRAVENIEM OBRATNYM K f. |TO W TO^NOSTI OTOBRAVENIE, OPREDELENNOE WY[E POSREDSTWOM PROOBRAZOW.

tEOREMA. dLQ L@BYH DWUH BIEKCIJ f I g, DLQ KOTORYH OPREDELENA KOMPOZICIQ, WYPOLNQETSQ RAWENSTWO (f ± g)¡1 = g¡1 ± f¡1

kURXEZ: KOGDA f¡1 = 1=f? eSLI f : R ¡! R — WE]ESTWENNOZNA^NAQ FUNKCIQ WE]ESTWENNOGO ARGUMENTA, NE OBRA]A@]AQSQ W 0, TO SIMWOLU f¡1 MOVNO BYLO BY PRIDATX E]E ODIN SMYSL, A IMENNO, 1=f. zDESX, KAK OBY^NO, (1=f)(x) = 1=f(x). mOVNO SPROSITX SEBQ, DLQ KAKIH FUNKCIJ f¡1 = 1=f? rAZUMEETSQ, NA WSEJ WE]ESTWENNOJ OSI TAKIH FUNKCIJ f NE SU]ESTWUET — WEDX FUNKCIQ f NE PRINIMAET ZNA^ENIQ 0 I, SLEDOWATELXNO, f¡1 NE SU]ESTWUET. pO\TOMU SLEGKA IZMENIM PERWONA^ALXNYJ WOPROS I SPROSIM, SU]ESTWU@T LI FUNKCII f : R¤ ¡! R¤ S \TIM SWOJSTWOM? oKAZYWAETSQ, TAKIE FUNKCII SU]ESTWU@T (SM. [??], [??], [??]), NO IH NASTOLXKO MALO, I ONI USTROENY NASTOLXKO SPECIALXNYM OBRAZOM, ^TO WSTRETITXSQ S NIMI PRAKTI^ESKI NEWOZMOVNO. oDNO O^E- WIDNOE OGRANI^ENIE NA FUNKCII S \TIM SWOJSTWOM SODERVITSQ W ZADA^E W KONCE SLEDU@]EGO PUNKTA.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO ESLI DLQ FUNKCII f : R>0 ¡! R>0 WYPOLNQETSQ RAWENSTWO f¡1 = 1=f, TO (f ± f)(x) = 1=x DLQ L@BOGO x 2 R>0. w ^ASTNOSTI, f ± f ± f ± f = id.

pRIMERY OBRATNYH OTOBRAVENIJ. wOT NESKOLXKO O^EWIDNYH PRI-

MEROW.

² oBRATNYM K SDWIGU ta QWLQETSQ SDWIG t¡a.

² oBRATNYM K RASTQVENI@ da QWLQETSQ RASTQVENIE da¡1 .

² oBRATNOJ FUNKCIEJ K WOZWEDENI@ W KWADRAT R+ ¡! R+, x 7!x2, p

QWLQETSQ IZWLE^ENIE KWADRATNOGO KORNQ x 7! x.

oBRATNYE TRIGONOMETRI^ESKIE FUNKCII. eSLI FUNKCIQ f NE IN_EKTIWNA, W \LEMENTARNOJ MATEMATIKE WSEGDA STARA@TSQ OGRANI- ^ITX EE KUDA-TO, GDE ONA UVE BUDET IN_EKTIWNOJ I NAZYWA@T OBRATNOJ K FUNKCII f FUNKCI@ OBRATNU@ K PODHODQ]EMU SUVENI@ FUNKCII f. iMENNO TAK STROQTSQ W [KOLXNOM KURSE STROQTSQ TAK NAZYWAEMYE

OBRATNYE TRIGONOMETRI^ESKIE FUNKCII.