vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv
.pdfMNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive |
241 |
oB_EDINENIE I PERESE^ENIE OBLADA@T WSEMI OBY^NYMI SWOJSTWAMI: ASSOCIATIWNOSTX@, KOMMUTATIWNOSTX@, DISTRIBUTIWNOSTX@, I T.D.
k OTNO[ENIQM PRIMENIMY I WSE OSTALXNYE TEORETIKO-MNOVESTWEN- NYE PONQTIQ, MNOGIE IZ KOTORYH, PRAWDA, W \TOM SLU^AE PRIOBRATA@T SPECIALXNYE NAZWANIQ. tAK, NAPRIMER, ESLI R µ S, TO OTNO[ENIE R NAZYWAETSQ BOLEE TONKIM, ^EM OTNO[ENIE S, A OTNO[ENIE S — BOLEE GRUBYM, ^EM R. tAKIM OBRAZOM, ? — SAMOE TONKOE, A X £ Y — SAMOE GRUBOE OTNO[ENIE MEVDU X I Y .
3. tRIWIALXNOE, TOTALXNOE I TOVDESTWENNOE OTNO[ENIQ. pRI-
WEDEM TRI WAVNEJ[IH PRIMERA BINARNYH OTNO[ENIJ, KOTORYE QWLQ- @TSQ NEJTRALXNYMI \LEMENTAMI PO OTNO[ENI@ K OPERACIQM NAD OTNO[ENIQMI I PO\TOMU ESTESTWENNO WOZNIKA@T PRI L@BOM OBSUVDENII ALGEBRY BINARNYH OTNO[ENIJ:
²R = ?, RASSMATRIWAEMOE KAK OTNO[ENIE MEVDU X I Y , NAZYWAETSQ
TRIWIALXNYM ILI PUSTYM OTNO[ENIEM;
²R = X £ Y , RASSMATRIWAEMOE KAK OTNO[ENIE MEVDU X I Y , NAZY-
WAETSQ TOTALXNYM, UNIWERSALXNYM ILI POLNYM OTNO[ENIEM.
²w SLU^AE X = Y SOWER[ENNO OSOBU@ ROLX IGRAET E]E TOVDESTWENNOE OTNO[ENIE, GRAFIKOM KOTOROGO QWLQETSQ MNOVESTWO PAR
=X = f(x; x) j x 2 Xg;
NAZYWAEMOE OBY^NO DIAGONALX@ PROIZWEDENIQ X £ X.
oPREDELENIE. wNUTRENNEE BINARNOE OTNO[ENIE R NA X, SODERVA- ]EE , NAZYWAETSQ REFLEKSIWNYM. iNYMI SLOWAMI, R REFLEKSIW- NO, ESLI xRx DLQ WSEH x 2 X.
w DALXNEJ[EM REFLEKSIWNOSTX BUDET ^ASTO ISPOLXZOWATXSQ W SO^E- TANII S DRUGIMI SWOJSTWAMI OTNO[ENIJ, TAKIMI KAK TRANZITIWNOSTX.
4. rELQCIONNYE SISTEMY. pARA (X; R), SOSTOQ]AQ IZ MNOVESTWA X I ZADANNOGO NA NEM WNUTRENNEGO BINARNOGO OTNO[ENIQ, QWLQETSQ PROSTEJ[IM PRIMEROM TOGO, ^TO NAZYWAETSQ RELQCIONNOJ SISTEMOJ (TO^NEE, \TO SISTEMA SIGNATURY (2) — SISTEMA, SOSTOQ]AQ IZ ODNOGO BINARNOGO OTNO[ENIQ). dWE SISTEMY (X; R) I (Y; S) IZOMORFNY, ESLI SU]ESTWUET TAKAQ BIEKCIQ Á : X ¡! Y , ^TO Á £ Á(R) = S. sLEDU@]AQ ZADA^A POZWOLQET PO DOSTOINSTWU OCENITX TRUDNOSTI, SWQZANNYE TAKOGO RODA KOMBINATORNYMI ZADA^AMI. pUSTX rn — KOLI^ESTWO NEIZOMORFNYH RELQCIONNYH SISTEM SIGNATURY (2) NA n-\LEMENTNOM MNOVESTWE.
zADA^A. pOKAZATX, ^TO r2 = 10. pERE^ISLITX WSE NEIZOMORFNYE RELQCIONNYE SISTEMY NA MNOVESTWE IZ DWUH \LEMENTOW
~ISLO rn RASTET FANTASTI^ESKI BYSTRO. a IMENNO, r3 = 104, r4 = 3044, A r5 = 291968. pO WIDIMOMU, W \TOM MESTE ^ITATELX NE DOLVEN ISPYTYWATX OSOBOGO VELANIQ KLASSIFICIROWATX S TO^NOSTX@ DO IZOMORFIZMA WSE RELQCIONNYE SISTEMY NA [ESTI\LEMENTNOM MNOVESTWE.
242 |
NIKOLAJ WAWILOW |
x 2. pRIMERY BINARNYH OTNO[ENIJ
w \TOM PARAGRAFE MY PERE^ISLIM NESKOLXKO WAVNEJ[IH PRIMEROW BINARNYH OTNO[ENIJ, KOTORYE W DALXNEJ[EM BUDUT ISPOLXZOWATXSQ W ILL@STRATIWNYH CELQH.
1.tEORIQ MNOVESTW. nAM UVE WSTRE^ALISX SLEDU@]IE OTNO[ENIQ:
²oTNO[ENIE PRINADLEVNOSTI 2: ZDESX Y = 2Z I xRA () x 2 A.
²oTNO[ENIE WKL@^ENIQ µ: ZDESX X = Y = 2Z I ARB ()
A µ B. s \TIM OTNO[ENIEM TESNO SWQZANY TAKVE OTNO[ENIQ A ¶ B,
A ½ B, A ¾ B.
²oTNO[ENIE RAWENSTWA =: ZDESX X = Y I xRy () x = y.
²oTNO[ENIE DIZ_@NKTNOSTI ?: ZDESX X = Y = 2Z I ARB ()
A \ B = ?.
2.fUNKCII. kONE^NO, WESXMA WAVNYMI ^ASTNYMI WIDAMI OTNO[E- NIJ QWLQ@TSQ OTOBRAVENIQ I IH OBOB]ENIQ:
²oTOBRAVENIE f : X ¡! Y . zDESX xRy () f(x) = y. w DEJ-
STWITELXNOSTI, OTOBRAVENIE KAK RAZ I ESTX NE ^TO INOE, KAK TAKOE BINARNOE OTNO[ENIE R, ^TO 8x 2 X 9!y 2 Y , xRy.
²mNOGOZNA^NAQ FUNKCIQ f : X ( Y \TO BINARNOE OTNO[ENIE R, UDOWLETWORQ@]EE BOLEE SLABOMU USLOWI@ 8x 2 X 9y 2 Y , xRy.
²~ASTI^NAQ FUNKCIQ f : X 99K Y \TO BINARNOE OTNO[ENIE R, UDOWLETWORQ@]EE DRUGOMU OSLABLENI@ FIGURIRU@]EGO W 5) USLOWIQ,
A IMENNO, 8x 2 X xRy1 & xRy2 =) y1 = y2.
s \TOJ TO^KI ZRENIQ PROIZWOLXNOE BINARNOE OTNO[ENIE KAK RAZ I ESTX NE ^TO INOE, KAK MNOGOZNA^NAQ ^ASTI^NAQ FUNKCIQ, W TO WREMQ KAK OTOBRAVENIE ESTX PO OPREDELENI@ ODNOZNA^NAQ WS@DU OPREDELEN-
NAQ FUNKCIQ.
3. aRIFMETIKA. e]E ODNA GRUPPA PRIMEROW WOZNIKAET W ARIFMETIKE. zDESX MY PREDPOLAGAEM X = Y = Z, ANALIZ I OBOB]ENIE \TIH PRIMEROW BUDUT ODNIMI IZ NA[IH OSNOWNYH CELEJ W \TOJ GLAWE I W KNIGE III.
²oTNO[ENIE PORQDKA: mRn () m · n W OBY^NOM SMYSLE. kROME \TOGO RASSMATRIWA@TSQ OTNO[ENIQ m ¸ n, m < n, m > n.
²oTNO[ENIE DELIMOSTI. bUDEM PISATX mjn, ESLI m DELIT n,
T.E. SU]ESTWUET TAKOE l 2 Z, ^TO n = ml. tOGDA mRn () mjn.
MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive |
243 |
² oTNO[ENIE DELIMOSTI, bis. w TERMINAH DELIMOSTI OPREDELQ-
ETSQ TAKVE OTNO[ENIE m...n, m DELITSQ NA n. w \TOM SLU^AE mRn () m...n () njm.
²oTNO[ENIE ASSOCIIROWANNOSTI: mRn () mjn & njm.
²oTNO[ENIE SRAWNIMOSTI. fIKSIRUEM KAKOE-TO m 2 N I BUDEM GOWORITX, ^TO l; n 2 Z SRAWNIMY PO MODUL@ m I PISATX l ´ n (mod m), ESLI l ¡ n DELITSQ NA m. tOGDA lRn () l ´ n (mod m).
²oTNO[ENIE WZAIMNOJ PROSTOTY. nAPOMNIM, ^TO ^ISLA m; n 2
N NAZYWA@TSQ WZAIMNO PROSTYMI, m ? n, ESLI IH NAIBOLX[IJ OB- ]IJ DELITELX RAWEN 1, gcd(m; n) = 1. w \TOM SLU^AE mRn () m ? n.
²oTNO[ENIE TO^NOJ DELIMOSTI. gOWORQT, ^TO m 2 N TO^NO DELIT n 2 N I PI[UT m k n, ESLI mjn I m ? n=m. w \TOM SLU^AE mRn () m k n.
4.gEOMETRIQ. kONE^NO, DRUGIE RAZDELY [KOLXNOJ MATEMATIKI TAKVE DA@T NAM MNOVESTWO PRIMEROW BINARNYH OTNO[ENIJ. oBRATIMSQ, SKAVEM, K \LEMENTARNOJ GEOMETRII. tAM OBY^NO GOWORQT OB OTNO[ENIQH, ZADAWAEMYH RAZLI^NYMI TIPAMI GEOMETRI^ESKIH PREOBRAZOWANIJ: SKAVEM, OTNO[ENII KONGRU\NTNOSTI, PODOBIQ I T.D. wOT E]E NESKOLXKO PRIMEROW.
²oTNO[ENIE PARALLELXNOSTI: PUSTX X = Y ESTX MNOVESTWO PRQMYH (ILI PLOSKOSTEJ) DWUMERNOGO (ILI TREHMERNOGO) \WKLIDOWA PROSTRANSTWA. tOGDA lRm () l k m.
²oTNO[ENIE ORTOGONALXNOSTI: ibid., POLOVIM lRm () l ?
m.
²oTNO[ENIE INCIDENTNOSTI: X — MNOVESTWO TO^EK \WKLIDOWOJ PLOSKOSTI (ILI TREHMERNOGO PROSTRANSTWA), Y — MNOVESTWO PRQMYH, xRl () x 2 l.
x 3. pROEKCII OTNO[ENIQ, IZMENENIE PORQDKA SUMMIROWANIQ
8. pRAWILO PODS^ETA DWUMQ SPOSOBAMI. eSLI R – OTNO[ENIE MEVDU \LEMENTAMI MNOVESTW X I Y , T.E. PODMNOVESTWO IH DEKARTOWA PROIZWEDENIQ X £ Y , TO
X |
X |
jfy 2 Y j (x; y) 2 Rgj = |
jfx 2 X j (x; y) 2 Rgj: |
x2X |
y2Y |
w SAMOM DELE, OBE SUMMY RAWNY jRj.
244 NIKOLAJ WAWILOW
9. iZMENENIE PORQDKA SUMMIROWANIQ. pROWERKA MNOGIH FUNKCI-
ONALXNYH SOOTNO[ENIJ (NAPRIMER, DOKAZATELXSTWO ASSOCIATIWNOSTI SWERTKI, W ^ASTNOSTI, UMNOVENIQ MNOGO^LENOW I MATRIC) OSNOWANA NA
IZMENENII PORQDKA SUMMIROWANIQ. oNO SOSTOIT W SLEDU@]EM. pUSTX w : X £Y ¡! G – NEKOTORYJ WES NA KONE^NOM MNOVESTWE X £Y .
tOGDA |
X X |
X X |
|
||
|
w(x; y) = |
w(x; y) |
|
x2X y2Y |
y2Y x2X |
w SAMOM DELE, OBE SUMMY RAWNY w(X £ Y ). pRAWILO PODS^ETA DWUMQ SPOSOBAMI ESTX PROSTO IZMENENIE PORQDKA SUMMIROWANIQ DLQ ^ASTNOGO SLU^AQ w = ÂR.
x 4. tEOREMA rAMSEQ
sLEDU@]AQ TEOREMA QWLQETSQ PROSTEJ[IM NETRIWIALXNYM SLU^AEM ZAME^ATELXNOJ TEOREMY rAMSEQ135.
bINARNAQ TEOREMA rAMSEQ. dLQ L@BYH m; n ¸ 2 SU]ESTWUET NAI-
MENX[EE NATURALXNOE ^ISLO r(m; n), ZAWISQ]EE OT m I n TAKOE, ^TO DLQ L@BOGO WNUTRENNEGO BINARNOGO OTNO[ENIQ R NA MNOVESTWE X, jXj ¸ r, WYPOLNQETSQ HOTQ BY ODNO IZ DWUH SLEDU@]IH USLOWIJ:
²SU]ESTWUET m-\LEMENTNOE PODMNOVESTWO Y µ X, OGRANI^ENIE R NA KOTOROE TOTALXNO;
²SU]ESTWUET n-\LEMENTNOE PODMNOVESTWO Z µ X, OGRANI^ENIE R NA KOTOROE TRIWIALXNO.
dOKAZATELXSTWO. qSNO, ^TO r(2; m) = r(m; 2) = m. pUSTX TEPERX m; n > 2 I PREDPOLOVIM, ^TO SU]ESTWOWANIE ^ISEL r(m¡1; n) I r(m; n¡ 1) UVE DOKAZANO. pOLOVIM r = r(m ¡ 1; n) + r(m; n ¡ 1) I RASSMOTRIM MNOVESTWO X TAKOE, ^TO jXj ¸ r I BINARNOE OTNO[ENIE NA NEM. zAFIKSIRUEM x 2 X I RASSMOTRIM MNOVESTWA
U = fu 2 X j u =6 x; (x; u) 2 Rg; V = fv 2 X j v =6 x; (x; v) 2= Rg:
tAK KAK jUj+jV j = r¡1, TO LIBO jUj ¸ r(m¡1; n), LIBO jV j ¸ r(m; n¡1). pREDPOLOVIM, ^TO WYPOLNQETSQ PERWAQ IZ \TIH WOZMOVNOSTEJ, DLQ WTOROJ DOKAZATELXSTWO ANALOGI^NO. pO INDUKCIONNOMU PREDPOLOVENI@ DLQ U WYPOLNQETSQ HOTQ BY ODNO IZ SLEDU@]IH DWUH USLOWIJ:
135F.P.Ramsey, On a problem of formal logic. — Proc. London Math. Soc., 1930, vol.30, p.264–286.
MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive |
245 |
² SU]ESTWUET Y µ U, jY j = m ¡ 1 TAKOE, ^TO OGRANI^ENIE R NA
YTOTALXNO. nO TOGDA OGRANI^ENIE R NA m-\LEMENTNOE MNOVESTWO
Y[ fxg TOVE TOTALXNO.
²SU]ESTWUET Z µ U, jZj = n TAKOE, ^TO OGRANI^ENIE R NA Z TRIWIALXNO, NO IMENNO \TO I UTWERVDALOSX.
tAKIM OBRAZOM, r(m; n) · r.
nAZOWEM POSTROENNOE W TEOREME ^ISLO r(m; n) = r(2; m; n) ^ISLOM rAMSEQ. kAK WIDNO IZ DOKAZATELXSTWA, ^ISLA rAMSEQ UDOWLETWORQ@T
NERAWENSTWU |RDE[A
r(m; n) · r(m ¡ 1; n) + r(m; n ¡ 1):
kROME TOGO, ZAMENQQ OTNO[ENIE R NA DOPOLNITELXNOE OTNO[ENIE R, MY WIDIM, ^TO r(m; n) = r(n; m).
tO^NYE ZNA^ENIQ ^ISEL rAMSEQ IZWESTNY LI[X DLQ O^ENX NEMNO- |
|
||||||
GIH m I n. sLEDU@]AQ TABLICA WZQTA IZ VIWOGO OBZORA sTANISLAWA |
|
||||||
rADZI[OWSKOGO136 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
3 |
3 |
6 |
9 |
14 |
18 |
23 |
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
9 |
18 |
25 |
35/41 |
49/61 |
56/84 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
14 |
25 |
43/49 |
58/87 |
80/143 |
101/216 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
6 |
18 |
35/41 |
58/87 |
102/165 |
111/296 |
127/495 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
7 |
23 |
49/61 |
80/143 |
111/298 |
205/540 |
|
8 |
8 |
28 |
56/84 |
101/216 |
127/495 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 5. mNOGOMESTNYE OTNO[ENIQ
1. mNOGOMESTNYE OTNO[ENIQ. pONQTIE OTNO[ENIQ ESTESTWENNO OBOB]AETSQ NA L@BOE KONE^NOE SEMEJSTWO MNOVESTW X1; : : : ; Xn.
oPREDELENIE. oTNO[ENIEM MEVDU X1; : : : ; Xn NAZYWAETSQ L@BOE PODMNOVESTWO IH DEKARTOWA PROIZWEDENIQ R µ X1 £ : : : £ Xn. eS- LI TREBUETSQ QWNO UKAZATX ^ISLO n, TO GOWORQT OB n-ARNYH ILI n- MESTNYH OTNO[ENIQH (n NAZYWAETSQ ARNOSTX@ OTNO[ENIQ R).
w SLU^AE, KOGDA X1 = : : : = Xn OTNO[ENIE R NAZYWAETSQ WNUTRENNIM. oB OTNO[ENIQH ARNOSTI > 2 GOWORQT OBY^NO KAK O MNOGOMESTNYH. oSOBENNO ^ASTO WSTRE^A@TSQ OTNO[ENIQ ARNOSTEJ 3 I 4, PRI \TOM
136S.P.Radziszowski, Small Ramsey numbers. — Revision N.10, 2004.
246 |
NIKOLAJ WAWILOW |
²OTNO[ENIQ ARNOSTI 3 NAZYWA@TSQ TERNARNYMI;
²OTNO[ENIQ ARNOSTI 4 NAZYWA@TSQ KWATERNARNYMI.
k SOVALENI@, BOLX[INSTWO MATEMATIKOW ZATRUDNQETSQ STOLX VE LOWKO OBOZWATX SOOTWETSTWU@]IE OTNO[ENIQ W SLU^AE n = 8 ILI n = 9 — WPRO^EM I DELATX \TO PRIHODITSQ DOSTATO^NO REDKO. mY NE SOBIRAEMSQ OBSUVDATX ZDESX TEORI@ MNOGOMESTNYH OTNO[ENIJ, A OGRANI^IMSQ NESKOLXKIMI PRIMERAMI.
wOT NESKOLXKO ^ASTO WSTRE^A@]IHSQ PRIMEROW TERNARNYH OTNO[E- NIJ.
² oTNO[ENIE KOLLINEARNOSTI. zDESX X — MNOVESTWO TO^EK NA PLOSKOSTI I (x; y; z) 2 R, ESLI x; y; z LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ.
²oTNO[ENIE SRAWNIMOSTI. oTNO[ENIE l ´ n (mod m) MOVNO RASSMATRIWATX KAK TERNARNOE OTNO[ENIE S ARGUMENTAMI l; m; n 2 Z.
²oTNO[ENIE TO^NOJ DELIMOSTI. rASSMOTRIM OTNO[ENIE pm k m KAK TERNARNOE OTNO[ENIE p 2 P, m 2 N I n 2 Z. w SOOTWETSTWII S PRIWEDENNYM W PREDYDU]EM PARAGRAFE OB]IM OPREDELENIEM pm k m OZNA^AET, ^TO pmjn I pm+1 6nj.
²oTNO[ENIE LEVATX MEVDU W ARIFMETIKE. zDESX X = Z —
KOLXCO CELYH ^ISEL, (l; m; n) 2 R, ESLI l · m · n ILI n · m · l.
²oTNO[ENIE LEVATX MEVDU W GEOMETRII. zDESX X — MNOVESTWO TO^EK PRQMOJ I (x; y; z) 2 R, ESLI y 2 [x; z], GDE ^EREZ [x; z] OBOZNA^EN OTREZOK PRQMOJ S KONCAMI x I z.
²oTNO[ENIE LEVATX MEVDU W TEORII MNOVESTW. gOWORQT, ^TO MNOVESTWO B LEVIT MEVDU A I C, ESLI A µ B µ C.
²oTNO[ENIE LEVATX MEVDU W PSIHOLOGII. dLQ STIMULOW A; B; C
GOWORQT, ^TO B LEVIT MEVDU A I C, ESLI A \ s µ B µ A [ s, PI[EM
AjBjC.
pRIWEDEM TEPERX PRIMERY KWATERNARNYH OTNO[ENIJ.
² oTNO[ENIE KOMPLANARNOSTI. zDESX X — MNOVESTWO TO^EK TREHMERNOGO EWKLIDOWA PROSTRANSTWA I (x; y; z; u) 2 R, ESLI x; y; z; u LEVAT W ODNOJ PLOSKOSTI.
kOLLINEARNOSTX I KOMPLANARNOSTX QWLQ@TSQ ^ASTNYMI SLU^AQMI BOLEE OB]EGO n-ARNOGO OTNO[ENIQ LINEJNOJ ZAWISIMOSTI, KOTOROE PODROBNO OBSUVDAETSQ W kNIGE IV.
sLEDU@]IE PRIMERY IGRA@T KL@^EWU@ ROLX W kNIGE III PRI OPRE-
DELENII RAWENSTWA DROBEJ.
MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive |
247 |
² oTNO[ENIE PROPORCIONALXNOSTI. pUSTX k; l; m; n 2 Z. tOGDA
(k; l; m; n) 2 R () k=l = m=n () kn = lm:
w DEJSTWITELXNOSTI, PRI POPYTKE OBOB]ITX KONSTRUKCI@ DROBEJ NA KOLXCO A S DELITELQMI NULQ PRIHODITSQ RASSMATRIWATX SLEDU@]EE OTNO[ENIE ARNOSTI 5.
² oTNO[ENIE RAWENSTWA DROBEJ. pUSTX S — MULXTIPLIKATIW-
NAQ SISTEMA W KOMMUTATIWNOM KOLXCE A, x; y 2 A, u; v; w 2 S. tOGDA
(x; y; u; v; w) 2 R () w(xv ¡ yu) = 0:
x 6. gRAFY
Denken ist interessanter, als Wissen, aber nicht als Anschauen137.
Johann Wolfgang Goethe
bOLX[INSTWO SPECIALISTOW PO TEORII GRAFOW UPOTREBLQ@T W KNIGAH, STATXQH I LEKCIQH SWO@ SOBSTWENNU@ TERMINOLOGI@. nA KONFERENCIQH KAVDYJ WYSTUPA@]IJ, ^TOBY IZBEVATX NEPRAWILXNOGO PONIMANIQ, S^ITAET NEOBHODIMYM PREVDE WSEGO OPREDELITX, ^TO IMENNO ON PONIMAET POD GRAFOM. nEKOTORYE AWTORY DEJSTWITELXNO OPREDELQ@T “GRAF” KAK GRAF (^A]E WSEGO \TO SRAZU PROWOZGLA[AETSQ STANDARTNYM PREDLOVENIEM “w \TOJ STATXE MY RASSMATRIWAEM TOLXKO KONE^NYE NEORIENTIROWANNYE GRAFY BEZ PETELX I KRATNYH REBER”), W TO WREMQ KAK WSE OSTALXNYE IME@T W WIDU MULXTIGRAF, PSEWDOGRAF, ORIENTIROWANNYJ GRAF, SETX ILI ^TONIBUDX W TAKOM DUHE. eDINOOBRAZIE TERMINOLOGII W TEORII GRAFOW NIKOGDA NE BUDET DOSTIGNUTO, NO K NEMU NE SLEDUET I STREMITXSQ. : : : oBY^NO GRAF PREDSTAWLQETSQ DIAGRAMMOJ, WOT EE-TO ^ASTO I NAZYWA@T GRAFOM.
fRANK hARARI138
sLOWO GRAF NE SLEDUET WOSPRINIMATX KAK MATEMATI^ESKIJ TERMIN. sKOREE, \TO PO\TI^ESKOE SLOWO, WYRAVA@]EE NEKOTORU@ INTENCI@, TAKOE VE, KAK ^ISLO ILI FUNKCIQ. nA^INA@]EMU PRO]E WSEGO S^ITATX, ^TO GRAFOM NAZYWAETSQ L@BAQ KARTINKA, SOSTOQ]AQ IZ RAZNOCWETNYH TO^EK, LINIJ, STRELO^EK I KRIWYH W KONE^NOM ILI BESKONE^NOM ^ISLE. w KA^ESTWE PODTWERVDENIQ \TOGO MNENIQ MOVNO PRIWESTI TOT NESOMNENNYJ FAKT, ^TO PRI POPYTKE DATX MATEMATI^ESKOE OPREDELENIE
137rAZMY[LQTX INTERESNEE, ^EM ZNATX, NO SOZERCATX E]E INTERESNEE. 138f.hARARI, tEORIQ GRAFOW. — m., mIR, 1973, S.1–300; STR.21–22.
248 |
NIKOLAJ WAWILOW |
GRAFA KAVDYJ RAZ WOZNIKAET NOWOE PONQTIE, TAK ^TO NE SU]ESTWUET DWUH KNIG PO TEORII GRAFOW, W KOTORYH SLOWO GRAF PONIMALOSX BY ODINAKOWO. |TO SPOSOBSTWOWALO WOZNIKNOWENI@ BURNOGO POTOKA GRAFOLOGI^ESKIH I GRAFOMANSKIH SO^INENIJ, BOLX[INSTWO IZ KOTORYH MOTIWIROWANY (MNIMYMI) PRILOVENIQMI TEORII GRAFOW ZA PREDELAMI MATEMATIKI I W KOTORYH PRIWODQTSQ SOTNI BESSODERVATELXNYH OPREDELENIJ I TRIWIALXNYH FAKTOW, I NI ODNOGO PO NASTOQ]EMU GLUBOKOGO PONQTIQ ILI INTERESNOJ TEOREMY. kSTATI, IMENNO IZ-ZA ^REZWY^AJNO NIZKOGO PRESTIVA GRAFOLOGII SREDI PROFESSIONALXNYH MATEMATIKOW W BOLX[INSTWE SERXEZNYH MATEMATI^ESKIH PRILOVENIJ GRAFY PRINQ-
TO NAZYWATX SHEMAMI, DIAGRAMMAMI, KOL^ANAMI, DEREWXQMI ILI KAK-
NIBUDX E]E.
w TO VE WREMQ SAMA IDEQ GRAFI^ESKOGO PREDSTAWLENIQ OTNO[ENIJ
—W TEH SLU^AQH, KOGDA EJ UDAETSQ PRIDATX TO^NYJ MATEMATI^ESKIJ SMYSL!!! — WESXMA PLODOTWORNA. w KA^ESTWE PRIMEROW ^REZWY^AJNO UDA^NOGO ISPOLXZOWANIQ GRAFI^ESKIH SREDSTW W NASTOQ]EJ MATEMATIKE MOVNO UPOMQNUTX GRAFY k\LI I [RAJEROWSKIE DIAGRAMMY, GRAFY kOKSTERA, SHEMY dYNKINA, SHEMY I DIAGRAMMY `NGA, DIAGRAMMY hASSE, KOMMUTATIWNYE DIAGRAMMY GOMOLOGI^ESKOJ ALGEBRY, KOL^ANY, DIAGRAMMY PRIMYKANIQ, WESOWYE DIAGRAMMY, KRISTALLI^ESKIE GRAFY I MNOGOE DRUGOE. dELO W TOM, ^TO U BOLX[INSTWA OBY^NYH L@DEJ
—W TOM ^ISLE, KONE^NO, I U BOLX[INSTWA PROFESSIONALXNYH MATEMATIKOW — WOSPRIQTIE PROSTRANSTWA I DWIVENIQ RAZWITY ZNA^ITELXNO LU^[E, ^EM WY^ISLITELXNYE SPOSOBNOSTI. ~ELOWEK W SOSTOQNII LEGKO OHWATITX MYSLENNYM WZOROM, ZAPOMNITX I WYZWATX W PAMQTI GRAF S DESQTKAMI I DAVE SOTNQMI WER[IN, W TO WREMQ KAK WOSPRINQTX I WOPROIZWESTI TABLICU, SOSTOQ]U@ IZ NESKOLXKIH DESQTKOW ZAPISEJ, EMU OBY^NO ZNA^ITELXNO TRUDNEJ. wIZUALIZACIQ BUDIT WOOBRAVENIE I POZWOLQET W BUKWALXNOM SMYSLE UWIDETX SWOJSTWA IZU^AEMYH OB_EKTOW I KONSTRUKCII NAD NIMI, OBNARUVITX KOTORYE ANALITI^ESKIMI SREDSTWAMI BYLO BY ZNA^ITELXNO TRUDNEE.
gRAFY OTNO[ENIJ. — ORIENTIROWANNYE GRAFY
pUSTX R — WNUTRENNEE BINARNOE OTNO[ENIE NA MNOVESTWE X. sOPOSTAWIM KAVDOMU \LEMENTU x MNOVESTWA X WER[INU GRAFA I NAPRAWIM IZ WER[INY x W WER[INU y STRELO^KU, ESLI xRy. tAKIM OBRAZOM, STRELKI OTWE^A@T UPORQDO^ENNYM PARAM (x; y) 2 R. pROFESSIONALXNYE GRAFOLOGI OBY^NO NAZYWA@T \TI STRELKI DUGAMI (arc), NO BOLX- [INSTWO MATEMATIKOW PREDPO^ITAET GOWORITX OB ORIENTIROWANNYH REBRAH (oriented edges), LIBO POLXZOWATXSQ SUGGESTIWNYM TERMINOM
STRELKA (arrow).
MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive |
249 |
gRAFY SIMMETRI^NYH OTNO[ENIJ. — NEORIENTIROWANNYE GRAFY nEORIENTIROWANNYE GRAFY (KOTORYE BOLX[INSTWO GRAFOLOGOW, KAK RAZ, I NAZYWA@T PROSTO GRAFAMI) QWLQ@TSQ ^ASTNYM SLU^AEM ORIENTIROWANNYH GRAFOW, POLU^A@]IMSQ W SLU^AE, KOGDA GRAF WMESTE S KAVDOJ STRELKOJ (x; y) SODERVIT I PROTIWOPOLOVNU@ STRELKU (y; x). w \TOM SLU^AE WMESTO DWUH STRELOK (x; y) I (y; x) OBY^NO IZOBRAVAETSQ
ODNO REBRO (edge), IZOBRAVA@]EE PARU fx; yg.
gRAFY ANTISIMMETRI^NYH OTNO[ENIJ. — NAPRAWLENNYE GRAFY oRIENTIROWANNYJ GRAF NAZYWAETSQ NAPRAWLENNYM, ESLI W NEM NET
PAR PROTIWOPOLOVNO NAPRAWLENNYH REBER. a IMENNO, gRAFY WNE[NIH OTNO[ENIJ. — DWUDOLXNYE GRAFY cWETNYE GRAFY.
—GRAFY NESKOLXKIH OTNO[ENIJ — GRAF k\LI x 7. kOMPOZICIQ OTNO[ENIJ
1.pROIZWEDENIE BINARNYH OTNO[ENIJ. pONQTIE KOMPOZICII OTOBRAVENIJ NEPOSREDSTWENNO OBOB]AETSQ NA BINARNYE OTNO[ENIQ. |TU OPERACI@ WPERWYE RASSMATRIWAL a.DE mORGAN, A POTOM DETALXNO IZU^IL |.{REDER. oBRATITE WNIMANIE, ^TO R PI[ETSQ SPRAWA OT PERWOGO ARGUMENTA, ^TO OTWE^ALO BY ZAPISI (x)f DLQ FUNKCIJ, I PO- \TOMU KOMPONIRUEMYE OTNO[ENIQ PI[UTSQ SLEWA NAPRAWO.
oPREDELENIE. pUSTX R 2 Rel(X; Y ), S 2 Rel(Y; Z). pROIZWEDENIE
R¢S OTNO[ENIJ R I S \TO OTNO[ENIE R¢S 2 Rel(X; Z) OPREDELQEMOE SLEDU@]IM OBRAZOM:
R ¢ S = f(x; z) 2 X £ Z j 9y 2 Y; (x; y) 2 R; (y; z) 2 Sg
qSNO, ^TO W SLU^AE, KOGDA R I S QWLQ@TSQ OTOBRAVENIQMI, TAK WWEDENNOE PROIZWEDENIE OTNO[ENIJ LI[X PORQDKOM OTLI^AETSQ OT OPREDELENNOJ W x 2 KOMPOZICII OTOBRAVENIJ, A IMENNO, R ¢ S = S ± R. pROIZWEDENIE OTNO[ENIJ POLNOSTX@ ANALOGI^NO KOMPOZICII OTOBRAVENIJ, S TOJ RAZNICEJ, ^TO PERWOE OTNO[ENIE PI[ETSQ SLEWA, A NE SPRAWA. |TO SWQZANO S TEM, ^TO W OTLI^IE OT OTOBRAVENIJ, DLQ KOTORYH OBY^- NO ISPOLXZUETSQ PREFIKSNAQ ZAPISX, KOGDA ZNAK OTOBRAVENIQ STOIT SLEWA OT ARGUMENTA, DLQ OTNO[ENIJ ISPOLXZUETSQ INFIKSNAQ ZAPISX, KOGDA ZNAK OTNO[ENIQ STOIT SPRAWA OT PERWOGO ARGUMENTA.
sTEPENI OTNO[ENIJ
2. sWOJSTWA PROIZWEDENIQ OTNO[ENIJ. nESOMNENNO, SAMYM WAV-
NYM SWOJSTWOM PROIZWEDENIQ OTNO[ENIJ, KAK I KOMPOZICII OTOBRAVENIJ, QWLQETSQ EGO ASSOCIATIWNOSTX.
250 |
NIKOLAJ WAWILOW |
lEMMA. pROIZWEDENIE OTNO[ENIJ ASSOCIATIWNO:
(R ¢ S) ¢ T = R ¢ (S ¢ T )
DLQ L@BYH R 2 Rel(X; Y ), S 2 Rel(Y; Z), T 2 Rel(Z; W ).
dOKAZATELXSTWO. o^EWIDNO, ^TO KAK USLOWIE (x; w) 2 (R ¢S) ¢T , TAK I USLOWIE (x; w) 2 R ¢ (S ¢ T ) \KWIWALENTNY SU]ESTWOWANI@ TAKIH y 2 Y I z 2 Z, ^TO
(x; y) 2 R; |
(y; z) 2 S; |
(z; w) 2 T: |
pERE^ISLIM E]E NESKOLXKO O^EWIDNYH SWOJSTW PROIZWEDENIQ OTNO- [ENIJ, KOTORYE BUDUT BEZ WSQKOGO SPECIALXNOGO UPOMINANIQ ISPOLXZOWATXSQ W DALXNEJ[EM.
² tOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE QWLQETSQ NEJTRALXNYM \LEMENTOM PO OTNO[ENI@ K PROIZWEDENI@ OTNO[ENIJ. tO^NEE,
X ¢ R = R = R ¢ Y
DLQ L@BOGO R 2 Rel(X; Y ).
kOMPOZICIQ MONOTONNA PO OTNO[ENI@ K WKL@^ENI@:
²R µ S =) T ¢ R µ T ¢ S,
²R µ S =) R ¢ T µ S ¢ T .
kOMPOZICIQ DISTRIBUTIWNA PO OTNO[ENI@ K OB_EDINENI@:
²R ¢ (S [ T ) = (R ¢ S) [ (R ¢ T ),
²(R [ S) ¢ T = (R ¢ T ) [ (S ¢ T ).
w TO VE WREMQ DISTRIBUTIWNOSTX PO OTNO[ENI@ K PERESE^ENI@, WOOB- ]E GOWORQ, NE IMEET MESTA. mOVNO UTWERVDATX LI[X, ^TO
²R ¢ (S \ T ) µ (R ¢ S) \ (R ¢ T ),
²(R \ S) ¢ T µ (R ¢ T ) \ (S ¢ T ).
zADA^A. pOSTARAJTESX PONQTX, PO^EMU ZDESX NARU[AETSQ DISTRIBUTIWNOSTX, I POSTROJTE KONTR-PRIMERY!
rE[ENIE. w SAMOM DELE, PUSTX (x; z) 2 (R ¢ S) \ (R ¢ T ). |TO ZNA^IT, ^TO NAJDETSQ TAKOE u 2 Y , ^TO (x; u) 2 R, (u; z) 2 S I TAKOE v 2 Y , ^TO (x; v) 2 R, (v; z) 2 T . oDNAKO OTS@DA SOWER[ENNO NE OBQZANO SLEDOWATX, ^TO NAJDETSQ TAKOE y 2 Y , ^TO (x; y) 2 R I (y; z) 2 S \ T .