vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

rE[ENIE. oBOZNA^IM MNOVESTWO WOENNYH ^EREZ X, A MNOVESTWO DEPUTATOW gOSUDARSTWENNOJ dUMY ^EREZ Y . tOGDA Y n(Y nX) = Y \X = X \Y = X n(X nY ), TAK ^TO A) WYTEKAET IZ PRAWILA RAWENSTWA. iZ OB- ]EGO PRAWILA RAZNOSTI WYTEKAET, ^TO PERWOE ^ISLO RAWNO jY j¡jY \Xj, A WTOROE RAWNO jXj ¡ jX \ Y j. tAKIM OBRAZOM, DLQ TOGO, ^TOBY OTWET W b) BYL POLOVITELEN, NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY jXj = jY j.

4. pRAWILO PROIZWEDENIQ. eSLI X = QXi, TO jXj = QjXij.

6.wES \LEMENTA. rASSMOTRIM FUNKCI@ w : X ¡! G SO ZNA^ENIQMI W ABELEWOJ GRUPPE G, NAZYWAEMU@ WESOM (BUKWA ‘w’ — PERWAQ BUKWA

SLOWA ‘weight’). oPREDELIM WES KONE^NOGO PODMNOVESTWA Y µ X KAK w(Y ) = Pw(Y ), GDE SUMMA BERETSQ PO y 2 Y (\TO OBOZNA^ENIE NAHODITSQ W KONFLIKTE S OBY^NYM OBOZNA^ENIEM DLQ OBRAZA f(Y ) FUNKCII f NA PODMNOVESTWE Y , PO\TOMU MY I WYBRALI BUKWU ‘w’). dO SIH POR MY RASSMATRIWALI FUNKCI@ Card : X ¡! Z, DLQ KOTOROJ Card(x) = 1 DLQ WSEH x 2 X. oDNAKO WSE PRAWILA, O KOTORYH [LA RE^X WY[E I O KOTORYH POJDET RE^X DALX[E, BEZ TRUDA PERENOSQTSQ NA OB]IJ SLU^AJ. oBY^NO MY NE BUDEM QWNO FORMULIROWATX PODOBNYE OBOB]ENIQ.

7.hARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ PODMNOVESTWA. wPRO^EM, WES E]E ODNOGO SPECIALXNOGO WIDA BUDET WSTRE^ATXSQ NAM O^ENX ^ASTO. nA-

ZOWEM HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCIEJ PODMNOVESTWA Y µ X FUNK-

CI@ ÂY : X ¡! Z, TAKU@, ^TO ÂY (x) = 1, ESLI x 2 Y I ÂY (x) = 0 W PROTIWNOM SLU^AE. |TO OPREDELENIE SLEGKA OTKLONQETSQ OT OB]EPRI-

NQTOGO, W KOTOROM OBLASTX@ ZNA^ENIJ ÂY S^ITAETSQ MNOVESTWO f0; 1g (ILI, NA QZYKE ORTODOKSALXNOJ TEORII MNOVESTW, f?; f?gg).

10. zADA^A (pRAWILO STEPENI). dOKAZATX, ^TO Map(X; Y ) = jY jjXj.

rE[ENIE. wYTEKAET IZ pRAWIL 2 I 4. w SAMOM DELE, KAVDOE OTOBRAVENIE IZ X W Y MOVNO OTOVDESTWITX S \LEMENTOM PROIZWEDENIQ Y £ : : : £ Y , GDE ^ISLO MNOVITELEJ RAWNO jXj.

|TA ZADA^A OPRAWDYWAET ^ASTO WSTRE^A@]EESQ OBOZNA^ENIE Y X DLQ MNOVESTWA Map(X; Y ) WSEH OTOBRAVENIJ IZ X W Y .

11. pUSTOE OTOBRAVENIE. sU]ESTWUET ROWNO ODNO OTOBRAVENIE f : ? ¡! ?, A IMENNO, PUSTOE OTOBRAVENIE, GRAFIK KOTOROGO PUST. pO\TOMU, ^TOBY NE OGOWARIWATX, ^TO HOTQ BY ODNO IZ MNOVESTW X, Y W zADA^E 10 NEPUSTO, MY DOLVNY USLOWITXSQ, ^TO 00 = 1.

x 2. bESKONE^NYE MNOVESTWA

There is an infinite set A that is not too big.

John von Neumann

Aleph-null bottles of beer on the wall,

Aleph-null bottles of beer,

You take one down, and pass it around,

Aleph-null bottles of beer on the wall.

pOSTARAEMSQ, PREVDE WSEGO, PONQTX, ^EM BESKONE^NYE MNOVESTWA OTLI^A@TSQ OT KONE^NYH.

1.kONE^NYE I BESKONE^NYE MNOVESTWA. nAPOMNIM, ^TO MNOVE-

STWO NAZYWAETSQ KONE^NYM, ESLI ONO LIBO PUSTO, LIBO \KWIWALENTNO KAKOMU-TO IZ MNOVESTW n, n 2 N. mNOVESTWO, NE QWLQ@]EESQ KONE^NYM, NAZYWAETSQ BESKONE^NYM*. pRIWEDENNOE OPREDELENIE KONE^- NYH I BESKONE^NYH MNOVESTW NE QWLQETSQ WNUTRENNIM, POSKOLXKU ONO APELLIRUET K SU]ESTWOWANI@ BIEKCIJ MNOVESTWA X S OTREZKAMI NATURALXNOGO RQDA. pOSTARAEMSQ OHARAKTERIZOWATX USLOWIE BESKONE^NOSTI MNOVESTWA W TERMINAH SAMOGO \TOGO MNOVESTWA. nAIBOLEE IZWESTNAQ IZ TAKIH HARAKTERIZACIJ, IZWESTNAQ KAK BESKONE^NOSTX PO dEDEKINDU, WOSHODIT K gALILE@ I bOLXCANO. sU]ESTWUET DRUGIE WNUTRENNIE HARAKTERIZACII BESKONE^NOSTI: BESKONE^NOSTX PO rASSELU, PO cERMELO, etc. mY OBSUDIM DWA IZ \TIH OPREDELENIJ: PO dEDEKINDU-2 I PO tARSKOMU.

2.pARADOKS gALILEQ. gALILEO gALILEJ OTME^AL SLEDU@]IJ FAKT, KOTORYJ ON S^ITAL PARADOKSALXNYM, POTOMU ^TO ON PROTIWORE^IT POSTULATU |WKLIDA “CELOE BOLX[E ^ASTI”. mEVDU MNOVESTWOM NATURALXNYH ^ISEL I MNOVESTWOM IH KWADRATOW MOVNO USTANOWITX WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE: 1 7!1, 2 7!4, 3 7!9, : : : , TAKIM OBRAZOM NATURALXNYH ^ISEL 1; 2; 3; : : : STOLXKO VE, SKOLXKO IH KWADRATOW 1; 4; 9; : : : , HOTQ, O^EWIDNO, MNOVESTWO KWADRATOW QWLQETSQ SOBSTWENNOJ ^ASTX@ MNOVESTWA NATURALXNYH ^ISEL.

gALILEO gALILEJ (1564 — 1641)

wPRO^EM, kLINI143 UKAZYWAET, ^TO \TOT PARADOKS OTME^ALSQ ZADOLGO DO gALILEQ, ^UTX LI NE pLUTARHOM I pROKLOM I UV, W L@BOM SLU^AE,

*|TO PRINQTOE SEGODNQ SLOWOUPOTREBLENIE. w DEJSTWITELXNOSTI, kANTOR I dEDEKIND PREDPO^ITALI NAZYWATX TAKIE MNOVESTWA TRANSFINITNYMI (transfinit). tERMIN BESKONE^NYJ (unendlich, eigentlich unendlich, absolut unendlich)

ISPOLXZOWALSQ IMI W SPECIALXNYH KONTEKSTAH I W GORAZDO BOLEE SILXNOM SMYSLE, ^EM PROSTO OTSUTSTWIE KONE^NOSTI — WSE, ^TO MY MOVEM TAK ILI INA-

^E RAZLI^ITX, KAKIM BY WELIKIM ONO NI BYLO | NE QWLQETSQ SOBSTWENNO BESKONE^NYM.

143s.k.kLINI, mATEMATI^ESKAQ LOGIKA. — mIR, m., 1973, T.1–480. STR.207.

NE POZVE XII WEKA144.

rAZLI^NYMI AWTORAMI BYLO PREDLOVENO MNOGO POPULQRNYH WERSIJ \TOGO PARADOKSA. wOT SAMAQ IZWESTNAQ IZ NIH:

pARADOKS tRISTRAMA {ENDI. tRISTRAMU {ENDI NUVEN GOD, ^TOBY OPISATX ODIN DENX SWOEJ VIZNI: “I am this month one whole year older than I was this time twelvemonth; and having got, as you perceive, almost into the middle of my fourth volume — and no farther than to my first day’s life — ’tis demonstrative that I have three hundred and sixty-four days more life to write just now, than when I first set out; so that instead of advancing, as a common writer, in my work with what I have been doing at it — on the contrary, I am just thrown so many volumes back — was every day of my life to be as busy a day as this — And why not? — and the transactions and opinions of it to take up as much description — And for what reason should they be cut short? as at this rate I should just live 364 times faster than I should write — It must follow, an’ please your Worships, that the more I write, the more I shall have to write — and consequently, the more your Worships read, the more your Worships will have to read.” (ibid., vol.IV, Ch.13). tEM NE MENEE,

ESLI tRISTRAM {ENDI BUDET VITX WE^NO, TO KAVDYJ DENX EGO VIZNI BUDET OPISAN.

3. mNOVESTWA BESKONE^NYE PO dEDEKINDU. mY TO, KONE^NO,

PONIMAEM, ^TO ZDESX NET NIKAKOGO PROTIWORE^IQ, TAK KAK IMENNO SWOJSTWO BYTX \KWIWALENTNYM SOBSTWENNOJ ^ASTI ESTX HARAKTERISTI^ESKOE SWOJSTWO BESKONE^NYH MNOVESTW, POLOVENNOE W OSNOWU OPREDELENIQ BESKONE^NOSTI bOLXCANO, A ZATEM dEDEKINDOM.

oPREDELENIE. mNOVESTWO X NAZYWAETSQ BESKONE^NYM PO dEDE-

KINDU, ESLI W NEM SU]ESTWUET SOBSTWENNOE PODMNOVESTWO Y \KWI- WALENTNOE X.

nEKOTORYE AWTORY NAZYWA@T MNOVESTWA, BESKONE^NYE PO dEDEKINDU, D-BESKONE^NYMI. mNOVESTWO BESKONE^NO W SMYSLE \TOGO OPREDELENIQ W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA Inj(X; X) 6= Bij(X; X). mY PODROBNO OBSUVDAEM SWQZX \TOGO OPREDELENIQ S OBY^NYM OPREDELENIEM W x ?, ODNAKO UVE SEJ^AS OTMETIM, ^TO \TO OPREDELENIE \KWIWALENTNO OBY^NOMU LI[X W PREDPOLOVENII AKSIOMY WYBORA. w OB]EM VE SLU^AE MNOVESTWO X BESKONE^NO PO dEDEKINDU LI[X ESLI jXj ¸ @0.

4. wTOROE OPREDELENIE dEDEKINDA. dEDEKINDU PRINADLEVIT E]E ODNA WNUTRENNQQ HARAKTERIZACIQ KONE^NOSTI, NAZYWAEMAQ OBY^NO WTORYM OPREDELENIEM

144J.Thomas, A 12th century paradox of the infinite. — J. Symb. Logic, 1958, vol.23, p.133–134.

dEDEKINDA.

oPREDELENIE. gOWORQT, ^TO MNOVESTWO KONE^NO W SMYSLE dEDEKINDA-2,

ESLI SU]ESTWUET TAKOE IN_EKTIWNOE OTOBRAVENIE Á : X ¡! X, KOTOROE NE PEREWODIT W SEBQ NI ODNO NEPUSTOE SOBSTWENNOE PODMNOVESTWO X.

dOWOLXNO LEGKO UBEDITXSQ W TOM, ^TO \TO OPREDELENIE \KWIWALENTNO OBY^NOMU OPREDELENI@ KONE^NOSTI.

tEOREMA. mNOVESTWO W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE KONE^NO W SMYSLE dEDEKIN- DA-2, KOGDA ONO KONE^NO W OBY^NOM SMYSLE.

dOKAZATELXSTWO. qSNO, ^TO PUSTOE MNOVESTWO KONE^NO W SMYSLE dEDEKINDA-2. s DRUGOJ STORONY, L@BOE NEPUSTOE KONE^NOE MNOVESTWO X \KWIWALENTNO MNOVESTWU n DLQ KAKOGO-TO NATURALXNOGO n. oPREDELIM BIEKCI@ MNOVESTWA n NA SEBQ POSREDSTWOM 1 7!2 7!3 7!: : : 7!n 7!1. s TO^KI ZRENIQ PERESTANOWOK, \TO TAK NAZYWAEMYJ DLINNYJ CIKL, W TABLI^NOJ ZAPISI

A S TO^KI ZRENIQ KOMPX@TERNOJ ALGEBRY — \TO KOMANDA RotateRight. qSNO, ^TO ESLI Y µ X — NEPUSTOE PODMNOVESTWO, INWARIANTNOE OTNOSITELXNO Á I x 2 Y , TO Y SODERVIT WSE OBRAZY x POD DEJSTWIEM POSLEDOWATELXNYH ITERACIJ Á±i I, SLEDOWATELXNO, Y = X.

oBRATNO, PREDPOLOVIM, ^TO MNOVESTWO X BESKONE^NO I x 2 X. pUSTX Á — L@- BAQ IN_EKCIQ X W SEBQ. rASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX OBRAZOW Á±n(x) \LEMENTA x POD DEJSTWIEM ITERACIJ Á. iMEETSQ DWE WOZMOVNOSTI. lIBO SREDI \LEMENTOW Á±n(x), n 2 N0, ESTX HOTQ BY DWA ODINAKOWYH, LIBO ONI WSE RAZLI^NY.

w PERWOM SLU^AE, PUSTX, SKAVEM Á±m(x) = Á±n(x) DLQ NEKOTORYH m < n. tAK KAK Á — A, TEM SAMYM, I Á±m — IN_EKCIQ, TO x = Á±(n¡m)(x). rASSMOTRIM MNOVESTWO Y = fx; Á(x); : : : ; Á±(n¡m¡1)(x)g. oNO KONE^NO I TEM SAMYM, QWLQETSQ NEPUSTYM SOBSTWENNYM PODMNOVESTWOM W X. qSNO, ^TO Y INWARIANTNO OTNOSITELXNO Á.

s DRUGOJ STORONY, ESLI WSE \LEMENTY Á±n(x), n 2 N0, RAZLI^NY, TO RASSMOTRIM MNOVESTWO Y = fÁ(x); Á±2(x); Á±3(x); : : : g. qSNO, ^TO \TO MNOVESTWO INWARIANTNO OTNOSITELXNO Á. s DRUGOJ STORONY, ONO QWLQETSQ SOBSTWENNYM PODMNOVESTWOM X TAK KAK x 2= Y . tEM SAMYM DLQ L@BOGO IN_EKTIWNOGO OTOBRAVENIQ Á BESKONE^NOGO MNOVESTWA X W SEBQ MY POSTROILI SOBSTWENNOE NEPUSTOE INWARIANTNOE PODMNOVESTWO Y ½ X.

5. mNOVESTWA BESKONE^NYE PO tARSKOMU. e]E ODNA ZAME^ATELXNAQ WNUTREN-

NQQ HARAKTERIZACIQ KONE^NYH MNOVESTW BYLA PREDLOVENA aLXFREDOM tARSKIM W

1922 GODU.

aLXFRED tARSKIJ (14.01.1901, wAR[AWA — ??) — POLXSKIJ ALGEBRAIST, LOGIK I FILOSOF. oSNOWNYE RANNIE RABOTY OTNOSQTSQ K OSNOWANIQM MATEMATIKI I TEORII MNOVESTW. w 1939 GODU \MIGRIROWAL W s{a, GDE OSNOWAL [KOLU TEORII MODELEJ W bERKLI. w NA[EM KURSE UPOMINA@TSQ PARADOKS bANAHA—tARSKOGO I TEOREMA tARSKOGO O HARAKTERIZACII ALGEBRAI^ESKI ZAMKNUTYH POLEJ.

oPREDELENIE. mNOVESTWO X NAZYWAETSQ KONE^NYM PO tARSKOMU, ESLI L@-

BOE NEPUSTOE PODMNOVESTWO W 2X IMEET MINIMALXNYJ \LEMENT OTNOSITELX- NO WKL@^ENIQ.

iNYMI SLOWAMI, DLQ L@BOGO S µ 2X, S =6 ?, SU]ESTWUET TAKOE Y 2 U, ^TO DLQ L@BOGO Z 2 U IZ WKL@^ENIQ Z µ Y WYTEKAET Z = Y .

zADA^A. dOKAVITE, ^TO MNOVESTWA KONE^NYE W SMYSLE tARSKOGO MOVNO OPREDELITX DWOJSTWENNYM OBRAZOM, KAK TAKIE MNOVESTWA, DLQ KOTORYH KAVDOE NEPUSTOE PODMNOVESTWO W 2X IMEET MAKSIMALXNYJ \LEMENT OTNOSITELXNO WKL@^ENIQ. iNYMI SLOWAMI, DLQ L@BOGO S µ 2X, S =6 ?, SU]ESTWUET TAKOE Y 2 U, ^TO DLQ L@BOGO Z 2 U IZ WKL@^ENIQ Y µ Z WYTEKAET Z = Y .

rE[ENIE. oPREDELIM OTOBRAVENIE Comp MNOVESTWA 22X W SEBQ, KOTOROE KAVDOMU PODMNOVESTWU S µ 2X SOPOSTAWLQET PODMNOVESTWO Comp(S), SOSTOQ]EE IZ DOPOLNENIJ K \LEMENTAM MNOVESTWA S:

Comp(S) = fX n Y j Y 2 Sg:

tOGDA Comp(S) NEPUSTO WMESTE S S I, TAK KAK PEREHOD K DOPOLNENI@ OBRA]AET WKL@^ENIE, W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE SODERVIT MINIMALXNYJ \LEMENT, KOGDA S SODERVIT MAKSIMALXNYJ \LEMENT.

tAKIM OBRAZOM, MNOVESTWO BESKONE^NO PO tARSKOMU W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA EGO BULEAN 2X SODERVIT TAKOE NEPUSTOE PODMNOVESTWO S, KOTOROE NE SODERVIT MINIMALXNOGO (ILI MAKSIMALXNOGO) \LEMENTA. tARSKIJ POKAZAL, ^TO EGO OPREDELENIE \KWIWALENTNO OBY^NOMU OPREDELENI@.

tEOREMA. mNOVESTWO W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE KONE^NO W SMYSLE tARSKOGO, KOGDA ONO KONE^NO W OBY^NOM SMYSLE.

dOKAZATELXSTWO. pUSTX WNA^ALE MNOVESTWO X KONE^NO W OBY^NOM SMYSLE, PRI- ^EM jXj = n, A S — NEPUSTOE PODMNOVESTWO W 2X. rASSMOTRIM OTOBRAVENIE Card : S ¡! N0, SOPOSTAWLQ@]EE KAVDOMU PODMNOVESTWU Y 2 S EGO PORQDOK jY j. oBRAZ \TOGO OTOBRAVENIQ T = Im(Card jS) SODERVITSQ W f0; : : : ; ng I NEPUST. sLEDOWATELXNO, T IMEET NAIBOLX[IJ I NAIMENX[IJ \LEMENTY, SKAVEM, l I m. tOGDA L@BOE Y 2 S TAKOE, ^TO jY j = l QWLQETSQ MINIMALXNYM \LEMENTOM S, A L@BOE Z 2 S TAKOE, ^TO jZj = m — MAKSIMALXNYM \LEMENTOM. tAKIM OBRAZOM, MNOVESTWO, KONE^NOE W OBY^NOM SMYSLE, KONE^NO W SMYSLE tARSKOGO. kSTATI, PO^EMU MY ZAPISALI OBRAZ OTOBRAVENIQ Card NA S KAK Im(Card jS), A NE PROSTO KAK Card(S)? wSPOMNITE 4–?–?!

s DRUGOJ STORONY, ESLI X BESKONE^NO W OBY^NOM SMYSLE I S µ 2X — MNOVESTWO EGO KONE^NYH PODMNOVESTW, TO S NE IMEET MAKSIMALXNOGO \LEMENTA. pO^EMU? dA POTOMU, ^TO ESLI Y 2 S, TO X nY 6= ? I PO\TOMU NAJDETSQ y 2 X nY TAK ^TO Y [fyg PO-PREVNEMU KONE^NO I STROGO SODERVIT Y . pO TOJ VE PRI^INE MNOVESTWO S BESKONE^NYH PODMNOVESTW — ILI DAVE BESKONE^NYH PODMNOVESTW, IME@]IH KONE^NOE DOPOLNENIE — NE IMEET MINIMALXNOGO \LEMENTA. pO\TOMU MNOVESTWO, BESKONE^NOE W OBY^NOM SMYSLE, BESKONE^NO W SMYSLE tARSKOGO.

x 3. sUBWALENTNOSTX, TEOREMA kANTORA|bERN[TEJNA

1. sUBWALENTNOSTX. nERAWENSTWO MO]NOSTEJ ESTESTWENNO OPREDELITX ^EREZ SU]ESTWOWANIE IN_EKTIWNYH OTOBRAVENIJ.

sTEFAN bANAH (30.03.1892, kRAKOW — 31.08.1945, lXWOW) — KRUPNEJ[IJ POLXSKIJ MATEMATIK, SOZDATELX FUNKCIONALXNOGO ANALIZA I ZAME^ATELXNOJ LXWOWSKOJ MATEMATI^ESKOJ [KOLY. bANAH U^ILSQ W qGELLONSKOM UNIWERSITETE W kRAKOWE I WO lXWOWSKOM POLITEHNI^ESKOM INSTITUTE, NO NI ODNOGO IZ NIH NE OKON^IL. w 1922 GODU ZA]ITIL DISSERTACI@ I BYL NAZNA^EN \KSTRAORDINARNYM, A POTOM I ORDINARNYM PROFESOROM WO lXWOWE. oSNOWNYE RABOTY OTNOSQTSQ K TEORII TOPOLOGI^ESKIH WEKTORNYH PROSTRANSTW, TEORII MERY I TEORII WE]ESTWENNYH FUNKCIJ, HOTQ ON INTERESOWALSQ I DRUGIMI WOPROSAMI. w ^ESTX NEGO NAZWANY BANAHOWY PROSTRANSTWA, BANAHOWY ALGEBRY, I T.D. cENTRALXNU@ ROLX W FUNKCIONALXNOM ANALIZE IGRA@T TEOREMY hANA— bANAHA, bANAHA—{TEJNGAUZA I DR. w NA[EM KURSE UPOMINAETSQ PARADOKS bANAHA—tARSKOGO. nA RUSSKIJ PEREWEDENA EGO KNIGA ‘tEORIQ LINEJNYH OPERACIJ’. {TEJNGAUZ, uLAM I DRUGIE OSTAWILI VIWOPISNYE WOSPOMINANIQ O bANAHE. sAMYE KOLORITNYE IZ NIH SWQZANY S {OTLANDSKIM KAFE WO lXWOWE, GDE SOBIRALISX MATEMATIKI. uLAM PI[ET: “It was hard to outlast or outdrink BAnach during these sessions”.

dOKAZATELXSTWO. ~TOBY PRED_QWITX BIEKCI@ h : A ¡! B, MY POSTROIM RAZBIENIQ A = A+ `A¡ `A1 I B = B+ `B¡ `B1 TAKIE, ^TO A+ » B¡, A¡ » B+ I

A1 » B1.

dLQ \TOGO POSMOTRIM NA ITERACII OTOBRAVENIJ f I g. nA^NEM S RASSMOTRENIQ BESKONE^NOJ WLEWO CEPO^KI OTOBRAVENIJ

: : : B ¡!g A ¡!f B ¡!g A;

I BUDEM POSLEDOWATELXNO KOMPONOWATX WHODQ]IE W NEE OTOBRAVENIQ. qSNO, ^TO KAVDYJ RAZ PRI DOBAWLENII NOWOGO FAKTORA f ILI g OBRAZ POLU^A@]EJSQ KOMPOZICII MOVET LI[X UMENX[ITXSQ (SM. ?.?), TAK ^TO MY POLU^AEM SLEDU@]U@ NEWOZRASTA@]U@ POSLEDOWATELXNOSTX PODMNOVESTW W A:

A ¶ Im(g) ¶ Im(gf) ¶ Im(gfg) ¶ Im(gfgf) ¶ : : :

uSLOWIMSQ S^ITATX SAMO MNOVESTWO A NULEWYM ^LENOM POSLEDOWATELXNOSTI, Im(g) = A1 — PERWYM, Im(gf) = A2 — WTORYM, I TAK DALEE, I PEREPI[EM \TU POSLEDOWATELXNOSTX W WIDE A0 ¶ A1 ¶ A2 ¶ A3 ¶ : : : . tAKIM OBRAZOM, A2i = Im((gf)i) I A2i+1 = Im((gf)ig). oBOZNA^IM TEPERX ^EREZ A1 PERESE^ENIE WSEH ^LENOW \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI. tAK KAK NE^ETNYE ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI ZAVATY MEVDU EE ^ETNYMI ^LENAMI, TO PRI OBRAZOWANII PERESE^ENIQ IH MOVNO OTBROSITX, OGRANI^IW[ISX LI[X ^ETNYMI ^LENAMI. tAKIM OBRAZOM,

\ \

A1 = A2i = Im((gf)i):

zDESX I DALX[E WSE PERESE^ENIQ I OB_EDINENIQ BERUTSQ PO WSEM i 2 N0. tO VE, RAZUMEETSQ, OTNOSITSQ I K NE^ETNYM ^LENAM:

\ \

A1 = A2i+1 = Im((gf)ig):

dLQ L@BOGO a 2 A, NE PRINADLEVA]EGO A1, RASSMOTRIM NAIBOLX[IJ NOMER i = i(a) TAKOJ, ^TO a 2 Ai. |TOT NOMER LIBO ^ETEN, LIBO NE^ETEN. pOLOVIM

A+ = fa 2 A n A1 j 2ji(a)g; A¡ = fa 2 A n A1 j 2 6i(ja)g:

308 NIKOLAJ WAWILOW

qSNO, ^TO \TI OPREDELENIQ MOVNO PEREPISATX W WIDE

a a

A+ = (A2i n A2i+1) = (Im((gf)i) n Im((gf)ig));

a a

A¡ = (A2i+1 n A2i+2) = (Im((gf)ig) n Im((gf)i+1));

I ^TO A = A+ `A¡ `A1 PREDSTAWLQET SOBOJ RAZBIENIE A.

rAZBIENIE MNOVESTWA B = B+ `B¡ `B1 STROITSQ SOWER[ENNO ANALOGI^NO S ISPOLXZOWANIEM BESKONE^NOJ WLEWO CEPO^KI OTOBRAVENIJ

: : : A ¡!f B ¡!g A ¡!f B:

pRI \TOM B2i = Im((fg)i), B2i+1 = Im((fg)if) I

\ \ \ \

B1 = B2i = B2i+1 = Im((fg)i) = Im((fg)if)

aa

B+ = (B2i n B2i+1) = (Im((fg)i) n Im((fg)if));

aa

B¡ = (B2i+1 n B2i+2) = (Im((fg)if) n Im((fg)i+1)):

lEGKO WIDETX, ^TO DLQ L@BOGO i 2 N0 WYPOLNQ@TSQ RAWENSTWA

f(A2i) = f(Im((gf)i)) = Im(f(gf)i) = Im((fg)if) = B2i+1

f(A2i+1 = f(Im((gf)ig)) = Im(f(gf)ig) = Im((fg)i+1) = B2i+2:

tAKIM OBRAZOM, DLQ L@BOGO i IMEEM f(Ai) = Bi+1. sOWER[ENNO ANALOGI^NO MOVNO UBEDITXSQ I W TOM, ^TO g(Bi) = Ai+1.

tEPERX SOWER[ENNO QSNO, KAK ZAWER[ITX DOKAZATELXSTWO. tAK KAK f(Ai) = Bi+1

I g(Bi) = Ai+1, TO OGRANI^ENIQ f I g NA A1 I B1 QWLQ@TSQ WZAIMNO OBRATNYMI BIEKCIQMI, OGRANI^ENIE f NA A+ QWLQETSQ BIEKCIEJ A+ NA B¡ A OGRANI^ENIE g

NA B+ QWLQETSQ BIEKCIEJ B+ NA A¡. tAKIM OBRAZOM, BIEKCIQ h : A ¡! B MOVET BYTX OPREDELENA SLEDU@]EJ FORMULOJ:

8

> f(a); a 2 A+;

<

h(a) = g¡1(a); a 2 A¡;

>

: f(a) = g¡1(a); a 2 A1:

4. tEOREMA kANTORA—bERN[TEJNA I SRAWNENIE MO]NOSTEJ. eSLI BY MO]NOSTI OBRAZOWYWALI MNOVESTWO, MY SKAZALI BY, ^TO SUBWALENTNOSTX ZADAET ^ASTI^NYJ PORQDOK NA MO]NOSTQH. oDNAKO IZ TEOREMY kANTORA—bERN[TEJNA NE SLEDUET, ^TO \TOT PORQDOK LINEEN, T.E. ^TO DWE L@BYE MO]NOSTI SRAWNIMY. tOT FAKT, ^TO DLQ L@BYH DWUH MNOVESTW A I B IMEET MESTO ROWNO ODNA IZ DWUH WOZMOVNOSTEJ jAj < jBj, jAj = jBj ILI jAj > jBj NAZYWAETSQ ZAKONOM TRIHOTOMII. iZ TEOREMY kANTORA—bERN[TEJNA SLEDUET LI[X, ^TO PERWAQ I TRETXQ IZ \TIH WOZMOVNOSTEJ NE MOGUT REALIZOWYWATXSQ ODNOWREMENNO,

dOKAZATELXSTWO. kAK MY UWIDIM W SLEDU@]EJ ZADA^E, DOKAZATELXSTWO IMPLIKACII =) \LEMENTARNO I NE ZAWISIT OT AKSIOMY WYBORA. nU A WOT OBRATNAQ IMPLIKACIQ Sur(A; B) =6 ? =) Inj(B; A) =6 ?, KAK RAZ I QWLQETSQ PERWONA^ALXNOJ FORMULIROWKOJ AKSIOMY WYBORA (AKSIOMA lEWI).

|TA TEOREMA UTWERVDAET, ^TO W SISTEME ZFC MNOVESTWO A W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE SUBWALENTNO B, KOGDA B SUPERWALENTNO A. |TO POZWOLQET NAM W DALXNEJ[EM PISATX BEZ WSQKIH CEREMONIJ jBj ¸ jAj WMESTO jBj ¸¤ jAj, NE OPASAQSX DWUSMYSLENNOSTI. tEM NE MENEE, KOE-^TO PRO SWQZX SUPERWALENTNOSTI S SUBWALENTNOSTX@ MOVNO DOKAZATX I BEZ AKSIOMY WYBORA.

zADA^A. dOKAVITE, NE ISPOLXZUQ AKSIOMU WYBORA, ^TO ESLI jAj · jBj, TO jBj ¸¤ jAj I, W DRUGU@ STORONU, ESLI jBj ¸¤ jAj, TO j2Aj · j2Bj.

rE[ENIE. pERWOE UTWERVDENIE O^EWIDNO, W SAMOM DELE, ESLI ONO A PUSTO, TO B SUPERWALENTNO EMU PO OPREDELENI@, A ESLI A NEPUSTO I f 2 Inj(A; B), TO WYBEREM \LEMENT a 2 A I OPREDELIM OTOBRAVENIE g : B ¡! A, POLAGAQ g(x) = f¡1(x), ESLI x 2 Im(f) I g(x) = a W PROTIWNOM SLU^AE. qSNO, ^TO g S@R_EKTIWNO. dLQ DOKAZATELXSTWA WTOROGO UTWERVDENIQ NUVNO WOSPOLXZOWATXSQ TEM, ^TO FUNKTOR STEPENI QWLQETSQ ANTI\KWIWALENTNOSTX@ KATEGORIJ I, SLEDOWATELXNO, MENQET MESTAMI

MONOMORFIZMY I \PIMORFIZMY. w SAMOM DELE, W zADA^E ?.? POKAZANO, ^TO ESLI f : B ¡! A — S@R_EKCIQ, TO f¡1 : 2A ¡! 2B — IN_EKCIQ.

x 5. zAKON TRIHOTOMII

1. tRIHOTOMIQ. uTWERVDENIE, ^TO DLQ L@BYH DWUH WE]EJ x I y IMEET MESTO ROWNO ODNA IZ DWUH WOZMOVNOSTEJ NAZYWAETSQ OBY^NO

DIHOTOMIEJ, A ROWNO ODNA IZ TREH WOZMOVNOSTEJ — TRIHOTOMIEJ. pRIMEROM TAKOJ SITUACII QWLQETSQ SFORMULIROWANNYJ kANTOROM I DOKAZANNYJ cERMELO ZAKON TRIHOTOMII.

zAKON TRIHOTOMII. w TEORII ZFC DLQ L@BYH DWUH MNOVESTW X I Y IMEET MESTO ROWNO ODNA IZ TREH WOZMOVNOSTEJ jXj < jY j, jXj = jY j ILI jXj > jY j.

tAKIM OBRAZOM, W PREDPOLOVENII AKSIOMY WYBORA L@BYE DWE MO]- NOSTI SRAWNIMY, T.E. PORQDOK NA MO]NOSTQH, ZADANNYJ SUBWALENTNOSTX@, QWLQETSQ LINEJNYM.

2. lEMMA kURATOWSKOGO—cORNA. wSE OBY^NYE DOKAZATELXSTWA ZAKONA TRIHOTOMII OPIRA@TSQ NA PEREFORMULIROWKI AKSIOMY WYBORA W TERMINAH UPORQDO^ENNYH MNOVESTW, KOTORYE MY OBSUVDAEM W gLAWE ?. pERWONA^ALXNOE DOKAZATELXSTWO cERMELO OPIRALOSX NA TEOREMU cERMELO O POLNOM UPORQDO^ENII. mY PRIWEDEM SOWREMENNOE DOKAZATELXSTWO, OSNOWANNOE NA LEMME kURATOWSKOGO—cORNA. wO-PERWYH, \TO DOKAZATELXSTWO PREDSTAWLQETSQ MNE NAIBOLEE ESTESTWENNYM, A, WOWTORYH, ONO HORO[O ILL@STRIRUET TO, KAK AKSIOMA WYBORA OBY^NO ISPOLXZUETSQ W ALGEBRE. wSE PONQTIQ, FIGURIRU@]IE W SLEDU@]EM