vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

tEMA 3. osnownye konstrukcii nad operaciqmi

A composition on a set begets a variety of other compositions on closely related sets, each mirroring to some degree the properties of its parent.

Seth Warner188

sEJ^AS MY OPI[EM NESKOLXKO OSNOWNYH SPOSOBOW POSTROENIQ NOWYH ALGEBRAI^ESKIH OPERACIJ PO UVE IME@]IMSQ. pUSTX X – MNOVESTWO S BINARNOJ OPERACIEJ ¤. tAK KAK TEPERX NAM BUDET WAVNO UKAZYWATX, GDE IMENNO OPREDELENA OPERACIQ, MY BUDEM INOGDA PISATX (X; ¤), ^TOBY OBOZNA^ITX MNOVESTWO X S OPERACIEJ ¤, I ¤X, ^TOBY UTO^NITX, ^TO ¤ RASSMATRIWAETSQ KAK OPERACIQ IMENNO NA X. sEJ^AS MY OPI- [EM PQTX OSNOWNYH SPOSOBOW STROITX NOWYE OPERACII IZ ¤, A IMENNO, PODOPERACII, FAKTOR-OPERACII, PRQMYE SUMMY, OPERACII NA FUNKCIQH I NA PODMNOVESTWAH. |TI KONSTRUKCII BUDUT IGRATX CENTRALXNU@ ROLX W SLEDU@]IH GLAWAH189.

x 1. pODOPERACIQ

pREVDE WSEGO WYQSNIM, KOGDA OPERACIQ NA X OPREDELQET OPERACI@ NA PODMNOVESTWE X

oPREDELENIE. nEPUSTOE PODMNOVESTWO Y µ X NAZYWAETSQ ZAMKNUTYM OTNOSITELXNO ¤, ESLI DLQ L@BYH x; y 2 Y IMEEM x ¤ y 2 Y .

w \TOM SLU^AE OPREDELENO SUVENIE ¤ = ¤Y OPERACII ¤ = ¤X NA Y , ZADAWAEMOE POSREDSTWOM (x; y) 7!x ¤ y, DLQ WSEH x; y 2 Y . tOGDA ¤Y NAZYWAETSQ PODOPERACIEJ OPERACII ¤ I OBY^NO OBOZNA^AETSQ TEM VE SIMWOLOM ¤, ^TO I ISHODNAQ OPERACIQ.

w DALXNEJ[EM MY KONKRETIZIRUEM \TU IDE@ W PONQTIQH PODMONOIDA, PODGRUPPY, PODKOLXCA, PODMODULQ, PODPROSTRANSTWA I T.D., PO\TOMU OGRANI^IMSQ SEJ^AS TOLXKO NEBOLX[IM KOLI^ESKTWOM PRIMEROW.

² N µ Z ZAMKNUTO OTNOSITELXNO SLOVENIQ I UMNOVENIQ, NO NE OTNOSITELXNO WY^ITANIQ.

188S.Warner, Modern algebra. v.I. – Prentice Hall, 1965, p.1–457.

189rAZUMEETSQ, W MATEMATIKE WSTRE^ATXSQ DESQTKI KONSTRUKCIJ, POZWOLQ@]IH STROITX NOWYE ALGEBRAI^ESKIE OPERACII IZ UVE IZWESTNYH (SWERTKA, SIMMETRIZACIQ, SPLETENIE, \KSPONENCIROWANIE, RAZLI^NYE WIDY PROIZWEDENIJ, TAKIE KAK POLUPRQMOE PROIZWEDENIE, SWOBODNOE PROIZWEDENIE, AMALXGAMIROWANNOE PROIZWEDENIE, TENZORNOE PROIZWEDENIE, OGRANI^ENNOE PROIZWEDENIE, ULXTRAPROIZWEDENIE, I T.D.), I MNOGIE IZ \TIH KONSTRUKCII BUDUT OPISANY W DALXNEJ[EM. oDNAKO WSE \TI KONSTRUKCII LIBO OPREDELQ@TSQ ZAMETNO SLOVNEE, LIBO TREBU@T DLQ SWOEGO OPREDELENIQ NALI^IQ NESKOLXKIH OPERACIJ NA ISHODNYH MNOVESTWAH.

SDELATX \TO – OPREDELITX UMNOVENIE W Y TAK, ^TOBY WYPOLNQLASX \TA FORMULA, T.E. OPREDELITX DLQ DWUH KLASSOW \KWIWALENTNOSTI x I y IH KOMPOZICI@ x ¤ y KAK x ¤ y. oDNAKO, WOOB]E GOWORQ, \TO OPREDELENIE NEKORREKTNO, TAK KAK KLASS x ¤ y MOVET ZAWISETX OT WYBORA PREDSTAWITELEJ x I y W KLASSAH x I y. tAKIM OBRAZOM MY PRIHODIM K SLEDU@]EMU OPREDELENI@.

oPREDELENIE. |KWIWALENTNOSTX » NA MNOVESTWE (X; ¤) BUDET NA- ZYWATXSQ KONGRU\NCIEJ PO OTNO[ENI@ K ¤, ESLI

x1 » x2; y1 » y2 =) x1 ¤ y1 » x2 ¤ y2:

w \TOM SLU^AE GOWORQT TAKVE, ^TO \KWIWALENTNOSTX » SOGLASOWANA S OPERACIEJ ¤. dLQ KONGRU\NCII DEJSTWITELXNO KLASS \KWIWALENTNOSTI PROIZWEDENIQ x ¤ y NE ZAWISIT OT WYBORA PREDSTAWITELEJ x I y IZ DWUH DANNYH KLASSOW \KWIWALENTNOSTI, TAK ^TO TEPERX RAWENSTWO x ¤ y = x ¤ y KORREKTNO OPREDELQET ALGEBRAI^ESKU@ OPERACI@ NA n.

oPREDELENIE. oPERACIQ ¤ = ¤Y NA FAKTOR-MNOVESTWE Y = X= » PO OTNO[ENI@ K KONGRU\NCII », OPREDELENNAQ KAK x ¤ y = x ¤ y, NA- ZYWAETSQ FAKTOR-OPERACIEJ OPERACII ¤ = ¤X.

tAK VE I \TA KONSTRUKCIQ BUDET W DALXNEJ[EM KONKRETIZIROWANA W PONQTIQH FAKTOR-GRUPPY, FAKTOR-KOLXCA, FAKTOR-MODULQ I T.D., TEM NE MENEE PRIWEDEM SRAZU VE WAVNEJ[IJ PRIMER, QWLQ@]IJSQ ODNIM IZ OSNOWNYH OB_EKTOW, RASSMATRIWA@]IHSQ W NA[EM KURSE.

x 3. kOLXCO KLASSOW WY^ETOW

tOLXKO TO I DERVITSQ NA GWOZDE, ^TO NE DELITSQ BEZ OSTATKA NA DWA.

iOSIF bRODSKIJ, ‘uRANIQ, rIMSKIE |LEGII’.

pUSTX X = Z I m 2 N. wWEDEM NA Z SLEDU@]EE OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI. sKAVEM, ^TO x » y W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA x ´ y (mod m). fAKTOR-MNOVESTWO Z PO \TOMU OTNO[ENI@ \KWIWALENTNOSTI OBY^NO OBOZNA^AETSQ Z=mZ. oNO SOSTOIT IZ m KLASSOW \KWIWALENTNOSTI S PREDSTAWITELQMI 0; 1; : : : ; m ¡ 1.

lEMMA. oTNO[ENIE SRAWNIMOSTI PO MODUL@ m QWLQETSQ KONGRU\N- CIEJ NA Z KAK PO SLOVENI@, TAK I PO UMNOVENI@.

dOKAZATELXSTWO. pUSTX x ´ y (mod m) I z ´ w (mod m). pROWERIM WNA^ALE, ^TO x + z ´ y + w (mod m). w SAMOM DELE, (x + z) ¡ (y +

w) = (x ¡ y) + (z ¡ w), PRI^EM PO USLOWI@ OBA SLAGAEMYH W PRAWOJ ^ASTI DELQTSQ NA m. tREBUEMOE SRAWNENIE PO UMNOVENI@ PROWERQETSQ ANALOGI^NO. mY HOTIM POKAZATX, ^TO xz ´ yw (mod m). w SAMOM DELE, xz ¡ yw = (xz ¡ yz) + (yz ¡ yw) = (x ¡ y)z + y(z ¡ w), PRI^EM SNOWA PO USLOWI@ OBA SLAGAEMYH W PRAWOJ ^ASTI DELQTSQ NA m.

tAKIM OBRAZOM, x + y = x + y I x ¢ y = xy KORREKTNO OPREDELQ@T OPERACII NA Z=mZ, KOTORYE PREWRA]A@T \TO MNOVESTWO W KOLXCO, NA-

ZYWAEMOE KOLXCOM KLASSOW WY^ETOW PO MODUL@ m. w SLEDU@]EJ GLAWE MY DADIM [IROKOE OBOB]ENIE \TOJ KONSTRUKCII.

x 4. pRQMOE PROIZWEDENIE/PRQMAQ SUMMA

rASSMOTRIM DWA MNOVESTWA X I Y S OPERACIQMI ¤X I ¤Y , KOTORYE MY OBY^NO BUDEM OBOZNA^ATX ODNIM I TEM VE SIMWOLOM ¤. tOGDA NA PRQMOM PROIZWEDENII X £ Y \TIH MNOVESTW MOVNO WWESTI OPERACI@ ¤ = ¤X£Y OPREDELIW EE POKOMPONENTNO, T.E. POLOVIW

(x1; y1) ¤ (x2; y2) = (x1 ¤ x2; y1 ¤ y2)

DLQ L@BYH x1; x2 2 X I y1; y2 2 Y . tAK OPREDELENNAQ OPERACIQ NAZYWAETSQ PRQMYM PROIZWEDENIEM OPERACIJ NA X I NA Y .

iNOGDA, OSOBENNO W SLU^AE, KOGDA ¤ = +, \TA KONSTRUKCIQ NAZYWAETSQ TAKVE PRQMOJ SUMMOJ I OBOZNA^AETSQ ©. iNYMI SLOWAMI, X © Y KAK MNOVESTWO SOWPADAET S X £ Y , A SLOVENIE W X © Y OPREDELQETSQ

KAK (x1; y1) + (x2; y2) = (x1 + x2; y1 + y2). nAIBOLEE IZWESTNYM PRIMEROM \TOJ KONSTRUKCII QWLQ@TSQ, KONE^NO, POKOMPONENTNYE OPERACII

NA WEKTORAH, PO OTNO[ENI@ K KOORDINATAM \TIH WEKTOROW.

x 5. oPERACII NA FUNKCIQH

pREDPOLOVIM TEPERX, ^TO Y – MNOVESTWO S OPERACIEJ ¤ = ¤Y , A X — PROIZWOLXNOE MNOVESTWO I RASSMOTRIM MNOVESTWO OTOBRAVENIJ Z = Map(X; Y ). tOGDA NA Z MOVNO WWESTI OPERACI@ ¤ = ¤Z SLEDU@- ]IM OBRAZOM. mY DOLVNY DLQ DWUH L@BYH f; g 2 Z OPREDELITX NOWOE OTOBRAVENIE f ¤ g 2 Z. oPREDELITX OTOBRAVENIE ZNA^IT OPREDELITX DLQ KAVDOGO x 2 X EGO OBRAZ POD DEJSTWIEM \TOGO OTOBRAVENIQ I MY SDELAEM \TO SLEDU@]EJ FORMULOJ: (f ¤g)(x) = f(x)¤g(x). tAKOJ SPOSOB PERENOSA OPERACII NA FUNKCII NAZYWAETSQ POTO^E^NYM. zAMETIM, ^TO IMENNO TAK OBY^NO OPREDELQ@TSQ SUMMA FUNKCIJ (f + g)(x) = f(x) + g(x) I PROIZWEDENIE FUNKCIJ (fg)(x) = f(x)g(x) W ANALIZE I GEOMETRII. pRI \TOM, KONE^NO, fg — \TO SOWSEM NE TO VE SAMOE, ^TO

KOMPOZICIQ f ± g FUNKCIJ f I g, KOTORAQ WOOB]E NE OPREDELENA ESLI X I Y RAZLI^NY. nA SAMOM DELE W RAZLI^NYH RAZDELAH MATEMATIKI OPREDELQETSQ MNOGO DRUGIH ZAKONOW KOMPOZICII NA FUNKCIQH: SWERTKI, SKOBKI pUASSONA, I T.D. (ZAMETIM, KSTATI, ^TO W ANALIZE SIMWOL f ¤ g OBY^NO ISPOLXZUETSQ IMENNO DLQ OBOZNA^ENIQ SWERTKI).

x 6. oPERACII NA PODMNOVESTWAH

pUSTX X — MNOVESTWO S OPERACIEJ ¤ I Y = 2X. tOGDA MOVNO WWESTI OPERACI@ ¤ NA \LEMENTAH Y SLEDU@]IM OBRAZOM: A ¤Y B = fa ¤ b j a 2 A; b 2 Bg. w SLU^AE, KOGDA ¤ = + TAK OPREDELENNAQ OPERACIQ

A + B = fa + b j a 2 A; b 2 Bg

\TO W TO^NOSTI SUMMA PO mINKOWSKOMU. w DEJSTWITELXNOSTI, SU]E- STWU@T DRUGIE SPOSOBY PERENESTI OPERACI@ ¤ NA PODMNOVESTWA RAZLI^NYH TIPOW. nAPRIMER, POD PROIZWEDENIEM IDEALOW A I B OBY^NO PONIMAETSQ IDEAL, POROVDENNYJ PROIZWEDENIQMI ab, a 2 A, b 2 B, A WOWSE NE MNOVESTWO TAKIH PROIZWEDENIJ. ~TOBY UTO^NITX, ^TO OPERACIQ ¤ OPREDELQETSQ NA PODMNOVESTWAH IMENNO TAKIM OBRAZOM, OBY^NO GOWORQT O PERENOSE OPERACII ¤ PO mINKOWSKOMU. nAPRIMER,

PROIZWEDENIE PO mINKOWSKOMU MNOVESTW A I B OPREDELQETSQ KAK

AB = fab j a 2 A; b 2 Bg.

|TU OPERACI@ OBY^NO OBOZNA^A@T TEM VE SIMWOLOM ¤, NO ^ASTO \TO PRIWODIT K DWUSMYSLENNOSTQM. nAPRIMER, ESLI ¤ \TO OPERACIQ OBXEDINENIQ ILI PERESE^ENIQ, TO NEWOZMOVNO NAPISATX A[B ILI A\B W TOLXKO ^TO OPISANNOM ZNA^ENII, KAK fa [ b j a 2 A; b 2 Bg ILI fa \ b j a 2 A; b 2 Bg, TAK KAK SIMWOLAM [ I \ UVE PRIDAN DRUGOJ, IZNA^ALXNYJ SMYSL.

sUMMA PO mINKOWSKOMU. ~EMU RAWNA SUMMA PO mINKOWSKOMU X+Y , GDE

1)X = B(x; r) — [AR RADIUSA r S CENTROM x, A Y = B(y; s).

2)X = Rx, Y = Ry — PRIQMYE, NATQNUTYE NA WEKTORY x; y 6= 0.

3)X = Rx, Y = B(0; r)

4)X — KWADRAT S WER[INAMI (§1; §1), Y — KWADRAT S WER[INAMI

(§1; 0), (0; §1).

zADA^A. pUSTX ¤ — KOMPOZICIQ NA X, A A; B; C µ X. dOKAZATX, ^TO

i)A ¤ (B [ C) = (A ¤ B) [ (A ¤ C) I (A [ B) ¤ C = (A ¤ C) [ (B ¤ C).

ii)A ¤ (B \ C) µ (A ¤ B) \ (A ¤ C) I (A \ B) ¤ C µ (A ¤ C) \ (B ¤ C). wSEGDA LI ZDESX IMEET MESTO RAWENSTWO?

tEMA 3. monoidy

w \TOJ GLAWE MY IZU^IM PROSTEJ[IJ TIP ALGEBRAI^ESKIH SISTEM: MONOIDY.

x 1. pOLUGRUPPY

1. pERWYE PRIMERY POLUGRUPP. mY UVE WIDELI PRIMER PO-

LUGRUPPY, NE QWLQ@]EJSQ MONOIDOM: \TO N OTNOSITELXNO SLOVENIQ. pRIWEDEM E]E NESKOLXKO WAVNYH PRIMEROW.

²pOLURE[ETKI. pUSTX TEPERX, WOOB]E (X; _; & ) – L@BAQ RE[ETKA. kAK MY ZNAEM, OPERACII _ I & ASSOCIATIWNY, NO NEJTRALXNYE \LEMENTY DLQ \TIH OPERACIJ, 0 I 1, NE OBQZANY SU]ESTWOWATX. tAK ^TO W OB]EM SLU^AE (X; _) I (X; & ) QWLQ@TSQ POLUGRUPPAMI, NO NE MONOIDAMI.

²nod I nok W N. sPECIALIZIRUQ PREDYDU]IJ PRIMER, RASSMOTRIM X = N S PORQDKOM, OPREDELENNYM DELIMOSTX@. tOGDA (N; lcm) QWLQETSQ MONOIDOM S NEJTRALXNYM \LEMENTOM 1. w TO VE WREMQ (N; gcd) POLUGRUPPA, NO NE MONOID.

²pOLUGRUPPA LEWYH/PRAWYH NULEJ. oPREDELIM NA X BINAR-

NU@ OPERACI@ !, POLAGAQ x ! y = y. |TA OPERACIQ ASSOCIATIWNA (PROWERXTE!), I TAKIM OBRAZOM PREWRA]AET X W POLUGRUPPU, KOTORAQ, ODNAKO, NE QWLQETSQ MONOIDOM, ESLI jXj ¸ 2. |TA POLUGRUPPA NAZYWAETSQ POLUGRUPPOJ PRAWYH NULEJ. tEPERX MY MOVEM PRISOEDINITX K X E]E ODIN NE PRINADLEVA]IJ X \LEMENT, KOTORYJ MY OBOZNA^IM ^EREZ e, I DOOPREDELITX UMNOVENIE, POLAGAQ x ! e = x = e ! x DLQ WSEH x 2 X1 = X [ feg. |TO PREWRA]AET X1 W MONOID (IGRA@- ]IJ, KSTATI, DOWOLXNO WAVNU@ ROLX W TEORII KONE^NYH AWTOMATOW). rAZUMEETSQ, MOVNO POSTROITX MONOID I OTPRAWLQQSX OT POLUGRUPPY LEWYH NULEJ, W KOTOROJ OPERACIQ à OPREDELQETSQ POSREDSTWOM x à y = x.

|TI POLUGRUPPY OBLADA@T SLEDU@]IM ZAME^ATELXNYM SWOJSTWOM: WSE IH \LEMENTY IDEMPOTENTNY. nAPOMNIM, ^TO \LEMENT z 2 S POLUGRUPPY S NAZYWAETSQ IDEMPOTENTNYM, ILI, KOROTKO, IDEMPOTENTOM, ESLI z2 = z. pOLUGRUPPY LEWYH I PRAWYH NULEJ NASTOLXKO DALEKI OT KOMMUTATIWNOSTI, NASKOLXKO \TO WOOB]E MOVNO SEBE PREDSTAWITX. qSNO, ^TO L@BOJ \LEMENT OBQZAN KOMMUTIROWATX SAM S SOBOJ. pOLUGRUPPA NAZYWAETSQ NIGDE NE KOMMUTATIWNOJ (nowhere commutative), ESLI NIKAKIH DRUGIH PAR KOMMUTIRU@]IH \LEMENTOW NET, T.E. ESLI IZ TOGO, ^TO xy = yx DLQ NEKOTORYH x; y 2 Z WYTEKAET, ^TO x = y.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO Ã I ! PREDSTAWLQ@T SOBOJ IDEMPOTENTNYE NIGDE NE KOMMUTATIWNYE OPERACII.

oPREDELENNAQ W POSLEDNEM PRIMERE OPERACII DOPUSKA@T SLEDU@]EE INTERESNOE OBOB]ENIE.

² pRQMOUGOLXNAQ SWQZKA. pUSTX X I Y – PROIZWOLXNYE MNOVESTWA. oPREDELIM BINARNU@ OPERACI@ NA X£Y , POLAGAQ (x1; y1)(x2; y2) = (x1; y2) DLQ L@BYH x1; x2 2 X I y1; y2 2 Y . |TA OPERACIQ ASSOCIATIWNA (PROWERXTE!) I TAKIM OBRAZOM, PREWRA]AET X £ Y W POLUGRUPPU, NAZYWAEMU@ PRQMOUGOLXNOJ SWQZKOJ NA MNOVESTWE X £ Y . nO, ZA ISKL@^ENIEM TRIWIALXNOGO SLU^AQ jXj = jY j = 1, \TA POLUGRUPPA NIKOGDA NE QWLQETSQ MONOIDOM. w SLU^AE KOGDA jXj = 1 \TO W TO^NOSTI POLUGRUPPA PRAWYH NULEJ, A W SLU^AE, KOGDA jY j = 1 — POLUGRUPPA LEWYH NULEJ. ~TOBY OB_QSNITX NAZWANIE W OB]EM SLU^AE NARISUJTE KARTINKU DLQ SLU^AQ, KOGDA X = Y = R.

pOLUGRUPPA NAZYWAETSQ SWQZKOJ, ESLI WSE EE \LEMENTY IDEMPOTENTNY, TAK ^TO PRQMOUGOLXNAQ SWQZKA DEJSTWITELXNO QWLQETSQ SWQZKOJ. iZU^ENIE KOMMUTATIWNYH SWQZOK SWODITSQ K IZU^ENI@ ^ASTI^NO UPORQDO^ENNYH MNOVESTW (A IMENNO, POLOVIM x · y, ESLI xy = yx = x, TOGDA PROIZWEDENIE W POLUGRUPPE ESTX NE ^TO INOE, KAK INFIMUM W \TOM ^ASTI^NO UPORQDO^ENNOM MNOVESTWE). lEGKO WIDETX, ^TO PRQMOUGOLXNAQ SWQZKA NIGDE NE KOMMUTATIWNA.

x 2. nEJTRALXNYE \LEMENTY

1. nEJTRALXNYJ \LEMENT. pUSTX X — MNOVESTWO S ODNOJ BINARNOJ OPERACIEJ, KOTORU@ MY POKA PRODOLVAEM OBOZNA^ATX ^EREZ ¤. gOWORQT, ^TO e — LEWYJ NEJTRALXNYJ \LEMENT OTNOSITELXNO ¤, ESLI e¤x = x DLQ L@BOGO x 2 X. aNALOGI^NO OPREDELQETSQ PRAWYJ NEJTRALXNYJ \LEMENT e, DLQ KOTOROGO x¤e = x DLQ WSEH x 2 X. lEWYE I PRAWYE NEJTRALXNYE \LEMENTY NAZYWA@TSQ ODNOSTORONNIMI. wOOB]E GOWORQ, W MNOVESTWE MOVET BYTX MNOGO ODNOSTORONNIH NEJTRALXNYH \LEMENTOW, LIBO NE BYTX NI ODNOGO, NO ESLI SU]ESTWU@T KAK LEWYE, TAK I PRAWYE NEJTRALXNYE, TO KARTINA MENQETSQ.

lEMMA. eSLI DLQ ¤ SU]ESTWUET LEWYJ NEJTRALXNYJ \LEMENT e1 I PRAWYJ NEJTRALXNYJ \LEMENT e2, TO e1 = e2.

dOKAZATELXSTWO. w SAMOM DELE, PO OPREDELENI@ ODNOSTORONNIH NEJTRALXNYH \LEMENTOW POLU^AEM e1 = e1 ¤ e2 = e2.

oPREDELENIE. |LEMENT e 2 X NAZYWAETSQ NEJTRALXNYM \LEMEN- TOM OPERACII ¤, ESLI ON QWLQETSQ KAK LEWYM, TAK I PRAWYM NEJ- TRALXNYM, T.E. ESLI e ¤ x = x = x ¤ e DLQ L@BOGO x 2 X.

iNOGDA \MFATI^ESKI W \TOM SLU^AE GOWORQT O DWUSTORONNIH NEJTRALXNYH \LEMENTAH. wYBOR BUKWY ‘e’ DLQ OBOZNA^ENIQ EDINI^NOGO \LEMENTA, EDINI^NOJ MATRICY I T.D. STANDARTEN I SWQZAN S NEMECKIM NAZYWANIEM NEJTRALXNOGO \LEMENTA: Einheit — EDINICA.

2.pRIMERY NEJTRALXNYH \LEMENTOW.

²0 QWLQETSQ NEJTRALXNYM \LEMENTOM OTNOSITELXNO SLOVENIQ ^ISEL.

²1 QWLQETSQ NEJTRALXNYM \LEMENTOM OTNOSITELXNO UMNOVENIQ ^I-

SEL.

²1 QWLQETSQ PRAWYM NEJTRALXNYM \LEMENTOM OTNOSITELXNO OPERACII WOZWEDENIQ W STEPENX. lEWOGO NEJTRALXNOGO DLQ OPERACII WOZWEDENIQ W STEPENX NET.

²? QWLQETSQ NEJTRALXNYM \LEMENTOM OTNOSITELXNO OB_EDINENIQ I SIMMETRI^ESKOJ RAZNOSTI W 2X.

²X QWLQETSQ NEJTRALXNYM \LEMENTOM OTNOSITELXNO PERESE^ENIQ W

2X,

²id QWLQETSQ NEJTRALXNYM \LEMENTOM OTNOSITELXNO KOMPOZICII OTOBRAVENIJ W XX.

²= f(x; x); x 2 Xg QWLQETSQ NEJTRALXNYM \LEMENTOM OTNOSITELXNO KOMPOZICII OTNO[ENIJ W W 2X£X.

²PUSTOE SLOWO Λ QWLQETSQ NEJTRALXNYM \LEMENTOM OTNOSITELXNO KOMPOZICII W SWOBODNOJ MONOIDE.

x 3. mONOIDY, PROSTEJ[IE PRIMERY

pROSTEJ[EJ ALGEBRAI^ESKOJ STRUKTUROJ QWLQ@TSQ MONOIDY – MNOVESTWA S ODNOJ ASSOCIATIWNOJ BINARNOJ OPERACIEJ.

1. mONOIDY. sEJ^AS MY OPREDELIM PROSTEJ[U@ ALGEBRAI^ESKU@ STRUKTURU.

oPREDELENIE. nEPUSTOE MNOVESTWO (X; ¤) S BINARNOJ OPERACIEJ ¤ NAZYWAETSQ MONOIDOM, ESLI OPERACIQ ¤ ASSOCIATIWNA I OBLADAET NEJTRALXNYM \LEMENTOM e.

iNYMI SLOWAMI, PREDPOLAGAETSQ, ^TO

M1) 8x; y; z 2 X, (x ¤ y) ¤ z = x ¤ (y ¤ z) (ASSOCIATIWNOSTX), M2) 9e 2 X, 8x 2 X, e ¤ x = x = x ¤ e (NEJTRALXNYJ \LEMENT).

pRI \TOM NEJTRALXNYJ \LEMENT MOVNO RASSMATRIWATX KAK ZADANNU@ NA X NULXARNU@ OPERACI@ I ^ASTO, ^TOBY UKAZATX WSE \LEMENTY STRUKTURY MONOIDA, PI[UT (X; ¤; e). tERMIN ‘MONOID’ PROISHODIT OT GRE^ESKOGO ‘¹oºo&` ’, OZNA^A@]EGO ‘ODIN’, ‘EDINSTWENNYJ’.

2. aDDITIWNAQ I MULXTIPLIKATIWNAQ NOTACIQ. dLQ ZAPISI OPE-

RACII W MONOIDAH ^A]E WSEGO ISPOLXZU@TSQ DWE NOTACII: ADDITIWNAQ I MULXTIPLIKATIWNAQ. w SLU^AE ADDITIWNOJ NOTACII OPERACIQ NAZYWAETSQ SLOVENIEM I OBOZNA^AETSQ ZNAKOM ‘+’, TAK ^TO WMESTO x ¤ y PI[UT x+y. pRI \TOM OPERANDY NAZYWA@TSQ SLAGAEMYMI, A REZULXTAT — SUMMOJ. nEJTRALXNYJ \LEMENT NAZYWAETSQ OBY^NO NULEM I OBOZNA^AETSQ 0, A OBRATNYJ \LEMENT NAZYWAETSQ PROTIWOPOLOVNYM I OBOZNA^AETSQ ¡x (ESLI ON SU]ESTWUET). pRI \TOM X NAZYWAETSQ ADDITIWNYM MONOIDOM. |TO OBOZNA^ENIE ISPOLXZUETSQ OSOBENNO ^A- STO, ESLI MONOID X KOMMUTATIWEN, T.E. ESLI x ¤ y = y ¤ x DLQ L@BYH x; y 2 X.

dRUGAQ ^ASTO ISPOLXZUEMAQ NOTACIQ — MULXTIPLIKATIWNAQ. pRI \TOM OPERACIQ NAZYWAETSQ UMNOVENIEM I OBOZNA^AETSQ ZNAKOM ‘¢’, KOTORYJ, K TOMU VE, OBY^NO OPUSKAETSQ, TAK ^TO WMESTO x ¤y PI[UT x ¢y LIBO PROSTO xy. pRI \TOM OPERANDY NAZYWA@TSQ SOMNOVITELQMI, A REZULXTAT — PROIZWEDENIEM. nEJTRALXNYJ \LEMENT NAZYWAETSQ OBY^NO EDINICEJ I OBOZNA^AETSQ 1, A OBRATNYJ \LEMENT OBOZNA^AETSQ x¡1 (ESLI ON SU]ESTWUET). pRI \TOM X NAZYWAETSQ MULXTIPLIKA-

TIWNYM MONOIDOM.

3. pERWYE PRIMERY MONOIDOW. nAPOMNIM WSTRE^AW[IESQ NAM PRIMERY MONOIDOW. w SLEDU@]EM PARAGRAFE MY OPREDELIM KL@^E- WYE NOWYE PRIMERY, SWOBODNYE MONOIDY I SWOBODNYE KOMMUTATIWNYE MONOIDY.

²mULXTIPLIKATIWNYJ MONOID NATURALXNYH ^ISEL. mNO-

VESTWO N QWLQETSQ MONOIDOM OTNOSITELXNO UMNOVENIQ. pRI \TOM 1 QWLQETSQ NEJTRALXNYM \LEMENTOM. oSNOWNAQ TEOREMA ARIFMETIKI UTWERVDAET, ^TO N — SWOBODNYJ KOMMUTATIWNYJ MONOID SWOBODNO POROVDENNYJ MNOVESTWOM PROSTYH ^ISEL (SM. x ?). |TOT PRIMER ^REZWY^AJNO WAVEN, TAK KAK MNOGIE WSTRE^A@]IESQ W MATEMATIKE MONOIDY IZOMORFNY MONOIDU N.

²aDDITIWNYJ MONOID NEOTRICATELXNYH CELYH ^ISEL. mNO-

VESTWO N NE QWLQETSQ MONOIDOM OTNOSITELXNO SLOVENIQ, TAK KAK ONO NE SODERVIT NEJTRALXNOGO \LEMENTA. mNOVESTWA S ODNOJ WS@DU OPREDELENNOJ ASSOCIATIWNOJ BINARNOJ OPERACIEJ NAZYWA@TSQ POLUGRUPPAMI (“MONOIDY BEZ EDINICY”). tAKIM OBRAZOM, N — ADDITIWNAQ

POLUGRUPPA, A N0 — ADDITIWNYJ MONOID. w DEJSTWITELXNOSTI N0 — SWOBODNYJ MONOID SWOBODNO POROVDENNYJ 1.

²sIMMETRI^ESKIJ MONOID. mONOIDY, RASSMOTRENNYE W DWUH PREDYDU]IH PRIMERAH, KOMMUTATIWNY. pRIWEDEM WAVNEJ[IJ PRIMER NEKOMMUTATIWNOGO MONOIDA. pUSTX Y — KAKOE-TO MNOVESTWO I X = Map(Y; Y ). qSNO, ^TO X QWLQETSQ MONOIDOM OTNOSITELXNO KOMPOZICII OTOBRAVENIJ: (X; ±; idY ). pRI n ¸ 2 \TOT MONOID NEKOMMUTATIWEN.

²mONOID BINARNYH OTNO[ENIJ. pUSTX TEPERX X = Rel(Y ). sNOWA KOMPOZICIQ OPREDELQET NA X STRUKTURU MONOIDA, NEJTRALXNYM \LEMENTOM KOTOROGO QWLQETSQ TOVDESTWENNOE OTNO[ENIE.

²pROTIWOPOLOVNYJ MONOID. oPREDELIM NA MONOIDE (X; ¤; e)

NOWU@ OPERACI@ ±, POLAGAQ x ± y = y ¤ x DLQ L@BYH x; y 2 X. tOGDA (X; ±; e) TAKVE QWLQETSQ MONOIDOM, NAZYWAEMYM MONOIDOM, PROTIWOPOLOVNYM K X I OBOZNA^AEMYM Xo.

²mULXTIPLIKATIWNYJ MONOID KOLXCA. pUSTX R — PROIZWOLX-

NOE ASSOCIATIWNOE KOLXCO S 1. zABYWAQ O TOM, ^TO NA R OPREDELENO SLOVENIE, I RASSMATRIWAQ R TOLXKO S OPERACIEJ UMNOVENIQ, MY POLU^A- EM MULXTIPLIKATIWNYJ MONOID. oDNAKO OBY^NO WYRAVENIE MULXTIPLIKATIWNYJ MONOID KOLXCA R UPOTREBLQETSQ W SLEDU@]EJ SITUACII. pUSTX R — CELOSTNOE KOLXCO. |TO OZNA^AET, ^TO xy 6= 0 DLQ L@BYH x; y 2 R n f0g. tAKIM OBRAZOM, DLQ CELOSTNOGO KOLXCA R n f0g BUDET OBRAZOWYWATX MONOID OTNOSITELXNO UMNOVENIQ. w KA^ESTWE PRIMEROW MOVNO RASSMOTRETX Z n f0g ILI K[t] n f0g, GDE K[t] — KOLXCO MNOGO- ^LENOW NAD POLEM.

²mONOID FUNKCIJ I MONOID PODMNOVESTW. wSE PERE^ISLEN-

NYE W xx ? — ? OB]IE KONSTRUKCII PRIMENIMY K MONOIDAM. nAPRIMER, ESLI (Z; ¤; e) — MONOID, A Y — L@BOE MNOVESTWO, TO X = Map(Y; Z) TAKVE SNABVAETSQ STRUKTUROJ MONOIDA, W KOTOROM OPERACIQ ZADAETSQ

KAK OPERACIQ NA FUNKCIQH, T.E. (f ¤ g)(y) = f(y) ¤ g(y) DLQ L@BOGO y 2 Y , A NEJTRALXNYM \LEMENTOM QWLQETSQ FUNKCIQ, TOVDESTWENNO RAWNAQ e. kAK DRUGOJ PRIMER UKAVEM, ^TO X = 2Z QWLQETSQ MONOIDOM OTNOSITELXNO ZAKONA KOMPOZICII A ¤ B = fa ¤ b j a 2 A; b 2 Bg, NEJTRALXNYM \LEMENTOM KOTOROGO QWLQETSQ feg.

4. mONOID KLASSOW GOMEOMORFIZMA SWQZNYH KOMPAKTNYH POWERHNOSTEJ. pUSTX M — MNOVESTWO KLASSOW GOMEOMORFIZMA SWQZNYH KOMPAKTNYH POWERHNOSTEJ. tOGDA M QWLQETSQ KOMMUTATIWNYM MONOIDOM OTNOSITELXNO OPERACII SWQZNOJ SUMMY, NULEWYM \LEMENTOM KOTOROGO QWLQETSQ KLASS IZOMORFIZMA SFERY. nAPOMNIM, ^TO SWQZNAQ SUMMA DWUH KOMPAKTNYH POWERHNOSTEJ X I Y OPREDELQETSQ SLEDU- @]IM OBRAZOM: W X I Y WYREZA@TSQ MALENXKIE OTKRYTYE DISKI, POSLE ^EGO POLU^IW[IESQ POWERHNOSTI SKLEIWA@TSQ PO GRANICAM \TIH DISKOW. pUSTX P , K I T