vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

element). aNALOGI^NO, NAIBOLX[IJ \LEMENT LINEJNO UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA NAZYWAETSQ EGO POSLEDNIM \LEMENTOM (last element).

²w MNOVESTWE 2Z WSEH PODMNOVESTW MNOVESTWA Z ESTX NAIBOLX[IJ \LEMENT Z I NAIMENX[IJ \LEMENT ?.

²mNOVESTWA Z, Q, R OTNOSITELXNO OBY^NOGO PORQDKA NE IME@T NI NAIBOLX[EGO, NI NAIMENX[EGO \LEMENTA. w TEH SLU^AQH, KOGDA \TO NEOBHODIMO, POLOVENIE ISPRAWLQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM. k KAVDOMU IZ \TIH MNOVESTW X PRISOEDINQ@TSQ DWA NOWYH \LEMENTA, OBOZNA^AEMYH 1 I ¡1, TAK ^TO 1 QWLQETSQ NAIBOLX[IM \LEMENTOM MNOVESTWA X [ f§1g, A ¡1 — NAIMENX[IM: ¡1 < x < 1 DLQ L@BOGO x 2 X.

²eSLI PODMNOVESTWO Y µ X IMEET NAIBOLX[IJ \LEMENT, TO TRADICIONNO \TOT \LEMENT NAZYWAETSQ MAKSIMUMOM Y I OBOZNA^AETSQ max(Y ). aNALOGI^NO, NAIMENX[IJ \LEMENT MNOVESTWA Y ^ASTO NAZYWAETSQ MINIMUMOM Y I OBOZNA^AETSQ min(Y ).

zADA^A. dOKAVITE, ^TO MNOVESTWO Y µ X W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE IMEET MAKSIMUM/MINIMUM, KOGDA Y \ Y M 6= ? ILI, SOOTWETSTWENNO,

Y \ Y O 6= ?.

rE[ENIE. zAMETIM, PREVDE WSEGO, ^TO ESLI x; y 2 Y \Y M, TO PO OPREDELENI@ WERHNEJ GRANI ODNOWREMENNO x · y I y · x. tAKIM OBRAZOM, W SILU ANTISIMMETRI^NOSTI x = y. |TO ZNA^IT, ^TO jY \ Y Mj · 1. tAKIM OBRAZOM, ESLI PERESE^ENIE Y \ Y M NEPUSTO, TO ONO RAWNO fxg, GDE x 2 Y TAKOJ \LEMENT, ^TO x ¸ y DLQ WSEH y 2 Y . iZ OPREDELENIQ NIVNEJ GRANI TO^NO TAK VE WYWODITSQ, ^TO jY \ Y Oj · 1.

² pONQTIE MAKSIMUMA/MINIMUMA OSOBENNO ^ASTO ISPOLXZUETSQ DLQ SLU^AQ, KOGDA Y LINEJNOJ UPORQDO^ENO.

x 28. mAKSIMALXNYE I MINIMALXNYE \LEMENTY

pONQTIE NAIBOLX[EGO/NAIMENX[EGO \LEMENTA SLEDUET T]ATELXNEJ- [IM OBRAZOM OTLI^ATX OT PONQTIQ MAKSIMALXNOGO/MINIMALXNOGO \LEMENTA.

a IMENNO, \LEMENT x 2 X NAZYWAETSQ MAKSIMALXNYM, ESLI ON NE MAVORIRUETSQ NIKAKIM DRUGIM \LEMENTOM, INYMI SLOWAMI, ESLI

8y 2 X, y ¸ x =) y = x.

oDNAKO TO, ^TO x NE MAVORIRUETSQ NIKAKIM DRUGIM \LEMENTOM, OT- N@DX NE OZNA^AET, ^TO SAM x MAVORIRUET WSE DRUGIE \LEMENTY — ON MOVET BYTX NE SRAWNIM S NIMI.

dWOJSTWENNYM OBRAZOM OPREDELQETSQ PONQTIE MINIMALXNOGO \LEMENTA.

maximal element, maximales Element

minimal element, minimales Element

² |LEMENT x W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE MAKSIMALEN, KOGDA xM = fxg. aNALOGI^NO, \LEMENT x W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE MINIMALEN, KOGDA xO = fxg.

±eSLI W MNOVESTWE X ESTX NAIBOLX[IJ \LEMENT x, TO ON QWLQETSQ EDINSTWENNYM MAKSIMALXNYM \LEMENTOM.

±aNALOGI^NO, NAIMENX[IJ \LEMENT (ESLI ON SU]ESTWUET) QWLQETSQ EDINSTWENNYM MINIMALXNYM \LEMENTOM.

±oDNAKO W OB]EM SLU^AE W X MOVET SU]ESTWOWATX MNOGO MAKSIMALXNYH I MINIMALXNYH \LEMENTOW.

±bOLEE TOGO, DAVE ESLI W X SU]ESTWUET EDINSTWENNYJ MAKSIMALXNYJ ILI MINIMALXNYJ \LEMENT, \TO E]E SOWER[ENNO NE OZNA^AET, ^TO X IMEET NAIBOLX[IJ ILI, SOOTWETSTWENNO, NAIMENX[IJ \LEMENT — HOTQ DLQ KONE^NYH MNOVESTW \TO DEJSTWITELXNO TAK!

²wSE \LEMENTY ANTICEPI X QWLQ@TSQ ODNOWREMENNO KAK MAKSIMALXNYMI, TAK I MINIMALXNYMI \LEMENTAMI, NO ESLI jXj ¸ 2, TO NI NAIBOLX[EGO, NI NAIMENX[EGO \LEMENTA TAM NET.

²eSLI PRISOEDINITX K Z \LEMENT ¤, NE SRAWNIMYJ NI S ODNIM CELYM ^ISLOM, TO POLU^IW[EESQ MNOVESTWO X = Z[f¤g IMEET EDINSTWENNYJ MAKSIMALXNYJ I EDINSTWENNYJ MINIMALXNYJ \LEMENT f¤g, NO NE SODERVIT NI NAIBOLX[EGO, NI NAIMENX[EGO \LEMENTA.

²rASSMOTRIM MNOVESTWO X NEPUSTYH SOBSTWENNYH PODMNOVESTW NEKOTOROGO MNOVESTWA Z. tOGDA MINIMALXNYMI \LEMENTAMI X BUDUT ODNO\LEMENTYE PODMNOVESTWA, A MAKSIMALXNYMI \LEMENTAMI — TAKIE PODMNOVESTWA, DOPOLNENIE KOTORYH ODNO\LEMENTNO, PRI \TOM NAIBOLX- [EGO I NAIMENX[EGO \LEMENTA W X NET.

²w MNOVESTWE N NATURALXNYH ^ISEL OTNOSITELXNO DELENIQ ESTX NAIMENX[IJ \LEMENT 1, NO NE SU]ESTWUET MAKSIMALXNYH \LEMENTOW. (kAK MY UWIDIM W SLEDU@]EJ GLAWE, W BOLEE GLUBOKOM SMYSLE 1 QWLQETSQ NAIBOLX[IM \LEMENTOM, I NAOBOROT, ^ISLO TEM MENX[E, T.E. TEM BLIVE K 0, ^EM U NEGO BOLX[E DELITELEJ).

x 29. sUPREMUM I INFIMUM

sUPREMUM I INFIMUM. pUSTX SNOWA Y µ X. eSLI MNOVESTWO WSEH MAVORANT Y IMEET NAIMENX[IJ \LEMENT, TO ON NAZYWAETSQ TO^NOJ WERHNEJ GRANX@ ILI SUPREMUMOM MNOVESTWA Y I OBOZNA^AETSQ _Y ILI sup(Y ). sUPREMUM NE OBQZAN SU]ESTWOWATX, A ESLI ON SU]ESTWUET, TO NE OBQZAN PRINADLEVATX Y , HOTQ MOVET EMU I PRINADLEVATX. eSLI

x = sup(Y ), TO PO OPREDELENI@ 8y 2 Y , x ¸ y, I ESLI DLQ NEKOTOROGO z WYPOLNENO 8y 2 Y , z ¸ y, TO z ¸ x. aNALOGI^NO, NAIBOLX[IJ \LEMENT MNOVESTWA WSEH MINORANT Y NAZYWAETSQ TO^NOJ NIVNEJ GRANX@ ILI INFIMUMOM MNOVESTWA Y I OBOZNA^AETSQ ^Y ILI inf(Y ) I K NEMU OTNOSQTSQ WSE ZAME^ANIQ, WYSKAZANNYE W OTNO[ENII SUPREMUMA.

least upper bound, supremum, obere Grenze, kleinste obere Schranke greates lower bound, infimum, untere Grenze, grÄo¼te untere Schranke

x 30. uROWNI

WYSOTA \LEMENTA, GLUBINA \LEMENTA

oPREDELENIE. gOWORQT, ^TO UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO X UDOWLE-

TWORQET USLOWI@ vORDANA—dEDEKINDA, ESLI DLQ L@BYH x; y 2

X, x · y WSE MAKSIMALXNYE CEPI S NA^ALOM x I KONCOM y IME@T ODNU I TU VE DLINU.

x 31. rE[ETKI

oSOBENNO WAVNY TAKIE UPORQDO^ENNYE MNOVESTWA, W KOTORYH SU]E- STWUET SUPREMUM I INFIMUM L@BOGO DWUH\LEMENTNOGO PODMNOVESTWA fx; yg, OBOZNA^AEMYE W \TOM SLU^AE x _ y = sup(x; y) I x ^ y = inf(x; y), SOOTWETSTWENNO. tAKIE UPORQDO^ENNYE MNOVESTWA OBY^NO NAZYWA@T- SQ STRUKTURAMI ILI RE[ETKAMI. oPERACII WZQTIQ SUPREMUMA I INFIMUMA OBLADA@T SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI:

i)KOMMUTATIWNOSTX x _ y = y _ x, x ^ y = y ^ x,

ii)ASSOCIATIWNOSTX: (x _ y) _ z = x _ (y _ z), (x ^ y) ^ z = x ^ (y ^ z),

iii)IDEMPOTENTNOSTX: x _ x = x, x ^ x = x.

lEGKO WIDETX, ^TO W DEJSTWITELXNOSTI W RE[ETKAH SU]ESTWU@T SUPREMUMY I INFIMUMY L@BYH KONE^NYH MNOVESTW. dLQ \TOGO DOSTATO^NO ZAMETITX, ^TO sup I inf MOVNO INDUKTIWNO OPREDELITX SLEDU@- ]IMI FORMULAMI:

pRIWEDEM NESKOLXKO O^EWIDNYH PRIMEROW RE[ETOK.

²w L@BOM UPORQDO^ENNOM MNOVESTWE WYPOLNENO USLOWIE POGLO- ]ENIQ x · y () x = x ^ y () y = x _ y. pO\TOMU L@BOE LINEJNO UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO QWLQETSQ RE[ETKOJ.

²mNOVESTWO X = 2Z WSEH PODMNOVESTW MNOVESTWA Z QWLQETSQ RE- [ETKOJ, W KOTOROJ x_y = x[y I x^y = x\y (TEORETIKO-MNOVESTWENNOE

² wOZRASTA@]AQ CEPO^KA (xi)i2I, NAZYWAETSQ STROGO WOZRASTA@-

]EJ CEPO^KOJ (strictly increasing, echt aufsteigend, strictement croissante), ESLI WSE NERAWENSTWA W NEJ STROGIE, x1 < x2 < x3 < : : :

pREDOSTEREVENIE. wO MNOGIH KNIGAH PO ANALIZU ISPOLXZUETSQ USTAREW[AQ TERMINOLOGIQ, SOGLASNO KOTOROJ WOZRASTA@]IE CEPO^KI NAZYWA@TSQ NEUBYWA@]IMI (non-decreasing), A UBYWA@]IE CEPO^KI NEWOZRASTA@]IMI (non-increasing). w \TOM SLU^AE WOZRASTA@]I- MI I UBYWA@]IMI CEPO^KAMI NAZYWAETSQ TO, ^TO MY NAZYWAEM STROGO WOZRASTA@]IMI I STROGO UBYWA@]IMI CEPO^KAMI. oDNAKO W DANNOM SLU^AE Q POLNOSTX@ SOLIDAREN S bURBAKI, KOTORYJ PREDLAGAET WO WSEH SLU^AQH RASSMATRIWATX KAK OSNOWNOE IMENNO PONQTIE NESTROGOGO NERAWENSTWA.

gOWORQT, ^TO MNOVESTWO X UDOWLETWORQET USLOWI@ OBRYWA UBY-

WA@]IH CEPO^EK (absteigende Kettenbedingung, descending chain condition, DCC) ESLI W X NELXZQ POSTROITX BESKONE^NU@ STROGO UBYWA@]U@ CEPO^KU x1 > x2 > x3 > : : : . |TO USLOWIE ^ASTO WYRAVA@T I NESKOLXKO INA^E, A IMENNO, L@BAQ BESKONE^NAQ UBYWA@]AQ CEPO^- KA x1 ¸ x2 ¸ x3 ¸ : : : STABILIZIRUETSQ, INYMI SLOWAMI, NAJDETSQ

TAKOJ NOMER n, ^TO xn = xn+1 = xn+2 = : : :

gOWORQT, ^TO MNOVESTWO X UDOWLETWORQET USLOWI@ OBRYWA WOZ-

RASTA@]IH CEPO^EK (aufsteigende Kettenbedingung, ascending chain condition, ACC) ESLI W X NELXZQ POSTROITX BESKONE^NU@ STROGO WOZRASTA@]U@ CEPO^KU x1 > x2 > x3 > : : : . kAK I W SLU^AE UBYWA@]IH CEPO^EK MOVNO WYRAZITX \TO USLOWIE I TAK: L@BAQ BESKONE^NAQ WOZRASTA@]AQ CEPO^KA x1 · x2 · x3 · : : : STABILIZIRUETSQ.

w PREDPOLOVENII AKSIOMY WYBORA USLOWIQ ARTINOWOSTI I NETEROWOSTI \KWIWALENTNY PREDPOLOVENI@ NESU]ESTWOWANIQ BESKONE^NYH STROGO UBYWA@]IH ILI, SOOTWETSTWENNO, STROGO WOZRASTA@]IH CEPO^EK.

pREDLOVENIE. uPORQDO^ENNOE MNOVESTWO X W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE ARTINOWO, KOGDA ONO UDOWLETWORQET USLOWI@ OBRYWA UBYWA@- ]IH CEPO^EK.

uPORQDO^ENNOE MNOVESTWO X W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE NETE- ROWO, KOGDA ONO UDOWLETWORQET USLOWI@ OBRYWA WOZRASTA@]IH CEPO- ^EK.

dOKAZATELXSTWO. pROWEDEM DOKAZATELXSTWO DLQ ARTINOWYH MNOVESTW, DLQ NETEROWYH MNOVESTW DOKAZATELXSTWO ANALOGI^NO. pUSTX WNA^ALE X NE QWLQETSQ ARTINOWYM I Y µ X — PODMNOVESTWO W X, W KOTOROM NE SU]ESTWUET MINIMALXNYH \LEMENTOW. wOZXMEM L@BOE x1 2 Y . tAK KAK x1 NE MINIMALEN, TO NAJDETSQ TAKOE x2 2 Y , ^TO x1 > x2. tAK

DOLVAQ DEJSTWOWATX TAKIM OBRAZOM, MY POSTROIM BESKONE^NU@ STROGO UBYWA@]U@ CEPO^KU (ZDESX ISPOLXZOWANA AKSIOMA WYBORA!)

oBRATNO, PREDPOLOVIM, ^TO X ARTINOWO, A x1 ¸ x2 ¸ x3 ¸ : : :

— BESKONE^NAQ UBYWA@]AQ CEPO^KA. rASSMOTRIM MNOVESTWO Y = fx1; x2; x3; : : : g EE \LEMENTOW. pO PREDPOLOVENI@ W Y ESTX MINIMALXNYJ \LEMENT, SKAVEM, xn. tOGDA xn · xi DLQ WSEH i 2 N. s DRUGOJ STORONY, TAK KAK CEPO^KA (xi) UBYWA@]AQ, TO xn ¸ xi DLQ WSEH i ¸ n. w SILU ANTISIMMETRI^NOSTI xi = xn DLQ WSEH TAKIH i. nO \TO I ZNA^IT, ^TO CEPO^KA (xi) STABILIZIRUETSQ.

oTMETIM NESKOLXKO O^EWIDNYH SWOJSTW ARTINOWYH/NETEROWYH MNOVESTW:

²kAVDOE KONE^NOE UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO QWLQETSQ ARTINOWYM I NETEROWYM.

²uPORQDO^ENNOE MNOVESTWO X W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE ARTINOWO, KOGDA PROTIWOPOLOVNOE UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO X¤ NETEROWO.

²w ARTINOWOM UPORQDO^ENNOM MNOVESTWE KAVDYJ \LEMENT SODERVIT HOTQ BY ODIN MINIMALXNYJ \LEMENT. w NETEROWOM UPORQDO^ENNOM MNOVESTWE KAVDYJ \LEMENT SODERVITSQ HOTQ BY W ODNOM MAKSIMALXNOM \LEMENTE.

²eSLI W ARTINOWOM UPORQDO^ENNOM MNOVESTWE SU]ESUTWUET EDINSTWENNYJ MINIMALXNYJ \LEMENT, TO ON QWLQETSQ NAIMENX[IM. eSLI W NETEROWOM UPORQDO^ENNOM MNOVESTWE SU]ESTWUET EDINSTWENNYJ MAKSIMALXNYJ \LEMENT, TO ON QWLQETSQ NAIBOLX[IM. w ^ASTNOSTI, \TO TAK DLQ KONE^NYH UPORQDO^ENNYH MNOVESTW.

x 34. wPOLNE UPORQDO^ENNYE MNOVESTWA

oPREDELENIE. aRTINOWO LINEJNO UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO X NA-

ZYWAETSQ WPOLNE UPORQDO^ENNYM.

wohlgeordnet

pRINCIP TRANSFINITNOJ INDUKCII. pUSTX X WPOLNE UPORQDO-

^ENNOE MNOVESTWO, A P (x) — NEKOTOROE WYSKAZYWANIE OTNOSITELX- NO \LEMENTOW x 2 X. pREDPOLOVIM, ^TO IZ TOGO, ^TO P (y) IMEET MESTO DLQ WSEH y < x WYTEKAET, ^TO P (x) TOVE IMEET MESTO. tO- GDA P (x) IMEET MESTO DLQ WSEH x 2 X.

x 35. mONOTONNYE OTOBRAVENIQ

mORFIZMY UPORQDO^ENNYH MNOVESTW. ~ISLO RAZLI^NYH PORQD-

KOW, KOTORYE MOVNO WWESTI NA DANNOM MNOVESTWE RASTET NEWEROQTNO BYSTRO. oBOZNA^IM ^EREZ G¤(n) ^ISLO RAZLI^NYH SPOSOBOW, KOTORYMI MOVNO WWESTI PORQDOK NA n-\LEMENTOM MNOVESTWE. tOGDA G¤(1) = 1,

G¤(2) = 3, G¤(3) = 19, G¤(4) = 219, G¤(5) = 4231, G¤(6) = 130023, G¤(7) = 6129859.

uPRAVNENIE. wERNO LI, ^TO G¤(n) WSEGDA NE^ETNO? (SM. g.bIRKGOF, “tEORIQ RE[ETOK”, m., 1984, gL.I, xx 1–2)

oDNAKO KAKOWO ^ISLO SU]ESTWENNO RAZLI^NYH SPOSOBOW UPORQDO^ITX MNOVESTWO X? dLQ \TOGO NAM NUVNO OPREDELITX, KOGDA DWA UPORQDO- ^ENNYH MNOVESTWA SLEDUET S^ITATX ODINAKOWYMI.

oPREDELENIE. oTOBRAVENIE f : X ¡! Y UPORQDO^ENNYH MNOVESTW NAZYWAETSQ IZOTONNYM, ESLI DLQ L@BYH x; y 2 X NERAWENSTWO x · y WLE^ET SOOTWETSTWU@]EE NERAWENSTWO DLQ OBRAZOW f(x) · f(y). iZOTONNYE OTOBRAVENIQ NAZYWA@TSQ INA^E SOHRANQ@]IMI PORQ-

DOK, WOZRASTA@]IMI ILI MORFIZMAMI UPORQDO^ENNYH MNOVESTW.

zAMETIM, ^TO W \TOM OPREDELENII NE PREDPOLAGAETSQ, ^TO f IN_EKTIWNO. iNA^E GOWORQ, DLQ DWUH \LEMENTOW x; y 2 X, SWQZANNYH STROGIM NERAWENSTWOM x < y IH OBRAZY MOGUT SOWPADATX f(x) = f(y). iN_EKTIWNOE IZOTONNOE OTOBRAVENIE NAZYWAETSQ STROGO IZOTONNYM ILI

STROGO WOZRASTA@]IM.

bIEKTIWNOE IZOTONNOE OTOBRAVENIE NAZYWAETSQ IZOMORFIZMOM UPORQDO^ENNYH MNOVESTW, DWA UPORQDO^ENNYH MNOVESTWA NAZYWA@TSQ IZOMORFNYMI, ESLI MEVDU NIMI SU]ESTWUET IZOMORFIZM. nAPRIMER, L@BYE DWA KONE^NYH LINEJNO UPORQDO^ENNYH MNOVESTWA ODNOGO I TOGO VE PORQDKA IZOMORFNY, A MNOVESTWO 2f0;1g IZOMORFNO MNOVESTWU NATURALXNYH DELITELEJ ^ISLA 6.

oBOZNA^IM ^EREZ G(n) ^ISLO RAZLI^NYH PORQDKOW, KOTORYE MOVNO WWESTI NA n-\LEMENTNOM MNOVESTWE, RASSMATRIWAEMYH S TO^NOSTX@ DO IZOMORFIZMA. tOGDA G(1) = 1, G(2) = 2, G(3) = 5, G(4) = 16, G(5) = 63, G(6) = 318. |TI ZNA^ENIQ GORAZDO MENX[E, ^EM SOOTWETSTWU@]IE ZNA^ENIQ G(n), NO TAKVE DOWOLXNO BYSTRO RASTUT.

nARQDU S OTOBRAVENIQMI, SOHRANQ@]IH PORQDOK, ^ASTO RASSMATRIWA@T I OTOBRAVENIQ, OBRA]A@]IE PORQDOK, NAZYWAEMYE TAKVE

ANTIIZOTONNYMI ILI UBYWA@]IMI. a IMENNO, DLQ TAKOGO OTOB-

RAVENIQ A NERAWENSTWO x · y WLE^ET OBRATNOE NERAWENSTWO DLQ OBRAZOW f(x) ¸ f(y). w DEJSTWITELXNOSTI, ANTIIZOTONNYE OTOBRAVENIQ IZ X

W Y MOVNO RASSMATRIWATX PROSTO KAK IZOTONNYE OTOBRAVENIQ DWOJSTWENNOGO MNOVESTWA X W Y (ILI KAK OTOBRAVENIQ X W DWOJSTWENNOE Y ). qSNO, KAKOJ SMYSL SLEDUET PRIPISATX SLOWAM STROGO AN-

TIIZOTONNOE ILI STROGO UBYWA@]EE OTOBRAVENIE. iZOTONNYE I ANTIIZOTONNYE OTOBRAVENIQ OBXEDINQ@TSQ POD OB]IM IMENEM MONOTONNYH, A IN_EKTIWNOE MONOTONNOE OTOBRAVENIE NAZYWAETSQ STROGO MONOTONNYM.

zADA^A. pUTX X, Y DWA UPORQDO^ENNYH MNOVESTWA PORQDKOW m I n, SOOTWETSTWENNO. dOKAZATX, ^TO KOLI^ESTWO STROGO WOZRASTA@]IH OTOBRAVENIJ IZ X W Y RAWNO ¡mn ¢.

kAK OBY^NO, MY S^ITAEM, ^TO DLQ L@BOGO MNOVESTWA X MNOVESTWO 2X WSEH EGO PODMNOVESTW UPORQDO^ENO PO WKL@^ENI@. iNYMI SLOWAMI, S^ITAETSQ, ^TO PODMNOVESTWO A µ X NE PREWOSHODIT PODMNOVESTWO B µ X, ESLI A µ B. pUSTX f : X ¡! Y — PROIZWOLXNOE OTOBRAVENIE MNOVESTW. tOGDA OTOBRAVENIE 2f : 2X ¡! 2Y , A 7!f(A), QWLQETSQ IZOTONNYM OTOBRAVENIEM UPORQDO^ENNYH MNOVESTW. w SAMOM DELE,

ESLI A µ B µ X, TO f(A) µ f(B) µ Y .

sLEDU@]AQ ZADA^A POKAZYWAET, ^TO KAVDYJ PORQDOK INDUCIROWAN WKL@^ENIEM PODMNOVESTW.

zADA^A. pUSTX X — PROIZWOLXNOE UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO. pOSTROJTE IZOTONNOE I ANTIIZOTONNOE WLOVENIQ UPORQDO^ENNYH MNOVESTW

X ¡! 2X.

rE[ENIE. sOPOSTAWIM KAVDOMU x 2 X INTERWAL (¡1; x] = fz 2 X j z · xg. qSNO, ^TO ESLI x · y, TO DLQ L@BOGO z 2 X IZ NERAWENSTWA z · x SLEDUET z · y. pO\TOMU (¡1; x] · (¡1; y], TAK ^TO \TO OTOBRAVENIE IZOTONNO. s DRUGOJ STORONY, ESLI (¡1; x] = (¡1; y], TO x · y I y · x, A POSEMU x = y, TAK ^TO \TO OTOBRAVENIE IN_EKTIWNO. s DRUGOJ STORONY, SOPOSTAWLENIE x 2 X INTERWALA [x; 1) = fz 2 X j x · zg ANTIIZOTONNO.

gLAWA 7. porqdkowye tipy

cINXSKIJ CARX mU-GUN SKAZAL bOL\:

—wY UVE W PREKLONNYH GODAH. eSTX LI U WAS W SEMXE KTONIBUDX, KOGO Q MOG BY POSLATX NA ROZYSKI KONQ?

—hORO[EGO KONQ MOVNO OPOZNATX PO EGO STATI I WZGLQDU, KOSTQM I MUSKULAM, — OTWETIL bOL\. — nO LU^[IJ KONX pODNEBESNOGO MIRA KAK BY NEWIDEN, KAK BY NEULOWIM, KAK BY NE SU]ESTWUET, KAK BY PROPAL. tAKOJ KONX NE PODNIMAET PYLI I NE OSTAWLQET SLEDOW. u SYNOWEJ WA[EGO SLUGI SPOSOBNOSTI NEBOLX[IE. oNI MOGUT UZNATX HORO[EGO KONQ, NO NE LU^[EGO KONQ pODNEBESNOJ. nO Q ZNA@ ^ELOWEKA, KOTORYJ RAZBIRAETSQ W KONQH NE HUVE MENQ. oN NOSIT OWO]I I SOBIRAET HWOROST DLQ MENQ. eGO ZOWUT cZ@FAN gAO. pRO[U WAS PRIZWATX EGO K SEBE.

mU-GUN PRIZWAL \TOGO ^ELOWEKA K SEBE I POSLAL EGO NA ROZYSKI KONQ. sPUSTQ TRI MESQCA ON WERNULSQ I SNOWA PREDSTAL PERED CAREM.

—q NA[EL TO, ^TO NUVNO, W pES^ANYH hOLMAH.

—~TO \TO ZA KONX?

—kOBYLA, KAURAQ.

cARX WELEL PRIWESTI KOBYLU, I ONA OKAZALASX WORONYM VEREBCOM. mU-GUN SILXNO OPE^ALILSQ I PRIZWAL K SEBE bOL\.

— oKAZYWAETSQ, TOT, KOGO MY POSLALI OTBIRATX KONEJ, NI NA ^TO NE GODEN. oN NE UMEET DAVE OTLI^ITX KOBYLU OT VEREBCA I NE RAZBIRAET MASTI! ~TO ON MOVET ZNATX PRO LO[ADEJ! tUT bOL\ WOSHI]ENNO WZDOHNUL:

— tAK WOT, ZNA^IT, ^EGO ON DOSTIG! kAK RAZ PO\TOMU ON STOIT TYSQ^I, DESQTI TYSQ^, WSEH W MIRE ZNATOKOW, PODOBNYH MNE. tAKIE L@DI, KAK gAO, PROZREWA@T nEBESNYJ ISTOK VIZNI, ONI SHWATYWA@T SUTX I ZABYWA@T O NENUVNOM, PREBYWA@T WO WNUTRENNEM I OTRE[A@TSQ OT WNE[NEGO. oN WIDIT TO, NA ^TO HO^ET SMOTRETX, I NE ZAME^AET TOGO, NA ^TO SMOTRETX NE NUVNO. tAKIE, KAK ON, W LO[ADQH WIDQT NE^TO KUDA BOLEE WAVNOE, ^EM LO[ADX.

lE-CZY, gL. VIII. rASSKAZY O SOWPADENIQH

x 16. pORQDKOWYE TIPY

pORQDKOWYE TIPY. kLASS IZOMORFIZMA UPORQDO^ENNYH MNOVESTW NAZYWAETSQ PORQDKOWYM TIPOM. tAKIM OBRAZOM, KAVDOE UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO OPREDELQET EDINSTWENNYJ PORQDKOWYJ TIP, SOSTOQ]IJ IZ WSEH IZOMORFNYH EMU UPORQDO^ENNYH MNOVESTW.

tRADICIONNO RASSMATRIWALISX PO^TI ISKL@^ITELXNO PORQDKOWYE TIPY LINEJNO UPORQDO^ENNYH MNOVESTW. wOT NESKOLXKO PERWYH PRIMEROW:

²pORQDKOWYJ TIP MNOVESTWA n = f1; 2; : : : ; ng RASSMATRIWAEMOGO OTNOSITELXNO ESTESTWENNOGO PORQDKA, OBOZNA^AETSQ n;

²pORQDKOWYJ TIP MNOVESTWA N = f1; 2; 3; : : : g RASSMATRIWAEMOGO OTNOSITELXNO ESTESTWENNOGO PORQDKA, OBOZNA^AETSQ !;

²pORQDKOWYJ TIP MNOVESTWA ¡N = f: : : ; ¡3; ¡2; ¡1g RASSMATRIWAEMOGO OTNOSITELXNO ESTESTWENNOGO PORQDKA, OBOZNA^AETSQ !¤;

²wOOB]E, ESLI ® — PORQDKOWYJ TIP UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA X, TO PORQDKOWYJ TIP PROTIWOPOLOVNOGO MNOVESTWA X¤ OBOZNA^AETSQ ®¤ I NAZYWAETSQ PORQDKOWYM TIPOM, PROTIWOPOLOVNYM K ®;

²pORQDKOWYJ TIP MNOVESTWA Q RASSMATRIWAEMOGO OTNOSITELXNO ESTESTWENNOGO PORQDKA, OBOZNA^AETSQ ´;

²pORQDKOWYJ TIP MNOVESTWA R RASSMATRIWAEMOGO OTNOSITELXNO ESTESTWENNOGO PORQDKA, OBOZNA^AETSQ ¸.

sOWER[ENNO QSNO, ^TO n¤ = n, ´¤ = ´ I ¸¤ = ¸.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO DLQ L@BYH WE]ESTWENNYH a < b PORQDKOWYJ TIP INTERWALA (a; b) = fx 2 R j a < x < bg RAWEN ¸.

rE[ENIE. pREVDE WSEGO ZAMETIM, ^TO NE TERQQ OB]NOSTI MOVNO S SAMOGO NA^ALA S^ITATX, ^TO a = ¡1, b = 1. w SAMOM DELE, DLQ \TOGO DOSTATO^NO PROIZWESTI LINEJNU@ ZAMENU PEREMENNOJ x 7!2(x¡a)=(b¡ a) ¡ 1. tAK KAK b ¡ a > 0, TO \TO IZOMORFIZM (a; b) NA (¡1; 1). s DRUGOJ STORONY, OTOBRAVENIE f : (¡1; 1) ¡! R, x 7!x=(1 ¡ jxj), TAKVE QWLQETSQ IZOMORFIZMOM UPORQDO^ENNYH MNOVESTW.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO DLQ L@BYH RACIONALXNYH a < b PORQDKOWYJ TIP INTERWALA (a; b) \ Q = fx 2 Q j a < x < bg RAWEN ´.

x 16. kARDINALXNAQ ARIFMETIKA PORQDKOWYH TIPOW

nAD PORQDKOWYMI TIPAMI PROIZWODQTSQ DWA TIPA OPERACIJ, KARDINALXNYE OPERACII I ORDINALXNYE OPERACII. kARDINALXNYE OPERACII OBLADA@T OBY^NYMI SWOJSTWAMI, I, W ^ASTNOSTI, KOMMUTATIWNY. oDNAKO KARDINALXNAQ SUMMA I PROIZWEDENIE LINEJNO UPORQDO^ENNYH MNOVESTW, WOOB]E GOWORQ, NE QWLQ@TSQ LINEJNO UPORQDO^ENNYMI. nARQDU S \TIM DLQ PORQDKOWYH TIPOW RASSMATRIWA@TSQ ORDINALXNYE OPERACII.

kARDINALXNOE SLOVENIE PORQDKOWYH TIPOW.

oPREDELENIE. pUSTX X — MNOVESTWO PORQDKOWOGO TIPA ®, A Y

— MNOVESTWO PORQDKOWOGO TIPA ¯. uPORQDO^IM MNOVESTWO X t Y SLEDU@]IM OBRAZOM: OGRANI^ENIE PORQDKA NA X I NA Y SOWPADAET S