vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

ODNAKO INTERPRETACIQ they are (flying planes) NE TOLXKO GRAMMATI^ESKI PRAWILXNA, NO I W PRINCIPE WOZMOVNA. wOT PARALLELXNYJ PRIMER IZ FILXMA UVASOW: they are eating apples180. a WOT SOWSEM REALXNYJ PRIMER: PEREWOD^IKI FILXMOW NA ntw PO UMOL^ANI@ PEREWODQT FRAZU biting dogs can be dangerous KAK OPASNO KUSATX SOBAK (OTSUTSTWIE UKAZANIQ NA ^ISLO W SO^ETANII S NEASSOCIWNOSTX@ I NEKOMMUTATIWNOSTX@!). aNGLOFON VIWET W NEASSOCIATIWNOM MIRE I WYNUVDEN

AWTOMATI^ESKI INTERPRETIROWATX fresh fruit market KAK (fresh fruit) market,

A new fruit market KAK new (fruit market). nO WOT UBRATX NEODNOZNA^NOSTX W WYRAVENII some more convincing evidence181 NE PRO^TQ EGO WSLUH W PRINCIPE NEWOZ-

MOVNO: (some more) convincing evidence ZNA^IT SOWSEM NE TO VE SAMOE, ^TO some (more convincing) evidence. a ^TO MOVET ZNA^ITX beautiful girl's dress ILI square dance record? ~ITATELX MOVET BEZ TRUDA PRIDUMATX SOTNI ANGLIJSKIH FRAZ, W KOTORYH PERESTANOWKA SKOBOK PRIWODIT K UDIWITELXNYM PERELIWAM SMYSLA.

pREDOSTEREVENIE. w DEJSTWITELXNOSTI, DELO OBSTOIT E]E SLOVNEE: OTSTUTSTWIE SKOBOK ZNA^IT SOWSEM NE TO VE SAMOE, ^TO L@BAQ IZ DWUH WOZMOVNYH RASSTANOWOK SKOBOK! dVON lAJONS182 PRIWODIT TAKOJ PRIMER: Tom and Dick and Harry IME-

ET TRI RAZLI^NYH INTERPRETACII: (Tom and Dick) and Harry, Tom and (Dick and Harry) I, NAKONEC, Tom and Dick and Harry.

oTSUTSTWIE ASSOCIATIWNOSTI PREDSTAWLQET WPOLNE REALXNU@ PROBLEMU PRI PEREWODE. rASSMOTRIM SLEDU@]IE DWE FRAZY: algebraic group theory I geometric group theory. mOVET LI PEREWOD^IK WLADE@]IJ QZYKOM, NO NE PREDMETOM, PONQTX,

^TO algebraic group theory INTERPRETIRUETSQ KAK (algebraic group) theory I PEREWODITSQ KAK TEORIQ ALGEBRAI^ESKIH GRUPP, W TO WREMQ KAK ABSOL@TNO PARALLELXNU@ PO FORME FRAZU geometric group theory SLEDUET INTERPRETIROWATX KAK geometric (group theory) I EE PEREWODITX KAK GEOMETRI^ESKAQ TEORIQ GRUPP. w PISXMENNOM NEMECKOM QZYKE S CELX@ GRUPPIROWKI ISPOLXZUETSQ DOWOLXNO TONKOE SREDSTWO, A IMENNO SLITNOE I RAZDELXNOE NAPISANIE SU]ESTWITELXNYH. nAPRI-

MER, geometric group theory BUDET PEREWEDENO KAK geometrische Gruppentheorie,

W TO WREMQ KAK algebraic group theory MOVNO BYLO BY PEREWESTI KAK algebraische Gruppen Theorie, HOTQ, KONE^NO, BOLX[INSTWO NOSITELEJ QZYKA PREDPO^TUT W TAKOJ SITUACII OBRATITXSQ K INOSKAZANI@ Theorie von algebraischen Gruppen.

uPRAVNENIE. rASSTAWXTE SKOBKI W SLEDU@]IH WYRAVENIQH: abelian group theory, arithmetic group theory, combinatorial group theory, topological group theory, differential group theory, abstract group theory, finite group theory, concrete group theory.

~ASTO PERED PEREWOD^IKOM, NE PONIMA@]IM, O ^EM IDET RE^X, WOZNIKAET SOWER[ENNO REALXNAQ PROBLEMA! kAK, NAPRIMER, SLEDUET INTERPRETIROWATX FRAZU general Burnside problem: KAK (general Burnside) problem — PROBLEMA GENERALA

180dVON lAJONS, wWEDENIE W TEORETI^ESKU@ LINGWISTIKU, m., pROGRESS, 1978, S.1–543, SM. x 6.6.2. ‘tRANSFORMACIONNAQ NEODNOZNA^NOSTX’: eating apples cost more than cooking apples, STR. 265 I DALEE. dOPOLNITELXNAQ NEODNOZNA^NOSTX W \TOM PRIMERE UBIRAETSQ ISPOLXZOWANIEM MNOVESTWENNOGO ^ISLA, SRAWNI S eating apples costs more than cooking apples.

181ibid., x 6.1.3. ‘gRAMMATI^ESKAQ NEODNOZNA^NOSTX’, STR. 225 I DALEE.

182ibid., x 6.2.7, ‘rEKURSIWNYE KOORDINIROWANNYE STRUKTURY’, STR.236.

tEMA 3. gomomorfizmy

wESX CIMES ALGEBRAI^ESKOGO PODHODA SOSTOIT W TOM, ^TO ALGEBRAI- ^ESKIE STRUKTURY RASSMATRIWA@TSQ WMESTE S KLASSAMI OTOBRAVENIJ, SOHRANQ@]IMI \TI STRUKTURY.

x 1. gOMOMORFIZM

sAMYM WAVNYM I SAMYM HARAKTERNYM PONQTIEM ALGEBRY XIX–XX WEKOW BYLO PONQTIE GOMOMORFIZMA. pUSTX (X; ¤) I (Y; ±) – DWA MNOVESTWA S ALGEBRAI^ESKIMI OPERACIQMI. oTOBRAVENIE f : X ¡! Y NAZYWAETSQ GOMOMORFIZMOM, ESLI

f(x ¤ y) = f(x) ± f(y)

DLQ WSEH x; y 2 X.

uSLOWIE, ^TO f QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM \KWIWALENTNO KOMMUTATIWNOSTI SLEDU@]EJ DIAGRAMMY:

w DALXNEJ[EM MY BUDEM OBY^NO OBOZNA^ATX OPERACI@ W MNOVESTWAH X I Y ODNIM I TEM VE SIMWOLOM ¤, IMEQ W WIDU, ^TO W KONKRETNYH SITUACIQH \TA ¤ MOVET SPECIALIZIROWATXSQ W RAZLI^NYE OPERACII, TAKIE KAK SLOVENIE, UMNOVENIE, PERESE^ENIE, OBHEDINENIE, KOMPOZICIQ I T.D. sIMWOL ± TEPERX BUDET ISPOLXZOWATXSQ DLQ KOMPOZICII OTOBRAVENIJ.

kLASS GOMOMORFIZMOW ZAMKNUT OTNOSITELXNO KOMPOZICII. iNYMI SLOWAMI, KOMPOZICIQ DWUH GOMOMORFIZMOW SNOWA QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM: ESLI f : X ¡! Y , g : Y ¡! Z — DWA GOMOMORFIZMA, TO g ± f : X ¡! Z — TOVE GOMOMORFIZM. w SAMOM DELE,

(g ± f)(x ¤ y) = g(f(x ¤ y)) = g(f(x) ¤ f(y)) =

g(f(x)) ¤ g(f(y)) = (g ± f)(x) ¤ (g ± f)(y):

sFORMULIRUEM DWA WAVNYH DOPOLNENIQ K \TOMU PRAWILU:

²tOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE idX QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM X NA SEBQ.

²eSLI f : X ¡! Y — BIEKTIWNYJ GOMOMORFIZM, TO f¡1 : Y ¡! X

—TOVE GOMOMORFIZM.

x 2. aDDITIWNYE GOMOMORFIZMY

w NASTOQ]EM PARAGRAFE MY PRIWODIM PRIMERY OTOBRAVENIJ f :

X ¡! Y , KOTORYE QWLQ@TSQ GOMOMORFIZMAMI PO SLOVENI@,

f(x + y) = f(x) + f(y):

kLASSI^ESKI TAKIE OTOBRAVENIQ NAZYWA@TSQ ADDITIWNYMI. w SLU- ^AE, KOGDA X I Y QWLQ@TSQ ABELEWYMI GRUPPAMI, TAKIE OTOBRAVENIQ NAZYWA@TSQ GRUPPOWYMI GOMOMORFIZMAMI. mNOGO DALXNEJ- [IH PRIMEROW PRIWODITSQ W GLAWE II. w PRIWODIMYH W \TOM PARAGRAFE PRIMERAH NA RASSMATRIWAEMYH MNOVESTWAH ESTX I OPERACIQ UMNOVENIQ, NO \TU OPERACI@ f NE SOHRANQET.

² wE]ESTWENNAQ I MNIMAQ ^ASTX.

re(z + w) = re(z) + re(w); im(z + w) = im(z) + im(w):

wTO VE WREMQ, WOOB]E GOWORQ, re(zw) = re(z) re(w), im(zw) = im(z) im(w).

²sLED MATRICY. kWADRATNOJ MATRICE x 2 M(n; K) S KO\FFICI-

ENTAMI IZ POLQ K MOVNO SOPOSTAWITX EE SLED tr(x) = x11 + : : : + xnn. sLED ADDITIWEN, tr(x + y) = tr(x) + tr(y), NO NE MULXTIPLIKATIWEN.

²dISTRIBUTIWNOSTX. qSNO, ^TO DISTRIBUTIWNOSTX UMNOVENIQ OTNOSITELXNO SLOVENIQ OZNA^AET W TO^NOSTI, ^TO UMNOVENIE NA L@BOE x 2 R ADDITIWNO: x(y + z) = xy + xz.

²dIFFERENCIROWANIE I INTEGRIROWANIE.

Z Z Z

(f + g)0 = f0 + g0; (f + g) dx = f dx + g dx

² oPREDELENNYJ INTEGRAL.

Zb Zb Zb

(f + g) dx = f dx + g dx

a a a

² ~ASTNAQ PROIZWODNAQ. pUSTX f – FUNKCIQ n PEREMENNYH x1; : : : ; xn.

oTOBRAVENIE f 7!@f LINEJNO,

@xi

x 3. mULXTIPLIKATIWNYE GOMOMORFIZMY

w NASTOQ]EM PARAGRAFE MY PRIWODIM PRIMERY OTOBRAVENIJ f :

X ¡! Y , KOTORYE QWLQ@TSQ GOMOMORFIZMAMI PO UMNOVENI@,

f(xy) = f(x)f(y):

kLASSI^ESKI TAKIE OTOBRAVENIQ NAZYWA@TSQ MULXTIPLIKATIWNYMI. w SLU^AE, KOGDA X I Y QWLQ@TSQ POLUGRUPPAMI/GRUPPAMI, TA-

KIE OTOBRAVENIQ NAZYWA@TSQ POLUGRUPPOWYMI/GRUPPOWYMI GO-

MOMORFIZMAMI. mNOGO DALXNEJ[IH PRIMEROW PRIWODITSQ W x ? I GLAWE II. w PRIWODIMYH W \TOM PARAGRAFE PRIMERAH NA RASSMATRIWAEMYH MNOVESTWAH ESTX I OPERACIQ SLOVENIQ, NO \TU OPERACI@ f NE SOHRANQET.

² wOZWEDENIE W STEPENX. pUSTX K – POLE, A n 2 N. tOGDA OTOBRAVENIE x 7!xn MULXTIPLIKATIWNO (xy)n = xnyn, NO, WOOB]E GOWORQ, NE ADDITIWNO, T.E. (x + y)n =6 xn + yn.

kOMMENTARIJ. tEM NE MENEE, ESLI n = p 2 P – PROSTOE ^ISLO, A HARAKTERISTIKA POLQ K RAWNA p (NAPRIMER, K = Fp — POLE IZ p \LEMENTOW), TO (x + y)p = xp + yp, TAK ^TO W \TOM SLU^AE OTOBRAVENIE Fr : x 7!xp OKAZYWAETSQ GOMOMORFIZMOM KAK PO UMNOVENI@, TAK I PO SLOVENI@. |TOT GOMOMORFIZM, IZWESTNYJ KAK AWTOMORFIZM fROBENIUSA, IGRAET GROMADNU@ ROLX W TEORII gALUA, TEORII ^ISEL I ALGEBRAI^ESKOJ GEOMETRII.

²aBSOL@TNAQ WELI^INA/MODULX. jxyj = jxj ¢ jyj.

²zNAK. sign(xy) = sign(x) sign(y)

²zNAK OTOBRAVENIQ. pUSTX ¼ 2 Map(n; n) — OTOBRAVENIE KONE^NOGO MNOVESTWA n NA SEBQ. eSLI ¼ NE QWLQETSQ BIEKCIEJ, TO POLOVIM sgn(¼) = 0, A ESLI ¼ QWLQETSQ BIEKCIEJ, TO OPREDELIM sgn(¼) KAK ZNAK PERESTANOWKI ¼. kAK BUDET DOKAZANO W gLAWE II, sgn(¼¾) = sgn(¼) sgn(¾).

²oPREDELITELX. pREDPOLOVIM, ^TO R – KOMMUTATIWNOE KOLXCO, NAPRIMER, R = K — POLE. w KONCE XVII WEKA sEKI kOWA I FON lEJB-

NIC SWQZALI S KAVDOJ MATRICEJ x 2 M(n; R) \LEMENT det(x) KOLXCA

R, NAZYWAEMYJ OPREDELITELEM (alias, DETERMINANTOM) MATRICY x. sMYSL WWEDENIQ OPREDELITELQ, EGO raison d’ˆetre, SOSTOIT W TOM, ^TO OPREDELITELX MULXTIPLIKATIWEN, det(xy) = det(x) det(y). oDNAKO RAWENSTWO det(x + y) = det(x) + det(y), WOOB]E GOWORQ, SOWER[ENNO NEWERNO!

x 5. aDDITIWNYE I MULXTIPLIKATIWNYE GOMOMORFIZMY

w NASTOQ]EM PARAGRAFE MY PRIWODIM PERWYE PRIMERY OTOBRAVENIJ f : X ¡! Y , KOTORYE ODNOWREMENNO QWLQ@TSQ GOMOMORFIZMAMI PO SLOVENI@ I UMNOVENI@, DLQ KOTORYH WYPOLNQ@TSQ OBA RAWENSTWA

f(x + y) = f(x) + f(y); f(xy) = f(x)f(y):

w SLU^AE, KOGDA MNOVESTWA X I Y QWLQ@TSQ KOLXCAMI OTNOSITELXNO \TIH OPERACIJ, TAKIE OTOBRAVENIQ NAZYWA@TSQ KOLXCEWYMI GOMOMORFIZMAMI. wSE PRIWODIMYE ZDESX PRIMERY I MNOGO DALXNEJ[IH BOLEE TRUDNYH PRIMEROW PODROBNO OBSUVDA@TSQ W GLAWE III.

² pROEKCIQ NA KOMPONENTU.

x ¡ iy. iZWESTNO, ^TO KOMPLEKSNOE SOPRQVENIE OBLADAET SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI z + w = z + w, zw = z ¢ w.

²kOMPLEKSNO SOPRQVENNAQ MATRICA. pUSTX X = M(n; C) —

MNOVESTWO WSEH KOMPLEKSNYH KWADRATNYH MATRIC STEPENI n. tOGDA

KOMPLEKSNOE SOPRQVENIE X ¡! X, x 7!y¤, SOPOSTAWLQ@]EE MAT-

RICE x = (xij) MATRICU x = (xij), QWLQETSQ AWTOMORFIZMOM PO SLOVENI@ I UMNOVENI@ x + y = x + y I xy = x ¢ y.

²pREDEL.

limx(f + g) = limx(f) + limx(g); limx(fg) = limx(f) limx(g):

?. zAMENA PEREMENNOJ. pUSTX A — ABELEWA GRUPPA. l@BOE OTOBRA-

wOT NESKOLXKO PROSTYH PRIMEROW ZAMENY PEREMENNYH:

² sDWIG. zAMENA PEREMENNOJ, OTWE^A@]AQ TRANSLQCII ARGUMENTA

e

Ty : x 7!x + y, NAZYWAETSQ SDWIGOM FUNKCIJ shifty = Ty. tAKIM OBRAZOM, shifty(f)(x) = f(x + y). qSNO, ^TO

shifty(f + g) = shifty(f) + shifty(g); shifty(fg) = shifty(f) shifty(g):

² mAS[TABIROWANIE. zAMENA PEREMENNOJ, OTWE^A@]AQ RASTQ-

VENI@ ARGUMENTA Dc : x 7!cx, NAZYWAETSQ MAS[TABIROWANIEM

e

FUNKCIJ strc = Dc (OT ANGLIJSKOGO stretch). tAKIM OBRAZOM, strc(f)(x) = f(cx). qSNO, ^TO

strc(f + g) = strc(f) + strc(g); strc(fg) = strc(f) strc(g):

² oGRANI^ENIE. pUSTX X µ Y , A Á : X ¡! Y — KANONI^ESKOE

e

WLOVENIE. w \TOM SLU^AE ZAMENA PEREMENNOJ Á NAZYWAETSQ OGRANI^E- NIEM I OBOZNA^AETSQ ^EREZ resYX, A REZULXTAT EE PRIMENENIQ K FUNKCII f 2 RX ^ASTO OBOZNA^AETSQ PROSTO fjX = resYX(f). pRI \TOM

(f + g)jX = fjX + gjX; (fg)jX = fjXgjX:

² zNA^ENIE W TO^KE. |TOT PRIMER PO SU]ESTWU QWLQETSQ ^ASTNYM SLU^AEM PREDYDU]EGO. oPREDELIM OTOBRAVENIE evc(f) = f(c), SOPOSTAWLQ@]EE FUNKCII f EE ZNA^ENIE W TO^KE c 2 X. nA NAU^NOM QZYKE OTOBRAVENIE evc NAZYWAETSQ \WAL@ACIEJ W TO^KE c, OTKUDA OBOZNA^E-

NIE ev — evaluation. kAK WSEGDA,

² sTEPENX MATRICY. pUSTX X = SM(n; K), n 2 N0, — MNO-

VESTWO KWADRATNYH MATRIC NAD K WSEWOZMOVNYH KONE^NYH PORQDKOW, RASSMATRIWAEMOE OTNOSITELXNO OPERACIJ PRQMOJ SUMMY I TENZORNOGO (KRONEKEROWSKOGO) PROIZWEDENIQ. oBOZNA^IM ^EREZ deg(x) STEPENX (PORQDOK) MATRICY x, T.E. TO (EDINSTWENNOE!) n, DLQ KOTOROGO x 2 M(n; K). tOGDA

deg(x © y) = deg(x) + deg(y); deg(x - y) = deg(x) deg(y):

² sLED MATRICY. pUSTX, PO-PREVNEMU, X MNOVESTWO KWADRATNYH MATRIC NAD K WSEWOZMOVNYH KONE^NYH PORQDKOW S TEMI VE OPERACIQMI. tOGDA

tr(x © y) = tr(x) + tr(y); tr(x - y) = tr(x) tr(y):

² oBRATNAQ MATRICA. pUSTX G = SGL(n; K), n 2 N0, — MNOVE-

STWO WSEH KWADRATNYH OBRATIMYH MATRIC NAD K WSEWOZMOVNYH KONE^- NYH PORQDKOW, TAKVE RASSMATRIWAEMOE OTNOSITELXNO OPERACIJ PRQMOJ

SUMMY I TENZORNOGO (KRONEKEROWSKOGO) PROIZWEDENIQ. tOGDA OTOBRAVENIE G ¡! G, g 7!g¡1, SOPOSTAWLQ@]EE MATRICE g EE OBRATNU@, QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM,

(h © g)¡1 = h¡1 © g¡1; (h - g)¡1 = h¡1 - g¡1:

pREDOSTEREVENIE. |TOT PRIMER NOSIT ZAWEDOMO PROWOKACIONNYJ HARAKTER! oN (KAK I RQD DRUGIH PRIMEROW) SLUVIT TOMU, ^TOBY ^ITATELX NA^AL OBRA]ATX WNIMANIE NA TO, GDE I OTNOSITELXNO KAKIH OPE- RACIJ DANNOE OTOBRAVENIE QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM. dELO W TOM, ^TO OBY^NO RASSMATRIWAETSQ MNOVESTWO GL(n; K) OBRATIMYH MATRIC FIK- SIROWANNOGO PORQDKA n OTNOSITELXNO OBY^NOGO UMNOVENIQ MATRIC, W \TOM SLU^AE OTOBRAVENIE g 7!g¡1 QWLQETSQ ANTIAWTOMORFIZMOM, NO NE AWTOMORFIZMOM!

x 6. gOMOMORFIZMY BULEWYH OPERACIJ

² pROOBRAZ. l@BOE OTOBRAVENIE f : X ¡! Y OPREDELQET GOMOMORFIZM f¡1 : 2Y 7!2X OTNOSITELXNO [, \ I n f¡1(A [ B) = f¡1(A) [ f¡1(B), f¡1(A \ B) = f¡1(A) \ f¡1(B), f¡1(A n B) = f¡1(A) n f¡1(B),

– OBRATNYJ OBRAZ

² oBRAZ OB_EDINENIQ. l@BOE OTOBRAVENIE f : X ¡! Y OPREDELQET GOMOMORFIZM f : 2X 7!2Y OTNOSITELXNO [, f(A [ B) = f(A) [ f(B), W TO VE WREMQ, \TO OTOBRAVENIE, WOOB]E GOWORQ NE QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM 2X 7!2Y OTNOSITELXNO \ I n, SM. x ?.

² hARAKTERISTI^ESKIE FUNKCII. rASSMOTRIM OTOBRAVENIE 2Z ¡! f0; 1gZ, SOPOSTAWLQ@]EE PODMNOVESTWU X µ Z EGO HARAKTERISTI^E- SKU@ FUNKCI@ ÂA, ZNA^ENIE KOTOROJ z 2 Z RAWNO 1, ESLI z 2 X I 0, ESLI z 2= X.

ÂA\B = ÂAÂB; ÂA4B = ÂA + ÂB:

² hARAKTERISTI^ESKIE FUNKCII, cont. INDIKATORNYE FUNK-

CII, INDIKATORY – HARAKTERISTI^ESKIE FUNKCII, RASSMATRIWAEMYE KAK FUNKCII SO ZNA^ENIQMI W Z ILI W R.

² fORMULY DE mORGANA. dOPOLNENIE QWLQETSQ INWOL@TIWNYM IZOMORFIZMOM (2Z; [) I (2Z; \):

A [ B = A \ B; A \ B = A [ B: