vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

KATEGORIJ STIMULIRUET DEQTELXNOSTX MOZGA I W BOLX[INSTWE SLU^AEW PRIWODIT K POQWLENI@ DOPOLNITELXNYH NEJRONOW.

2. kATEGORIQ. wOT OSNOWNOE OPREDELENIE \TOJ GLAWY.

oPREDELENIE. kATEGORIQ C SOSTOIT IZ SLEDU@]IH DANNYH:

²KLASSA OB_EKTOW Ob(C), \LEMENTY KOTOROGO NAZYWA@TSQ OB_EKTAMI KATEGORII C;

²KLASSA MNOVESTW Hom(A; B) PO ODNOMU KAVDYH DWUH OB_EKTOW A; B 2 C, \LEMENTY KOTORYH NAZYWA@TSQ MORFIZMAMI KATEGORII

C;

²KLASSA OTOBRAVENIJ Hom(A; B) £ Hom(B; C) ¡! Hom(A; C), PO ODNOMU DLQ KAVDOJ TROJKI OB_EKTOW A; B; C 2 Ob(C), NAZYWAEMYH KOMPOZICIEJ MORFIZMOW KATEGORII C;

UDOWLETWORQ@]IH SLEDU@]IM TREM AKSIOMAM:

C1 mNOVESTWA Hom(A; B) POPARNO NE PERESEKA@TSQ. C2 kOMPOZICIQ MORFIZMOW ASSOCIATIWNA.

C3 dLQ KAVDOGO OB_EKTA A 2 C SU]ESTWUET MORFIZM 1X 2 Hom(A; A), QWLQ@]IJSQ DWUSTORONNIM NEJTRALXNYM \LEMENTOM OTNOSITELXNO KOMPOZICII.

3.kLASS MORFIZMOW KATEGORII. pOQSNIM \TO OPREDELENIE. pREVDE WSEGO ZAMETIM, ^TO DLQ KRATKOSTI OBY^NO PI[UT PROSTO A 2 C WMESTO A 2 Ob(C). oBOZNA^IM ^EREZ Mor(C) KLASS WSEH MORFIZMOW KATEGORII (MY PREDPOLAGAEM, ^TO DLQ L@BYH DWUH OB_EKTOW Hom(A; B) QWLQETSQ MNOVESTWOM, TAK ^TO Mor(C) QWLQETSQ OB_EDINENIEM MNOVESTW, NO INDEKSY A I B \TOGO OB_EDINENIQ PROBEGA@T KLASS Ob(C), KOTORYJ NE OBQZAN BYTX MNOVESTWOM). mNOVESTWO Hom(A; B) NAZY-

WAETSQ MNOVESTWOM MORFIZMOW IZ A W B W KATEGORII C. eSLI RASSMATRIWAETSQ ODNOWREMENNO NESKOLXKO KATEGORIJ, TO, ^TOBY UTO^-

NITX, O KAKOJ IMENNO IDET RE^X, ^ASTO PI[UT E]E HomC(A; B). oTMETIM, ^TO MNOGIE AWTORY OBOZNA^A@T Hom(A; B) ^EREZ Mor(A; B) ILI

C(A; B).

4.oPREDELENIE. kATEGORIQ NAZYWAETSQ MALOJ, ESLI KLASS Ob(C) (ILI ^TO TO VE SAMOE, KLASS Mor(C)) QWLQETSQ MNOVESTWOM. w PRO- TIWNOM SLU^AE KATEGORIQ NAZYWAETSQ BOLX[OJ.

5.oBLASTX I KOOBLASTX. aKSIOMA C1 UTWERVDAET,

a

Mor(C) = Hom(A; B); A; B 2 Ob(C);

ILI, INYMI SLOWAMI, ^TO DLQ KAVDOGO MORFIZMA Á 2 Mor(C) OB_EKTY A; B 2 Ob(C) TAKIE, ^TO Á 2 Hom(A; B) OPREDELENY ODNOZNA^NO. oB_EKTY A I B TAKIE, ^TO Á 2 Hom(A; B), NAZYWA@TSQ, SOOTWETSTWENNO,

OBLASTX@ I KOOBLASTX@ (alias OBLASTX@ OPREDELENIQ I OBLA-

STX@ ZNA^ENIJ) MORFIZMA Á. oBLASTX I KOOBLASTX OBOZNA^A@TSQ ^EREZ Dom(Á) I Cod(Á) ^EREZ D(Á) I R(Φ) (domain I range) ILI, ^E-

REZ S(Á) I T (Á) (source I target). mORFIZM IZ A W B OBOZNA^AETSQ

Á: A ¡! B ILI A¡!Á B. sOGLASNO iii DLQ L@BYH DWUH MORFIZMOW

Á2 Hom(A; B) I Ã 2 Hom(B; C) TAKIH, ^TO S(Ã) = T (Á) OPREDELEN MORFIZM ÁÃ 2 Hom(A; C), NAZYWAEMYJ KOMPOZICIEJ MORFIZMOW Á I Ã W KATEGORII C, TAKOJ, ^TO S(ÁÃ) = S(Á), A T (ÁÃ) = T (Ã).

aKSIOMY (C2) I (C3) SLEDUET PONIMATX W TOM SMYSLE, KAK ASSOCIATIWNOSTX I NEJTRALXNYJ \LEMENT PONIMA@TSQ DLQ NE WS@DU OPREDELENNOJ OPERACII. iNYMI SLOWAMI, KOMPOZICII Â(ÁÃ) I (ÂÁ)Ã RAWNY,

ESLI HOTQ BY ODNA IZ NIH OPREDELENA. tO^NO TAK VE, 1S(Á)Á = Á I

Á1T (Á) = Á

x 2. kATEGORIQ MNOVESTW, EE DRUZXQ I RODSTWENNIKI

wAVNEJ[IM PRIMEROM KATEGORII QWLQETSQ KATEGORIQ MNOVESTW, OB_EKTAMI KOTOROJ QWLQ@TSQ MNOVESTWA, MORFIZMAMI — OTOBRAVENIQ MNOVESTW, A KOMPOZICIQ MORFIZMOW \TO OBY^NAQ KOMPOZICIQ OTOBRAVENIJ. w NASTOQ]EM PARAGRAFE MY OBSUDIM \TU KATEGORI@ I NEKOTORYE BLIZKO SWQZANNYE S NEJ KATEGORII, ILI, KAK GOWORIL wINNI pUH, friends-and-relations.

1. kATEGORIQ MNOVESTW I OTOBRAVENIJ Set. oBOZNA^IM ^EREZ

Set KATEGORI@, KOTORAQ FAKTI^ESKI BYLA TOLXKO ^TO OPISANA. oB_EKTAMI Set QWLQ@TSQ MNOVESTWA, PRI^EM DLQ DWUH MNOVESTW A; B 2 Ob(Set) MNOVESTWO MORFIZMOW HomSet(A; B) SOWPADAET S Map(A; B). |TAK KATEGORIQ NAZYWAETSQ KATEGORIEJ MNOVESTW ILI, ESLI NUVNA OSOBAQ TO^NOSTX, KATEGORIEJ MNOVESTW I OTOBRAVENIJ I OBOZNA-

^AETSQ Set ILI Ens (OT FRANCUZSKOGO ‘Ensemble’)

wOPROS. pO^EMU WYPOLNQETSQ AKSIOMA C1? pOLU^IM LI MY KATEGORI@, ESLI POLOVIM Hom(A; B) RAWNYM MNOVESTWU WSEH SEMEJSTW \LEMENTOW IZ B INDEKSIROWANNYH \LEMENTAMI A?

eDINSTWENNOE SU]ESTWENNOE OTLI^IE OT TOGO, ^TO PROISHODILO W gL. 1, SOSTOIT W TOM, ^TO MORFIZMY W KATEGORII Set, KAK I WOOB]E W TEORII KATEGORIJ, PRINQTO KOMPONOWATX SLEWA NAPRAWO, A NE SPRAWA NALEWO, KAK MY \TO DELALI W TEORII MNOVESTW. tAKIM OBRAZOM, PERWYJ DEJSTWU@]IJ MORFIZM ZAPISYWAETSQ PERWYM, A NE WTORYM, KAK DO SIH POR.

HomBij(A; B) = Bij(A; B).

5.kATEGORIQ MNOVESTW I BINARNYH OTNO[ENIJ Bin. ~TOBY U ^ITATELQ NE SOZDALOSX WPE^ATLENIE, ^TO MORFIZMY OBQZANY BYTX OTOBRAVENIQMI, POSTROIM SRAZU VE E]E ODNU KATEGORI@, OB_EKTAMI KOTOROJ QWLQ@TSQ MNOVESTWA, NO MORFIZMY NE OTOBRAVENIQ. a IMENNO, OBOZNA^IM ^EREZ Bin KATEGORI@ BINARNYH OTNO[ENIJ. oB_EKTY KATEGORII Bin TAKIE VE, KAK I Set, NO DLQ DWUH MNOVESTW A; B 2

Ob(Bin) MNOVESTWO MORFIZMOW HomBin(A; B) SOWPADAET S MNOVESTWOM Rel(A; B) WSEH BINARNYH OTNO[ENIJ. pRI \TOM KOMPOZICIQ MORFIZMOW W Bin – \TO OBY^NAQ KOMPOZICIQ BINARNYH OTNO[ENIJ, PRI^EM IMENNO W TOM PORQDKE, KAK MY \TO DELALI W gLAWE ?.

6.kATEGORIQ MNOVESTW I STEPENNYH OTOBRAVENIJ Pow. dLQ NEKOTORYH CELEJ UDOBNO RASSMATRIWATX KATEGORI@ Pow E]E BOLEE OB- [IRNU@, ^EM KATEGORIQ Bin. eE OB_EKTAMI PO PREVNEMU QWLQ@TSQ MNOVESTWA, NO MORFIZMAMI IZ MNOVESTWA A W MNOVESTWO B QWLQ@TSQ WSEWOZMOVNYE OTOBRAVENIQ 2A ¡! 2B, INYMI SLOWAMI,

HomPow(A; B) = Map(2A; 2B):

pRI \TOM TOVDESTWENNYM MORFIZMOM OB_EKTA A 2 Ob(Pow) QWLQETSQ TOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE MNOVESTWA 2A, A KOMPOZICIQ DWUH MORFIZMOW W Pow — \TO OBY^NAQ KOMPOZICIQ OTOBRAVENIJ.

7.kATEGORIQ MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ Set². oB_EKTAMI KATEGORII Set² QWLQ@TSQ MNOVESTWA S OTME^ENNOJ TO^KOJ (A; ¤A), A MORFIZMAMI — MORFIZMY MNOVESTW S OTME^ENNNOJ TO^KOJ, T.E. TAKIE

OTOBRAVENIQ f : A ¡! B, ^TO f(¤A) = ¤B. pRI \TOM, KAK I W KATEGORII Set, MORFIZMY KOMPONU@TSQ SLEWA NAPRAWO.

8.kATEGORIQ PAR MNOVESTW Pair. oB_EKTAMI KATEGORII Pair

QWLQ@TSQ PARY MNOVESTW (A; B), B µ A A MORFIZMAMI — MORFIZMY

PAR (SM. x 4.?), T.E. DLQ DWUH PAR C1 = (A1; B1) I C2 = (A2; B2) MNOVESTWO HomPair(C1; C2) SOSTOIT IZ TAKIH OTOBRAVENIJ f : A1 ¡!

A2, DLQ KOTORYH f(B1) µ B2.

9. kATEGORIQ RELQCIONNYH SISTEM Rel. oB_EKTAMI \TOJ KA-

TEGORII QWLQ@TSQ RELQCIONNYE SISTEMY, T.E. PARY (A; R), GDE A — MNOVESTWO, A R µ A £ A — WNUTRENNEE BINARNOE OTNO[ENIE NA A (SM. x ?.?), A MORFIZMY — \TO MORFIZMY RELQCIONNYH SISTEM. iNYMI SLOWAMI, DLQ DWUH RELQCIONNYH SISTEM (A; R) I (B; S) MNOVESTWO HomRel((A; R); (B; S)) SOSTOIT IZ TAKIH OTOBRAVENIJ f : A ¡! B, DLQ KOTORYH (f; f)(R) µ S, GDE (f; f) : A £ A ¡! B £ B – POKOMPONENTNOE

OTOBRAVENIE, OPREDELENNOE POSREDSTWOM (f; f)(a; b) = (f(a); f(b)) DLQ a; b 2 A.

10. kATEGORIQ OTOBRAVENIJ Map. oB_EKTAMI KATEGORII Map QW-

LQ@TSQ OTOBRAVENIQ f : X ¡! Y . pRI \TOM MORFIZMOM OTOBRAVENIQ f : X ¡! Y W OTOBRAVENIE g : U ¡! V NAZYWAETSQ PARA OTOBRAVENIJ h : X ¡! U, i : Y ¡! V TAKIH, ^TO g ± h = i ± f.

x ?. pODKATEGORII

1. oPREDELENIE. gOWORQT, ^TO KATEGORIQ B QWLQETSQ PODKATEGORIEJ KATEGORII C, ESLI WYPOLNQ@TSQ SLEDU@]IE ^ETYRE USLOWIQ:

Sub1) kAVDYJ OB_EKT KATEGORII B QWLQETSQ OB_EKTOM KATEGO-

RII C, T.E. Ob(B) µ Ob(C);

Sub2) kAVDYJ MORFIZM KATEGORII B QWLQETSQ MORFIZMOM KATE- GORII C, S TOJ VE OBLASTX@ I KOOBLASTX@, T.E. DLQ L@BYH DWUH

A; B 2 Ob(C) WYPOLNQETSQ HomB(A; B) µ HomC(A; B);

Sub3) kOMPOZICIQ DWUH MORFIZMOW IZ B W B SOWPADAET S IH KOM- POZICIEJ W C;

Sub4) tOVDESTWENNYJ MORFIZM L@BOGO OB_EKTA KATEGORII B W B SOWPADAET S TOVDESTWENNYM OB_EKTOM \TOGO OB_EKTA W C.

zADA^A. pRIWEDITE PRIMER, POKAZYWA@]IJ, ^TO USLOWIE Sub4 NE WYTEKAET IZ USLOWIJ Sub1 — Sub3.

2.oPREDELENIE. pODKATEGORIQ B NAZYWAETSQ POLNOJ PODKATE-

GORIEJ KATEGORII C, ESLI DLQ L@BYH DWUH OB_EKTOW A; B 2 Ob(B) WYPOLNQETSQ RAWENSTWO HomB(A; B) = HomC(A; B).

3.pERWYE PRIMERY PODKATEGORIJ. sEJ^AS MY RASSMOTRIM, KA-

KIE IZ KATEGORIJ, WWEDENNYH W x 1, QWLQ@TSQ PODKATEGORIQMI DRUGIH WWEDENNYH TAM KATEGORIJ.

²kATEGORIQ Set QWLQETSQ PODKATEGORIEJ KATEGORII Bin, ZAWEDOMO NEPOLNOJ, NO TAKOJ, ^TO Ob(Set) = Ob(Bin);

²kATEGORIQ FinSet QWLQETSQ POLNOJ PODKATEGORIEJ KATEGORII Set.

topologi~eskie prostranstwa

gL. ?. tOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA

x ?. tOPOLOGII

sTRUKTURA TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA QWLQETSQ ODNOJ IZ OSNOWNYH W MATEMATIKE. eE MOVNO ZADAWATX MNOGIMI RAZLI^NYMI (NO \KWIWALENTNYMI MEVDU SOBOJ) SPOSOBAMI. oBY^NYJ SPOSOB, PRIWODQ]IJ K NAIBOLEE \LEGANTNYM OPREDELENIQM, SOSTOIT W WYDELENII NA X TOPOLOGII.

oPREDELENIE. pODMNOVESTWO T µ 2X NAZYWAETSQ TOPOLOGIEJ NA MNOVESTWE X, ESLI ONO UDOWLETWORQET SLEDU@]IM TREM AKSIOMAM:

O1ST ZAMKNUTO OTNOSITELXNO PROIZWOLXNYH OB_EDINENIJ: U® 2

T ) U® 2 T ;

O2 T ZAMKNUTO OTNOSITELXNO KONE^NYH PERESE^ENIJ: U; V 2

T) U \ V 2 T ;

O3 ?; X 2 T .

mNOVESTWO X WMESTE S ZADANNOJ NA NEM TOPOLOGIEJ NAZYWAET-

SQ TOPOLOGI^ESKIM PROSTRANSTWOM. pRI \TOM \LEMENTY A 2 T ,

RASSMATRIWAEMYE KAK PODMNOVESTWA W X, NAZYWA@TSQ OTKRYTYMI MNOVESTWAMI, A IH DOPOLNENIQ W X — ZAMKNUTYMI MNOVESTWAMI.

eSLI T1; T2 — DWE TOPOLOGII NA MNOVESTWE X, TO GOWORQT, ^TO T1

SILXNEE (ILI BOGA^E ILI TONX[E), ^EM T2 I PI[UT T1 ¸ T2, ESLI

T1 ¶ T2 KAK PODMNOVESTWO W 2X. w \TOM SLU^AE PRO TOPOLOGI@ T2 GOWORQT, ^TO ONA SLABEE (ILI BEDNEE ILI GRUBEE), ^EM T1. sREDI WSEH TOPOLOGIJ NA X SU]ESTWUET SAMAQ SILXNAQ TOPOLOGIQ T = 2X, NAZYWAEMAQ DISKRETNOJ, W KOTOROJ WSE PODMNOVESTWA X OTKRYTY I SAMAQ SLABAQ TOPOLOGIQ T = f?; Xg, NAZYWAEMAQ TRIWIALXNOJ, EDINSTWENNYMI OTKRYTYMI MNOVESTWAMI W KOTOROJ QWLQ@TSQ ? I SAMO X. w L@BOJ TOPOLOGII MNOVESTWA ? I X QWLQ@TSQ KAK OTKRYTYMI, TAK I ZAMKNUTYMI — TAKIE MNOVESTWA NAZYWA@TSQ OTKRYTOZAMKNUTYMI (PO-ANGLIJSKI OBY^NO ISPOLXZUETSQ OBRATNYJ PORQDOK clopen = closed + open).

w ALGEBRE TOPOLOGIQ OBY^NO OPREDELQETSQ POSREDSTWOM ZADANIQ SISTEMY ZAMKNUTYH MNOVESTW.

oPREDELENIE. pODMNOVESTWO T 0 µ 2X NAZYWAETSQ TUPOLOGIEJ NA MNOVESTWE X, ESLI ONO UDOWLETWORQET SLEDU@]IM TREM AKSIOMAM:

Z3 ?; X 2 T 0.

lEGKO WIDETX, ^TO \TI PONQTIQ DWOJSTWENNY MEVDU SOBOJ:

zADA^A pROWERXTE, ^TO ESLI T 0 — TUPOLOGIQ NA X, TO T = fY j Y 2 T 0g — TOPOLOGIQ.

zADAWATX TOPOLOGII, PERE^ISLQQ WSE OTKRYTYE MNOVESTWA, OBY^- NO DOWOLXNO TRUDNO, PO\TOMU OGRANI^IMSQ NESKOLXKIMI O^EWIDNYMI PRIMERAMI, OSTAWLQQ DALXNEJ[IE PRIMERY DO TOGO MOMENTA, KOGDA MY NAU^IMSQ BOLEE BOLEE \FFEKTIWNYM SPOSOBAM WWODITX NA X STRUKTURU TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA.

pERWYE PRIMERY TOPOLOGIJ. 1) kAK MY UVE UPOMQNULI, NA L@BOM MNOVESTWE MOVNO WWESTI DISKRETNU@ I TRIWIALXNU@ TOPOLOGII.

2)tOPOLOGIQ NA KONE^NOM MNOVESTWE X \TO TO VE SAMOE, ^TO PODRE[ETKA S 0 I 1 W RE[ETKE MNOVESTW 2X.

3)pUSTX TEPERX X — BESKONE^NOE MNOVESTWO, A T – PODMNOVESTWO W 2X, SOSTOQ]EE IZ ? I TEH MNOVESTW, DOPOLNENIQ K KOTORYM KONE^NY. |TA TOPOLOGIQ NAZYWAETSQ KOKONE^NOJ.

zADA^A. pROWERITX, ^TO T QWLQETSQ TOPOLOGIEJ. uBEDITXSQ W TOM, ^TO L@BYE DWA NEPUSTYH OTKRYTYH MNOVESTWA \TOJ TOPOLOGII PERESEKA@TSQ.

w SLU^AE, KOGDA X — MNOVESTWO TO^EK NEKOTOROGO POLQ (NAPRIMER, X = Q; R; C), \TA TOPOLOGIQ SOWPADAET S TOPOLOGIEJ zARISKOGO, KOTORAQ BUDET OPREDELENA W x ?.

zADA^A. oBOB]ITX \TU KONSTRUKCI@, WZQW W KA^ESTWE OTKRYTYH MNOVESTW ? I TE MNOVESTWA, DOPOLNENIQ K KOTORYM KONE^NY ILI S^ETNY

IT.D.

4)wE]ESTWENNAQ TOPOLOGIQ. pUSTX X = R, A T SOSTOIT IZ WSE-

WOZMOVNYH DIZ_@NKTNYH OB_EDINENIJ KONE^NYH ILI BESKONE^NYH INTERWALOW (SM. PRIMER ?)

zADA^A. dOKAZATX, ^TO L@BAQ SISTEMA POPARNO NEPERESEKA@]IHSQ INTERWALOW W R NE BOLEE, ^EM S^ETNA. tAKIM OBRAZOM, W PRED[ESTWU@]EM OPREDELENII MOVNO GOWORITX O KONE^NYH LIBO S^ETNYH SEMEJSTWAH INTERWALOW.

uKAZANIE. l@BOJ NEPUSTOJ INTERWAL SODERVIT HOTQ BY ODNU RACIONALXNU@ TO^KU.

zADA^A. pROWERITX, ^TO T DEJSTWITELXNO QWLQETSQ TOPOLOGIEJ. pRIWESTI PRIMER BESKONE^NOGO SEMEJSTWA OTKRYTYH MNOVESTW \TOJ TOPOLOGII, PERESE^ENIE KOTORYH NE QWLQETSQ OTKRYTYM.

oTWET. (¡1=n; 1=n), n 2 N.

x ?. bAZY TOPOLOGII

rASSMATRIWAEMYE W ANALIZE TOPOLOGII OBY^NO SLI[KOM BOGATY, ^TOBY MOVNO BYLO QWNO ZADATX WSE OTKRYTYE MNOVESTWA. w DEJSTWITELXNOSTI UVE W WE]ESTWENNOJ TOPOLOGII W R2 PERE^ISLITX WSE OTKRYTYE MNOVESTWA BYLO BY WESXMA ZATRUDNITELXNO. dLQ BOLX[INSTWA CELEJ OBY^NO PERE^ISLITX DOSTATO^NO UKAZATX LI[X OBRAZU@- ]IE T OTNOSITELXNO OPERACII (BESKONE^NOGO!) OB_EDINENIQ (LIBO OTNOSITELXNO OPERACIJ OB_EDINENIQ I PERESE^ENIQ).

oPREDELENIE. sEMEJSTWO B µ T OTKRYTYH MNOVESTW NAZYWAET- SQ BAZISOM (ILI BAZOJ) TOPOLOGII T , ESLI L@BOE OTKRYTOE MNOVE- STWO MOVNO PREDSTAWITX KAK OB_EDINENIE MNOVESTW IZ B.

S nAPOMNIM, ^TO SEMEJSTWO B NAZYWAETSQ POKRYTIEM X, ESLI X =

U, U 2 B.

zADA^A. pOKAVITE, ^TO B µ 2X W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE OBRAZUET BAZIS NEKOTOROJ TOPOLOGII, KOGDA

1)B QWLQETSQ POKRYTIEM X,

2)DLQ L@BYH U1; U2 2 B IH PERESE^ENIE MOVNO PREDSTAWITX W WIDE OB_EDINENIQ PODHODQ]IH MNOVESTW IZ B, T.E. U1 \ U2 = SV® DLQ

NEKOTORYH V® 2 B.

rAZUMEETSQ, UVE SLOVNOSTX KONTINUALXNYH OB_EDINENIJ NE PODDAETSQ NIKAKOMU KONTROL@.

x ?. fILXTRY

oPREDELENIE. nEPUSTOE PODMNOVESTWO F µ 2X NAZYWAETSQ FILXTROM, ESLI WYPOLNQ@TSQ SLEDU@]IE DWE AKSIOMY:

(F1) A; B 2 F ) A \ B 2 F ,

(F2) A 2 F , A µ B ) B 2 F .

o^EWIDNO, ^TO ESLI ? 2 F , TO F = 2X. fILXTR F NAZYWAETSQ SOBSTWENNYM, ESLI ON OTLI^EN OT 2X, TO ESTX ESLI ON NE SODERVIT

PUSTOGO MNOVESTWA. wO MNOGIH KNIGAH (W ^ASTNOSTI, W [B]) RASSMATRIWA@TSQ TOLXKO SOBSTWENNYE FILXTRY, T.E. FAKTI^ESKI K OPREDELENI@ FILXTRA DOBAWLQETSQ E]E SLEDU@]AQ AKSIOMA:

(F3) ? 2= F .

pO WSEJ WIDIMOSTI, \TO DELAETSQ S TEM, ^TOBY GOWORITX O MAK-

SIMALXNYH FILXTRAH (alias ULXTRAFILXTRAH) NE OGOWARIWAQ, ^TO ONI MAKSIMALXNY SREDI SOBSTWENNYH FILXTROW. oDNAKO NAM TAKOE ISKL@^ENIE PREDSTAWLQETSQ W WYS[EJ STEPENI NEESTESTWENNYM. dELO W TOM, ^TO FILXTRY QWLQ@TSQ PONQTIEM, DWOJSTWENNYM K PONQTI@ IDEALA. w TEORII KOLEC SAMO KOLXCO NIKOGDA NE ISKL@^AETSQ IZ ^ISLA SWOIH IDEALOW, A POD MAKSIMALXNYMI IDEALAMI PONIMA@TSQ IDEALY, MAKSIMALXNYE SREDI WSEH SOBSTWENNYH IDEALOW. ~TOBY POD^ERKNUTX ANALOGI@ FILXTROW I IDEALOW, OTMETIM, ^TO USLOWIE (F2) MOVNO SFORMULIROWATX TAKVE W SLEDU@]EM WIDE:

(F2)’ A 2 F , B 2 2X ) A [ B 2 F .

tAKIM OBRAZOM, FILXTR ZAMKNUT OTNOSITELXNO (KONE^NYH) PERESE- ^ENIJ I USTOJ^IW OTNOSITELXNO OB_EDINENIJ S PROIZWOLXNYMI \LEMENTAMI 2X. dLQ SRAWNENIQ ZAMETIM, ^TO IDEALOM W BULEWOJ ALGEBRE 2X NAZYWAETSQ NEPUSTOE PODMNOVESTWO ZAMKNUTOE OTNOSITELXNO (KONE^NYH) OB_EDINENIJ I USTOJ^IWOE OTNOSITELXNO PERESE^ENIJ S PROIZWOLXNYMI \LEMENTAMI 2X. tAKIM OBRAZOM, IDEAL I UDOWLETWORQET SLEDU@]IM DWUM USLOWIQM

(I1) A; B 2 I ) A [ B 2 I,

(I2) A 2 F , B 2 2X ) A \ B 2 F .

pRI \TOM, ^TOBY POD^ERKNUTX ANALOGI@ S PRIWEDENNYM WY[E OPREDELENIEM FILXTRA, USLOWIE (I2) MOVNO BYLO BY SFORMULIROWATX W SLEDU@]EM WIDE:

(I2)’ A 2 I, B µ A ) B 2 I.

pO ANALOGII S GLAWNYMI IDEALAMI MOVNO OPREDELITX GLAWNYE FILXTRY.

oPREDELENIE. pUSTX Y µ X — PROIZWOLXNOE PODMNOVESTWO W X. tOGDA SEMEJSTWO FY = fZ 2 2X j Z ¶ Y g NAZYWAETSQ GLAWNYM FILXTROM, POROVDENNYM MNOVESTWOM Y .

qSNO, ^TO GLAWNYJ FILXTR, POROVDENNYJ MNOVESTWOM Y — \TO W TO^NOSTI NAIMENX[IJ FILXTR W 2X, SODERVA]IJ Y . dLQ TOGO, ^TOBY ON BYL SOBSTWENNYM, NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY Y =6 ?.

zADA^A ?. pOKAZATX, ^TO ESLI X KONE^NO, TO KAVDYJ FILXTR W 2X GLAWNYJ.

rE[ENIE. fILXTR F POROVDAETSQ MNOVESTWOM Y = \Z, GDE PERESE^ENIE BERETSQ PO WSEM Z 2 F (GDE ZDESX ISPOLXZUETSQ KONE^NOSTX MNOVESTWA X?).

eSLI MNOVESTWO X BESKONE^NO, TO W 2X WSEGDA SU]ESTWU@T NEGLAWNYE FILXTRY. oSNOWNYM PRIMEROM NEGLAWNOGO FILXTRA QWLQETSQ SEMEJSTWO OTKRYTYH MNOVESTW KOKONE^NOJ TOPOLOGII.

pRIMER. kOKONE^NYM FILXTROM W 2X NAZYWAETSQ FILXTR CofX,

SOSTOQ]IJ IH WSEH PODMNOVESTW Y µ X, DOPOLNENIE K KOTORYM KONE^- NO. fILXTR CofN NAZYWAETSQ TAKVE FILXTROM fRE[E.

sEJ^AS MY OBOB]IM SPOSOB, KOTORYM STROILISX GLAWNYE FILXTRY, I POSTROIM FILXTR, POROVDENNYJ PROIZWOLXNYM SEMEJSTWOM D PODMNOVESTW W X. pREVDE WSEGO, O^EWIDNO, ^TO ESLI W D NAJDUTSQ TAKIE PODMNOVESTWA Y1; : : : ; Yn, ^TO Y1\: : :\Yn = ?, TO L@BOJ FILXTR, SODERVA]IJ Y1; : : : ; Yn SODERVIT ? I, PO\TOMU, SOWPADAET S NESOBSTWENNYM FILXTROM 2X. |TO MOTIWIRUET SLEDU@]EE OPREDELENIE.

oPREDELENIE. gOWORQT, ^TO SEMEJSTWO D µ 2XOBLADAET SWOJSTWOM KONE^NYH PERESE^ENIJ, (SOKRA]ENNO FIP) ESLI PERESE^ENIE L@BOJ KONE^NOJ SOWOKUPNOSTI MNOVESTW IZ D NEPUSTO.

kAK MY TOLXKO ^TO UBEDILISX, SEMEJSTWO, NE OBLADA@]EE FIP, NE SODERVITSQ NI W ODNOM SOBSTWENNOM FILXTRE. oKAZYWAETSQ, WERNO I OBRATNOE.

zADA^A ?. dOKAVITE, ^TO L@BOE SEMEJSTWO D µ 2X, OBLADA@]EE SWOJSTWOM KONE^NYH PERESE^ENIJ, SODERVITSQ W NEKOTOROM SOBSTWENNOM FILXTRE F .

rE[ENIE. w KA^ESTWE F MOVNO WZQTX

FD = fZ 2 2X j 9Y1; : : : ; Yn 2 D; Z ¶ Y1 \ : : : \ Yng:

pO OPREDELENI@ FIP IMEEM ? 2= FD.

pRO FILXTR FD MY BUDEM GOWORITX, ^TO ON POROVDEN SEMEJSTOM D, A SAMO SEMEJSTWO D BUDET NAZYWATXSQ SISTEMOJ OBRAZU@]IH FILXTRA FD. gLAWNYJ FILXTR FY — \TO W TO^NOSTI FILXTR, POROVDENNYJ ODNO\LEMENTNYM SEMEJSTWOM D = fY g. kAK MY WIDELI W zADA^E ?, FILXTR, POROVDENNYJ KONE^NYM SEMEJSTWOM D = fY1; : : : ; Yng, W DEJSTWITELXNOSTI QWLQETSQ GLAWNYM, TAK KAK ON POROVDAETSQ Y1 \: : :\Yn.

dLQ L@BOGO SOBSTWENNOGO FILXTRA F W 2X I L@BOGO PODMNOVESTWA Y µ X HOTQ BY ODNO IZ MNOVESTW Y , Y NE PRINADLEVIT F (PO^EMU?).