vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

LENIQ, WYQSNQETSQ, ^TO RASPROSTRANENIE \TOJ OPERACII NA NOWYE ^ISLA, SKAVEM RACIONALXNYE, SNOWA TREBUET DALXNEJ[EGO RAS[IRENIQ PONQTIQ ^ISLA. dETALXNOE OBSUVDENIE \TOJ TEMY SLI[KOM DALEKO OT NA[EGO KURSA. zAMETIM LI[X, ^TO IRRACIONALXNOSTX ^ISLA p2, KOTORAQ OBY^NO PRIWODITSQ W [KOLXNYH U^EBNIKAH KAK OBOSNOWANIE NEOBHODIMOSTI WWEDENIQ WE]ESTWENNYH ^ISEL, W DEJSTWITELXNOSTI DOKAZYWAET LI[X NEOBHODIMOSTX WWEDENIQ ALGEBRAI^ESKIH ^ISEL, T.E. KORNEJ ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ S CELYMI KO\FFICIENTAMI. oDNAKO KAK POKAZYWAET POLU^ENNOE W 1934 GODU a.o.gELXFONDOM I t.{NAJDEROM RE[ENIE SEDXMOJ PROBLEMY gILXBERTA, L@BAQ POPYTKA RASPROSTRANITX NA ALGEBRAI^ESKIE ^ISLA

OPERACI@ WOZWEDENIQ W STEPENX S NEOBHODIMOSTX@ PRIWODIT K TRANSCENDENTNYM ^ISLAM153;154.

x 3. oPERACII NAD WEKTORAMI

pERE^ISLIM TEPERX NEKOTORYE OPERACII NAD WEKTORAMI

²sLOVENIE WEKTOROW. pUSTX u = (u1; : : : ; un) I v = (v1; : : : ; vn)

—DWA WEKTORA S KOMPONENTAMI IZ NEKOTOROGO POLQ K (POKA MY FOR-

MALXNO NE ZNAKOMY S POLQMI, MOVNO S^ITATX, NAPRIMER, ^TO K = Q; R ILI C ESTX POLE RACIONALXNYH, WE]ESTWENNYH ILI KOMPLEKSNYH ^I- SEL). tOGDA SUMMA WEKTOROW u I v, OPREDELQETSQ POKOMPONENTNO. iNYMI SLOWAMI, u + v OPREDELQETSQ KAK

(u1; : : : ; un) + (v1; : : : ; vn) = (u1 + v1; : : : ; un + vn):

dLQ PLOSKOSTI I TREHMERNOGO PROSTRANSTWA \TO OPREDELENIE SOWPADAET S OBY^NYM SLOVENIEM WEKTOROW, KAK ONO OPREDELQLOSX W [KOLE.

² pOKOMPONENTNOE UMNOVENIE WEKTOROW. pUSTX u = (u1; : : : ; un)

I v = (v1; : : : ; vn) — DWA WEKTORA S KOMPONENTAMI IZ NEKOTOROGO PO-

LQ K. tOGDA MOVNO OPREDELITX IH POKOMPONENTNOE PROIZWEDENIE

WEKTOROW u I v, POLOVIW

(u1; : : : ; un)(v1; : : : ; vn) = (u1v1; : : : ; unvn)

|TI PRIMERY QWLQ@TSQ ^ASTNYMI SLU^AQMI PONQTIQ PRQMOJ SUMMY/PRQMOGO PROIZWEDENIQ OPERACIJ, KOTOROE BUDET OPREDELENO W x ? I K KOTOROMU MY BUDEM MNOGOKRATNO OBRA]ATXSQ W DALXNEJ[EM.

153a.o.gELXFOND, k SEDXMOJ PROBLEME gILXBERTA. — W KNIGE: pROBLEMY gILX-

BERTA, m., nAUKA, 1969, S.121–127.

154n.i.fELXDMAN, sEDXMAQ PROBLEMA gILXBERTA, m., iZD-WO mOSK. UN-TA, 1982,

S.1–311.

² uMNOVENIE WEKTOROW W K2. w DEJSTWITELXNOSTI, WEKTORY MOVNO UMNOVATX I INA^E, ^EM \TO DELAETSQ W PREDYDU]EM PRIMERE. sKAVEM, WEKTORY DWUMERNOGO PROSTRANSTWA X = K2 NAD POLEM K MOVNO UMNOVATX KAK KOMPLEKSNYE ^ISLA

(a; b)(c; d) = (ac ¡ bd; ad + bc);

KAK DUALXNYE ^ISLA

(a; b)(c; d) = (ac; ad + bc)

ILI KAK DWOJNYE ^ISLA

(a; b)(c; d) = (ac + bd; ad + bc):

² wEKTORNOE UMNOVENIE WEKTOROW W K3. pUSTX X = K3 – TREH-

MERNOE WEKTORNOE PROSTRANSTWO NAD POLEM K. w \TOM PROSTRANSTWE MOVNO WWESTI OPERACI@ SLOVENIQ WEKTOROW u + v I OPERACI@ WEKTORNOGO UMNOVENIQ [u; y] (KOTOROE ^ASTO ZAPISYWAETSQ E]E KAK x £ y I W \TOM SLU^AE NAZYWAETSQ cross product):

[u; v] = (u2v3 ¡ u3v2; u3v1 ¡ u1v3; u1v2 ¡ u2v1):

² cIKLI^ESKAQ SWERTKA WEKTOROW. a WOT SOWSEM DRUGOJ TIP OPERACII, KOTORYJ MY BUDEM PODROBNO IZU^ATX W SLEDU@]EJ GLAWE. pUSTX a = (a1; : : : ; an) I b = (b1; : : : ; bn) – DWA WEKTORA IZ Kn. cIKLI^ESKOJ SWERTKOJ \TIH WEKTOROW NAZYWAETSQ WEKTOR c = a ¤ b 2 Kn TAKOJ, ^TO ci = Pajbi¡j, GDE SUMMA BERETSQ PO WSEM j 2 n, PRI^EM i¡j PONIMAETSQ PO MODUL@ n, TAK ^TO, NAPRIMER, a0 = an, a¡1 = an¡1 I T.D.

x 4. mAKSIMUM I MINIMUM

sLEDU@]IE TIPY PRIMEROW W DEJSTWITELXNOSTI MOVNO TRAKTOWATX SOWMESTNO.

²mAKSIMUM I MINIMUM. pUSTX X = Z; Q; R. tOGDA max(x; y) I min(x; y) MOVNO RASSMATRIWATX KAK ALGEBRAI^ESKIE OPERACII NA X.

²bULEWY OPERACII. e]E ODIN WAVNEJ[IJ KLASS PRIMEROW SWQZAN S BULEWYMI OPERACIQMI NAD MNOVESTWAMI. pUSTX Z – PROIZWOLXNOE MNOVESTWO I X = 2Z. tOGDA NA X OPREDELENY OPERACII OB_EDINENIQ

f(A; B) = A [ B, PERESE^ENIQ f(A; B) = A \ B, RAZNOSTI A n B I SIMMETRI^ESKOJ RAZNOSTI A 4 B.

²pROPOZICIONALXNYE SWQZKI. bINARNYE PROPOZICIONALXNYE SWQZKI & , _, =), () QWLQ@TSQ BINARNYMI OPERACIQMI NA MNOVESTWE WYSKAZYWANIJ.

²nod I nok. pUSTX X = N — MNOVESTWO NATURALXNYH ^ISEL, A lcm(x; y) I gcd(x; y) — NAIMENX[EE OB]EE KRATNOE I NAIBOLX[IJ OB]IJ DELITELX \LEMENTOW x; y 2 N.

²mAKSIMUM I MINIMUM FUNKCIJ. pUSTX X = RR – MNOVESTWO WE]ESTWENNOZNA^NYH FUNKCIJ WE]ESTWENNOGO ARGUMENTA. oPREDELIM FUNKCII f [ g I f \ g, POLAGAQ

fUNKCII f [ g I f \ g ^ASTO NAZYWA@TSQ E]E WERHNEJ OGIBA@]EJ I

NIVNEJ OGIBA@]EJ FUNKCIJ f I g.

zADA^A. kAK WY DUMAETE, PO^EMU [ I \ OBY^NO NE RASSMATRIWA@TSQ KAK SAMOSTOQTELXNYE OPERACII NAD FUNKCIQMI?

rE[ENIE. dELO W TOM, ^TO ONI WYRAVA@TSQ ^EREZ BINARNU@ OPERACI@ (f; g) 7!f + g I UNARNYE OPERACII f 7! ¡f I f 7!fjj:

kOMMENTARIJ. a ZRQ, TAK KAK SU]ESTWU@T WAVNYE KLASSY FUNKCIJ, ZAMKNUTYE OTNOSITELXNO \TIH OPERACIJ, NO NE OTNOSITELXNO SLOVENIQ.

a WOT I SOWMESTNOE OBOB]ENIE PQTI PREDYDU]IH PRIMEROW.

² sUPREMUM I INFIMUM W RE[ETKE. pUSTX X — KAKAQ-TO RE-

[ETKA, A f(x; y) = x_y ILI f(x; y) = x^y — TO^NAQ WERHNQQ I NIVNQQ GRANI PARY (x; y), SOOTWETSTWENNO (NAZYWAEMYE PO ANGLIJSKI ‘join’ I ‘meet’ \LEMENTOW x I y). w ZAWISIMOSTI OT KONTEKSTA \TI OPERACII MOGUT OBOZNA^ATXSQ TAKVE KAK max(x; y) I min(x; y), ILI KAK sup(x; y)

I inf(x; y).

x 5. kOMPOZICIQ

e]E ODNIM WAVNEJ[IM PRIMEROM ALGEBRAI^ESKOJ OPERACII – WEROQTNO, SAMYM FUNDAMENTALXNYM PRIMEROM – QWLQETSQ KOMPOZICIQ.

² kOMPOZICIQ OTOBRAVENIJ. pUSTX WNA^ALE X = Map(Z; Z) —

MNOVESTWO OTOBRAVENIJ Z W SEBQ. tOGDA, KAK MY ZNAEM, DLQ L@BYH

DWUH OTOBRAVENIJ f; g 2 X OPREDELENA IH KOMPOZICIQ f ± g 2 X. nAPOMNIM, ^TO ZNA^ENIE KOMPOZICII f ±g NA \LEMENTE z 2 Z OPREDELQETSQ KAK (f ± g)(z) = f(g(z)).

² kOMPOZICIQ OTNO[ENIJ. tO VE SAMOE OTNOSITSQ I K MNOVESTWU Y = Rel(Z) WNUTRENNIH BINARNYH OTNO[ENIJ NA Z. w x 3 MY OPREDELILI KOMPOZICI@ (PROIZWEDENIE) DWUH OTNO[ENIJ R ² S, KOTORAQ WS@DU OPREDELENA NA Z. nAPOMNIM, ^TO R ² S = f(x; y) 2 Z £ Z j 9z 2 Z; (x; z) 2 R; (z; y) 2 Sg.

eSTX MNOGO KLASSOW OTOBRAVENIJ, ZAMKNUTYH OTNOSITELXNO KOMPOZICII, I W DALXNEJ[EM NAM ^ASTO PRIDETSQ RASSMATRIWATX NEKOTORYE IZ \TIH KLASSOW. nAPRIMER:

²KOMPOZICIQ DWUH IN_EKCIJ, S@R_EKCIJ ILI BIEKCIJ SNOWA ESTX IN_EKCIQ, S@R_EKCIQ ILI BIEKCIQ, SOOTWETSTWENNO.

²w SLU^AE, KOGDA Z QWLQETSQ ^ASTI^NO UPORQDO^ENNYM MNOVESTWOM, KOMPOZICIQ DWUH MONOTONNYH OTOBRAVENIJ ESTX MONOTONNOE OTOBRAVENIE.

²w SLU^AE, KOGDA Z QWLQETSQ ABELEWOJ GRUPPOJ ILI WEKTORNYM PROSTRANSTWOM, KOMPOZICIQ DWUH LINEJNYH OTOBRAVENIJ ESTX LINEJNOE OTOBRAVENIE.

²w SLU^AE, KOGDA Z QWLQETSQ TOPOLOGI^ESKIM PROSTRANSTWOM, KOMPOZICIQ DWUH NEPRERYWNYH OTOBRAVENIJ ESTX NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE.

nAM WSTRETITSQ I MNOGO DRUGIH PODOBNYH PRIMEROW.

x 6. oPERACII NAD MNOGO^LENAMI

oBOZNA^IM ^EREZ K[x] KOLXCO MNOGO^LENOW NAD POLEM K (KAK WSEGDA, MOVNO S^ITATX, NAPRIMER, ^TO K — POLE RACIONALXNYH, WE]ESTWENNYH ILI KOMPLEKSNYH ^ISEL). tREMQ NAIBOLEE IZWESTNYMI OPERACIQMI NAD MNOGO^LENAMI QWLQ@TSQ SLOVENIE, UMNOVENIE I KOMPOZICIQ:

² sLOVENIE MNOGO^LENOW. pUSTX f = a0 + a1x + : : : + amxm I g = b0 +b1x+: : :+bnxn – DWA MNOGO^LENA S KO\FFICIENTAMI IZ NEKOTOROGO POLQ K. tOGDA SUMMA f + g MNOGO^LENOW f I g, OPREDELQETSQ KAK

f= (a0 + b0) + (a1 + b1)x + : : : + (al + bl)xl, GDE l = max(m; n).

²uMNOVENIE MNOGO^LENOW. uMNOVENIE ODNO^LENOW OPREDELQETSQ KAK amxmbnxn I PRODOLVAETSQ NA WSE MNOGO^LENY PO LINEJNOJSTI. dLQ TEH VE MNOGO^LENOW f, g, ^TO I WY[E, IH PROIZWEDENIE RAWNO

fg = a0b0 + (a0b1 + a1b0)x + : : : + ambnxm+n.

sLOVENIE I UMNOVENIE IZWESTNY IZ [KOLXNOJ PROGRAMMY I MY DETALXNO IZU^IM IH W SLEDU@]IH GLAWAH, PO\TOMU SEJ^AS MY OPI[EM NESKOLXKO MENEE IZWESTNYH OPERACIJ, IZ KOTORYH ^A]E WSEGO ISPOLXZUETSQ KOMPOZICIQ.

² kOMPOZICIQ MNOGO^LENOW TESNO SWQZANA S KOMPOZICIEJ FUNKCIJ I, W DEJSTWITELXNOSTI, DLQ PERE^ISLENNYH WY[E POLEJ QWLQETSQ ^ASTNYM SLU^AEM KOMPOZICII FUNKCIJ (NO IMEET SMYSL I W BOLEE OB- ]EJ SITUACII, KOGDA MNOGO^LEN NE OPREDELQETSQ ZADAWAEMOJ IM POLINOMINALXNOJ FUNKCIEJ c 7!f(c)). a IMENNO, KOMPOZICIQ f ±g MNOGO- ^LENOW f; g 2 K[x] OPREDELQETSQ KAK REZULXTAT PODSTANOWKI MNOGO^LENA g W MNOGO^LEN f. nAPRIMER, ESLI g = x2 ¡ 2x + 1, A f = x3 + 3x + 1,

TO f ± g = (x2 ¡ 2x + 1)3 + 3(x2 ¡ 2x + 1) + 1.

sLEDU@]IE OPERACII GORAZDO MENEE IZWESTNY, NO ONI REALXNO WOZNIKA@T W ALGEBRAI^ESKOJ GEOMETRII, K-TEORII I TEORII HARAKTERISTI^ESKIH KLASSOW155;156;157. ~TOBY NE OBSUVDATX NEKOTORYE TEHNI^E- SKIE DETALI, MY OPREDELIM \TI OPERACII TOLXKO DLQ NORMIROWANNYH MNOGO^LENOW, T.E. TAKIH MNOGO^LENOW, STAR[IJ KO\FFICIENT KOTORYH RAWEN 1. nORMIROWANNYJ MNOGO^LEN ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ NABOROM SWOIH KORNEJ.

²sIMMETRI^ESKOJ SUMMOJ MNOGO^LENOW f I g NAZYWAETSQ MNOGO^LEN f ¢ g, KORNI KOTOROGO QWLQ@TSQ POPARNYMI SUMMAMI KORNEJ MNOGO^LENOW f I g, S U^ETOM KRATNOSTI.

²tENZORNYM PROIZWEDENIEM MNOGO^LENOW f I g NAZYWAETSQ MNOGO^LEN f - g, KORNI KOTOROGO QWLQ@TSQ POPARNYMI PROIZWEDENIQMI KORNEJ MNOGO^LENOW f I g, S U^ETOM KRATNOSTI.

iZ FORMUL wIETA I TEORII SIMMETRI^ESKIH MNOGO^LENOW WYTEKAET, ^TO W DEJSTWITELXNOSTI KO\FFICIENTY MNOGO^LENOW f ¢ g I f - g WYRAVA@TSQ ^EREZ KO\FFICIENTY f I g.

x 7. oPERACII NAD MATRICAMI

oDNOJ IZ OSNOWNYH CELEJ NA[EGO KURSA BUDET SISTEMATI^ESKOE IZU- ^ENIE OPERACIJ NAD MATRICAMI. oBOZNA^IM ^EREZ M(m; n; K) MNOVESTWO WSEH m £ n MATRIC S KO\FFICIENTAMI IZ POLQ K, KOTORYE

155d.mAMFORD, lEKCII O KRIWYH NA ALGEBRAI^ESKOJ POWERHNOSTI, – m., mIR, 1968, S.1–236, LEKCIQ 26, W OSOBENNOSTI STR. 220–221.

156f.hIRCEBRUH, tOPOLOGI^ESKIE METODY W ALGEBRAI^ESKOJ GEOMETRII, m., mIR, 1973, S.1–280, NAPRIMER, STR.88.

157dV.mILNOR, dV.sTA[EF, hARAKTERISTI^ESKIE KLASSY, — m., mIR, 1979,

S.1–371., STR.76–77

IZOBRAVA@TSQ TABLICAMI \LEMENTOW K c m STROKAMI I n STOLBCAMI. pARA ^ISEL (m; n) NAZYWAETSQ RAZMEROM MATRICY x 2 M(m; n; K). mATRICA, DLQ KOTOROJ m = n NAZYWAETSQ KWADRATNOJ, mNOVESTWO M(n; n; K) KWADRATNYH MATRIC OBOZNA^AETSQ ^EREZ M(n; K). w \TOM SLU^AE n NAZYWAETSQ PORQDKOM ILI STEPENX@. nAPRIMER, 2 £ 2- MATRICA S KO\FFICIENTAMI IZ POLQ K IZOBRAVAETSQ TABLICEJ

wOT NEKOTORYE NAIBOLEE ^ASTO ISPOLXZUEMYE OPERACII NAD MATRICAMI.

² sUMMA MATRIC. mATRICY IZ M(m; n; K) MOVNO PO\LEMENTNO SKLADYWATX, IMENNO \TA OPERACIQ I NAZYWAETSQ SLOVENIEM MATRIC

² pROIZWEDENIE aDAMARA. mATRICY IZ M(m; n; K) MOVNO PO\LE-

MENTNO UMNOVATX, TAKOE UMNOVENIE OBY^NO NAZYWAETSQ UMNOVENIEM

² pROIZWEDENIE MATRIC. oDNAKO OBY^NO, GOWORQ OB UMNOVE-

NII MATRIC, IME@T W WIDU SLEDU@]U@ OPERACI@ NA M(n; K), QWNO OPREDELENNU@ W NA^ALE 1840-H GODOW aRTUROM k\LI:

wPRO^EM, W NEQWNOM WIDE \TA OPERACIQ POQWLQLASX E]E U |JLERA, A gAUSS W SWQZI S KOMPOZICIEJ KWADRATI^NYH FORM SPECIALXNO PODROBNO RASSMATRIWAL IMENNO SLU^AJ MATRIC RAZMERA 2 £ 2.

w DEJSTWITELXNOSTI IMEETSQ MNOGO DRUGIH OPERACIJ NAD MATRICAMI, KOTORYE PO OTNO[ENI@ K MATRICAM FIKSIROWANNYH PORQDKOW QWLQ- @TSQ WNE[NIMI OPERACIQMI, NO STANOWQTSQ WNUTRENNIMI OPERACIQMI NA MNOVESTWE WSEH MATRIC (WSEWOZMOVNYH PORQDKOW!) S KO\FFFICIENTAMI IZ K.

x 8. pROIZWODNYE OPERACII

eSLI NA MNOVESTWE ZADANO NESKOLXKO RAZLI^NYH ZAKONOW KOMPOZICII, TO KOMBINIRUQ IH MOVNO STROITX NOWYE ZAKONY KOMPOZICII, SREDI KOTORYH WSTRE^A@TSQ I DOWOLXNO INTERESNYE. w GLAWE III MY RASSMOTRIM WAVNEJ[U@ IZ TAKIH PROIZWODNYH OPERACIJ — SWERTKU, A POKA PRIWEDEM NESKOLXKO \LEMENTARNYH PRIMEROW.

²pRISOEDINENNOE UMNOVENIE. pUSTX, NAPRIMER, X — MNOVE-

STWO \LEMENTOW KAKOJ-TO PRIRODY, NA KOTOROM ZADANY SLOVENIE ‘+’I UMNOVENIE ‘£’. tOGDA MOVNO RASSMOTRETX OPERACI@ x ²y = x + y + xy,

NAZYWAEMU@ PRISOEDINENNYM UMNOVENIEM.

²kOMMUTIROWANIE I ANTIKOMMUTIROWANIE. oSOBENNO WAVNY SLEDU@]IE DWE PROIZWODNYE OPERACII, IME@]IE SPECIALXNYE NAIME-

NOWANIQ: KOMMUTIROWANIE [x; y] = xy ¡ yx I ANTIKOMMUTIROWA-

NIE x ± y = (xy + yx)=2. kONE^NO, NA MNOVESTWE ^ISEL, GDE UMNOVENIE KOMMUTATIWNO, \TI OPERACII NE PREDSTAWLQ@T NIKAKOGO INTERESA, NO WSKORE MY WWEDEM OB_EKTY, KOTORYE MOVNO SKLADYWATX I UMNOVATX, TAK, ^TO PRI \TOM UMNOVENIE NEKOMMUTATIWNO, T.E. xy 6= yx. nAIBOLEE IZWESTNYM PRIMEROM TAKIH OB_EKTOW QWLQ@TSQ, KONE^NO, MATRICY, NO NAM WSTRETITSQ I MNOGO DRUGIH PRIMEROW. w \TIH SLU^AQH OPERACII KOMMUTIROWANIQ I ANTIKOMMUTIROWANIQ PRIWODQT K WAVNYM NOWYM ALGEBRAI^ESKIM STRUKTURAM.

²lORENCEWO SLOVENIE. pUSTX I = [0; 1] — EDINI^NYJ OTREZOK WE]ESTWENNOJ OSI. nA MNOVESTWE I WWODITSQ DOWOLXNO INTERESNAQ OPERACIQ, NAZYWAEMAQ lORENCEWYM SLOVENIEM, KOTORAQ POSTOQNNO ISPOLXZUETSQ W SPECIALXNOJ TEORII OTNOSITELXNOSTI:

rAZUMEETSQ, \TO OBY^NAQ RELQTIWISTSKAQ FORMULA SLOVENIQ SKOROSTEJ, ZAPISANNAQ W SISTEME EDINIC, W KOTOROJ SKOROSTX SWETA c RAWNA 1 (A ^EMU E]E MOVET BYTX RAWNA SKOROSTX SWETA, ESLI IZMERQTX WREMQ W METRAH, A RASSTOQNIE — W SEKUNDAH?). nAPRIMER, 1 ¢ 1 = 1, T.E. ESLI PUSTITX S KOSMI^ESKOGO KORABLQ, DWIVU]EGOSQ SO SKOROSTX@ SWETA, LU^ SWETA W NAPRAWLENII EGO DWIVENIQ, TO ON WSE RAWNO BUDET DWIGATXSQ SO SKOROSTX@ SWETA, A NE S UDWOENNOJ SKOROSTX@ SWETA. qSNO, ^TO lORENCEWO SLOVENIE KOMMUTATIWNO.

² sREDNIE. sEJ^AS MY SOPOSTAWIM KAVDOMU WE]ESTWENNOMU ^ISLU p 2 R NEKOTORU@ WNUTRENN@@ BINARNU@ OPERACI@ NA MNOVESTWE R+.

pRI p =6 0 SREDNIM p-GO PORQDKA DWUH POLOVITELXNYH WE]ESTWENNYH ^ISEL x I y NAZYWAETSQ ^ISLO

zAMETIM, ^TO \TO ODIN IZ SLU^AEW, KOGDA DLQ ZAPISI ALGEBRAI^ESKOJ

OPERACII ISPOLXZUETSQ PREFIKSNAQ, A NE INFIKSNAQ ZAPISX. nAPRIMER, r

IZWESTNY KAK SREDNEE ARIFMETI^ESKOE, SREDNEE KWADRATI^ESKOE,

I SREDNEE GARMONI^ESKOE, SOOTWETSTWENNO. pRIWEDENNAQ WY[E FORMULA NE OPREDELQET S0(x; y), NO, IZU^AQ PREDEL Sp(x; y) PRI p STREMQ- ]EMSQ K 0, LEGKO PONQTX, ^TO EDINSTWENNYJ RAZUMNYJ SPOSOB OPREDELITX SREDNEE 0-GO PORQDKA ^ISEL x I y SOSTOIT W TOM, ^TOBY POLOVITX EGO RAWNYM IH SREDNEMU GEOMETRI^ESKOMU S0(x; y) = pxy.

² pARALLELXNOE SLOVENIE. s GARMONI^ESKIM SREDNIM TESNEJ- [IM OBRAZOM SWQZANA DRUGAQ OPERACIQ, NAZYWAEMAQ PARALLELXNYM SLOVENIEM. a IMENNO, DLQ x; y 2 R+ POLOVIM xky = (x¡1 + y¡1)¡1. |TO NAZWANIE I OBOZNA^ENIE OBQZANY SWOIM PROISHOVDENIEM TOMU, ^TO PARALLELXNAQ SUMMA WOZNIKAET W \LEKTROTEHNIKE KAK ZNA^ENIE SOPROTIWLENIQ DWUH REZISTOROW S SOPROTIWLENIQMI x I y PRI PARALLELXNOM SOEDINENII. w [KOLXNOM KURSE PARALLELXNOE SLOVENIE WOZNIKAET PRI IZU^ENII LOGARIFMOW:

logxy(z) = logx(z)k logy(z):

rAZMY[LIZM: PO^EMU PROIZWODNYE OPERACII MOGUT BYTX IN-

TERESNY? nA PERWYJ WZGLQD IZU^ENIE PROIZWODNYH OPERACIJ NE DAET NI^EGO NOWOGO PO SRAWNENI@ S ISHODNYMI OPERACIQMI, ^EREZ KOTORYE ONI WYRAVA@TSQ. oDNAKO W DEJSTWITELXNOSTI \TO NE SOWSEM TAK. |TO SWQZANO S TEM, ^TO HOTQ PODMNOVESTWO Y MNOVESTWA X, NA KOTOROM OPREDELENY NA[I OPERACII, MOVET BYTX NE ZAMKNUTO OTNOSITELXNO ISHODNYH OPERACIJ, ONO WPOLNE MOVET BYTX ZAMKNUTO OTNOSITELXNO PROIZWODNYH OPERACIJ. pUSTX, NAPRIMER, X = M(n; K)

— MNOVESTWO WSEH KWADRATNYH MATRIC STEPENI n NAD POLEM K, A Y = sl(n; K) — EGO PODMNOVESTWO, SOSTOQ]EE IZ WSEH MATRIC SO SLEDOM

0, sl(n; K) = fx 2 M(n; K) j tr(x) = 0g. eSLI tr(x) = tr(y) = 0, TO,

WOOB]E GOWORQ, NEWERNO, ^TO tr(xy) = 0. tEM NE MENEE, tr(xy) = tr(yx), PO\TOMU tr([x; y]) = 0. tEM SAMYM, sl(n; K) NE ZAMKNUTO OTNOSITELXNO UMNOVENIQ, NO ZAMKNUTO OTNOSITELXNO KOMMUTIROWANIQ — \TO ODIN IZ SAMYH WAVNYH PRIMEROW PROSTYH ALGEBR lI.

x 9. oPERACII, WSTRE^A@]IESQ W ANALIZE I GEOMETRII

wSE OBLASTI MATEMATIKI KI[AT ALGEBRAI^ESKIMI OPERACIQMI, ODNAKO, POSKOLXKU ANALISTY I NEKOTORYE GEOMETRY OTNOSQTSQ K ALGEBRE S PODOZRENIEM I WSE E]E NE WYU^ILI TERMINOW ‘IDEAL’ I ‘GOMOMORFIZM’, W \TIH OBLASTQH NE PRINQTO ZADUMYWATXSQ NAD TEM, ^TO WO MNOGIH SLU^AQH ISPOLXZOWANIE DAVE PROSTEJ[IH SWEDENIJ IZ ALGEBRY POZWOLILO BY RADIKALXNO UPROSTITX TRADICIONNYE IZLOVENIQ BOLX- [INSTWA RAZDELOW ANALIZA, RIMANOWOJ GEOMETRII I DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ. nA^INA@]IJ DOLVEN PROPUSTITX \TOT PARAGRAF, NO PREPODAWATEL@ PRO^ESTX EGO POLEZNO.

1. sWERTKI WE]ESTWENNYH FUNKCIJ. bUDEM DLQ OPREDELENNOSTI RASSMATRIWATX WE]ESTWENNOZNA^NYE FUNKCII WE]ESTWENNOGO ARGUMENTA, HOTQ OPISANNAQ NIVE KONSTRUKCIQ MOVET OBOB]ATXSQ WO MNOGIH RAZLI^NYH NAPRAWLENIQH. dLQ DWUH TAKIH FUNKCIJ f; g 2 Map(R; R) OPREDELIM IH SWERTKU f ¤ g RAWENSTWOM

+Z1

¡1

mY PREDOSTAWLQEM ^ITATEL@ SAMOSTOQTELXNO UTO^NITX, KAKOMU KLASSU DOLVNY PRINADLEVATX FUNKCII f I g, ^TOBY INTEGRAL W OPREDELENII SWERTKI SHODILSQ I POLU^A@]AQSQ FUNKCIQ SNOWA PRINADLEVALA \TOMU VE KLASSU. w RAZLI^NYH RAZDELAH ANALIZA, MATEMATI^ESKOJ FIZIKI I TEORII WEROQTNOSTEJ RASSMATRIWAETSQ MNOVESTWO WARIANTOW SWERTKI (SWERTKI MER, OBOB]ENNYH FUNKCIJ I T.D.). nAPRIMER, W OPERACIONOM IS^ISLENII INTEGRAL W \TOM OPREDELENII OBY^NO BERETSQ NE OT ¡1 DO +1, A OT 0 DO x, ^EMU ESTX SWOI GLUBOKIE PRI^INY. s TO^KI ZRENIQ ALGEBRY UDOBNEE NORMIROWATX SWERTKU, DOMNOVIW INTEGRAL SPRAWA NA (2¼)¡1.

2. kOMPOZICIQ wOLXTERRA. w TEORII INTEGRALXNYH URAWNENIJ RASSMATRIWA- @TSQ TAK NAZYWAEMYE QDRA, QWLQ@]IESQ NEKOTORYMI FUNKCIQMI DWUH WE]ESTWENNYH PEREMENNYH S WE]ESTWENNYMI ZNA^ENIQMI. wOLXTERRA IZU^AL KOMPOZICI@

DWUH TAKIH FUNKCIJ K; L 2 Map(R £ R; R) OPREDELENNU@ POSREDSTWOM

Z

(K ± L)(x; y) = K(x; z)L(z; y) dz:

sNOWA MY PREDOSTAWLQEM ^ITATEL@ SAMOSTOQTELXNO UTO^NITX, KAKOMU KLASSU DOLVNY PRINADLEVATX FUNKCII K I L, ^TOBY INTEGRAL SHODILSQ I POLU^A@]AQSQ FUNKCIQ SNOWA PRINADLEVALA TOMU VE KLASSU. zAMETIM, ^TO \TO OPREDELENIE PARODIRUET OPREDELENIE UMNOVENIQ MATRIC, KOTOROE MY WSKORE PODROBNO IZU^IM.

3. sKOBKI pUASSONA. w TEORII DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ I KLASSI^ESKOJ MEHANIKE [IROKO ISPOLXZUETSQ E]E ODIN ZAME^ATELXNYJ ZAKON KOMPOZICII. pUSTX

f(q; p) I g(q; p) — DWE FUNKCII OT 2n PEREMENNYH q = (q1; : : : ; qn) I p = (p1; : : : ; pn). tOGDA SKOBKOJ pUASSONA FUNKCIJ f I g NAZYWAETSQ FUNKCIQ

oBOZNA^ENIE q I p PODSKAZANO KLASSI^ESKOJ MEHANIKOJ, GDE W KA^ESTWE q I p WYSTUPA@T KANONI^ESKIE PEREMENNYE158, IZWESTNYE [IROKIM NARODNYM KRUGAM POD IMENAMI ‘KOORDINAT’ I ‘IMPULXSOW’.

158w.i.aRNOLXD, mATEMATI^ESKIE METODY KLASSI^ESKOJ MEHANIKI, 1979, x 40