vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

GOWORQ]EGO. s DRUGOJ STORONY, WOPROSITELXNYE I WOSKLICATELXNYE PREDLOVENIQ NE QWLQ@TSQ WYSKAZYWANIQMI. tAK, NAPRIMER, NE WYRAVA@T NIKAKIH WYSKAZYWANIJ SLEDU@]IE FRAZY:

(l)dOROGOJ, NE ZABYL LI TY ZAWESTI ^ASY?

(m)w KAKOM GODU aLXFRED wEGENER OTKRYL, ^TO ZEMLQ IMEET FORMU DODEKA\DRA?

(n)gOSPODA OFICERY, LEWOE PLE^O WPERED!

(o)dA ZDRAWSTWUET IMPERATOR cINX {I hUAN, LU^[IJ DRUG WSEH KITAJSKIH U^ENYH!

nEKOTORYE LOGIKI RAZLI^A@T WYSKAZYWANIQ I PREDLOVENIQ. pRI \TOM ONI GOWORQT, ^TO WYSKAZYWANIE ESTX SMYSL PREDLOVENIQ, T.E. TO, ^TO ONO OZNA^AET. w KA^ESTWE PRIMEROW \TOGO RAZLI^IQ OBY^NO PRIWODQTSQ SLEDU@]IE. rASSMOTRIM FRAZU (a) I SLEDU@]U@ ANGLIJSKU@ FRAZU:

(p) Socrates is a cat.

|TI DWE FRAZY PREDSTAWLQ@T SOBOJ, PO MYSLI \TIH AWTOROW, DWA PREDLOVENIQ, WYRAVA@]IE ODNO I TO VE WYSKAZYWANIE. mNE TAK NE KAVETSQ. wO-PERWYH, W ANGLIJSKOJ FRAZE NET NIKAKOGO NAMEKA NA POL sOKRATA, EE PREDIKAT ‘to be a cat’ MOG BY BYTX PEREWEDEN NA RUSSKIJ QZYK FRAZOJ ‘BYTX KOTOM ILI KO[KOJ’. wO-WTORYH, ^TO GORAZDO WAVNEE, NA[A SPOSOBNOSTX ZAQWITX, ^TO SMYSL FRAZ (a) I (j) SOWPADAET, ZAWISIT OT NA[EJ SPOSOBNOSTI PONIMATX RUSSKIJ I ANGLIJSKIJ QZYKI. bUDET LI STOLX VE O^EWIDNO ^TO (a) I

(q) sOKULATESU — PO-QPONSKI

WYRAVA@T ‘ODNO I TO VE’ WYSKAZYWANIE? dRUGOJ PRIMER, KOTORYJ ^ASTO PRIWODITSQ W \TOM KONTEKSTE, \TO PREDLOVENIQ ‘1 > 2’ I ‘2 < 1’, QKOBY WYRAVA@]IE ‘ODNO I TO VE’ WYSKAZYWANIE. oPQTX VE, S MOEJ TO^KI ZRENIQ, \TO ZABLUVDENIE, OSNOWANNOE NA TOM, ^TO MY PONIMAEM SMYSL ZNAKOW ‘>’ I ‘<’ (W DEJSTWITELXNOSTI, \TI FRAZY STANOWQTSQ RAWNOZNA^NYMI POSLE TOGO, KAK OTNO[ENIE ‘<’ OPREDELQETSQ TAKIM OBRAZOM, ^TO x < y WYPOLNQETSQ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA y > x). eSLI BY MY PISALI ‘xGy’ WMESTO ‘x < y’ I ‘xDy’ WMESTO ‘x > y’, TO RAWNOZNA^NOSTX PREDLOVENIJ ‘1D2’ I ‘2G1’ UVE NE BYLA BY STOLX O^EWIDNA (PO KRAJNEJ MERE DLQ ^ITATELQ, NE WLADE@]EGO FRANCUZSKIM QZYKOM).

pO\TOMU MY BUDEM PONIMATX POD WYSKAZYWANIEM, KAK SKAZANO WY[E, SAMO POWESTWOWATELXNOE PREDLOVENIE, KAK ONO ESTX (‘as is’), W POLNOM OTWLE^ENII OT EGO SEMANTIKI, NO, KAK BUDET OPISANO W SLEDU@]EM

PUNKTE, ^ASTI^NO U^ITYWAQ EGO WNUTRENN@@ STRUKTURU. mY S^ITAEM, ^TO L@BOE IZMENENIE FORMY WYSKAZYWANIQ MENQET EGO SMYSL: “forma mutata, mutatur substantia”.

nEKOTORYE WYSKAZYWANIQ NE IME@T NIKAKOJ DALXNEJ[EJ WNUTRENNEJ STRUKTURY, S TO^KI ZRENIQ IS^ISLENIQ WYSKAZYWANIJ. tAKOWY, NAPRIMER, WYSKAZYWANIQ (a)–(c) WY[E. tAKOGO RODA WYSKAZYWANIQ BUDUT NAZYWATXSQ \LEMENTARNYMI ILI ATOMARNYMI I PRO NIH NA UROWNE IS^ISLENIQ WYSKAZYWANIJ NELXZQ SKAZATX NI^EGO, KROME TOGO, ^TO IM PROIZWOLXNYM OBRAZOM MOVET BYTX PRIPISANO ODNO IZ DWUH ZNA^ENIJ ISTINNOSTI.

x ?. pROPOZICIONALXNYE SWQZKI, SOSTAWNYE WYSKAZYWANIQ

1.pROPOZICIONALXNYE SWQZKI. wSE OSTALXNYE WYSKAZYWANIQ STROQTSQ IZ \LEMENTARNYH WYSKAZYWANIJ PRI POMO]I SO@ZOW, NAZYWAEMYH W MATEMATI^ESKOJ LOGIKE PROPOZICIONALXNYMI SWQZKAMI. wYSKAZYWANIQ, POSTROENNYE IZ DRUGIH WYSKAZYWANIJ PRI POMO]I PROPOZICIONALXNYH SWQZOK, NAZYWA@TSQ SOSTAWNYMI, NAPRIMER, WYSKAZYWANIQ (d)–(f) WY[E — SOSTAWNYE. w KLASSI^ESKOJ LOGIKE TRADICIONNO RASSMATRIWAETSQ PQTX PROPOZICIONALXNYH SWQZOK :, & , _, =), () (W DEJSTWITELXNOSTI, WSE ONI MOGUT BYTX WYRAVENY ^EREZ PODHODQ]IE DWE IZ NIH, OSTALXNYE WWODQTSQ LI[X DLQ SOKRA]ENIQ FORMUL), NAZYWAEMYH SOOTWETSTWENNO, NEGACIEJ, KON_@NKCIEJ, DIZ_@NKCIEJ, IMPLIKACIEJ I \KWIWALENCIEJ. (ILI, SOKRA]ENNO, NA LATYNI ‘non’, ‘et’, ‘vel’, ‘seq’ I ‘aeq’)). oPI[EM POSLEDOWATELXNO SMYSL \TIH SWQZOK. CWQZKA : QWLQETSQ UNARNOJ, T.E. ONA STROIT NOWOE WYSKAZYWANIE PO ODNOMU ISHODNOMU WYSKAZYWANI@, WSE VE OSTALXNYE SWQZKI — BINARNYE, T.E. TREBU@T DWUH WYSKAZYWANIJ DLQ OBRAZOWANIQ NOWOGO SOSTAWNOGO WYSKAZYWANIQ.

2.nEGACIQ :, NAZYWAEMAQ TAKVE OTRICANIEM, SOOTWETSTWUET FUNKCII NOT INFORMATIKI. pUSTX p ESTX NEKOTOROE WYSKAZYWANIE. tOGDA :p ESTX OTRICANIE WYSKAZYWANIQ p. w VIWOM QZYKE NEGACIQ PEREDAETSQ ^ASTICEJ ‘NE’ (‘NE p’), OBOROTAMI TIPA ‘NEWERNO, ^TO p’, ‘p NE IMEET MESTA’ ILI BOLEE SLOVNYMI KONSTRUKCIQMI. nAPRIMER, WYSKAZYWANIE (d) IMEET WID :p DLQ PODHODQ]EGO WYSKAZYWANIQ p (DLQ KAKOGO?). oTRICANIEM WYSKAZYWANIQ (a) QWLQETSQ WYSKAZYWANIE ‘nEWERNO, ^TO sOKRAT ESTX KOT’ ILI, ^A]E, ‘sOKRAT NE ESTX KOT’ (PEREWOD FORMUL OBRATNO W RAZGOWORNYJ QZYK OBY^NO NE QWLQETSQ ODNOZNA^NYM!). mNOGIE QZYKI (RUSSKIJ, FRANCUZSKIJ, ITALXQNSKIJ I T.D.) DUBLIRU@T OTRICANIE, T.E. ISPOLXZU@ KONSTRUKCI@ ::p DLQ OTRICANIQ WYSKAZYWANIQ p, SRAWNI “je ne le sais pas”, GDE PRISUTSTWU@T

DWE OTRICATELXNYE ^ASTICY ‘ne’ I ‘pas’. s LOGI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ \TO DOWOLXNO UDIWITELXNO, TAK KAK (W KLASSI^ESKOJ LOGIKE) WTOROE OTRICANIE SOWPADAET S ISHODNYM UTWERVDENIEM, T.E. ‘NE NE p’ IMEET TOT VE SMYSL, ^TO I ‘p’. w DEJcTWITELXNOSTI W RUSSKOM QZYKE TEORETI^ESKI MOGUT STROITXSQ SKOLX UGODNO DLINNYE CEPO^KI OTRICANIJ, A FRAZY, SODERVA]IE PQTX-[ESTX OTRICANIJ, TIPA “q NIGDE NIKOGDA NIKOMU NI^EGO NE GOWORIL” (SM. kOLPAK^I “dRUVESKIE WSTRE^I S ANGLIJSKIM QZYKOM”) ZWU^AT ABSOL@TNO ESTESTWENNO. aNGLIJSKIJ QZYK GORAZDO BOLEE LOGI^EN W \TOM OTNO[ENII. w NEM, ^TOBY OPROWERGNUTX FRAZU “q GDE-TO KOGDA-TO KOMU-TO ^TO-TO SKAZAL” DOSTATO^NO ISPOLXZOWATX ODNO OTRICANIE “I never told anything anybody anywhere” ILI “I ever told anything nobody anywhere”. iMENNO W SILU \TOJ OSOBENNOSTI RUSSKOGO QZYKA W MATEMATI^ESKOJ RE^I PREDPO^TITELXNO ISPOLXZOWATX LIBO GLAGOLXNOE OTRICANIE (^ASTICU ‘NE’, E]E LU^[E SO WSPOMOGATELXNYM GLAGOLOM ‘NE ESTX’, ‘NE QWLQETSQ’), LIBO OTRICATX WSE PREDLOVENIE W CELOM (‘NEWERNO, ^TO : : : ’), IZBEGAQ KONSTRUKCIJ S KRATNYM OTRICANIEM.

3. kON_@NKCIQ & SOOTWETSTWUET FUNKCII AND INFORMATIKI. pUSTX p I q SUTX DWA WYSKAZYWANIQ. tOGDA WYSKAZYWANIE p & q OZNA^AET, ^TO WYPOLNQ@TSQ OBA WYSKAZYWANIQ p I q. w OBY^NOM QZYKE KON_@NKCIQ ^A]E WSEGO PEREDAETSQ ZAPQTOJ (‘p; q’) ILI SO@ZOM ‘I’ (‘p I q’), NO MOVET WYRAVATXSQ I DRUGIMI, \MFATI^ESKIMI SREDSTWAMI ‘I p I q’, ‘p ODNOWREMENNO S q’, ‘KAK p, TAK I q’, ‘NE TOLXKO p, NO I q’, ‘NE TOLXKO q, NO I p’, ‘p, NESMOTRQ NA q’, ‘q, NESMOTRQ NA p’ I T.D. nAPRIMER, WYSKAZYWANIE (e) PREDSTAWLQET SOBOJ KON_@NKCI@ [ESTI \LEMENTARNYH WYSKAZYWANIJ, ISTINNOSTX KAVDOGO IZ KOTORYH MOVET RASSMATRIWATXSQ PO OTDELXNOSTI: ‘NET WLASTI BOLEE GUMANNOJ, ^EM WLASTX IMPERATORA kLAWDIQ tIBERIQ’, ‘NE BYLO WLASTI BOLEE GUMANNOJ, ^EM WLASTX IMPERATORA kLAWDIQ tIBERIQ’, ‘NIKOGDA NE BUDET WLASTI BOLEE GUMANNOJ, ^EM WLASTX IMPERATORA kLAWDIQ tIBERIQ’ I TRI ANALOGI^NYH WYSKAZYWANIQ S ZAMENOJ ‘GUMANNOSTI’ NA ‘SPRAWEDLIWOSTX’. w OTDELXNYH SLU^AQH KON_@NKCIQ W RAZGOWORNOM QZYKE MOVET PEREDAWATXSQ DAVE SO@ZOM ‘ILI’, NO MY NIKOGDA NE BUDEM ISPOLXZOWATX ‘ILI’ W \TOM ZNA^ENII.

4. dIZ_@NKCIQ _ SOOTWETSTWUET FUNKCII OR INFORMATIKI. nA-

POMNIM, ^TO \TO NERAZDELITELXNOE (alias NEISKL@^ITELXNOE, ILI,

KAK GOWORQT LOGIKI, ‘NE\KSKL@ZIWNOE’) ‘ILI’. tAKIM OBRAZOM, PO DWUM WYSKAZYWANIQM p I q STROITSQ WYSKAZYWANIE p_q OZNA^A@]EE, ^TO WYPOLNQETSQ PO KRAJNEJ MERE ODNO IZ WYSKAZYWANIJ p I q – ILI OBA. w OBY^NOM QZYKE DIZ_@NKCIQ ^A]E WSEGO PEREDAETSQ SO@ZOM ‘ILI’ (‘p

ILI q’), NO MOVET WYRAVATXSQ I DRUGIMI, \MFATI^ESKIMI SREDSTWAMI ‘p ILI q ILI OBA’, ‘p I/ILI q’ (\TA FORMA PRI[LA W RUSSKIJ QZYK SRAWNITELXNO NEDAWNO POD WLIQNIEM ANGLIJSKOGO @RIDI^ESKOGO I DELOWOGO ‘and/or’), ‘HOTQ BY ODNO IZ p ILI q’, ‘p, ESLI NE q’, ‘q, ESLI NE p’ I T.D. kSTATI, GENETI^ESKI SIMWOL _ PREDSTAWLQET SOBOJ PROSTO PERWU@ BUKWU LATINSKOGO SO@ZA ‘vel’ — ‘ILI’, A SIMWOL DLQ KON_@NKCII & — PEREWERNUTYJ SIMWOL _. nAPRIMER, WYSKAZYWANIE (f) PREDSTAWLQET SOBOJ DIZ_@NKCI@ DWUH WYSKAZYWANIJ: ‘DINOZAWRY NE SMOGLI SU]E- STWITX PLAN POLNOGO UNI^TOVENIQ MLEKOPITA@]IH’ I ‘DINOZAWRY NE ZAHOTELI OSU]ESTWITX PLAN POLNOGO UNI^TOVENIQ MLEKOPITA@]IH’.

5.|KSKL@ZIWNAQ DIZ_@NKCIQ. w \TOJ SWQZI ZAMETIM, ^TO IMEETSQ E]E ODNA PROPOZICIONALXNAQ SWQZKA, NE IME@]AQ, WPRO^EM, OB]EPRINQTOGO NAZWANIQ I OBOZNA^ENIQ, KOTORAQ OTWE^AET FUNKCII

XOR INFORMATIKI, T.E. RAZDELITELXNOMU (alias ISKL@^ITELXNO-

MU ILI, KAK GOWORQT LOGIKI, \KSKL@ZIWNOMU) ‘ILI’. |TA SWQZKA, KOTORU@ MY BUDEM OBOZNA^ATX ^EREZ 4, STROIT PO DWUM WYSKAZYWANIQM p I q NOWOE WYSKAZYWANIE p 4 q, SOSTOQ]EE W TOM, ^TO WYPOLNQETSQ ROWNO ODNO IZ WYSKAZYWANIJ p LIBO q, NO NE OBA. w OBY^NOM QZYKE RAZDELITELXNAQ DIZ_@NKCIQ ^A]E WSEGO WYRAVAETSQ KONSTRUKCIQMI ‘ILI p, ILI q’, ‘LIBO p, LIBO q’, ILI VE, ESLI NUVNA OSOBAQ TO^NOSTX, TO KONSTRUKCIQMI ‘p LIBO q, NO NE OBA’, ‘ROWNO ODNO IZ p ILI q.

6.wYRAVENIE DIZ_@NKCII W RAZGOWORNOM I NAU^NOM QZY-

KE. rAZLI^IE MEVDU RAZDELITELXNYM I NERAZDELITELXNYM ZNA^ENIQMI ‘ILI’ ^ETKO PROSLEVIWAETSQ W LATYNI, GDE W RAZDELITELXNOM SMYSLE ISPOLXZUETSQ ISKL@^ITELXNO SO@Z ‘aut’, KAK W SLEDU@]EM WYRAVENII: “aut Caesar, aut nihil” (“LIBO PAN, LIBO PROPAL”). wYBOR IZ DWUH WZAIMOISKL@^A@]IH WOZMOVNOSTEJ, KAK W \TOM SLU^AE, NAZYWAETSQ ALXTERNATIWOJ ILI, INOGDA, DIHOTOMIEJ. sOWREMENNYE QZYKI NE WSEGDA STOLX ODNOZNA^NY. kLINI [Kl] PRIWODIT SLEDU@]IJ PRIMER. uWIDEW W TURISTSKOM MEN@ RESTORANA FRAZU “^AJ ILI KOFE BESPLATNO”, MY DOLVNY BYTX GOTOWY ZAPLATITX, ZAKAZAW ODNOWREMENNO I TO I DRUGOE. wO FRAZE kXERKEGORA “ILI — ILI” (PO-DATSKI “enten

—eller”, PO-ANGLIJSKI “either — or”, PO-NEMECKI “entweder — oder”)

IMEETSQ W WIDU IMENNO ALXTERNATIWA. s DRUGOJ STORONY, PROIZNOSQ FRAZU “x LIBO DURAK, LIBO MERZAWEC”, GOWORQ]IJ NE IMEET, KAK PRAWILO, NAMERENIQ ISKL@^ATX WOZMOVNOSTX TOGO, ^TO x POPADAET W OBE \TI KATEGORII ODNOWREMENNO. ~TOBY ZAPUTATX POLOVENIE E]E BOLX[E, W RAZGOWORNOM QZYKE DIZ_@NKCIQ ^ASTO PEREDAETSQ SO@ZOM ‘I’. tAK, FRAZU “KNIGI BYWA@T HORO[IE I PLOHIE” NE SLEDUET, WIDIMO, PONIMATX KAK KON_@NKCI@ DWUH UTWERVDENIJ “SU]ESTWU@T HORO[IE KNIGI” I

“SU]ESTWU@T PLOHIE KNIGI”. sKOREE WSEGO, GOWORQ]IJ IMEL W WIDU SLEDU@]EE UTWERVDENIE “L@BAQ KNIGA QWLQETSQ LIBO HORO[EJ, LIBO PLOHOJ”.

qSNO, ^TO TAKOE SME[ENIE SOWER[ENNO NEDOPUSTIMO TAM GDE NUVNA TO^NOSTX, W ^ASTNOSTI, W NAU^NOM QZYKE. pO\TOMU W DALXNEJ[EM MY BUDEM ISPOLXZOWATX ‘I’ TOLXKO DLQ OBOZNA^ENIQ KON_@NKCII, ‘ILI’ TOLXKO DLQ OBOZNA^ENIQ NERAZDELITELXNOJ DIZ_@NKCII (T.E. KAK PEREWOD LATINSKOGO ‘vel’), A ‘LIBO’ TOLXKO DLQ OBOZNA^ENIQ RAZDELITELXNOJ DIZ_@NKCII (T.E. KAK PEREWOD LATINSKOGO ‘aut’). tAKIM OBRAZOM, FRAZA “KAVDOE NENULEWOE CELOE ^ISLO QWLQETSQ POLOVITELXNYM I OTRICATELXNYM” NEWERNA (PRI OBY^NOM PONIMANII WHODQ]IH W NEE SLOW!), A FRAZY “KAVDOE NENULEWOE CELOE ^ISLO QWLQETSQ POLOVITELXNYM ILI OTRICATELXNYM” I “KAVDOE NENULEWOE CELOE ^ISLO QWLQETSQ LIBO POLOVITELXNYM, LIBO OTRICATELXNYM” OBE WERNY, NO WTORAQ TO^NEE, TAK KAK ONA ISKL@^AET WOZMOVNOSTX TOGO, ^TO KAKOE-TO ^ISLO ODNOWREMENNO QWLQETSQ I POLOVITELXNYM I OTRICATELXNYM.

7.iMPLIKACIQ =) STROIT PO DWUM WYSKAZYWANIQM p I q NOWOE WYSKAZYWANIE p =) q, OZNA^A@]EE, ^TO ‘IZ p SLEDUET q’, alias ‘IZ p WYTEKAET q’, ‘p WLE^ET q’ (ILI, KAK GOWORQT LOGIKI, ‘p IMPLICIRUET q’). nA OBY^NOM QZYKE p =) q OBY^NO WYRAVAETSQ FRAZAMI TIPA ‘ESLI p, TO q’, ‘p, TOLXKO ESLI q’, ‘W SLU^AE p, IMEET MESTO q’, ‘p DOSTATO^NO DLQ q’, ‘DLQ p NEOBHODIMO q’, ‘p SILXNEE, ^EM q’. ~ASTO UDOBNO RASSMATRIWATX OBRATNU@ IMPLIKACI@ (=. pO OPREDELENI@ p (= q OZNA^AET ‘p SLEDUET IZ q’, alias ‘p WYTEKAET IZ q’, ‘p, ESLI q’, ‘p QWLQETSQ SLEDSTWIEM q’, ‘DLQ p DOSTATO^NO q’, ‘p NEOBHODIMO DLQ q’, ‘p KAVDYJ RAZ KAK q’, ‘p W PREDPOLOVENII q’, ‘p SLABEE, ^EM q’.

8.|KWIWALENCIQ () STROIT PO DWUM WYSKAZYWANIQM p I q NOWOE WYSKAZYWANIE p () q, QWLQ@]EESQ SOKRA]ENIEM DLQ KON_@NKCII DWUH IMPLIKACIJ p =) q I p (= q. tAKIM OBRAZOM, WYSKAZYWANIE p () q OZNA^AET, ^TO ‘p RAWNOSILXNO q’, alias ‘p \KWIWALENTNO q’. w OBY^NOM QZYKE WYSKAZYWANIE p () q PEREDAETSQ KONSTRUKCIQMI ‘p, ESLI I TOLXKO ESLI q’, ‘p TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA q’, ‘p W SLU^AE q I TOLXKO W \TOM SLU^AE’, ‘IZ p WYTEKAET q I OBRATNO’, ‘IZ p SLEDUET q I OBRATNO’, ‘ESLI p, TO q I OBRATNO’, ‘p KAVDYJ RAZ KAK q I OBRATNO’, ‘DLQ p NEOBHODIMO I DOSTATO^NO q’, ‘p NEOBHODIMO I DOSTATO^NO DLQ q’. w MATEMATI^ESKOM QZYKE WYSKAZYWANIQ WIDA p () q WSTRE- ^A@TSQ NASTOLXKO ^ASTO, ^TO OSTRO O]U]AETSQ OTSUTSTWIE W OBY^NOM QZYKE PROSTOGO SO@ZA SO ZNA^ENIEM (). ~TOBY ISPRAWITX POLOVENIE NEKOTORYE ANGLOQZY^NYE MATEMATIKI ISPOLXZU@T WYDUMANNYJ SO@Z ‘i ’ W KA^ESTWE SOKRA]ENIQ DLQ ‘if and only if’. bYLI PREDLOVENIQ

{ATAPATHA-bRAHMANA

1. zNA^ENIQ ISTINNOSTI. wYSKAZYWANIQM MOVNO PRIPISYWATX RAZLI^NYE ZNA^ENIQ ISTINNOSTI. w KLASSI^ESKOJ LOGIKE IMEETSQ TOLXKO DWA ZNA^ENIQ ISTINNOSTI, A IMENNO LOVX I ISTINA. oCENKOJ ISTINNOSTI NAZYWAETSQ SOPOSTAWLENIE KAVDOMU WYSKAZYWANI@ NEKOTOROGO ZNA^ENIQ ISTINNOSTI, SOGLASOWANNOE S PROPOZICIONALXNYMI SWQZKAMI, W SMYSLE, KOTORYJ NAMEREWAEMSQ UTO^NITX. iNYMI SLOWAMI, OCENKA ISTINNOSTI — \TO FUNKCIQ v, OPREDELENNAQ NA WYSKAZYWANIQH I PRINIMA@]AQ ZNA^ENIQ 0 (‘LOVX’) I 1 (‘ISTINA’). wYSKAZYWANIE p, DLQ KOTOROGO v(p) = 0 NAZYWAETSQ LOVNYM (OTNOSITELXNO DANNOJ OCENKI v), A WYSKAZYWANIE p, DLQ KOTOROGO v(p) = 1 NAZYWAETSQ

ISTINNYM.

~ASTO ZNA^ENIQ ISTINNOSTI OBOZNA^A@TSQ INA^E. nAPRIMER, W ANGLOQZY^NOJ I ORIENTIRU@]EJSQ NA NEE LITERATURE PRINQTO OBOZNA^E- NIE ‘F’ DLQ ‘LVI’ OT ANGLIJSKOGO ‘false’ I ‘T’ DLQ ‘ISTINY’ OT ANGLIJSKOGO ‘true’, (WPRO^EM, Q SLY[AL OT NEMECKIH MATEMATIKOW WERSI@, ^TO F

I T QWLQ@TSQ PERWYMI BUKWAMI SLOW ‘Falsch’ I ‘Trivial’: ‘Das ist Falsch oder Trivial’). w LITERATURE NA ROMANSKIH QZYKAH DLQ ISTINNOSTNYH ZNA^ENIJ OBY^NO ISPOLXZU@TSQ BUKWY ‘F’ I ‘V’ (OT FRANCUZSKOGO ‘faux’ I ‘vrai’ ILI ITALXQNSKOGO ‘falso’ I ‘vero’). wPRO^EM, DLQ POSLEDU@]E- GO ABSOL@TNO NEWAVNO, KAK IMENNO OBOZNA^A@TSQ (I KAK NAZYWA@TSQ) ISTINNOSTNYE ZNA^ENIQ, WAVNO LI[X, ^TO IH TOLXKO DWA I ^TO SOPOSTAWLENIE WYSKAZYWANIQM IH ISTINNOSTNYH ZNA^ENIJ PERESTANOWO^NO S PROPOZICIONALXNYMI SWQZKAMI. mOVNO, NAPRIMER, KLASSIFICIROWATX WYSKAZYWANIQ NA BELYE I ^ERNYE, WAVNO LI[X TAK OPREDELITX NA ZNA^ENIQH ISTINNOSTI ‘BELOE’ I ‘^ERNOE’ DEJSTWIE SWQZOK, ^TOBY WYPOLNQLISX RAWENSTWA ‘BELOE I ^ERNOE = BELOE’, ‘BELOE ILI ^ERNOE = ^ERNOE’ I T.D.

2. oCENKI ISTINNOSTI. sFORMULIRUEM TEPERX ^UTX TO^NEE, W ^EM SOSTOIT USLOWIE NA OCENKU ISTINNOSTI. 1) sOPOSTAWLENIE ISTINNOSTI \LEMENTARNYM WYSKAZYWANIQM SOWER[ENNO PROIZWOLXNO. (w DEJSTWITELXNOSTI, KONE^NO, \TO NE SOWSEM TAK, NO PRI^INY, PO KOTORYM TE ILI INYE \LEMENTARNYE WYSKAZYWANIQ PROWOZGLA[A@TSQ ISTINNYMI ILI LOVNYMI, LEVAT ZA PREDELAMI LOGIKI WYSKAZYWANIJ.) 2) iSTINNOSTNOE ZNA^ENIE, SOPOSTAWLQEMOE SOSTAWNYM WYSKAZYWANIQM :p, p & q, p _ q, p =) q, p () q ZAWISIT NE OT SAMIH WYSKAZYWANIJ p I q, A TOLXKO OT IH ISTINNOSTNYH ZNA^ENIJ — \TO I IMELOSX W WIDU WY[E, KOGDA MY GOWORILI O ‘PERESTANOWO^NOSTI’ OCENKI SO SWQZKAMI. |TO ZNA^IT, ^TO KOLX SKORO MY ZNAEM v(p) DLQ WSEH \LEMENTARNYH

WYSKAZYWANIJ, MY MOVEM WY^ISLITX ZNA^ENIE v NA WSEH OSTALXNYH WYSKAZYWANIQH. w \TOM I SOSTOIT ZADA^A IS^ISLENIQ WYSKAZYWANIJ.

3. bULEWY FUNKCII. rAZUMEETSQ, ^TOBY GOWORITX O TOM, ^TO OCENKA ISTINNOSTI ‘PERESTANOWO^NA’ S PROPOZICIONALXNYMI SWQZKAMI, MY DOLVNY E]E OPREDELITX REZULXTAT PRIMENENIQ \TIH SWQZOK K ZNA- ^ENIQM ISTINNOSTI. pUSTX ® — BULEWA PEREMENNAQ, T.E. PEREMENNAQ, PRINIMA@]AQ ZNA^ENIQ 0 I 1. fUNKCIQ, ARGUMENTAMI KOTOROJ QWLQ@TSQ BULEWY PEREMENNYE I KOTORAQ SAMA PRINIMAET ZNA^ENIQ 0 I

1 NAZYWAETSQ BULEWOJ FUNKCIEJ (ILI BULEWOJ OPERACIEJ, NO TER-

MIN BULEWA OPERACIQ ^ASTO PONIMAETSQ W ^UTX DRUGOM SMYSLE). mY DOLVNY SOPOSTAWITX KAVDOJ PROPOZICIONALXNOJ SWQZKE NEKOTORU@ BULEWU FUNKCI@ OT ODNOGO ILI DWUH ARGUMENTOW, TAK, ^TOBY EE OPREDELENIE SOOTWETSTWOWALO INTUITIWNOMU SMYSLU \TOJ SWQZKI. pRI \TOM MY SOHRANIM DLQ \TIH BULEWYH FUNKCIJ TE VE NAZWANIQ I OBOZNA^ENIQ, ^TO I DLQ SOOTWETSTWU@]IH PROPOZICIONALXNYH SWQZOK. sOWER[ENNO QSNO, KAK SLEDUET PONIMATX NEGACI@ :®, A IMENNO, MY DOLVNY POLOVITX :0 = 1 I :0 = 1.

tO^NO TAK VE, FORMALXNYE OPREDELENIQ OSTALXNYH SWQZOK NA PARAH BULEWYH PEREMENNYH ® I ¯ DOLVNY SOOTWETSTWOWATX IH INTUITIWNOMU SMYSLU, OB_QSNENNOMU W PREDYDU]EM PUNKTE. tAK, NAPRIMER, KON_- @NKCIQ DWUH WYSKAZYWANIJ DOLVNA BYTX ISTINNYM WYSKAZYWANIEM W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA OBA WYSKAZYWANIQ ISTINNY. |TO ZNA- ^IT, ^TO MY OPREDELQEM KON_@NKCI@ BULEWYH PEREMENNYH ® & ¯ SLEDU@]IM OBRAZOM: 1 & 1 = 1 I ® & ¯ = 0 WO WSEH OSTALXNYH SLU^AQH (T.E. 0 & 0 = 0, 0 & 1 = 0, 1 & 0 = 0). iNYMI SLOWAMI, &

— \TO W TO^NOSTI TO, ^TO ESTESTWENNO PONIMATX POD PROIZWEDENIEM BULEWYH PEREMENNYH ® I ¯.

aNALOGI^NO, DIZ_@NKCIQ DWUH WYSKAZYWANIJ DOLVNA BYTX ISTINNYM WYSKAZYWANIEM W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA HOTQ BY ODNO IZ \TIH WYSKAZYWANIJ ISTINNO. |TO ZNA^IT, ^TO MY OPREDELQEM DIZ_- @NKCI@ BULEWYH PEREMENNYH ® _ ¯ SLEDU@]IM OBRAZOM: 0 _ 0 = 0 I ®_¯ = 1 WO WSEH OSTALXNYH SLU^AQH (T.E. 0_1 = 1, 1_0 = 1, 1_1 = 1). dIZ_@NKCIQ NE ESTX TO, ^TO PONIMAETSQ POD SUMMOJ DWUH BULEWYH PEREMENNYH W INFORMATIKE (‘SUMMA PO MODUL@ 2’). nAPOMNIM, ^TO SUMMA ® + ¯ DWUH BULEWYH PEREMENNYH OPREDELQETSQ PO^TI TAK VE, KAK DIZ_@NKCIQ, NO 1 + 1 = 0. tAKIM OBRAZOM, SUMMA BULEWYH PEREMENNYH W TO^NOSTI SOOTWETSTWUET RAZDELITELXNOJ DIZ_@NKCII, A DLQ SOBSTWENNO DIZ_@NKCII IMEET MESTO FORMULA ® _ ¯ = ® + ¯ + ® & ¯.

kAK I DRUGIE BINARNYE BULEWY OPERACII (T.E. BULEWY FUNKCII OT DWUH ARGUMENTOW), KON_@NKCIQ, DIZ_@NKCIQ I RAZDELITELXNAQ DIZ_-

@NKCIQ (SUMMA) NAGLQDNEE WSEGO IZOBRAVAETSQ PRI POMO]I SWOIH TABLIC k\LI. sTROKI TABLICY k\LI SOOTWETSTWU@T ZNA^ENIQM PEREMENNOJ ®, A STOLBCY — ZNA^ENIQM PEREMENNOJ ¯, PRI^EM NA PERESE^ENII STROKI S NOMEROM ® SO STOLBCOM S NOMEROM ¯ STAWITSQ ZNA^ENIE FUNKCII f NA PARE ARGUMENTOW ® I ¯ (W TAKOM PORQDKE). iZOBRAZIM TABLICY k\LI \TIH OPERACIJ:

pEREJDEM TEPERX K POSTROENI@ BULEWYH FUNKCIJ, OTWE^A@]IH OSTAW- [IMSQ SWQZKAM =), (= I (). pO SMYSLU IMPLIKACII IZ ISTINY DOLVNA SLEDOWATX TOLXKO ISTINA, A IZ LVI — ^TO UGODNO (KAK WSEGDA, \TO OTNOSITSQ LI[X K KLASSI^ESKOJ LOGIKE, W LOGIKE KONSTRUKTIWISTOW IZ LVI SLEDUET NE ^TO UGODNO, A LI[X WTOROE OTRICANIE ^EGO UGODNO). |TO ZNA^IT, ^TO 1 =) 0 = 0 I ® =) ¯ = 1 WO WSEH OSTALXNYH SLU^AQH

(T.E. 0 _ 0 = 1, 0 _ 1 = 1, 1 _ 1 = 1).

wPRO^EM, LOGIKI ^ASTO IZOBRAVA@T BULEWY FUNKCII NE POSREDSTWOM TABLIC k\LI, A POSREDSTWOM TABLIC ISTINNOSTI, KOTORYE STANOWQTSQ UDOBNEE, ESLI RASSMATRIWA@TSQ FUNKCII OT TREH ILI ^ETYREH ARGUMENTOW (IZOBRAVENIE TABLIC ISTINNOSTI DLQ FUNKCIJ BOLX[EGO ^ISLA ARGUMENTOW STANOWITSQ SOWER[ENNO NEPRAKTI^NYM). w TABLICE ISTINNOSTI DO WERTIKALXNOJ ^ERTY IZOBRAVA@TSQ WSE WOZMOVNYE NABORY ZNA^ENIJ ARGUMENTOW (^ISLO TAKIH NABOROW RAWNO 2n DLQ n ARGUMENTOW)

x ?. iS^ISLENIE PREDIKATOW

iS^ISLENIE WYSKAZYWANIJ ANALIZIRUET POSTROENIE SOSTAWNYH WYSKAZYWANIJ IZ \LEMENTARNYH WYSKAZYWANIJ. iS^ISLENIE PREDIKATOW IDET NA ODIN [AG GLUBVE W SWOEM ANALIZE. w NEM, KROME TOGO,

RASSMATRIWAETSQ SUB_EKTNO-PREDIKATNAQ STRUKTURA \LEMENTAR-

NYH WYSKAZYWANIJ.

sUB_EKT I PREDIKAT. s TO^KI ZRENIQ IS^ISLENIQ PREDIKATOW \LEMENTARNOE WYSKAZYWANIE SOSTOIT IZ SUB_EKTA (ILI SUB_EKTOW) I