vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

² fORMULY DE mORGANA, cont. pUSTX [ I \ — OBOZNA^A@T SOOTWETSTWENNO OBRAZOWANIE WERHNEJ OGIBA@]EJ I NIVNEJ OGIBA@]EJ WE]ESTWENNYH FUNKCIJ. tOGDA

¡(f [ g) = ¡f \ ¡g; ¡(f \ g) = ¡f [ ¡g:

² zAMYKANIE I WNUTRENNOSTX. zAMYKANIE QWLQETSQ \NDOMORFIZMOM MNOVESTWA (2Z; [), A WNUTRENNOSTX – \NDOMORFIZMOM (2Z; \).

Clos(A [ B) = Clos(A) [ Clos(B); Int(A \ B) = Int(A) \ Int(B):

²pROIZWODNOE MNOVESTWO. w ANALIZE S PODMNOVESTWOM A µ X TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA X ^ASTO SWQZYWAETSQ MNOVESTWO EGO TO^EK NAKOPLENIQ Ad, NAZYWAEMOE TAKVE PROIZWODNYM MNOVESTWOM. nAPOMNIM, ^TO TO^KA x 2 X NAZYWAETSQ TO^KOJ NAKOPLENIQ MNOVESTWA A, ESLI x 2 Clos(A n fxg. pROWERXTE, ^TO (A [ B)d = Ad [ Bd.

²oCENKA ISTINNOSTI.

²fUNKCIONAL mINKOWSKOGO. pUSTX V — WE]ESTWENNOE WEKTORNOE PROSTRANSTWO. pODMNOVESTWO X µ V NAZYWAETSQ POGLO]A@- ]IM, ESLI DLQ L@BOGO v 2 V SU]ESTWUET ¸ 2 R+ TAKOE, ^TO v 2

¸X = f¸x; x 2 Xg, WYPUKLYM, ESLI DLQ L@BYH x; y 2 X, I L@BYH

¸; ¹ 2 R+, ¸ + ¹ = 1, IMEEM ¸x + ¹y 2 X, I URAWNOWE[ENNYM, ESLI DLQ L@BOGO x 2 X I L@BOGO ¸ 2 R, j¸j < 1, IMEEM ¸x 2 X. kAVDOMU POGLO]A@]EMU WYPUKLOMU URAWNOWE[ENNOMU MNOVESTWU X µ X

MOVNO SOPOSTAWITX EGO FUNKCIONAL mINKOWSKOGO pX : V ¡! R+,

OPREDELQEMYJ KAK pX(v) = inff¸ 2 R+ j v 2 ¸Xg. pROWERXTE, ^TO ESLI X; Y µ V DWA POGLO]A@]IH WYPUKLYH URAWNOWE[ENNYH MNOVESTWA, TO IH PERESE^ENIE X \ Y TAKVE QWLQETSQ POGLO]A@]IM WYPUKLYM I URAWNOWE[ENNYM, PRI^EM pX\Y = pX [ pY .

² oRTOGONALXNOE DOPOLNENIE. pUSTX V – \WKLIDOWO PROSTRAN-

STWO NAD R SO SKALQRNYM PROIZWEDENIEM B : V £ V ¡! R. tOGDA KAVDOMU X · V MOVNO SOPOSTAWITX EGO ORTOGONALXNOE DOPOLNENIE X? = fv 2 V j B(X; v) = 0g · V . lEGKO PROWERITX, ^TO

(X + Y )? = X? \ Y ?; (X \ Y )? = X? + Y ?:

x 7. aRIFMETI^ESKIE FUNKCII

w \TOM PARAGRAFE RASSMATRIWA@TSQ ARIFMETI^ESKIE FUNKCII, T.E. OTOBRAVENIQ f : N ¡! C. wPRO^EM, INOGDA TERMIN ARIFMETI^E- SKAQ FUNKCIQ UPOTREBLQ@T I W PRIMENENII K OTOBRAVENIQM f : Z ¡!

C. sPECIALISTY PO TEORII ^ISEL NAZYWA@T ARIFMETI^ESKU@ FUNK-

CI@ f MULXTIPLIKATIWNOJ, ESLI f(mn) = f(m)f(n) DLQ WZAIMNO PROSTYH m; n 2 N. fUNKCII VE MULXTIPLIKATIWNYE W NA[EM SMYSLE, T.E. TAKIE, ^TO f(mn) = f(m)f(n) DLQ L@BYH m; n 2 N, W TEORII ^ISEL PRINQTO NAZYWATX WPOLNE MULXTIPLIKATIWNYMI. aNALOGI^NO, ARIFMETI^ESKAQ FUNKCIQ f NAZYWAETSQ ADDITIWNOJ, ESLI f(mn) = f(m) + f(n) DLQ WZAIMNO PROSTYH m; n 2 N, I WPOLNE AD-

DITIWNOJ, ESLI f(mn) = f(m) + f(n) DLQ L@BYH m; n 2 N.

²fUNKCIQ Ω(n). pUSTX n = pm1 1 : : : pms s – KANONI^ESKOE RAZLOVENIE NATURALXNOGO n NA PROSTYE. oBOZNA^IM ^EREZ Ω(n) = m1 + : : : + ms KOLI^ESTWO WSEH (NE OBQZATELXNO RAZLI^NYH!) PROSTYH DELITELEJ ^ISLA n. tOGDA Ω(mn) = Ω(m) + Ω(n). w TO VE WREMQ FUNKCIQ !(n) = s, RAWNAQ KOLI^ESTWU RAZLI^NYH PROSTYH DELITELEJ ^ISLA n, ADDITIWNA, NO NE WPOLNE ADDITIWNA.

²fUNKCIQ lIUWILLQ. pUSTX, KAK I WY[E, n = pm1 1 : : : pms s —

KANONI^ESKOE RAZLOVENIE NATURALXNOGO n NA PROSTYE. fUNKCIQ lIUWILLQ OPREDELQETSQ KAK ¸(n) = (¡1)Ω(n) = (¡1)m1+:::+ms . lEGKO

WIDETX, ^TO ¸(xy) = ¸(x)¸(y).

²hARAKTER dIRIHLE. aRIFMETI^ESKAQ FUNKCIQ Â : Z ¡! C NAZYWAETSQ HARAKTEROM dIRIHLE PO MODUL@ m, ESLI 1) ONA WPOLNE MULXTIPLIKATIWNA, T.E. Â(kl) = Â(k)Â(l), DLQ WSEH CELYH k; l, 2) ZNA^E- NIE Â(l) ZAWISIT TOLXKO OT KLASSA l PO MODUL@ m, T.E. Â(l + m) = Â(l), I 3) Â(l) = 0 W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA l NE WZAIMNO PROSTO S m.

²sIMWOL lEVANDRA. pUSTX a 2 Z, A p 2 P — NE^ETNOE PROSTOE. tOGDA SIMWOL lEVANDRA ³ap ´ OPREDELQETSQ KAK +1, ESLI a WZAIMNO

PROSTO S p I QWLQETSQ KWADRATOM PO MODUL@ p; ¡1, ESLI a WZAIMNO PROSTO S p I NE QWLQETSQ KWADRATOM PO MODUL@ p; I, NAKONEC, 0, ESLI a DELITSQ NA p. sIMWOL lEVANDRA MULXTIPLIKATIWEN PO PERWOMU

sIMWOL qKOBI MULXTIPLIKATIWEN KAK PO PERWOMU, TAK I PO WTOROMU

ARGUMENTU:

GDE a; b 2 Z, A m; n 2 N — NE^ETNYE NATURALXNYE > 1.

²~ISLA fIBONA^^I. gcd(Fm; Fn) = Fgcd(m;n).

²~ISLA mERSENNA. dLQ L@BOGO a > 1 OTOBRAVENIE n 7!an ¡ 1 QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM OTNOSITELXNO gcd. iNYMI SLOWAMI, DLQ L@BYH m; n 2 N, IMEEM gcd(am ¡ 1; an ¡ 1) = agcd(m;n) ¡ 1.

x 8. kOMPONENTY GOMOMORFIZMOW

²dIFFERENCIROWANIQ.

tEOREMY SLOVENIQ. tEOREMY SLOVENIQ OZNA^A@T, ^TO FUNKCIQ f QWLQETSQ LIBO GOMOMORFIZMOM, LIBO KOMPONENTOJ GOMOMORFIZMA.

² tRIGONOMETRI^ESKIE FUNKCII.

sin(x+y) = sin(x) cos(y)+cos(x) sin(y); cos(x+y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y):

w DEJSTWITELXNOSTI, S TO^NOSTX@ DO AFFINNOJ ZAMENY PEREMENNOJ FUNKCII f = sin, g = cos QWLQ@TSQ EDINSTWENNYMI NEPRERYWNYMI RE[ENIQMI FUNKCIONALXNOGO URAWNENIQ f(x+y) = f(x)g(y)+g(x)f(y).

tg(x + y) = tg(x) + tg(y) : 1 ¡ tg(x) tg(y)

² gIPERBOLI^ESKIE FUNKCII.

x 9. kOMPOZICIQ GOMOMORFIZMOW

² lOGARIFM ABSOL@TNOJ WELI^INY. ln(jfgj) = ln(jfj) + ln(jgj).

² lOGARIFMI^ESKAQ PROIZWODNAQ. fUNKCIQ d (ln(f)) = f0 NA- dx f

ZYWAETSQ LOGARIFMI^ESKOJ PROIZWODNOJ FUNKCII f. lOGARIFM PEREWODIT PROIZWEDENIE W SUMMU, A PROIZWODNAQ ADDITIWNA, PO\TOMU

SOPOcTAWLENIE FUNKCII EE LOGARIFMI^ESKOJ PROIZWODNOJ QWLQETSQ GO-

(fg)0 = fg

f0 + g0 . f g

x 10. aNTIGOMOMORFIZMY

pUSTX (X; ¤) I (Y; ±) — DWA MNOVESTWA S ALGEBRAI^ESKIMI OPERACIQMI. oTOBRAVENIE f : X ¡! Y NAZYWAETSQ ANTIGOMOMORFIZMOM, ESLI

f(x ¤ y) = f(y) ± f(x)

DLQ WSEH x; y 2 X. tAKIM OBRAZOM, ANTIGOMOMORFIZM OTLI^AETSQ OT GOMOMORFIZMA TEM, ^TO ON OBRA]AET PORQDOK OPERANDOW. aNTIGOMOMORFIZM (X; ¤) W (X; ¤) NAZYWAETSQ ANTI\NDOMORFIZMOM,

aNTIGOMOMORFIZMY OTNOSITELXNO KOMPOZICII. w [KOLXNOM KURSE I W \LEMENTARNOM KURSE ANALIZA ANTIGOMOMORFIZMY (NE QWLQ- @]IESQ ODNOWREMENNO GOMOMORFIZMAMI!) WSTRE^A@TSQ REDKO, TAK KAK EDINcTWENNOJ NEKOMMUTATIWNOJ OPERACIEJ TAM QWLQETSQ KOMPOZICIQ OTOBRAVENIJ.

²oBRATNOE OTOBRAVENIE. rASSMOTRIM MNOVESTWO SX = Bij(X; X)

BIEKCIJ MNOVESTWA X NA SEBQ. tOGDA OTOBRAVENIE Á 7!Á¡1 SOPOSTAW-

LQ@]EE OBRATIMOMU Á QWLQETSQ ANTIAWTOMORFIZMOM SX, A IMENNO, (Á ± Ã)¡1 = á1 ± Á¡1

²zAMENA PEREMENNOJ. rASSMOTRIM MNOVESTWO SX = Map(X; X)

e

WSEH OTOBRAVENIJ MNOVESTWA X NA SEBQ. tOGDA OTOBRAVENIE Ã 7!Á QWLQETSQ ANTIGOMOMORFIZMOM Map(X; X) ¡! Map(KX; KX), A IMENNO,

]e e

Á± à = à ± Á

oDNAKO KAK TOLXKO MY WWODIM NEKOMMUTATIWNYE OPERACII, ANTIGOMOMORFIZMY WSTRE^A@TSQ NA KAVDOM [AGU.

mATRI^NYE ANTIGOMOMORFIZMY.

²oBRATNAQ MATRICA. pUSTX R — L@BOE KOLXCO, G = GL(n; R)

—MNOVESTWO KWADRATNYH OBRATIMYH MATRIC STEPENI n NAD R. tOGDA OBRA]ENIE G ¡! G, g 7!g¡1, QWLQETSQ ANTIGOMOMORFIZMOM PO UMNOVENI@ (gh)¡1 = h¡1g¡1

²tRANSPONIROWANNAQ MATRICA. pUSTX R — KOMMUTATIWNOE

KOLXCO, X = M(n; R) — MNOVESTWO WSEH KWADRATNYH MATRIC STEPENI n NAD R. tOGDA TRANSPONIROWANIE X ¡! X, x 7!xt, ZAMENQ@]EE

STROKI MATRICY NA EE STOLBCY (xij)t = (xji), QWLQETSQ ANTIAWTOMORFIZMOM PO UMNOVENI@ (xy)t = ytxt. kROME TOGO, \TO AWTOMORFIZM PO SLOVENI@ (x + y)t = xt + yt.

pREDOSTEREVENIE. bEZ PREDPOLOVENIQ KOMMUTATIWNOSTI KOLXCA R OPREDELENNOE TAK TRANSPONIROWANIE (KOTOROE W ALGEBRE PRINQTO NAZYWATX FORMALXNYM TRANSPONIROWANIEM), NE QWLQETSQ ANTIAWTOMORFIZMOM! kAK MY UZNAEM W KNIGE III, NASTOQ]EE TRANSPONIROWANIE \TO

OTOBRAVENIE

M(n; R) ¡! M(n; Ro); x 7!xt;

GDE Ro — KOLXCO, PROTIWOPOLOVNOE K R.

²pRISOEDINENNAQ MATRICA. pUSTX R, PO-PREVNEMU, KOMMUTA-

TIWNOE KOLXCO, X = M(n; R) — MNOVESTWO WSEH KWADRATNYH MATRIC STEPENI n NAD R. oBOZNA^IM ^EREZ xb PRISOEDINENNU@ K x MATRICU,

\LEMENT KOTOROJ xbij W POZICII (i; j) PREDSTAWLQET SOBOJ ALGEBRAI^E- SKOE DOPOLNENIE K \LEMENTU xji MATRICY x, T.E. OPREDELITELX MATRICY, POLU^A@]EJSQ IZ x WY^ERKIWANIEM j-J STROKI I i-GO STOLBCA, SO ZNAKOM (¡1)i+j. |TA MATRICA INOGDA NAZYWAETSQ TAKVE WZAIMNOJ K MATRICE x. tOGDA OTOBRAVENIE X ¡! X, x 7!xb, QWLQETSQ ANTIGOMOMORFIZMOM PO UMNOVENI@ xyc = ybxb.

²|RMITOWSKI SOPRQVENNAQ MATRICA. pUSTX X = M(n; C) —

MNOVESTWO WSEH KOMPLEKSNYH KWADRATNYH MATRIC STEPENI n. tOGDA \RMITOWO SOPRQVENIE X ¡! X, x 7!y¤, SOPOSTAWLQ@]EE MATRI-

CE x = (xij) MATRICU x¤ = (xji), QWLQETSQ ANTIAWTOMORFIZMOM PO UMNOVENI@ (xy)¤ = y¤x¤. kROME TOGO, \TO AWTOMORFIZM PO SLOVENI@

(x + y)¤ = x¤ + y¤.

²kWATERNIONNOE SOPRQVENIE. nAPOMNIM, ^TO SOPRQVENIE NA TELE KWATERNIONOW H ¡! H, z 7!z OPREDELQETSQ POSREDSTWOM

a + bi + cj + dk = a ¡ bi ¡ cj ¡ dk:

lEGKO PROWERITX, ^TO zw = w ¢ z. w DEJSTWITELXNOSTI z 7!z INWOL@CIQ TELA H, T.E., KROME TOGO, \TO AWTOMORFIZM PO SLOVENI@, z + w = z + w, PRI^EM INWOL@TIWNYJ, T.E. z = z.

x 11. pOLUGOMOMORFIZMY

nA MIFOLOGI^ESKOM UROWNE OSNOWNOE OTLI^IE ANALIZA OT ALGEBRY SOSTOIT WOWSE NE W TOM, ^TO W ANALIZE RASSMATRIWA@TSQ BESKONE^NOMESTNYE OPERACII, KAK \TO ^ASTO GOWORQT. w DEJSTWITELXNOSTI I W ALGEBRE ESTX RAZDELY, W KOTORYH SISTEMATI^ESKI RASSMATRIWA@TSQ BESKONE^NOMESTNYE OPERACII, HOTQ, KONE^NO, DELAETSQ \TO TAM INA^E, ^EM W ANALIZE, BEZ UPORA NA WOPROSY SHODIMOSTI. s DRUGOJ STORONY, W KONE^NOMERNOM WYPUKLOM ANALIZE NIKAKIH BESKONE^NOMESTNYH OPERACIJ NET, I TEM NE MENEE, PO OB]EMU PRIZNANI@ \TO WSE-TAKI ANALIZ. pODLINNOE OTLI^IE ANALIZA OT ALGEBRY SOSTOIT W TOM, ^TO TAM RASSMATRIWA@TSQ NE TOVDESTWA, A NERAWENSTWA; NE GOMOMORFIZMY, A

POLUGOMOMORFIZMY.

1. sUBGOMOMORFIZMY I SUPERGOMOMORFIZMY. dELO W TOM, ^TO W ANALIZE RASSMATRIWA@TSQ UPORQDO^ENNYE ALGEBRAI^ESKIE STRUKTURY. oTOOBRAVENIE f : X ¡! Y MNOVESTWA S OPERACIEJ (X; ¤) W MNOVESTWO S OPERACIEJ (Y; ±) NAZYWAETSQ POLUGOMOMORFIZMOM, ESLI ONO UDOWLETWORQET ODNOMU IZ SLEDU@]IH NERAWENSTW:

w PERWOM SLU^AE OTOBRAVENIE f ^ASTO NAZYWAETSQ SUBGOMOMORFIZMOM, A WO WTOROM SLU^AE – SUPERGOMOMORFIZMOM. pRIWEDEM NESKOLXKO KLASSI^ESKIH PRIMEROW

²nERAWENSTWO TREUGOLXNIKA. mODULX WE]ESTWENNOGO/KOMPLEKSNOGO ^ISLA OBLADAET SWOJSTWOM SUBADDITIWNOSTI, KOTOROE W \TOM SLU^AE NAZYWAETSQ NERAWENSTWOM TREUGOLXNIKA: jx + yj · jxj + jyj.

²rANG MATRICY. kAVDOJ MATRICE x 2 M(m; n; K) SOPOSTAWLQ-

ETSQ ^ISLENNYJ INWARIANT rk(K) 2 N0, NAZYWAEMYJ RANGOM. lEGKO WIDETX, ^TO rk(x + y) · rk(x) + rk(y).

²rAZMERNOSTX. pUSTX V — KONE^NOMERNOE WEKTORNOE PROSTRANSTWO, L — MNOVESTWO WSEH EGO PODPROSTRANSTW. rASSMOTRIM OTOBRAVENIE dim : L ¡! Z, SOPOSTAWLQ@]EE KAVDOMU PROSTRANSTWU X 2 L EGO RAZMERNOSTX. |TO OTOBRAVENIE SUBADDITIWNO dim(X + Y ) · dim(X) + dim(Y ) DLQ L@BYH X; Y 2 L. w DEJSTWITELXNOSTI \TO NERAWENSTWO QWLQETSQ SLEDSTWIEM BOLEE TO^NOGO UTWERVDENIQ, IZWESTNOGO KAK TEOREMA O RAZMERNOSTI SUMMY I PERESE^ENIQ dim(X + Y ) = dim(X) + dim(Y ) ¡ dim(X \ Y ).

²wYPUKLYE I WOGNUTYE FUNKCII.

² oBRAZ PERESE^ENIQ I RAZNOSTI. f(A \B) µ f(A) \f(B), f(A n

B) ¶ f(A) n f(B). zAMETIM, ^TO PRI DOPOLNITELXNOM PREDPOLOVENII B µ A IMEET MESTO RAWENSTWO f(A n B) = f(A) n f(B). oTMETIM, ^TO W WAVNOM ^ASTNOM SLU^AE, KOGDA f 2 Bij(X; Y ), IMEEM f(A \ B) = f(A) \ f(B).

² zAMYKANIE PERESE^ENIQ I WNUTRENNOSTX OB_EDINENIQ.

Clos(A \ B) µ Clos(A) \ Clos(B); Clos(A n B) ¶ Clos(A) n Clos(B)

.

Fr(A [ B) µ Fr(A) [ Fr(B):

Int(A [ B)? Int(A) [ Int(B):

² sUPREMUM I INFIMUM. sUPREMUM SUBADDITIWEN, A INFIMUM SUPERADDITIWEN

sup(f + g) · sup(f) + sup(g); inf(f + g) ¸ inf(f) + inf(g):

² wERHNIJ I NIVNIJ PREDEL. wERHNIJ PREDEL SUBADDITIWEN, A NIVNIJ PREDEL SUPERADDITIWEN

limx(f + g) · limx(f) + limx(g); limx(f + g) ¸ limx(f) + limx(g):

² pUSTX BV ¤[a; b] — MNOVESTWO FUNKCIJ OGRANI^ENNOJ WARIACII NA [a; b] S ZAKREPLENNYM KONCOM (T.E. TAKIH, ^TO f(a) = 0). oBOZNA^IM ^EREZ V (f) WARIACI@ FUNKCII f. tOGDA V (fg) · f(f)V (g).

x 12. nERAWENSTWO TREUGOLXNIKA

wEKTORNYE NORMY. pUSTX V — WEKTORNOE PROSTRANSTWO NAD K = C ILI R. fUNKCIQ k ¢ k : V ¡! R NAZYWAETSQ POLUNORMOJ, ESLI ONA NEOTRICATELXNA, T.E. kxk ¸ 0 DLQ WSEH x 2 V ; ABSOL@TNO ODNORODNA, T.E. k¸xk = j¸jkxk DLQ WSEH

¸ 2 K, x 2 V I UDOWLETWORQET NERAWENSTWU TREUGOLXNIKA kx + yk · kxk + kyk. pOLUNORMA k ¢ k NAZYWAETSQ NORMOJ, ESLI ONA POLOVITELXNA, T.E. kxk = 0 () x = 0 (ILI, INYMI SLOWAMI, kxk > 0 DLQ WSEH x =6 0). iNOGDA WMESTO kxk PI[UT N(x), TAK ^TO NERAWENSTWO TREUGOLXNIKA PRINIMAET WID N(x + y) · N(x) + N(y). w DALXNEJ[EM MY RASSMATRIWAEM n-MERNOE WEKTORNOE PROSTRANSTWO V = Kn, A ^EREZ xi OBOZNA^AETSQ i-Q KOORDINATA x PO OTNO[ENI@ K STANDARTNOMU BAZISU, x = (x1; : : : ; xn). eSLI B — POLOVITELXNO OPREDELENNOE SKALQRNOE PROIZWEDENIE NA V , TO kxk = B(x; x), SOPOSTAWLQ@]EE KAVDOMU WEKTORU (POLOVITELXNYJ) KWADRATNYJ

KORENX IZ EGO SKALQRNOGO KWADRATA, QWLQETSQ NORMOJ. iMENNO TAKOJ WID IMEET

² `2-NORMA, BOLEE IZWESTNAQ POD ALIASOM \WKLIDOWA NORMA, KOTORAQ OPREDE- s

Pn jxij2. nERAWENSTWO TREUGOLXNIKA DLQ \TOGO SLU^AQ NAZY-

i=1

WAETSQ NERAWENSTWOM kO[I.

dRUGIMI NAIBOLEE IZWESTNYMI PRIMERAMI NORM QWLQ@TSQ

² `1-NORMA kxk = jx1j + : : : + jxnj I

² `1-NORMA kxk = max jxij, IZWESTNAQ KAK NORMA RAWNOMERNOJ SHODIMO-

1·i·n

STI ILI NORMA ~EBY[EWA.

dLQ \TIH NORM NERAWENSTWO TREUGOLXNIKA SRAZU WYTEKAET IZ NERAWENSTWA TREUGOLXNIKA DLQ ABSOL@TNOJ WELI^INY. w ANALIZE [IROKO RASSMATRIWAETSQ SOWMEST-

NOE OBOB]ENIE WSEH \TIH PRIMEROW, A IMENNO, s

² `p-NORMA, kxkp = p Pn jxijp. IZWESTNAQ KAK NORMA gELXDERA, NERAWENSTWO

i=1

TREUGOLXNIKA W \TOM SLU^AE NAZYWAETSQ NERAWENSTWOM mINKOWSKOGO.

mATRI^NYE NORMY. nORMA NA WEKTORNOM PROSTRANSTWE M(n; K) NAZYWAETSQ MATRI^NOJ NORMOJ, ESLI, W DOPOLNENIE K OBY^NYM SWOJSTWAM WEKTORNOJ NORMY, ONA WYPUKLA PO OTNO[ENI@ K UMNOVENI@, kxyk · kxk kyk. nAPRIMER, IZ NERAWENSTWA TREUGOLXNIKA SRAZU WYTEKAET, ^TO

² `1-NORMA, OPREDELENNAQ KAK kxk1 = Pn jxijj, QWLQETSQ MATRI^NOJ NORMOJ.

i;j=1

² nERAWENSTWO kO[I OZNA^AET W TO^NOSTI, ^TO `2-NORMA, OPREDELENNAQ KAK

QWLQETSQ MATRI^NOJ NORMOJ. w SLU^AE WEKTORNYH PROSTRANSTW \TA NORMA NAZYWAETSQ \WKLIDOWOJ, NO W PRIMENENII K MATRICAM EE ^ASTO NAZYWA@T TAKVE NORMOJ gILXBERTA-{MIDTA, NORMOJ fROBENIUSA ILI NORMOJ {URA185.

NORMOJ kuk1 NA Kn,

² STRO^NAQ NORMA kxkr = max Pn jaijj, INDUCIROWANNAQ WEKTORNOJ NORMOJ

1·i·n j=1

kuk1,

²SPEKTRALXNAQ NORMA kxks, INDUCIROWANNAQ WEKTORNOJ NORMOJ kuk2.

²nERAWENSTWO mINKOWSKOGO. pOLOVIM