Vavilov_N_Konkretnaya_teoria_kolets

oGLAWLENIE

wWEDENIE

Was sind und was sollen die Ringe aSTRALXNYJ PLAN

pRIGOR[NQ FILOSOFEM

tEORIQ KOLEC: PUTEWODITELX PO LITERATURE tEORIQ KOLEC: a student's guide

1.kOLXCA I GOMOMORFIZMY

x 1. oPREDELENIE KOLXCA, PROSTEJ[IE SLEDSTWIQ IZ AKSIOM x 2. pERWYE PRIMERY KOLEC

x 3. nEKOTORYE OSNOWNYE KONSTRUKCII x 4. pODKOLXCA

x 5. gOMOMORFIZMY KOLEC

x 6. gOMOMORFIZMY, SWQZANNYE SO STRUKTUROJ KOLXCA

2.pOLQ I TELA

x 1. pOLQ I TELA, KONE^NYE POLQ x 2. pERWYE PRIMERY POLEJ

x 3. pOLQ ALGEBRAI^ESKIH ^ISEL x 4. pOLQ FUNKCIJ

x 5. tELO KWATERNIONOW

x 6. oBOB]ENNAQ ALGEBRA KWATERNIONOW x 7. cIKLI^ESKIE ALGEBRY

x 8. tELO gILXBERTA

3.sPECIALXNYE \LEMENTY KOLEC

x 1. oBRATIMYE \LEMENTY, MULXTIPLIKATIWNAQ GRUPPA x 2. rACIONALXNYE TOVDESTWA

x 3. dELITELI 0 I REGULQRNYE \LEMENTY x 4. nILXPOTENTY I UNIPOTENTY

x 5. aNALIZ PO fERMA: DUALXNYE ^ISLA x 6. iDEMPOTENTY I INWOL@CII

x 7. rADIKALXNYE \LEMENTY

4.kOLXCA FUNKCIJ I KOLXCA OPERATOROW

x 1. kOLXCO OPERATOROW x 2. kOLXCO FUNKCIJ

x 3. kOLXCA ALGEBRAI^ESKIH, \KSPONENCIALXNYH I TRIGONOMETRI^ESKIH MNOGO^LENOW

x 4. kOLXCA FUNKCIJ WE]ESTWENNOGO ANALIZA x 5. kOLXCO GOLOMORFNYH FUNKCIJ

x 6. kOLXCO dIRIHLE ARIFMETI^ESKIH FUNKCIJ x 7. fORMULA OBRA]ENIQ mEBIUSA

5. gOMOMORFIZMY KOLEC FUNKCIJ

x 1. zAMENA PEREMENNOJ

x 2. tEOREMA KOSINUSOW I TEOREMA hUA lOKENA x 3. pREDEL I USTRANENIE RAZRYWOW

x 4. pREOBRAZOWANIE fURXE

x 5. dISKRETNOE PREOBRAZOWANIE fURXE x 6. pREOBRAZOWANIE lAPLASA

x 7. mNOGO^LEN t\JLORA I RQD t\JLORA

6.sWERTKA I POLUGRUPPOWYE ALGEBRY

x 1. iZMENENIE PORQDKA SUMMIROWANIQ x 2. sWERTKA, USLOWIQ EE SU]ESTWOWANIQ

x 3. rAS[IRENNAQ POLUGRUPPOWAQ ALGEBRA x 4. pOLUGRUPPOWAQ ALGEBRA

x 5. sVATAQ POLUGRUPPOWAQ ALGEBRA

x 6. sKRU^ENNAQ POLUGRUPPOWAQ ALGEBRA

7.mNOGO^LENY I IH RODSTWENNIKI

x 1. kOLXCO MNOGO^LENOW x 2. sTEPENX MNOGO^LENA

x 3. oBRATIMYE I REGULQRNYE MNOGO^LENY x 4. kOLXCO MNOGO^LENOW lORANA

x 5. kOLXCO FORMALXNYH STEPENNYH RQDOW x 6. kOLXCO RQDOW lORANA

x 7. kOLXCO KOSYH MNOGO^LENOW

x 8. kOLXCO MNOGO^LENOW OT NEKOMMUTIRU@]IH PEREMENNYH x 9. dALXNEJ[IE WARIANTY KOLXCA MNOGO^LENOW

x 10. lINGWISTI^ESKIE RAZMY[LIZMY NA TEMU MNOGO^LENOW I MALO^LENOW

8.kOLXCA MATRIC

x 1. oSNOWNYE OPREDELENIQ, SWQZANNYE S MATRICAMI x 2. sLOVENIE MATRIC I UMNOVENIE NA SKALQR

x 3. uMNOVENIE MATRIC

x 4. wY^ISLENIQ S MATRICAMI

x 5. aLGEBRA KWADRATNYH MATRIC

x 6. nEKOTORYE WAVNEJ[IE TIPY MATRIC x 7. bLO^NYE MATRICY

x 8. aLGORITM {TRASSENA x 9. bESKONE^NYE MATRICY

9.iDEALY I FAKTOR-KOLXCA

x 1. oDNOSTORONNIE IDEALY x 2. dWUSTORONNIE IDEALY

x 3. pROSTOTA MATRI^NYH KOLEC

x 4. kOLXCA GLAWNYH IDEALOW: erste Fassung x 5. pOKRYTIE [AHMATNOJ DOSKI

x 6. sRAWNENIQ PO MODUL@ IDEALA

x 7. fAKTOR-KOLXCO PO MODUL@ IDEALA x 8. tEOREMY OB IZOMORFIZME

10.pROSTYE I MAKSIMALXNYE IDEALY x 1. pROSTYE IDEALY

x 2. mAKSIMALXNYE IDEALY

x 3. tEOREMA kRULLQ O SU]ESTWOWANII MAKSIMALXNYH IDEALOW x 4. hARAKTERISTIKA OBLASTI CELOSTNOSTI

gLAWA 1: kolxca i gomomorfizmy

x 1. oPREDELENIE KOLXCA, PROSTEJ[IE SLEDSTWIQ IZ AKSIOM

zDESX MY WWEDEM WTOROJ WAVNEJ[IJ TIP ALGEBRAI^ESKIH STRUKTUR, W KOTORYH OPREDELENY DWE OSNOWNYE OPERACII.

1. kOLXCA. dO SIH POR MY RASSMATRIWALI STRUKTURY S ODNOJ BINARNOJ OPERACIEJ. oDNAKO W DEJSTWITELXNOSTI NA OBY^NYH ^ISLOWYH MNOVESTWAH ZADANO DWE OPERACII: SLOVENIE I UMNOVENIE.

oPREDELENIE. nEPUSTOE MNOVESTWO R S DWUMQ BINARNYMI OPERACIQMI, SLO- VENIEM `+' I UMNOVENIEM `¢', NAZYWAETSQ KOLXCOM, ESLI R OBRAZUET ABELEWU GRUPPU PO SLOVENI@ I UMNOVENIE DWUSTORONNE DISTRIBUTIWNO OTNOSITELX- NO SLOVENIQ.

iNYMI SLOWAMI, PREDPOLAGAETSQ, ^TO WYPOLNENY SLEDU@]IE ^ETYRE AKSIOMY, OTNOSQ]IESQ K SLOVENI@:

A1. 8x; y; z 2 R, (x + y) + z = x + (y + z);

A2. 90 2 R, 8x 2 R, x + 0 = x = 0 + x;

A3. 8x 2 R, 9 ¡ x 2 R, x + (¡x) = 0 = (¡x) + x;

A4. 8x; y 2 R, x + y = y + x;

~EREZ R+ OBOZNA^AETSQ ADDITIWNAQ GRUPPA KOLXCA R, KOTORAQ POLU^AETSQ, KOGDA MY ZABYWAEM O TOM, ^TO NA R ZADANO UMNOVENIE. oDNAKO W DEJSTWITELXNOSTI UMNOVENIE W KOLXCE ESTX I ONO SWQZANO SO SLOVENIEM SLEDU@]IMI DWUMQ AKSIOMAMI DISTRIBUTIWNOSTI:

D1. 8x; y; z 2 R, x(y + z) = xy + xz (PRAWAQ DISTRIBUTIWNOSTX); D2. 8x; y; z 2 R, (x + y)z = xz + yz (LEWAQ DISTRIBUTIWNOSTX).

kOLXCA ^A]E WSEGO OBOZNA^A@TSQ R OT NEMECKOGO `Ring' (ILI ANGLIJSKOGO `ring'). kOMMUTATIWNYE KOLXCA O^ENX ^ASTO OBOZNA^A@TSQ A, OT FRANCUZSKOGO `anneau'. wO MNOGIH KNIGAH NEKOMMUTATIWNYE KOLXCA OBOZNA^A@TSQ BUKWOJ ¤,

2. pROSTEJ[IE SLEDSTWIQ IZ AKSIOM KOLXCA. wY^ITANIE I 0 OBLADA-

@T OBY^NYMI SWOJSTWAMI OTNOSITELXNO UMNOVENIQ, KOTORYE SRAZU WYTEKA@T IZ AKSIOM KOLXCA. pROWERIM, NAPRIMER, ^TO 0x = 0 = x0. w SAMOM DELE, xy = x(y + 0) = xy + x0 I yx = (y + 0)x = yx + 0x DLQ L@BYH x; y 2 R. aNALOGI^NO, x(¡y) = 0 ¡ xy = (¡x)y, (¡x)(¡y) = xy. dOKAVEM, DLQ PRIMERA, PERWOE IZ \TIH RAWENSTW: x(¡y) + xy = x(¡y + y) = x0 = 0, OTKUDA x(¡y) = ¡xy. pO ANALOGII ^ITATELX BEZ TRUDA DOKAVET WYPOLNENIE DWUH DRUGIH RAWENSTW I DWUSTORONNEJ DISTRIBUTIWNOSTI UMNOVENIQ OTNOSITELXNO WY^ITANIQ: x(y ¡ z) = xy ¡ xz, (x ¡ y)z = xz ¡ yz. w DALXNEJ[EM MY BUDEM BEZ WSQKIH UPOMINANIJ POLXZOWATXSQ PODOBNYMI O^EWIDNYMI SWOJSTWAMI OPERACIJ W KOLXCE. zAMETIM, ^TO WSE ONI IME@T MESTO NEZAWISIMO OT ASSOCIATIWNOSTI I/ILI KOMMUTATIWNOSTI UMNOVENIQ!

zADA^A. pOKAZATX, ^TO W KOLXCE S 1 NE NUVNO TREBOWATX KOMMUTATIWNOSTX SLOVENIQ. oNA AWTOMATI^ESKI WYTEKAET IZ OSTALXNYH AKSIOM.

rE[ENIE. pUSTX x; y 2 R. dWA RAZA WOSPOLXZOWAW[ISX DISTRIBUTIWNOSTX@ I OPREDELENIEM 1, POLU^IM 2x + 2y = 2(x + y) = (1 + 1)(x + y) = (x + y) + (x + y). wOSPOLXZOWAW[ISX TEPERX ASSOCIATIWNOSTX@ SLOVENIQ I SOKRA]AQ NA x SLEWA I NA y SPRAWA, POLU^AEM x + y = y + x.

3.pOU^ITELXNYJ KONTR-PRIMER. zAMETIM, ^TO W SLU^AE NEKOMMUTATIWNOGO UMNOVENIQ LEWAQ I PRAWAQ DISTRIBUTIWNOSTX, WOOB]E GOWORQ, NEZA- WISIMY I DLQ PROWERKI TOGO, ^TO MNOVESTWO S DANNYMI OPERACIQMI OBRAZUET KOLXCO, NEOBHODIMO PROWERQTX OBE! nAPRIMER, RASSMOTRIM MNOVESTWO MNOGO- ^LENOW K[x] OTNOSITELXNO SLOVENIQ + I KOMPOZICII ±. tOGDA K[x] OBRAZUET ABELEWU GRUPPU PO SLOVENI@, KOMPOZICIQ ASSOCIATIWNA I DOPUSKAET NEJTRALXNYJ \LEMENT e = x. o^EWIDNO I WYPOLNENIE LEWOJ DISTRIBUTIWNOSTI (f + g) ± h = f ± h + g ± h. tEM NE MENEE, \TO NE KOLXCO, TAK KAK PRAWAQ DISTRIBUTIWNOSTX NE IMEET MESTA, T.E., WOOB]E GOWORQ, f ± (g + h) 6= f ± g + f ± h (W HARAKTERISTIKE p 6= 2 WOZXMITE f = x2, g = h = 1). rAWENSTWO ZDESX IMEET MESTO TOLXKO DLQ LINEJNYH MNOGO^LENOW f = ax I W HARAKTERISTIKE p > 0 DLQ MNOGO^LENOW OT xp (SM. gLAWA ?).

4.aSSOCIATIWNYE KOLXCA. oBY^NO MY BUDEM IMETX DELO TOLXKO S KOLXCAMI, W KOTORYH UMNOVENIE TAKVE UDOWLETWORQET OBY^NYM SWOJSTWAM.

oPREDELENIE. gOWORQT, ^TO R { ASSOCIATIWNOE KOLXCO S 1, ESLI R OB-

RAZUET MONOID PO UMNOVENI@, T.E. ESLI DOPOLNITELXNO K A1 { A4, D1, D2 WYPOLNENY DWE SLEDU@]IE AKSIOMY:

M1. 8x; y; z 2 R, (xy)z = x(yz); M2. 91 2 R, 8x 2 R, x1 = x = 1x.

eSLI, KROME TOGO, UMNOVENIE KOMMUTATIWNO, T.E.

M3. 8x; y 2 R, xy = yx,

TO KOLXCO R BUDET NAZYWATXSQ KOMMUTATIWNYM I OBOZNA^ATXSQ ^EREZ R (OT ANGLIJSKOGO `ring').

bOLEE OB]O, e 2 R NAZYWAETSQ LEWOJ EDINICEJ, ESLI ex = x DLQ WSEH x 2 R, I PRAWOJ EDINICEJ, ESLI xe = x DLQ WSEH x 2 R. oBY^NAQ WYKLADKA, ISPOLXZU@]AQ ASSOCIATIWNOSTX UMNOVENIQ, POKAZYWAET, ^TO ESLI W ASSOCIA- TIWNOM KOLXCE SU]ESTWUET KAK LEWAQ EDINICA e1, TAK I PRAWAQ EDINICA e2, TO e1 = e2, TAK ^TO R { KOLXCO S EDINICEJ. oDNAKO W NEASSOCIATIWNOM KOLXCE \TO NE TAK. kROME TOGO, LEGKO PRIWESTI PRIMERY ASSOCIATIWNYH KOLEC W KOTORYH SU]ESTWUET BESKONE^NO MNOGO LEWYH ILI PRAWYH EDINIC.

zADA^A. pUSTX A { PROIZWOLXNOE ASSOCIATIWNOE KOLXCO S 1, R { MNOVESTWO PAR A2 S POKOMPONENTNYM SLOVENIEM I UMNOVENIEM (a; b)(c; d) = (ac; ad). uBEDITESX, ^TO W KOLXCE R NET PRAWYH EDINIC, NO, WOOB]E GOWORQ, MNOGO LEWYH EDINIC. pOSTROJTE PRIMER KOLXCA W KOTOROM NE SU]ESTWUET LEWYH EDINIC, NO ESTX PRAWYE EDINICY.

5. wY^ISLENIQ W KOMMUTATIWNYH KOLXCAH. kLASS KOMMUTATIWNYH AS-

SOCIATIWNYH KOLEC S 1 PREDSTAWLQET SOBOJ ESTESTWENNU@ OB]NOSTX, W KOTOROJ WYPOLNQ@TSQ WSE OBY^NYE FORMULY [KOLXNOJ ALGEBRY. tAK, NAPRIMER, (x+y)2 = (x+y)(x+y) = x2 +xy +yx+y2 I, ESLI \LEMENTY x I y KOMMUTIRU@T (I TOLXKO W \TOM SLU^AE!), \TO RAWNO x2 + 2xy + y2. wOOB]E, DLQ L@BOGO n 2 N IMEET MESTO FORMULA BINOMA nX@TONA

Xn

(x + y)n = Cni xiyn¡1:

i=0

OTNOSITELXNO OB_EDINENIQ (KAK SLOVENIQ) I PERESE^ENIQ (KAK UMNOVENIQ). w SAMOM DELE, OTNOSITELXNO OB_EDINENIQ R KOMMUTATIWNYJ MONOID, NO NE GRUPPA { NI ODNO NEPUSTOE PODMNOVESTWO NE BUDET OBRATIMYM OTNOSITELXNO OB_EDINENIQ. wOZXMEM PO\TOMU W KA^ESTWE SLOVENIQ SIMMETRI^ESKU@ RAZNOSTX 4, OTNOSITELXNO KOTOROJ R QWLQETSQ ABELEWOJ GRUPPOJ, A W KA^ESTWE UMNOVENIQ { PERESE^ENIE \, KOTOROE DISTRIBUTIWNO OTNOSITELXNO 4. s \TIMI OPERACIQMI R OBRAZUET KOMMUTATIWNOE ASSOCIATIWNOE KOLXCO S 1, QWLQ@]EESQ OSNOWNYM PRIMEROM BULEWA KOLXCA (NE PUTATX S BULEWYMI ALGEBRAMI!). aSSOCIATIWNOE KOLXCO R S 1 NAZYWAETSQ BULEWYM, ESLI x2 = x DLQ WSEH x 2 R.

uPRAVNENIE. pROWERITX, ^TO BULEWO KOLXCO R KOMMUTATIWNO.

²nULEWOE KOLXCO. eSLI W KOLXCE R WYPOLNENO RAWENSTWO 0 = 1, TO WOOB]E DLQ L@BOGO \LEMENTA \TOGO KOLXCA x = x1 = x0 = 0. tAKIM OBRAZOM, R SOSTOIT IZ ODNOGO \LEMENTA. tAKOE KOLXCO NAZYWAETSQ NULEWYM I OBOZNA^AETSQ ^EREZ

²kOLXCO S NULEWYM UMNOVENIEM. pUSTX R { ABELEWA GRUPPA PO SLO-

VENI@, SODERVA]AQ PO KRAJNEJ MERE 2 \LEMENTA. oPREDELIM W R UMNOVENIE, POLOVIW xy = 0 DLQ L@BYH x; y 2 R. pOLU^IW[EESQ ASSOCIATIWNOE KOMMUTATIWNOE KOLXCO BEZ 1 NAZYWAETSQ KOLXCOM S NULEWYM UMNOVENIEM. l@BOJ R-MODULX M, W ^ASTNOSTI, L@BOE WEKTORNOE PROSTRANSTWO V NAD POLEM K MOVNO RASSMATRIWATX KAK KOLXCO S NULEWYM UMNOVENIEM.

2.pOSTROENIE NEASSOCIATIWNYH KOLEC IZ ASSOCIATIWNYH. w DEJSTWITELXNOSTI, LEG-

KO PRIDUMATX MNOGO SPOSOBOW TAK ISPORTITX OPERACI@ UMNOVENIQ W ASSOCIATIWNOM KOLXCE, ^TOBY ONO PERESTALO BYTX ASSOCIATIWNYM, NO OSTALOSX KOLXCOM.

zADA^A. pUSTX R { ASSOCIATIWNOE KOLXCO, c 2 R. oPREDELIM W R NOWU@ OPERACI@ UMNOVENIQ, POLAGAQ x¢y = cxy. uBEDITESX, ^TO S \TOJ NOWOJ OPERACIEJ R PO PREVNEMU PREDSTAWLQET SOBOJ KOLXCO.

w DEJSTWITELXNOSTI L@BOE KOLXCO QWLQETSQ PODKOLXCOM, W KAKOM-TO IZ KOLEC R(c) POSTROENNYM TAKIM OBRAZOM IZ NEKOTOROGO ASSOCIATIWNOGO KOLXCA3.

zADA^A. pUSTX R = A©B { RAZLOVENIE ADDITIWNOJ GRUPPY KOLXCA R W PRQMU@ SUMMU DWUH ADDITIWNYH GRUPP, ¼ : R ¡! A { KANONI^ESKAQ PROEKCIQ NA PRQMOE SLAGAEMOE A. oPREDELIM W R NOWU@ OPERACI@ UMNOVENIQ, POLAGAQ x¢y = ¼(xy). uBEDITESX, ^TO S \TOJ NOWOJ OPERACIEJ R PO PREVNEMU PREDSTAWLQET SOBOJ KOLXCO4.

x 3. nEKOTORYE OSNOWNYE KONSTRUKCII

pERE^ISLIM NEKOTORYE OSNOWNYE KONSTRUKCII, KOTORYE POZWOLQ@T STROITX NOWYE KOLXCA PO ODNOMU ILI NESKOLXKIM IZWESTNYM KOLXCAM. w DALXNEJ[EM MY PODROBNO IZU^IM \TI KONSTRUKCII, IH WARIANTY I OBOB]ENIQ.

² kOLXCO MNOGO^LENOW. pUSTX K OBOZNA^AET ODNO IZ SLEDU@]IH MNOVESTW: Z, Q, R, ILI C. tOGDA MNOVESTWO WSEH MNOGO^LENOW K[t] OT ODNOJ NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ NAD K OBRAZUET KOMMUTATIWNOE KOLXCO { W DEJSTWITELXNOSTI SNOWA OBLASTX CELOSTNOSTI. mY PODROBNO OBSUDIM OPREDELENIE \TOGO KOLXCA S PROIZWOLXNYM KOLXCOM KO\FFICIENTOW K W SLEDU@]EM PARAGRAFE I WERNEMSQ K EGO DETALXNOMU IZU^ENI@ W gLAWAH 2 I 3.

3a.i.mALXCEW, oB ODNOM PREDSTAWLENII NEASSOCIATIWNYH KOLEC. { uSPEHI mAT. nAUK, 1952, T.7, N.1, S.181{185.

4l.a.sKORNQKOW, pREDSTAWLENIE NEASSOCIATIWNYH KOLEC W ASSOCIATIWNYH. { dOKL. an sssr, 1955, T.102B N.1, c.33{35.

²kOLXCO MATRIC. pUSTX K OBOZNA^AET ODNO IZ SLEDU@]IH MNOVESTW: Z, Q, R, ILI C. w x ? MY POSTROIM KOLXCO MATRIC M(n; K) (W DEJSTWITELXNOSTI, KONE^NO, NAD PROIZWOLXNYM ASSOCIATIWNYM KOLXCOM R), KOTOROE BUDET ASSOCIATIWNYM, NO NE KOMMUTATIWNYM (ESLI n ¸ 2) KOLXCOM S 1. pRI WSEH n ¸ 2 \TO KOLXCO IMEET DELITELI NULQ.

²pROTIWOPOLOVNOE KOLXCO. dLQ L@BOGO KOLXCA R ^EREZ Ro (ILI Rop) OBOZNA^AETSQ KOLXCO, ADDITIWNAQ GRUPPA KOTOROGO SOWPADAET S R+, A UMNOVENIE ZADAETSQ FORMULOJ x±y = yx. kOLXCO Ro NAZYWAETSQ PROTIWOPOLOVNYM K R. zAMETIM, ^TO BUKOWKA `o' W OBOZNA^ENII PROTIWOPOLOVNOGO KOLXCA { \TO NE NOLIK, A PERWAQ BUKWA SLOWA `opposite'. kOLXCO R W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE KOMMUTATIWNO, KOGDA Ro = R. zAMETIM, ^TO NEKOMMUTATIWNOE KOLXCO MOVET

BYTX IZOMORFNO SWOEMU PROTIWOPOLOVNOMU R0 » R, PRI \TOM Ro =6 R.

=

² pRQMAQ SUMMA KOLEC. pUSTX R1; : : : ; Rs { KOLXCA. oBOZNA^IM ^EREZ R1©: : :©Rs, KOLXCO, KOTOROE KAK MNOVESTWO SOWPADAET S PRQMYM PROIZWEDENIEM R = R1 £ : : : £ Rs, S POKOMPONENTNYMI OPERACIQMI SLOVENIQ I UMNOVENIQ:

(x1; : : : ; xs) + (y1; : : : ; ys) = (x1 + y1; : : : ; xs + ys);

(x1; : : : ; xs)(y1; : : : ; ys) = (x1y1; : : : ; xsys):

zAMETIM, ^TO PRQMAQ SUMMA KONE^NOGO ^ISLA KOLEC ^ASTO NAZYWAETSQ TAKVE IH PRQMYM PROIZWEDENIEM I W \TOM SLU^AE OBOZNA^AETSQ R = R1 £ : : : £ Rs.

pREDLOVENIE. pUSTX ADDITIWNAQ GRUPPA KOLCA R ESTX PRQMAQ SUMMA AD- DITIWNYH GRUPP EGO PODKOLEC R1; : : : ; Rs. tOGDA SLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWA- LENTNY:

1)R = R1 © : : : © Rs,

2)Ri E R DLQ WSEH i,

3)RiRj = 0 DLQ WSEH i =6 j.

dOKAZATELXSTWO. 1) =) 2) qSNO, TAK KAK OPERACII W R POKOMPONENTNYE. 2) =) 3) RiRj µ Ri \ Rj = 0. 3) =) 1) dISTRIBUTIWNOSTX UMNOVENIQ.

pREDOSTEREVENIE. pONQTIQ PRQMOGO PROIZWEDENIQ I PRQMOJ SUMMY OBOB- ]AETSQ I NA BESKONE^NYE SEMEJSTWA KOLEC Ri, i 2 I, NO W \TOM SLU^AE \TI KONSTRUKCII RAZLI^A@TSQ TO^NO TAK VE, KAK PONQTIQ PRQMOGO PROIZWEDENIQ I PRQMOJ SUMMY ABELEWYH GRUPP. iNYMI SLOWAMI, PRQMOE PROIZWEDENIE QRi, i 2 I, SOWPADAET S PRQMYM PROIZWEDENIEM Ri KAK MNOVESTW. w TO VE WREMQ PRQMAQ SUMMA LRi, i 2 I, QWLQETSQ SOBSTWENNYM PODMNOVESTWOM W QRi, i 2 I, SOWPADA@]IM S MNOVESTWOM TAKIH SPISKOW (xi)i2I, GDE xi 2 Ri, ^TO xi = 0 DLQ PO^TI WSEH i. dLQ BESKONE^NYH SEMEJSTW KOLEC \TI KONSTRUKCII PRIWODQT K KOLXCAM, KOTORYE, KAK PRAWILO, NE TOLXKO NE IZOMORFNY, NO I OBLADA@T SOWER[ENNO RAZLI^NYMI SWOJSTWAMI. nAPRIMER, PRQMOE PROIZWEDENIE KOLEC S EDINICEJ SAMO QWLQETSQ KOLXCOM S 1, W KA^ESTWE KOTOROJ MOVNO WZQTX SPISOK, i-J KOMPONENTOJ KOTOROGO QWLQETSQ EDINICA KOLXCA Ri. w TO VE WREMQ PRQMAQ SUMMA BESKONE^NOGO SEMEJSTWA KOLEC S EDINICEJ QWLQETSQ KOLXCOM BEZ EDINICY!

² pRISOEDINENIE 1. pUSTX R { L@BOE KOLXCO, WOOB]E GOWORQ, BEZ 1. rASSMOTRIM KOLXCO R1, KOTOROE SOWPADAET S Z©R KAK ADDITIWNAQ GRUPPA, S UMNOVENIEM, OPREDELENNYM RAWENSTWOM

(m; x)(n; y) = (mn; my + nx + xy):

lEGKO WIDETX, ^TO R1 { KOLXCO S 1. pRO NEGO GOWORQT, ^TO ONO POLU^AETSQ IZ R PRISOEDINENIEM 1. |TA KONSTRUKCIQ SWODIT WSE WOPROSY O KOLXCAH BEZ 1 K SOOTWETSTWU@]IM WOPROSAM DLQ KOLEC S 1. pO\TOMU W DALXNEJ[EM MY BUDEM, KAK PRAWILO, WKL@^ATX 1 W SIGNATURU KOLXCA (WSE NA[I GOMOMORFIZMY I PODKOLXCA BUDUT UNITALXNYMI!)

² KOLXCO {TUDI. pUSTX M { R-MODULX, RASSMATRIWAEMYJ KAK KOLXCO S NULEWYM UMNOVENIEM, T.E. uv = 0 DLQ L@BYH u; v 2 M. tOGDA PRISOEDINQQ 1 MY POLU^IM KOLXCO R © M. ~ASTNYM SLU^AEM \TOJ KONSTRUKCII QWLQETSQ KOLXCO DUALXNYH ^ISEL.

x 4. pODKOLXCA

1. pODKOLXCA. pODKOLXCA OPREDELQ@TSQ TO^NO TAK VE, KAK WSE OSTALXNYE PODOB_EKTY, A IMENNO, PODKOLXCOM KOLXCA R NAZYWAETSQ PODMNOVESTWO, KOTOROE QWLQETSQ KOLXCOM OTNOSITELXNO TEH VE OPERACIJ.

oPREDELENIE. nEPUSTOE PODMNOVESTWO S µ R NAZYWAETSQ PODKOLXCOM KOLXCA R, ESLI DLQ L@BYH x; y 2 S IMEEM x ¡ y; xy 2 R. eSLI R { KOLXCO S 1, TO POLKOLXCO S NAZYWAETSQ UNITALXNYM, ESLI 1 2 S.

sEJ^AS MY PRIWEDEM NESKOLXKO PROSTEJ[IH PRIMEROW PODKOLEC.

² cENTR KOLXCA |LEMENT x 2 R NAZYWAETSQ CENTRALXNYM, ESLI ON KOMMUTIRUET SO WSEMI \LEMENTAMI KOLXCA R, T.E. xy = yx DLQ WSEH y 2 R. mNOVESTWO C(R) WSEH CENTRALXNYH \LEMENTOW KOLXCA R NAZYWAETSQ CENTROM KOLXCA R,

C(R) = fx 2 R j 8y 2 R; xy = yxg:

lEGKO WIDETX, ^TO CENTR QWLQETSQ UNITALXNYM PODKOLXCOM.

² kOLXCO ^ETNYH ^ISEL. tAK KAK SUMMA I PROIZWEDENIE DWUH ^ETNYH ^ISEL QWLQ@TSQ ^ETNYM ^ISLOM, TO MNOVESTWO 2Z ^ETNYH ^ISEL QWLQETSQ POD-

PODKOLEC. pOZVE MY UBEDIMSQ, ^TO WSE \TI KOLXCA POPARNO NEIZOMORFNY.

2. kOLXCA CELYH ALGEBRAI^ESKIH ^ISEL. sU]ESTWUET MNOVESTWO IN-

TERESNYH KOLEC, RODSTWENNYH Z, KOTORYE POLU^A@TSQ IZ Z PRISOEDINENIEM KORNEJ ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ. wSE \TI KOLXCA QWLQ@TSQ PODKOLXCAMI W KOLXCE A CELYH ALGEBRAI^ESKIH ^ISEL. pERE^ISLIM NESKOLXKO PROSTEJ- [IH PRIMEROW TAKIH PODKOLEC, KOTORYE BUDUT WSTRE^ATXSQ NAM W DALXNEJ[EM:

² kOLXCO Z[i] CELYH GAUSSOWYH ^ISEL, SOSTOQ]EE IZ WSEH ^ISEL WIDA a+bi, GDE a; b 2 Z, A i2 = ¡1.

² Z[p2] = fa + bp2 j a; b 2 Zg.

nAM WSTRETQTSQ I DRUGIE PRIMERY.