Vavilov_N_Konkretnaya_teoria_kolets

x 5. gOMOMORFIZMY KOLEC

kAK OBY^NO, RASSMATRIWAQ KAKOJ-TO KLASS STRUKTUR, MY DOLVNY ODNOWREMENNO WWESTI DOPUSTIMYJ KLASS OTOBRAVENIJ.

1. gOMOMORFIZMY KOLEC. pUSTX R I S { DWA KOLXCA.

oPREDELENIE. oTOBRAVENIE f : R ¡! S NAZYWAETSQ GOMOMORFIZMOM KO-

LEC, ESLI f ODNOWREMENNO QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM ADDITIWNOJ I MULXTI- PLIKATIWNOJ STRUKTUR, T.E. ESLI DLQ L@BYH x; y 2 G WYPOLNQ@TSQ RAWEN- STWA

f(x + y) = f(x) + f(y); f(xy) = f(x)f(y):

tAK KAK R OBRAZUET GRUPPU PO SLOVENI@, TO, KAK MY ZNAEM, IZ TOGO, ^TO f SOHRANQET SLOVENIE, AWTOMATI^ESKI WYTEKAET, ^TO f(0) = 0. w TO VE WREMQ, IZ TOGO, ^TO f SOHRANQET UMNOVENIE, OTN@DX NE SLEDUET, ^TO f(1R) = 1S. gOMOMORFIZM f, DLQ KOTOROGO f(1R) = 1S, NAZYWAETSQ UNITALXNYM. oBY^NO DLQ KOLEC S 1 MY WKL@^AEM 1 W SIGNATURU I RASSMATRIWAEM TOLXKO UNITALXNYE GOMOMORFIZMY.

kAK OBY^NO, GOMOMORFIZM f NAZYWAETSQ MONOMORFIZMOM, ESLI ON IN_EKTIWEN, \PIMORFIZMOM, ESLI ON S@R_EKTIWEN, IZOMORFIZMOM, ESLI ON BI-

EKTIWEN, \NDOMORFIZMOM, ESLI R = S, I, NAKONEC, AWTOMORFIZMOM, ESLI

R = S, A f BIEKTIWEN.

pRIWEDEM NESKOLXKO PROSTEJ[IH PRIMEROW GOMOMORFIZMOW.

²kANONI^ESKAQ PROEKCIQ. pUSTX R { KOLXCO, I E R, R=I { FAKTOR-

KOLXCO. tOGDA PO SAMOMU OPREDELENI@ OPERACIJ W R=I KANONI^ESKAQ PROEKCIQ R ¡! R=I, x 7!x + I, QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM KOLEC.

²hARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ. pUSTX (2X; 4; \) { BULEWO KOLXCO POD-

MNOVESTW W X. tOGDA OTOBRAVENIE Â : 2X ¡! F2X, KOTOROE SOPOSTAWLQET KAVDOMU Y µ X EGO HARAKTERISTI^ESKU@ FUNKCI@, QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM KOLEC:

ÂY 4Z = ÂY + ÂZ; ÂY \Z = ÂY ÂZ:

tAK KAK SOOTWETSTWIE Y $ ÂY BIEKTIWNO, TO BULEWO KOLXCO 2X IZOMORFNO PRQMOMU PROIZWEDENI@ jXj \KZEMPLQROW POLQ F2.

² dEJSTWIE PERESTANOWOK NA PODMNOVESTWAH. pUSTX ¾ 2 SX { PERE-

STANOWKA MNOVESTWA X. sOPOSTAWIM ¾ PERESTANOWKU MNOVESTWA 2X POLAGAQ ¾(Y ) = f¾(y) j y 2 Y g. qSNO, ^TO ¾ { AWTOMORFIZM BULEWA KOLXCA 2X:

¾(Y 4 Z) = ¾(Y ) 4 ¾(Z); ¾(Y \ Z) = ¾(Y ) \ ¾(Z):

zADA^A. dOKAVITE, ^TO KAVDYJ AWTOMORFIZM BULEWA KOLXCA 2X IMEET TAKOJ

WID, T.E. Aut(2X) » S . = X

² mATRICA LINEJNOGO OTOBRAVENIQ. pUSTX M » Rn SWOBODNYJ R-

=

MODULX I u1; : : : ; un { KAKOJ-TO BAZIS \TOGO MODULQ. tOGDA OTOBRAVENIE

EndR(M) ¡! M(n; R); Á 7![Á]u;

SOPOSTAWLQ@]EE \NDOMORFIZMU MODULQ M MATRICU W BAZISE u1; : : : ; un, QWLQETSQ IZOMORFIZMOM KOLEC.

x 6. gOMOMORFIZMY, SWQZANNYE SO STRUKTUROJ KOLXCA

² wNUTRENNIE AWTOMORFIZMY. pUSTX u 2 R¤. tOGDA OTOBRAVENIE Iu :

R ¡! R, x 7!uxu¡1 QWLQETSQ AWTOMORFIZMOM KOLXCA R, NAZYWAEMYM WNUT-

RENNIM AWTOMORFIZMOM. w SAMOM DELE Iu(x + y) = Iu(x) + Iu(y) I Iu(xy) =

Iu(x)Iu(y).

zADA^A. uBEDITESX, ^TO OTOBRAVENIE R¤ 7!Aut(R), u 7!Iu QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM GRUPP. ~EMU RAWNO QDRO \TOGO GOMOMORFIZMA?

² gOMOMORFIZM Z ¡! R, n 7!n1, QWLQETSQ EDINSTWENNYM (UNITALXNYM) GOMOMORFIZMOM Z W R.

zADA^A. dWA PODKOLXCA W Q TOGDA I TOLXKO TOGDA IZOMORFNY, KOGDA ONI RAWNY.

rE[ENIE. l@BOJ IZOMORFIZM KOLEC DOLVNEN BYTX IZOMORFIZMOM IH ADDITIWNYH GRUPP, T.E. GOMOTETIEJ S KO\FFICIENTOM c 2 Q. nO KAK MY TOLXKO ^TO ZAMETILI, IZOMORFIZM KOLEC DOLVEN BYTX POSTOQNNYM NA Z.

² pROEKCII NA SLAGAEMYE. eSLI R = R1 © : : : © Rs { PRQMAQ SUMMA KOLEC

R1; : : : ; Rs, TO pri : R ¡! R1 © : : : © Rs, (x1; : : : ; xs) 7!xi, QWLQETSQ KOLXCEWYM GOMOMORFIZMOM.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO PROEKCII pri : Zn ¡! Z, (a1; : : : ; an) 7!ai QWLQ@TSQ EDINSTWENNYMI KOLXCEWYMI GOMOMORFIZMAMI Zn ¡! Z.

rE[ENIE. pUSTX e1; : : : ; en { STANDARTNYJ BAZIS Zn. |TO POLNYJ NABOR OR-

TOGONALXNYH IDEMPOTENTOW W Zn, T.E. 1 = e1 + : : : + en, e2i = ei, I eiej = 0 PRI i 6= j. tAKIM OBRAZOM, Á(e1) + : : : + Á(en) = Á(e1 + : : : + en) = 1, WSE Á(ei) RAWNY

0 ILI 1, PRI^EM Á(ei)Á(ej) = 0 PRI i =6 j. |TO WOZMOVNO TOLXKO ESLI ROWNO ODNO IZ Á(ei) RAWNO 1.

zADA^A. nAJTI WSE AWTOMORFIZMY KOLXCA Zn (S POTO^E^NYMI OPERACIQMI).

²pOPOLNQ@]IJ GOMOMORFIZM. pUSTX R { KOMMUTATIWNOE KOLCXO S 1, M

{MULXTIPLIKATIWNYJ MONOID. tOGDA TOVDESTWENNYJ AWTOMORFIZM id : R ¡! R I TRIWIALXNYJ GOMOMORFIZM MONOIDOW M ¡! R¤, g 7!1, OPREDELQ@T \PI-

NAZYWAEMYJ AUGMENTACIEJ ILI POPOLNQ@]IM GOMOMORFIZMOM. qDRO AUGMENTACII NAZYWAETSQ POPOLNQ@]IM IDEALOM KOLXCA R[M]

kOLI^ESTWO GOMOMORFIZMOW Z=mZ W Z=nZ RAWNO 2!(n)¡!(n= gcd(m;n), GDE !(n) OBOZNA^AET KOLI^ESTWO RAZLI^NYH PROSTYH DELITELEJ n, SM.5.

x 2. tEOREMA KOSINUSOW I TEOREMA hUA lOKENA

1. tEOREMA hUA lOKENA. mY ZNAEM, ^TO L@BOJ GOMOMORFIZM MULXTIPLIKATIWNYH GRUPP AWTOMATI^ESKI PEREWODIT 1 W 1 I OBRATNYJ W OBRATNYJ. sEJ^AS PROIZOJDET NE^TO SOWER[ENNO UDIWITELXNOE! oKAZYWAETSQ, DLQ TOGO, ^TOBY ADDITIWNYJ GOMOMORFIZM TELA W SEBQ BYL GOMOMORFIZMOM KOLEC, PO^TI DOSTATO^NO, ^TOBY ON PEREWODIL 1 W 1 I OBRATNYJ W OBRATNYJ.

tEOREMA hUA lOKENA. eSLI ¾ : T ¡! T { OTOBRAVENIE TELA T W SEBQ TAKOE, ^TO

1)¾(x + y) = ¾(x) + ¾(y);

2)¾(x¡1) = ¾(x)¡1;

5J.A.Gallian, J.Van Buskirk, The number of homomorphisms from Zm into Zn. { Amer. Math. Monthly, 1984, vol.91, p.196{197.

3) ¾(1) = 1.

tOGDA ¾ QWLQETSQ LIBO AWTOMORFIZMOM, LIBO ANTIAWTOMORFIZMOM.

pRIWODIMOE NIVE DOKAZATELXSTWO QWLQETSQ OBRABOTKOJ DOKAZATELXSTWA IZ ZAME^ATELXNOJ KNIGI |MILQ aRTINA, KOTOROE, W SWO@ O^EREDX, QWLQETSQ OBRABOTKOJ PERWONA^ALXNOJ IDEI hUA lOKENA.

2. sOHRANENIE ANTIKOMMUTATORA. nA^NEM S PROWERKI NESKOLXKO BOLEE SLABOGO UTWERVDENIQ. a IMENNO, W \TOM PUNKTE MY POKAVEM, ^TO ¾ QWLQETSQ AWTOMORFIZMOM JORDANOWOJ ALGEBRY T (+) POLU^A@]EJSQ, ESLI ZAMENITX UMNOVENIE W T NA ANTIKOMMUTIROWANIE x ± y = xy + yx. dLQ \TOGO MY NA^NEM S E]E BOLEE SLABOGO UTWERVDENIQ, A IMENNO, POKAVEM, ^TO ¾ SOHRANQET KWADRATI^NOE UMNOVENIE x ²y = xyx. sDELATX \TO SOWSEM LEGKO, TAK KAK SLEDU@]EE RACIONALXNOE TOVDESTWO WYRAVAET KWADRATI^NOE UMNOVENIE ^EREZ SLOVENIE I WZQTIE OBRATNOGO \LEMENTA.

lEMMA. pUSTX x; y 2 T , x; y 6= 0, x¡1 6= y. tOGDA \LEMENT x¡1 + (y¡1 ¡ x)¡1 2 T ¤, I

xyx = x ¡ (x¡1 + (y¡1 ¡ x)¡1)¡1:

dOKAZATELXSTWO. rASSMOTRIM x¡1 + (y¡1 ¡ x)¡1. wYNOSQ x¡1 SLEWA I (y¡1 ¡ x)¡1 SPRAWA, POLU^IM

x¡1 + (y¡1 ¡ x)¡1 = x¡1((y¡1 ¡ x) + x)(y¡1 ¡ x)¡1 = x¡1y¡1(y¡1 ¡ x)¡1 2 T ¤:

tAKIM OBRAZOM,

(x¡1 + (y¡1 ¡ x)¡1)¡1 = (y¡1 ¡ x)yx = x ¡ xyx:

lEMMA. eSLI ¾ : T ¡! T { OTOBRAVENIE TELA T W SEBQ, UDOWLETWORQ@]EE USLOWIQM TEOREMY, TO ¾ AWTOMORFIZM OTNOSITELXNO KWADRATI^NOGO UMNOVENIQ x²y = xyx, INYMI SLOWAMI,

¾(xyx) = ¾(x)¾(y)¾(x):

dOKAZATELXSTWO. pRIMENQQ ¾ K OBEIM ^ASTQM SODERVA]EGOSQ W lEMME TOVDESTWA I POLXZUQSX TEM, ^TO ¾ ADDITIWNYJ GOMOMORFIZM I PEREWODIT OBRATNYJ W OBORATNYJ, MY POLU^AEM TAKOE VE WYRAVENIE S ZAMENOJ x I y NA ¾(x) I ¾(y). tAKIM OBRAZOM, ¾(xyx) = ¾(x)¾(y)¾(x) DLQ WSEH x; y =6 0 TAKIH, ^TO x¡1 =6 y. nO W ISKL@^ITELXNYH SLU^AQH \TO RAWENSTWO O^EWIDNO WERNO. tAKIM OBRAZOM, ONO WERNO WSEGDA.

lEMMA. eSLI ¾ : T ¡! T { OTOBRAVENIE TELA T W SEBQ, UDOWLETWORQ@]EE USLOWIQM TEOREMY, TO ¾ AWTOMORFIZM JORDANOWOJ ALGEBRY T (+), INYMI SLOWAMI,

¾(xy + yx) = ¾(x)¾(y) + ¾(y)¾(x):

dOKAZATELXSTWO. w ^ASTNOSTI, PRI y = 1 POLU^AEM ¾(x2) = ¾(x)2 TAK ^TO ¾ PEREWODIT KWADRATY W KWADRATY. tEPERX OBY^NOE RASSUVDENIE (TEOREMA KOSINUSOW) POKAZYWAET, ^TO ¾ PEREWODIT ANTIKOMMUTATORY W ANTIKOMMUTATORY. w SAMOM DELE,

¾((x + y)2) = (¾(x + y))2 = (¾(x) + ¾(y))2:

wY^ISLQQ LEWU@ ^ASTX, POLU^AEM ¾(x)2 + ¾(xy + yx) + ¾(y)2, W TO WREMQ KAK WY^ISLENIE PRAWOJ ^ASTI DAET ¾(x)2 +¾(x)¾(y)+¾(y)¾(x)+¾(y)2. dLQ DOKAZATELXSTWA LEMMY DOSTATO^NO SRAWNITX DWA \TI WYRAVENIQ.

zAMETIM, ^TO \TOJ LEMMY UVE DOSTATO^NO, ^TOBY ZAWER[ITX DOKAZATELXSTWO TEOREMY hUA lOKENA W SLU^AE, KOGDA T = K { POLE HARAKTERISTIKI 6= 2, TAK KAK W \TOM SLU^AE xy = (x ± y)=2. nAM PONADOBITSQ E]E NESKOLXKO STRO^EK, ^TOBY UBEDITXSQ W TOM, ^TO DLQ L@BYH x; y, WSEGDA ¾(xy) = ¾(x)¾(y) ILI ¾(xy) = ¾(y)¾(x), TAK ^TO TEOREMA WERNA I DLQ POLEJ HARAKTERISTIKI 2. tAKIM OBRAZOM, WSQ OSTALXNAQ (NETRIWIALXNAQ!) ^ASTX DOKAZATELXSTWA NUVNA ISKL@^ITELXNO DLQ BORXBY S NEKOMMUTATIWNOSTX@.

3. oKON^ANIE DOKAZATELXSTWA TEOREMY. wOT KL@^EWOE SOOBRAVENIE.

oSNOWNAQ LEMMA. dLQ L@BYH x; y IMEEM

¾(xy) = ¾(x)¾(y) ILI ¾(xy) = ¾(y)¾(x):

dOKAZATELXSTWO. tAK KAK OBA \TI RAWENSTWA O^EWIDNO WERNY, ESLI HOTQ BY ODIN IZ \LEMENTOW x ILI y RAWEN 0. eSLI VE x; y =6 0, TO POLXZUQSX DWUMQ PRED[ESTWU@]IMI LEMMAMI, MY UBEVDAEMSQ, ^TO PROIZWEDENIE

(¾(x) ¡ ¾(x)¾(y))¾(xy)¡1(¾(xy) ¡ ¾(y)¾(x))

RAWNO 0. tEM SAMYM, HOTQ BY ODIN IZ SOMNOVITELEJ OBQZAN RAWNQTXSQ 0.

tAKIM OBRAZOM, DLQ ZAWER[ENIQ DOKAZATELXSTWA TEOREMY NAM OSTAETSQ LI[X POKAZATX, ^TO PREDPOLAGAQ SU]ESTWANIE PAR x; y I u; v TAKIH, ^TO ¾(xy) = ¾(x)¾(y) =6 ¾(y)¾(x) I ¾(uv) = ¾(v)¾(u) =6 ¾(u)¾(v) MY NEIZBEVNO PRIDEM K PROTIWORE^I@. w SAMOM DELE, WOZXMEM L@BOE z 2 T . pO OSNOWNOJ LEMME IMEET MESTO (PO KRAJNEJ MERE) ODNA IZ DWUH WOZMOVNOSTEJ

¾(x)¾(y) + ¾(xz) = ¾(x(y + z)) = ¾(x)¾(y + z) = ¾(x)¾(y) + ¾(x)¾(z)

ILI

¾(x)¾(y) + ¾(xz) = ¾(x(y + z)) = ¾(y + z)¾(x) = ¾(y)¾(x) + ¾(z)¾(y):

w PERWOM SLU^AE ¾(xz) = ¾(x)¾(z). wO WTOROM SLU^AE ¾(xz) 6= ¾(z)¾(x) TAK ^TO PO OSNOWNOJ LEMME SNOWA ¾(xz) = ¾(x)¾(z). rASSMATRIWAQ WYRAVENIQ ¾((x + z)y), ¾(u(v + z)), ¾((u + z)v), TO^NO TAK VE POLU^AEM, ^TO ¾(zy) = ¾(z)¾(y), ¾(uz) = ¾(z)¾(u), ¾(zv) = ¾(v)¾(z), DLQ WSEH z.

pODSTAWLQQ S@DA z = v, POLU^IM ¾(xv) = ¾(x)¾(v), A PODSTAWLQQ z = x, POLU^IM ¾(xv) = ¾(v)¾(x). tAKIM OBRAZOM, ¾(x)¾(v) = ¾(v)¾(x) I TO^NO TAK VE DOKAZYWAETSQ, ^TO ¾(y)¾(u) =

¾(u)¾(y).

tEPERX U NAS WSE GOTOWO, ^TOBY POLU^ITX FINALXNOE PROTIWORE^IE. dLQ \TOGO RASSMOTRIM ¾(xy) + ¾(xv) + ¾(uy) + ¾(uv) = ¾((x + u)(y + v)). pO OSNOWNOJ LEMME IMEET MESTO (PO KRAJNEJ MERE) ODNA IZ DWUH SLEDU@]IH WOZMOVNOSTEJ ¾((x + u)(y + v)) = ¾(x + u)¾(y + v) ILI ¾((x + u)(y + v)) = ¾(y + v)¾(x + u). rASKRYWAQ SKOBKI W PRAWOJ ^ASTI I POLXZUQSX TEM, ^TO, KAK MY TOLXKO ^TO DOKAZALI, ¾(x) KOMMUTIRUET S ¾(v), A ¾(y) KOMMUTIRUET S ¾(u), MY WIDIM, ^TO PERWAQ WOZMOVNOSTX WYNUVDAET ¾(u) KOMMUTIROWATX S ¾(v), A WTORAQ WOZMOVNOSTX WYNUVDAET ¾(x) KOMMUTIROWATX S ¾(y), WOPREKI NA[EMU PERWONA^ALXNOMU PREDPOLOVENI@! tEOREMA DOKAZANA.

tEMA 2: polq i tela

x 1. pOLQ I TELA

1. pOLQ I TELA. oSOBENNO BOLX[OE ZNA^ENIE IME@T TAKIE KOLXCA, W KOTORYH NA L@BOJ NENULEWOJ \LEMENT MOVNO SOKRATITX.

oPREDELENIE. aSSOCIATIWNOE KOLXCO T S 1 6= 0 NAZYWAETSQ TELOM (ILI KOLXCOM S DELENIEM), ESLI WSE EGO NENULEWYE \LEMENTY OBRATIMY, INYMI SLOWAMI, ESLI WYPOLNQETSQ SLEDU@]AQ AKSIOMA:

M4. 8x 2 T , x 6= 0, 9x¡1 2 T , xx¡1 = 1 = x¡1x.

tAKIM OBRAZOM, W TELE WYPOLNENY AKSIOMY A1 { A4, D1, D2, M1, M2, M4. w ^ASTNOSTI, WSE NENULEWYE \LEMENTY TELA OBRAZU@T (NE OBQZATELXNO KOMMUTATIWNU@!) GRUPPU PO UMNOVENI@, NAZYWAEMU@ MULXTIPLIKATIWNOJ GRUPPOJ \TOGO TELA I OBOZNA^AEMU@ T ¤ = T ² = T n f0g.

oPREDELENIE. kOMMUTATIWNOE TELO K NAZYWAETSQ POLEM.

iNYMI SLOWAMI, W POLE K MNOVESTWO K WSEH NENULEWYH \LEMENTOW OBRAZUET ABELEWU GRUPPU PO UMNOVENI@ I, TAKIM OBRAZOM, WYPOLNENY AKSIOMY A1

{A4, D1, D2, M1 { M4. pOLQ PRINQTO OBOZNA^ATX BUKWOJ K OT NEMECKOGO `KÄorper' { `POLE' ILI F { OT ANGLIJSKOGO `¯eld' { `POLE'. |TOT TERMIN BYL WPERWYE ISPOLXZOWAN rIHARDOM dEDEKINDOM. nEKOTORYE RANNIE AWTORY PREDLAGALI PEREDAWATX NEMECKOE `KÄorper' I FRANCUZSKOE `corps' PO-RUSSKI KAK `KORPUS', ^TO BYLO ^REZWY^AJNO UDA^NO, NO, K SOVALENI@, NE POLU^ILO [IROKOGO RASPROSTRANENIQ. w ZAPADNYH QZYKAH TERMIN `TELO' NE IMEET OTDELXNOGO SU- ]ESTWOWANIQ, PO-ANGLIJSKI TELO NAZYWAETSQ skew-¯eld (S ITALXQNSKOJ KALXKOJ campo sghembo), PO-NEMECKI { SchiefkÄorper ILI Divisionsbereich, PO-FRANCUZSKI

{corps gauche.

uPRAVNENIE. pROWERXTE, ^TO CENTR TELA QWLQETSQ POLEM.

2.pERWYE PRIMERY POLEJ. pRIWEDEM NEKOTORYE O^EWIDNYE PRIMERY POLEJ.

²~ISLOWYE POLQ. rACIONALXNYE ^ISLA Q, WE]ESTWENNYE ^ISLA R I KOMPLEKSNYE ^ISLA C OBRAZU@T POLQ. nAPOMNIM (PODROBNEE OB \TOM SM. gLAWU 4), ^TO KOMPLEKSNYE ^ISLA MOVNO ISTOLKOWATX KAK PARY WE]ESTWENNYH ^ISEL (a; b), a; b 2 R, S POKOMPONENTNYM SLOVENIEM I UMNOVENIEM, IMITIRU@]IM TEOREMY SLOVENIQ DLQ cos I sin:

(a; b)(c; d) = (ac ¡ bd; ad + bc):

² kONE^NYE POLQ. pO OPREDELENI@ POLE K OBQZANO SODERVATX PO KRAJNEJ MERE DWA \LEMENTA, 0 I 1. oKAZYWAETSQ, SU]ESTWUET POLE ROWNO IZ DWUH \LEMENTOW. a IMENNO, OPREDELIM NA MNOVESTWE F2 = f0; 1g ALGEBRAI^ESKIE OPERACII, POLAGAQ

tAK OPREDELENNYE OPERACII PREWRA]A@T F2 W POLE (\TO ^ASTNYJ SLU^AJ BULEWA KOLXCA MNOVESTW, OTNOSITELXNO OPERACIJ SIMMETRI^ESKOJ RAZNOSTI I OB_EDINENIQ, RASSMOTRENNOGO W PRIMERE 3 WY[E, DLQ SLU^AQ, KOGDA MNOVESTWO X ODNO\LEMENTNO).

tAKVE I TREH\LEMENTNOE MNOVESTWO F3 = f0; 1; ¡1g PREWRA]AETSQ W POLE WWEDENIEM SLEDU@]IH OPERACIJ:

w DEJSTWITELXNOSTI, W OBOIH SLU^AQH TAK POSTROENNYE POLQ SOWPADA@T S KOLXCAMI WY^ETOW Z=2Z I Z=3Z, O KOTORYH [LA RE^X W PRIMERE 8 WY[E, I TO VE SAMOE WERNO DLQ L@BOGO PROSTOGO ^ISLA p: KOLXCO WY^ETOW Fp = Z=pZ QWLQETSQ POLEM (NAZYWAEMYM POLEM IZ p \LEMENTOW ILI PROSTYM POLEM HARAKTERISTIKI p).

kAK MY UBEDILISX W TOM VE PRIMERE 8, KOLXCO Z=4Z NE MOVET BYTX POLEM, POTOMU ^TO ONO IMEET DELITELI 0. tEM NE MENEE, POLE IZ ^ETYREH \LEMENTOW SU]ESTWUET, PROSTO ONO NE IZOMORFNO Z=4Z. ~TOBY UBEDITXSQ W \TOM, RASSMOTRIM MNOVESTWO F4 = f0; 1; u; vg, OPERACII W KOTOROM WWODQTSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:

aNALOGI^NO, HOTQ I NESKOLXKO SLOVNEE, MOVNO POSTROITX KONE^NOE POLE Fq L@- BOGO PRIMARNOGO PORQDKA q = pm, NAPRIMER, POLQ F8, F9, F16, F25, F27 I TAK DALEE. pOLE PORQDKA q = pm EDINSTWENNO S TO^NOSTX@ DO IZOMORFIZMA. w TO VE WREMQ, ESLI q NE QWLQETSQ PRIMARNYM, TO NE SU]ESTWUET POLQ IZ q \LEMENTOW, NAPRIMER, NET POLEJ, SODERVA]IH ROWNO 6, 10, 12, 14, 15 \LEMENTOW. |TI REZULXTATY BUDUT DOKAZANY W gLAWE ?.

² pOLQ ALGEBRAI^ESKIH ^ISEL. tAK NAZYWA@TSQ POLQ, POLU^A@]IESQ IZ Q PRISOEDINENIEM KORNEJ ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ, OBY^NO W KONE^NOM ^ISLE. nAPRIMER, MOVNO RASSMOTRETX POLE Q(i) GAUSSOWYH ^ISEL, SOSTOQ]EE IZ WSEH ^ISEL WIDA a + ib, GDE a; b 2 Q, A i { MNIMAQ EDINICA, i2 = ¡1. aNALOGI^NO, MOVNO RASSMOTRETX POLE Q(p2), SOSTOQ]EE IZ WSEH ^ISEL WIDA a + bp2, GDE a; b 2 Q. wOOB]E, MOVNO POKAZATX, ^TO MNOVESTWO KORNEJ WSEH ALGEBRAI^ESKIH

URAWNENIJ WIDA xn + an¡1xn¡1 + ::: + a1x + a0 = 0, GDE an¡1; : : : ; a1; a0 2 Q,

OBRAZUET POLE, NAZYWAEMOE POLEM ALGEBRAI^ESKIH ^ISEL, I OBOZNA^AEMOE ^EREZ Q.

²pOLE RAZLOVENIQ MNOGO^LENA. pUSTX K KAKOE-TO POLE, f 2 K[x] {

MNOGO^LEN NAD K. w GLAWE ? MY SWQVEM S f NAIMENX[EE POLE L, W KOTOROM f POLNOSTX@ RASKLADYWAETSQ NA LINEJNYE MNOVITELI. w SLU^AE, KOGDA f NEPRI- WODIM, POSTROITX TAKOE POLE L SOWSEM PROSTO, MOVNO, NAPRIMER, POLOVITX L = K[x]=(f). iDEJNO \TA KONSTRUKCIQ (`POLE KORNEJ MNOGO^LENA') BYLA IZWESTNA E]E lAGRANVU, NO NA PROMY[LENNU@ OSNOWU EE POSTAWILI TOLXKO dEDEKIND I kRONEKER.

²pOLE DOSTIVIMYH ^ISEL. rASSMOTRIM TO^KI 0 I 1 NA WE]ESTWENNOJ PRQMOJ. tEORIQ gALUA U^IT, ^TO WSE TO^KI KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI, KOTORYE

MOVNO POSTROITX OTPRAWLQQSX OT 0 I 1 PRI POMO]I CIRKULQ I LINEJKI, OBRAZU@T POLE, NAZYWAEMOE POLEM DOSTIVIMYH ^ISEL I OBOZNA^AEMOE K. |TO POLE KWADRATI^NO ZAMKNUTO, T.E. DLQ L@BOGO x 2 K SU]ESTWUET y 2 K TAKOE,

^TO y2 = x. w TO VE WREMQ, OTRICATELXNYJ WOPROS NA KLASSI^ESKU@ PROBLEMU p

UDWOENIQ KUBA OZNA^AET W TO^NOSTI, ^TO 3 2 NE QWLQETSQ DOSTIVIMYM ^ISLOM.

rACIONALXNYE ^ISLA STROILISX KAK DROBI, ^ISLITELX I ZNAMENATELX KOTORYH SUTX CELYE ^ISLA. w DEJSTWITELXNOSTI \TA KONSTRUKCIQ BEZ WSQKIH IZMENENIJ PROHODIT WOOB]E DLQ L@BOJ OBLASTI CELOSTNOSTI R I PRIWODIT K POSTROENI@ NEKOTOROGO POLQ Q(R), NAZYWAEMOGO POLEM ^ASTNYH KOLXCA R. wOT NESKOLXKO PRIMEROW \TOJ KONSTRUKCII, KOTORYE IZU^A@TSQ WO WTOROM SEMESTRE.

²pOLE RACIONALXNYH DROBEJ. pRIMENQQ TU VE KONSTRUKCI@ OBRAZOWANIQ DROBEJ K KOLXCU MNOGO^LENOW K[x] NAD NEKOTORYM POLEM K, MY POLU^IM POLE K(x), NAZYWAEMOE POLEM RACIONALXNYH FUNKCIJ OT ODNOJ PEREMENNOJ.

²pOLE RACIONALXNYH DROBEJ OT NESKOLXKIH PEREMENNYH. w SWQZI S IZU^ENIEM MNOGO^LENOW OT NESKOLXKIH PEREMENNYH MY POSTROIM I IZU^IM POLE K(x1; : : : ; xn), QWLQ@]EESQ POLEM ^ASTNYH KOLXCA MNOGO^LENOW K[x1; : : : ; xn].

²pOLE FORMALXNYH RQDOW lORANA. sLEDU@]EE POLE QWLQETSQ POLEM ^ASTNYH KOLXCA K[[x]] FORMALXNYH STEPENNYH RQDOW

nX o

K((x)) = aixi j ai 2 K; ai = 0 DLQ PO^TI WSEH i < 0 :

x 2. pOLQ ALGEBRAI^ESKIH ^ISEL

oDNIM IZ OSNOWNYH TIPOW ZADA^, OBSUVDAEMYH W [KOLXNOJ ALGEBRE, QWLQETSQ \IZBAWLENIE OT IRRACIONALXNOSTI W ZNAMENATELE". pRI \TOM, NAPRIMER, PREDLAGAETSQ PEREPISATX ^ISLO

p1 p

3 + 5 3 2 + 7 3 4

p p

W WIDE x + y 3 2 + z 3 4, GDE x; y; z SNOWA RACIONALXNYE ^ISLA. w NASTOQ]EM p

PUNKTE MY POKAVEM, ^TO \TO WOZMOVNO ROWNO POTOMU, ^TO Q( 3 2) OBRAZUET POLE I PRIWEDEM DRUGIE PRIMERY POLEJ ALGEBRAI^ESKIH ^ISEL.

1. kWADRATI^NYE POLQ. nAIBOLEE IZWESTNY KWADRATI^NYE POLQ, KOTORYE POLU^A@TSQ PRISOEDINENIEM K Q KWADRATNOGO KORNQ IZ ODNOGO \LEMENTA d 2 Q, KOTORYJ NE QWLQETSQ KWADRATOM W Q. qSNO, ^TO NE TERQQ OB]NOSTI ^ISLO d MOVNO S^ITATX CELYM I BESKWADRATNYM. wTOROE IZ \TIH TREBOWANIJ OZNA^AET, ^TO d NE DELITSQ NA KWADRAT PROSTOGO ^ISLA. pOLE

d > 0 I MNIMYM KWADRATI^NYM, ESLI d < 0. pROWERKA WSEH AKSIOM POLQ

DLQ \TOGO SLU^AQ O^EWIDNA, EDINSTWENNYJ ^UTX MENEE TRIWIALXNYJ MOMENT { p

POKAZATX, ^TO ^ISLO a + b d 6= 0 OBRATIMO W \TOM POLE. dLQ \TOGO DOSTATO^NO ZAMETITX, ^TO (a + bpd)¡1 = (a ¡ bpd)=(a2 ¡ db2) (ZNAMENATELX NE OBRA]AETSQ W 0, TAK KAK d NE QWLQETSQ KWADRATOM W Q).

wOT NESKOLXKO NAIBOLEE ^ASTO ISPOLXZUEMYH PRIMEROW KWADRATI^NYH POLEJ.

²pRISOEDINQQ KWADRATNYJ KORENX IZ d = ¡1, MY POLU^AEM POLE GAUSSOWYH ^ISEL Q(i) = fa + bi j a; b 2 Qg.

²pRISOEDINQQ KWADRATNYJ KORENX IZ d = ¡3, MY POLU^AEM POLE \JZEN-

[TEJNOWYH ^ISEL Q(i) = fa + b! j a; b 2 Qg, GDE ! = ¡1+p¡3 .

²pRISOEDINQQ KWADRATNYJ KORENX IZ d = 2, MY POLU^AEM POLE Q(p2) = fa + bp2 j a; b 2 Qg.

²pRISOEDINQQ KWADRATNYJ KORENX IZ d = 5, MY POLU^AEM POLE ZOLOTOGO p5) = fa + bp5 j a; b 2 Qg. 2

sOWER[ENNO QSNO, ^TO WSE TAKIE ^ISLA OBRAZU@T KOMMUTATIWNOE ASSOCIATIWNOE KOLXCO S 1.

p p dOKAZATX, ^TO \TO POLE ^UTX SLOVNEE. dLQ \TOGO, PREVDE WSEGO, POLEZNO ZNATX, ^TO 1; 3 2; 3 4

p p

LINEJNO NEZAWISIMY NAD Q, T.E. ^TO ESLI a + b 3 2 + c 3 4 = 0 DLQ NEKOTORYH a; b; c 2 Q, TO

a = b = c = 0. |TO WESXMA ^ASTNYJ SLU^AJ TEOREMY bEZIKOWI^A, KOTORU@ MY OBSUVDAEM W ^ASTI, POSWQ]ENNOJ LINEJNOJ ALGEBRE. kONE^NO, DLQ \TOGO SLU^AQ \TOT REZULXTAT LEGKO PROWERITX I METODAMI [KOLXNOJ ALGEBRY,

QWLQETSQ KWAZICIRKULQNTOM I EE OPREDELITELX RAWEN

det(g) = a3 + 2b3 + 4c3 ¡ 6abc:

pO^EMU det(g) 6= 0, DLQ WSEH ® 6= 0? |TO MOVNO DOKAZATX, NAPRIMER, SLEDU@]IM OBRAZOM6. wOSPOLXZUEMSQ TOVDESTWAMI

u3 + v3 + w3 ¡ 3uvw = (u + v + w)(u2 + v2 + w2 ¡ uv ¡ uw ¡ vw); u2 + v2 + w2 ¡ uv ¡ uw ¡ vw = 12 ((u ¡ v)2 + (u ¡ w)2 + (v ¡ w)2):

6W.Wi»eslaw, Algebra geometryczna, Wroclaw, 1974, p.1{405, STR.60{61.

^TO NEWOZMOVNO TAK KAK TOGDA WSE SLAGAEMYE DOLVNY BYLI BY RAWNQTXSQ 0. nO WEDX, ESLI p p p p

a ¡ b 3 2 = a ¡ c 3 4 = 0, TO W SILU LINEJNOJ NEZAWISIMOSTI 1; 3 2; 3 4, POLU^IM a = b = c = 0. tAKIM OBRAZOM, OPREDELITELX MATRICY g WSEGDA 6= 0 I, ZNA^IT, SISTEMA URAWNENIJ OTNOSITELXNO x; y; z IMEET EDINSTWENNOE RE[ENIE. tEPERX UVE SOWSEM NESLOVNO NAJTI \TO RE[ENIE:

w DALXNEJ[EM MY BUDEM OBY^NO OPUSKATX TAKOGO RODA TRIWIALXNYE WYKLADKI NEOBHODIMYE DLQ PROWERKI TOGO, ^TO TO ILI INOE MNOVESTWO ^ISEL OBRAZUET POLE.

zADA^A. iZBAWXTESX OT IRRACIONALXNOSTI W ZNAMENATELE WYRAVENIQ, PRIWEDENNOGO W SAMOM NA^ALE \TOGO PARAGRAFA.

uKAZANIE. pROWERXTE, ^TO a+bp2+cp4 7!a+b! p2+c!2 p4 ZADAET TREBUEMYJ IZOMORFIZM.

x 3. pOLQ FUNKCIJ

² pOLE RACIONALXNYH FUNKCIJ NA ALGEBRAI^ESKOJ KRIWOJ. sEJ^AS MY OBSUDIM [IROKOE OBOB]ENIE POLQ K(x). pUSTX X { PLOSKAQ ALGEBRAI^E- SKAQ KRIWAQ, ZADANNAQ URAWNENIEM f(x; y) = 0, GDE f 2 K[x; y]. eSLI MNOGO^LEN f NEPRIWODIM, TO S f MOVNO SWQZATX POLE K(X), NAZYWAEMOE POLEM RACIONALXNYH FUNKCIJ NA KRIWOJ X. dLQ \TOGO RASSMOTRIM PODKOLXCO R = K[x; y](f) KOLXCA K[x; y], SOSTOQ]EE IZ DROBEJ OPREDELENNYH NA X, T.E. WSEH DROBEJ WIDA g=h, g; h 2 K[x; y] TAKIH, ^TO f 6hj. dWE DROBI, g1=h1 I g2=h2 OPREDELENNYE NA X NAZYWA@TSQ RAWNYMI NA X, ESLI fjg1h2 ¡ h1g2. tOGDA K(X) { \TO MNOVESTWO KLASSOW DROBEJ OPREDELENNYH NA X OTNOSITELXNO RAWENSTWA NA X. nAPRIMER, ESLI X { OKRUVNOSTX, ZADANNAQ URAWNENIEM x2 + y2 = 1, TO (1 + y)=x = x=(1 ¡ y) W K(X). oPERACII W K(X) { \TO OBY^NYE OPERACII NAD DROBQMI (NUVNO E]E, KONE^NO, DOKAZATX, ^TO ONI KORREKTNO OPREDELENY!)

² pOLE MEROMORFNYH FUNKCIJ. pUSTX U µ C { OTKRYTOE SWQZNOE PODMNOVESTWO. mEROMORFNOJ FUNKCIEJ NA U NAZYWAETSQ FUNKCIQ WIDA U 7!C = C[f1g, z 7!f(z)=g(z), GDE f; g : U ¡! C { DWE GOLOMORFNYE FUNKCII, PRI^EM g =6 0. mEROMORFNYE FUNKCII NA U OBRAZU@T POLE KU OTNOSITELXNO SLOVENIQ I UMNOVENIQ FUNKCIJ. w SAMOM DELE, ESLI f=g =6 0, TO (f=g)¡1 = g=f. |TO POLE QWLQETSQ POLEM ^ASTNYH KOLXCA OU GOLOMORFNYH FUNKCIJ NA U.

² pOLE ALGEBROIDNYH FUNKCIJ. pO OPREDELENI@ \TO ALGEBRAI^ESKOE ZAMYKANIE POLQ MEROMORFNYH FUNKCIJ. w KONKRETNYH TERMINAH \TO POLE MOVNO OPISATX SLEDU@]IM OBRAZOM. rASSMOTRIM, PREVDE WSEGO, POLE FORMALXNYH RQDOW WIDA

X1

ajz(m+j)=n; aj 2 C; a0 6= 0; m 2 Z; n 2 N:

j=0

|TO ALGEBRAI^ESKI ZAMKNUTOE POLE. wYDELIM TEPERX TAKIE RQDY, KOTORYE SHODQTSQ W KAKOJTO OKRESTNOSTI 0 I KOTORYE MOVNO PRODOLVITX DO KONE^NOZNA^NOJ ANALITI^ESKOJ FUNKCII NA PLOTNOM OTKRYTOM PODMNOVESTWE W C, NE IME@]EJ NIKAKIH OSOBENNOSTEJ, KROME ALGEBRAI^ESKIH. tAKIE RQDY TOVE OBRAZU@T ALGEBRAI^ESKI ZAMKNUTOE POLE, KOTOROE, KAK RAZ I