Vavilov_N_Konkretnaya_teoria_kolets
.pdfkolxca: first draught |
81 |
x 12. oBRA]ENIE FORMALXNYH RQDOW
1. oBRA]ENIE RQDOW OTNOSITELXNO UMNOVENIQ. qSNO, ^TO 1 QWLQETSQ NEJTRALXNYM \LEMENTOM OTNOSITELXNO UMNOVENIQ FORMALXNYH STEPENNYH RQDOW.
tEOREMA. pUSTX R { PROIZWOLXNOE KOMMUTATIWNOE KOLXCO. tOGDA
R[[x]]¤ = ff = Xfixi 2 R[[x]] j f0 2 R¤g:
dOKAZATELXSTWO. tO, ^TO LEWAQ ^ASTX SODERVITSQ W PRAWOJ, WYTEKAET IZ TOGO, ^TO ESLI fg = 1 DLQ NEKOTOROGO g 2 R[[x]], TO f0g0 = 1, TAK ^TO f0 2 R¤. oBRATNO, PREDPOLOVIM, ^TO f0 2 R¤, POSTROIM OBRATNYJ K f RQD. dLQ \TOGO PREVDE WSEGO PREDSTAWIM f W WIDE f = a0(1¡h), GDE h { RQD BEZ SWOBODNOGO ^LENA. tOGDA (1 ¡ h)(1 + h + h2 + : : : ) = 1 = I, TAKIM OBRAZOM, BUDU^I PROIZWEDENIEM DWUH OBRATIMYH \LEMENTOW, f OBRATIM. (gDE MY ISPOLXZOWALI, ^TO h RQD BEZ SWOBODNOGO ^LENA?)
2. rAZLOVENIE RACIONALXNYJ DROBI W RQD. tAKIM OBRAZOM, ESLI R = K
{ POLE, TO WSE MNOGO^LENY S NENULEWYM SWOBODNYM ^LENOM OBRATIMY W K[[x]]. |TO ZNA^IT, ^TO KAVDU@ RACIONALXNAQ DROBX f=g, PORQDOK KOTOROJ W 0 ¸ 0, MOVNO PREDSTAWITX FORMALXNYM RQDOM h 2 K[[x]], KOTORYJ NAZYWAETSQ RAZLOVENIEM \TOJ RACIONALXNOJ DROBI. pUSTX h = Panxn 2 K[[x]]. kAK UZNATX, QWLQETSQ LI h RAZLOVENIEM RACIONALXNOJ DROBI. w \TOM SLU^AE ^ASTO GOWORQT, ^TO h QWLQETSQ RACIONALXNOJ DROBX@. sLEDU@]AQ ZADA^A QWLQETSQ PREKRASNOJ ILL@STRACIEJ IDEI LINEJNOJ ZAWISIMOSTI.
zADA^A. dOKAVITE, ^TO DLQ TOGO, ^TOBY h 2 K[[x]] BYLO RACIONALXNOJ DROBX@, NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY SU]ESTWOWALI TAKIE l; m 2 N, ^TO STROKI
(am¡l+1; am¡l+2; : : : ); (am¡l+2; am¡l+3; : : : );
: : :
(am+1; am+2; : : : );
LINEJNO ZAWISIMY.
rE[ENIE. w SAMOM DELE, \TO ZNA^IT, ^TO SU]ESTWUET TAKOJ MNOGO^LEN g 2 K[x]², ^TO f = gh TOVE MNOGO^LEN. pUSTX g = b0 + : : : + blxl I f = c0 + : : : + cmxm. wY^ISLQQ KO\FFICIENTY PROIZWEDENIQ gh PRI xn, n > m, MY WIDIM, ^TO
b0an + b1an¡1 + : : : + blan¡1 = 0. pODSTAWLQQ S@DA POO^EREDNO n = m + 1; m + 2, POLU^IM
b0am+1 + b1am + : : : + blam¡l+1 = 0 b0am+2 + b1am+1 + : : : + blam¡l+2 = 0
: : :
KAK I UTWERVDALOSX.
fIGURIRU@]EE W \TOJ ZADA^E USLOWIE ESTESTWENNEE WSEGO WYRAVAETSQ W TER-
MINAH SLEDU@]EGO OPREDELITELQ gANKELQ: |
|
|
|
|||
|
|
an |
an+1 |
: : : |
an+h¡1 |
|
|
Ban+h 1 |
an+h |
:: :: :: |
an+2h 2 C |
||
Hn(h) = det |
0 |
an+1 |
an+2 |
: : : |
an+h |
1 |
|
@ |
¡ |
|
|
¡ |
A |
82 |
nikolaj wawilow |
zADA^A. dOKAZATX TOVDESTWO lX@ISA k\RROLA(??)
Hn(h)Hn(h+2) ¡ Hn(h+1)Hn(h+2¡1) = ¡Hn(h+1) ¢2
x 13. oBRA]ENIE FORMALXNYH RQDOW OTNOSITELXNO KOMPOZICII
kOMPOZICIQ FORMALXNYH STEPENNYH RQDOW
1. oBRA]ENIE RQDOW OTNOSITELXNO KOMPOZICII. nEJTRALXNYM \LEMEN-
TOM OTNOSITELXNO KOMPOZICII W R[[x]] QWLQETSQ RQD x: f ± x = f = x ± f. tAK KAK KOMPOZICIQ W R[[x]] QWLQETSQ ^ASTI^NO OPREDELENNOJ OPERACIEJ, MY BUDEM RASSMATRIWATX PODMNOVESTWO R[[x]]0 RQDOW BEZ SWOBODNOGO ^LENA, NA KOTOROM KOMPOZICIQ UVE WS@DU OPREDELENA. sLEDU@]IJ REZULXTAT OPISYWAET OBRATIMYE RQDY OTNOSITELXNO KOMPOZICII60.
tEOREMA. pUSTX R { PROIZWOLXNOE KOMMUTATIWNOE KOLXCO. tOGDA
X
R[[x]]¤0 = ff = fixi 2 R[[x]]0; f1 2 R¤g:
dOKAZATELXSTWO. tO, ^TO LEWAQ ^ASTX SODERVITSQ W PRAWOJ, WYTEKAET IZ TOGO, ^TO ESLI fg = 1 DLQ NEKOTOROGO g 2 R[[x]]0, TO f1g1 = 1, TAK ^TO f1 2 R¤. oBRATNO, NAM NUVNO POKAZATX, ^TO ESLI f0 = 0, A f1 2 R¤, TO RQD f OBRATIM W SMYSLE KOMPOZICII. w KA^ESTWE PERWOGO [AGA, POSTROIM PRAWYJ OBRATNYJ K
fRQD g. pOLOVIM g0 = 0 I g1 = f1¡1 pRI WSEH n ¸ 2 KO\FFICIENT PRI xn W
f± g RAWEN 0. s DRUGOJ STORONY, ON RAWEN KO\FFICIENTU PRI xn W MNOGO^LENE f1g+f2g2 +: : : fngn, QWLQ@]EMSQ NA^ALXNYM OTREZKOM RQDA f ±g (WSE OSTALXNYE ^LENY RQDA f ± g NA^INA@TSQ S BOLX[IH STEPENEJ x!). tAKIM OBRAZOM, MY POLU^AEM REKURRENTNOE SOOTNO[ENIE
f1gn + rn(f2; : : : ; fn; g1; : : : ; gn¡1) = 0;
GDE rn 2 Z[x2; : : : ; xn; y1; : : : ; yn¡1] { NEKOTORYJ MNOGO^LEN S CELYMI KO\FFICIENTAMI OT 2(n ¡ 1) PEREMENNOJ, LINEJNYJ PO PEREMENNYM x2; : : : ; xn. tAK KAK
f |
1 |
2 |
R¤, TO \TO SOOTNO[ENIE POZWOLQET WY^ISLITX g |
n |
, ESLI g |
1 |
; : : : ; g |
n¡1 |
|
UVE |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
||||||
IZWESTNY. pRODOLVAQ DEJSTWOWATX PO INDUKCII, MY POLU^IM RQD g = |
P |
gix , |
||||||||||||
TAKOJ, ^TO f ± g = x. tAK KAK g0 = 0, g1 2 R¤, TO K RQDU g W SWO@i |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O^EREDX |
||
MOVNO PRIMENITX TU VE PROCEDURU I POSTROITX RQD h = |
|
hix TAKOJ, ^TO |
||||||||||||
h ± g = x. oBY^NAQ WYKLADKA, ISPOLXZU@]AQ |
ASSOCIATIWNOSTX KOMPOZICII |
NA |
||||||||||||
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
( |
||||
R[[x]]0 KOMPOZICIQ WS@DU OPREDELENA I ASSOCIATIWNA!), POKAZYWAET, ^TO h = f, TAK ^TO g DEJSTWITELXNO QWLQETSQ DWUSTORONNIM OBRATNYM K f.
w Mathematica IMPLEMENTRIROWANO NESKOLXKO OPERACIJ S FORMALXNYMI STE-
PENNYMI RQDAMI
²ComposeSeries[f,g] WY^ISLQET KOMPOZICI@ FORMALXNYH STEPENNYH RQDOW f I g, PRI \TOM RQD g DOLVEN BYTX RQDOM BEZ SWOBODNOGO ^LENA.
²InverseSeries[f,x] { OBRA]AET FORMALXNYJ STEPENNOJ RQD f PO OTNO[E- NI@ K PEREMENNOJ x.
60aNRI kARTAN, |LEMENTARNAQ TEORIQ ANALITI^ESKIH FUNKCIJ ODNOGO I NESKOLXKIH KOMPLEKSNYH PEREMENNYH, iil, m., 1963, 296S.
kolxca: first draught |
83 |
x 14. pOLE FORMALXNYH STEPENNYH RQDOW
pUSTX K { PROIZWOLXNOE P. nA[EJ OSNOWNOJ CELX@ QWLQETSQ POSTROENIE POLQ k((x)), NAHODQ]EGOSQ W TAKOM VE OTNO[ENII K POL@ K(x) RACIONALXNYH DROBEJ, KAK KOLXCO K[[x]] FORMALXNYH STEPENNYH RQDOW K KOLXCU MNOGO^LENOW K[x]. oDNAKO, KAK WSEGDA, MY WNA^ALE PROWEDEM \TU KONSTRUKCI@ DLQ PROIZWOLXNOGO KOLXCA KO\FFICIENTOW.
1. kOLXCO FORMALXNYH RQDOW lORANA. pUSTX R { PROIZWOLXNOE KOMMUTA-
TIWNOE KOLXCO S 1. fORMALXNYJ RQD lORANA IZOBRAVAETSQ KAK
|
1 |
a¡mx¡m + : : : + a¡1x¡1 + a0 + a1x + : : : + anxn + : : : = |
X |
anxn; |
|
|
n¸¡m |
GDE ai 2 R. oBOZNA^IM MNOVESTWO WSEH FORMALXNYH RQDOW lORANA NAD R ^EREZ R((x)). qSNO, ^TO R((x)) QWLQETSQ KOLXCOM OTNOSITELXNO OBY^NYH OPERACIJ
NAD RQDAMI. |
f = Pai m |
1 |
1 |
|
dLQ RQDA lORANA |
||||
xi |
MNOGO^LEN lORANA |
|
a¡mx¡ + : : : + a¡1x¡ 2 K[x¡ ]
NAZYWAETSQ GLAWNOJ ^ASTX@ \TOGO RQDA. oSNOWNU@ ROLX W TEORII RQDOW, KAK S TO^KI ZRENIQ ALGEBRY, TAK I ANALIZA, IGRAET KO\FFICIENT a¡1 = res(f), KOTORYJ NAZYWAETSQ WY^ETOM RQDA f. kAK WSEGDA, OBOZNA^IM ^EREZ ord(f) NAIMENX[IJ NOMER m TAKOJ, ^TO am 6= 0. eSLI ord(f) < 0, TO ¡ ord(f) NAZYWAETSQ
PORQDKOM POL@SA RQDA f W 0.
2. pOLE FORMALXNYH STEPENNYH RQDOW. w SLU^AE, KOGDA R = K POLE,
KOLXCO K((x)) DOPUSKAET OSOBENNO PROSTOE OPISANIE. dELO W TOM, ^TO W \TOM SLU^AE KAVDYJ FORMALXNYJ RQD IZ K[[x]]² DOPUSKAET (EDINSTWENNOE) PREDSTAWLENIE W WIDE f = xmg, GDE g { FORMALXNYJ RQD PORQDKA 0, A m = ord(f) 2 N0. tAK KAK WSE RQDY PORQDKA 0 OBRATIMY UVE W K[[x]], TO DLQ TOGO, ^TOBY SDELATX OBRATIMYMI WSE NENULEWYE \LEMENTY KOLXCA K[[x]], DOSTATO^NO OBRATITX x. tAKIM OBRAZOM, POLE ^ASTNYH Q(K[[x]]) KOLXCA FORMALXNYH STEPENNYH RQDOW K[[x]] \TO W TO^NOSTI GLAWNAQ LOKALIZACIQ \TOGO KOLXCA W x:
Q(K[[x]]) = K[[x]]x = K((x)):
iNYMI SLOWAMI, KAVDYJ \LEMENT Q(K[[x]]) IMEET WID f = xmg, GDE, PO-PREV- NEMU, ord(g) = 0, NO TEPERX m 2 Z. w POLE K((x)) MOVNO OTMETITX E]E ODNO SOOTNO[ENIE DLQ PORQDKA, ord(f¡1) = ¡ ord(f).
w ^ASTNOSTI, TAK KAK TEPERX L@BOJ NENULEWOJ MNOGO^LEN f 2 K[x] OBRATIM (A NE TOLXKO MNOGO^LENY PORQDKA 0), TO K(x) · K((x)). kAVDOJ DROBI f=g SOPOSTAWLQETSQ RQD lORANA fg¡1 2 K((x)) NAZYWAETSQ EE RAZLOVENIEM.
pREDOSTEREVENIE. |TI REZULXTATY NE RASPROSTRANQ@TSQ NA FORMALXNYE RQDY OT NESKOLXKIH PEREMENNYH!
zADA^A61. dOKAVITE, ^TO (x + y)¡1 2= K[[x; y]]x;y. iNYMI SLOWAMI, ESLI OBRATITX x I y, \TO E]E NE ZNA^IT, ^TO I x + y TOVE STANET OBRATIMYM!
uKAZANIE. dEJSTWUJTE BESHITROSTNO, UMNOVXTE x + y NA RQD a00 + a10x + a01y + : : : I UBEDITESX, ^TO W TAKOM PROIZWEDENII WSEGDA OSTAETSQ PO KRAJNEJ MERE DWA SLAGAEMYH.
61wourbaki?, aLGEBRA II, gL.IV, ZADA^A 7 NA STR.80.
84 |
nikolaj wawilow |
x 15. kOLXCO KOSYH MNOGO^LENOW
R[x; Á; ±],
xa = Á(a)x + ±(a).
PRI \TOM Á 2 Aut(R), ± 2 Der(R).
x 16. kOLXCO MNOGO^LENOW OT NEKOMMUTIRU@]IH PEREMENNYH
Rhx; yi { KOLXCO MNOGO^LENOW OT NEKOMMUTIRU@]IH PEREMENNYH x, y, alias SWOBODNAQ ALGEBRA S DWUMQ OBRAZU@]IMI.
x 17. dALXNEJ[IE WARIANTY KOLXCA MNOGO^LENOW
kWANTOWYE MNOGO^LENY xy = qyx.
x 18. lINGWISTI^ESKIE RAZMY[LIZMY NA TEMU MNOGO^LENOW I MALO^LENOW
bOLGARIN, ZNAJ SWOJ NAROD I QZYK!
1. mNOGO^LEN versus POLINOMIALXNYJ. zDESX UMESTNO SDELATX NEBOLX[OE LINGWISTI^E- SKOE OTSTUPLENIE. q DUMA@, ^TO BOLX[INSTWO PI[U]IH PO-RUSSKI PROFESSIONALXNYH MATEMATIKOW PREDPO^ITAET POLXZOWATXSQ TERMINOM MNOGO^LEN (HOTQ TERMIN POLINOM TAKVE WPOLNE WOZMOVEN I DOSTATO^NO UPOTREBIM). w TO VE WREMQ, EDINSTWENNYM PRILAGATELXNYM, KOTOROE SOOTNOSITSQ W MATEMATIKE S TERMINOM MNOGO^LEN, QWLQETSQ POLINOMIALXNYJ. tAK, GOWORQT O POLINOMIALXNYH URAWNENIQH, POLINOMIALXNYH FUNKCIQH, etc.; MNE TRUDNO DAVE PREDSTAWITX SEBE, ^TO MOGLO BY OZNA^ATX WYRAVENIE MNOGO^LENNAQ FUNKCIQ.
e]E SLOVNEE OBSTOIT DELO S MONOMAMI, BINOMAMI I TRINOMAMI. tERMINY MONOM I ODNO^LEN POLNOSTX@ RAWNOPRAWNY, I BOLX[INSTWO ALGEBRAISTOW, WIDIMO, UPOTREBLQ@T TERMIN MONOM, DAVE KOGDA ONI GOWORQT O MNOGO^LENAH (ZA ISKL@^ENIEM, RAZUMEETSQ, TAKIH WYRAVENIJ, KAK STAR[IJ ^LEN, SWOBODNYJ ^LEN, I T.D.). rAZUMEETSQ, \TO TEM BOLEE WERNO DLQ PRILAGATELXNOGO MONOMIALXNYJ, KOTOROE QWLQETSQ EDINSTWENNO WOZMOVNYM W TAKIH WYRAVENIQH, KAK MONOMI-
ALXNAQ MATRICA, MONOMIALXNAQ GRUPPA, etc. nAPROTIW, TERMIN BINOM NASTOLXKO VESTKO SWQ-
ZAN S WYRAVENIEM BINOM nX@TONA, ^TO PRAKTI^ESKI NEWOZMOVNO NAZWATX BINOMOM SUMMU DWUH MONOMOW. |PITET BINOMIALXNYJ W TAKIH WYRAVENIQH, KAK BINOMIALXNYJ KO\FFICIENT, BINO-
MIALXNOE RASPREDELENIE, I T.D. TAKVE OTNOSITSQ IMENNO K BINOMU nX@TONA. nAKONEC, SLOWO TRINOM, NASKOLXKO MNE IZWESTNO, WOOB]E NIKOGDA NE ISPOLXZUETSQ PO-RUSSKI, BUDU^I WYTESNENO ZNAMENITYM KWADRATNYM TREH^LENOM. kSTATI, SLOWO MALO^LEN DEJSTWITELXNO SU]ESTWUET W RUSSKOM QZYKE, SM., NAPRIMER, KNIGU a.hOWANSKOGO mALO^LENY, 1997.
|TO LI[X ODIN IZ WESXMA MNOGO^ISLENNYH SLU^AEW, KOGDA RUSSKIJ MATEMATI^ESKIJ UZUS OTDAET QWNOE PREDPO^TENIE KALXKIROWANNOMU SU]ESTWITELXNOMU I ZAIMSTWOWANNOMU PRILAGATELXNOMU. pRIWEDEM NESKOLXKO O^EWIDNYH PRIMEROW:
?sLOVENIE { ADDITIWNYJ;
?uMNOVENIE { MULXTIPLIKATIWNYJ (NU NE UMNOVITELXNYJ VE, W SAMOM DELE);
?oTNO[ENIE { RELQCIONNYJ (RELQCIONNAQ ALGEBRA);
?wYSKAZYWANIE { PROPOZICIONALXNYJ (W WYRAVENIQH PROPOZICIONALXNAQ SWQZKA I T.D.; WYSKAZYWATELXNYJ PROSTO NEWOZMOVNO);
?pERESTANOWKA { PERMUTACIONNYJ (SLOWO PERESTANOWO^NYJ TOVE WOZMOVNO, NO GORAZDO ^A]E UPOTREBLQETSQ W SMYSLE KOMMUTIRU@]IJ: PERESTANOWO^NYE MATRICY versus MATRICA PERESTANOWKI I PERMUTACIONNOE PREDSTAWLENIE);
?uRAWNENIE { \KWACIONALXNYJ (WPRO^EM, \TOT \PITET [IROKO UPOTREBLQETSQ LI[X W LOGIKE I NAHODQ]IHSQ POD EE WLIQNIEM RAZDELAH OB]EJ ALGEBRY, BOLX[INSTWO VE MATEMATIKOW PREDPO^TET PARAFRAZ ZADANNYJ URAWNENIQMI);
?dELENIE KRUGA { CIKLOTOMI^ESKIJ (CIKLOTOMI^ESKIE POLINOMY { WPRO^EM, TAKVE I MNOGO^LENY DELENIQ KRUGA);
?bESKONE^NO MALAQ { INFINITEZIMALXNYJ;
?cENTR TQVESTI { BARICENTRI^ESKIJ;
kolxca: first draught |
85 |
?pOSLEDOWATELXNOSTX { SEKWENCIALXNYJ (SLOWO POSLEDOWATELXNYJ TOVE SU]ESTWUET, NO IS-
POLXZUETSQ KAK SINONIM SLOWA KONSEKUTIWNYJ: POSLEDOWATELXNYE NATURALXNYE ^ISLA, A WOWSE NE DLQ OPISANIQ ^EGO-LIBO, OPREDELQEMOGO PRI POMO]I POSLEDOWATELXNOSTEJ);
?mNOGOGRANNIK { POLI\DRALXNYJ (KONE^NO, MNOGOGRANNYJ TOVE UPOTREBIMO W TAKIH WYRAVENIQH, KAK MNOGOGRANNYJ UGOL I, S DRUGOJ STORONY, MNOGOGRANNIKI W MNOGOMERNYH PROSTRANSTWAH ^ASTO NAZYWA@TSQ POLI\DRAMI ILI POLITOPAMI { WPRO^EM, I W TREHMERNOM PRO-
STRANSTWE OBY^NO GOWORQT O TETRA\DRAH, OKTA\DRAH, : : : , A NE O ^ETYREHGRANNIKAH, WOSXMI-
GRANNIKAH, : : : ; WPRO^EM PO NEIZWESTNOJ PRI^INE PRAWILXNYJ GEKSA\DR NAZYWAETSQ KUBOM);
?{ESTIUGOLXNIK { GEKSAGONALXNYJ ([ESTIUGOLXNYJ OTNOSITSQ K FORME GAJKI, RE[ETKI VE I UPAKOWKI [AROW GEKSAGONALXNY);
?oPREDELITELX { DETERMINANTALXNYJ (NAPRIMER, DETERMINANTALXNYE MNOGOOBRAZIQ, KONE^-
NO, I SAM DETERMINANT WSTRE^AETSQ DOWOLXNO ^ASTO, NO WSE VE MNOGO REVE OPREDELITELQ);
?sLOWO { WERBALXNYJ (WERBALXNAQ PODGRUPPA);
?sOKRA]ENIE { REDUCIROWANNYJ (^ASTO TAKVE PRIWEDENNYJ, NO, KONE^NO, WOWSE NE SOKRA- ]ENNYJ; WPRO^EM SLOWO REDUCIROWANNYJ { NE PUTATX S REDUKTIWNYJ { PODDERVIWAETSQ I WESXMA UPOTREBITELXNYM TERMINOM REDUKCIQ);
?sDWIG { TRANSLQCIONNYJ (TRANSLQCIONNAQ SIMMETRIQ);
etc., etc., etc.
zAMETIM, KSTATI, ^TO TO VE QWLENIE - INOGDA W GORAZDO BOLEE RADIKALXNYH FORMAH { SWOJSTWENNO QZYKU PROFESSIONALOW DRUGIH OBLASTEJ. w MATEMATIKE SU]ESTWITELXNOE ^ASTX DAET WSE VE PRILAGATELXNOE ^ASTNYJ (^ASTNYE PROIZWODNYE), W TO WREMQ KAK W FIZIKE { PARCIALXNYJ (PARCIALXNYE DAWLENIQ). oBY^NYMI PRILAGATELXNYMI, OBRAZOWANNYMI OT SPINY,
BOKA I VIWOTA W ZOOLOGII, QWLQ@TSQ DORSALXNYJ, LATERALXNYJ I WENTRALXNYJ, SOOTWETSTWEN-
NO. nESLOVNO PRIWESTI MNOVESTWO PODOBNYH PRIMEROW W LINGWISTIKE, PSIHOLOGII I DRUGIH OBLASTQH ZNANIQ.
2. pOPYTKA OB_QSNENIQ. mOVNO PREDPOLAGATX, ^TO OTME^ENNOE OBSTOQTELXSTWO SWQZANO SO SLEDU@]IMI OSNOWNYMI PRI^INAMI:
²sTREMLENIEM K TO^NOSTI. wIDIMO PSIHOLOGI^ESKI ZNA^ITELXNO LEG^E ISPOLXZOWATX TERMINOLOGI^ESKI SU]ESTWITELXNOE, IME@]EE UVE IZWESTNOE BYTOWOE ZNA^ENIE, ^EM SDELATX TO VE DLQ PRILAGATELXNYH.
²tEM, ^TO CENTRALXNAQ ^ASTX { ILI, KAK TEPERX PRINQTO GOWORITX, TWERDOE QDRO { UPOTREBIMOJ SEGODNQ RUSSKOJ MATEMATI^ESKOJ TERMINOLOGII SFORMIROWALASX POD OPREDELQ@]IM WLIQNIEM NEMECKOGO QZYKA (O^EWIDNO, ^TO RUSSKIE MNOVESTWO I OTOBRAVENIE QWLQ@TSQ KALX-
KAMI S Menge I Abbildung, A WOWSE NE S set I mapping ILI ensemble I application { KSTATI,
W POSLEDNEM SLU^AE ONI BY, WEROQTNO, TAK I NAZYWALISX PO-RUSSKI ANSAMBLX I APPLIKACIQ), A NEMECKOJ NAU^NOJ TERMINOLOGII TAKVE SWOJSTWENNO ISPOLXZOWANIE AWTOHTONNYH SU]ESTWITELXNYH { W PROTIWOWES PRILAGATELXNYM, POSTROENNYM NA OSNOWE LATINSKIH I GRE^ESKIH KORNEJ.
²tRUDNOSTX@ OBRAZOWANIQ PRILAGATELXNYH OT WYRAVENIJ (HOTQ a priori NEPONQTNO, ^EM KRUGODELITELXNYJ ILI CENTROTQVESTNYJ, HUVE TYSQ^ DRUGIH PODOBNYH ISKUSSTWENNYH OBRA-
ZOWANIJ, NAPODOBIE PRILAGATELXNYH CENTROSTREMITELXNYJ, GROMOGLASNYJ ILI ZLATOKUDRYJ {
SOTNI PODOBNYH SLOW BYLI PRIDUMANY W XVIII { XIX WEKAH DLQ ZAMENY ZAIMSTWOWANIJ IZ KLASSI^ESKIH QZYKOW I NE WYZYWA@T SEGODNQ BOLX[E NIKAKOGO PROTESTA: RAWNOSILXNYJ WMESTO
\KWIWALENTNYJ, RAWNOUDALENNYJ WMESTO \KWIDISTANTNYJ, PRQMOUGOLXNYJ WMESTO ORTOGONALXNYJ, [ESTIUGOLXNYJ WMESTO GEKSAGONALXNYJ I T.D.62.
²kOLOSSALXNYJ OTPE^ATOK NALOVILO ISPOLXZOWANIE TEH ILI INYH PONQTIJ W [KOLXNOJ PROGRAMME { I WREMQ IH POQWLENIQ W RUSSKOQZY^NOJ LITERATURE. nAPRIMER, POSKOLXKU O WOZ-
WRATNYH MESTOIMENIQH I PEREHODNYH GLAGOLAH [LA RE^X W [KOLE, WOZWRATNOSTX I PEREHODNOSTX
FIGURIRU@T I W SERXEZNOJ LINGWISTI^ESKOJ LITERATURE. w TO VE WREMQ W MATEMATIKE \TI PONQTIQ W [KOLE TRADICIONNO NE WWODILISX I PO\TOMU STUDENT SRAZU WSTRE^AETSQ S REFLEKSIWNOSTX@ I TRANZITIWNOSTX@. nAPROTIW, S XVIII WEKA W [KOLXNOM PREPODAWANII RE^X [LA O
62zAMETIM, WPRO^EM, ^TO NI W ODNOM IZ \TIH SLU^AEW RUSSKIJ NOWODEL NE SMOG WYTESNITX INOQZY^NOGO SLOWA, BOLEE TOGO, ZA ISKL@^ENIEM PERWOGO DUBLETA, RUSSKIE PEREWODY WOOB]E NE WOSPRINIMA@TSQ KAK SINONIMY TEH SLOW, KOTORYE ONI PRIZWANY BYLI ZAMENITX.
86 |
nikolaj wawilow |
PEREMESTITELXNOM, SO^ETATELXNOM I RASPREDELITELXNOM ZAKONAH { I PO\TOMU STUDENTU MATEMA-
TIKU PRIHODITSQ PEREU^IWATXSQ NA PRAWILXNYE TERMINY KOMMUTATIWNOSTX, ASSOCIATIWNOSTX
I DISTRIBUTIWNOSTX.
3. tRUDNOSTX RUSSKOJ NAU^NOJ RE^I. k S^ASTX@, RUSSKIJ QZYK NE ZNAL \POH RADIKALXNOGO PURIZMA, S ^EM I SWQZAN TOT FAKT, ^TO \TO ODIN IZ TREH QZYKOW MIRA S ZAFIKSI- ROWANNYM SLOWARNYM ZAPASOM BOLEE MILLIONA SLOW. zA S^ET GIBKOSTI SLOWOOBRAZOWANIQ I GROMADNOGO KOLI^ESTWA ZAIMSTWOWANNYH SLOW W RUSSKOM NAU^NOM TEKSTE ^ASTO ISPOLXZU@TSQ RAZLI^NYE TERMINY W TEH KONTEKSTAH, GDE ZAPADNYE QZYKI ISPOLXZU@T ODNO SLOWO. nAPRIMER, generator PEREWODITSQ, W ZAWISIMOSTI OT KONTEKSTA, KAK OBRAZU@]AQ, POROVDA@]AQ ILI
GENERATOR; relation { KAK OTNO[ENIE, SOOTNO[ENIE, SWQZX, ILI DAVE RODSTWENNIK, factor { KAK MNOVITELX, SOMNOVITELX ILI FAKTOR, divisor { KAK DELITELX ILI DIWIZOR, inversion { KAK OBRA]ENIE I INWERSIQ, decomposition { KAK RAZLOVENIE I DEKOMPOZICIQ I TAK DALEE. eSTX I OB-
RATNYE PRIMERY, SKAVEM, ANGLIJSKIE manifold I variety OBA PEREWODQTSQ NA RUSSKIJ ODNIM I TEM VE SLOWOM MNOGOOBRAZIE (KALXKA S NEMECKOGO Mannigfaltigkeit, WPRO^EM, W NEMECKOM PRISUTSTWUET I VarietÄat), ILI unit I identity, KOTORYE OBA PEREWODQTSQ SLOWOM EDINICA (SNOWA NEMECKOE WLIQNIE!) NO TAKIH SLU^AEW SRAWNITELXNO NEMNOGO. i UV SOWSEM NEIZWESTNA DRUGIM QZYKAM TERRITORIALXNAQ DIFFERENCIACIQ NAU^NOJ RE^I, KOGDA, SKAVEM, W pETERBURGE GOWORITSQ O WE]ESTWENNYH ^ISLAH, A W mOSKWE O DEJSTWITELXNYH (I PRI \TOM I TAM I TAM ISPOLXZUETSQ SIMWOL R PODRAZUMEWA@]IJ, ^TO \TI ^ISLA NAZYWA@TSQ REALXNYMI). pRIQTNOE RAZNOOBRAZIE DOBAWLQLOSX W POSLEDNIE DESQTILETIQ OBILIEM PEREWODOW S INOSTRANNOGO I OTSEBQTINOJ { INOGDA UDA^NOJ, A INOGDA BEZDARNOJ { W PEREDA^E ANGLIJSKIH SLOW I KONSTRUKCIJ (NEKOTORYH RAZDRAVAET OBILIE NEPEREWARENNYH ZAIMSTWOWANIJ, [EJPOW, STEKOW, PULLB\KOW I PU[AUTOW { NO S MOEJ TO^KI ZRENIQ, \TO KAK RAZ DALEKO NE SAMOE HUD[EE; OPASNEE WSEGO IMENNO OTSEBQTINA, KOTORAQ NE POZWOLQET UWIDETX, ^TO IMENNO STOQLO W ORIGINALE).
pO\TOMU ^ITATX (I W OSOBENNOSTI PISATX) NAU^NYE TEKSTY PO-RUSSKI ZNA^ITELXNO SLOVNEE, ^EM, SKAVEM, PO-ANGLIJSKI ILI PO-FRANCUZSKI. oWLADENIE PRAWILXNYM I TO^NYM ISPOLXZOWANIEM QZYKA PREDSTAWLQET SOBOJ SU]ESTWENNU@ ^ASTX TOGO, ^TO NAZYWAETSQ `MATEMATI^ESKOJ KULXTUROJ'. eDINSTWENNYJ SOWET, KOTORYJ MOVNO ZDESX DATX { RUKOWODSTWOWATXSQ PRINCIPOM DZEN-BUDDIJSKOJ PEDAGOGIKI: `DELAJ KAK Q'. nA^INA@]IJ DOLVEN SOZNATELXNO I BESSOZNATELXNO PODRAVATX TOMU, KAK ISPOLXZU@T QZYK MASTERA.
kolxca: first draught |
87 |
gLAWA 6. kolxca matric
tEPERX MY NA^NEM RASSMATRIWATX E]E ODNU IZ WAVNEJ[IH ALGEBRAI^ESKIH KONSTRUKCIJ, KOTORAQ POZWOLIT NAM, S ODNOJ STORONY, POSTROITX MNOGO NOWYH PRIMEROW KOLEC, A S DRUGOJ, NAGLQDNO OPISYWATX LINEJNYE OTOBRAVENIQ.
x 1. oSNOWNYE OPREDELENIQ, SWQZANNYE S MATRICAMI
w \TOM PARAGRAFE MY OPREDELIM MNOVESTWO MATRIC FIKSIROWANNOGO TIPA.
1. mATRICY. fORMALXNO, MATRICA | \TO PROSTO SEMEJSTWO, INDEKSIROWANNOE DWUMQ ARGUMENTAMI63.
oPREDELENIE. pUSTX I I J SUTX DWA MNOVESTWA (NAZYWAEMYE W DALXNEJ-
[EM MNOVESTWOM STRO^NYH INDEKSOW I MNOVESTWOM STOLBCOWYH INDEK-
SOW, SOOTWETSTWENNO), A X | PROIZWOLXNOE MNOVESTWO. tOGDA MATRICEJ TIPA I £ J S KOMPONENTAMI IZ X NAZYWAETSQ PROIZWOLXNOE SEMEJSTWO x : I £ J ¡! X. zNA^ENIE x NA PARE (i; j) 2 I £ J NAZYWAETSQ KOMPONENTOJ
(ILI KO\FFICIENTOM ILI MATRI^NYM \LEMENTOM) MATRICY x W POZICII (i; j) (INOGDA NA MESTE (i; j)).
oBOZNA^IM ^EREZ M(I; J; X) MNOVESTWO WSEH MATRIC TIPA I£J S KO\FFICIENTAMI IZ X. mATRICA x OBY^NO ZADAETSQ INDEKSIROWANNOJ SOWOKUPNOSTX@ SWOIH MATRI^NYH \LEMENTOW, KOTORYE OBOZNA^A@TSQ x(i; j) = xi;j. oBY^NO ZAPQTU@ ZDESX OPUSKA@T I PI[UT PROSTO xij. sAMA MATRICA W \TOM SLU^AE OBY^NO ZAPISYWAETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM: x = (xij), i 2 I, j 2 J. nAPOMNIM, ^TO PONQTIE RAWENSTWA MATRIC SLEGKA OTLI^AETSQ OT PONQTIQ RAWENSTWA OTOBRAVENIJ. a IMENNO, OBLASTX ZNA^ENIJ X NE WHODIT W OPREDELENIE RAWENSTWA MATRIC. pO OPREDELENI@ DWE MATRICY x I y RAWNY, ESLI RAWNY SOOTWETSTWU@]IE MNOVESTWA INDEKSOW I I J, I DLQ L@BOJ POZICII (i; j) 2 I £J MATRI^NYE \LEMENTY x I y W \TOJ POZICII SOWPADA@T, T.E. xij = yij. oTMETIM, ^TO PRI \TOM MATRI^NYE KO\FFICIENTY DOLVNY PRINADLEVATX PERESE^ENI@ OBLASTEJ ZNA^ENIJ X I Y OTOBRAVENIJ x I y, NO SAMI OBLASTI ZNA^ENIJ DWUH RAWNYH MATRIC MOGUT BYTX RAZLI^NY.
kOMMENTARIJ. rUSSKIJ TERMIN `MATRI^NYJ \LEMENT' QWLQETSQ NEUDA^NOJ KALXKOJ NEMECKOGO `MAtrixelement'. kONE^NO, MATRI^NYJ \LEMENT QWLQETSQ W DEJSTWITELXNOSTI NE \LEMENTOM MATRICY, A ODNIM IZ EE ZNA^ENIJ. w ANGLIJSKOM QZYKE DLQ MATRI^NYH \LEMENTOW SU]ESTWUET SPECIALXNYJ TERMIN `entry', OZNA^A@]IJ, PRIMERNO, `ZAPISX', `WHOVDENIE', `SLOWARNAQ STATXQ'.
2. kONE^NYE MATRICY. ~ASTO | NO DALEKO NE WSEGDA | MNOVESTWA INDEKSOW MATRICY KONE^NY I SOSTOQT IZ POSLEDOWATELXNYH NATURALXNYH ^ISEL. w SLU- ^AE, KOGDA I = m = f1; : : : ; mg I J = n = f1; : : : ; ng GOWORQT, ^TO x | MATRICA RAZMERA (ILI TIPA) m £n (^ITAETSQ `m NA n'). nATURALXNO INDEKSIROWANNAQ KONE^NAQ MATRICA IZOBRAVAETSQ PRQMOUGOLXNOJ TABLICEJ SLEDU@]EGO WIDA:
x = |
0 x11 |
:: :: :: |
x1n 1 |
|
@xm1 |
: : : |
xmn A |
63`wSE, ^TO NE STRO^KA I NE STOLBEC, ESTX PRQMOUGOLXNAQ MATRICA' | `wSE, ^TO NE sTREND I pIKADILI, ESTX bELGREJWSKAQ PLO]ADX' | g.dVEFFRIS, b.sWIRLS, mETODY MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. T.I. | m., mIR, 1969, S.1{423; STR.193.
88 |
nikolaj wawilow |
pRI \TOM m NAZYWAETSQ ^ISLOM STROK, A n | ^ISLOM STOLBCOW MATRICY x. kOROTKO MATRICA x ZAPISYWAETSQ W WIDE x = (xij), 1 · i · m, 1 · j · n.
oSOBENNO WAVEN SLU^AJ, KOGDA MNOVESTWO STRO^NYH INDEKSOW SOWPADAET S MNOVESTWOM STOLBCOWYH INDEKSOW, I = J. tAKIE MATRICY NAZYWA@TSQ KWADRATNYMI. mNOVESTWO WSEH KWADRATNYH MATRIC TIPA I £ I S KO\FFICIENTAMI IZ X OBOZNA^AETSQ ^EREZ M(I; X) = M(I; I; X). w SLU^AE KONE^NOJ KWADRATNOJ MATRICY x ^ISLO m = n NAZYWAETSQ PORQDKOM (ILI STEPENX@) MATRICY x.
pREDOSTEREVENIE. dLQ TOGO, ^TOBY MATRICA BYLA KWADRATNOJ, NEDOSTATO^- NO, ^TOBY jIj = jJj. nEOBHODIMO, ^TOBY I = J!
mNOVESTWO WSEH MATRIC RAZMERA m £ n S KO\FFICIENTAMI IZ X (GOWORQT E]E NAD X) OBOZNA^AETSQ M(m; n; X), LIBO nXm, LIBO PROSTO Xm£n. pRI \TOM MNOVESTWO WSEH KWADRATNYH MATRIC PORQDKA n NAD X OBOZNA^AETSQ PROSTO
M(n; X) = M(n; n; X).
kOMMENTARIJ. wPRO^EM I W ALGEBRE I W ANALIZE ^ASTO RASSMATRIWA@TSQ BESKONE^NYE MATRICY, INDEKSNYE MNOVESTWA KOTORYH SOWPADA@T S N ILI Z. pRI \TOM POLU^AETSQ TEORIQ, KOTORAQ INTERESNA I SAMA PO SEBE I KAK ISTO^NIK PRIMEROW I KONTR-PRIMEROW W ALGEBRE I W SWQZI S MNOGO^ISLENNYMI PRILOVENIQMI W TEORII SUMMIROWANIQ64. w ANALIZE [IROKO ISPOLXZU@TSQ I KONTINUALXNYE MATRICY K(x; y), x; y 2 R, NAZYWAEMYE TAM QDRAMI.
x 2. `pRQMOUGOLXNYE TABLICY ^ISEL'
w \TOM PARAGRAFE MY RASSKAVEM, ^EM NE QWLQETSQ MATRICA.
1.`pRQMOUGOLXNYE TABLICY ^ISEL'. sLEDUET IMETX W WIDU, ^TO
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
@ |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 A |
||
| \TO NE EDINI^NAQ MATRICA, A ODIN IZ WOZMOVNYH SPOSOBOW ZADANIQ ILI IZOBRAVENIQ \TOJ MATRICY. w Mathematica TA VE MATRICA MOVET ZADANA, TYSQ^X@ DRUGIH SPOSOBOW, NAPRIMER,
KAK IdentityMatrix[3], KAK ff1,0,0g,f0,1,0g,f0,0,1gg ILI KAK
Table[If[i==j,1,0],fi,1,3g,fj,1,3g]:
w BOLX[INSTWE \LEMENTARNYH U^EBNIKOW LINEJNOJ ALGEBRY PROIZNOSQTSQ BESSMYSLENNYE ZAKLINANIQ, NAPODOBIE SLEDU@]EGO: \MATRICEJ NAZYWAETSQ PRQMOUGOLXNAQ TABLICA ^ISEL"65. kAK OTME^A@T sEMENOW I {MIDT66, W \TOM OPREDELENII WERNO WSE, KROME TREH SLOW: \PRQMOUGOLXNAQ", \TABLICA", \^ISEL". pRQMOUGOLXNYE TABLICY QWLQ@TSQ ODNIM IZ SPOSOBOW IZOBRAVENIQ MATRIC, NO OTN@DX NE SAMIMI MATRICAMI. dELO W TOM, ^TO OBY^NO RASSMATRIWA@TSQ KONE^NYE MATRICY, STROKI I STOLBCY KOTORYH INDEKSIROWANY POSLEDOWA-
TELXNYMI NATURALXNYMI ^ISLAMI. |TO WWODIT W ZABLUVDENIE.
pUSTX, NAPRIMER, STROKI I STOLBCY MATRICY INDEKSIROWANY \LEMENTAMI MNOVESTWA X = f$; $; U; Eurog, A \LEMENT axy W POZICII (x; y), x; y 2 X | \TO OBMENNYJ KURS IZ WAL@TY x W WAL@TU y W DANNOM BANKE. pOLU^A@]AQSQ KWADRATNAQ MATRICA (PREDPOLOVITELXNO S DIAGONALXNYMI KO\FFICIENTAMI axx = 1 I PROIZWEDENIQMI axyayx < 1 PRI x 6= y) MENQETSQ OT BANKA K BANKU (I OTO DNQ KO DN@). rASSMOTRIM TEPERX DRUGU@ SITUACI@. pUSTX X = fEuro; DM; FF; Litg. rE[ENIE EMU ZAFIKSIROWALO MATRICU OBMENNYH KURSOW DLQ WSEH STRAN EWROZONY. tEM NE MENEE W 1999{2001 GODAH W BANKAH gERMANII, iTALII I fRANCII \TA (ODNA I TA VE!) MATRICA IZOBRAVALASX PO RAZNOMU.
64r.kUK, bESKONE^NYE MATRICY I PROSTRANSTWA POSLEDOWATELXNOSTEJ. | gifml, m., 1960, S.1{471.
65wARIANT: `PRQMOUGOLXNAQ TABLICA IZ ^ISEL' | w.a.iLXIN, |.g.pOZNQK, lINEJNAQ AL-
GEBRA. | nAUKA, m., 1974, S.1{296. STR.12.
66a.a.sEMENOW, r.a.{MIDT, nA^ALA ALGEBRY. ~ASTX II. | spBgu, m., 2002.
kolxca: first draught |
89 |
2. oPASNOSTI NATURALXNOJ INDEKSACII. w BOLX[INSTWE \LEMENTARNYH U^EBNIKOW STROKI I STOLBCY MATRIC INDEKSIROWANY POSLEDOWATELXNYMI NATURALXNYMI ^ISLAMI. |TO SOZDAET U NA^INA@]IH, BOLX[INSTWA NESPECIALISTOW I DAVE NEKOTORYH SPECIALISTOW OPASNU@ ILL@ZI@, ^TO STROKI I STOLBCY MATRIC ESTESTWENNYM OBRAZOM LINEJNOJ UPORQDO^ENY. |TA ILL@ZIQ PODDERVIWAETSQ TEM, ^TO IZ WSEH ALGEBRAI^ESKIH GRUPP BOLX[INSTWO MATEMATIKOW WIDELO TOLXKO POLNU@ LINEJNU@ GRUPPU GL(n; K), PRITOM TOLXKO W WEKTORNOM I KOWEKTORNOM PREDSTAWLENIQH.
oDNAKO W DEJSTWITELXNOSTI DLQ MNOGIH WOPROSOW TEORII PREDSTAWLENIJ W WYS[EJ STEPENI SU]ESTWENNO, ^TO INDEKSY, KOTORYMI NUMERU@TSQ STROKI I STOLBCY MATRIC, QWLQ@TSQ NE LINEJNO UPORQDO^ENNYMI, A LI[X ^ASTI^NO UPORQDO^ENNYMI. dELO W TOM, ^TO, KROME UPOMQNUTYH WY[E PREDSTAWLENIJ IMEETSQ E]E TOLXKO TRI TIPA PREDSTAWLENIJ (WEKTORNOE PREDSTAWLENIE SIMPLEKTI^ESKOJ Sp(2l; K) I NE^ETNOJ ORTOGONALXNOJ SO(2l + 1; K) GRUPP I 7- MERNOE PREDSTAWLENIE GRUPPY TIPA G2), DLQ KOTORYH STROKI I STOLBCY DOPUSKA@T ESTESTWENNYJ LINEJNYJ PORQDOK. uVE DLQ WEKTORNOGO PREDSTAWLENIQ ^ETNOJ ORTOGONALXNOJ GRUPPY SO(2l; K) I BIWEKTORNOGO PREDSTAWLENIQ GL(n; K) \TO SOWER[ENNO NE TAK. pODROBNOSTI I MNOGO DALXNEJ[IH SSYLOK MOVNO NAJTI W67;68;69.
rAZUMEETSQ, \TO RAZLI^IE STANOWITSQ NESRAWNENNO BOLEE DRAMATI^ESKIM DLQ BESKONE^NYH MATRIC. dELO W TOM, ^TO, W TO WREMQ KAK IMEETSQ PO SU]ESTWU EDINSTWENNYJ SPOSOB LINEJNO UPORQDO^ITX KONE^NOE MNOVESTWO, DLQ BESKONE^NOGO MNOVESTWA \TO UVE SOWER[ENNO NE TAK. nET NIKAKOGO ESTESTWENNOGO SPOSOBA LINEJNO UPORQDO^ITX BESKONE^NOE MNOVESTWO. eSLI jXj = n, TO KONKRETNYJ WYBOR LINEJNOGO PORQDKA NA X WLIQET, KONE^NO, NA TO, KAKIE MATRICY BUDUT WERHNIMI TREUGOLXNYMI. wOT KAK WYGLQDIT KOLXCO B(n; K) WERHNIH TREUGOLXNYH MATRIC DLQ n = 4, OTNOSITELXNO PORQDKOW 1 < 2 < 3 < 4 I 1 > 2 > 3 > 4:
0 |
0 |
¤ |
¤ |
¤ |
1 |
; |
B |
¤ |
¤ |
¤ |
¤ |
|
|
0 |
0 |
¤ |
¤ C |
|
||
B |
0 |
0 |
0 |
|
C |
|
@ |
|
|
|
¤ A |
|
|
0 |
¤ |
¤ |
0 |
0 |
1 |
: |
B |
¤ |
0 |
0 |
0 |
|
|
¤ |
¤ |
¤ |
0 C |
|
||
B |
|
|
|
|
C |
|
@¤ |
¤ |
¤ |
¤ A |
|
||
oDNAKO LEGKO WIDETX, ^TO KLASS IZOMORFIZMA POLU^A@]IHSQ KOLEC NE ZAWISIT OT WYBORA PORQDKA. nO ^TO TAKOE WERHNIE TREUGOLXNYE MATRICY W M(X; R), GDE X | S^ETNOE MNOVESTWO? bIEKCII X $ N, X $ Z, X $ Q, GDE MNOVESTWA N, Z, Q, RASSMATRIWA@TSQ S ESTESTWENNYMI PORQDKAMI, OPREDELQ@T SOWER[ENNO RAZLI^NYE MNOVESTWA WERHNIH TREUGOLXNYH MATRIC. mNOVESTWA B(N; K) I B(Z; K) OBRAZU@T RAZLI^NYE (NE IZOMORFNYE!) KOLXCA, A MNOVESTWO B(Q; K) WOOB]E NE QWLQETSQ KOLXCOM (POTOMU ^TO PROIZWEDENIE DWUH MATRIC NE OPREDELENO!)
x 3. pERWYE PRIMERY MATRIC
mATRICY WSTRE^A@TSQ NAM WS@DU. zDESX MY NA^INAEM ILL@STRIROWATX \TO PONQTIE.
1. pERWYE PRIMERY. wOT NESKOLXKO PROSTEJ[IH PRIMEROW, W SLEDU@]IH PARAGRAFAH OPISANO MNOGO DALXNEJ[IH PRIMEROW.
²iMEETSQ ROWNO ODNA PUSTAQ MATRICA, NE ZAWISQ]AQ OT X. oNA POLU^A- ETSQ, ESLI HOTQ BY ODNO IZ MNOVESTW I ILI J PUSTO.
²l@BU@ STROKU
v = (v1; : : : ; vn) 2 nX
DLINY n S KOMPONENTAMI IZ X MOVNO RASSMATRIWATX KAK MATRICU RAZMERA 1£n, U KOTOROJ MNOVESTWO STRO^NYH INDEKSOW SOSTOIT IZ ODNOGO \LEMENTA. oBY^NO
67N.A.Vavilov, Structure of Chevalley groups over commutative rings. | Proc. Conf. Nonassociative algebras and related topics (Hiroshima | 1990), World Sci. Publ., London et al., 1991, p.219{335.
68E.B.Plotkin, A.A.Semenov, N.A.Vavilov, Visual basic representations: an atlas. | Int. J. Algebra and Computations, 1998, vol.8, N.1, p.61{97.
69N.A.Vavilov, A third look at weight diagrams. | Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 2000, vol.204, N.1, p.201{250.
90 |
nikolaj wawilow |
MY BUDEM OTOVDESTWLQTX \TU STROKU S SOOTWETSTWU@]EJ MATRICEJ I PISATX
M(1; n; X) = nX.
² tO^NO TAK VE MY OTOVDESTWIM STOLBEC
0 u1 1
u = @ ... A 2 Xn un
WYSOTY n S KOMPONENTAMI IZ X S MATRICEJ RAZMERA n£1, U KOTOROJ MNOVESTWO STOLBCOWYH INDEKSOW SOSTOIT IZ ODNOGO \LEMENTA: M(n; 1; R) = Rn.
~ASTO DLQ \KONOMII MESTA MY BUDEM ZAPISYWATX STOLBEC u W WIDE u = (u1; : : : ; un)T , GDE T IZOBRAVAET FORMALXNOE TRANSPONIROWANIE.
pREDOSTEREVENIE. sLEDUET, ODNAKO, IMETX W WIDU, ^TO FORMALXNOE TRANSPONIROWANIE QWLQETSQ NE MATEMATI^ESKOJ, A ^ISTO TIPOGRAFSKOJ OPERACIEJ, EDINSTWENNAQ CELX KOTOROJ S\KONOMITX MESTO NA STRANICE!!! zA ISKL@^ENIEM SLU^AQ, KOGDA X = R ESTX KOMMUTATIWNOE KOLXCO, \TA OPERACIQ NE SOWPADAET S NASTOQ[IM TRANSPONIROWANIEM, KOTOROE MY IZU^AEM W x ?.
² nIVE PRIWEDENY NESKOLXKO MATRIC \LEMENTY KOTORYH PRINADLEVAT DWUH- \LEMENTNOMU MNOVESTWU X = f0; ¤g:
µ |
0 |
|
¶ |
0 |
0 |
¤ |
1 |
|
0 |
0 |
¤ |
¤ |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
¤ |
|
|
||||
0 |
¤ |
¤ |
|
@ |
¤ |
¤ |
A |
|
@ |
¤ |
0 |
|
|
|
¤ |
|
0 |
|
|
0 |
|
¤ A |
|
||||||
|
¤ |
; |
|
|
|
; |
|
|
|
|
: |
|||
pERWAQ IZ NIH IMEET RAZMER 2 £ 3, WTORAQ | RAZMER 3 £ 2, A TRETXQ QWLQETSQ KWADRATNOJ MATRICEJ PORQDKA 3.
² nIVE IZOBRAVENA MATRICA, RAZMERA 3 £ 3
0 |
3 |
2 |
1 |
1 |
; |
@ |
1 |
2 |
3 |
|
|
2 |
1 |
3 A |
|
||
SOGLASNO NA[EMU OPREDELENI@ RAWENSTWA MATRIC, \TO ODNA I TA VE MATRICA, NEZAWISIMO OT TOGO, RASSMATRIWAEM MY EE KAK MATRICU S NATURALXNYMI, CELYMI, RACIONALXNYMI, WE]ESTWENNYMI ILI KOMPLEKSNYMI \LEMENTAMI | ILI VE KAK MATRICU S \LEMENTAMI IZ MNOVESTWA f1; 2; 3g.
2. mATRICY W BYTU. w DEJSTWITELXNOSTI MATRICY WSTRE^A@TSQ NAM WS@DU, GDE WOZNIKAET NUMERACIQ OB_EKTOW DWUMQ PARAMETRAMI.
²tURNIRNAQ MATRICA. nA DIAGONALX W TURNIRNOJ MATRICE ZAPISYWAETSQ 0, A W NEDIAGONALXNOJ POZICII (i; j) ZAPISYWAETSQ 1,1/2 ILI 0, W ZAWISIMOSTI OT TOGO, KAK ZAKON^ILASX PARTIQ x I y, A IMENNO, WYIGRAL x U y, ZAKON^ILASX PARTIQ WNI^X@ ILI x PROIGRAL y.
²rASSTANOWKA FIGUR NA [AHMATNOJ DOSKE ZADAETSQ MATRICEJ, INDEKSNOE MNOVESTWO STROK KOTOROJ RAWNO fa; b; c; d; e; f; g; hg, INDEKSNOE MNOVESTWO STOLBCOW | f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8g, A \LEMENTY PRINADLEVAT MNOVESTWU
fWhite,Redg£fKing,Queen,Rook,Bishop,Knight,Pawng[f0g
rAZUMEETSQ, FAKTI^ESKI NA LEGALXNU@ RASSTANOWKU, KOTORAQ MOVET WOZNIKNUTX W HODE [AHMATNOJ PARTII, NAKLADYWAETSQ MNOGO DOPOLNITELXNYH OGRANI^ENIJ, WYTEKA@]IH IZ PRAWIL [AHMATNOJ IGRY.