Vavilov_N_Konkretnaya_teoria_kolets
.pdfkolxca: first draught |
91 |
² pIKSELI. kARTINKA NA \KRANE MONITORA ZADAETSQ MATRICEJ RAZMERA 640£480, 800£600, 1024 £ 768, 1152 £ 864, 1280 £ 960, 1280 £ 1024, 1600 £ 1200, c \LEMENTAMI IZ MNOVESTWA RBG,
OPISANNOGO W gLAWE 3 kNIGI I. pOZICII \TOJ MATRICY NAZYWA@TSQ PIKSELQMI. qSNO, ^TO \TO MNOVESTWO KONE^NO, NO DOWOLXNO WELIKO. pOSTARAEMSQ OCENITX, NASKOLXKO ONO WELIKO, ESLI, SKAVEM, KOLI^ESTWO PIKSELEJ RAWNO 1152 ¢ 864 = 995328 (OBRATITE WNIMANIE, ^TO \TO MENX[E ODNOGO MEGAPIKSELQ, DLQ BYTOWYH KAMER UVE SEGODNQ HARAKTERNO RAZRE[ENIE 4-5 MEGAPIKSELEJ). w REVIME TrueColor KOLI^ESTWO WOZMOVNYH CWETOW RAWNO jRBGj = 2563 = 16777216.
tAKIM OBRAZOM OB]EE ^ISLO WOZMOVNYH KARTINOK NA \KRANE MONITORA W \TOM REVIME RAWNO 16777216995328. |TO BOLX[OE ^ISLO. ~TOBY PONQTX, NASKOLXKO ONO BOLX[OE, MOVNO ZAMETITX, ^TO UVE W ^ISLE 2995328, KOTOROE SOOTWETSTWUET SLU^A@, KOGDA U NAS WSEGO 2 CWETA,
BELYJ I ^ERNYJ, 299624 CIFR, TAK ^TO DLQ EGO ZAPISI NUVNO 150 STRANIC TEKSTA OBY^NOGO FORMATA. nO WEDX W DEJSTWITELXNOSTI U NAS 224 CWETOW! q WOZDERVUSX OT TOGO, ^TOBY PRIWODITX TO^NOE ZNA^ENIE ^ISLA 16777216995328, TAK KAK NEPOSREDSTWENNOE WY^ISLENIE
Length[IntegerDigits[16777216 ^ 995328]] POKAZYWAET, ^TO W NEM 7190967 CIFR, DLQ ZAPISI KOTORYH NUVNO 3596 STRANIC OBY^NOGO FORMATA!
x 4. fRAGMENTY MATRIC: STROKI I STOLBCY, PODMATRICY, DIAGONALI
sEJ^AS MY OB_QSNQEM NESKOLXKO SPOSOBOW WYDELQTX ^ASTI MATRIC.
1. sTROKI I STOLBCY MATRIC. w DALXNEJ[EM MY OBY^NO S^ITAEM, ^TO
I= m = 1; : : : ; m I J = n = f1; : : : ; ng HOTQ WSE OPREDELENIQ LEGKO OBOB]A@TSQ
INA OB]IJ SLU^AJ.
oPREDELENIE. pUSTX x | MATRICA PORQDKA m £n NAD X. tOGDA DLQ L@BOGO INDEKSA 1 · i · m GOWORQT O STROKE
xi¤ = (xi1; : : : ; xin) 2 nX
KAK OB i-J STROKE MATRICY x. aNALOGI^NO, DLQ L@BOGO 1 · j · n STOLBEC
x¤j = (x1j; : : : ; xmj)T 2 Xn
NAZYWAETSQ j-M STOLBCOM MATRICY x.
wWEDENNYE NAMI OBOZNA^ENIQ DLQ STROK I STOLBCOW WESXMA UDOBNY I MY BUDEM ^ASTO POLXZOWATXSQ IMI DLQ SOKRA]ENIQ FORMUL.
2. pODMATRICY. sTROKI I STOLBCY QWLQ@TSQ ^ASTNYM SLU^AEM PODMATRIC. wOOB]E DLQ L@BYH PODMNOVESTW I0 µ I I J0 µ J MOVNO RASSMOTRETX OGRANI^ENIE SEMEJSTWA x S I £ J NA I0 £ J0. l@BOE TAKOE OGRANI^ENIE NAZYWAETSQ PODMATRICEJ (Untermatrix, submatrix, SUBMATRICEJ) MATRICY x, SO STROKAMI IZ I0 I STOLBCAMI IZ J0. nAPRIMER, ESLI 1 · i1 < : : : < is · m I 1 · j1 < : : : < jt · n, GDE 1 · s · m I 1 · t · n, TO SOOTWETSTWU@]AQ POD-
MNOVESTWAM fi1; : : : ; isg µ f1; : : : ; mg I fj1; : : : ; jtg µ f1; : : : ; ng PODMATRICA IZOBRAVAETSQ TABLICEJ
0xi1j1 |
:: :: :: |
xi1jt |
1 |
@xisj1 |
: : : |
xisjt |
A |
RAZMERA s £ t. nA \TU PODMATRICU MOVNO SMOTRETX DWOQKO. s ODNOJ STORONY, MOVNO SKAZATX, ^TO ONA POLU^AETSQ WYBOROM STROK S NOMERAMI IZ I0 I STOLBCOW S NOMERAMI IZ J0. s DRUGOJ STORONY, ONA POLU^AETSQ WY^ERKIWANIEM STROK S NOMERAMI IZ I n I0 I STOLBCOW S NOMERAMI IZ J n J0.
92 |
nikolaj wawilow |
rASSMOTRIM TEPERX MNOVESTWO M(I; X) KWADRATNYH MATRIC. l@BAQ PODMATRICA MATRICY x, POLU^A@]AQSQ WYBOROM STROK I STOLBCOW IZ ODNOGO I TOGO VE MNOVESTWA J NAZYWAETSQ GLAWNOJ PODMATRICEJ.
3. dIAGONALI. wO MNOGIH WOPROSAH IGRA@T ROLX POZICII, STOQ]IE NA PERESE^ENII STROK I STOLBCOW S ODNIM I TEM VE NOMEROM. a IMENNO, GLAWNOJ DIAGONALX@ (principal diagonal, Hauptdiagonale) MATRICY x NAZYWAETSQ SPI-
SOK
(x11; x22; : : : ; xrr);
GDE r = min(m; n). pOZICII (i; j) W MATRICE, RASPOLOVENNYE NA GLAWNOJ DIAGONALI, T.E. TE, DLQ KOTORYH i = j, NAZYWA@TSQ DIAGONALXNYMI. pRO TE POZICII, DLQ KOTORYH i < j, GOWORQT, ^TO ONI RASPOLOVENY WY[E GLAWNOJ DIAGONALI, A PRO TE, DLQ KOTORYH i > j, | ^TO ONI RASPOLOVENY NIVE GLAW-
NOJ DIAGONALI.
dLQ KWADRATNYH MATRIC PORQDKA n ^ASTO GOWORQT O POBO^NOJ DIAGONALI (Nebendiagonale) | \TO SPISOK (x1n; x2;n¡1; : : : ; xn1). iNOGDA POBO^NAQ DIAGO-
NALX NAZYWAETSQ TAKVE KOSOJ DIAGONALX@ (skew diagonal) ILI WTOROJ DIA-
GONALX@ (second diagonal)
nESKOLXKO REVE, NO TOVE DOSTATO^NO ^ASTO ISPOLXZU@TSQ TAKVE NADDIAGONALI I PODDIAGONALI. a IMENNO, NADDIAGONALX@ KWADRATNOJ MATRICY x = (xij) PORQDKA n NAZYWAETSQ SPISOK (x12; : : : ; xn¡1;n), A PODDIAGONALX@ | SPISOK
(x21; : : : ; xn;n¡1). wOOB]E, (x1;1+r; : : : ; xn¡r;n), NAZYWAETSQ r-J NADDIAGONALX@, ONA SOSTOIT IZ \LEMENTOW MATRICY x W POZICIQH (i; j), GDE j ¡ i = r.
aNALOGI^NO, (x1+r;1; : : : ; xn;n¡r) NAZYWAETSQ r-J PODDIAGONALX@, ONA SOSTOIT IZ WSEH \LEMENTOW MATRICY x W POZICIQH (i; j), GDE i ¡ j = r.
x 5. nEKOTORYE INDIWIDUALXNYE MATRICY
sEJ^AS MY WWEDEM NESKOLXKO INDIWIDUALXNYH MATRIC, KOTORYE NASTOLXKO ^ASTO WOZNIKA@T W DALXNEJ[EM, ^TO MY ZAFIKSIRUEM IH STANDARTNYE OBOZNA- ^ENIQ
² nULEWAQ I EDINI^NAQ MATRICA. nAIBOLEE IZWESTNYMI MATRICAMI QWLQ@TSQ NULEWAQ I EDINI^NAQ MATRICY
0 = |
0 0 |
0 |
: : : |
0 1 |
e = |
0 0 |
1 |
: : : |
0 1 |
||||
|
B |
0 |
0 |
: : : |
0 |
C |
|
B |
1 |
0 |
: : : |
0 |
C |
|
: 0: : : |
0: : |
:: :: :: : 0: : |
|
: 0: : : |
0: : |
:: :: :: : 1: : |
||||||
|
@ |
|
|
|
|
A |
|
@ |
|
|
|
|
A |
|TI MATRICY DEJSTWITELXNO QWLQ@TSQ NEJTRALXNYMI \LEMENTAMI OTNOSITELXNO SLOVENIQ I UMNOVENIQ MATRIC. w POZICII (i; j) MATRICY e STOIT ±ij. dLQ OB]EGO \LEMENTA EDINI^NOJ MATRICY NIKOGDA ISPOLXZUETSQ ZAPISX eij, TAK KAK \TO OBOZNA^ENIE ISPOLXZUETSQ W SOWER[ENNO DRUGOM SMYSLE.
² sTANDARTNYE MATRI^NYE EDINICY. sTANDARTNOJ MATRI^NOJ EDINI-
CEJ NAZYWAETSQ MATRICA eij U KOTOROJ W POZICII (i; j) STOIT 1, A WSE OSTALXNYE MATRI^NYE \LEMENTY RAWNY 0. iNYMI SLOWAMI, (eij)hk = ±ih±jk. iZOBRAZIM, DLQ PRIMERA, WSE STANDARTNYE MATRI^NYE EDINICY STEPENI 2:
e11 |
= |
µ0 |
0 ¶ |
; |
e12 |
= |
µ0 |
0 ¶ |
; |
e21 |
= |
µ1 |
0 ¶ |
; |
e22 |
= |
µ0 |
1 ¶ |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
kolxca: first draught |
93 |
sTANDARTNYE MATRI^NYE EDINICY ZAME^ATELXNY TEM, ^TO ONI OBRAZU@T BAZIS KOLXCA MATRIC M(n; R) KAK SWOBODNOGO R-MODULQ.
² pER_DINI^NAQ MATRICA. mATRICA S OB]IM \LEMENTOM fij = ±i;n+1¡j ZAME^ATELXNA TEM, ^TO UMNOVENIE NA NEE SLEWA OSU]ESTWLQET PERESTANOWKU Reverse NA STROKAH, A SPRAWA | NA STOLBCAH.
f = |
0 |
0 |
: : : |
1 |
0 |
1 |
|
B |
0 |
: : : |
0 |
1 |
C |
|
: 1: : |
:: :: :: |
: 0: : |
: 0: : |
||
|
@ |
|
|
|
|
A |
pER_EDINI^NAQ MATRICA ^ASTO WOZNIKAET TAKVE W GEOMETRI^ESKOJ ALGEBRE I TEORII KLASSI^ESKIH GRUPP KAK MATRICA gRAMA SKALQRNYH PROIZWEDENIJ PO OTNO[ENI@ K BAZISU wITTA.
² pROBNAQ MATRICA. mATRICA S OB]IM \LEMENTOM Testij = 1 WOZNIKAET W RAZLI^NYH WOPROSAH MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI, NO INTERESNA I S ^ISTO ALGEBRAI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ
Test = |
0 |
1 |
1 |
: : : |
1 |
1 |
|
B |
1 |
1 |
: : : |
1 |
C |
|
: : : : : : : : : : : : |
|||||
|
@ |
1 |
1 |
: : : |
1 |
A |
|
|
|
||||
oNA ZAME^ATELXNA, NAPRIMER, TEM, ^TO QWLQETSQ NEJTRALXNYM \LEMENTOM OTNOSITELXNO UMNOVENIQ MATRIC PO aDAMARU.
² {AHMATNAQ DOSKA. mATRICA S OB]IM \LEMENTOM Chessij = (¡1)i+j WOZNIKAET WO MNOGIH WOPROSAH KOMBINATORIKI. oNA IZWESTNA KAK chessboard matrix ILI Schachbrettmatrix. iZOBRAZIM DLQ PRIMERA \TU MATRICU PORQDKA 4:
Chess = |
B |
1 |
¡1 |
1 |
¡1 |
C |
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|||
0 |
¡1 |
1 |
¡1 |
1 |
1 |
||
|
@ |
¡ |
¡1 |
¡ |
|
¡1 |
A |
|
|
1 |
1 |
|
|||
² sDWIG NAZAD I SDWIG WPERED. gROMADNU@ ROLX WO MNOGIH WY^ISLENIQH IGRA@T PODDIAGONALXNAQ MATRICA Back S OB]IM \LEMENTOM Backij = ±i+1;j,
Back = e21 + : : : + en;n 1 |
= |
0 |
1 |
0 |
: : : |
0 |
|
0 |
1 |
; |
|
|
@ |
0 |
0 |
: : : |
0 |
|
0 |
A |
|
|
|
|
: 0: : |
:: :: :: |
: 1: : |
|
|
|
||
¡ |
|
B: 0: : |
: |
0: : C |
|
|||||
I TRANSPONIROWANNAQ K NEJ NADDIAGONALXNAQ MATRICA Forward S OB]IM \LE-
MENTOM Forwardij = ±i;j+1,
Forward = e12 + : : : + en 1;n = |
0 |
: |
0: : |
: |
1: : |
:: :: :: |
: |
0: : |
: |
0: : |
1 |
: |
|
B |
|
0 |
|
0 |
: : : |
|
0 |
|
0 |
C |
|
¡ |
@ |
|
0 |
|
0 |
: : : |
|
0 |
|
1 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
94 |
nikolaj wawilow |
dELO W TOM, ^TO UMNOVENIE STROKI SPRAWA NA MATRICU Back REALIZUET PREOBRAZOWANIE \TOJ STROKI IZWESTNOE W Computer Science KAK ShiftLeft, SOSTOQ]EE W TOM, ^TO WSE \LEMENTY \TOJ STROKI SDWIGA@TSQ NA ODNU POZICI@ WLEWO, PRI \TOM PERWYJ \LEMENT WYBRASYWAETSQ, A NA POSLEDNEE MESTO STAWITSQ 0. aNALOGI^NO, UMNOVENIE NA Forward OSU]ESTWLQET PREOBRAZOWANIE ShiftRight, SOSTOQ]EE W SDWIGE WSEH \LEMENTOW STROKI NA ODNU POZICI@ WPRAWO.
² mATRICY kOKSETERA. wO MNOGIH WY^ISLENIQH BUDUT WOZNIKATX MATRICA PERESTANOWKI
Cox = e12 + : : : + en 1;n + en1 |
= |
0: |
0: : |
: |
1: : |
:: :: :: |
: |
0: : |
: |
0: : |
1: |
|
||||
¡ |
|
|
@ |
0 |
|
0 |
: : : 0 |
|
1 |
A |
|
|||||
|
|
|
B |
1 |
|
0 |
|
: : : |
|
0 |
|
0 |
C |
|
||
I TRANSPONIROWANNAQ K NEJ MATRICA |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Cox¡1 = e1n + e21 + : : : + en;n |
|
1 = |
1 |
|
|
0 |
|
: : : |
|
0 |
|
0 |
; |
|||
|
|
|
|
B |
0 |
|
|
0 |
|
: : : |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
¡ |
|
|
: 0: : |
|
: 0: : |
:: :: :: |
|
: 1: : |
|
: 0: : C |
|
||||
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
dLQ MATRIC PERESTANOWKI TRANSPONIROWANNAQ SOWPADAET S OBRATNOJ, ^TO I OTME^ENO W OBOZNA^ENII. uMNOVENIE STROKI SPRAWA NA MATRICU Cox REALIZUET PREOBRAZOWANIE RotateLeft, SOSTOQ]EE W TOM, ^TO WSE \LEMENTY \TOJ STROKI CIKLI^ESKI SDWIGA@TSQ NA ODNU POZICI@ WLEWO, INYMI SLOWAMI, PRI \TOM PERWYJ \LEMENT STAWITSQ NA POSLEDNEE MESTO STAWITSQ 0. aNALOGI^NO, UMNOVENIE NA Cox¡1 OSU]ESTWLQET PREOBRAZOWANIE RotateRight, SOSTOQ]EE W CIKLI^ESKOM SDWIGE WSEH \LEMENTOW STROKI NA ODNU POZICI@ WPRAWO, PRI \TOM POSLEDNIJ \LEMENT STAWITSQ NA PERWOE MESTO.
² mATRICA wANDERMONDA. sLEDU@]AQ MATRICA DESQTKI RAZ WOZNIKNET U NAS W KURSE PO SAMYM RAZNYM POWODAM
|
0 |
2 |
2 |
|
2 |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
: : : |
1 |
|
|
V (x1; : : : ; xn) = |
B |
x1 |
x2 |
: : : |
xn |
|
C |
:x:1: |
:x:2: |
:: :: :: |
:x:n: |
|
|||
|
Bx1¡ |
x2¡ |
: : : xn¡ |
|
C |
||
|
@ |
|
|
|
|
|
A |
|
B n 1 |
n 1 |
|
n |
1 |
C |
|
x 6. Mathematica MATRIC
1st installment: ZADANIE MATRIC
w SISTEME Mathematica IMPLEMENTIROWANO DOWOLXNO MNOGO STANDARTNYH FUNKCIJ, SWQZANNYH S MATRICAMI.
1. zADANIE MATRIC. oPI[EM, PREVDE WSEGO, KAK POROVDA@TSQ MATRICY. oSNOWNAQ WNUTRENNQQ FORMA PREDSTAWLENIQ MATRICY \TO PERE^ISLENIE SPISKA, SOSTOQ]EGO IZ STROK MATRICY, KAVDYJ IZ KOTORYH TOVE TRAKTUETSQ KAK SPISOK. tAK, NAPRIMER, ZAPISX x=ffa,bg,fc,dgg
a |
b |
¶. tAKIM OBRAZOM, NIKAKOJ SIMMETRII MEVDU STROKAMI I STOLB- |
ZADAET MATRICU x = µ c |
d |
CAMI MATRICY W Mathematica NET!
² MatrixForm[x] POZWOLQET FAKTI^ESKI UWIDETX MATRICU x W TRADICIONNOJ MATEMATI^E- SKOJ FORME, KAK TABLICU.
kolxca: first draught |
95 |
² TableForm[x] TOVE DAET OBYNU@ MATRI^NU@ FORMU MATRICY x, NO BEZ KRUGLYH SKOBOK.
pOQSNENIE. iNYMI SLOWAMI, RAZLI^IE MEVDU MatrixForm I TableForm TAKOE VE, KAK MEVDU TEX'OWSKIMI KOMANDAMI npmatrix, KOTORAQ STAWIT WOKRUG IZOBRAVENIQ MATRICY KRUGLYE SKOBKI (parenthesis) I nmatrix, KOTORAQ TAKIH SKOBOK NE STAWIT (W DEJSTWITELXNOSTI, ESTX I BOLEE TONKIE OTLI^IQ W TRAKTOWKE [IRINY STOLBCOW, SWQZANNYE S FORMATIROWANIEM WYWODA, KOTORYE OTNOSQTSQ SKOREE K TIPOGRAFSKOMU DELU, ^EM K MATEMATIKE).
²Table[f,fi,mg,fj,ng], GDE f NEKOTORAQ FUNKCIQ OT i; j, GENERIRUET MATRICU x = (xij) RAZMERA m £ n TAKU@, ^TO xij = f(i; j).
²Array[f,fm,ng] GDE f IMQ FUNKCII, GENERIRUET MATRICU RAZMERA m £ n TAKU@, ^TO xij = f(i; j).
pOQSNENIE. w ^EM RAZLI^IE MEVDU Table I Array? pRI ISPOLXZOWANII Table PREDPOLAGAETSQ, ^TO f DEJSTWITELXNO QWLQETSQ FUNKCIEJ OT i; j I EE ZNA^ENIE FAKTI^ESKI WY^ISLQETSQ DLQ KAVDOJ PARY (i; j). tAK, NAPRIMER, Table[f,fi,3g,fj,3g] DAST fff,f,fg,ff,f,fg,ff,f,fgg. eSLI i ILI j NE WHODIT W WYRAVENIE DLQ f, TO WMESTO Table[f,fi,mg,fj,ng] MOVNO NAPISATX Table[f,fmg,fng]. w TO VE WREMQ Array GENERIRUET TABLICU ZNA^ENIJ, WOSPRINIMAQ KAK f KAK IMQ FUNKCII, TAK ^TO Array[f,f3,3g] DAST
fff[1,1],f[1,2],f[1,3]g,ff[2,1],f[2,2],f[2,3]g,ff[3,1],f[3,2],f[3,3]gg:
tEM SAMYM, Array[f,fm,ng] RAWNOZNA^NO Table[f[i,j],fi,mg,fj,mg].
tAK, NAPRIMER, Table[0,fmg,fng] ZADAET NULEWU@ MATRICU RAZMERA m £ n. kONSTRUKCIQ
Table[If[i<j,1,0],fi,4g,fj,4g] DAET NAM MATRICU
ff0,1,1,1g,f0,0,1,1g,f0,0,0,1g,f0,0,0,0gg:
zADA^A. w Mathematica ESTX FUNKCIQ Random[ ], POROVDA@]AQ (PSEWDO)SLU^AJNOE ^ISLO W OTREZKE [0; 1]. kAKOJ IZ SLEDU@]IH KONSTRUKCIJ wY WOSPOLXZUETESX DLQ GENERACII (PSEW-
DO)SLU^AJNOJ 3 £ 3 MATRICY: Table[Random[ ],f3g,f3g] ILI Array[Random[ ],f3,3g]?
rE[ENIE. pERWAQ IZ \TIH KONSTRUKCIJ WY^ISLQET Random[ ] DEWQTX RAZ, PO ODNOMU DLQ KAVDOJ PARY (i; j). |TO DAST NAM DEWQTX SLU^AJNYH ^ISEL. wTORAQ WY^ISLIT ODNO SLU^AJNOE ^ISLO I BUDET TRAKTOWATX EGO KAK IMQ FUNKCII, WRQD LI \TO TO, ^TO NAM HOTELOSX!
²DiagonalMatrix[x], GDE x = (x1; : : : ; xn) GENERIRUET DIAGONALXNU@ MATRICU S DIAGONALXNYMI KO\FFICIENTAMI x1; : : : ; xn, tEM SAMYM DiagonalMatrix[fx,y,zg] DAST NAM MATRICU diag(x; y; z).
2.wYDELENIE FRAGMENTOW MATRIC. wYDELENIE FRAGMENTOW MATRIC PROIZWODITSQ PRI POMO]I SLEDU@]IH STANDARTNYH KONSTRUKCIJ.
²x[[i,j]] WYDELQET \LEMENT MATRICY x W POZICII (i; j);
²x[[fi1,: : : ,irg,fj1,: : : ,jsg]] WYDELQET PODMATRICU W x, SOSTOQ]U@ IZ \LEMENTOW, STO- Q]IH NA PERESE^ENII STROK S NOMERAMI i1; : : : ; ir I STOLBCOW S NOMERAMI IZ j1; : : : ; js;
²x[[i]] PROIZWODIT WYDELENIE i-J STROKI MATRICY x;
²x[[All,j]] PROIZWODIT WYDELENIE i-J STROKI MATRICY x;
²Tr[x,List] WYDELQET DIAGONALX MATRICY x.
x 7. sLOVENIE MATRIC I UMNOVENIE NA SKALQR
w NASTOQ]EM PUNKTE MY NA^NEM IZU^ATX ALGEBRAI^ESKIE OPERACII NAD MATRICAMI. dLQ \TOGO MY BUDEM PREDPOLAGATX, ^TO \LEMENTY MATRICY BERUTSQ IZ NEKOTOROJ ADDITIWNO ZAPISYWAEMOJ ABELEWOJ GRUPPY, A W DALXNEJ[EM - IZ NEKOTOROGO MODULQ NAD ASSOCIATIWNYM KOLXCOM R.
1. sLOVENIE MATRIC. pUSTX X = A | NEKOTORYJ ADDITIWNO ZAPISANNYJ MONOID. sEJ^AS MY WWEDEM SUMMU MATRIC.
96 |
nikolaj wawilow |
oPREDELENIE. pUSTX x I y DWE MATRICY ODNOGO I TOGO VE TIPA I £J S \LE- MENTAMI IZ NEKOTOROGO MONOIDA A. tOGDA SUMMOJ MATRIC x I y NAZYWAETSQ IH SUMMA KAK OTOBRAVENIJ, T.E. TAKAQ MATRICA x+y TIPA I £J S \LEMENTA- MI IZ A, U KOTOROJ W POZICII (i; j) 2 I £ J STOIT SUMMA SOOTWETSTWU@]IH \LEMENTOW MATRIC x I y: (x + y)ij = xij + yij.
pREDLOVENIE. oTNOSITELXNO SLOVENIQ MNOVESTWO M = M(m; n; A) OBRA- ZUET ABELEW MONOID, INYMI SLOWAMI, SLOVENIE MATRIC UDOWLETWORQET SLE- DU@]IM AKSIOMAM:
A1 aSSOCIATIWNOSTX: 8x; y; z 2 M, (x + y) + z = x + (y + z); A2 sU]ESTWOWANIE NULQ: 90 2 M, 8x 2 M, 0 + x = x = x + 0; A4 kOMMUTATIWNOSTX: 8x; y 2 M. x + y = y + x;
eSLI A QWLQETSQ GRUPPOJ, TO I M OBRAZUET ABELEWU GRUPPU, T.E. DOPOLNI- TELXNO UDOWLETWORQET SLEDU@]EJ AKSIOME
A3 sU]ESTWOWANIE PROTIWOPOLOVNOJ MATRICY: 8x 2 M, 9 ¡ x 2 M, x + (¡x) = 0 = (¡x) + x.
dOKAZATELXSTWO. aKSIOMY A1 I A4 WYPOLNENY AWTOMATI^ESKI, POSKOLXKU SLOVENIE W A UDOWLETWORQET \TIM AKSIOMAM, A SLOVENIE W M OPREDELQETSQ POKOMPONENTNO.
nEJTRALXNYM \LEMENTOM SLOVENIQ MATRIC QWLQETSQ NULEWAQ MATRICA 0, U KOTOROJ WSE MATRI^NYE \LEMENTY RAWNY 0, A MATRICEJ PROTIWOPOLOVNOJ K MATRICE x = (xij) QWLQETSQ MATRICA, POLU^A@]AQSQ IZ x ZAMENOJ WSEH EE MATRI^NYH \LEMENTOW NA PROTIWOPOLOVNYE: (¡x)ij = ¡xij.
2. uMNOVENIE NA SKALQR. pUSTX TEPERX R | ASSOCIATIWNOE KOLXCO S 1, A X = A | LEWYJ ILI PRAWYJ R-MODULX.
oPREDELENIE. eSLI A | LEWYJ R-MODULX, TO PROIZWEDENIEM MATRICY x
TIPA I £ J NA SKALQR ¸ 2 R SLEWA NAZYWAETSQ MATRICA ¸x TIPA I £ J S \LEMENTAMI IZ A, U KOTOROJ W POZICII (i; j) 2 I £ J STOIT PROIZWEDENIE SOOTWETSTWU@]EGO \LEMENTA MATRICY x NA SKALQR ¸: (¸x)ij = ¸xij. aNA-
LOGI^NO OPREDELQETSQ PROIZWEDENIE MATRICY x NA SKALQR ¸ SPRAWA, W SLU^AE KOGDA A QWLQETSQ PRAWYM R-MODULEM: (x¸)ij = xij¸.
eSLI KOLXCO R = R KOMMUTATIWNO, TO UMNOVENIE SPRAWA I SLEWA MOVNO NE RAZLI^ATX.
pREDLOVENIE 2. pUSTX A | LEWYJ R-MODULX. tOGDA WWEDENNYE WY[E OPE- RACII SLOVENIQ MATRIC I UMNOVENIQ NA SKALQR SLEWA PREWRA]A@T M = M(m; n; R) W LEWYJ R-MODULX, INYMI SLOWAMI, W DOPOLNENIE K SFORMULIRO- WANNYM WY[E AKSIOMAM (A1) | (A4) WYPOLNQ@TSQ E]E SLEDU@]IE 4 AKSIOMY:
V1 wNE[NQQ ASSOCIATIWNOSTX: 8¸; ¹ 2 R, 8x 2 M, (¸¹)x = ¸(¹x);
V2 dISTRIBUTIWNOSTX OTNOSITELXNO SLOVENIQ SKALQROW: 8¸; ¹ 2 R, 8x 2
M, (¸ + ¹)x = ¸x + ¹x;
V3 dISTRIBUTIWNOSTX OTNOSITELXNO SLOVENIQ MATRIC: 8¸ 2 R, 8x; y 2
M, ¸(x + y) = ¸x + ¸y;
V4 uNITALXNOSTX: 8x 2 M, 1x = x.
aNALOGI^NOE UTWERVDENIE WYPOLNQETSQ S ZAMENOJ LEWYH MODULEJ NA PRAWYE, PRI \TOM LEWOE I PRAWOE UMNOVENIE SWQZANY MEVDU SOBOJ
kolxca: first draught |
97 |
V5 dWUSTORONNQQ ASSOCIATIWNOSTX: 8¸; ¹ 2 R, 8x 2 M, (¸x)¹ = ¸(x¹).
dOKAZATELXSTWO. wSE AKSIOMY V1 | V4 MOMENTALXNO WYTEKA@T IZ SOOTWESTWU@]IH AKSIOM DLQ SAMOGO MODULQ A.
w DEJSTWITELXNOSTI MY BUDEM, KAK PRAWILO, ISPOLXZOWATX \TO UTWERVDENIE DLQ ^ASTNOGO SLU^AQ, KOGDA A = RR ILI A = RR. dLQ SLU^AQ, KOGDA KOLXCO R KOMMUTATIWNO, LEWYE I PRAWYE UMNOVENIQ MOVNO NE RAZLI^ATX I ZDESX GOWORQT PROSTO OB UMNOVENII MATRICY NA SKALQR. w ^ASTNOSTI, ESLI K | POLE, TO M(m; n; K) OBRAZUET WEKTORNOE PROSTRANSTWO NAD POLEM K. w DEJSTWITELXNOSTI, KAK MY WSKORE UWIDIM, KAK WEKTORNOE PROSTRANSTWO ONO IZOMORFNO PROSTRANSTWU STOLBCOW WYSOTY mn, NO IME@TSQ GLUBOKIE PRI^INY NE OTOVDESTWLQTX M(m; n; K) S Kmn.
3. sTANDARTNYE MATRI^NYE EDINICY KAK BAZIS M(m; n; R). lEGKO WI-
DETX, ^TO KAVDAQ MATRICA x 2 M(m; n; R) PREDSTAWLQETSQ KAK LINEJNAQ KOMBINACIQ STANDARTNYH MATRI^NYH EDINIC, PRI^EM KO\FFICIENTAMI \TOJ LINEJNOJ KOMBINACII QWLQ@TSQ W TO^NOSTI MATRI^NYE \LEMENTY MATRICY x:
X
x = xijeij; 1 · i; · m; 1 · j · n:
tAK KAK eij | \TO EDINSTWENNAQ SREDI MATRIC ehk, U KOTOROJ W POZICII (i; j) STOIT \LEMENT =6 0, TO KO\FFICIENTY \TOJ KOMBINACII EDINSTWENNY. tAKIM OBRAZOM, STANDARTNYE MATRI^NYE EDINICY OBRAZU@T BAZIS W M(m; n; K), KOTORYJ NAZYWAETSQ STANDARTNYM BAZISOM. |TO PREDSTAWLENIE OSOBENNO UDOBNO, ESLI MATRICA x IMEET MALO NENULEWYH \LEMENTOW ILI NEZNA^ITELXNO OTLI^A- ETSQ OT KAKOJ-TO IZWESTNOJ MATRICY, SKAVEM, OT e. w \TOM SLU^AE WY^ISLENIQ S MATRI^NYMI EDINICAMI STANOWQTSQ GORAZDO BOLEE UDOBNYMI, ^EM L@BYE DRUGIE, TAK KAK W NIH U^ITYWA@TSQ TOLXKO TE POZICII, KOTORYE FAKTI^ESKI IME@T ZNA^ENIE.
x 8. uMNOVENIE MATRIC
In my paper the fact that XY was not equal to Y X was very disagreable to me. I felt this was the only point of di±culty in the whole scheme.
Werner von Heisenberg
Now when Heisenberg noticed that, he was really scared.
Paul Dirac
pUSTX R | ASSOCIATIWNOE KOLXCO S 1. sEJ^AS MY WWEDEM E]E ODNU WAVNEJ[U@ OPERACI@ | UMNOVENIE MATRIC. w OTLI^IE OT SLOVENIQ I UMNOVENIQ NA SKALQR, ONA NE OPREDELQETSQ POKOMPONENTNO, POSREDSTWOM FORMULY (xy)ij = xijyij | TAKOE UMNOVENIE MATRIC DEJSTWITELXNO RASSMATRIWAETSQ, ONO NAZYWAETSQ PROIZWEDENIEM PO aDAMARU I OBOZNA^AETSQ x ± y. oDNAKO W ALGEBRE OBY^NO RASSMATRIWAETSQ DRUGOE UMNOVENIE MATRIC, TIPA SWERTKI, KOTOROE MY SEJ^AS I OPREDELIM.
1. pROIZWEDENIE STROKI NA STOLBEC. nA^NEM S PROIZWEDENIQ STROKI NA STOLBEC.
98 nikolaj wawilow
oPREDELENIE. pUSTX u 2 nR | STROKA DLINY n, A v 2 Rn | STOLBEC WY- SOTY n S KOMPONENTAMI IZ R. tOGDA PROIZWEDENIEM u NA v NAZYWAETSQ
SKALQR |
0 .. |
1 |
= u1v1 + : : : unvn; |
uv = (u1; : : : ; un) |
|||
|
v.1 |
|
|
|
@vn A |
|
|
w DEJSTWITELXNOSTI, ZDESX, KONE^NO, NE OBQZATELXNO TREBOWATX, ^TOBY KOMPONENTY STROKI I STOLBCA PRINADLEVALI NEKOTOROMU KOLXCU, ONI MOGUT BYTX I OBXEKTAMI BOLEE OB]EJ PRIRODY, WAVNO LI[X, ^TOBY BYLI OPREDELENY WSE WHODQ]IE W OPREDELENIE uv PROIZWEDENIQ I SUMMY.
2. oPREDELENIE PROIZWEDENIQ MATRIC. iTAK, PROIZWEDENIE STROKI I STOLBCA OPREDELENO ESLI I TOLXKO ESLI DLINA STROKI RAWNA WYSOTE STOLBCA. |TO ZNA^IT, ^TO ESLI MY HOTIM OPREDELITX PROIZWEDENIE MATRIC W TERMINAH PROIZWEDENIQ STROK I STOLBCOW, TO DLINA STROKI PERWOJ MATRICY DOLVNA RAWNQTXSQ WYSOTE STOLBCA WTOROJ MATRICY. sLEDU@]EE OPREDELENIE BYLO FAKTI- ^ESKI IZWESTNO UVE |JLERU (W TERMINAH POSLEDOWATELXNOGO WYPOLNENIQ DWUH LINEJNYH ZAMEN PEREMENNYH), NO FORMALXNO BYLO WWEDENO LI[X W 1842 GODU aRTUROM k\LI.
oPREDELENIE. pUSTX x 2 M(m; n; R), y 2 M(n; p; R) SUTX MATRICY NAD KOLX- COM R. tOGDA IH PROIZWEDENIEM NAZYWAETSQ MATRICA xy 2 M(m; p; R) U KO- TOROJ \LEMENT W POZICII (i; j), 1 · i · m, 1 · j · p, RAWEN PROIZWEDENI@ i-J STROKI MATRICY x NA j-J STOLBEC MATRICY y, INYMI SLOWAMI, WYPOLNQETSQ FORMULA (xy)ij = xi¤y¤j.
tAKIM OBRAZOM, PROIZWEDENIE MATRIC OPREDELENO, ESLI ^ISLO STOLBCOW PERWOGO SOMNOVITELQ RAWNO ^ISLU STROK WTOROGO SOMNOVITELQ. pRI \TOM ^ISLO STROK PROIZWEDENIQ RAWNO ^ISLU STROK PERWOGO SOMNOVITELQ, A ^ISLO STOLBCOW PROIZWEDENIQ | ^ISLU STOLBCOW WTOROGO SOMNOVITELQ. pODSTAWLQQ W \TU FORMULU WYRAVENIE DLQ PROIZWEDENIQ STROKI NA STOLBEC, PRIWEDENNOE W PRED- [ESTWU@]EM OPREDELENII, POLU^AEM QWNU@ FORMULU DLQ MATRI^NOGO \LEMENTA (xy)ij W TERMINAH MATRI^NYH \LEMENTOW x I y:
X
(xy)ij = xi¤y¤j = xi1y1j + : : : + xinynj = xihyhj; 1 · h · n:
w DEJSTWITELXNOSTI, BOLX[INSTWO PROFESSIONALXNYH ALGEBRAISTOW PO^TI NIKOGDA NE POLXZU@TSQ OPREDELENIEM UMNOVENIQ MATRIC W TAKOM WIDE, A ISPOLXZUET ODNU IZ TREH INTERPRETACIJ, IZLOVENNYH W SLEDU@]IH PARAGRAFAH.
x 9. sTOLBCY I STROKI PROIZWEDENIQ, 1st installment
iZLAGAEMAQ W NASTOQ]EM PARAGRAFE INTERPRETACIQ PROIZWEDENIQ MATRIC QWLQETSQ ISTORI^ESKI PERWOJ I, PO SU]ESTWU, WOSHODIT K |JLERU. oDNAKO I SEGODNQ ONA ISPOLXZUETSQ WSEMI, KOMU REALXNO PRIHODITSQ UMNOVATX MATRICY NE SLI[KOM MALENXKIH PORQDKOW, KAK DLQ WY^ISLITELXNYH, TAK I DLQ TEORETI^ESKIH CELEJ. iMENNO TAK UMNOVA@T MATRICY SPECIALISTY PO TEORII PREDSTAWLENIJ, TEORII ALGEBRAI^ESKIH GRUPP, TEORII INWARIANTOW I T.D.
1. pO^EMU STOLBCY I STROKI? dELO W TOM, ^TO W BOLX[INSTWE FAKTI^ESKI WOZNIKA@]IH MATRI^NYH WY^ISLENIJ DOSTATO^NO UMETX WY^ISLQTX OTDELXNYE STROKI I STOLBCY MATRICY
kolxca: first draught |
99 |
xy, x 2 M(l; m; R), y 2 M(m; n; R). ~ASTO NAHOVDENIE WSEGO PROIZWEDENIQ DWUH MATRIC NE TOLXKO NE NUVNO, NO I PRAKTI^ESKI TRUDNO OSU]ESTWIMO.
nAPRIMER, PORQDOK GRUPPY FG | SAMOJ BOLX[OJ SREDI SPORADI^ESKIH KONE^NYH PROSTYH GRUPP, PERWONA^ALXNO IZWESTNOJ KAK BOLX[OJ MONSTR F1, POZVE POLU^IW[EJ NAZWANIE DRU-
VESTWENNYJ GIGANT (Friendly Giant) ILI GRUPPA fI[ERA-gRAJSA (Fischer|Griess) |
RAWEN
246 ¢ 320 ¢ 59 ¢ 76 ¢ 112 ¢ 133 ¢ 17 ¢ 19 ¢ 23 ¢ 29 ¢ 31 ¢ 41 ¢ 47 ¢ 59 ¢ 71 = 808017424794512875886459904961710757005754368000000000:
mINIMALXNAQ STEPENX TO^NOGO PREDSTAWLENIQ \TOJ GRUPPY KOMPLEKSNYMI MATRICAMI RAWNA 196883. wSEGO NESKOLXKO LET NAZAD UMNOVENIE DWUH MATRIC RAZMERA 196883 £196883 NA HORO- [EJ RABO^EJ STANCII ZANIMALO OKOLO GODA WY^ISLENIJ. w TO VE WREMQ, UMNOVENIE STOLBCA WYSOTY 196883 NA TAKU@ MATRICU ZANIMAET OKOLO ODNOJ MINUTY.
pRIWEDU E]E ODIN PRIMER IZ SOBSTWENNOJ PRAKTIKI. dLQ WY^ISLENIJ W SAMOJ BOLX[OJ ISKL@^ITELXNOJ GRUPPE {EWALLE TIPA E8 NAD KOLXCAMI NUVNO UMNOVATX MATRICY RAZMERA 248 £ 248, ODNAKO KO\FFICIENTAMI \TIH MATRIC QWLQ@TSQ NE ^ISLA, A MNOGO^LENY IZ Z[x1; : : : ; xn]. hOTQ WY^ISLENIE PROIZWEDENIQ DWUH TAKIH MATRIC NA BYTOWOM KOMPX@TERE NA TOT MOMENT UVE BYLO WOZMOVNO, ONO TREBOWALO OGOR^ITELXNO DLITELXNOGO WREMENI. mNO@ I e.b.pLOTKINYM70 BYLI RAZWITY METODY WY^ISLENIJ W ISKL@^ITELXNYH GRUPPAH {EWALLE, W KOTORYH FIGURIRU@T LI[X PROIZWEDENIQ TAKIH MATRIC NA STOLBCY I STROKI (I E]E ODIN TIP WY^ISLENIJ, TAK NAZYWAEMYE `\LEMENTARNYE WY^ISLENIQ', KOTORYE KLASSI^ESKI IZWESTNY I LEGKO REALIZU@TSQ).
2. sTOLBCY I STROKI PROIZWEDENIQ. kL@^OM K K \FFEKTIWNOMU WY^ISLENI@ STOLBCOW I STROK PROIZWEDENIQ QWLQ@TSQ SLEDU@]IE NABL@DENIQ.
² j-J STOLBEC MATRICY xy ZAWISIT TOLXKO OT j-GO STOLBCA MATRICY y, A IMENNO,
(xy)¤j = xy¤j:
² i-Q STROKA MATRICY xy ZAWISIT TOLXKO OT i-J STROKI MATRICY x, A IMENNO,
(xy)i¤ = xi¤y:
kONE^NO, \TI FORMULY WYTEKA@T NEPOSREDSTWENNO IZ OPREDELENIQ PROIZWEDENIQ MATRIC, NO PRO]E WSEGO INTREPRETIROWATX IH SLEDU@]IM OBRAZOM. pUSTX
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
e1 |
= |
0. |
; |
: : : ; en = |
... 1 |
|||
|
|
B .. |
C |
|
|
B |
0 C |
|
|
|
B |
0 C |
|
|
B |
1 C |
|
|
|
@ |
|
nA |
|
|
@ A |
|
| STANDARTNYJ BAZIS MODULQ R |
STOLBCOW WYSOTY n, A |
|||||||
f1 = (1; 0; : : : ; 0); : : : ; fm = (0; : : : ; 0; 1):
| STANDARTNYJ BAZIS MODULQ mR STROK DLINY m. tOGDA i-@ STROKU I j-J STOLBEC MATRICY x 2 M(m; n; R) PRO]E WSEGO INTERPRETIROWATX KAK PROIZWEDENIE fi NA x I KAK PROIZWEDENIE x NA ei, SOOTWETSTWENNO:
xi¤ = fix; x¤j = xej:
tEPERX OTME^ENNYE WY[E FORMULY PREDSTAWLQ@T SOBOJ PROSTO ^UTX INA^E ZAPISANNU@ ASSOCIATIWNOSTX UMNOVENIQ:
fi(xy) = (fix)y; |
(xy)ej = x(yej): |
70oPISANIE \TOGO PROEKTA MOVNO NAJTI W N.A.Vavilov, E.B.Plotkin, Chevalley groups over commutative rings. I. Elementary calculations. | Acta Applicandae Math., 1996, vol.45, p.73{ 115.
100 |
nikolaj wawilow |
x 10. sTOLBCY I STROKI PROIZWEDENIQ, 2nd installment
1. uMNOVENIE MATRICY NA STOLBEC ILI STROKU. tAKIM OBRAZOM, NAM NUVNO PONQTX, KAK DEJSTWUET UMNOVENIE NA FIKSIROWANNU@ MATRICU x NA PROSTRANSTWAH STOLBCOW ILI STROK. sMENIM TO^KU ZRENIQ I BUDEM S^ITATX, ^TO MY HOTIM NAU^ITXSQ UMNOVATX MATRICU NA STROKU ILI STOLBEC.
² PROIZWEDENIE xu MATRICY x NA STOLBEC u 2 Rm QWLQETSQ LINEJNOJ KOMBINACIEJ STOLBCOW MATRICY x, KO\FFICIENTAMI KOTOROJ SLUVAT KOORDINATY STOLBCA u:
xu = x¤1u1 + : : : + x¤mum:
² PROIZWEDENIE vy STROKI v 2 nR NA MATRICU y QWLQETSQ LINEJNOJ KOMBINACIEJ STROK MATRICY y, KO\FFICIENTAMI KOTOROJ SLUVAT KOORDINATY STROKI v:
vy = v1y1¤ + : : : + vmxm¤:
tAKIM OBRAZOM,
tEOREMA. uRAWNENIE ax = b W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE RAZRE[IMO, KOGDA WSE STOLBCY MATRICY b QWLQ@TSQ LINEJNYMI KOMBINACIQMI STOLBCOW MAT- RICY a.
pONQTNO, ^TO IMEET MESTO DWOJSTWENNOE UTWERVDENIE
tEOREMA. uRAWNENIE xa = b W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE RAZRE[IMO, KOGDA WSE STROKI MATRICY b QWLQ@TSQ LINEJNYMI KOMBINACIQMI STROK MATRICY a.
wO MNOGIH SLU^AQH POLXZUQSX \TOJ INTERPRETACIEJ PROIZWEDENIE SOWSEM LEGKO WY^ISLITX.
zADA^A. uBEDITESX, ^TO
x¢ cox = (x¤2; : : : ; x¤n; x¤1);
x¢ cox¡1 = (x¤n; x¤1; : : : ; x¤;n¡1); cox ¢ x = (xn¤; x1¤; : : : ; xn¡1;¤); cox¡1 ¢ x = (x2¤; : : : ; xn¤; x1¤):
zADA^A. uBEDITESX, ^TO
u(ej0) = PadRight[u];
u(0je) = PadLeft[u];
u³0e ´ = DropRight[u];
u³0e ´ = DropLeft[u]:
rAZUMEETSQ, PRI UMNOVENII NA \TI MATRICY STOLBCOW, A NE STRO^EK, OPERACII Pad I Drop MENQ@TSQ MESTAMI.