Vavilov_N_Konkretnaya_teoria_kolets
.pdf
kolxca: first draught |
41 |
I, TAKIM OBRAZOM, TOPOLOGIQ KOMPAKTOW NE IMEET NIKAKOGO OTNO[ENIQ K TOPOLOGII, A QWLQETSQ PROSTO RAZDELOM KOMMUTATIWNOJ ALGEBRY. oDNAKO, ^TOBY USTANOWITX \TU SWQZX, MY DOLVNY NAPOMNITX NESKOLXKO OPREDELENIJ I DWA KLASSI^ESKIH REZULXTATA OB]EJ TOPOLOGII.
tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO X NAZYWAETSQ KOMPAKTNYM, ESLI IZ L@BOGO EGO POKRYTIQ OTKRYTYMI MNOVESTWAMI MOVNO WYDELITX KONE^NOE PODPOKRYTIE. iNYMI SLOWAMI, ESLI X = SU®, GDE OB_EDINENIE BERETSQ PO PROIZWOLXNOMU SEMEJSTWU U®, ® 2 -, OTKRYTYH MNOVESTW, TO MOVNO WYBRATX KONE^NOE PODSEMEJSTWO U®1 ; : : : ; U®n \TOGO SEMEJSTWA TAKOE, ^TO X = U®1 [ : : : [ U®n .
kOMMENTARIJ. ~A]E WSEGO KOMPAKTNOSTX ISPOLXZUETSQ W SO^ETANII S HAUSDORFOWOSTX@. sWOJSTWA HAUSDORFOWYH KOMPAKTNYH PROSTRANSTW, NAZYWAEMYH KOMPAKTAMI, NASTOLXKO ZAME^ATELXNY, ^TO MNOGIE AWTORY DAVE WKL@^A@T HAUSDORFOWOSTX W OPREDELENIE KOMPAKTNOSTI. w \TOM SLU^AE, TO, ^TO MY NAZYWAEM KOMPAKTNOSTX@, NAZYWAETSQ KWAZIKOMPAKTNOSTX@. oDNAKO W ALGEBRE I ALGEBRAI^ESKOJ GEOMETRII O^ENX ^ASTO WOZNIKA@T I KOMPAKTNYE PROSTRANSTWA, NE QWLQ@]IESQ HAUSDORFOWYMI.
pO OPREDELENI@, HAUSDORFOWY PROSTRANSTWA UDOWLETWORQ@T AKSIOME OTDELIMOSTI T2:
T2. dLQ L@BYH TO^EK x; y 2 X, x =6 y, NAJDUTSQ TAKIE OTKRYTYE OKRESTNO- STI x 2 U I y 2 V , ^TO U \ V = ;.
hAUSDORFOWY PROSTRANSTWA NAZWANY TAK W ^ESTX fELIKSA hAUSDORFA, KOTORYJ PERWYM QWNO WYDELIL \TO USLOWIE W 1914 GODU W SWOEJ KNIGE `GrundzÄuge der Mengenlehre'. bUKWA `T' W NAZWANII AKSIOM OTDELIMOSTI { \TO PERWAQ BUKWA NEMECKOGO SLOWA Trennbarkeit, PO ANGLIJSKI \TI AKSIOMY NAZYWA@TSQ separation axioms. oKAZYWAETSQ KOMPAKTNOE HAUSDORFOWO PROSTRANSTWO AWTO- MATI^ESKI UDOWLETWORQET ZNA^ITELXNO BOLEE SILXNOJ AKSIOME OTDELIMOSTI T4:
T4. dLQ L@BYH ZAMKNUTYH PODMNOVESTW Y; Z 2 X TAKIH, ^TO Y \ Z = ; NAJDUTSQ TAKIE OTKRYTYE OKRESTNOSTI U ¶ Y I V ¶ Z, ^TO U \ V = ;.
hAUSDORFOWY PROSTRANSTWA, UDOWLETWORQ@]IE AKSIOME T4, NAZYWA@TSQ NORMALXNYMI (\TO USLOWIE BYLO WWEDENO l.wXETORISOM W 1921 GODU I IZU^ENO g.tITCE, p.s.aLEKSANDROWYM I p.s.uRYSONOM W 1923{1924 GODAH). sFORMULIRUEM QWNO TOLXKO ^TO UPOMQNUTOJ KL@^EWOE SWOJSTWO KOMPAKTOW19;20.
lEMMA. kOMPAKTNOE HAUSDORFOWO PROSTRANSTWO NORMALXNO.
dOKAZATELXSTWO \TOGO REZULXTATA SOWSEM PROSTO I ZAINTERESOWANNYJ ^ITATELX MOVET MINUT ZA 5 PROWESTI EGO W KA^ESTWE UPRAVNENIQ. pRI \TOM W KA- ^ESTWE PROMEVUTO^NOGO [AGA POLEZNO POKAZATX WNA^ALE, ^TO KOMPAKTNOE HAUSDORFOWO PROSTRANSTWO REGULQRNO, T.E. UDOWLETWORQET SLEDU@]EJ AKSIOME OTDELIMOSTI T3, WWEDENNOJ W 1921 GODU l.wXETORISOM.
T3. dLQ L@BOJ TO^KI x 2 X I L@BOGO ZAMKNUTOGO PODMNOVESTWA Y 2 X TAKIH, ^TO x 2= Y NAJDUTSQ TAKIE OTKRYTYE OKRESTNOSTI x 2 U I V ¶ Z, ^TO U \ V = ;.
19n.bURBAKI, oB]AQ TOPOLOGIQ. oSNOWNYE STRUKTURY. { nAUKA, m., 1968, S.1{272, pREDLOVENIE 2 NA STR.127.
20a.n.kOLMOGOROW, s.w.fOMIN, tEOREMA 4 NA STR.97.
kolxca: first draught |
43 |
x 2 X0 NE IZOLIROWANNAQ, TO c 2 C NAZYWAETSQ PREDELOM f W x, ESLI DLQ L@-
BOJ OKRESTNOSTI U µ C SU]ESTWUET PUNKTIROWANNNAQ OKRESTNOSTX (alias OKRESTNOSTX S WYKOLOTOJ TO^KOJ, punctured neighborhood) V µ X TO^KI x
TAKAQ, ^TO f(V ) µ U. tRADICIONNO PREDEL W TO^KE x OBOZNA^AETSQ limy!x f(y), NO SWQZANNYE PEREMENNYE ZDESX MOVNO UBRATX.
lEGKO WIDETX, ^TO PREDEL W TO^KE OBLADAET SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI:
limx(f + g) = limx f + limx g; |
limx(fg) = limx f limx g; |
DLQ L@BYH f; g 2 A(X) I, TAKIM OBRAZOM, OPREDELQET GOMOMORFIZM KOLEC limx :
A(X) ¡! C.
lEGKO WIDETX, ^TO, KROME TOGO, limx(cf) = c limx f DLQ L@BOGO c 2 C I L@BOJ
f2 A(X), TAK ^TO W DEJSTWITELXNOSTI \TO GOMOMORFIZM C-ALGEBR. nESLOVNAQ PROWERKA23 POKAZYWAET, ^TO limx \TO W TO^NOSTI EDINSTWENNYJ GOMOMORFIZM C-ALGEBR TAKOJ, ^TO limx(±y) = 0 DLQ WSEH y 2 X. pREDEL MOVNO OHARAKTERIZOWATX TAKVE KAK EDINSTWENNYJ GOMOMORFIZM C-ALGEBR TAKOJ, ^TO limx(h) = 0, ESLI h = 0 W NEKOTOROJ PUNKTIROWANNOJ OKRESTNOSTI V TO^KI x.
²pREDEL W BESKONE^NOSTI. pUSTX TEPERX X { LOKALXNO KOMPAKTNOE HAUSDORFOWO PROSTRANSTWO, NAPRIMER, X = N; R ILI C. tOGDA MOVNO RASSMOTRETX ODNOTO^E^NU@ KOMPAKTIFIKACI@ X = X[f1g, NAPRIMER, R I C { \TO, SOOTWETSTWENNO, WE]ESTWENNAQ I KOMPLEKSNAQ PROEKTIWNYE PRQMYE. s TO^KI ZRENIQ X TO^KA 1 NI^EM NE OTLI^AETSQ OT WSEH OSTALXNYH TO^EK, TAK ^TO DLQ FUNKCIJ
f2 A(X) OPREDELEN PREDEL lim1 f. oBOZNA^IM ^EREZ A1(X) = ffjXjf 2 A(X)g KOLXCO FUNKCIJ NA X, IME@]IH PREDEL W KAVDOJ TO^KE X. eDINSTWENNYMI GO-
MOMORFIZMAMI C-ALGEBR A1(X) W C QWLQ@TSQ limx I evx DLQ x 2 X I lim1.
kOMMENTARIJ. w \LEMENTARNOM ANALIZE SU]ESTWUET PRISKORBNAQ24 TRADICIQ RASSMATRIWATX DRUGU@ KOMPAKTIFIKACI@ R, A IMENNO, RAS[IRENNOJ WE-
e
]ESTWENNOJ PRQMOJ PRINQTO NAZYWATX R = R [ f¡1; +1g. pRI \TOM MOVNO OPREDELITX PREDELY lim¡1 f I lim¡1 f. fUNKCIQ f IMEET PREDEL W 1 W NA[EM SMYSLE, ESLI OBA \TI PREDELA SU]ESTWU@T I RAWNY, lim¡1 f = lim+1 f.
² uSTRANENIE RAZRYWOW. pUSTX X { KOMPAKTNOE HAUSDORFOWO PROSTRANSTWO, A(X) { KOLXCO FUNKCIJ NA X, IME@]IH PREDEL W KAVDOJ TO^KE, I C(X) { KOLXCO NEPRERYWNYH FUNKCIJ. tOGDA OTOBRAVENIE A(X) ¡! C(X), f 7!fb,
b [ b c b
GDE f(x) = limx f, QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM, T.E. f + g = fgb I fg = fgb. |TOT GOMOMORFIZM NAZYWAETSQ USTRANENIEM RAZRYWOW.
x 8. kOLXCO DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ
pUSTX X DIFFERENCIRUEMOE ILI ANALITI^ESKOE MNOGOOBRAZIE. w \TOM SLU- ^AE MOVNO GOWORITX NE TOLXKO O NEPRERYWNYH, NO I O DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIQH. oPQTX VE NA^INA@]IJ MOVET S^ITATX, ^TO X = R; Rn ILI [0; 1].
² kOLXCO DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ D[a; b]. hORO[O IZWESTNO, ^TO SUMMA I PROIZWEDENIE DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ DIFFERENCIRUEMY. qSNO,
^TO D(X) · C(X).
23J.D.Gray, An algebraic characterisation of limits. { Amer. Math. Monthly, 1975, vol.82, N.8, p.825{827.
24iSPOLXZUETSQ KAK PEREWOD ANGLIJSKOGO deplorable: `presense of wit, but deplorable absense of etiquette'.
44 |
nikolaj wawilow |
²kOLXCO NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ C1[a; b]. fUNKCIQ NAZYWAETSQ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOJ, ESLI U NEGO SU]ESTWUET PROIZWODNAQ I \TA PROIZWODNAQ NEPRERYWNA. qSNO, ^TO C1(X) · D(X).
²kOLXCO r RAZ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ Cr(X). fUNKCIQ NAZYWAETSQ r RAZ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOJ, ESLI U NEE SU]E- STWUET r-Q PROIZWODNAQ I ONA NEPRERYWNA. qSNO, ^TO Cr(X) · Cr¡1(X).
²kOLXCO GLADKIH FUNKCIJ C1(X). gLADKAQ (alias BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMAQ) FUNKCIQ { \TO FUNKCIQ, U KOTOROJ SU]ESTWU@T PROIZWODNYE WSEH KONE^NYH PORQDKOW. qSNO, ^TO C1(X) · Cr(X) DLQ WSEH r.
²kOLXCO GLADKIH FUNKCIJ S KOMPAKTNYM NOSITELEM CS1(X). pO OPREDELENI@ CS1(X) = C1(X) \ CS(X).
²kOLXCO ANALITI^ESKIH FUNKCIJ C!(X). fUNKCIQ NAZYWAETSQ ANALI-
TI^ESKOJ, ESLI W OKRESTNOSTI L@BOJ TO^KI ONA RASKLADYWAETSQ W RQD blablabla qSNO, ^TO C!(X) · C1(X).
kOMMENTARIJ. kOLXCA C1(X) I C!(X) KAVUTSQ O^ENX BLIZKIMI, NO W DEJSTWITELXNOSTI S ALGEBRAI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ MEVDU NIMI PROLEGAET PROPASTX RAWNAQ RAZLI^I@ MEVDU DIFFERENCIALXNOJ I ANALITI^ESKOJ/ALGEBRAI^ESKOJ GEOMETRIEJ. dELO W TOM, ^TO KOLXCO C1[a; b] QWLQETSQ KOLXCOM S DELITELQMI 0. wOT, NAPRIMER, ZNAMENITYJ PRIMER BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCII f : R ¡! R S NOSITELEM [0; 1]. pOLOVIM
f(x) = e¡1=x2(1¡x)2 ; 0 < x < 1;
I f(x) = 0 W PROTIWNOM SLU^AE25. qSNO, ^TO NOSITELX FUNKCII g(x) = f(x ¡ 2) NE PERESEKAETSQ S NOSITELEM FUNKCII f, TAK ^TO fg = 0. |TO QWLENIE IGRAET OSNOWNU@ ROLX W TEORII OBOB]ENNYH FUNKCIJ. w TO VE WREMQ W KOLXCE ANALITI^ESKIH FUNKCIJ TAKOE NEWOZMOVNO.
differenciruemaq ZAMENA PEREMENNOJ
x 9. fORMULA lEJBNICA I GOMOMORFIZM t\JLORA
1. mNOGO^LEN t\JLORA. pUSTX V = (a; b), a; b 2 R, a < b, { INTERWAL W R, c 2 (a; b) { KAKAQ-TO TO^KA \TOGO INTERWALA, A Ck(V ) { KOLXCO k RAZ DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ NA V . dLQ L@BOGO CELOGO m · k POLOVIM
Tcm(f) = Xm 1 difi (S)(x ¡ S)i: i=0 i! dx
mNOGO^LEN TSm(f) NAZYWAETSQ MNOGO^LENOM t\JLORA m-GO PORQDKA FUNKCII f W c. rASSMATRIWAQ WMESTO SAMOJ FUNKCII f KOMPOZICI@ TRANSLQCII x 7!x¡c S \TOJ FUNKCIEJ, MY MOVEM (I BUDEM) POLAGATX, ^TO c = 0 I PISATX PROSTO T m(f) WMESTO T0m(f). w \LEMENTARNYH U^EBNIKAH ANALIZA T m(f) RASSMATRIWAETSQ KAK \LEMENT KOLXCA MNOGO^LENOW R[x]. oDNAKO W DEJSTWITELXNOSTI, INWARIANTNYJ SMYSL IMEET NE MNOGO^LEN T m(f) KAK TAKOWOJ, A EGO KLASS PO MODUL@ BOLEE WYSOKIH STEPENEJ x. iNYMI SLOWAMI, T m(f) NUVNO RASSMATRIWATX NE KAK \LEMENT R[x], A KAK \LEMENT KOLXCA R[x]=(xm+1) USE^ENNYH MNOGO^LENOW.
zAME^ATELXNOE NABL@DENIE fERMA (W SLU^AE m = 1) I lEJBNICA (W OB]EM SLU^AE), KOTOROE LEVIT W OSNOWE DIFFERENCIALXNOGO IS^ISLENIQ, SOSTOIT W TOM, ^TO OTOBRAVENIE f 7!T m(f) QWLQETSQ \PIMORFIZMOM KOLXCA Ck(V ) NA R[x]=(xm+1). w SAMOM DELE, T m(f + g) = T m(f) + T m(g) O^EWIDNO, A RAWENSTWO
25b.gELBAUM, dV.oLMSTED, ibid., STR.54.
kolxca: first draught |
45 |
T m(fg) = T m(f)T m(g) NAZYWAETSQ FORMULOJ lEJBNICA. w \LEMENTARNYH U^EBNIKAH ANALIZA FORMULA lEJBNICA OBY^NO ZAPISYWAETSQ KAK
dl(fg) |
X |
l di(f) dj(g) |
|
||||
|
|
= i+j=l µi¶ |
|
|
|
: |
|
dxl |
dxl |
dxl |
|||||
~TOBY PEREJTI OTS@DA K FORME T m(fg) = T m(f)T m(g), DOSTATO^NO RAZDELITX OBE ^ASTI \TOGO RAWENSTWA NA l! I WZQTX ZNA^ENIQ W 0.
w ^ASTNOSTI, FUNKCII, U KOTORYH ZNA^ENIQ WSEH PROIZWODNYH DO m-GO PORQDKA WKL@^ITELXNO W TO^KE 0 RAWNY 0, OBRAZU@T IDEAL KOLXCA Ck(V ) I SOPOSTAWLENIE f 7!T m(f) QWLQETSQ W TO^NOSTI KANONI^ESKOJ PROEKCIEJ KOLXCA Ck(V ) W FAKTOR-KOLXCO PO \TOMU IDEALU.
2. rQD t\JLORA. iZLOVENNAQ W PREDYDU]EM PUNKTE KONSTRUKCIQ BEZ IZMENENIJ PERENOSITSQ NA SLEDU@]U@ SITUACI@. pUSTX C1(V ) { KOLXCO BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ. sOPOSTAWIM KAVDOJ FUNKCII f 2 C1(V ) FOR-
MALXNYJ STEPENNOJ RQD
T (f) = X1 1 dif (0)xi; i=0 i! dxi
NAZYWAEMYJ RQDOM t\JLORA FUNKCII f. sNOWA W SILU FORMULY lEJBNICA OTOBRAVENIE f 7!T (f) QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM C1(V ) W KOLXCO R[[x]] FORMALXNYH STEPENNYH RQDOW S WE]ESTWENNYMI KO\FFICIENTAMI. |TOT GOMOMORFIZM, NAZYWAEMYJ W DALXNEJ[EM GOMOMORFIZMOM t\JLORA, WOOB]E GOWORQ, NE QWLQETSQ MONOMORFIZMOM: KAK HORO[O IZWESTNO, SU]ESTWU@T BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMYE FUNKCII f 6= 0, U KOTORYH ZNA^ENIQ WSEH PROIZWODNYH W TO^KE 0 RAWNY 0. nAIBOLEE IZWESTNYM PRIMEROM TAKIH FUNKCIJ QWLQ@TSQ
f |
(x) = |
xne¡1=x2 |
PRI x = 0 |
: |
0 |
6 |
|||
n |
½ |
PRI x = 0 |
|
e]E \FFEKTNEE WYGLQDQT SLEDU@]AQ NEZNA^ITELXNAQ MODIFIKACIQ \TOGO PRI-
MERA |
|
|
|
|
|
gn(x) = ½ |
xne |
¡ |
1=x2 |
PRI x < 0 |
: |
0 |
|
PRI x ¸ 0 |
fUNKCII fn I gn LEVAT W QDRE GOMOMORFIZMA t\JLORA.
w WYS[EJ STEPENI POU^ITELXNA SLEDU@]AQ TEOREMA, POKAZYWA@]AQ NASKOLXKO MONSTRUOZNYM OBRAZOWANIEM QWLQETSQ KOLXCO C1(V ). dOKAZATELXSTWO \TOJ TEOREMY SOWSEM NESLOVNO, SM., NAPRIMER26
tEOREMA bORELQ. gOMOMORFIZM t\JLORA T QWLQETSQ \PIMORFIZMOM C1(V )
NA R[[x]].
tAKIM OBRAZOM, SNOWA SOPOSTAWLENIE BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCII EE RQDA t\JLORA QWLQETSQ KANONI^ESKOJ PROEKCIEJ PO MODUL@ IDEALA, SOSTOQ]EGO IZ FUNKCIJ, WSE PROIZWODNYE KOTORYH W TO^KE 0 OBRA]A@TSQ W 0.
zAMETIM, ^TO DLQ KOLXCA C!(V ) ANALITI^ESKIH FUNKCIJ SITUACIQ ABSO- L@TNO INAQ. gOMOMORFIZM t\JLORA T : C!(V ) ¡! R[[x]] PERESTAET BYTX
26R.Narasimhan, aNALIZ NA DEJSTWITELXNYH I KOMPLEKSNYH MNOGOOBRAZIQH, m., mIR, 1971, 232S. gLAWA I, x 1.5
46 |
nikolaj wawilow |
S@R_EKTIWNYM (RQD t\JLORA ANALITI^ESKOJ FUNKCII OBQZAN SHODITXSQ W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI 0), NO STANOWITSQ IN_EKTIWNYM. |TO ZNA^IT, ^TO KOLXCO FORMALXNYH STEPENNYH RQDOW MNOGO BOLX[E KOLXCA ANALITI^ESKIH FUNKCIJ, NO MNOGO MENX[E KOLXCA BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ.
rAZUMEETSQ, OBA \TI PRIMERA (WKL@^AQ TEOREMU bORELQ) OBOB]A@TSQ NA FUNKCII NESKOLXKIH WE]ESTWENNYH PEREMENNYH, ILI, BOLEE OB]O, NA FUNKCII OPREDELENNYE W OKRESTNOSTI KAKOJ-TO TO^KI x GLADKOGO MNOGOOBRAZIQ M.
x 8. iDEALY DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ, STRUI
27;28
x 10. kOLXCA ALGEBRAI^ESKIH, \KSPONENCIALXNYH I TRIGONOMETRI^ESKIH MNOGO^LENOW
w \TOM PARAGRAFE MY RASSMOTRIM NESKOLXKO WAVNEJ[IH KOLEC FUNKCIJ R ¡! R I C ¡! C, KOTORYE RASSMATRIWA@TSQ W \LEMENTARNOJ MATEMATIKE, TEORII DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ, GARMONI^ESKOM ANALIZE, TEORII APPROKSIMACII I T.D.
1. kOLXCO ALGEBRAI^ESKIH MNOGO^LENOW. w ANALIZE I TEORII APPROKSI-
MACII ALGEBRAI^ESKIM MNOGO^LENOM NAZYWAETSQ KONE^NAQ LINEJNAQ KOMBINACIQ STEPENNYH FUNKCIJ x 7!xn, S CELYM POKAZATELEM n 2 N0, T.E. FUNKCI@ WIDA fe: R ¡! R, x 7!anxn+: : :+a1x+a0. w [KOLXNOJ MATEMATIKE TAKAQ FUNKCIQ NAZYWAETSQ PROSTO MNOGO^LENOM, W ALGEBRE { POLINOMIALXNOJ FUNKCIEJ, A W ALGEBRAI^ESKOJ GEOMETRII { REGULQRNOJ FUNKCIEJ ILI CELOJ ALGEBRAI^ESKOJ FUNKCIEJ. kAK MY UBEDIMSQ W GLAWE 4, IZ LEMMY dEDEKINDA-aRTINA SRAZU WYTEKAET, ^TO ODNO^LENY e¸x LINEJNO NEZAWISIMY NAD R I, ZNA^IT OBRAZU@T BAZIS PROSTRANSTWA ALGEBRAI^ESKIH MNOGO^LENOW. pO\TOMU KOLXCO WE]ESTWENNYH ALGEBRAI^ESKIH MNOGO^LENOW NA SAMOM DELE IZOMORFNO KOLXCU R[x], PRI^EM IZOMORFIZM USTANAWLIWAETSQ SAMYM ESTESTWENNYM OBRAZOM, A IMENNO, IZOBRAVENNAQ WY[E FUNKCIQ feQWLQETSQ OBRAZOM MNOGO^LENA f = anxn +: : :+a1x+a0. kOLXCO KOMPLEKSNYH ALGEBRAI^ESKIH MNOGO^LENOW OPREDELQETSQ ANALOGI^NO.
2. kOLXCO \KSPONENCIALXNYH MNOGO^LENOW. sDELAEM PERWU@ POPYTKU OPREDELITX KOLXCO \KSPONENCIALXNYH MNOGO^LENOW. nAZOWEM WE]ESTWENNYM \KSPONENCIALXNYM MNOGO^LENOM KONE^NU@ LINEJNU@ KOMBINACI@ \KSPONENT x 7!e¸nx, ¸ 2 R, T.E. FUNKCI@ WIDA f : R ¡! R,
x 7!a1e¸1x + : : : + ane¸nx; ai; ¸i 2 R:
kAK MY UBEDIMSQ W GLAWE 4, IZ DEMMY dEDEKINDA-aRTINA SRAZU WYTEKAET, ^TO ODNO^LENY e¸x LINEJNO NEZAWISIMY NAD R I, TAKIM OBRAZOM, OBRAZU@T BAZIS PROSTRANSTWA ExpR. pRI \TOM e¸xe¹x = e(¸+¹)x, TAK ^TO ExpR KOLXCO S MULXTIPLIKATIWNYM BAZISOM.
w DEJSTWITELXNOSTI, ExpR PREDSTAWLQET SOBOJ GRUPPOWU@ ALGEBRU R[R+] ADDITIWNOJ GRUPPY WE]ESTWENNYH ^ISEL, S WE]ESTWENNYMI VE KO\FFICIENTAMI. rAZUMEETSQ, ZDESX RE^X IDET O TOM, ^TO NAZYWA@T GRUPPOWOJ ALGEBROJ ALGEBRA- ISTY, T.E. GRUPPOWOJ ALGEBRE R+ KAK ABSTRAKTNOJ, A NE TOPOLOGI^ESKOJ GRUPPY! mY MOGLI BY OPREDELITX ALGEBRU ExpC FUNKCIJ C ¡! C, QWLQ@]IHSQ
27b.mALXGRANV, iDEALY DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ. { mIR, m., 1965, S.1{131.
28dVET nESTRUEW, gLADKIE MNOGOOBRAZIQ I NABL@DAEMYE. { mcnmo, m., 2000, S.1{299.
kolxca: first draught |
47 |
LINEJNYMI KOMBINACIQMI z 7!e¸z, GDE ¸ 2 C, S KOMPLEKSNYMI VE KO\FFICIENTAMI.
zADA^A. kAKIE KLASSY FUNKCIJ REALIZU@T GRUPPOWYE ALGEBRY R[R¤] I C[R+]? wERNO LI, ^TO \TI ALGEBRY IZOMORFNY?
3. kOLXCO \KSPONENCIALXNYH MNOGO^LENOW, DRUGIM MANEROM. oDNAKO W DEJSTWITELXNOSTI POD \KSPONENCIALXNYMI MNOGO^LENAMI OBY^NO PONIMA@T NE ExpR, A BOLEE [IROKOE KOLXCO ExpoR, WKL@^A@]EE KOLXCO ALGEBRAI^EKSIH MNOGO^LENOW. iNYMI SLOWAMI, ExpoR SOSTOIT IZ KONE^NYH LINEJNYH KOMBINACIJ FUNKCIJ x 7!xme¸x. tAKIM OBRAZOM, KAVDYJ \KSPONENCIALXNYJ MNOGO^LEN IMEET WID
x 7!a1xm1 e¸1x + : : : + anxmn e¸nx; ai; ¸i 2 R; mi 2 N0:
kAK I WY[E, PROIZWEDENIE DWUH BAZISNYH \LEMENTOW SNOWA QWLQETSQ BAZISNYM
\LEMENTOM:
xme¸x ¢ xne¹x = xm+ne(¸+¹)x:
|TO KOLXCO I EGO KOMPLEKSNYJ ANALOG ExpoC, W KOTOROM ai; ¸i 2 C, IGRA@T CENTRALXNU@ ROLX W TEORII LINEJNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ I EE MNOGO^ISLENNYH PRILOVENIQH.
4. kOLXCO TRIGONOMETRI^ESKIH MNOGO^LENOW. oSNOWNU@ ROLX W TEO-
RII KOLEBANIJ, W ^ASTNOSTI, W MATEMATI^ESKOM ANALIZE MUZYKI IGRA@T WE- ]ESTWENNYE TRIGONOMETRI^ESKIE MNOGO^LENY, NAZYWAEMYE E]E MNOGO^LENAMI fURXE. wE]ESTWENNYM TRIGONOMETRI^ESKIM MNOGO^LENOM NAZYWAETSQ FUNKCIQ R ¡! R, QWLQ@]AQSQ KONE^NOJ LINEJNOJ KOMBINACIEJ POSTOQNNOJ FUNKCII x 7!1, I TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ x 7!cos(nx) I x 7!sin(nx). iNYMI SLOWAMI, L@BOJ WE]ESTWENNYJ TRIGONOMETRI^ESKIJ MNOGO^LEN IMEET WID
Xn
x 7!a0 + (am cos(mx) + bm sin(mx)); am; bm 2 R:
k=1
oBY^NO MNOVESTWO WSEH WE]ESTWENNYH TRIGONOMETRI^ESKIH MNOGO^LENOW OBOZNA^AETSQ ^EREZ TrigR. pOLXZUQSX FORMULAMI, WYRAVA@]IMI PROIZWEDENIQ cos(x) cos(y), cos(x) sin(y), sin(x) sin(y) ^EREZ cos(x § y), sin(x § y), MY WIDIM,
^TO PROIZWEDENIE DWUH \LEMENTOW BAZISA PROSTRANSTWA TrigR SNOWA QWLQETSQ LINEJNOJ KOMBINACIEJ DWUH BAZISNYH \LEMENTOW. tAKIM OBRAZOM, W DEJSTWITELXNOSTI TrigR QWLQETSQ KOMMUTATIWNYM KOLXCOM. |TOT PRIMER SNOWA WOZNIKNET U NAS W GLAWE `aRIFMETIKA KOMMUTATIWNYH KOLEC'. dOPUSKAQ KOMPLEKSNYE KO- \FFICIENTY MY MOVEM PEREPISATX TRIGONOMETRI^ESKIJ MNOGO^LEN W WIDE
Xn
z 7! ckeikz; cm 2 C:
k=¡n
kOMPLEKSNYE TRIGONOMETRI^ESKIE MNOGO^LENY OBRAZU@T KOLXCO TrigC.
x 11. kOLXCA FUNKCIJ WE]ESTWENNOGO ANALIZA. 1st installment: OGRANI^ENIQ NA ROST
w NASTOQ]EM I SLEDU@]EM PARAGRAFAH MY RASSMATRIWAEM NEKOTORYE KLASSY FUNKCIJ, RASSMATRIWAEMYH W WE]ESTWENNOM ANALIZE, KOTORYE OBRAZU@T KOLXCO OTNOSITELXNO OBY^NOGO SLOVENIQ I UMNOVENIQ FUNKCIJ.
48 |
nikolaj wawilow |
² kOLXCO FUNKCIJ OGRANI^ENNOJ WARIACII. pUSTX f : [a; b] ¡! R. oPREDELIM POLNU@ WARIACI@ Vab(f) FUNKCII f KAK TO^NU@ WERHN@@ GRANX SUMM WIDA
jf(x1) ¡ f(x0)j + : : : + jf(xn) ¡ f(xn¡1)j;
PO WSEM n 2 N, I WSEM NABORAM TO^EK a = x0 < x1 < : : : < xn = b. eSLI Vab(f) < 1, TO GOWORQT, ^TO f FUNKCIQ OGRANI^ENNOJ WARIACII NA OTREZKE [a; b]. kLASS
V [a; b] FUNKCIJ OGRANI^ENNOJ WARIACII NA [a; b] OBRAZUET KOLXCO OTNOSITELXNO OBY^NOGO SLOVENIQ I UMNOVENIQ FUNKCIJ, SM., NAPRIMER29. qSNO, ^TO V [a; b] · B[a; b], INYMI SLOWAMI, KAVDAQ FUNKCIQ OGRANI^ENNOJ WARIACII OGRANI^ENA.
kOMMENTARIJ. mONOTONNYE FUNKCII NE OBRAZU@T KOLXCA: SUMMA ILI PROIZWEDENIE DWUH WOZRASTA@]IH FUNKCIJ NE OBQZANO BYTX WOZRASTA@]EJ FUNKCIEJ. vORDAN POKAZAL, ^TO FUNKCII OGRANI^ENNOJ WARIACII \TO W TO^NOSTI NAIMENX[EE PODKOLXCO W R[a;b], SODERVA- ]EE WOZRASTA@]IE FUNKCII. a IMENNO, L@BAQ FUNKCIQ f 2 V [a; b], DOPUSKAET RAZLOVENIE vORDANA: SU]ESTWU@T WOZRASTA@]IE NA [a; b] FUNKCII f+ I f¡, S ZAKREPLENNYM KONCOM f+(0) = f¡(0) = 0 TAKIE, ^TO f = f(a) + f+ ¡ f¡. bOLEE TOGO, MOVNO WYBRATX FUNKCII f+ I f¡ TAK, ^TOBY Vax(f) = f+(x) + f¡(x), W \TOM SLU^AE f+ I f¡ ESTESTWENNO ISTOLKOWATX KAK FUNKCII, OPREDELQ@]IE POLOVITELXNU@ WARIACI@ I OTRICATELXNU@ WARIACI@
FUNKCII f.
² kOLXCO ABSOL@TNO NEPRERYWNYH FUNKCIJ. fUNKCIQ f : [a; b] ¡! R
NAZYWAETSQ ABSOL@TNO NEPRERYWNOJ NA OTREZKE [a; b], ESLI DLQ L@BOGO ² > 0 NAJDETSQ TAKOE ± > 0, ^TO DLQ L@BOGO n 2 N I L@BYH
a < a1 < b1 < a2 < b2 < : : : < an < bn < b
TAKIH, ^TO
jb1 ¡ a1j + : : : + jbn ¡ anj < ±
WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO
jf(b1) ¡ f(a1)j + : : : + jf(bn) ¡ f(an)j < ²:
(SM., NAPRIMER30). kLASS AC[a; b] ABSOL@TNO NEPRERYWNYH FUNKCIJ NA [a; b] OBRAZUET KOLXCO. AC[a; b] µ V [a; b].
kOMMENTARIJ. uSLOWIE ABSOL@TNOJ NEPRERYWNOSTI QWLQETSQ PROMEVUTO^NYM MEVDU NEPRERYWNOSTX@ I LIP[ICEWOSTX@: WSQKAQ ABSOL@TNO NEPRERYWNAQ FUNKCIQ NEPRERYWNA, A WSQKAQ LIP[ICEWA FUNKCIQ ABSOL@TNO NEPRERYWNA (ESLI W OPREDELENII ABSOL@TNO NEPRERYWNOJ FUNKCII NE TREBOWATX bi < ai+1, TO KAK RAZ I POLU^ITSQ USLOWIE lIP[ICA). zNAMENITYJ PRIMER NEPRERYWNOJ, NO NE ABSOL@TNO NEPRERYWNOJ FUNKCII, \TO FUNKCIQ f : [0; 1] ¡! R, OPREDELENNAQ KAK f(x) = x sin(1=x) DLQ 0 < x · 1 I f(0) = 0. aBSOL@TNO NEPRERYWNYE FUNKCII BOLEE, ^EM ESTESTWENNO WOZNIKA@T W TEORII INTEGRALA lEBEGA. tEOREMA lEBEGA UTWERVDAET, ^TO KLASS ABSOL@TNO NEPRERYWNYH FUNKCIJ { \TO W TO^NOSTI KLASS PERWOOBRAZNYH W SMYSLE lEBEGA OT SUMMIRUEMYH FUNKCIJ31. |TO POKAZYWAET, ^TO PO SUTI USLOWIE ABSOL@TNOJ NEPRERYWNOSTI ZNA^ITELXNO BLIVE K DIFFERENCIRUEMOSTI, ^EM K OBY^NOJ NEPRERYWNOSTI. w ^ASTNOSTI, ABSOL@TNO NEPRERYWNAQ FUNKCIQ IMEET KONE^NU@ PROIZWODNU@ PO^TI W KAVDOJ TO^KE x 2 [a; b] { W DEJSTWITELXNOSTI \TO WERNO UVE DLQ FUNKCIJ OGRANI^ENNOJ WARIACII32.
² kOLXCO LIP[ICEWYH FUNKCIJ.
29u.rUDIN, oSNOWY MATEMATI^ESKOGO ANALIZA. 2-E IZD., m., mIR, 1976, 319S. TEOREMA 6.24.
30[kOLMOGOROW{fOMIN], S.335
31kOLMOGOROW{fOMIN, ibid., STR.337{338.
32kOLMOGOROW{fOMIN, ibid. STR.330.
kolxca: first draught |
49 |
x 12. kOLXCA FUNKCIJ WE]ESTWENNOGO ANALIZA. 2nd installment: IZMERIMOSTX I INTEGRIRUEMOSTX
²kOLXCO INTEGRIRUEMYH FUNKCIJ. kLASS R[a; b] INTEGRIRUEMYH PO rIMANU [a; b] OBRAZUET KOLXCO OTNOSITELXNO OBY^NOGO SLOVENIQ I UMNOVENIQ FUNKCIJ, SM., NAPRIMER33. C[a; b] · R[a; b] · B[a; b].
²kOLXCO IZMERIMYH FUNKCIJ. fUNKCIQ f : [a; b] ¡! R NAZYWAETSQ IZ-
MERIMOJ, ESLI DLQ L@BOGO c 2 R MNOVESTWO fx 2 [a; b] j f(x) ¸ cg IZMERIMO. po lebegu?? kLASS M[a; b] IZMERIMYH FUNKCIJ NA [a; b] OBRAZUET KOLXCO OTNOSITELXNO OBY^NOGO SLOVENIQ I UMNOVENIQ FUNKCIJ, SM., NAPRIMER. [Rudin], TEOREMA 10.18.
kOMMENTARIJ. iZMERIMOSTX FUNKCII NE OZNA^AET E]E WOZMOVNOSTI OPREDELITX DLQ NEE (KONE^NYJ) INTEGRAL. mNOVESTWO L[a; b] SUMMIRUEMYH alias INTEGRIRUEMYH PO lEBEGU FUNKCIJ, T.E. TAKIH FUNKCIJ, DLQ KOTORYH Rab jfjd¹ < 1, KOLXCA NE OBRAZUET, \TO WEKTORNOE PROSTRANSTWO, NO NE KOLXCO OTNOSITELXNO UMNOVENIQ FUNKCIJ. nAPRIMER, (NEOTRICATELXNAQ) FUNKCIQ f : [0; 1] ¡! R, OPREDELENNAQ POSREDSTWOM f(x) = 1=px PRI 0 < x · 1 I f(0) = 0 INTEGRIRUEMA PO lEBEGU, NO f2 { NET34. w DEJSTWITELXNOSTI, \TO PROSTRANSTWO QWLQETSQ MODULEM NAD KOLXCOM OGRANI^ENNYH IZMERIMYH FUNKCIJ: ESLI f 2 B[a; b]\M[a; b], A g 2 L[a; b],
TO fg 2 L[a; b].
zADA^A. fUNKCIQ NAZYWAETSQ BORELEWSKOJ, ESLI DLQ L@BOGO c 2 R MNOVESTWO fx 2 [a; b] j f(x) ¸ cg BORELEWSKOE. oBRAZU@T LI BORELEWSKIE FUNKCII KOLXCO?
x 13. kOLXCA FUNKCIJ WE]ESTWENNOGO ANALIZA. 3rd installment: kOLXCA FUNKCIJ KUSO^NO C
² kOLXCO STUPEN^ATYH FUNKCIJ Step(R). w TEORII INTEGRALA rIMA-
NA RASSMATRIWAETSQ KLASS STUPEN^ATYH FUNKCIJ. fUNKCIQ f : R ¡! X NAZYWAETSQ STUPEN^ATOJ, ESLI SU]ESTWUET KONE^NAQ WOZRASTA@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX TO^EK c0; c1; : : : ; cn TAKAQ, ^TO NA KAVDOM IZ OTKRYTYH INTERWALOW
(1; c0), (c0; c1), : : : , (cn¡1; cn), (cn; 1), FUNKCIQ f POSTOQNNA (NIKAKIH PREDPOLOVENIJ OTNOSITELXNO ZNA^ENIJ f W c0; c1; : : : ; cn NE DELAETSQ).
zADA^A. pUSTX f, g { STUPEN^ATYE FUNKCII, ¢f , ¢g { SOOTWETSTWU@]IE RAZBIENIQ. dOKAVITE, ^TO f + g, fg TOVE STUPEN^ATYE. ~TO MOVNO WZQTX W KA^ETSWE RAZBIENIQ DLQ \TIH FUNKCIJ.
zADA^A. dOKAVITE, ^TO STUPEN^ATYE FUNKCII S KOMPAKTNYM NOSITELEM OBRAZU@T IDEAL W Step(R).
² kOLXCO KONE^NOZNA^NYH FUNKCIJ. fUNKCIQ f : X ¡! R NAZYWAET-
SQ FUNKCIEJ S KONE^NYM OBRAZOM, ESLI j Im(f)j < 1. qSNO, ^TO FUNKCII S KONE^NYM OBRAZOM OBRAZU@T KOLXCO. w SAMOM DELE,
Im(f + g) · Im(f) + Im(g); Im(fg) · Im(f) Im(g)
lEGKO WIDETX, ^TO \TO W TO^NOSTI PODALGEBRA W RX, POROVDENNAQ HARAKTERISTI^ESKIMI FUNKCIQMI ÂY PODMNOVESTW Y µ X.
zAME^ANIE. wO MNOGIH KNIGAH PO ANALIZU TAKIE TAKIE FUNKCII NAZYWA@TSQ PROSTYMI, ...
SM., NAPRIMER35. w36, PROSTYMI NAZYWA@TSQ IZMERIMYE FUNKCII, PRINIMA@]IE NE BOLEE,
33Rudin, ibid. TEOREMY 6.10, 6.12.
34b.gELBAUM, dV.oLMSTED, ibid., STR.222.
35u.rUDIN, ibid. STR.284
36kOLMOGOROW{fOMIN, ibid. cTR.280.
50 |
nikolaj wawilow |
^EM S^ETNOE MNOVESTWO ZNA^ENIJ!!! oDNAKO TERMIN `KONE^NOZNA^NYE' PREDSTAWLQETSQ NAM GORAZDO BOLEE TO^NYM I SUGGESTIWNYM.
²kOLXCO \TAVNYH FUNKCIJ. w TEORII INTEGRALA lEBEGA RASSMATRIWAETSQ KLASS \TAVNYH FUNKCIJ. fUNKCIQ f : R ¡! R NAZYWAETSQ \TAVNOJ, OTNOSITELXNO MERY ¹, ESLI DLQ KAVDOGO z 2 R MNOVESTWO f¡1(z) IZMERIMO. w ^ASTNOSTI, ESLI X = R S MEROJ lEBEGA, TO WSQKAQ STUPEN^ATAQ FUNKCIQ QWLQETSQ \TAVNOJ, NO OBRATNOE, KONE^NO, NEWERNO, KAK POKAZYWAET PRIMER FUNKCII dIRIHLE ÂQ.
?.kUSO^NO C. wOOB]E, GOWORQT, ^TO FUNKCIQ f : R ¡! R KUSO^NO C, GDE C { NEKOTORYJ KLASS FUNKCIJ, ESLI SU]ESTWUET KONE^NAQ POSLEDOWATELXNOSTX
TO^EK c0 < c1 < : : : < cn TAKAQ, ^TO OGRANI^ENIE f NA KAVDYJ IZ OTKRYTYH INTERWALOW (1; c0), (c0; c1), : : : , (cn¡1; cn), (cn; 1), PRINADLEVIT KLASSU C. nAPRIMER, MOVNO GOWORITX O
²KUSO^NO NEPRERYWNYH FUNKCIQH. (fUNKCII S KONE^NYM MNOVESTWOM RAZRYWOW)
²KUSO^NO LINEJNYH FUNKCIQH.
²KUSO^NO POLINOMIALXNYH FUNKCIQH.
zADA^A. kAKIE IZ PERE^ISLENNYH KLASSOW FUNKCIJ OBRAZU@T KOLXCO?
zADA^A. oBRAZU@T LI KOLXCO FUNKCII S KONE^NYM ILI S^ETNYM MNOVESTWOM RAZRYWOW?
² dISKRETIZACIQ. w INVENERNOJ PRAKTIKE, A TAKVE FINANSOWOJ I AKTUARNOJ MATEMATIKE [IROKO ISPOLXZUETSQ OTOBRAVENIE DISKRETIZACII
cdf : C(R) ¡! Step(R); f 7!fcd(x) = f(bxc);
SOPOSTAWLQ@]EE NEPRERYWNOJ FUNKCII f STUPEN^ATU@ FUNKCI@ cdf(x). |TO GOMOMORFIZM KOLEC:
cd(f + g) = cdf + cdg; cd(fg) = cdf ¢ cdg:
² sPLAJNY. nEPRERYWNAQ KUSO^NO POLINOMIALXNAQ FUNKCIQ NAZYWAETSQ SPLAJNOM.
kOMMENTARIJ. iNOGDA TREBU@T NEPRERYWNOSTI NE TOLXKO SAMOGO SPLAJNA, NO E]E SOGLASOWANIQ PROIZWODNYH DO OPREDELENNOGO PORQDKA.
x 14. kOLXCA FUNKCIJ WE]ESTWENNOGO ANALIZA. 4th installment: PERIODI^ESKIE FUNKCII
² pERIODI^ESKIE FUNKCII. nAPOMNIM, ^TO FUNKCIQ f : R ¡! R NA-
ZYWAETSQ PERIODI^ESKOJ S PERIODOM !, ESLI T!f = f, INYMI SLOWAMI, ESLI f(x + !) = f(x) DLQ WSEH x 2 R.
zADA^A. dOKAZATX, ^TO PERIODI^ESKIE FUNKCII I NEPRERYWNYE PERIODI^ESKIE FUNKCII S DANNYM PERIODOM ! OBRAZU@T ALGEBRU.
zADA^A. pOSTROITX PRIMER, POKAZYWA@]IJ, ^TO ESLI f I g { PERIODI^ESKIE FUNKCII S NESOIZMERIMYMI PERIODAMI !1, !2, TO f +g I fg MOGUT NE BYTX PERIODI^ESKIMI, TAK ^TO MNOVESTWO PERIODI^ESKIH FUNKCIJ NE OBRAZUET ALGEBRY (ILI, HOTQ BY, WEKTORNOGO PROSTRANSTWA).