Vavilov_N_Konkretnaya_teoria_kolets

LEGKO UBEDITXSQ, ^TO xn ESTX POSLEDOWATELXNOSTX, U KOTOROJ n-Q KOMPONENTA RAWNA 1, W TO WREMQ KAK WSE OSTALXNYE KOMPONENTY NULEWYE:

x0 = (1; 0; 0; 0; 0; :::); x1 = (0; 1; 0; 0; 0; :::); x2 = (0; 0; 1; 0; 0; :::); x3 = (0; 0; 0; 1; 0; :::);

: : :

I TAK DALEE. |LEMENTY WIDA xn NAZYWA@TSQ NORMIROWANNYMI ODNO^LENAMI. qSNO, ^TO NORMIROWANNYE ODNO^LENY 1; x; x2; : : : OBRAZU@T BAZIS SWOBODNOGO MODULQ R[x]. |TOT BAZIS OBY^NO NAZYWAETSQ STANDARTNYM BAZISOM (W DALXNEJ[EM NAM BUDET WSTRE^ATXSQ MNOGO DRUGIH BAZISOW, BOLEE UDOBNYH DLQ TEH ILI INYH TIPOW ZADA^.)

wOOB]E, L@BAQ POSLEDOWATELXNOSTX WIDA axn, U KOTOROJ TOLXKO ODNA KOMPONENTA OTLI^NA OT NULQ, A WSE OSTALXNYE KOMPONENTY RAWNY 0, NAZYWAETSQ

MONOMOM (ILI ODNO^LENOM).

4. sTANDARTNAQ ZAPISX MNOGO^LENA. tAKIM OBRAZOM, ESLI an { POSLEDNQQ NENULEWAQ KOMPONENTA W POSLEDOWATELXNOSTI f = (a0; a1; : : : ; an; 0; : : : ), TO f MOVET BYTX ZAPISANA KAK SUMMA MONOMOW aixi, 0 · i · n:

(a0; a1; : : : ; an; 0; : : : ) = a0 + a1x + : : : + anxn;

PRI \TOM OBY^NO (NO NE WSEGDA) PRIMENQETSQ ZAPISX PO UBYWA@]IM STEPENQM x), T.E. W DEJSTWITELXNOSTI PI[UT

(a0; a1; : : : ; an; 0; : : : ) = anxn + : : : + a1x + a0:

pRI \TOM PREDSTAWLENIE \LEMENTA f 2 R[H] W TAKOM WIDE ODNOZNA^NO, TAK KAK KO\FFICIENTY ai W PRAWOJ ^ASTI SUTX W TO^NOSTI KOMPONENTY POSLEDOWATELXNOSTI f, A DWE POSLEDOWATELXNOSTI (a0; a1; a2; : : : ) I (b0; b1; b2; : : : ) W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE RAWNY, KOGDA ai = bi DLQ WSEH i 2 Z. |TO ZNA^IT, ^TO NAM UDALOSX PRIDATX STROGIJ SMYSL NEFORMALXNOMU PONQTI@ MNOGO^LENA, KOTOROE IZU^A- LOSX W [KOLE. |TO MOTIWIRUET SLEDU@]EE OPREDELENIE.

oPREDELENIE. pOSTROENNOE WY[E KOLXCO R[x] NAZYWAETSQ KOLXCOM MNO-

GO^LENOW (ILI POLINOMOW) OT ODNOJ PEREMENNOJ (ILI NEIZWESTNOJ) NAD KOLXCOM R. |LEMENTY \TOGO KOLXCA NAZYWA@TSQ MNOGO^LENAMI (ILI POLI-

NOMAMI).

x 2. sTEPENX MNOGO^LENA

oSNOWNYM INSTRUMENTOM PRI IZU^ENII MNOGO^LENOW QWLQETSQ INDUKCIQ PO STEPENI. sEJ^AS MY WWEDEM FUNKCI@ STEPENI I RASSMOTRIM EE PERWYE SWOJSTWA.

1. sTAR[IJ ^LEN I STAR[IJ KO\FFICIENT. pUcTX R[x] { KOLXCO MNOGO-

^LENOW OT ODNOJ PEREMENNOJ x NAD R. mY DOGOWORILIcX ZAPIcYWATX \LEMENTY

f2 R[x] W WIDE f = anxn + : : : + a1x + a0, GDE ai 2 R. ecLI an 6= 0, TO MONOM lt(f) = anxn NAZYWAETcQ cTAR[IM ^LENOM (leading term) MNOGO^LENA

f, A cOOTWETcTWU@]IJ KO\FFICIENT lc(f) = an { cTAR[IM KO\FFICIENTOM

(leading coe±cient)56. iNYMI cLOWAMI, an NAZYWAETcQ cTAR[IM KO\FFICIENTOM MNOGO^LENA f, EcLI an =6 0, NO am = 0 DLQ WcEH m > n. pO OPREDELENI@ U NULEWOGO MNOGO^LENA NET STAR[EGO ^LENA, NO, ^TOBY NE DELATX OGOWOROK W FORMULAH, MY BUDEM S^ITATX, ^TO lt(f) = 0 I lc(0) = 0. sLAGAEMOE f(0) = a0 NAZYWAETSQ SWOBODNYM ^LENOM (constant term), EGO MOVNO MYSLITX SEBE I KAK \LEMENT KOLXCA R I KAK POSTOQNNYJ MNOGO^LEN. zNA^ITELXNAQ ^ASTX \LEMENTARNYH SWOJSTW MNOGO^LENOW OSNOWANA NA TOM, ^TO OTOBRAVENIQ, SOPOSTAWLQ@]IE MNOGO^LENU EGO STAR[IJ ^LEN/KO\FFICIENT QWLQ@TSQ MULXTIPLIKATIWNYMI GOMOMORFIZMAMI R[x] ¡! R[x] I R[x] ¡! R, SOOTWETSTWENNO:

sFORMULIRUEM TAKOE NEPOSREDSTWENNOE SLEDSTWIE \TOGO UTWERVDENIQ.

lEMMA. eSLI lc(f) 2 Reg(R), TO f 2 Reg(R[x]).

sOPOSTAWLENIE MNOGO^LENU EGO SWOBODNOGO ^LENA QWLQETSQ DAVE KOLXCEWYM GOMOMORFIZMOM R[x] ¡! R, T.E.

(f + g)(0) = f(0) + g(0); (fg)(0) = f(0)g(0);

{ W DEJSTWITELXNOSTI TO VE SAMOE WERNO DLQ L@BOJ TO^KI c 2 R.

2. sTEPENX MNOGO^LENA. sEJ^AS MY WWEDEM WAVNEJ[IJ ^ISLENNYJ INWARIANT MNOGO^LENA.

oPREDELENIE. pUcTX = anxn +: : :+a1x+a0 2 R[x], GDE ai 2 R, an 6= 0. nOMER n cTAR[EGO KO\FFICIENTA lc(f) = an MNOGO^LENA f NAZYWAETcQ cTEPENX@

MNOGO^LENA f I OBOZNA^AETcQ deg(f).

sOKRA]ENIE deg PROISHODIT OT FRANCUZSKOGO degr¶ I/ILI ANGLIJSKOGO degree. u NULEWOGO MNOGO^LENA f = 0 NET cTAR]EGO ^LENA I EGO cTEPENX POLAGAETcQ RAWNOJ ¡1. tAKIM OBRAZOM, cTEPENX MNOGO^LENA ZADAET FUNKCI@ deg : R[x] ¡! N0 [ f¡1g NA KOLXCE MNOGO^LENOW cO ZNA^ENIQMI W MNOVEcTWE, POLU^ENNOM PRIcOEDINENIEM ¡1 K MNOVEcTWU N0 NEOTRICATELXNYH CELYH ^IcEL. zAMETIM, ^TO NA MNOVEcTWO N0 [ f¡1g MOVNO RAcPROcTRANITX OTNO[ENIE PORQDKA NA MNOVEcTWE CELYH ^IcEL I OPERACI@ cLOVENIQ, POLOVIW ¡1 < n, DLQ L@BOGO n 2 Z; ¡1 + n = ¡1 I ¡1 + (¡1) = ¡1.

mNOGO^LENY cTEPENI 0 { \TO NENULEWYE KONcTANTY, f = a 2 R, a =6 0. mNOGO^LENY f = ax + b, a; b 2 R, a =6 0, cTEPENI 1, NAZYWA@TcQ LINEJNYMI; MNOGO^LENY f = zx2 + bx + c, a; b; c 2 R, a =6 0, cTEPENI 2 { KWADRATI^NYMI; A MNOGO^LENY f = ax3 + bx2 + cx + d, a; b; c; d 2 R, a =6 0, cTEPENI 3 { KUBI^EcKIMI. sTEPENX MNOGO^LENA x17 + x11 + x RAWNA 17.

3. oSNOWNYE SWOJSTWA STEPENI. sLEDU@]AQ TEOREMA REZ@MIRUET POWEDENIE STEPENI PO OTNO[ENI@ K OSNOWNYM ALGEBRAI^ESKIM OPERACIQM.

56dLQ MNOGO^LENOW OT ODNOJ PEREMENNOJ PONQTIQ STAR[EGO ^LENA (highest term) I WEDU]EGO ^LENA (leading term) SOWPADA@T I MY POLXZUEMSQ BOLEE PRIWY^NYMI SLOWOSO^ETANIQMI `STAR- [IJ ^LEN', `STAR[IJ KO\FFICIENT' W KA^ESTWE PEREWODA ANGLIJSKIH `leading term', `leading coe±cient'. w SLU^AE MNOGO^LENOW OT NESKOLXKIH PEREMENNYH NAM PRIDETSQ T]ATELXNO RAZLI^ATX \TI PONQTIQ.

tEOREMA. 1) dLQ L@BYH f; g 2 R[H] IMEEM

deg(f + g) · max(deg(f); deg(g));

PRI^EM PRI deg(f) 6= deg(g) ZDESX IMEET MESTO RAWENSTWO. 2) dLQ L@BYH f; g 2 R[x] IMEEM

deg(fg) · deg(f) + deg(g):

3) ecLI R { OBLAcTX CELOcTNOcTI, TO DLQ L@BYH f; g 2 R[x] IMEEM

deg(fg) = deg(f) + deg(g):

4) ecLI R { OBLAcTX CELOcTNOcTI, TO DLQ L@BYH f 2 R[H], g 2 R[x]², IMEEM

deg(f ± g) = deg(f) deg(g):

dOKAZATELXSTWO. 1) w cAMOM DELE, i-J KO\FFICIENT MNOGO^LENA f + g RAWEN cUMME i-GO KO\FFICIENTA f I i-GO KO\FFICIENTA g, PO\TOMU ON ZAWEDOMO RAWEN 0, EcLI i > deg(f); deg(g). (zAMETIM, ^TO ON MOVET BYTX RAWNYM 0 I EcLI i = deg(f) = deg(g), W TOM cLU^AE, KOGDA cTAR[IE KO\FFICIENTY f I g cOKRA]A- @TcQ. ecLI VE deg(f) 6= deg(g), TO W PRIWEDENNOJ WY[E FORMULE NERAWENcTWO ZAMENQETcQ NA RAWENcTWO).

2) I 3) w cAMOM DELE, PUcTX deg(f) = m, A deg(g) = n. tOGDA l-J KO\FFICIENT PROIZWEDENIQ ZADAETcQ FORMULOJ cl = Paibj, GDE i+j = l, ai { i-J KO\FFICIENT f, bj { j-J KO\FFICIENT g. ecLI l > m + n, TO W \TOM PREDcTAWLENII LIBO ai = 0, LIBO bj = 0. tAKIM OBRAZOM, WcE cLAGAEMYE, WHODQ]IE W cl RAWNY 0. zAMETIM, ^TO W OB]EM cLU^AE NEWERNO, ^TO deg(fg) cOWPADAET c deg(f) + deg(g), TAK KAK WOZMOVNO, ^TO ambn = 0, HOTQ am 6= 0 I bn 6= 0. |TO, ODNAKO, NE MOVET PROIZOJTI, EcLI R OBLAcTX CELOcTNOcTI.

oTc@DA cRAZU WYTEKA@T TAKIE cLEDcTWIQ.

sLEDSTWIE 1. ecLI R { OBLAcTX CELOcTNOcTI, TO I R[x] TAKVE OBLAcTX CELOcTNOcTI.

sLEDSTWIE 2. ecLI R { OBLAcTX CELOcTNOcTI, TO R[x]¤ = R¤.

dOKAZATELXSTWO. eSLI deg(f) > 0, TO DLQ L@BOGO g 2 R[x], g =6 0, IMEEM deg(fg) ¸ deg(f) > 0, TAK ^TO f NE MOVET BYTX OBRATIMYM.

sLEDSTWIE 3. wSE MNOGO^LENY STEPENI 1 NAD OBLAcTX@ CELOcTNOcTI NEPRI- WODIMY.

sLEDSTWIE 4. nAD OBLAcTX@ CELOcTNOcTI TOLXKO MNOGO^LENY STEPENI 1 OBRATIMY OTNOSITELXNO KOMPOZICII.

x 3. zNA^ENIE MNOGO^LENA, \WAL@ACIQ

sMYSL OPREDELENIQ KOLXCA MNOGO^LENOW SOSTOIT W TOM, ^TO \TO KOLXCO OBLADAET UNIWERSALXNYM SWOJSTWOM.

1. gOMOMORFIZM \WAL@ACII. pUSTX WNA^ALE R { PROIZWOLXNOE KOMMUTATIWNOE KOLXCO S 1, A A { PROIZWOLXNAQ, NE OBQZATELXNO KOMMUTATIWNAQ R-ALGEBRA S 1.

zADA^A. eSLI R { OBLASTX CELOSTNOSTI, f; g 2 R[x] I f ± g = 0, TO LIBO f = 0, LIBO g 2 R.

² wAVNO POD^ERKNUTX, ^TO ALGEBRA A NE PREDPOLAGAETSQ KOMMUTATIWNOJ. tAK, W KURSE LINEJNOJ ALGEBRY GROMADNU@ ROLX IGRA@T `MNOGO^LENY OT MATRIC' I `MNOGO^LENY OT OPERATOROW'. nAPRIMER, ESLI A = M(n; R), TO ZNA^E- NIE f(c) MNOGO^LENA f 2 R[x] NA MATRICE c 2 M(n; R) NAZYWAETSQ W TRADICIONNYH U^EBNIKAH `MNOGO^LENOM OT MATRICY'. |TO \LEMENT M(n; R), I NE SLEDUET PUTATX EGO S `MATRI^NYM MNOGO^LENOM', KOTORYJ QWLQETSQ \LEMENTOM

M(n; R)[x] = M(n; R[x]).

3. pO^EMU KOMMUTATIWNYE KO\FFICIENTY? pO^EMU OBY^NO KOLXCO MNOGO^LENOW R[x]

RASSMATRIWAETSQ TOLXKO W SLU^AE, KOGDA R KOMMUTATIWNO? wEDX FORMALXNO OPREDELENIE R[x] GODITSQ DLQ PROIZWOLXNOGO KOLXCA KO\FFICIENTOW R. dELO W TOM, ^TO DLQ NEKOMMUTATIWNYH KO\FFICIENTOW OBY^NYE KOLXCA MNOGO^LENOW ABSOL@TNO BESPOLEZNY! |TO SWQZANO S TEM, ^TO \WAL@ACIQ MNOGO^LENA NA NECENTRALXNOM \LEMENTE c 2 R NE QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM. w SAMOM DELE, PUSTX a; b 2 R { DWA NEKOMMUTIRU@]IH \LEMENTA. rASSMOTRIM MNOGO^LEN (x ¡ a)(x ¡ b) = x2 ¡ (a + b)x + ab 2 R[x]. tEPERX WY^ISLIM ZNA^ENIE LEWOJ I PRAWOJ ^ASTI \TOGO RAWENSTWA W a. qSNO, ^TO (a¡a)(a¡b) = 0. w TO VE WREMQ a2 ¡(a+b)a+ab = ab¡ba 6= 0. tAKIM OBRAZOM, eva NE QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM.

rAZUMEETSQ, PONQTNO, GDE ZDESX SDELANA O[IBKA. w DEJSTWITELXNOSTI, ^TOBY WY^ISLQTX ZNA^ENIQ W NECENTRALXNYH TO^KAH, NUVNO RASSMATRIWATX KOLXCO MNOGO^LENOW OT PEREMEN-

NOJ, KOTORAQ NE KOMMUTIRUET S KO\FFICIENTAMI! w TAKOM KOLXCE (x ¡ a)(x ¡ b) =

x2 ¡ ax ¡ xb + ab. mONOMAMI STEPENI m TEPERX BUDUT WYRAVENIQ WIDA a1xa2 : : : amxam+1, W KOTORYE x WHODIT m RAZ. nO TOGDA WOZNIKA@T SOWER[ENNO NEBANALXNYE WOPROSY O LINEJNYH

ZAWISIMOSTQH MEVDU TAKIMI MONOMAMI! pO\TOMU OBY^NO RASSMATRIWA@T NE OB]IE MNOGO- ^LENY, A MNOGO^LENY, W KOTORYH PEREMENNAQ HOTQ I NE KOMMUTIRUET S KO\FFICIENTAMI, NO PERESTAWLQETSQ S NIMI PRI POMO]I PROSTYH KOMMUTACIONNYH SOOTNO[ENIJ, OBY^NO PRI POMO]I AWTOMORFIZMA I/ILI DIFFERENCIROWANIQ OSNOWNOGO KOLXCA.

² pODSTANOWKA. sLEDU@]IJ PRIMER TOVE PO SU]ESTWU QWLQETSQ ZAMENOJ PEREMENNOJ, S TEM, ^TO ZDESX MY DEJSTWUEM FORMALXNO (MNOGO^LENY I STEPENNYE RQDY S KO\FFICIENTAMI IZ R DLQ NAS NE QWLQ@TSQ FUNKCIQMI IZ R W R). nA^NEM S KOMPOZICII MNOGO^LENOW, KOTORU@ MY UVE OBSUVDALI W x ?. dLQ FIKSIROWANNOGO h 2 R[x] OTOBRAVENIE R[x] ¡! R[x], f 7!f ± g, QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM KOLXCA MNOGO^LENOW W SEBQ. w SAMOM DELE, (f + g) ± h = f ± h + g ± h I (fg) ± h = (f ± h)(g ± h). tAKIE GOMOMORFIZMY KOLXCA R[x] NA SEBQ OBY^NO NAZYWA@TSQ PODSTANOWKAMI (substitutions). w \TOM PRIMERE MY PODSTAWLQEM h WMESTO x. pODSTANOWKI W KOLXCE R[[x]] STEPENNYH RQDOW OPREDELQ@TSQ ANALOGI^NO, S TEM, ^TO DLQ WOZMOVNOSTI PODSTANOWKI h W L@BOJ FORMALXNYJ RQD f 2 R[[x]] SWOBODNYJ ^LEN RQDA h DOLVEN RAWNQTXSQ

0.

x 4. oBRATIMYE I REGULQRNYE MNOGO^LENY

sEJ^AS MY POSMOTRIM, KAK NUVNO MODIFICIROWATX REZULXTATY PREDYDU]EGO PARAGRAFA TAK, ^TOBY ONI PRODOLVALI OSTAWATXSQ WERNYMI DLQ KOLEC S DELITELQMI 0 I POSMOTRIM, KAK WYGLQDQT OSNOWNYE TIPY \LEMENTOW W KOLXCE MNOGO^LENOW.

1. mULXTIPLIKATIWNAQ GRUPPA R[x]. sLEDSTWIE 2 MOVNO NESKOLXKO USILITX. oKAZYWAETSQ, DLQ TOGO, ^TOBY R[x]¤ = R¤, NE OBQZATELXNO TREBOWATX, ^TOBY R BYLO OBLASTX@ CELOSTNOSTI. dOSTATO^NO, ^TOBY KOLXCO R BYLO PRIWEDENNYM. nAPOMNIM, ^TO ^EREZ Nil(R) OBOZNA^AETSQ MNOVESTWO WSEH NILXPOTENTNYH \LEMENTOW W R.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO

R[x]¤ = ff = anxn + : : : + a0 2 R[x] j a0 2 R¤; a1; : : : ; an 2 Nil(R)g:

pRODOLVIM DEJSTWOWATX W TAKOM VE DUHE, NA m-M [AGE MY POLU^IM RAWENSTWO anb0 + : : : +

a0bn = 0, UMNOVAQ EGO NA amn I PRIMENQQ UVE DOKAZANNYE RAWENSTWA ainbn¡i+1 = 0, MY WIDIM, ^TO amn +1b0 = 0 I, TAK KAK b0 2 R¤, TO an 2 Nil(R). zAKON^ITE DOKAZATELXSTWO PO INDUKCII.

2. dELITELI 0 W R[x]. w DEJSTWITELXNOSTI, DAVE NAD KOLXCOM S DELITELQMI NULQ LEGKO POSTROITX BOLX[IE KLASSY MNOGO^LENOW, NE QWLQ@]IHSQ DELITELQMI NULQ.

zADA^A. mNOGO^LEN f 2 R[x] NAZYWAETSQ SILXNO PRIMITIWNYM (strongly primitive), ESLI EGO KO\FFICIENTY POROVDA@T EDINI^NYJ IDEAL KOLXCA R. pOKAVITE, ^TO SILXNO PRIMITIWNYJ MNOGO^LEN NE QWLQETSQ DELITELEM NULQ. pROWERXTE, ^TO PROIZWEDENIE SILXNO PRIMITIWNYH MNOGO^LENOW SILXNO PRIMITIWNO.

w TERMINOLOGII, KOTORU@ MY WWEDEM W x ?, SILXNO PRIMITIWNYE MNOGO^LENY OBRAZU@T

MULXTIPLIKATIWNU@ SISTEMU.

tEOREMA mAKKOQ. mNOGO^LEN f = anxn + : : : + a0 2 R[x] W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE QWLQETSQ DELITELEM 0 W R, KOGDA NAJDETSQ TAKOE c 2 R, ^TO cf = 0.

dOKAZATELXSTWO. dOSTATO^NOSTX O^EWIDNA. wOZXMEM MNOGO^LEN g = bmxm + : : : + b0 NAI- MENX[EJ STEPENI TAKOJ, ^TO fg = 0. eSLI aig = 0 DLQ WSEH i = 0; : : : ; n, TO DOKAZATELXSTWO ZAKON^ENO, TAK KAK W \TOM SLU^AE MY MOVEM WZQTX c = bm. eSLI NET, TO WOZXMEM NAIBOLX[EE j TAKOE, ^TO ajg 6= 0. tOGDA deg(ajg) < deg(g). w SAMOM DELE,

fg = (anxn + : : : + ajxj + : : : + a0)g = ajxjg + : : : + a0g = 0;

PRI^EM ajbmxj+m { EDINSTWENNOE SLAGAEMOE STEPENI j + m W \TOM PROIZWEDENII. tAKIM OBRAZOM, fajg = 0, GDE deg(ajg) < deg(g). pROTIWORE^IE S OPREDELENIEM g POKAZYWAET, ^TO TAKOGO j NE SU]ESTWUET.

zADA^A. pOKAVITE, ^TO Idem(R[x]) = Idem(R).

3. rADIKAL dVEKOBSONA KOLXCA MNOGO^LENOW. w \TOM PUNKTE MY WY^ISLIM RADIKAL dVEKOBSONA KOLXCA R[x] NAD PROIZWOLXNYM KOLXCOM KO\FFICIENTOW R. sODERVANIE SLEDU- @]IH DWUH ZADA^ W SOWOKUPNOSTI SOSTAWLQET TEOREMU sNAPPERA (E.Snapper). wY^ISLIM WNA^ALE NILXRADIKAL.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO Nil(R[x]) = Nil(R)[x]. iNYMI SLOWAMI, MNOGO^LEN f W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE NILXPOTENTEN, KOGDA NILXPOTENTNY WSE EGO KO\FFICIENTY.

rE[ENIE. kOLXCO R= Nil(R) PRIWEDENO, ZNA^IT KOLXCO (R= Nil(R))[x] TOVE PRIWEDENO. nO WEDX (R= Nil(R))[x] = R[x]= Nil(R)[x].

oTS@DA I IZ HARAKTERIZACII R[x]¤ SRAZU WYTEKAET, ^TO DLQ KOLXCA MNOGO^LENOW RADIKAL dVEKOBSONA SOWPADAET S NILXRADIKALOM.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO Rad(R[x]) = Nil(R[x]).

rE[ENIE. pUSTX f 2 Rad(R[x]). tOGDA 1 + xf 2 R¤, I TEPERX IZ HARAKTERIZACII R[x]¤ WYTEKAET, ^TO WSE KO\FFICIENTY f NILXPOTENTNY. nO TOGDA PO PREDYDU]EJ ZADA^E f 2

Nil(R[x]).

4. aWTOMORFIZMY KOLXCA MNOGO^LENOW. oKAZYWAETSQ, U KOLXCA K[x] AWTOMORFIZMOW SOWSEM NEMNOGO. { gde ispolxzuetsq, ~to |to pole?

zADA^A. dOKAVITE, ^TO L@BOJ AWTOMORFIZM KOLXCA K[x] POSTOQNNYJ NA K QWLQETSQ LINEJNOJ ZAMENOJ PEREMENNOJ f 7!f(ax + b), a 2 K¤, b 2 K.

tAKIM OBRAZOM, AWTOMORFIZMY K[x] NAD K OBRAZU@T GRUPPU, IZOMORFNU@ GRUPPE MATRIC

½µa b ¶; a 2 K¤; b 2 K¾:

0 1

zADA^A. dOKAVITE, ^TO L@BOJ AWTOMOMORFIZM KOLXCA K[x] SOHRANQET POLE K.

iZ DWUH POSLEDNIH ZADA^ WYTEKAET, ^TO L@BOJ AWTOMORFIZM KOLXCA K[x] QWLQETSQ KOMPOZICIEJ POLEWOGO AWTOMORFIZMA Á 2 Aut(K), DEJSTWU@]EGO NA KO\FFICIENTY MNOGO^LENA, I LINEJNOJ ZAMENY PEREMENNYH.

x 5. pOLINOMIALXNYE BAZISY: SDWINUTYJ STANDARTNYJ BAZIS

bAZIS, SOSTOQ]IJ IZ STANDARTNYH MONOMOW 1; x; x2; : : : QWLQETSQ SAMYM IZWESTNYM, NO DALEKO NE EDINSTWENNYM [IROKO ISPOLXZUEMYM R-BAZISOM KOLXCA R[x]. w DEJSTWITELXNOSTI, W NEKOTORYH OBLASTQH, TAKIH KAK POLINOMIALXNAQ INTERPOLQCIQ, I WO MNOGIH ^ISTO ALGEBRAI^ESKIH I KOMBINATORNYH ZADA^AH, GORAZDO UDOBNEE POLXZOWATXSQ DRUGIMI BAZISAMI. w \TOM I ^ETYREH SLEDU@]IH PARAGRAFAH MY SOWSEM KOROTKO OPI[EM NEKOTORYE IZ NIH.

sDWINUTYJ STANDARTNYJ BAZIS. zAMENA xn NA (x ¡ c)n POZWOLQET SWODITX WOPROSY, O ZNA^ENIQH MNOGO^LENA ILI EGO PROIZWODNYH W PROIZWOLXNOM \LEMENTE KOLXCA K SOOTWETSTWU@]IM WOPROSAM DLQ c = 0.

kAK PEREJTI OT BAZISA K BAZISU? nAPRIMER, KAK PEREJTI OT BAZISA xn K SDWINUTOMU BAZISU (x¡c)n? w \TOM PROSTEJ[EM SLU^AE OTWET DAETSQ BINOMIALXNOJ TEOREMOJ/FORMULOJ tEJLORA, W DRUGIH SLU^AQH, KOTORYE NAM WSTRETQTSQ, OTWET BUDET NE STOLX O^EWIDEN.

fORMULA BINOMIALXNOGO OBRA]ENIQ

x 6. pOLINOMIALXNYE BAZISY: BAZIS RAZDELENNYH STEPENEJ

bAZIS RAZDELENNYH STEPENEJ. x(n) = xn=n!

TABLICA UMNOVENIQ x(m)x(n) = ¡mn ¢x(m+n)

ALGEBRA RAZDELENNYH STEPENEJ (divided powers), S BAZISOM x(m) { NAD POLEM HARAKTERISTIKI 0 IZOMORFNA KOLXCU MNOGO^LENOW, NO NAD POLEM POLOVITELXNOJ HARAKTERISTIKI NET I ^ASTO REZULXTATY, KOTORYE W HARAKTERISTIKE 0 OTNOSQTSQ K MNOGO^LENAM, W POLOVITELXNOJ HARAKTERISTIKE FORMULIRU@TSQ W TERMINAH RAZDELENNYH STEPENEJ, A NE MNOGO^LENOW!

nAPRIMER, S POMO]X@ RAZDELENNYH STEPENEJ MOVNO OPREDELITX \KSPONENTU POSREDSTWOM exp(x) = 1 + x(1) + x(2) + : : : .

x 7. pOLINOMIALXNYE BAZISY: FAKTORIALXNYE BAZISY

pO POWODU DWUH SLEDU@]IH BAZISOW SM. BLISTATELXNU@ KNIGU mARTINA aJGNERA58. bAZIS WOZRASTA@]IH FAKTORIALOW. [x]n = x(x + 1) : : : (x + n ¡ 1)

bAZIS UBYWA@]IH FAKTORIALOW. [x]n = x(x ¡ 1) : : : (x ¡ n + 1) qSNO, ^TO [¡x]n = (¡1)n[x]n

xn = Sn0[x]0 + Sn1[x]1 + : : : + Snn[x]n, GDE Snm { ^ISLA sTIRLINGA WTOROGO RODA (PO OPREDELENI@ S00 = 1 I Sn0 = 0 DLQ WSEH n > 0).

~ISLAMI sTIRLINGA PERWOGO RODA NAZYWA@TSQ ^ISLA sni ZADAWAEMYE TOVDESTWOM

[x]n = sn0x0 + sn1x1 + : : : + snnxn,

[x]n = jsn0jx0 + jsn1jx1 + : : : + jsnnjxn,

FORMULA OBRA]ENIQ sTIRLINGA

zADA^A. dOKAVITE BINOMIALXNYE TEOREMY DLQ WOZRASTA@]IH I UBYWA@]IH FAKTORIALOW

58m.aJGNER, kOMBINATORNAQ TEORIQ, { m., mIR, 1982.

x 8. pOLINOMIALXNYE BAZISY: MNOGO^LENY bERN[TEJNA

mNOGO^LENY bERN[TEJNA ¡mn¢xm(1 ¡ x)n¡m OBRAZU@T BAZIS W MODULE MNOGO^LENOW STEPENI · n.

pOLINOMIALXNAQ POSLEDOWATELXNOSTX (ILI SISTEMA): (Polynomfolge) fn = xn+^LENY NIZ[IH STEPENEJ.

W ^ASTNOSTI,

oRTOGONALXNYE MNOGO^LENY, KOTORYE MY IZU^IM W gLAWE ?, TAKIE KAK MNOGO^LENY lEVANDRA, |RMITA, qKOBI, ~EBY[EWA, lAGERRA, gEGENBAU\RA, ... iH ^ASTO NORMIRU@T NE PO STAR[EMU KO\FFICIENTU, A, NAPRIMER, TAK, ^TOBY KAKOJ-TO OPREDELENNYJ INTEGRAL PRINIMAL ZNA^ENIE 1.

x 9. cELOZNA^NYE MNOGO^LENY

cELOZNA^NYJ BAZIS ¡nx¢ = [x]n=n!

w NASTOQ]EM PARAGRAFE MY RASSMATRIWAEM MNOGO^LENY NAD Q. mNOGO^LEN f 2 Q[x] NAZYWAETSQ CELO^ISLENNYM (ganzzahlig, integral), ESLI WSE EGO KO\F-

FICIENTY CELYE, T.E. ESLI W DEJSTWITELXNOSTI ON PRINADLEVIT UVE Z[x]. mNO-

GO^LEN f NAZYWAETSQ CELOZNA^NYM (ganzwertig, integer-valued), ESLI f(Z) µ Z,

T.E. INYMI SLOWAMI, ESLI DLQ L@BOGO n 2 Z ZNA^ENIE f(n) CELOE.

o^EWIDNO, ^TO L@BOJ CELO^ISLENNYJ MNOGO^LEN QWLQETSQ CELOZNA^NYM. kAK POKAZYWAET PRIMER MNOGO^LENA x(x ¡ 1)=2, OBRATNOE NEWERNO. |TOT PRIMER QWLQETSQ SPECIALXNYM SLU^AEM OSNOWNOGO PRIMERA CELOZNA^NYH MNOGO^LENOW,

A IMENNO, BINOMIALXNYH KO\FFICIENTOW:

kLASSI^ESKI IZWESTNO, ^TO BINOMIALXNYE KO\FFICIENTY CELOZNA^NY. sEJ^AS MY POKAVEM, ^TO L@BOJ CELOZNA^NYJ MNOGO^LEN QWLQETSQ CELO^ISLENNOJ LINEJNOJ KOMBINACIEJ BINOMIALXNYH KO\FFICIENTOW. w DEJSTWITELXNOSTI, MY DOKAVEM ^UTX BOLEE SILXNYJ REZULXTAT, KOTORYJ, SOBSTWENNO, I NUVEN W BOLX- [INSTWE PRILOVENIJ (SM., NAPRIMER, [Ha], PREDLOVENIE 7.3 NA STR.75).

tEOREMA. pUSTX f 2 Q[x] TAKOJ MNOGO^LEN, ^TO f(n) 2 Z DLQ WSEH n 2 Z,

dOKAZATELXSTWO. iNDUKCIQ PO STEPENI f. bAZA INDUKCII: deg(f) = 0 { O^E- WIDNO. {AG INDUKCII: TAK KAK ¡mx ¢ = xm=m!+ ^LENY MENX[EJ STEPENI, TO L@BOJ MNOGO^LEN STEPENI m IZ Q[x] MOVNO PREDSTAWITX W UKAZANNOM WIDE S RACIONALXNYMI KO\FFICIENTAMI am; : : : ; a0 2 Q. nUVNO POKAZATX, ^TO \TI KO\FFICIENTY CELYE. pRIMENIM K f PRAWYJ RAZNOSTNYJ OPERATOR ¢f(x) =

µx ¶

c0 = f ¡ am m ¡ : : : ¡ a1x

ESTX RAZNOSTX DWUH CELOZNA^NYH MNOGO^LENOW.

DOKAZYWAETSQ SLEDU@]IJ REZULXTAT.

tEOREMA. mNOVESTWO R[[x]] S \TIMI OPERACIQMI QWLQETSQ KOMMUTATIWNYM ASSOCIATIWNYM KOLXCOM S 1.

pOSLEDOWATELXNOSTX f = (a0; a1; : : : ; an; : : : ) MOVET BYTX ZAPISANA KAK BESKONE^NAQ SUMMA MONOMOW aixi, 0 · i · n:

X1

(a0; a1; : : : ; an; : : : ) = a0 + a1x + : : : + anxn + : : : = anxn;

i=0

PRI \TOM W OTLI^IE OT MNOGO^LENOW KAK PRAWILO PRIMENQETSQ ZAPISX PO WOZRAS- TA@]IM STEPENQM x. w \TOJ ZAPISI SLOVENIE I UMNOVENIE STEPENNYH RQDOW PRINIMA@T WID

oPREDELENIE. pOSTROENNOE WY[E KOLXCO R[[x]] NAZYWAETSQ KOLXCOM FOR-

MALXNYH STEPENNYH RQDOW OT ODNOJ PEREMENNOJ (ILI NEIZWESTNOJ) NAD KOLXCOM R. |LEMENTY \TOGO KOLXCA NAZYWA@TSQ FORMALXNYMI STEPEN-

NYMI RQDAMI (ILI PROSTO STEPENNYMI RQDAMI).

pORQDOK FORMALXNOGO STEPENNOGO RQDA

pORQDOK FORMALXNOGO RQDA IGRAET TAKU@ VE ROLX WO WSEH RASSUVDENIQH, KASA@]IHSQ STEPENNYH RQDOW, STEPENX DLQ MNOGO^LENOW.

Im = ff 2 R[[x]] j ord(f) ¸ mg:

nERAWENSTWA DLQ PORQDKA POKAZYWA@T, ^TO Im E R[[x]]. iDEALY Im OBRAZU@T FUNDAMENTALXNU@ SISTEMU OKRESTNOSTEJ 0 W NEKOTOROJ TOPOLOGII KOLXCA R[[x]].

|TA TOPOLOGIQ PREWRA]AET R[[x]] W POLNOE METRIZUEMOE TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO (bURBAKI, aLGEBRA, T.II, gL.IV, S.77-78). kOLXCO MNOGO^LENOW R[x] WS@DU PLOTNO W R[[x]]. pONQTIE SUMMIRUEMOGO SEMEJSTWA SOWPADAET S OBY^- NYM PONQTIEM SUMMIRUEMOSTI, OPREDELENNYM SHODIMOSTX@ W METRI^ESKOM PROSTRANSTWE. uDOBSTWO NA[EGO PODHODA SOSTOIT W TOM, ^TO ON ^ISTO ALGEBRAI^EKSIJ I POZWOLQET WOOB]E IZBEVATX SSYLKI NA TOPOLOGI@. tAKOGO RODA ALGEBRA- I^ESKIE SUBSTITUTY TOPOLOGI^ESKIH SOOBRAVENIJ O^ENX ^ASTO ISPOLXZU@TSQ W ALGEBRE, NAPRIMER, W TEORII KOLEC, PRI IZU^ENII BESKONE^NYH MATRIC I T.D.

zADA^A (nX@TON{gENZELX). nAJTI y 2 Q[[x]] TAKOE, ^TO y2 = 1 + x. p

rE[ENIE. oTWET, KONE^NO, DAETSQ FORMULOJ nX@TONA DLQ RAZLOVENIQ 1 + x W RQD t\JLORA