Vavilov_N_Konkretnaya_teoria_kolets

tEOREMA pRAJSA. kOLXCO, POROVDENNOE PROIZWODNYMI, SOWPADAET S B1.

w DEJSTWITELXNOSTI, W RABOTE43 DOKAZAN SLEDU@]IJ ZNA^ITELXNO BOLEE TO^- NYJ REZULXTAT: KAVDAQ FUNKCIQ KLASSA b\RA 1 PREDSTAWIMA W WIDE fg + h, GDE f; g; h { PROIZWODNYE.

x 15. kOLXCO GOLOMORFNYH FUNKCIJ

pO POWODU SODERVANIQ \TOGO PARAGRAFA44;45;46;47;48;49;50;51

1. gOLOMORFNYE FUNKCII NA OTKRYTOM MNOVESTWE. pUSTX U { OTKRYTOE PODMNOVESTWO W Cn. fUNKCIQ f : U ¡! C NAZYWAETSQ GOLOMORFNOJ NA U, ESLI DLQ KAVDOJ TO^KI x = (x1; : : : ; xn) 2 U SU]ESTWUET SODERVA]AQSQ W U OTKRYTAQ OKRESTNOSTX V TO^KI x I STEPENNOJ RQD

X

ai1:::in (z1 ¡ x1)i1 : : : (zn ¡ xn)in ; i1; : : : ; in 2 N0;

ABSOL@TNO SHODQ]IJSQ K f(z) W KAVDOJ TO^KE z = (z1; : : : ; zn) 2 V . mNOVESTWO GOLOMORFNYH NA U FUNKCIJ OBOZNA^AETSQ ^EREZ OU . fUNKCIQ GOLOMORFNAQ NA WSEM PROSTRANSTWE Cn, NAZYWAETSQ CELOJ.

kOMPOZICIQ GOLOMORFNYH FUNKCIJ GOLOMORFNA. mY NE BUDEM PYTATXSQ SFORMULIROWATX \TOT PRINCIP W SAMOM OB]EM WIDE, TAK KAK DLQ WSEH NA[IH CELEJ DOSTATO^NO SLEDU@]EGO ^ASTNOGO SLU^AQ: ESLI f1; : : : ; fm { GOLOMORFNYE FUNKCII NA OTKRYTOM PODMNOVESTWE U µ Cn, A g : Cm ¡! C { CELAQ FUNKCIQ, TO FUNKCIQ x 7!g(f1(x); : : : ; fn(x)) GOLOMORFNA NA U. (|TO WYTEKAET, NAPRIMER, IZ LEMMY aBELQ I KOMPOZICII NORMALXNO SHODQ]IHSQ STEPENNYH RQDOW { ssylka ili kak??)

w ^ASTNOSTI, TAK KAK SLOVENIE I UMNOVENIE QWLQ@TSQ CELYMI FUNKCIQMI C2 7!C, TO DLQ L@BYH GOLOMORFNYH FUNKCIJ f; g : U ¡! C IH SUMMA I PROIZWEDENIE TOVE GOLOMORFNY. tEM SAMYM, OU OBRAZUET KOLXCO OTNOSITELXNO OBY^NYH OPERACIJ NAD FUNKCIQMI. wAVNEJ[IM OSOBENNOSTX@ GOLOMORFNYH FUNKCIJ PO SRAWNENI@ S WE]ESTWENNYMI BESKONE^NO DIFFERENCIIRUEMYMI FUNKCIQMI, QWLQETSQ SLEDU@]IJ ZAME^ATELXNYJ REZULXTAT, NAZYWAEMYJ E]E TEOREMOJ EDINSTWENNOSTI DLQ GOLOMORFNYH FUNKCIJ.

pRINCIP ANALITI^ESKOGO PRODOLVENIQ. pUSTX f; g : U ¡! C { GOLO-

MORFNYE FUNKCII NA OTKRYTOM SWQZNOM PODMNOVESTWE U µ Cn. tOGDA ESLI fjV = gjV DLQ NEKOTOROGO NEPUSTOGO OTKRYTOGO PODMNOVESTWA V µ U, TO f = g WS@DU NA U.

43D.Preiss, Algebra denerated by derivatives. { Real Anal. Exch., 1982{83, vol.8, p.208{216.

44s.bOHNER, u.t.mARTIN, fUNKCII MNOGIH KOMPLEKSNYH PEREMENNYH. { il, 1951.

45r.gANNING, ~.rOSSI, aNALITI^ESKIE FUNKCII MNOGIH KOMPLEKSNYH PEREMENNYH. { mIR, m., 1969, S.1{395.

46g.gRAU\RT, r.rEMMERT, aNALITI^ESKIE LOKALXNYE ALGEBRY. { nAUKA, m., 1988, S.1{303. 47a.kARTAN, |LEMENTARNAQ TEORIQ ANALITI^ESKIH FUNKCIJ ODNOGO I NESKOLXKIH KOMPLEKS-

NYH PEREMENNYH. { iil, m., 1963, S.1{296.

48l.hERMANDER, wWEDENIE W TEORI@ FUNKCII NESKOLXKIH KOMPLEKSNYH PEREMENNYH. { mIR, m., 1968, S.1{279.

49e.m.~IRKA, kOMPLEKSNYE ANALITI^ESKIE MNOVESTWA. { nAUKA, m., 1985, S.1{272. 50b.w.{ABAT, wWEDENIE W KOMPLEKSNYJ ANALIZ. { nAUKA, m., 1969, S.1{576.

51m.|RWE, fUNKCII MNOGIH KOMPLEKSNYH PEREMENNYH. lOKALXNAQ TEORIQ. { mIR, m., 1965, S.1{165.

|TOT REZULXTAT OB_QSNQET, W ^ASTNOSTI, IZWESTNYJ WSEM SPECIALISTAM FAKT, ^TO KOMPLEKSNYJ ANALIZ PO DUHU GORAZDO BLIVE K ALGEBRE, ^EM K WE]ESTWENNOMU ANALIZU. wOT PROSTAQ ILL@STRACIQ \TOGO PRINCIPA.

tEOREMA. dLQ L@BOJ OTKRYTOJ SWQZNOJ OBLASTI U µ Cn KOLXCO OU QWLQ- ETSQ OBLASTX@ CELOSTNOSTI.

dOKAZATELXSTWO. pUSTX fg = 0 DLQ KAKIH-TO f; g 2 OU . eSLI f =6 0, TO MNOVESTWO V TO^EK z 2 U, W KOTORYH f(z) =6 0 OTKRYTO I NEPUSTO. pOSKOLXKU g(z) = 0 DLQ WSEH z 2 V , TO PO PRINCIPU ANALITI^ESKOGO PRODOLVENIQ g(z) = 0 DLQ WSEH z 2 U, NO \TO I ZNA^IT, ^TO g = 0 2 OU .

2. rOSTKI GOLOMORFNYH FUNKCIJ. pUSTX TEPERX X { L@BOE PODMNOVESTWO W Cn. rASSMOTRIM MNOVESTWO PAR (U; f), GDE U, X µ U µ Cn { OTKRYTAQ OKRESTNOSTX X, A f { GOLOMORFNAQ FUNKCIQ NA U. sKAVEM, ^TO (U; f) » (V; g), ESLI SU]ESTWUET TAKAQ OKRESTNOSTX W , X µ W µ U \ V , MNOVESTWA X, ^TO fjW = gjW . kLASS \TOJ \KWIWALENTNOSTI NAZYWAETSQ ROSTKOM GOLOMORFNYH FUNKCIJ NA X.

lEGKO PROWERITX (PRODELAJTE \TO!), ^TO OTNO[ENIE » SOGLASOWANO SO SLOVENIEM I UMNOVENIEM FUNKCIJ, TAK ^TO OPERACII (U; f) + (V; g) = (U \ V; f + g), (U; f)(V; g) = (U \ V; fg), PREWRA]A@T MNOVESTWO ROSTKOW W KOMMUTATIWNOE AS-

SOCIATIWNOE KOLXCO S 1, NAZYWAEMOE KOLXCOM ROSTKOW GOLOMORFNYH FUNK-

CIJ NA X. |TO KOLXCO BUDET PO PREVNEMU OBOZNA^ATXSQ ^EREZ OX. w SLU- ^AE, KOGDA MNOVESTWO X SAMO OTKRYTO, U KAVDOGO ROSTKA ESTX EDINSTWENNYJ PREDSTAWITELX WIDA (X; f), T.E. GOLOMORFNAQ FUNKCIQ NA X, TAK ^TO NIKAKOGO KONFLIKTA S PRED[ESTWU@]IM NE WOZNIKAET!

oSOBENNO WAVEN SLU^AJ X = fxg, KOLXCO Ox NAZYWAETSQ KOLXCOM ROSTKOW GOLOMORFNYH FUNKCIJ W TO^KE x. |TO KOLXCO NAZYWAETSQ E]E LOKALXNYM KOLXCOM TO^KI x 2 Cn. oNO IZOMORFNO KOLXCU Cfx1; : : : ; xng SHODQ]IHSQ STEPENNYH RQDOW. zAMETIM, ^TO ESLI (U; f) » (V; g), TO f(x) = g(x), TAK ^TO IMEET SMYSL GOWORITX O ZNA^ENII ROSTKA IZ Ox W TO^KE x

zADA^A. dOKAVITE, ^TO Ox¤ = ff 2 Ox j f(x) =6 0g. rE[ENIE. gOLOMORFNAQ FUNKCIQ NEPRERYWNA.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO m = ff 2 Ox j f(x) = 0g MAKSIMALXNYJ IDEAL W Ox.

rE[ENIE. o^EWIDNO, ^TO m IDEAL, EGO MAKSIMALXNOSTX WYTEKAET IZ IZOMORFIZMA Ox=m ´ C.

tAKIM OBRAZOM, WSE NEOBRATIMYE \LEMENTY KOLXCA Ox OBRAZU@T IDEAL, KOTORYJ W \TOM SLU^AE QWLQETSQ EDINSTWENNYM MAKSIMALXNYM IDEALOM. kOMMUTATIWNYE KOLXCA S \TIM SWOJSTWOM NAZYWA@TSQ LOKALXNYMI KOLXCAMI.

gLAWA ?: swertka

|TA GLAWA POSWQ]ENA DETALXNOMU OBSUVDENI@ WAVNEJ[EJ ALGEBRAI^ESKOJ OPERACII: SWERTKI. tO^NEE, MY STROIM I IZU^AEM NESKOLXKO TIPOW KOLEC FUNKCIJ SO SWERTAKOJ W KA^ESTWE UMNOVENIQ. oSNOWNYMI PRIMERAMI SWERTKI, KOTORYE POSTOQNNO ISPOLXZU@TSQ W DALXNEJ[EM, SLUVAT:

²uMNOVENIE MNOGO^LENOW I STEPENNYH RQDOW (SWERTKA aBELQ);

²uMNOVENIE MATRIC;

²sWERTKA dIRIHLE W ALGEBRE ARIFMETI^ESKIH FUNKCIJ (UMNOVENIE RQDOW dIRIHLE);

²uMNOVENIE W POLUGRUPPOWOJ/GRUPPOWOJ ALGEBRE;

²sWERTKA W ALGEBRE L1(G) FUNKCIJ INTEGRIRUEMYH PO lEBEGU (W ^ASTNOSTI, SWERTKA POSLEDOWATELXNOSTEJ I FUNKCIJ NA R).

sWERTKA QWLQETSQ TRUDOEMKOJ I DOROGOJ OPERACIEJ I ZNA^ITELXNAQ ^ASTX USILIJ MATEMATIKOW NA PROTQVENII POSLEDNIH DWUH WEKOW SOSTOQLA W RAZRABOTKE METODOW SWODITX WY^ISLENIE SWERTKI K UMNOVENI@ FUNKCIJ. tAKOE SWEDENIE NAZYWAETSQ GARMONI^ESKIM ANALIZOM, A L@BOJ QWNYJ IZOMORFIZM MEVDU ALGEBROJ FUNKCIJ SO SWERTKOJ I ALGEBROJ FUNKCIJ S UMNOVENIEM { PREOBRAZOWANIEM fURXE. pREOBRAZOWANIQ fURXE IZWESTNY W DESQTKAH WARIANTOW: RQDY fURXE, INTEGRALY fURXE, DISKRETNOE PREOBRAZOWANIE fURXE (DFT), PREOBRAZOWANIE lAPLASA, ...

x 6. iZMENENIE PORQDKA SUMMIROWANIQ

dOKAZATELXSTWO ASSOCIATIWNOSTI SWERTKI SWQZANO S WAVNYM PRIEMOM IZMENENIQ PORQDKA SUMMIROWANIQ, NA KOTOROM STOIT OSTANOWITXSQ PODROBNEE.

1. oBOZNA^ENIQ, SWQZANNYE S SUMMAMI. w ALGEBRE SUMMA Pi2I ai OPREDE-

LENA ESLI W NEJ LI[X KONE^NOE ^ISLO NENULEWYH SLAGAEMYH, T.E. ESLI jfi 2 I j ai 6= 0gj < 1. |TO WSEGDA TAK, NAPRIMER, ESLI UVE SAMO MNOVESTWO I KONE^NO. w \TOM SLU^AE ^ASTO ISPOLXZUETSQ NATURALXNAQ INDEKSNCIQ, T.E. MNOVESTWO I OTOVDESTWLQETSQ S NA^ALXNYM OTREZKOM n, n = jIj, NATURALXNOGO RQDA

Q SUMMA ZAPISYWAETSQ W WIDE Pn ai. oDNAKO WO WMNOGIH SLU^AQH DAVE DLQ

i=1

KONE^NYH MNOVESTW UDOBNEE ISPOLXZOWATX W KA^ESTWE INDEKSOW NE NATURALXNYE ^ISLA, A \LEMENTY DRUGIH MNOVESTW, SKAVEM, BRATX SUMMY PO PODMNOVESTWAM n, PERESTANOWKAM, \LEMENTAM KONE^NOJ GRUPPY ILI POLQ.

kOMMENTARIJ. w MATEMATI^ESKOM ANALIZE W RAZLI^NYH SITUACIQH PRIDAETSQ SMYSL BES-

NOM ANALIZE). wSE NA[I KONSTRUKCII OBOB]A@TSQ NA \TI SLU^AI I PREDSTAWLQ@T W ANALITI- ^ESKOM KONTEKSTE NE MENX[IJ INTERES, ^EM W ALGEBRAI^ESKOM. oDNAKO PRI \TOM WOZNIKA@T RAZLI^NYE, INOGDA WESXMA NEBANALXNYE, WOPROSY SHODIMOSTI { PRI KAKIH USLOWIQH I W KAKOM SMYSLE SU]ESTWUET SUMMA BESKONE^NOGO RQDA ILI ZNA^ENIE INTEGRALA? tAK KAK \TI WOPROSY NE OTNOSQTSQ SOBSTWENNO K ALGEBRE, W OSNOWNOM TEKSTE MY OGRANI^IWAEMSQ TOLXKO TAKIMI KLASSAMI FUNKCIJ, DLQ KOTORYH WSE WOZNIKA@]IE SUMMY KONE^NY. dLQ TOGO, KTO OWLADEL NEOBHODIMOJ ALGEBRAI^ESKOJ TEHNIKOJ NA PRIMERE KONE^NYH SUMM I ZNAKOM S OSNOWAMI ANALIZA, PEREWOD NA QZYK INTEGRALOW W BOLX[INSTWE SLU^AEW NE PREDSTAWLQET NIKAKOGO TRUDA. wO MNOGIH SLU^AQH I SOBSTWENNO W ALGEBRE (SKAVEM, W KOLXCAH FORMALXNYH STEPENNYH RQDOW ILI BESKONE^NYH MATRIC NAD PROIZWOLXNYM KOLXCOM) OPREDELQ@TSQ SUMMIRUEMYE POSLEDOWATELXNOSTI ILI SHODQ]IESQ PROIZWEDENIQ. wSE \TI KONSTRUKCII, DAVE

ESLI ONI MASKIRU@TSQ POD ^ISTO ALGEBRAI^ESKIE, W DEJSTWITELXNOSTI OSNOWANY NA SKRYTOM ISPOLXZOWANII TOPOLOGII.

2. oBOB]ENNAQ DISTRIBUTIWNOSTX. pUSTX WNA^ALE R { PROIZWOLXNOE KOLXCO (NE OBQZATELXNO KOMMUTATIWNOE ILI DAVE ASSOCIATIWNOE). rASSMOTRIM PROIZWOLXNYE \LEMENTY a1; : : : am; b1; : : : bn 2 R. rASSMOTRIM PROIZWEDENIE

I PREOBRAZUEM EGO DWUMQ RAZLI^NYMI SPOSOBAMI. wNA^ALE RASKRYWAQ LEWU@ SUMMU, I TOLXKO POTOM PRAWU@, POLU^AEM

s DRUGOJ STORONY, WNA^ALE RASKRYWAQ PRAWU@ SUMMU I TOLXKO POTOM LEWU@,

sRAWNIWAQ DWA \TI WYRAVENIQ, I POLAGAQ I = m, J = N, MY WIDIM, ^TO

3. iZMENENIE PORQDKA SUMMIROWANIQ. pREDPOLOVIM, ^TO MY HOTIM SLO-

VITX \LEMENTY aij, ZAWISQ]IE OT DWUH INDEKSOW i I j, GDE, SKAVEM, 1 · i · m, A 1 · j · n. eSTX DWA O^EWIDNYH SPOSOBA SDELATX \TO. oDIN IZ NIH SOSTOIT W TOM, ^TOBY SNA^ALA PROSUMMIROWATX WSE \LEMENTY S FIKSIROWANNYM i, T.E.

GDE i I j MENQ@TSQ W TEH VE PREDELAH, ^TO I WY[E. iMENNO \TA FORMULA I NAZYWAETSQ `IZMENENIEM PORQDKA SUMMIROWANIQ'.

4. mOMENT ISTINY (test of truth). s IZMENENIEM PORQDKA SUMMIROWANIQ PRIHODITSQ ^ASTO WSTRE^ATXSQ NA PRAKTIKE. nAPRIMER, PRI SOSTAWLENII PLANA U^EBNOJ NAGRUZKI KAFEDRY NA GOD U^EBNYE ^ASY OBY^NO RASPREDELQ@TSQ NEKIM OBRAZOM PO MESQCAM I MEVDU PREPODAWATELQMI. pODS^ITATX OB]EE KOLI^ESTWO ^ASOW MOVNO DWUMQ SPOSOBAMI. pERWYJ IZ NIH SOSTOIT W TOM, ^TOBY WNA^ALE NAJTI POLNU@ NAGRUZKU KAVDOGO PREPODAWATELQ ZA WESX U^EBNYJ GOD, A POTOM SLOVITX NAGRUZKU WSEH PREPODAWATELEJ. pRI WTOROM VE SPOSOBE WNA^ALE NAHODITSQ NAGRUZKA WSEH PREPODAWATELEJ KAFEDRY W KAVDOM MESQCE, A POTOM SKLADYWAETSQ SUMMARNAQ NAGRUZKA KAFEDRY PO MESQCAM. sOGLASNO TOLXKO ^TO

x 2. sWERTKA, MONOIDNAQ ALGEBRA

tRUDNO PEREOCENITX WAVNOSTX OPERACII SWERTKI WO MNOGIH OBLASTQH MATEMATIKI.

uILLIAM fELLER52

w \TOM PARAGRAFE MY POSTROIM WAVNEJ[IJ PRIMER ALGEBRAI^ESKOJ OPERACII { SWERTKU.

1. oPREDELENIE SWERTKI. pUSTX M { POLUGRUPPA S OPERACIEJ ±, A R { KOLXCO S OPERACIQMI + I £. w OBY^NOM UMNOVENII FUNKCIJ IZ RM = Map(M; R) ZADEJSTWOWANO TOLXKO UMNOVENIE \LEMENTOW KOLXCA R, A OPERACIQ W M IGNORIRUETSQ. sEJ^AS MY WWEDEM NA MNOVESTWE FUNKCIJ RM I/ILI NA EGO PODMNOVESTWE R[M], SOSTOQ]EM IZ FUNKCIJ S KONE^NYM NOSITELEM, NOWU@ OPERACI@, GORAZDO BOLEE HITRU@ I DOROGU@, ^EM OBY^NOE UMNOVENIE FUNKCIJ, W OPREDELENII KOTOROJ BUDUT U^ASTWOWATX WSE TRI OPERACII ±, + I £. w BOLX[INSTWE PRIMEROW ROLX ± W SWO@ O^EREDX BUDET IGRATX SLOVENIE ILI UMNOVENIE, NO POKA MY BUDEM T]ATELXNO RAZLI^ATX WSE TRI OPERACII NA UROWNE OBOZNA^ENIJ, ^TOBY ^ETKO OTSLEDITX ROLX KAVDOJ IH NIH.

iTAK, DLQ DWUH FUNKCIJ f; g 2 RM MY HOTIM OPREDELITX TRETX@ FUNKCI@ f ¤ g 2 RM , DLQ \TOGO DOSTATO^NO ZADATX ZNA^ENIQ (f ¤ g)(x) 2 R \TOJ FUNKCII NA WSEH x 2 M. wNA^ALE MY NAPI[EM FORMULU, OPREDELQ@]U@ SWERTKU, A POTOM OPI[EM DWE WAVNEJ[IH SITUACII, KOGDA \TA FORMULA IMEET SMYSL. rAZUMEETSQ, SLEDU@]EE `OPREDELENIE' SAMO PO SEBE, BEZ KAKIH-TO DOPOLNITELXNYH PREDPOLOVENIJ, NI^EGO NE OPREDELQET.

`oPREDELENIE'. sWERTKOJ FUNKCIJ f I g NAZYWAETSQ FUNKCIQ f ¤g ZNA^ENIE KOTOROJ W x 2 M ZADAETSQ FORMULOJ

X

y±z=x

rAZUMEETSQ, ^TOBY \TO OPREDELENIE IMELO SMYSL S TO^KI ZRENIQ ALGEBRY, WSE SUMMY W PRAWOJ ^ASTI DOLVNY BYTX KONE^NYMI. |TO BEZUSLOWNO TAK, ESLI POLUGRUPPA M KONE^NA. oDNAKO \TO USLOWIE BUDET DLQ NAS SLI[KOM OGRANI- ^ITELXNYM, TAK KAK ONO NE POZWOLQET OPREDELITX NI FORMALXNYE STEPENNYE RQDY, NI DAVE MNOGO^LENY. sEJ^AS MY SFORMULIRUEM DWA DRUGIH, GORAZDO BOLEE INTERESNYH USLOWIQ.

kOMMENTARIJ. w MATEMATI^ESKOM ANALIZE SWERTKA OPREDELQETSQ PRI POMO]I BESKONE^NYH SUMM ILI INTEGRALOW. pRI \TOM, KAK WSEGDA, WOZNIKA@T WOPROSY SHODIMOSTI, T.E. DLQ FUNKCIJ KAKIH KLASSOW OPREDELENY \TI SUMMY I INTEGRALY? kROME TOGO, ESLI MY HOTIM, KAK I W ALGEBRAI^ESKOM SLU^AE, ISPOLXZOWATX SWERTKU DLQ OPREDELENIQ STRUKTURY KOLXCA NA NEKOTORYH MNOVESTWAH FUNKCIJ, SWERTKA DWUH FUNKCIJ NEKOTOROGO KLASSA DOLVNA BYTX NE TOLXKO OPREDELENA, NO I SNOWA PRINADLEVATX TOMU VE KLASSU. mNOGIE INTEGRALXNYE PREOBRAZOWANIQ QWLQ@TSQ SWERTKAMI S FUNKCIQMI SPECIALXNOGO WIDA (`QDRAMI'), ODNAKO W ANALIZE XIX WEKA QDRO I PREOBRAZUEMAQ FUNKCIQ NE RASSMATRIWALISX KAK RAWNOPRAWNYE OPERANDY. pO MNENI@ n.bURBAKI, PERWYM UPOMINANIEM OB ALGEBRAI^ESKIH SWOJSTWAH SWERTKI FUNKCIJ BYLA STATXQ ~EBY[EWA \o DWUH TEOREMAH TEORII WEROQTNOSTEJ", GDE DOKAZANO, ^TO FUNKCIEJ RASPREDELENIQ SUMMY NEZAWISIMYH SLU^AJNYH WELI^IN QWLQETSQ SWERTKA IH FUNKCIJ RASPREDELENIQ.

52u.fELLER, wWEDENIE W TEORI@ WEROQTNOSTEJ I EE PRILOVENIQ, T.2, m., 1967.

2. uSLOWIQ, GARANTIRU@]IE SU]ESTWOWANIE SWERTKI. dLQ TOGO, ^TOBY FORMULA, KOTOROJ MY OPREDELILI SWERTKU, IMELA SMYSL, MY DOLVNY NALOVITX OGRANI^ENIE LIBO NA POLUGRUPPU M, LIBO NA KLASS RASSMATRIWAEMYH FUNKCIJ.

² uSLOWIE NA POLUGRUPPU. uRAWNENIE y ± z = x IMEET W POLUGRUPPE M KONE^NOE ^ISLO RE[ENIJ. iNYMI SLOWAMI, DLQ KAVDOGO x 2 M SU]ESTWUET KONE^NOE ^ISLO PAR (y; z) 2 M £ M TAKIH, ^TO y ± z = x.

nAZOWEM NOSITELEM FUNKCII f 2 RM MNOVESTWO TEH x 2 M, DLQ KOTORYH f(x) =6 0:

Supp(f) = fx 2 M j f(x) =6 0g:

|TO ALGEBRAI^ESKOE OPREDELENIE NOSITELQ, W ANALIZE NOSITELEM OBY^NO NAZYWA@T ZAMYKANIE TOGO, ^TO NAZYWAEM NOSITELEM MY. wPRO^EM, ESLI M RASSMATRIWAETSQ S DISKRETNOJ TOPOLOGIEJ, \TI OPREDELENIQ SOWPADA@T.

² uSLOWIE NA FUNKCII. rASSMATRIWA@TSQ TOLXKO FUNKCII S KONE^NYM

NOSITELEM:

R[M] = ff 2 RM j j Supp(f)j < 1g:

iNYMI SLOWAMI, RASSMATRIWA@TSQ TOLXKO FUNKCII, TAKIE, ^TO f(x) = 0 DLQ PO^TI WSEH x, GDE WYRAVENIE `PO^TI WSEH' SNOWA PONIMAETSQ W ALGEBRAI^ESKOM SMYSLE, KAK WSEH, KROME KONE^NOGO ^ISLA. tAKIM FUNKCII NAZYWA@TSQ E]E

FORMALXNYMI LINEJNYMI KOMBINACIQMI \LEMENTOW M S KO\FFICIENTA-

MI IZ R. eSLI M KONE^NA, TO R[M] = RM .

pREDOSTEREVENIE. bURBAKI ISPOLXZUET DLQ MNOVESTWA FORMALXNYH LINEJNYH KOMBINACIJ OBOZNA^ENIE R(M ), A NE R[M]!

qSNO, ^TO KAVDOE IZ \TIH USLOWIJ GARANTIRUET KONE^NOSTX WSEH SUMM W OPREDELENII SWERTKI. kROME TOGO, ESLI f; g 2 R[M], TO

TAK ^TO f + g; f ¤ g 2 R[M]. w DWUH SLEDU@]IH PUNKTAH MY DOKAVEM, ^TO ESLI R { ASSOCIATIWNOE KOLXCO S 1, TO RM I R[M] TOVE QWLQ@TSQ ASSOCIATIWNYMI KOLXCAMI S 1.

kOMMENTARIJ. |TI USLOWIQ { \TO W TO^NOSTI USLOWIQ, FIGURIRU@]IE KNIGAH bURBAKI `aLGEBRA'53 I `iNTEGRIROWANIE'54. s SODERVATELXNOJ TO^KI ZRENIQ I W TOM I W DRUGOM SLU^AE RE^X IDET O KOMPAKTNOSTI. tOPOLOG WYRAZIL BY NA[E USLOWIE NA POLUGRUPPU M SKAZAW, ^TO OPERACIQ W NEJ ZADAET W DISKRETNOJ TOPOLOGII SOWER[ENNOE OTOBRAVENIE M £ M ¡! M, T.E. TAKOE OTOBRAVENIE, ^TO PROOBRAZ KOMPAKTNOGO MNOVESTWA KOMPAKTEN55. nAIBOLEE PROSTOJ I WAVNYJ KLASS FUNKCIJ, NEPOSREDSTWENNO OBOB]A@]IJ FUNKCII S KONE^NYM NOSITELEM, DLQ KOTOROGO WSE WOPROSY SHODIMOSTI TRIWIALXNY, \TO NEPRERYWNYE FUNKCII S KOMPAKTNYM NOSITELEM. sWERTKA DWUH TAKIH FUNKCIJ WSEGDA SU]ESTWUET I SNOWA QWLQETSQ NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ S KOMPAKTNYM NOSITELEM. wPRO^EM, \TOT PRIMER TOVE SKOREE OTNOSITSQ K TOPOLOGI^ESKOJ ALGEBRE, ^EM SOBSTWENNO K ANALIZU.

²sME[ANNYE USLOWIQ. KLASSY BESKONE^NYH MATRIC

3.sWERTKI NA GRUPPE. w SLU^AE, KOGDA M = G QWLQETSQ GRUPPOJ, DLQ KAVDYH x I y URAWNENIE yz = x IMEET EDINSTWENNOE RE[ENIE z = y¡1x. tO^NO TAK VE, ESLI FIKSIROWANY x I z, TO S NEOBHODIMOSTX@ y = xz¡1. pO\TOMU

53n.bURBAKI, aLGEBRA I, GL. II; PUNKTY 9,10 cTR. 294{298.

54n.bURBAKI iNTEGRIROWANIE, gL. VI{VIII, m., 1970; PRIMERY 1 I 2 NA STR. 222{223, { RAZUMEETSQ, W \TOJ KNIGE IZLOVENIE WEDETSQ W TERMINAH MER, A NE FUNKCIJ

55n.bURBAKI, oB]AQ TOPOLOGIQ, gL. I { II, m., 1968; SM. gLAWA I, x 10