Vavilov_N_Konkretnaya_teoria_kolets

zADA^A (AFFINNOE KOLXCO GIPERBOLY). pOKAVITE, ^TO K[x; y]=(xy ¡ 1) »

=

K[z; z¡1].

zADA^A (AFFINNOE KOLXCO KONIKI). pUSTX f 2 K[x; y] { NEPRIWODIMYJ MNOGO^LEN STEPENI 2. pOKAZATX, ^TO R = K[x; y]=(f) IZOMORFNO LIBO K[z], LIBO K[z; z¡1]. kAK UZNATX, KOTOROMU IZ \TIH KOLEC IZOMORFNO R?

oTWET MOVNO NAJTI W L@BOM U^EBNIKE \ANALITI^ESKOJ GEOMETRII". nUVNO PREDSTAWITX f W WIDE f = f2 + f1 + f0 I PRIWESTI f2 K GLAWNYM OSQM.

x 8. tEOREMY OB IZOMORFIZME

pUSTX ¼ : R ¡! R=I { KANONI^ESKAQ PROEKCIQ NA FAKTOR-KOLXCO PO MODUL@ IDEALA I E R.

tEOREMA nETER OB IZOMORFIZME. eSLI A · R { PODKOLXCO, A I E R {

IDEAL, TO A \ I { IDEAL W A I

A=(A \ I) » (A + I)=I · R=I:

=

dOKAZATELXSTWO. tO, ^TO \TO IZOMORFIZM ADDITIWNYH GRUPP, WYTEKAET UVE IZ TEOREMY nETER OB IZOMORFIZME DLQ GRUPP. |TOT IZOMORFIZM OPREDELQETSQ SOPOSTAWLENIEM A ¡! (A+I)=I, x 7!x+I. pO\TOMU OSTAETSQ LI[X PROWERITX, ^TO \TO DEJSTWITELXNO GOMOMORFIZM KOLEC: xy 7!xy + I = (x + I)(y + I). qDRO GOMOMORFIZMA KOLEC AWTOMATI^ESKI QWLQETSQ IDEALOM.

tEOREMA. pUSTX I E R. tOGDA SOOTWETSTWIE A 7!¼¡1(A) USTANAWLIWA- ET IZOMORFIZM RE[ETKI LEWYH/PRAWYH/DWUSTORONNIH IDEALOW KOLXCA R=I I RE[ETKI LEWYH/PRAWYH/DWUSTORONNIH IDEALOW KOLXCA R, SODERVA]IH I.

dOKAZATELXSTWO. nUVNO PROWERITX LI[X, ^TO PROOBRAZ LEWOGO/PRAWOGO/DWUSTORONNEGO IDEALA KOLXCA R=I TOVE BUDET LEWYM/PRAWYM/DWUSTORONNIM IDEALOM I ^TO PRI \TOM

¼¡1(A \ B) = ¼¡1(A) \ ¼¡1(B); ¼¡1(A + B) = ¼¡1(A) + ¼¡1(B):

|TO PREDOSTAWLQETSQ ^ITATEL@.

tO^NO TAK VE USTANAWLIWAETSQ BIEKCIQ MEVDU MNOVESTWOM WSEH PODKOLEC W R=I I MNOVESTWOM WSEH PODKOLEC W R, SODERVA]IH I.

wTORAQ TEOREMA OB IZOMORFIZME. eSLI I; A E R, U · A, TO R=A »

=

(R=I)=(A=I).

x 9. dUBLX KOLXCA WDOLX IDEALA

w PRILOVENIQH TEORII KOLEC O^ENX ^ASTO WOZNIKA@T PARY, SOSTOQ]IE IZ KOLXCA R I IDEALA I W NEM. oKAZYWAETSQ, W BOLX[INSTWE SLU^AEW IZU^ENIE TAKOJ PARY (R; I) POLNOSTX@ SWODITSQ K IZU^ENI@ NEKOTOROGO NOWOGO KOLXCA R £I R, NAZYWAEMOGO DUBLEM KOLXCA R WDOLX IDEALA I. sEJ^AS MY RASSMOTRIM \TU WAVNEJ[U@ KONSTRUKCI@.

1. dUBLX KOLXCA. oPREDELIM DUBLX R£I R KOLXCA R PO OTNO[ENI@ K IDEALU

I · R POSREDSTWOM DEKARTOWA KWADRATA

R¡¡¡¡! R=I

¼

iNYMI SLOWAMI, R £I R SOSTOIT IH WSEH PAR (a; b) 2 R £ R TAKIH, ^TO a ´ b (mod I) S POKOMPONENTNYMI OPERACIQMI I ¼1(a; b) = a, ¼2(a; b) = b. qSNO, ^TO Ker ¼1 = (0; I) I Ker ¼2 = (I; 0). dIAGONALXNOE WLOVENIE ± : R ¡! R £I R, ZADAWAEMOE POSREDSTWOM ±(a) = (a; a) RAS]EPLQET KAK ¼1, TAK I ¼2.

dLQ PARY (R; I) MOVNO OPREDELITX POLUPRQMOE PROIZWEDENIE R i I KOLXCA R I I KAK MNOVESTWO PAR (a; c), a 2 R, c 2 I, S POKOMPONENTNYM SLOVENIEM I UMNOVENIEM, OPREDELENNYM FORMULOJ (a; c)(b; d) = (ab; ad + cb + cd).

lEMMA. kOLXCO R £I R IZOMORFNO POLUPRQMOMU PROIZWEDENI@ R i I KOLXCA

±(R) » R I IDEALA Ker ¼ » I.

= 1 =

dOKAZATELXSTWO. oPREDELIM OTOBRAVENIE IZ R £I R W R i I, POLAGAQ (a; b) 7! (a; b ¡ a). iZ OPREDELENIQ UMNOVENIQ W R i I SLEDUET, ^TO \TO GOMOMORFIZM. oBRATNYJ GOMOMORFIZM OPREDELQETSQ POSREDSTWOM (a; c) 7!(a; a + c).

w DALXNEJ[EM MY OTVDESTWLQEM I S Ker ¼1.

tEMA 10: prostye i maksimalxnye idealy x 1. hARAKTERISTIKA OBLASTI CELOSTNOSTI

\Can you do addition?" the White Queen asked. \What's one and one and one and one and one and one and one and one and one and one?" \I don't know," said Alice, \I lost count."

Charles Dodgson \Through the looking glass"

w NASTOQ]EM PARAGRAFE MY WWEDEM WAVNEJ[IJ INWARIANT KOMMUTATIWNOGO

pUSTX I = Ker(Ã) { QDRO \TOGO GOMOMORFIZMA. tAK KAK Z { KOLXCO GLAWNYH IDEALOW, TO I = mZ DLQ NEKOTOROGO m 2 N0. dLQ m =6 0 W KOLXCE R WYPOLNQETSQ 1 + : : : + 1 = 0, GDE ^ISLO EDINIC RAWNO m.

oPREDELENIE. eSLI Ker(Ã) = mZ, TO GOWORQT, ^TO HARAKTERISTIKA R RAW- NA m I PI[UT char(R) = m.

iNYMI SLOWAMI, char(R) = 0, ESLI Ã : Z ¡! R QWLQETSQ MONOMORFIZMOM I char(R) = m, ESLI m { NAIMENX[EE NATURALXNOE ^ISLO TAKOE, ^TO

1 + : : : + 1 = 0:

| {z } m SLAGAEMYH

~TOBY RAZLI^ATX SLU^AI char(R) = 0 I char(R) > 0, W PERWOM IZ NIH GOWORQT, ^TO R KOLXCO NULEWOJ HARAKTERISTIKI, A WO WTOROM, ^TO R KOLXCO POLOVITELXNOJ HARAKTERISTIKI. oSOBENNO WAVEN SLU^AJ, KOGDA char(R) = p > 0 { PROSTOE ^ISLO, TAKOE R NAZYWAETSQ KOLXCOM PROSTOJ HARAKTERISTIKI.

wOT PRIMERY KOLEC RAZLI^NYH HARAKTERISTIK.

²hARAKTERISTIKA Z, Q, R, C RAWNA 0.

²hARAKTERISTIKA KOLXCA KLASSOW WY^ETOW Z=mZ RAWNA m, W ^ASTNOSTI, HARAKTERISTIKA PROSTOGO POLQ Fp = Z=pZ RAWNA p.

²hARAKTERISTIKA BULEWA KOLXCA MNOVESTW R = 2X, X 6= ;, (OTNOSITELXNO SIMMETRI^ESKOJ RAZNOSTI I PERESE^ENIQ) RAWNA 2.

2.hARAKTERISTIKA OBLASTI CELOSTNOSTI. oKAZYWAETSQ, TOT FAKT, ^TO HARAKTERISTIKA WSEH IZWESTNYH NAM POLEJ LIBO RAWNA 0, LIBO QWLQETSQ PROSTYM ^ISLOM, NE SLU^AEN.

tEOREMA. 1) hARAKTERISTIKA NERAZLOVIMOGO KOLXCA LIBO RAWNA 0, LIBO QW- LQETSQ PRIMARNYM ^ISLOM.

2) hARAKTERISTIKA OBLASTI CELOSTNOSTI LIBO RAWNA 0, LIBO QWLQETSQ PROSTYM ^ISLOM.

dOKAZATELXSTWO. 1) w SAMOM DELE, PUSTX char(R) = mn > 0, GDE gcd(m; n) = 1. mY UTWERVDAEM, ^TO TOGDA R = mR © nR. w SAMOM DELE, ESLI x 2 mRcapnR,

|NDOMORFIZM Fp, A ^ASTO I EGO STEPENI Fpn, NAZYWAETSQ \NDOMORFIZMOM fROBENIUSA. |TOT \NDOMORFIZM QWLQETSQ ODNIM IZ WAVNEJ[IH INSTRUMENTOW PRI IZU^ENII KONE^NYH POLEJ. mY MOGLI BY NE ISKL@^ATX ZDESX KOLXCA HARAKTERISTIKI 0, WWEDQ PONQTIE HARAKTERISTI^EKOJ \KSPONENTY. hARAKTERISTI- ^ESKAQ \KSPONENTA KOLXCA RAWNA p, ESLI EGO HARAKTERISTIKA p > 0 I RAWNA 1, ESLI EGO HARAKTERISTIKA RAWNA 0.

2. hARAKTERIZACIQ UNIPOTENTNYH \LEMENTOW. sLEDU@]IJ REZULXTAT ^ASTO (I OBY^NO BEZ WSQKIH SPECIALXNYH SSYLOK) ISPOLXZUETSQ W SLU^AE KOLXCA MATRIC R = M(n; K), GDE K { POLE HARAKTERISTIKI p.

zADA^A. eSLI R { KOLXCO PRIMARNOJ HARAKTERISTIKI pn, TO MNOVESTWO UNIPOTENTNYH \LEMENTOW SOWPADAET S p-^ASTX@ GRUPPY R¤:

U(R) = fu 2 R¤ j 9m 2 N; o(u) = pm:g

w ^ASTNOSTI, ESLI R PRIWEDENNOE, TO PORQDOK L@BOGO \LEMENTA x 2 R¤ WZAIMNO PROST S p. eSLI R { KOMMUTATIWNOE, TO U(R) = Rp¤ ESTX p-PRIMARNAQ KOMPONENTA GRUPPY R¤.

3. pROSTYE POLQ. oKAZYWAETSQ, SREDI WSEH POLEJ DANNOJ HARAKTERISTIKI SU]ESTWUET EDINSTWENNOE S TO^NOSTX@ DO IZOMORFIZMA SAMOE MALENXKOE.

oPREDELENIE. pOLE K, NE SODERVA]EE SOBSTWENNYH PODPOLEJ, NAZYWAETSQ

PROSTYM.

tEOREMA. pROSTOE POLE IZOMORFNO LIBO Q, ESLI EGO HARAKTERISTIKA RAWNA 0, LIBO Fp, ESLI EGO HARAKTERISTIKA RAWNA p > 0.

dOKAZATELXSTWO. rASSMOTRIM PODKOLXCO W K, POROVDENNOE 1. oNO SOWPADAET LIBO S Z, LIBO S Z=pZ DLQ NEKOTOROGO p 2 P. wO WTOROM SLU^AE ONO SAMO QWLQETSQ PODPOLEM, W PERWOM SLU^AE ONO POROVDAET PODPOLE, IZOMORFNOE POL@

Q.

p-MNOGO^LENY. pUSTX HARAKTERISTIKA POLQ K RAWNA p. w \TOM SLU^AE p- MNOGO^LENAMI NAZYWA@TSQ MNOGO^LENY WIDA a0x + a1xp + a2xp2 + : : : . pO POWODU SLEDU@]EJ ZADA^ SM.

r.lIDL, h.nIDERRAJTER \wWEDENIE W TEORI@ KONE^NYH POLEJ I IH PRILOVE-

NIJ", x 3.4)

zADA^A. pOKAZATX, ^TO MNOVESTWO p-MNOGO^LENOW OBRAZUET KOMMUTATIWNOE ASSOCIATIWNOE KOLXCO OTNOSITELXNO OBY^NOGO SLOVENIQ MNOGO^LENOW I KOMPOZI-

x 3. pROSTYE IDEALY

1. pROSTYE IDEALY. sEJ^AS MY WWEDEM WAVNEJ[IJ KLASS IDEALOW KOMMUTATIWNYH KOLEC.

oPREDELENIE. iDEAL I KOLXCA R NAZYWAETSQ SOBSTWENNYM, ESLI I =6 R.

oPREDELENIE. sOBSTWENNYJ IDEAL p KOLXCA R NAZYWAETSQ PROSTYM, ESLI IZ TOGO, ^TO xy 2 p WYTEKAET, ^TO PO KRAJNEJ MERE ODIN IZ \LEMENTOW x; y LEVIT W p.

mNOVESTWO WSEH PROSTYH IDEALOW KOLXCA R OBOZNA^AETSQ Spec(R) I NAZYWAETSQ SPEKTROM KOLXCA R. |TO WAVNEJ[IJ GEOMETRI^ESKIJ OB_EKT, SWQZANNYJ S KOLXCOM R. oN SNABVAETSQ ESTESTWENNOJ STRUKTUROJ TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA (TOPOLOGIQ zARISKOGO) I PU^KOM LOKALXNYH KOLEC, KOTORYE PREWRA]A@T EGO W LOKALXNO OKOLXCOWANNOE PROSTRANSTWO.

pO OPREDELENI@ NULEWOJ IDEAL (0) W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE PROST, KOGDA R QWLQETSQ OBLASTX@ CELOSTNOSTI. oBOB]AQ \TO NABL@DENIE, POLU^AEM SLEDU@]IJ REZULXTAT, W KOTOROM a; b OBOZNA^A@T PROIZWOLXNYE IDEALY KOLXCA

R.

pREDLOVENIE. sLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY:

1)iDEAL p PROST;

2)fAKTOR-KOLXCO R=p QWLQETSQ OBLASTX@ CELOSTNOSTI;

3)iZ TOGO, ^TO ab µ p WYTEKAET, ^TO PO KRAJNEJ MERE ODIN IZ IDEALOW a; b SODERVITSQ W p.

dOKAZATELXSTWO. 1) =) 2) pUSTX (x + p)(y + p) = 0 W R=p. |TO OZNA^AET, ^TO xy 2 p. pO OPREDELENI@ PROSTOGO IDEALA x 2 p ILI y 2 p. TAK ^TO PO KRAJNEJ MERE ODIN IZ KLASSOW x + p ILI y + p RAWEN 0.

2)=) 3) pUSTX a; b E R. rASSMOTRIM IH OBRAZY a = (a + p)=p I b = (b + p)=p PRI KANONI^ESKOJ PROEKCII W R=p. tAK KAK ab µ p, TO ab = 0. eSLI TEPERX a 6µp I b 6µp, TO \TO PROTIWORE^IT CELOSTNOSTI R=p.

3)=) 1) uSLOWIE 3 FORMALXNO SILXNEE USLOWIQ 1, ^TOBY UBEDITXSQ W \TOM, DOSTATO^NO RASSMOTRETX GLAWNYE IDEALY =(x), b = (y), POROVDENNYE \LEMENTAMI x; y 2 R.

uSLOWIQ W PUNKTAH 1 I 3 SRAZU RASPROSTRANQ@TSQ NA L@BOE KONE^NOE ^ISLO SOMNOVITELEJ. sKAVEM, ESLI x1 : : : xn 2 p, TO PO KRAJNEJ MERE ODIN IZ SOMNOVITELEJ xi LEVIT W p.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO ESLI W KOMMUTATIWNOM KOLXCE WSE SOBSTWENNYE IDEALY PROSTYE, TO \TO KOLXCO POLE.

rE[ENIE. tAK KAK IDEAL 0 PROST, TO R QWLQETSQ OBLASTX@ CELOSTNOSTI. s DRUGOJ STORONY, ESLI a =6 0, TO, TAK KAK a2 2 (a2), TO a 2 (a2). tEM SAMYM, (a) = (a2). tEM SAMYM, a = a2x DLQ NEKOTOROGO x 2 R. |TO ZNA^IT, ^TO a(1 ¡ ax) = 0 I, OKON^ATELXNO, ax = 1.

pRIMERY PROSTYH IDEALOW. pRIWEDEM NESKOLXKO O^EWIDNYH PRIMEROW PROSTYH IDEALOW.

²0 QWLQETSQ PROSTYM IDEALOM KOLXCA R W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA R OBLASTX CELOSTNOSTI.

²pROSTYMI IDEALAMI W KOLXCE Z QWLQ@TSQ GLAWNYE IDEALY (p), p 2 P, I IDEAL (0).

²pROSTYMI IDEALAMI W KOLXCE K[x] QWLQ@TSQ GLAWNYE IDEALY (f), GDE f NEPRIWODIM NAD K, I IDEAL (0).

²pUSTX R = K[x; y]. tOGDA GLAWNYJ IDEAL (y), POROVDENNYJ PEREMENNOJ y, PROST TAK KAK FAKTOR-KOLXCO K[x; y]=(y) = K[x] CELOSTNOE. s DRUGOJ STORONY,

(y) NE MAKSIMALEN. oN SODERVITSQ, NAPRIMER, W MAKSIMALXNOM IDEALE xR+yR, SOSTOQ]EM IZ WSEH MNOGO^LENOW BEZ SWOBODNOGO ^LENA (A TAKVE W IDEALAH x2+yR, x3R + yR, I T.D.)

² eDINSTWENNYM PROSTYM IDEALOM KOLXCA Z=pnZ, p 2 P, n 2 N, QWLQETSQ pZ=pnZ.

2. nEPRIWODIMYE IDEALY. dWUSTORONNIJ IDEAL I E R NAZYWAETSQ NEPRIWODIMYM, ESLI NE SU]ESTWUET PARY IDEALOW a; b E R, a; b 6= I, TAKIH, ^TO a \ b = I. tAK KAK ab µ a \ b, TO KAVDYJ PROSTOJ IDEAL KOLXCA R NEPRIWODIM.

zADA^A. kAVDYJ DWUSTORONNIJ IDEAL I KOLXCA R ESTX PERESE^ENIE WSEH SODERVA]IH EGO NEPRIWODIMYH IDEALOW.

rE[ENIE. pO TEOREME OB IZOMORFIZME WOPROS SWODITSQ K KOLXCU R=I TAK ^TO BEZ POTERI OB]NOSTI MOVNO S^ITATX I = 0. pUSTX x 6= 0. mNOVESTWO X WSEH IDEALOW, NE SODERVA]IH x, INDUKTIWNO UPORQDO^ENO. iZ LEMMY kURATOWSKOGOcORNA WYTEKAET, ^TO W \TOM MNOVESTWE SU]ESTWUET MAKSIMALXNYJ \LEMENT q E R, x 2= q. qSNO, ^TO q NEPRIWODIM. nO \TO I ZNA^IT, ^TO PERESE^ENIE WSEH NEPRIWODIMYH IDEALOW KOLXCA R RAWNO 0.

lEMMA. pUSTX p1; : : : ; pn 2 Spec(R) I I · p1 [ : : : [ pn. tOGDA I · pi DLQ KAKOGO-TO i = 1; : : : ; n.

dOKAZATELXSTWO. wYBROSIW, ESLI NUVNO, NESKOLXKO pi, MOVNO S^ITATX, ^TO

NO x ´ xi 6´0 (mod p)i, TAK ^TO x 2= [pi, WOPREKI PREDPOLOVENI@.

3. fUNKTORIALXNOSTX. pUSTX Á : R ¡! S { GOMOMORFIZM KOMMUTATIWNYH KOLEC. sEJ^AS MY POSTROIM OTOBRAVENIE Á¤ : Spec(S) ¡! Spec(R).

tEOREMA. dLQ L@BOGO IDEALA p 2 Spec(S) IDEAL Á¡1(p) 2 Spec(R) PROST. eS- LI Á S@R_EKTIWEN, TO OTOBRAVENIE p 7!Á¡1(p) USTANAWLIWAET WZAIMNO OD- NOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU WSEMI PROSTYMI IDEALAMI KOLXCA S I TEMI PROSTYMI IDEALAMI KOLXCA R, KOTORYE SODERVAT Ker(Á).

dOKAZATELXSTWO. pO TEOREME O GOMOMORFIZME DLQ L@BOGO IDEALA I E S GOMOMORFIZM Á OPREDELQET WLOVENIE R=Á¡1(I) W S=I. nENULEWOE PODKOLXCO OBLASTI CELOSTNOSTI SAMO QWLQETSQ OBLASTX@ CELOSTNOSTI. |TO WLOVENIE QWLQETSQ BIEKCIEJ, ESLI Á S@R_EKTIWNO.

tAKIM OBRAZOM, MY MOVEM POLOVITX Á¤(p) = Á¡1(p). |TO SOPOSTAWLENIE

FUNKTORIALXNO, TO^NEE, KONTRAWARIANTNO W TOM SMYSLE, ^TO I (ÁÃ)¤ =

äÁ¤. oTMETIM WAVNEJ[IJ ^ASTNYJ SLU^AJ PRED[ESTWU@]EGO REZULXTATA. sLEDSTWIE. eSLI S=R { RAS[IRENIE KOLEC I p 2 Spec(S), TO p \R 2 Spec(R).

pREDOSTEREVENIE. aNALOGI^NOE UTWERVDENIE DLQ MAKSIMALXNYH IDEALOW NE IMEET MESTA!!! nAPRIMER, Z · Q, PRI^EM IDEAL 0 E Q MAKSIMALEN, NO EGO PROOBRAZ 0 E Z PROST, NO NE QWLQETSQ BOLX[E MAKSIMALXNYM. pO\TOMU INWARIANTNYJ GEOMETRI^ESKIJ SMYSL IMEET LI[X PROSTRANSTWO PROSTYH IDEALOW, A WOWSE NE PROSTRANSTWO MAKSIMALXNYH IDEALOW. w DEJSTWITELXNOSTI, MAKSIMALXNYE IDEALY OTWE^A@T ZAMKNUTYM TO^KAM SPEKTRA, NO, KAK PRAWILO, W \TOM PROSTRANSTWE IMEETSQ I MNOGO NEZAMKNUTYH TO^EK.

x 4. mAKSIMALXNYE IDEALY

1. mAKSIMALXNYE IDEALY. qSNO, ^TO NENULEWOJ GLAWNYJ IDEAL p = (f) W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE PROST, KOGDA f { PROSTOJ \LEMENT KOLXCA R. tAKIM OBRAZOM, ESLI p { PROSTOJ IDEAL W KOLXCE GLAWNYH IDEALOW R, TO LIBO p = 0, LIBO p = (f) GDE f { NEPRIWODIMYJ \LEMENT KOLXCA R. w DEJSTWITELXNOSTI, KAK MY ZNAEM IZ gLAWY ?, IDEAL (f), POROVDENNYJ NEPRIWODIMYM \LEMENTOM, MAKSIMALEN. nAPOMNIM OPREDELENIE.

oPREDELENIE. iDEAL m KOLXCA R NAZYWAETSQ MAKSIMALXNYM, ESLI ON SOB- STWENNYJ, I NE SODERVITSQ NI W KAKOM BOLX[EM SOBSTWENNOM IDEALE, T.E. INYMI SLOWAMI, m < R I NE SU]ESTWUET IDEALA I TAKOGO, ^TO m < I < R.

eSLI m { MAKSIMALXNYJ IDEAL R I x 2 R n maxi, TO I + (f) = R. tAKIM OBRAZOM WSE NENULEWYE \LEMENTY x + m KOLXCA R=m OBRATIMY, ILI, ^TO TO VE SAMOE, R=m QWLQETSQ POLEM.

lEMMA. fAKTOR-KOLXCO R=m W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE QWLQETSQ POLEM, KOGDA IDEAL m MAKSIMALEN.

tAK KAK POLE QWLQETSQ OBLASTX@ CELOSTNOSTI, TO KAVDYJ MAKSIMALXNYJ IDEAL PROST.

²iDEAL 0 MAKSIMALEN W POLE K.

²iDEAL pZ, p 2 P, MAKSIMALEN W Z.

²eDINSTWENNYMI MAKSIMALXNYMI IDEALAMI W Kn QWLQ@TSQ mi = fx = (x1; : : : ; xn) 2 Kn j xi = 0g.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO W BULEWOM KOLXCE WSQKIJ PROSTOJ IDEAL MAKSIMALEN.

zADA^A. pUSTX X { KOMPAKTNOE HAUSDORFOWO PROSTRANSTWO. dOKAVITE, ^TO W KOLXCE C(X) WSQKIJ MAKSIMALXNYJ IDEAL IMEET WID

mx = ff 2 C(X) j f(x) = 0g:

2. iDEAL TO^KI W AFFINNOM PROSTRANSTWE. pRIWEDEM WAVNEJ[IJ PRIMER MAKSIMALXNOGO IDEALA. nAD L@BYM POLEM K DLQ L@BOJ TO^KI c = (c1; : : : ; cn) 2 Kn IDEAL

mc = R(x1 ¡ c1) + : : : + R(xn ¡ cn)

W KOLXCE MNOGO^LENOW R = K[x1; : : : ; xn], POROVDENNYJ MNOGO^LENAMI xi ¡ ci, MAKSIMALEN. dLQ \TOGO DOSTATO^NO ZAMETITX, ^TO R=mc ´ K. w DEJSTWITELXNOSTI, mc \TO W TO^NOSTI QDRO GOMOMORFIZMA \WAL@ACII evc : R ¡! K, f 7!f(c). iNYMI SLOWAMI, MNOGO^LEN f 2 R W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE PRINADLEVIT mc, KOGDA f(c) = 0.

oDNA IZ FORM TEOREMY gILXBERTA O NULQH UTWERVDAET, ^TO ESLI POLE K ALGEBRAI^ESKI ZAMKNUTO, TO WERNO I OBRATNOE: KAVDYJ MAKSIMALXNYJ IDEAL W KOLXCE R = K[x1; : : : ; xn] IMEET WID mc DLQ NEKOTOROJ TO^KI c 2 Rn.

zADA^A. pUSTX K { PROIZWOLXNOE POLE, m E R = K[x1; : : : ; xn] { MAKSIMALXNYJ IDEAL. (gde \TO ISPOLXZUETSQ W DOKAZATELXSTWE { dolvno ??) tOGDA m POROVDAETSQ n \LEMENTAMI m = (f1; : : : ; fn), PRI^EM fi MOVNO WYBRATX TAK,

^TOBY fi 2 K[x1; : : : ; xi].

rE[ENIE. iNDUKCIQ PO n. pUSTX n = m \ A, GDE A = K[x1; : : : ; xn¡1]. toGDA

NUVNO POKAZATX, ^TO m=nR { GLAWNYJ IDEAL W R=nR » (A=n)[x ] { zakon- = n

~itx!!

3. sU]ESTWOWANIE MAKSIMALXNYH IDEALOW. sLEDU@]EE UTWERVDENIE W DEJSTWITELXNOSTI \KWIWALENTNO AKSIOME WYBORA.

tEOREMA kRULLQ. kAVDYJ SOBSTWENNYJ LEWYJ IDEAL I KOLXCA R SODERVIT- SQ W NEKOTOROM MAKSIMALXNOM LEWOM IDEALE.

dOKAZATELXSTWO. pUSTX - { MNOVESTWO SOBSTWENNYH LEWYH IDEALOW KOLXCA R, SODERVA]IH I UPORQDO^ENENOE PO WKL@^ENI@. tAK KAK I 2 X, TO X NEPUSTO. pOKAVEM, ^TO X INDUKTIWNO UPORQDO^ENO, T.E. WSQKOE LINEJNO UPORQDO^ENNOGO PODMNOVESTWA W - IMEET MAVORANTU. w SAMOM DELE, ESLI X µ - { TAKOE PODMNOVESTWO, MY POKAVEM, ^TO C = [A, A 2 X, SOBSTWENNYJ LEWYJ IDEAL. qSNO, ^TO TOGDA C MAVORANTA \TOJ CEPI. w SAMOM DELE, ESLI x 2 C, TO NAJDETSQ A 2 X TAKOE, ^TO x 2 A. tOGDA DLQ L@BOGO y 2 R, IMEEM yx 2 A · C. eSLI x; y 2 C, TO NAJDUTSQ A; B 2 X TAKIE, ^TO x 2 A, y 2 B. oDIN IZ IDEALOW A; B SODERVITSQ WO WTOROM. pUSTX, NAPRIMER, A · B. tOGDA x; y 2 B I, ZNA^IT, x¡y 2 B · C. |TO ZNA^IT, ^TO C DEJSTWITELXNO QWLQETSQ LEWYM IDEALOM. tAK KAK 1 2= A DLQ WSEH A 2 Y , TO 1 2= s, PO\TOMU s SOBSTWENNYJ IDEAL I, ZNA^IT, s 2 -. pO LEMME kURATOWSKOGO-cORNA SU]ESTWUET MAKSIMALXNYJ \LEMENT W -, A \TO KAK RAZ I ESTX MAKSIMALXNYJ LEWYJ IDEAL, SODERVA]IJ I.

pREDOSTEREVENIE. oBRATITE WNIMANIE, ^TO MY SU]ESTWENNO ISPOLXZOWALI W DOKAZATELXSTWE NALI^IE 1 W R. bEZ \TOGO PREDPOLOVENIQ TEOREMA kRULLQ BEZNADEVNO NEWERNA! sKAVEM, ESLI R { KOLXCO S NULEWYM UMNOVENIEM, TO LEWYE IDEALY { \TO W TO^NOSTI PODGRUPPY ADDITIWNOJ GRUPPY. qSNO, ^TO LEGKO POSTROITX ABELEWY GRUPPY WOOB]E BEZ MAKSIMALXNYH PODGRUPP, TAKOWY, SKAVEM Q ILI Q=Z.

sLEDSTWIE. eSLI R { KOMMUTATIWNOE KOLXCO, TO KAVDYJ SOBSTWENNYJ IDE- AL SODERVITSQ W NEKOTOROM MAKSIMALXNOM IDEALE.