Vavilov_N_Konkretnaya_teoria_kolets
.pdf
kolxca: first draught |
31 |
tEM SAMYM, LOGARIFM W INFINITEZIMALXNOJ OKRESTNOSTI 1 DOLVEN IMETX WID ln : 1 + dx 7!dx. tAKIM OBRAZOM,
|
ex+dy ¡ ex |
= |
ex(1 + dy) ¡ ex |
= ex: |
|
|||||
|
dy |
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
I, ANALOGI^NO, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(x + dy) ¡ ln(x) |
= |
ln(1 + dy=x) |
= |
|
1 |
: |
|||
|
|
x |
||||||||
|
dy |
|
|
|
dy |
|
|
|
||
6. pROIZWODNYE TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ. w KA^ESTWE E]E ODNOGO PRIMERA WY^ISLIM PROIZWODNU@ FUNKCII x 7!sin(x). sNOWA PRIDADIM x BESKONE^NO MALOE PRIRA]ENIE dy I WY^ISLIM OTWE^A@]EE EMU PRIRA]ENIE FUNKCII x 7!sin(x). wY^ISLQQ sin(x+dy) PO FORMULE SLOVENIQ DLQ TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ I, WOSPOLXZOWAW[ISX TEM, ^TO cos(dy) = 1, A sin(dy) = dy (BESKONE^NO MALYE WYS[IH PORQDKOW RAWNY NUL@!), POLU^AEM
sin(x + dy) ¡ sin(x) |
= |
sin(x) cos(dy) + cos(x) sin(dy) ¡ sin(x) |
= cos(x): |
|
dy |
dy |
|||
|
|
kOMMENTARIJ 1. aDRESOWANNOE dEKARTU PISXMO fERMA, SODERVA]EE METOD NAHOVDENIQ MAKSIMUMOW I MINIMUMOW NA OSNOWE DUALXNYH ^ISEL, WNE WSQKOGO SOMNENIQ PREDSTAWLQET SOBOJ ODIN IZ SAMYH PORAZITELXNYH DOKUMENTOW W ISTORII ^ELOWE^ESTWA. |TO PISXMO OPEREDILO SWOE WREMQ BOLEE, ^EM NA TRI WEKA. pOLU^A@]IJSQ NA \TOM PUTI PODHOD K ANALIZU GORAZDO SOWREMENNEE NE TOLXKO XIX WEKA, NO I PERWOJ POLOWINY XX WEKA. tO^KA ZRENIQ fERMA NA^ALA WOZROVDATXSQ W RABOTAH ITALXQNSKIH ALGEBRAI^ESKIH GEOMETROW, NO EE TRIUMFALXNOE WOZWRA]ENIE PROIZO[LO TOLXKO W 1960-H GODAH, KOGDA gROTENDIK USTANOWIL, ^TO PRAWILXNYM PODHODOM K INFINITEZIMALXNOMU IS^ISLENI@ KONE^NOGO PORQDKA { EDINSTWENNYM WOZMOVNYM PODHODOM W SLU^AE POLOVITELXNOJ HARAKTERISTIKI { QWLQETSQ PEREHOD OT POLEJ K KOLXCAM, SODERVA]IM NILXPOTENTY PROIZWOLXNYH PORQDKOW13. nO IMENNO OB \TOM I GOWORIT fERMA WSEM, KTO UMEET ^ITATX: \I NE ODNO SOKROWI]E, BYTX MOVET, MINUQ WNUKOW K PRAWNUKAM UJDET, I SNOWA SKALXD ^UVU@ PESN@ SLOVIT, I KAK SWO@ EE PROIZNESET".
d.mAMFORD, lEKCII O KRIWYH NA ALGEBRAI^ESKOJ POWERHNOSTI, m., mIR, 1968, 236S.
kOMMENTARIJ 2. |TA IDEQ LEGKO PERENOSITSQ I NA PROIZWODNYE WYS[IH PORQDKOW, PRI \TOM WMESTO KOLXCA DWOJNYH ^ISEL NUVNO RASSMATRIWATX EGO OBOB- ]ENIE { KOLXCO USE^ENNYH MNOGO^LENOW K[t]=(tn), KOTOROE MY WWEDEM W x ?. rAZUMEETSQ, EDINSTWENNAQ SLOVNOSTX ZDESX { DOOPREDELITX FUNKCI@, APRIORI ZADANNU@ NA K, NA WSEM K[t]=(tn). kONE^NO, DLQ FUNKCIJ, ZADANNYH RQDAMI (A TOLXKO TAKIE FUNKCII I RASSMATRIWALISX KLASSIKAMI!) \TOGO WOPROSA NE WOZNIKAET.
kOMMENTARIJ 3. pOSTROITX ^ISTO ALGEBRAI^ESKU@ WERSI@ DIFFERENCIALXNOGO IS^ISLENIQ BESKONE^NOGO PORQDKA NE W PRIMER SLOVNEE. nAIBOLEE IZWESTNYJ PODHOD PREDLOVEN a.rOBINSONOM W EGO `NESTANDARTNOM ANALIZE', GDE
13kAK ZAME^AET PO \TOMU POWODU mAMFORD [Mu], S.25, E]E W 1950-H GODAH WOZMOVNOSTX SU]ESTWOWANIQ NE RAWNYH 0 FUNKCIJ, WSE ZNA^ENIQ KOTORYH RAWNY 0, PREDSTAWLQLASX MNOGIM `SKANDALXNOJ'.
32 |
nikolaj wawilow |
ON WWODIT NESTANDARTNU@ MODELX ¤R POLQ R WE]ESTWENNYH ^ISEL, SODERVA]U@ AKTUALXNO BESKONE^NO MALYE I BESKONE^NO BOLX[IE PROIZWOLXNYH PORQDKOW,
PRI^EM TAK, ^TO WSE SWOJSTWA POLQ R, WYRAZIMYE NA QZYKE PERWOGO PORQDKA,
SOHRANQ@TSQ W ¤R (W ^ASTNOSTI, ¤R QWLQETSQ POLEM, A NE PROSTO KOLXCOM!). iME@TSQ I DRUGIE ^ISTO ALGEBRAI^ESKIE OBOSNOWANIQ ANALIZA, OSNOWANNYE NA TEORETIKO-KOLXCEWYH HARAKTERIZACIQH ALGEBRY DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ.
x 6. iDEMPOTENTY I INWOL@CII
1. iDEMPOTENTY. sEJ^AS MY OPREDELIM E]E ODIN WAVNEJ[IJ TIP \LEMENTOW, KOTORYE OTWE^A@T, W ^ASTNOSTI, ZA RAZLOVENIE KOLEC W PRQMU@ SUMMU.
oPREDELENIE. |LEMENT KOLXCA e 2 R NAZYWAETSQ IDEMPOTENTOM, ESLI e2 = e.
w \TOM SLU^AE en = e DLQ L@BOGO NATURALXNOGO n. w KAVDOM KOLXCE 0 I 1 QWLQ@TSQ IDEMPOTENTAMI { \TO TRIWIALXNYE IDEMPOTENTY. qSNO, ^TO L@BOJ NETRIWIALXNYJ IDEMPOTENT QWLQETSQ DELITELEM 0: e(1 ¡ e) = 0 = (1 ¡ e)e.
lEMMA. pUSTX e 6= 0; 1 { NETRIWIALXNYJ IDEMPOTENT KOLXCA R. tOGDA 1 ¡ e TOVE QWLQETSQ IDEMPOTENTOM.
dOKAZATELXSTWO. w SAMOM DELE, (1 ¡ e)2 = 1 ¡ 2e + e2 = 1 ¡ e.
iDEMPOTENTY e I f NAZYWA@TSQ ORTOGONALXNYMI, ESLI ef = 0 = fe. tAKIM OBRAZOM, e I f = 1 ¡ e { ORTOGONALXNYE DOPOLNITELXNYE IDEMPOTENTY, 1 = e + f.
zADA^A. pROWERXTE, ^TO ESLI e I f KOMMUTIRU@]IE IDEMPOTENTY, TO (e ¡ f)2 TOVE IDEMPOTENT. oBOB]ITE.
zADA^A. dOKAVITE, ^TO DLQ L@BOGO IDEMPOTENTA e W KOLXCE R MNOVESTWO eRe = fexe; x 2 Rg QWLQETSQ PODKOLXCOM W R S EDINICEJ e.
pODKOLXCO eRe WOOB]E GOWORQ, NEUNITALXNO, ESLI e =6 1.
tEPERX MY MOVEM OPREDELITX BULEWO KOLXCO, KAK KOLXCO, WSE \LEMENTY KOTOROGO QWLQ@TSQ IDEMPOTENTAMI.
zADA^A. dOKAVITE, ^TO BULEWO KOLXCO KOMMUTATIWNO.
rE[ENIE. w BULEWOM KOLXCE 2 = 22 = 4, TAKIM OBRAZOM, 2 = 0 ILI, ^TO TO VE SAMOE, ¡1 = 1. s DRUGOJ STORONY, IZ RAWENSTWA x + y = (x + y)2 = x2 + xy + yx + y2 = x + xy + yx + y WYTEKAET, ^TO xy + yx = 0. tEM SAMYM, xy = ¡yx = yx.
2. tEOREMA dVEKOBSONA. pRODOLVIM WARIACII NA TEMU DOKAZANNOJ W POSLEDNEJ ZADA^E KOMMUTATIWNOSTI BULEWYH KOLEC.
zADA^A. dOKAVITE, ^TO ESLI W KOLXCE R DLQ L@BOGO x IMEET MESTO RAWENSTWO x3 = x, TO R KOMMUTATIWNO.
rE[ENIE. (z.i.bOREWI^, SPECKURS `kOMMUTATIWNYE KOLXCA', 1986/87 U^EBNYJ GOD) sRAWNIWAQ RAWENSTWA (x + x)3 = x + x I (x2 ¡ x)3 = x2 ¡ x, MY WIDIM, ^TO 6x = 0 I 3x2 = 3x DLQ
WSEH x 2 R. lEGKO WIDETX, ^TO MNOVESTWO S = f3x j x 2 Rg QWLQETSQ PODKOLXCOM, PRI^EM DLQ L@BOGO y 2 S WYPOLNQETSQ y2 = y (PO^EMU?) tAKIM OBRAZOM, S BULEWO KOLXCO I, ZNA-
^IT, KOMMUTATIWNO. oTS@DA I IZ TOGO, ^TO 6xy = 0 = 6yx SRAZU SLEDUET, ^TO 3xy = 3yx DLQ WSEH x; y 2 R. tEPERX, SRAWNIWAQ (x + y)3 = x + y I (x ¡ y)3 = x ¡ y, MY WIDIM, ^TO
2xy2 + 2yxy + 2y2x = 0. uMNOVAQ \TO RAWENSTWO NA y SLEWA I SPRAWA I WY^ITAQ POLU^IW[I- ESQ RAWENSTWA, MY WIDIM, ^TO 2xy = 2yx DLQ WSEH x; y. tE, KTO NE ZABYLI SKAZANNOE WY[E, PONIMA@T, ^TO \TO ROWNO TO, ^TO TREBOWALOSX.
kolxca: first draught |
33 |
eSLI wY ULOWILI IDE@ \TOGO RASSUVDENIQ, TO wAM UVE SOWSEM PROSTO BUDET RE[ITX SLEDU@]U@ ZADA^U.
zADA^A. dOKAVITE, ^TO ESLI W KOLXCE R DLQ L@BOGO x IMEET MESTO RAWENSTWO x4 = x, TO R KOMMUTATIWNO.
w DEJSTWITELXNOSTI WSE TAKIE UTWERVDENIQ DOPUSKA@T SLEDU@]EE ZAME^ATELXNOE OBOB]ENIE.
tEOREMA dVEKOBSONA. pUSTX R { KOLXCO, W KOTOROM DLQ L@BOGO \LEMENTA x NAJDETSQ TAKOE NATURALXNOE ^ISLO n > 1, ^TO xn = x. tOGDA R KOMMUTATIWNO.
|TA TEOREMA SLUVIT, W ^ASTNOSTI, I O^ENX [IROKIM OBOB]ENIEM MALOJ TEOREMY wEDDERBARNA.
3. iNWOL@CII. |LEMENT g 2 R NAZYWAETSQ INWOL@CIEJ, ESLI g2 = e.
zADA^A. uBEDITESX, ^TO ESLI e { IDEMPOTENT, TO 1 ¡ 2e { INWOL@CIQ. eSLI 2 2 Reg(R), TO e 7!1 ¡ 2e ZADAET IN_EKTIWNOE OTOBRAVENIE IZ MNOVESTWA IDEMPOTENTOW KOLXCA R W MNOVESTWO INWOL@CIJ W \TOM KOLXCE. eSLI 2 2 R¤, TO \TO SOOTWETSTWIE QWLQETSQ BIEKTIWNYM.
rE[ENIE. w SAMOM DELE, (1¡2e)(1¡2e) = 1¡4e+4e2 = 1. eSLI 1¡2e = 1¡2f,
TO 2e = 2f I, ESLI 2 REGULQRNA, TO e = f. eSLI 2 2 R¤, TO SOPOSTAWLENIE g 7!(1 ¡ g)=2 ZADAET OBRATNOE OTOBRAVENIE IZ INWOL@CIJ W IDEMPOTENTY.
nAPRIMER, PRI \TOM SOOTWETSTWII IDEMPOTENTU e11 + : : : + err W KOLXCE MATRIC
M(n; K) OTWE^AET INWOL@CIQ ¡e11 ¡: : :¡err +er+1;r+1 +: : :+enn. mNOGIE TRADICIONNYE MATRI^NYE WY^ISLENIQ OSNOWANY NA ISPOLXZOWANII INWOL@CIJ, A
NE IDEMPOTENTOW [Artin], [Dieudonne], [O'Meara]. kAK MY TOLXKO ^TO UBEDILISX, W SLU^AE 2 2 R¤ \TO ODNO I TO VE. tEM NE MENEE, TRADICIONNYE PRISTRASTIQ O^ENX SILXNY: SPECIALISTY PO TEORII KOLEC PREDPO^ITA@T RABOTATX S IDEMPOTENTAMI, A SPECIALISTY PO TEORII GRUPP { S INWOL@CIQMI.
x 7. cENTRALXNYE IDEMPOTENTY
1. cENTRALXNYE IDEMPOTENTY. iDEMPOTENT e NAZYWAETSQ CENTRALX-
NYM, ESLI e 2 Cent(R). eSLI W R SU]ESTWUET NETRIWIALXNYJ CENTRALXNYJ IDEMPOTENT e, TO ONO DOPUSKAET NETRIWIALXNOE RAZLOVENIE W PRQMU@ SUMMU
R = Re © R(1 ¡ e).
w KOLXCE MATRIC M(n; K) PRI n ¸ 2 ESTX NETRIWIALXNYE IDEMPOTENTY e11; : : : ; enn, NO, TEM NE MENEE, ONO NE RASKLADYWAETSQ W PRQMU@ SUMMU, POSKOLXKU ONI NE CENTRALXNYE.
w KOLXCE R = Z=6Z MOVNO WZQTX DOPOLNITELXNYE IDEMPOTENTY 3 I 4, 32 ´ 3 (mod 6), 42 ´ 4 (mod 6), 3+4 ´ 1 (mod 6). oNI OPREDELQ@T RAZLOVENIE KOLXCA R W PRQMU@ SUMMU R = f0; 3g © f0; 2; 4g DWUH PODKOLEC, IZOMORFNYH F2 I F3, SOOTWETSTWENNO.
zADA^A. eSLI e { IDEMPOTENT W R TAKOJ, ^TO eR = Re, TO e 2 Cent(R).
rE[ENIE. w SAMOM DELE, UMNOVAQ RAWENSTWO eR = Re NA e SLEWA, MY WIDIM, ^TO eR = eRe. |TO ZNA^IT, ^TO UMNOVENIE \LEMENTOW IZ eR = Re NA e KAK SPRAWA, TAK I SLEWA QWLQETSQ TOVDESTWENNYM PREOBRAZOWANIEM \TOGO MNOVESTWA. tEM SAMYM DLQ L@BOGO x 2 R IMEEM ex = exe = xe.
zADA^A. pOKAVITE, ^TO W PRIWEDENNOM KOLXCE R WSE IDEMPOTENTY CENTRALXNY.
rE[ENIE. pUSTX e 2 R { IDEMPOTENT, A x 2 R { PROIZWOLXNYJ \LEMENT. tOGDA
(exe ¡ ex)2 = (exe ¡ xe)2 = 0. pO\TOMU ex = exe = xe.
34 |
nikolaj wawilow |
kAK RAZLOVIMYE, TAK I NEPRIWEDENNYE KOLXCA IME@T DELITELI 0. oDNAKO NERAZLOVIMOSTX I PRIWEDENNOSTX PREDSTAWLQ@T SOBOJ NEZAWISIMYE USLOWIQ. uBEDIMSQ W \TOM NA PRIMERE KOLEC Z=mZ. pUSTX p; q 2 P. tOGDA KOLXCO Z=pZ = Fp QWLQETSQ PRIWEDENNYM I NERAZLOVIMYM. kOLXCO Z=p2Z NEPRIWEDENNOE I NERAZLOVIMOE. kOLXCO Z=pqZ PRIWEDENNOE I RAZLOVIMOE. nAKONEC, KOLXCO Z=p2qZ NEPRIWEDENNOE I RAZLOVIMOE.
pUSTX R { KOMMUTATIWNOE KOLXCO. iDEMPOTENT e 2 R NAZYWAETSQ NERAZLOVIMYM, ESLI NE DOPUSKAET NETRIWIALXNOGO PREDSTAWLENIQ W WIDE SUMMY ORTOGONALXNYH IDEMPOTENTOW. iNYMI SLOWAMI, ESLI e = f + g, GDE f2 = f, g2 = g, fg = 0, TO f = 0 ILI g = 0.
zADA^A. pOKAVITE, ^TO DWA RAZLI^NYH NERAZLOVIMYH IDEMPOTENTA ORTOGONALXNY.
rE[ENIE. pUSTX e2 = e, f2 = f, { NERAZLOVIMYE IDEMPOTENTY. pREDPOLOVIM, ^TO ef 6= 0. tOGDA e = ef +e(1¡f) { RAZLOVENIE e W SUMMU DWUH ORTOGONALXNYH IDEMPOTENTOW. tAK KAK e NERAZLOVIM, A ef 6= 0, TO e(1 ¡ f) = 0, T.E. e = ef. tO^NO TAK VE IZ NERAZLOVIMOSTI f SLEDUET, ^TO f = ef. pO\TOMU e = f.
x 8. rADIKALXNYE \LEMENTY
1. rADIKAL dVEKOBSONA. |LEMENT x 2 R NAZYWAETSQ RADIKALXNYM, ESLI
1 + yx 2 R¤ DLQ WSEH y 2 R. mNOVESTWO J(R) = Rad(R) WSEH RADIKALXNYH \LEMENTOW W R NAZYWAETSQ RADIKALOM dVEKOBSONA KOLXCA R:
J(R) = fx 2 R j 8y 2 R; 1 + xy 2 R¤g:
w SILU LEMMY PREDYDU]EGO PUNKTA RADIKAL dVEKOBSONA MOVNO E]E OHARAKTE-
RIZOWATIX KAK
J(R) = fx 2 R j 8y 2 R; 1 + yx 2 R¤g
ILI KAK
J(R) = fx 2 R j 8y; z 2 R; 1 + yxz 2 R¤g
(W SAMOM DELE 1 + yxz 2 R W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA 1 + zyx 2 R). w DALXNEJ[EM MY DADIM DRUGIE HARAKTERIZACII RADIKALA dVEKOBSONA, NO BESHITROSTNAQ HARAKTERIZACIQ, KOTORU@ MY TOLXKO ^TO PRIWELI, QWLQETSQ S BOLX[IM OTRYWOM NAIBOLEE POLEZNOJ.
tEOREMA. rADIKAL dVEKOBSONA J(R) QWLQETSQ IDEALOM W R.
dOKAZATELXSTWO. pOKAVEM, PREVDE WSEGO, ^TO J(R) { ADDITIWNAQ PODGRUPPA. eSLI x; y 2 J(R), TO DLQ L@BOGO z 2 R IMEEM 1 + z(x + y) = 1 + zx + zy. tAK KAK 1 + zx 2 R¤, TO \TOT \LEMENT MOVNO PEREPISATX W WIDE 1 + zx + zy = (1 + zx)(1 + (1 + zx)¡1zy), GDE OBA MNOVITELQ SPRAWA PRINADLEVAT J(R) PO OPREDELENI@ RADIKALA dVEKOBSONA. qSNO, ^TO J(R) USTOJ^IWO OTNOSITELXNO UMNOVENIQ NA \LEMENTY KOLXCA R SLEWA: ESLI x 2 J(R), z 2 R, TO DLQ L@BOGO y 2 R IMEEM 1 + y(zx) = 1 + (yz)x 2 R¤. tAKIM OBRAZOM, RADIKAL dVEKOBSONA QWLQETSQ LEWYM IDEALOM. tAK KAK OPREDELENIE RADIKALA dVEKOBSONA PRAWOLEWO SIMMETRI^NO, TO ON QWLQETSQ I PRAWYM IDEALOM.
zADA^A. eSLI R KOMMUTATIWNO, TO Nil(R) µ J(R).
kolxca: first draught |
35 |
gLAWA ?: kolxca funkcij i kolxca operatorow
mNOGO WOPROSOW, RAZBIRAEMYH OBY^NO W ANALIZE BESKONE^NO MALYH, Q ZDESX RAZRE[IL PRI POMO]I PRAWIL \LEMENTARNOJ ALGEBRY, ^TOBY LU^- [E WYQWILASX SU]NOSTX TOGO ILI INOGO METODA.
lEONARD |JLER `wWEDENIE W ANALIZ BESKONE^NO MALYH', T.I
Betrogene BetrÄuger, eure Ringe sind alle drei nicht echt. Der echte Ring vermutlich geht verloren.
Gotthold Efraim Lessing, `Nathan der Weise'
~EM BOLX[E Q RAZMY[LQ@ NAD PRINCIPAMI TEORII FUNKCIJ, A DELA@ Q \TO NEPRESTANNO, TEM TWERVE STANOWITSQ MOE UBEVDENIE, ^TO EE SLEDUET WOZDWIGATX NA FUNDAMENTE ALGEBRAI^ESKIH ISTIN I ^TO POTOMU NEWEREN SPOSOB, PRI KOTOROM, NAOBOROT, DLQ OBOSNOWANIQ BOLEE PROSTYH I FUNDAMENTALXNYH ALGEBRAI^ESKIH POLOVENIJ PRINIMAETSQ, GOWORQ KRATKO, \TRANSCENDENTNOE".
kARL wEJER[TRASS14
mATEMATI^ESKIJ ANALIZ SLI[KOM TRUDEN DLQ ANALISTOW. dAWID gILXBERT
A theory is worth studying if it has at least three distinct good hard examples.
Adrian Albert
sEJ^AS MY RASSMOTRIM TRI RAZLI^NYE WOZMOVNOSTI OPREDELITX STRUKTURU KOLXCA NA MNOVESTWE OTOBRAVENIJ X ¡! Y . tRI KL@^EWYH SLOWA, KOTORYMI OPISYWA@TSQ \TI STRUKTURY, \TO KOMPOZICIQ, UMNOVENIE I SWERTKA. wO WSEH SLU^AQH, KOTORYE MY BUDEM RASSMATRIWATX, MNOVESTWO Y = A BUDET ABELEWOJ GRUPPOJ. tEM SAMYM U NAS OPREDELENO POTO^E^NOE SLOVENIE FUNKCIJ. eSLI f; g : X ¡! A, TO f + g OPREDELQETSQ POSREDSTWOM (f + g)(x) = f(x) + g(x). oDNAKO PRI \TOM MY BUDEM RASSMATRIWATX TRI SOWER[ENNO RAZLI^NYH TIPA PROIZWEDENIJ:
²KOMPOZICIQ `±': (f ± g)(x) = f(g(x));
²POTO^E^NOE PROIZWEDENIE FUNKCIJ `¢': (f ¢ g)(x) = f(x)g(x);
²SWERTKA FUNKCIJ `¤', KOGDA (f ¤g)(x) OPREDELQETSQ KAK SUMMA PROIZWEDENIJ f(y)g(z) PO NEKOTORYM PARAM (y; z), PODROBNEE SM. x ?.
x 1. kOLXCO OPERATOROW
kOLXCO OTOBRAVENIJ A ¡! A OTNOSITELXNO KOMPOZICII NAZYWAETSQ KOLXCOM OPERATOROW.
1. kOLXCO \NDOMORFIZMOW/OPERATOROW. kONSTRUKCIQ KOLXCA MATRIC QW-
LQETSQ ^ASTNYM SLU^AEM SLEDU@]EJ WESXMA OB]EJ KONSTRUKCII KOLEC. pUSTX A { PROIZWOLXNAQ ABELEWA GRUPPA. rASSMOTRIM MNOVESTWO R = End(A) WSEH \NDOMORFIZMOW GRUPPY A SO SLEDU@]IMI OPERACIQMI: OBY^NYM POTO^E^NYM SLOVENIEM FUNKCIJ I KOMPOZICIEJ OTOBRAVENIJ KAK UMNOVENIEM.
14iZ PISXMA wEJER[TRASSA g.a.{WARCU, CITIRUETSQ PO KNIGE f.kLEJN, `iSTORIQ MATEMATIKI W XIX WEKE'.
36 |
nikolaj wawilow |
tEOREMA. dLQ L@BOJ ABELEWOJ GRUPPY A MNOVESTWO End(A) S TAK OPREDE- LENNYMI OPERACIQMI PREDSTAWLQET SOBOJ ASSOCIATIWNOE KOLXCO S 1.
dOKAZATELXSTWO. zAMETIM, PREVDE WSEGO, ^TO End(A) QWLQETSQ ABELEWOJ GRUP-
POJ PO SLOVENI@,
(x + y)(a + b) = x(a + b) + y(a + b) = (x(a) + x(b)) + (y(a) + y(b)) =
(x(a) + y(a)) + (x(b) + y(b)) = (x + y)(a) + (x + y)(b);
TAK ^TO SUMMA x + y DWUH \NDOMORFIZMOW QWLQETSQ \NDOMORFIZMOM (^EM MY POLXZOWALISX W \TOM WY^ISLENII?) s DRUGOJ STORONY, KOMPOZICIQ OTOBRAVENIJ ASSOCIATIWNA, PRI^EM TOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE id WYSTUPAET W ROLI NEJTRALXNOGO \LEMENTA. oSTALOSX LI[X PROWERITX DISTRIBUTIWNOSTX UMNOVENIQ OTNOSITELXNO SLOVENIQ. pRAWAQ DISTRIBUTIWNOSTX O^EWIDNA, TAK KAK WOOB]E DLQ L@BYH x; y; z 2 Map(A; A) I L@BOGO a 2 A IMEEM
(x + y)z(a) = (x + y)(z(a)) = x(z(a)) + y(z(a)) = xz(a) + yz(a):
s DRUGOJ STORONY, ESLI, KROME TOGO, x 2 End(A), TO
x(y + z)(a) = x((y + z)(a)) = x(y(a) + z(a)) = x(y(a)) + x(z(a)) = zy(a) + xz(a)
(GDE MY WOSPOLXZOWALISX TEM, ^TO x \NDOMORFIZM?), TAK ^TO DLQ \TOGO SLU- ^AQ IMEET MESTO I DISTRIBUTIWNOSTX SLEWA. w ^ASTNOSTI, W End(A) UMNOVENIE DWUSTORONNE DISTRIBUTIWNO OTNOSITELXNO SLOVENIQ, TAK ^TO End(A) DEJSTWITELXNO QWLQETSQ KOLXCOM.
aLGEBRAISTY OBY^NO NAZYWA@T End(A) KOLXCOM \NDOMORFIZMOW, W TO WREMQ KAK BOLX[INcTWO OSTALXNYH MATEMATIKOW PREDPO^ITA@T W \TOM SLU^AE GOWORITX O KOLXCAH OPERATOROW. zAMETIM, ^TO KAVDOE KOLXCO ESTX PODKOLXCO KOLXCA \NDOMORFIZMOW NEKOTOROJ ABELEWOJ GRUPPY, NAPRIMER, R · End(A+).
zADA^A. pUSTX A { KOLXCO. kOMPOZICIQ DWUH KOLXCEWYH \NDOMORFIZMOW A QWLQETSQ KOLXCEWYM \NDOMORFIZMOM. pO^EMU, TEM NE MENEE, NIKTO NE GOWORIT O KOLXCE End(A) \NDOMORFIZMOW KOLXCA A?
2. kOLXCO R-\NDOMORFIZMOW. w RAZLI^NYH WOPROSAH WOZNIKA@T PODKOLXCA KOLXCA End(A). nAPRIMER, ESLI A QWLQETSQ R-MODULEM, TO OBY^NO RASSMATRIWA@TSQ TOLXKO R-\NDOMORFIZMY MODULQ A, T.E. TAKIE \NDOMORFIZMY ADDITIWNOJ GRUPPY A, KOTORYE R-ODNORODNY, T.E. x(¸a) = ¸x(a) DLQ L@BYH ¸ 2 R, a 2 A. zDESX MY PREDPOLAGAEM, ^TO A LEWYJ R-MODULX, DLQ PRAWOGO R-MODULQ NUVNO PREDPOLAGATX x(a¸) = x(a)¸. oBOZNA^IM MNOVESTWO WSEH R- \NDOMORFIZMOW MODULQ A ^EREZ EndR(A). pO OPREDELENI@ EndR(A) · End(A). pRI \TOM End(A) MOVNO ISTOLKOWATX KAK EndZ(A).
dLQ SWOBODNOGO PRAWOGO R-MODULQ A = Rn, ALGEBRA R-\NDOMORFIZMOW ESTESTWENNO ISTOLKOWYWAETSQ KAK ALGEBRA MATRIC EndR(Rn) = M(n; R).
x 2. kOLXCO NEPRERYWNYH OPERATOROW
pUSTX U { BANAHOWO (NAPRIMER, GILXBERTOWO) PROSTRANSTWO S NORMOJ k k. pUSTX L(U; U) = End(U) { KOLXCO WSEH LINEJNYH OPERATOROW W U. w KONE^- NOMERNOM SLU^AE L@BOJ LINEJNYJ OPERATOR AWTOMATI^ESKI NEPRERYWEN, NO W
kolxca: first draught |
37 |
BESKONE^NOMERNOM SLU^AE \TO NE TAK. sEJ^AS MY POSTROIM NEKOTORYE WAVNEJ- [IE PODKOLXCA W End(U), OPREDELQEMYE W TERMINAH NEPRERYWNOSTI.
1. oGRANI^ENNYE OPERATORY. lINEJNYJ OPERATOR x : U ¡! U NAZYWAETSQ
NEPRERYWNYM alias OGRANI^ENNYM, ESLI
kxk = sup kxuk = sup kxuk < 1:
kuk·1 kuk=1
w SILU LINEJNOSTI kxuk · kxkkuk, PRI^EM kxk QWLQETSQ NAIMENX[IM IZ WSEH c ¸ 0 TAKIH, ^TO kxuk · Skuk. wE]ESTWENNOE ^ISLO kxk NAZYWAETSQ NORMOJ OGRANI^ENNOGO OPERATORA x (\TO TAK NAZYWAEMAQ OPERATORNAQ NORMA). lEGKO WIDETX, ^TO
kx + yk · kxk + kyk; kxyk · kxkkyk:
dOKAVEM, DLQ PRIMERA, WTOROE IZ \TIH NERAWENSTW. w SAMOM DELE, kxyuk · kxkkyuk · kxkkykkuk, TAK ^TO, DEJSTWITELXNO, kxyk · kxkkyk W SILU MINIMALXNOSTI kxyk. tEM SAMYM, MNOVESTWO B(U; U) WSEH OGRANI^ENNYH LINEJNYH OPERATOROW OBRAZUET KOLXCO.
oTSTUPLENIE. nA SAMOM DELE B(U; U) NE PROSTO KOLXCO ILI ALGEBRA, A UDOWLETWORQET SILXNYM DOPOLNITELXNYM USLOWIQM, WYRAVAEMYM W TERMINAH OPERATORNOJ NORMY. a IMENNO, B(U; U) QWLQETSQ BANAHOWOJ ALGEBROJ OTNOSITELXNO NORMY k k. |TO ZNA^IT, ^TO B(U; U) POLNA W TOPOLOGII, OPREDELENNOJ \TOJ NORMOJ, A kxyk · kxkkyk. eSLI U { GILXBERTOWO PROSTRANSTWO, TO U ESTESTWENNO IZOMORFNO SWOEMU SOPRQVENNOMU U¤, TAK ^TO SOPRQVENNYJ x¤ K OPERATORU x MOVNO W \TOM SLU^AE SNOWA RASSMATRIWATX KAK OPERATOR IZ U W U. pRI \TOM SOPRQVENNYJ K OGRANI^ENNOMU OPERATORU OGRANI^EN I kx¤k = kxk, TAK ^TO B(U; U) QWLQETSQ ¤-BANAHOWOJ ALGEBROJ. bOLEE TOGO, IZ (xu; xu) = (u; x¤x; u) SLEDUET, ^TO kx¤xk = kxk2, TAK ^TO W DEJSTWITELXNOSTI DLQ GILXBERTOWYH PROSTRANSTW B(U; U) PREDSTAWLQET SOBOJ C¤- ALGEBRU. w SLU^AE GILXBERTOWYH PROSTRANSTW MNOGIE WAVNYE KLASSY OPERATOROW AWTOMA- TI^ESKI OKAZYWA@TSQ NEPRERYWNYMI. nAPRIMER, ODIN IZ SAMYH RANNIH REZULXTATOW, KOTORYE MOVNO OTNESTI SOBSTWENNO K FUNKCIONALXNOMU ANALIZU, TEOREMA hELLINGERA{tEPLICA (1910 GOD), UTWERVDAET, ^TO ESLI OPERATOR x W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE SAMOSOPRQVEN, x = x¤, TO ON NEPRERYWEN.
2. oBRATIMYE OGRANI^ENNYE OPERATORY. sLEDU@]IJ REZULXTAT WESX-
MA UDIWITELEN I DOSTATO^NO NEBANALEN (NE PROBUJTE DOKAZATX \TO W KA^ESTWE UPRAVNENIQ!) oN UTWERVDAET, ^TO OBRATNYJ K OBRATIMOMU OGRANI^ENNOMU OPERATORU AWTOMATI^ESKI OGRANI^EN15.
tEOREMA bANAHA OB OBRATNOM OPERATORE. pUSTX U { BANAHOWO PROSTRAN-
STWO, TOGDA GL(U) \ B(U; U) = B(U; U)¤.
3. wPOLNE NEPRERYWNYE OPERATORY. lINEJNYJ OPERATOR x : U ¡! U NAZYWAETSQ WPOLNE NEPRERYWNYM alias KOMPAKTNYM, ESLI ZAMYKANIE MNO-
VESTWA fxu j kuk · 1g KOMPAKTNO. oBOZNA^IM ^EREZ C(U; U) MNOVESTWO WSEH KOMPAKTNYH OPERATOROW. qSNO, ^TO KAVDYJ KOMPAKTNYJ OPERATOR OGRANI^EN, TAK ^TO C(U; U) · B(U; U). qSNO, ^TO SUMMA DWUH KOMPAKTNYH OPERATOROW SNOWA QWLQETSQ KOMPAKTNYM OPERATOROM. lEGKO DOKAZATX, ^TO PROIZWEDENIE KOMPAKTNOGO OPERATORA NA L@BOJ OGRANI^ENNYJ OPERATOR SNOWA QWLQETSQ KOMPAKTNYM. pO\TOMU C(U; U) E B(U; U).
eSLI U { GILXBERTOWO PROSTRANSTWO, TO x W TOM I TOM SLU^AE KOMPAKTEN, KOGDA x¤ KOMPAKTEN.
15kOLMOGOROW I fOMIN, ibid. STR.225.
38 |
nikolaj wawilow |
4. kONE^NOMERNYE OPERATORY. oPERATOR x NAZYWAETSQ KONE^NOMERNYM,
ESLI EGO OBRAZ KONE^NOMEREN. lEGKO WIDETX, ^TO MNOVESTWO F (U; U) WSEH KONE^NOMERNYH OPERATOROW OBRAZUET PODKOLXCO W B(U; U). o^EWIDNO, ^TO L@BOJ KONE^NOMERNYJ OPERATOR KOMPAKTEN, TAK ^TO F (U; U) · B(U; U). oKAZYWAETSQ, ESLI OPERATOR x KOMPAKTEN, A EGO OBRAZ x(U) ZAMKNUT, TO OPERATOR x KONE^NOMEREN16.
x 3. kOLXCO FUNKCIJ
oSNOWNYM PRIMEROM KOLEC W MATEMATIKE QWLQ@TSQ KOLXCA FUNKCIJ OTNOSI-
TELXNO UMNOVENIQ.
1. kOLXCA FUNKCIJ. rASSMOTRIM OTOBRAVENIQ PROIZWOLXNOGO MNOVESTWA X W KAKOE-TO KOMMUTATIWNOE ASSOCIATIWNOE KOLXCO R S 1, SKAVEM, W Z, Q, R, ILI C. mNOVESTWO RX WSEH TAKIH OTOBRAVENIJ S POTO^E^NYMI OPERACIQMI SLOVENIQ I UMNOVENIQ
(f + g)(x) = f(x) + g(x); (fg)(x) = f(x)g(x);
NAZYWAETSQ KOLXCOM R-ZNA^NYH FUNKCIJ NA X. iZ SWOJSTW OPERACIJ W KOLXCE R SRAZU WYTEKAET, ^TO RX DEJSTWITELXNO BUDET KOMMUTATIWNYM ASSOCIATIWNYM KOLXCOM S 1.
tEPERX MY GOTOWY DATX OSNOWNOE OPREDELENIE \TOJ GLAWY. l@BOE PODKOLXCO W RX NAZYWAETSQ KOLXCOM FUNKCIJ. oBY^NO RASSMATRIWA@T TOLXKO ALGEBRY FUNKCIJ, T.E. TAKIE PODKOLXCA W RX, KOTORYE SODERVAT WSE POSTOQNNYE FUNKCII x 7!c, GDE c { FIKSIROWANNYJ \LEMENT KOLXCA R.
|TA KONSTRUKCIQ KOLEC QWLQETSQ ODNOJ IZ CENTRALXNYH W ANALIZE, TOPOLOGII, DIFFERENCIALXNOJ I ALGEBRAI^ESKOJ GEOMETRII. mNOGO PRIMEROW KOLEC FUNKCIJ POLU^A@TSQ PRI POMO]I SLEDU@]EJ RUKOWODQ]EJ IDEI: X I R NESUT DOPOLNITELXNU@ STRUKTURU I, SOOTWETSTWENNO, RASSMATRIWA@TSQ NE WSE FUNKCII IZ X W R, A TOLXKO FUNKCII, SOHRANQ@]IE \TU DOPOLNITELXNU@ STRUKTURU, NAPRIMER, NEPRERYWNYE, DIFFERENCIRUEMYE, GOLOMORFNYE, REGULQRNYE, RACIONALXNYE, I T.D. iMENNO TAKIM OBRAZOM POLU^A@TSQ KOLXCO C(X) NEPRERYWNYH WE]ESTWENNOZNA^NYH FUNKCIJ NA TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE, KOLXCO Cr(X) r-KRATNO DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ NA DIFFERENCIRUEMOM MNOGOOBRAZII, KOLXCO C1(X) GLADKIH FUNKCIJ, KOLXCO C!(X) ANALITI^ESKIH FUNKCIJ NA WE]ESTWENNOM ILI KOMPLEKSNOM ANALITI^ESKOM MNOGOOBRAZII I T.D.17. w SLEDU@]IH PARAGRAFAH MY OBSUDIM KONSTRUKCII I WAVNEJ[IE SWOJSTWA \TIH KOLEC.
zADA^A. dOKAVITE, ^TO ¡RX¢¤ = (R¤)X. iNYMI SLOWAMI, FUNKCIQ f TOGDA I TOLXKO TOGDA OBRATIMA W RX, KOGDA WSE EE ZNA^ENIQ OBRATIMY W R. w ^ASTNOSTI, ESLI R = K POLE, DLQ OBRATIMOSTI FUNKCII W KX DOSTATO^NO, ^TOBY ONA NE PRINIMALA NULEWYH ZNA^ENIJ.
zADA^A. dOKAVITE, ^TO EDINSTWENNYMI IDEMPOTENTAMI KOLXCA KX QWLQ@TSQ HARAKTERISTI^ESKIE FUNKCII ÂY PODMNOVESTW Y µ X.
2. zAMENA PEREMENNOJ. pUSTX R { KOMMUTATIWNOE KOLXCO S 1, A X I Y { DWA PROIZWOLXNYH MNOVESTWA. tOGDA OPREDELENY KOLXCA FUNKCIJ RX I RY . pUSTX
16u.rUDIN, fUNKCIONALXNYJ ANALIZ. mIR, m., 1975, S.1{443. tEOREMA 4.18. 17n.bURBAKI, dIFFERENCIRUEMYE I ANALITI^ESKIE MNOGOOBRAZIQ", 1975
kolxca: first draught |
39 |
TEPERX Á : X ¡! Y { PROIZWOLXNOE OTOBRAVENIE. tOGDA SOPOSTAWLENIE FUNKCII f 2 RY FUNKCII f ± Á 2 RX ZADAET GOMOMORFIZM KOLEC Á¤ : RY ¡! RX, NAZYWAEMYJ ZAMENOJ PEREMENNOJ. w SAMOM DELE, NUVNO UBEDITXSQ W TOM, ^TO DLQ L@BYH DWUH FUNKCIJ f; g 2 RY IME@T MESTO RAWENSTWA (f +g)±Á = f ±Á+g±Á I (f ¢g)±Á = f ±Á¢g±Á. nO \TI RAWENSTWA SRAZU WYTEKA@T IZ OPREDELENIQ DEJSTWIJ NAD FUNKCIQMI (PROWERXTE!). tO, ^TO PRI \TOM 1 PEREHODIT W 1 SRAZU SLEDUET IZ TOGO, ^TO POSTOQNNAQ FUNKCIQ y 7!1 QWLQETSQ LEWYM NULEM OTNOSITELXNO KOMPOZICII FUNKCIJ. oBRATITE WNIMANIE, ^TO OTOBRAVENI@ IZ X W Y SOOTWETSTWUET GOMOMORFIZM KOLEC W OBRATNOM NAPRAWLENII, IZ RY W RX, A WOWSE NE IZ RX W RY . s TO^KI ZRENIQ TEORII KATEGORIJ \TO OZNA^AET, ^TO FUNKTOR X 7!RX IZ KATEGORII MNOVESTW W KATEGORI@ KOLEC KONTRAWARIANTEN.
~ASTNYE SLU^AI ZAMENY PEREMENNOJ:
² oGRANI^ENIE. w ^ASTNOM SLU^AE, KOGDA X µ Y , ZAMENA PEREMENNYH, OTWE^A@]AQ WLOVENI@ X ,! Y , NAZYWAETSQ OGRANI^ENIEM (restriction) resYX :
RY ¡! RX, f 7!fjX.
² zNA^ENIE W TO^KE. pO OPREDELENI@ OPERACIJ NAD FUNKCIQMI evx : RX ¡! R, f 7!f(x), QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM KOLEC (W DEJSTWITELXNOSTI, R-ALGEBR). |TOT GOMOMORFIZM OBY^NO NAZYWAETSQ \WAL@ACIEJ (evaluation) W TO^KE x.
3. iDEALY W KOLXCE FUNKCIJ. pUSTX TEPERX X { PROIZWOLXNOE MNOVESTWO, A R { PROIZWOLXNOE KOMMUTATIWNOE KOLXCO. rASSMOTRIM KOLXCO FUNKCIJ RX S OBY^NYMI POTO^E^NYMI OPERACIQMI SLOVENIQ I UMNOVENIQ FUNKCIJ. dLQ PODMNOVESTWA Y µ X OBOZNA^IM ^EREZ IY MNOVESTWO FUNKCIJ, OBRA]A@]IHSQ
W 0 NA Y :
IY = ff 2 RX j 8y 2 Y; f(y) = 0g:
lEGKO WIDETX, ^TO IY { IDEAL W RX. w SAMOM DELE, ESLI f; g 2 IY , TO (f ¡g)(y) =
f(y) ¡ g(y) = 0 DLQ L@BOGO y 2 Y , TAK ^TO f ¡ g 2 IY . s DRUGOJ STORONY, DLQ L@BOJ FUNKCII h 2 RX I L@BOGO y 2 Y IMEEM (hf)(y) = h(y)f(y) = h(y)0 = 0,
TAK ^TO hf 2 IY .
rASSMOTRIM TEPERX NAIBOLEE WAVNYJ DLQ PRILOVENIJ SLU^AJ, KOGDA R = K { POLE. pUSTX Y = fxg { ODNOTO^E^NOE MNOVESTWO. lEGKO WIDETX, ^TO W \TOM
SLU^AE IDEAL IY = mx = ff 2 KX j f(x) = 0g MAKSIMALEN W RX. w DEJSTWITELXNOSTI, MY POKAVEM, ^TO W NEKOTORYH WAVNEJ[IH KOLXCAH FUNKCIJ A · KX NET
NIKAKIH MAKSIMALXNYH IDEALOW, KROME A \ mx, x 2 X. w TEH SLU^AQH, KOGDA REZULXTAT TAKOGO TIPA UDAETSQ POLU^ITX, ON OKAZYWAETSQ CENTRALXNYM FAKTOM WSEJ TEORII, KOTORYJ POZWOLQET SWESTI IZU^ENIE GEOMETRII PROSTRANSTWA X K ^ISTO ALGEBRAI^ESKIM SWOJSTWAM KOLXCA A (TEOREMA gILXBERTA O NULQH, PREOBRAZOWANIE gELXFANDA I T.D.).
4.fAKTOR-KOLXCA. ~TO TAKOE RX=IY ??
5.rAZLOVENIE KOLXCA FUNKCIJ. rAZLOVENI@ X = X1 t: : :tXn MNOVESTWA
X W SWOBODNOE OB_EDINENIE OTWE^AET RAZLOVENIE KOLXCA FUNKCIJ NA NEM W
PRQMU@ SUMMU
RX1t:::tXn » RX1 © : : : © RXn :
=
iZOMORFIZM MEVDU \TIMI KOLXCAMI USTANAWLIWAETSQ POSREDSTWOM
f 7!(fjX1 ; : : : ; fjXn ):
w ^ASTNOSTI, ESLI MNOVESTWO X = fx1; : : : ; xng KONE^NO, OPISANNAQ KONSTRUKCIQ USTANAWLIWAET IZOMORFIZM RX ¡! Rn = R©: : :©R, f 7!(f(x1); : : : ; f(xn)).
40 |
nikolaj wawilow |
x 4. kOLXCO NEPRERYWNYH FUNKCIJ
w DEJSTWITELXNOSTI, KAK PRAWILO RASSMATRIWA@TSQ NE PROIZWOLXNYE FUNKCII, A TOLXKO FUNKCII NEKOTORYH KLASSOW. nAIBOLEE OB]IJ I WAVNYJ PRIMER POLU^AETSQ, ESLI RASSMATRIWATX NEPRERYWNYE FUNKCII.
1. kOLXCO NEPRERYWNYH FUNKCIJ. pUSTX X TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO, A K { NORMIROWANNOE POLE, NAPRIMER, R, C ILI Qp. tOGDA IMEET SMYSL GOWORITX O NEPRERYWNYH FUNKCIQH X ¡! K. ~A]E WSEGO \TO PONQTIE ISPOLXZUETSQ DLQ SLU^AQ, KOGDA X { LOKALXNO KOMPAKTNOE HAUSDORFOWO TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO. nA^INA@]]IJ DOLVEN PREDSTAWLQTX SEBE, ^TO RE^X ZDESX IDET OB X = R; Rn; [0; 1] ILI Z.
² kOLXCO FUNKCIJ, IME@]IH PREDEL W KAVDOJ TO^KE A(X). mY UVE ZNAEM, ^TO
limx(f + g) = limx(f) + limx(g); |
limx(fg) = limx(f) limx(g) |
DLQ WSEH x 2 X. pO\TOMU A(X) { KOLXCO.
²kOLXCO OGRANI^ENNYH FUNKCIJ B(X). o^EWIDNO, ^TO SUMMA I PROIZ-
WEDENIE OGRANI^ENNYH FUNKCIJ OGRANI^ENY.
²kOLXCO NEPRERYWNYH FUNKCIJ C(X). hORO[O IZWESTNO, ^TO SUMMA I PROIZWEDENIE NEPRERYWNYH FUNKCIJ NEPRERYWNY.
²kOLXCO NEPRERYWNYH OGRANI^ENNYH FUNKCIJ BC(X) = B(X) \
C(X). sRAZU WYTEKAET IZ DWUH PREDYDU]IH PRIMEROW.
²kOLXCO NEPRERYWNYH FUNKCIJ S KOMPAKTNYM NOSITELEM Cc(X). fUNKCII, DLQ KOTORYH Supp(f) KOMPAKTEN. kAK OBY^NO,
Supp(f + g) µ Supp(f) [ Supp(g); |
Supp(fg) µ Supp(f) \ Supp(g): |
oTS@DA SLEDUET, ^TO Cc(X) KOLXCO.
² kOLXCO NEPRERYWNYH FUNKCIJ OBRA]A@]IHSQ W 0 NA BESKONE^NOSTI C0(X). bUDEM GOWORITX, ^TO f OBRA]AETSQ W 0 NA BESKONE^NOSTI, ESLI DLQ L@BOGO m SU]ESTWUET KOMPAKTNOE PODMNOVESTWO Y TAKOE, ^TO jf(x)j < 21m DLQ WSEH x 2 X nY . lEGKO PROWERITX, ^TO SUMMA I PROIZWEDENIE DWUH FUNKCIJ, OBRA]A@]IHSQ W 0 NA BESKONE^NOSTI, OBRA]AETSQ W 0 NA BESKONE^NOSTI.
zADA^A. dOKAVITE, ^TO ÂY W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE NEPRERYWNA, KOGDA OBA MNOVESTWA Y; X n Y ZAMKNUTY W X. w ^ASTNOSTI, KOLXCO C(X) W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE RAZLAGAETSQ W PRQMU@ SUMMU, KOGDA PROSTRANSTWO X NESWQZNO.
2. nEPRERYWNAQ ZAMENA PEREMENNOJ. pUSTX TEPERX f : X ¡! Y NEPRERYW-
NOE OTOBRAVENIE TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW. tOGDA ZAMENA NEREMENNOJ
x 5. nAPOMINANIQ IZ OB]EJ TOPOLOGII
w SLEDU@]EM PARAGRAFE MY DOKAVEM ZAME^ATELXNYJ KLASSI^ESKIJ REZULXTAT18, UTWERVDA@]IJ, ^TO WSE SWOJSTWA KOMPAKTNOGO HAUSDORFOWA PROSTRANSTWA X WYRAVA@TSQ W TERMINAH KOLXCA C(X) NEPRERYWNYH FUNKCIJ NA NEM
18i.m.gELXFAND, a.n.kOLMOGOROW, o KOLXCAH NEPRERYWNYH FUNKCIJ NA TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTWAH. { dOKL. an sssr, 1939, T.22, S.11{15.