Vavilov_N_Konkretnaya_teoria_kolets

WANIE.

w PRILOVENIQH ZA PREDELAMI ALGEBRY ^A]E WSEGO WOZNIKAET SLEDU@]AQ SITUACIQ

²R = C | POLE KOMPLEKSNYH ^ISEL, z ¡! z | KOMPLEKSNOE SOPRQVENIE.

2.|RMITOWO SOPRQVENIE. tEPERX MY MOVEM OPREDELITX \RMITOWO SOPRQ-

VENIE M(m; n; R) ¡! M(n; m; R), SOPOSTAWLQ@]EE x MATRICU xy, DLQ KOTOROJ

(xy)ij = (x)ji.

zADA^A. pROWERXTE SLEDU@]IE SWOJSTWA \RMITOWA SOPRQVENIQ:

1)ADDITIWNOSTX: (x + y)y = xy + yy,

2)POLUODNORODNOSTX OTNOSITELXNO UMNOVENIQ NA SKALQRY (®x)y = xy® I

(x®)y = ®xy.

3) eSLI QWLQETSQ INWOL@CIEJ, TO (xy)y = x. zADA^A. dOKAVITE, ^TO (xy)y = yyxy. rE[ENIE. w SAMOM DELE,

X X X

(xy)yij = (xy)ji = xjhyhi = yhi xjh = yihy xyhj = (yyxy)ij:

rEZ@MIRUQ \TI SWOJSTWA, MY POLU^AEM SLEDU@]IJ REZULXTAT.

tEOREMA. |RMITOWO SOPRQVENIE x 7!xy ESTX ANTIAWTOMORFIZM KOLXCA

M(n; R).

x 22. wY^ISLENIQ S MATRICAMI

| tY MENQ UDIWLQE[X, lEW, | OB_QWLQET ON. | i WSE WY MENQ UDIWLQETE. nEUVELI WAM ZDESX NE NADOELO?

| mY RABOTAEM, | WOZRAVA@ Q LENIWO. | zA^EM RABOTATX BEZ WSQKOGO SMYSLA?

| pO^EMU VE | BEZ SMYSLA? tY VE WIDI[X, SKOLXKO MY UZNALI WSEGO ZA ODIN DENX.

| wOT Q I SPRA[IWA@: ZA^EM WAM UZNAWATX TO, ^TO NE IMEET SMYSLA? ~TO WY BUDETE S \TIM DELATX? wY WSE UZNAÄETE I UZNAÄETE I NI^EGO NE DELAETE S TEM, ^TO UZNAÄETE.

aRKADIJ sTRUGACKIJ, bORIS sTRUGACKIJ, `vUK W MURAWEJNIKE'

sEJ^AS MY PROIZWEDEM NESKOLXKO TIPI^NYH WY^ISLENIJ W KOLXCE M(n; R). mY SDELAEM \TO DWUMQ SPOSOBAMI: WNA^ALE NAIWNYM, OSNOWANNYM NA WY^ISLENIQH S MATRICAMI, TAK, KAK PODOBNYE WE]I S^ITAET NOWI^OK ILI MATEMATIKNESPECIALIST, A POTOM BESHITROSTNYM, TAK KAK TAKIE WE]I S^ITAET ALGEBRAIST (`aLGEBRA | \TO ISKUSSTWO IZBEGATX WY^ISLENIQ').

1. ~ISLA fIBONA^^I. sLEDU@]AQ ZADA^A ^ASTO WOZNIKAET W SAMYH RAZNYH OBLASTQH MATEMATIKI.

zADA^A. nAJTI POSLEDOWATELXNYE STEPENI MATRICY

x 23. pROSTEJ[IE PRIMERY PODKOLEC W M(n; R)

w \TOM PARAGRAFE MY OPREDELIM NAIBOLEE IZWESTNYE KLASSY MATRIC I OBRAZU@]IE PODKOLXCA W KOLXCE MATRIC M(n; R). ~EREZ R ZDESX OBOZNA^AETSQ PROIZWOLXNOE ASSOCIATIWNOE KOLXCO S 1.

² dIAGONALXNYE MATRICY. kWADRATNAQ MATRICA x = (xij) 2 M(n; R)

NAZYWAETSQ DIAGONALXNOJ, ESLI WSE EE \LEMENTY WNE GLAWNOJ DIAGONALI RAWNY 0, T.E. xij = 0 DLQ WSEH i 6= j. dIAGONALXNAQ MATRICA S DIAGONALXNYMI

nAPRIMER, W \TIH OBOZNA^ENIQH e = diag(1; : : : ; 1).

o^EWIDNO, ^TO MNOVESTWO ¢(n; R) WSEH DIAGONALXNYH MATRIC OBRAZUET PODKOLXCO W M(n; R), IZOMORFNOE PRQMOJ SUMME n \KZEMPLQROW OSNOWNOGO KOLXCA R ©: : : ©R, PRI^EM \TOT IZOMORFIZM KAK RAZ I USTANAWLIWAETSQ OTOBRAVENIEM diag:

diag(¸1 + ¹1; : : : ; ¸n + ¹n) = diag(¸1; : : : ; ¸n) + diag(¹1; : : : ; ¹n); diag(¸1¹1; : : : ; ¸n¹n) = diag(¸1; : : : ; ¸n) diag(¹1; : : : ; ¹n):

² sKALQRNYE MATRICY. dIAGONALXNAQ MATRICA WIDA NAZYWAETSQ SKALQRNOJ, ESLI WSE EE DIAGONALXNYE \LEMENTY RAWNY MEVDU SOBOJ. iNYMI SLOWAMI, SKALQRNAQ MATRICA IMEET WID ¸e = diag(¸; : : : ; ¸). sKALQRNYE MATRICY OBRAZU@T PODKOLXCO W M(n; R) IZOMORFNOE KOLXCU R. ~ASTO TERMIN SKALQRNAQ MATRICA REZERWIRU@T TOLXKO DLQ TAKIH MATRIC ¸e, U KOTORYH ¸ 2 Cent(R). pRI TAKOM OPREDELENII MNOVESTWO WSEH SKALQRNYH MATRIC W TO^NOSTI SOWPADAET S CENTROM KOLXCA M(n; R), IZOMORFNYM CENTRU KOLXCA R.

²tREUGOLXNYE MATRICY. kWADRATNAQ MATRICA x = (xij) 2 M(n; R) NAZYWAETSQ WERHNEJ TREUGOLXNOJ, ESLI WSE EE \LEMENTY NIVE GLAWNOJ DIAGONALI

RAWNY 0, T.E. xij = 0 DLQ WSEH i > j. aNALOGI^NO, x NAZYWAETSQ NIVNEJ TREUGOLXNOJ, ESLI WSE EE \LEMENTY WY[E GLAWNOJ DIAGONALI RAWNY 0, T.E. ESLI

xij = 0 DLQ WSEH i < j. kAK WERHNIE, TAK I NIVNIE TREUGOLXNYE MATRICY OBRAZU@T PODKOLXCA W M(n; R), KOTORYE BUDUT OBOZNA^ATXSQ ^EREZ b(n; R) I b¡(n; R), SOOTWETSTWENNO.

²sTROGO TREUGOLXNYE MATRICY. kWADRATNAQ MATRICA x = (xij) 2

M(n; R) NAZYWAETSQ STROGO WERHNEJ TREUGOLXNOJ, ESLI WSE EE \LEMENTY NI-

VE GLAWNOJ DIAGONALI I NA NEJ RAWNY 0, T.E. aij = 0 DLQ WSEH i ¸ j. aNALOGI^NO, x NAZYWAETSQ STROGO NIVNEJ TREUGOLXNOJ, ESLI WSE EE \LEMENTY WY[E GLAW-

NOJ DIAGONALI I NA NEJ RAWNY 0, T.E. ESLI xij = 0 DLQ WSEH i · j. kAK WERHNIE, TAK I NIVNIE STROGO TREUGOLXNYE MATRICY OBRAZU@T PODKOLXCA BEZ EDINICY W M(n; R). oBOZNA^IM MNOVESTWO WSEH WERHNIH STROGO TREUGOLXNYH MATRIC W M(n; R) ^EREZ n(n; K), A MNOVESTWO WSEH NIVNIH STROGO TREUGOLXNYH MATRIC | ^EREZ n¡(n; K).

zADA^A. dOKAVITE, ^TO n(n; R) | IDEAL W b(n; K) I b(n; R)=n(n; R) » ¢(n; R).

=

² bOLEE OB]O, PUSTX nr(n; R), 0 · r · n ¡ 1, | MNOVESTWO WSEH MATRIC, U KOTORYH WSE \LEMENTY POD GLAWNOJ DIAGONALX@, NA GLAWNOJ DIAGONALI I E]E NA

r ¡ 1 NADDIAGONALQH RAWNY 0, W TO WREMQ KAK OSTAW[IESQ \LEMENTY PROIZWOLXNYE. w ^ASTNOSTI, n0(n; R) = b(n; R), n1(n; R) = n(n; R), TAK ^TO \TOT PRIMER QWLQETSQ OBOB]ENIEM DWUH PREDYDU]IH PRIMEROW. wSE \TI MNOVESTWA, A TAKVE SIMMETRI^NYE IM MNOVESTWA n¡r (n; R), POLU^A@]IESQ ZAMENOJ NADDIAGONALEJ NA PODDIAGONALI, OBRAZU@T PODKOLXCA BEZ EDINICY W M(n; R).

zADA^A. pUSTX R | KOLXCO S 1. dOKAVITE, ^TO n(n; R)r = nr(n; R).

x 24. mATRICY TIPA CIRKULQNTOW

wO MNOGIH ZADA^AH, KAK W SAMOJ ALGEBRE, TAK I ZA EE PREDELAMI, ESTESTWENNO WOZNIKA@T MATRICY, U KOTORYH xij ZAWISIT TOLXKO OT WY^ETA i¡j PO MODUL@ n I IH OBOB]ENIQ. nAPRIMER, TAKIE MATRICY ESTESTWENNO POQWLQ@TSQ PRI IZU- ^ENII KUMMEROWYH RAS[IRENIJ PO OTNO[ENI@ K STEPENNOMU BAZISU, W TEORII KON^ENYH GRUPP, I T.D.

² cIRKULQNTY. mATRICA x = (xij) 2 M(n; R) WIDA

NAZYWAETSQ CIRKULQNTOM. iNYMI SLOWAMI, xij ZAWISIT NE OT SAMIH INDEKSOW i; j, A TOLXKO OT WY^ETA IH RAZNOSTI i ¡ j PO MODUL@ n. lEGKO PROWERITX, ^TO CIRKULQNTY OBRAZU@T KOMMUTATIWNOE PODKOLXCO W M(n; R), A OBRATIMYE CIRKULQNTY | PODGRUPPU W GL(n; R). cIRKULQNTY QWLQ@TSQ ^ASTNYM SLU^AEM TEPLICEWYH MATRIC, KOTORYE MY RASSMOTRIM W SLEDU@]EM PARAGRAFE.

² aNTICIRKULQNTY. mATRICA x = (xij) 2 M(n; R) WIDA

NAZYWAETSQ ANTICIRKULQNTOM. iNYMI SLOWAMI, (¡1)sign(j¡i)xij ZAWISIT NE OT SAMIH INDEKSOW i; j, A TOLXKO OT WY^ETA IH RAZNOSTI i¡j PO MODUL@ n. aNTICIRKULQNTY TAKVE OBRAZU@T PODKOLXCO W M(n; R), A OBRATIMYE ANTICIRKULQNTY

|PODGRUPPU W GL(n; R).

²kWAZICIRKULQNTY. wOOB]E, PUSTX d | PROIZWOLXNYJ \LEMENT KOLXCA R. mATRICA x = (xij) 2 M(n; R) WIDA

NAZYWAETSQ KWAZICIRKULQNTOM. kAK CIRKULQNTY, TAK I ANTICIRKULQNTY QWLQ@TSQ ^ASTNYMI SLU^AQMI KWAZICIRKULQNTOW, POLU^A@]IMISQ PRI d = 1 I d = ¡1, SOOTWETSTWENNO.

x 25. tEPLICEWY I GANKELEWY MATRICY

sEJ^AS MY WWEDEM DWA WAVNYH KLASSA MATRIC, KOTORYE IZU^A@TSQ S NA^ALA

XXWEKA79;80;81.

²pER_DIAGONALXNYE MATRICY. mATRICA x = (xij) NAZYWAETSQ PER_-

DIAGONALXNOJ, ESLI xij = 0 DLQ WSEH PAR i; j, KROME i + j = n + 1.

sLEDU@]IE KLASSY MATRIC ESTESTWENNO WOZNIKA@T W RAZLI^NYH WOPROSAH ANALIZA, W ^ASTNOSTI, W PROBLEME MOMENTOW.

² tEPLICEWY MATRICY. mATRICA x = (xij) NAZYWAETSQ TEPLICEWOJ MAT-

RICEJ, ESLI EE \LEMENT xij W POZICII (i; j) ZAWISIT NE OT SAMIH i I j, A TOLXKO OT IH RAZNOSTI i¡j. iNYMI SLOWAMI, DLQ L@BOGO h = ¡(n¡1); : : : ; ¡1; 0; 1; : : : ; n¡1 OPREDELEN \LEMENT xh 2 K I xij = xi¡j. tEPLICEWY MATRICY OBRAZU@T PODMODULX W M(n; R) SODERVA]IJSQ W MODULE PERSIMMETRI^NYH MATRIC.

zADA^A. bUDET LI MNOVESTWO TEPLICEWYH MATRIC PODKOLXCOM W M(n; R)?

zADA^A. dOKAVITE, ^TO PERESE^ENIQ MNOVESTWA TEPLICEWYH MATRIC S KOLXCAMI WERHNIH/NIVNIH TREUGOLXNYH MATRIC QWLQ@TSQ KOMMUTATIWNYMI PODKOLXCAMI W M(n; R).

² gANKELEWY MATRICY. mATRICA x = (xij) NAZYWAETSQ GANKELEWOJ MAT-

RICEJ, ESLI EE \LEMENT xij W POZICII (i; j) ZAWISIT NE OT SAMIH i I j, A TOLXKO OT IH RAZNOSTI i + j. iNYMI SLOWAMI, DLQ L@BOGO h = 1; : : : ; 2n OPREDELEN \LEMENT xh 2 K I xij = xi+j. gANKELEWY MATRICY OBRAZU@T PODMODULX W M(n; R) SODERVA]IJSQ W MODULE SIMMETRI^ESKIH MATRIC.

² lENTO^NYE MATRICY. mATRICA x = (xij) NAZYWAETSQ LENTO^NOJ, ESLI xij = 0 DLQ WSEH (i; j) TAKIH, ^TO ¡l · i ¡ j · m DLQ NEKOTORYH l; m 2 N0.

fAKTI^ESKI W PRILOVENIQH OSOBENNO ^ASTO WSTRE^AETSQ SLEDU@]IJ ^ASTNYJ SLU^AJ.

² tREHDIAGONALXNYE MATRICY. mATRICA x = (xij) NAZYWAETSQ TREH-

DIAGONALXNOJ, ESLI xij = 0 DLQ WSEH (i; j) TAKIH, ^TO ji ¡ jj ¸ 2.

² hESSENBERGOWY MATRICY. mATRICA x = (xij) NAZYWAETSQ HESSENBER-

GOWOJ, ESLI xij = 0 DLQ WSEH (i; j) TAKIH, ^TO i > j + 1.

x 26. sIMMETRI^NYE MATRICY

² sIMMETRI^NYE MATRICY. mATRICA x = (xij) NAZYWAETSQ SIMMETRI^-

NOJ, ESLI xij = xji DLQ WSEH i; j. w SLU^AE KOMMUTATIWNOGO KOLXCA MATRICA x W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE SIMMETRI^NA, KOGDA xt = x. oBOZNA^IM MNOVESTWO WSEH SIMMETRI^ESKIH MATRIC ^EREZ S(n; R).

zADA^A. dOKAVITE, ^TO PROIZWEDENIE DWUH SIMMETRI^ESKIH MATRIC x; y 2 M(n; R) W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE SIMMETRI^NO, KOGDA \TI MATRICY KOMMUTIRU@T.

zADA^A. wERNO LI, ^TO OBRATNAQ K SIMMETRI^ESKOJ MATRICE TOVE SIMMETRI- ^ESKAQ?

79u.gRENANDER, g.sEGE, tEPLICEWY MATRICY I IH PRILOVENIQ. | il, m., 1961, S.1{308. 80i.s.iOHWIDOW, gANKELEWY I TEPLICEWY MATRICY I FORMY. | nAUKA, m., 1974.

81l.d.pUSTYLXNIKOW, tEPLICEWY I GANKELEWY MATRICY I IH PRIMENENIQ. | uSPEHI mAT. nAUK, 1984, T.39, N.1, S.53{84.

TREUGOLXNAQ MATRICA x NAZYWAETSQ NIVNEJ UNITREUGOLXNOJ, ESLI WSE EE \LEMENTY NA GLAWNOJ DIAGONALI RAWNY 1, T.E. ESLI xij = ±ij DLQ WSEH i · j. kAK MNOVESTWO U(n; R) WERHNIH UNITREUGOLXNYH MATRIC, TAK I MNOVESTWO U¡(n; R) NIVNIH UNITREUGOLXNYH MATRIC OBRAZU@T PODGRUPPY W GL(n; R).

² mONOMIALXNYE MATRICY. mATRICA x = (xij) 2 M(n; R) NAZYWAETSQ

MONOMIALXNOJ, ESLI W KAVDOJ STROKE I KAVDOM STOLBCE \TOJ MATRICY ROWNO 1 OBRATIMYJ \LEMENT. mNOVESTWO N(n; R) WSEH MONOMIALXNYH MATRIC OBRAZUET PODGRUPPU W GL(n; R). iZOBRAZIM, DLQ PRIMERA, GRUPPU N(2; R):

² mATRICY PERESTANOWKI. mATRICA x = (xij) 2 M(n; R) NAZYWAETSQ MONOMIALXNOJ, ESLI W KAVDOJ STROKE I KAVDOM STOLBCE \TOJ MATRICY ROWNO 1 \LEMENT RAWEN 1, W TO WREMQ KAK WSE OSTALXNYE \LEMENTY RAWNY 0. mATRICY PERESTANOWKI OBRAZU@T PODGRUPPU Wn W GL(n; R), IZOMORFNU@ Sn.

zADA^A. uBEDITESX, ^TO OBRATNAQ K MATRICE PERESTANOWKI SOWPADAET S TRANSPONIROWANNOJ.

x 29. bLO^NYE MATRICY

sEJ^AS MY IZU^IM WAVNEJ[IJ PRIEM WY^ISLENIJ S MATRICAMI. a IMENNO, WSE NAIBOLEE ^ASTO ISPOLXZUEMYE WY^ISLENIQ ISPOLXZU@T RAZBIENIE MATRIC NA BLOKI.

1. rAZBIENIE MATRIC NA BLOKI. nAPOMNIM, ^TO NABOR NATURALXNYH ^ISEL (n1; : : : ; nt) NAZYWAETSQ RAZBIENIEM NATURALXNOGO n, ESLI n = n1 + : : : + nt. kAVDOE TAKOE RAZBIENIE ZADAET OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI NA MNOVESTWE n. a IMENNO, SKAVEM, ^TO i » j, ESLI NAJDETSQ TAKOE h = 1; : : : ; t, ^TO

n1 + : : : + nh¡1 + 1 · i; j · n1 + : : : + nh:

oBOZNA^IM ^EREZ X1; : : : ; Xt KLASSY \TOJ \KWIWALENTNOSTI. qSNO, ^TO WSE \TI KLASSY SOSTOQT IZ POSLEDOWATELXNYH NATURALXNYH ^ISEL, PRI^EM jXhj = nh DLQ WSEH h = 1; : : : ; t.

rASSMOTRIM TEPERX MODULX PRQMOUGOLXNYH MATRIC M(m; n; R) I ZAFIKSIRU-

EM RAZBIENIE ¹ = (m1; : : : ; ms) ^ISLA m, I RAZBIENIE º = (n1; : : : ; nt) KOLI^E- STWA ^ISLA n. pUSTX X1 t : : : t Xs = m I Y1 t : : : t Yt = n | SOOTWETSTWU@- ]IE RAZBIENIQ MNOVESTW STRO^NYH I STOLBCOWYH INDEKSOW. tOGDA PODMATRICA

xhk = (xij), i 2 Xh, j 2 Yk, MATRICY x NAZYWAETSQ EE BLOKOM W h-J GORIZONTALXNOJ I k-J WERTIKALXNOJ POLOSE. pO OPREDELENI@ xhk = M(mh; nk; R). tEPERX MATRICU x MOVNO ZAPISATX W WIDE

0x11 : : : x1t 1

@: : : : : : : : : A xs1 : : : xst

tAKAQ ZAPISX NAZYWAETSQ RAZBIENIEM x NA BLOKI W SOOTWETSTWII S RAZBIENIEM STROK ¹ I RAZBIENIEM STOLBCOW º. pODMATRICA (xij), i 2 Xh, j 2 Y , NAZYWAETSQ

h-J GORIZONTALXNOJ POLOSOJ MATRICY x, A PODMATRICA (xij), i 2 X, j 2 Yk, | EE k-J WERTIKALXNOJ POLOSOJ.

2. oPERACII S BLO^NYMI MATRICAMI. pREDPOLOVIM WNA^ALE, ^TO x; y 2

M(m; n; R) | MATRICY, ODINAKOWO RAZBITYE NA BLOKI, SKAVEM W SOOTWETSTWII

S RAZBIENIEM STROK ¹ = (m1; : : : ; ms) I RAZBIENIEM STOLBCOW º = (n1; : : : ; nt). tOGDA W MATRICE x + y, RASSMATRIWAEMOJ W SOOTWETSTWII S TEM VE RAZBBIENIEM NA BLOKI, IMEEM (x + y)hk = xhk + yhk. tAKVE, KONE^NO I (®x)hk = ®xhk I

(x®)hk = xhk®.

s DRUGOJ STORONY, PUSTX x 2 M(l; m; R), y 2 M(m; n; R), PRI^EM x RAZBITA NA BLOKI W SOOTWETSTWII S RAZBIENIEM STROK ¸ = (l1; : : : ; lr) I RAZBIENIEM STOLBCOW ¹ = (m1; : : : ; ms), A y RAZBITA NA BLOKI W SOOTWETSTWII S TEM VE SAMYM

RAZBIENIEM STROK ¹ = (m1; : : : ; ms) I RAZBIENIEM STOLBCOW º = (n1; : : : ; nt). pRI \TOM KOLI^ESTWO WERTIKALXNYH POLOS MATRICY x RAWNO KOLI^ESTWU GORI-

ZONTALXNYH POLOS MATRICY y, PRI^EM [IRINA KAVDOJ IZ WERTIKALXNYH POLOS MATRICY x RAWNA [IRINE SOOTWETSTWU@]EJ GORIZONTALXNOJ POLOSY MATRICY y. bUDEM NAZYWATX TAKIE RAZBIENIQ MATRIC x I y NA BLOKI SOGLASOWANNYMI. w \TOM SLU^AE OPREDELENO PROIZWEDENIE xjhyhk 2 M(lj; nk; R).

zADA^A. pROWERXTE, ^TO

(xy)jk = xj1y1k + : : : + xjsysk:

iNYMI SLOWAMI, WHODQ]IE W PROIZWEDENIE BLO^NYH MATRIC x I y BLOKI WY- ^ISLQETSQ PRI POMO]I OBY^NYH FORMUL DLQ PROIZWEDENIQ MATRIC TAK, KAK BUDTO \TI MATRICY SOSTOQT IZ \LEMENTOW KOLXCA R, A NE IZ BLOKOW, KAVDYJ IZ KOTORYH SAM QWLQETSQ MATRICEJ. |TO PRAWILO OSOBENNO UDOBNO, ESLI SREDI BLOKOW MATRIC x I/ILI y MNOGO RAWNYH 0, e ILI ^EMU-NIBUDX W TAKOM DUHE!

3. iZOMORFIZM M(l; m; M(n; K)) » M(ln; mn; R). oSOBENNO WAVEN SLU^AJ,

=

KOGDA WSE GORIZONTALXNYE I WSE WERTIKALXNYE POLOSY IME@T ODINAKOWU@ [I- RINU n. w \TOM SLU^AE KAVDYJ IZ BLOKOW MATRICY x MOVNO ISTOLKOWATX KAK MATRICU M(n; R). tAKIM OBRAZOM,

x 30. pRQMAQ SUMMA MATRIC

1. pRQMAQ SUMMA MATRIC. sLEDU@]AQ OPERACIQ POZWOLQET POSTROITX PO MATRICAM x 2 M(k; l; R) I y 2 M(m; n; R) MATRICU x © y 2 M(k + m; l + n; R),

NAZYWAEMU@ IH PRQMOJ SUMMOJ:

lEGKO WIDETX, ^TO \TA OPERACIQ ASSOCIATIWNA, (x © y) © z = x © (y © z), TAK ^TO MY MOVEM PISATX PROSTO x © y © z. oBY^NO MY PRIMENQEM \TU OPERACI@ K KWADRATNYM MATRICAM.

eSLI x1; : : : ; xt KWADRATNYE MATRICY STEPENEJ n1; : : : ; nt SOOTWETSTWENNO, TO

MATRICA x = x1 © : : : © xt STEPENI n = n1 + : : : + nt NAZYWAETSQ BLO^NODIAGONALXNOJ MATRICEJ, ILI, ESLI NUVNO QWNO UKAZATX RAZMERY DIAGONALX-

NYH BLOKOW, | BLO^NO DIAGONALXNOJ MATRICEJ TIPA º = (n1; : : : ; nt).

lEGKO WIDETX, ^TO PRQMAQ SUMMA SWQZANA SO SLOVENIEM I UMNOVENIEM MATRIC TOVDESTWAMI WZAIMNOJ DISTRIBUTIWNOSTI

(x + y) © (z + w) = (x © z) + (y © w); (xy) © (zw) = (x © z)(y © w):