vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

zu einer Menge S1 zu vereinigen”*. fRENKELX PI[ET, ^TO NEWNIMA-

TELXNOE ^TENIE \TOJ FRAZY WYZWALO U MNOGIH SOWREMENNIKOW NEPONI-

MANIE SUTI AKSIOMY WYBORA: “Dieser letzte Satz hat vielfach die Meinung hergerufen der Kern des Axioms liege in der Forderung der M¨oglichkeit der “Auswahl eines ausgezeichneten Elementes” aus jeder Menge M; N; : : :

oder in der Forderung der M¨oglichkeit der “gleichzeitingen Auswahl” aus ihnen allen”*. tAKOE TOLKOWANIE AKSIOMY NE IMEET, KAK MY UWIDIM W SLEDU@]EM PUNKTE, NIKAKOGO OTNO[ENIQ K EE DEJSTWITELXNOMU SODERVANI@. aKSIOMA WYBORA NE GOWORIT NI^EGO NI O WOZMOVNOSTI WYBORA PREDSTAWITELEJ (KOTORYJ WOZMOVEN WSEGDA), NI O EGO FAKTI^ESKOM OSU]ESTWLENII (KOTOROE NE WOZMOVNO DAVE DLQ ODNOGO MNOVESTWA), NAPROTIW, ONA NOSIT ^ISTO \KZISTENCIALXNYJ HARAKTER. tO, ^TO W DEJSTWITELXNOSTI UTWERVDAETSQ \TOJ AKSIOMOJ — \TO NE WOZMOVNOSTX WYBORA PREDSTAWITELEJ, A WOZMOVNOSTX SOEDINITX WYBRAN-

NYE PREDSTAWITELI W MNOVESTWO.

6. nEWOZMOVNOSTX WYBORA \LEMENTA IZ ODNOGO NEPUSTOGO MNO-

VESTWA. zAMETIM, ^TO PRAKTI^ESKI NEOSU]ESTWIM IMENNO KONSTRUKTIWNYJ WYBOR PREDSTAWITELQ ODNOGO MNOVESTWA. nAPRIMER, OPREDELIM MNOVESTWO X SLEDU@]IM OBRAZOM. iZWESTNO, ^TO SAMOJ WAVNOJ NERE[ENNOJ (NA OSENX 2003 GODA) PROBLEMOJ MATEMATIKI — I NE TOLXKO MATEMATIKI, NO I WSEJ VIZNI, KAK ZAMETIL gILXBERT — OSTAETSQ GIPOTEZA rIMANA. pOLOVIM X = f1g, ESLI GIPOTEZA rIMANA WERNA (T.E. WYTEKAET IZ AKSIOM ZFC), X = f0g, ESLI GIPOTEZA rIMANA NEWERNA (T.E. EE OTRICANIE WYTEKAET IZ AKSIOM ZFC) I X = f1=2g, ESLI GIPOTEZA rIMANA NERAZRE[IMA (T.E. NE ZAWISIT OT AKSIOM ZFC). mNOVESTWO X NEPUSTO I PO\TOMU MY MOVEM SKAZATX ‘WOZXMEM \LEMENT MNOVESTWA X’ I OPERIROWATX DALEE S \TIM \LEMENTOM. w TO VE WREMQ, PRI NA[EM SEGODNQ[NEM SOSTOQNII ZNANIJ MY NE MOVEM KONKRETNO UKAZATX NI ODNOGO \LEMENTA \TOGO MNOVESTWA.

eSLI BY MY MOGLI OSU]ESTWITX WYBOR \LEMENTA IZ PROIZWOLXNOGO NEPUSTOGO MNOVESTWA, TO W SILU SWOJSTW KON_@NKCII (ILI, KAK GOWORIT fRENKELX, “POSKOLXKU MATEMATIKA NE ZNAET WREMENI”) MY MOGLI BY OSU]ESTWITX TAKOJ WYBOR I IZ L@BOGO MNOVESTWA MNOVESTW. nO \TO SOWSEM NE OZNA^ALO BY, ^TO AKSIOMA WYBORA WERNA! pRODOLVIM CITATU

*“|TU AKSIOMU MOVNO WYRAZITX E]E I TAK, ^TO WSEGDA WOZMOVNO WYBRATX IZ KAVDOGO \LEMENTA M; N; R; : : : MNOVESTWA T INDIWIDUALXNYE \LEMENTY m; n; r; : : :

I SOEDINITX WSE \TI \LEMENTY W MNOVESTWO S1”

*“|TA POSLEDNQQ FRAZA ^ASTO SOZDAWALA WPE^ATLENIE, ^TO SUTX AKSIOMY SOSTOIT W TREBOWANII WOZMOVNOSTI “WYBORA KAKOGO-TO INDIWIDUALXNOGO \LEMENTA” IZ KAVDOGO IZ MNOVESTW M; N; : : : ILI VE TREBOWANIQ “ODNOWREMENNOGO WYBORA \LEMENTOW” IZ IH WSEH”

IZ STATXI fRENKELQ 1922 GODA: “Ist so die Auswahl f¨ur jede einzelne Menge m¨oglich, so ist es nat¨urlich auch gleichzeitig f¨ur alle Mengen von T , da die Auswahl wie jede mathematisvche Operation als etwas Zeitloses anzusehen ist”*.

7.kONE^NAQ AKSIOMA WYBORA. iZWESTNO, ^TO AKSIOMA WYBORA NEZAWISIMA OT OSTALXNYH TEORII MNOVESTW. sU]ESTWU@T MODELI TEORII MNOVESTW, W KOTORYH WSE AKSIOMY TEORII ZF WYPOLNQ@TSQ, A AKSIOMA WYBORA — NET. wPRO^EM, DLQ ODNOGO SLU^AQ AKSIOMA WYBORA MOVET BYTX DOKAZANA NA OSNOWE OSTALXNYH AKSIOM. a IMENNO, RAZBIENIQ NA KONE^NOE ^ISLO BLOKOW AKSIOMA WYBORA WYTEKAET IZ AKSIOM PARY I OB_EDINENIQ (L@BAQ KONE^NAQ SOWOKUPNOSTX OB_EKTOW MOVET BYTX SOEDINENA W MNOVESTWO). wIDIMO, DAVE |.bORELX I a.lEBEG NE OSPARIWALI SPRAWEDLIWOSTX AKSIOMY WYBORA W \TOM SLU^AE.

8.wYBOR IZ ODNO\LEMENTNYH MNOVESTW. eSTX E]E ODIN SLU^AJ,

KOGDA AKSIOMA WYBORA DOKAZUEMA NA OSNOWE OSTALXNYH AKSIOM TEORII MNOVESTW — \TO WYBOR PO ODNOMU PREDSTAWITEL@ IZ ODNO\LEMENTNYH MNOVESTW I OB_EDINENIE IH W MNOVESTWO. w \TOM SLU^AE AKSIOMA WYBORA UTWERVDAET, ^TO ESLI ffxg; fyg; fzg; : : : g QWLQETSQ MNOVESTWOM,

TO fx; y; z : : : g TOVE QWLQETSQ MNOVESTWOM. kAK OTME^AET tOMAS jEH, IMENNO OSU]ESTWIMOSTX WYBORA W \TOM SLU^AE POBUVDAET NEKOTORYE GOSUDARSTWA (TAK NAZYWAEMYE STRANY NARODNOJ DEMOKRATII) SISTEMATI^ESKI PROWODITX WYBORY S ODNIM KANDIDATOM NA ODNO MESTO.

9. s^ETNAQ AKSIOMA WYBORA. aKSIOMA WYBORA DLQ RAZBIENIQ NA S^ETNOE ^ISLO BLOKOW UVE NIKOIM OBRAZOM NE WYTEKAET IZ OSTALXNYH AKSIOM. zAMETIM, ^TO DLQ MNOGIH TEOREM ANALIZA DOSTATO^NO LI[X SLEDU@]EJ WERSII AKSIOMY WYBORA.

CAC (S^ETNAQ AKSIOMA WYBORA). dLQ KAVDOGO RAZBIENIQ NA S^ET- NOE ^ISLO BLOKOW SU]ESTWUET HOTQ BY ODNA TRANSWERSALX.

rAZUMEETSQ, CAC QWLQETSQ SOKRA]ENIEM OT Countable Axiom of Choice. kAK MY SEJ^AS UWIDIM, S^ETNAQ AKSIOMA WYBORA NE WYTEKAET IZ AKSIOM TEORII ZF DAVE ESLI WSE BLOKI KONE^NY.

10. nEWOZMOVNOSTX WYBORA IZ DWUH\LEMENTNYH MNOVESTW. pROSTEJ[IJ SLU^AJ, KOGDA AKSIOMA WYBORA PROBLEMATI^NA — \TO WYBOR SISTEMY PREDSTAWITELEJ DLQ S^ETNOGO ^ISLA DWUH\LEMENTNYH BLOKOW. bERTRAN rASSEL POQSNQET \TOT SLU^AJ SLEDU@]IM PRIMEROM.

*“tAKIM OBRAZOM, ESLI WOZMOVEN WYBORA \LEMENTA IZ KAVDOGO OTDELXNOGO MNOVESTWA, TO, KONE^NO, TAKOJ WYBOR WOZMOVEN ODNOWREMENNO DLQ WSEH MNOVESTW IZ T , TAK KAK WYBOR, KAK I L@BU@ MATEMATI^ESKU@ OPERACI@, SLEDUET RASSMATRIWATX KAK NE^TO, PROISHODQ]EE WNE WREMENI.”

rASSMOTRIM S^ETNOE MNOVESTWO PAR BOTINOK. pOSKOLXKU BOTINKI WYPUSKA@TSQ NA LEWU@ I NA PRAWU@ NOGU, W \TOM SLU^AE SU]ESTWUET FUNKCIQ WYBORA, SOPOSTAWLQ@]AQ KAVDOJ PARE LEWYJ ILI PRAWYJ BOTINOK, W ZAWISIMOSTI OT POLITI^ESKIH PRISTRASTIJ (PODROBNEE SM. OB \TOM gLAWU 4). pRODOLVAQ METAFORU jEHA, MOVNO SKAZATX, ^TO ESLI W STRANE SU]ESTWUET ROWNO DWE PARTII, SKAVEM, PARTIQ WOROW I PARTIQ WYMOGATELEJ, I KAVDAQ IZ NIH WYDWIGAET PO ODNOMU KANDIDATU NA ODNO MESTO, TO SAMAQ PROSTAQ STRATEGIQ DLQ IZBIRATELQ SOSTOIT W TOM, ^TOBY LIBO WSE WREMQ GOLOSOWATX ZA WORA, LIBO WSE WREMQ GOLOSOWATX ZA WYMOGATELQ.

w TO VE WREMQ, PRODOLVAET rASSEL, FABRIKANTY NOSKOW PRIDERVI-

WA@TSQ DOSTOJNOGO SOVALENIQ (deplorable) OBY^AQ WYPUSKATX NEOT-

LI^IMYE NOSKI NA LEWU@ I NA PRAWU@ NOGU. tAK WOT, ESLI NAM DANO S^ETNOE MNOVESTWO PAR NOSKOW, NET NIKAKOGO ESTESTWENNOGO SPOSOBA WYBRATX MNOVESTWO, SODERVA]EE ROWNO PO ODNOMU NOSKU IZ KAVDOJ PARY I EDINSTWENNOE OSNOWANIE, KOTOROE POZWOLQET NAM UTWERVDATX, ^TO TAKOE MNOVESTWO SU]ESTWUET — \TO AKSIOMA WYBORA. iNYMI SLOWAMI, ESLI NA KAVDOE MESTO WYDWIGA@TSQ DWA KANDIDATA, NO NE PRINADLEVA]IH NIKAKOJ PARTII, LIBO PRINADLEVA]IH ODNOJ I TOJ VE PARTII, SKAVEM, DWA WORA, TO NET NIKAKOGO RAZUMNOGO SPOSOBA OSU]ESTWITX WYBOR. s \TIM SWQZANO PRISTRASTIE NEKOTORYH GOSUDARSTW (TAK NAZYWAEMYE STRANY ZAPADNOJ DEMOKRATII) K VESTKOJ DWUHPARTIJNOJ SISTEME (WORY I WYMOGATELI, ILI, \WFEMI^ESKI, DEMOKRATY I RESPUBLIKANCY), POZWOLQ@]EJ OSU]ESTWITX WYBORY S TAKOJ VE LEGKOSTX@, ^TO I SISTEMA, PRI KOTOROJ NA ODNO MESTO WYDWIGAETSQ ODIN KANDIDAT.

x ?. lEMMA kURATOWSKOGO|cORNA

sLEDSTWIQ AKSIOMY WYBORA. w NASTOQ]EM PARAGRAFE MY SFORMULIRUEM NESKOLXKO SLEDSTWIJ (NA SAMOM DELE PEREFORMULIROWOK) AKSIOMY WYBORA W TERMINAH ^ASTI^NO UPORQDO^ENNYH MNOVESTW.

w ALGEBRE AKSIOMA WYBORA ^A]E WSEGO ISPOLXZUETSQ W SLEDU@]EJ FORME

lEMMA kURATOWSKOGO—cORNA. eSLI L@BOE LINEJNO UPORQDO^EN- NOE PODMNOVESTWO MNOVESTWA X IMEET WERHN@@ GRANX, TO W X SU- ]ESTWUET MAKSIMALXNYJ \LEMENT.

gOWORQT, ^TO MNOVESTWO X UDOWLETWORQET USLOWI@ MAKSIMALXNOSTI (MINIMALXNOSTI), ESLI L@BOE EGO NEPUSTOE PODMNOVESTWO SODERVIT MAKSIMALXNYJ (MINIMALXNYJ) \LEMENT. mNOVESTWA S USLOWIEM MAKSIMALXNOSTI NAZYWA@TSQ E]E NETEROWYMI, A MNOVESTWA S

USLOWIEM MINIMALXNOSTI – ARTINOWYMI. nESLOVNO UBEDITXSQ, ^TO USLOWIE MAKSIMALXNOSTI \KWIWALENTNO SLEDU@]EMU USLOWI@ OBRYWA WOZRASTA@]IH CEPEJ: ESLI x1 · x2 · : : : · xn · : : : , TO SU]ESTWUET TAKOE m, ^TO xn = xm DLQ WSEH n ¸ m. aNALOGI^NO, USLOWIE MINIMALXNOSTI \KWIWALENTNO DWOJSTWENNOMU USLOWI@ OBRYWA UBYWA@]IH CEPEJ. lEMMA kURATOWSKOGO—cORNA I USLOWIE MAKSIMALXNOSTI BUDUT DLQ NAS OSNOWOJ MNOGIH INDUKTIWNYH DOKAZATELXSTW.

lINEJNO UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO UDOWLETWORQ@]EE USLOWI@ MINIMALXNOSTI NAZYWAETSQ WPOLNE UPORQDO^ENNYM. w SILU LINEJNOJ UPORQDO^ENNOSTI MINIMALXNYJ \LEMENT OBQZAN BYTX NAIMENX[IM, PO- \TOMU WPOLNE UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO MOVET BYTX OPREDELENO E]E KAK MNOVESTWO, W KOTOROM L@BOE NEPUSTOE PODMNOVESTWO SODERVIT NAIMENX[IJ \LEMENT. sLEDU@]IE UTWERVDENIQ QWLQ@TSQ E]E DWUMQ IZWESTNYMI PEREFORMULIROWKAMI AKSIOMY WYBORA (INOGDA NAZYWAE-

MYMI AKSIOMOJ POLNOJ UPORQDO^ENNOSTI I PRINCIPOM MAKSIMALXNOSTI hAUSDORFA, SOOTWETSTWENNO).

gL. ?. pEREFORMULIROWKI AKSIOMY WYBORA

wOT pAWEL sERGEEWI^, NU IZWESTNYJ NA[ AKADEMIK, aLEKSANDROW, ON NIKOGDA NE LETAET NA SAMOLETE. a WY ZNAETE PO^EMU? oN NE ZNAET DOKAZATELXSTWA TEOREMY vUKOWSKOGO I PO\TOMU NE PONIMAET, KAK SAMOLET DERVITSQ W WOZDUHE. a Q ZNA@! i NE BO@SX LETATX!

bORIS nIKOLAEWI^ dELONE

w \TOJ GLAWE MY RASSMOTRIM NESKOLXKO ZAME^ATELXNYH PEREFORMULIROWOK AKSIOMY WYBORA W TERMINAH ^ASTI^NO UPORQDO^ENNYH MNOVESTW.

x ?. lEMMA kURATOWSKOGO|cORNA

nAIBOLEE WAVNYM IZ NIH DLQ NAS BUDET SLEDU@]EE UTWERVDENIE NAZYWAEMOE OBY^NO LEMMOJ kURATOWSKOGO—cORNA, NO INOGDA PROSTO LEMMOJ cORNA ILI dies irae. |TO UTWERVDENIE QWLQETSQ, WEROQTNO, NAIBOLEE UDOBNOJ I NAIBOLEE ^ASTO ISPOLXZUEMOJ W NASTOQ]EE WREMQ FORMULIROWKOJ AKSIOMY WYBORA149;150.

149K.Kuratowski, Une m´ethode d’´elimination des nombres transfinis des raisonnements math´ematiques. — Fundam. Math., 1922, vol.3, p.76–108.

150M.Zorn, A remark on a method in transfinite algebra. — Bull. Amer. Math. Soc., 1935, vol.41, p.667–670.

mNOVESTWO NAZYWAETSQ INDUKTIWNO UPORQDO^ENNYM (induktiv geordnet), ESLI L@BOE EGO LINEJNO UPORQDO^ENNOE PODMNOVESTWO MNOVESTWA IMEET WERHN@@ GRANX.

lEMMA kURATOWSKOGO—cORNA. w PROIZWOLXNOM INDUKTIWNO UPO- RQDO^ENNOM MNOVESTWE X SU]ESTWUET MAKSIMALXNYJ \LEMENT.

dOKAZATELXSTWO.

zAME^ANIE. w DEJSTWITELXNOSTI IZ DOKAZATELXSTWA WIDNO, ^TO W \TOM SLU^AE KAVDYJ \LEMENT MNOVESTWA X SODERVITSQ W KAKOM-TO MAKSIMALXNOM \LEMENTE.

tEOREMA hAUSDORFA WLE^ET LEMMU kURATOWSKOGO—cORNA. w SAMOM DELE, PUSTX Y — MAKSIMALXNAQ CEPX W MNOVESTWE Y , y — EE WERHNQQ GRANX. eSLI y NE QWLQETSQ MAKSIMALXNYM \LEMENTOM MNOVESTWA X, TO NAJDETSQ x 2 X, x > y. tOGDA MNOVESTWO Y [ fxg QWLQETSQ CEPX@, STROGO SODERVA]EJ Y , ^TO PROTIWORE^IT MAKSIMALXNOSTI Y . tAKIM OBRAZOM, y OBQZAN BYTX MAKSIMALXNYM \LEMENTOM MNOVESTWA X.

gOWORQT, ^TO MNOVESTWO X UDOWLETWORQET USLOWI@ MAKSIMALXNOSTI (MINIMALXNOSTI), ESLI L@BOE EGO NEPUSTOE PODMNOVESTWO SODERVIT MAKSIMALXNYJ (MINIMALXNYJ) \LEMENT. mNOVESTWA S USLOWIEM MAKSIMALXNOSTI NAZYWA@TSQ E]E NETEROWYMI, A MNOVESTWA S USLOWIEM MINIMALXNOSTI — ARTINOWYMI. nESLOVNO UBEDITXSQ, ^TO USLOWIE MAKSIMALXNOSTI \KWIWALENTNO SLEDU@]EMU USLOWI@ OBRYWA WOZRASTA@]IH CEPEJ: ESLI x1 · x2 · : : : · xn · : : : , TO SU]ESTWUET TAKOE m, ^TO xn = xm DLQ WSEH n ¸ m. aNALOGI^NO, USLOWIE MINIMALXNOSTI \KWIWALENTNO DWOJSTWENNOMU USLOWI@ OBRYWA UBYWA@]IH CEPEJ. lEMMA kURATOWSKOGO-cORNA I USLOWIE MAKSIMALXNOSTI BUDUT DLQ NAS OSNOWOJ MNOGIH INDUKTIWNYH DOKAZATELXSTW.

lINEJNO UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO UDOWLETWORQ@]EE USLOWI@ MINIMALXNOSTI NAZYWAETSQ WPOLNE UPORQDO^ENNYM. w SILU LINEJNOJ UPORQDO^ENNOSTI MINIMALXNYJ \LEMENT OBQZAN BYTX NAIMENX[IM, PO- \TOMU WPOLNE UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO MOVET BYTX OPREDELENO E]E KAK MNOVESTWO, W KOTOROM L@BOE NEPUSTOE PODMNOVESTWO SODERVIT NAIMENX[IJ \LEMENT. sLEDU@]IE UTWERVDENIQ QWLQ@TSQ E]E DWUMQ IZWESTNYMI PEREFORMULIROWKAMI AKSIOMY WYBORA (INOGDA NAZYWAE-

MYMI AKSIOMOJ POLNOJ UPORQDO^ENNOSTI I PRINCIPOM MAKSIMALXNOSTI hAUSDORFA, SOOTWETSTWENNO).

tEOREMA cERMELO. l@BOE MNOVESTWO MOVNO WPOLNE UPORQDO^ITX.

dOKAZATELXSTWO. pROWEDEM DOKAZATELXSTWO, OSNOWANNOE NA LEMME kU- RATOWSKOGO—cORNA. pUSTX X — PROIZWOLXNOE MNOVESTWO I Z — MNO-

346 NIKOLAJ WAWILOW

VESTWO, SOSTOQ]EE IZ WSEH PAR (A; ÁA), GDE A — WPOLNE UPORQDO^IWAEMOE PODMNOVESTWO MNOVESTWA X, A ÁA — KAKOJ-TO POLNYJ PORQDOK NA A. zAMETIM, ^TO Z NEPUSTO, TAK KAK (?; ?) 2 Z. mY HOTIM POKAZATX, ^TO X 2 pr1(Z). dLQ \TOGO PREVDE WSEGO WWEDEM ^ASTI^NYJ PORQDOK NA Z, POLAGAQ (A; ÁA) · (B; ÁB), ESLI WYPOLNQ@TSQ SLEDU@]IE TRI USLOWIQ: 1) A µ B, 2) OGRANI^ENIE PORQDKA ÁB NA A SOWPADAET S ÁA I 3) PODMNOVESTWO A QWLQETSQ PORQDKOWYM IDEALOM W B (INYMI SLOWAMI,

ESLI x 2 A, y 2 B I y ÁB x, TO y 2 A).

pOKAVEM, ^TO L@BAQ CEPX W Z IMEET TO^NU@ WERHN@@ GRANX. w SAMOM DELE, PUSTX (Ai; Ái), i 2 I, — KAKAQ-TO CEPX W Z. rASSMOTRIM OB_EDINENIE A = [Ai, i 2 I, I POKAVEM, ^TO A MOVNO WPOLNE UPORQDO^ITX TAK, ^TOBY WYPOLNQLISX USLOWIQ 2) I 3) WY[E. w SAMOM DELE,

PUSTX x; y 2 A, PRI^EM x 2 Aj, A y 2 Ah. tAK KAK Ai, i 2 I, — CEPX, TO ODNO IZ MNOVESTW Aj ILI Ah SODERVITSQ W DRUGOM, PO\TOMU BEZ PO-

TERI OB]NOSTI MOVNO S^ITATX, ^TO x; y 2 Ai. w \TOM SLU^AE POLOVIM x Á y W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA x Ái y. |TO OPREDELQET NERAWENSTWO x Á y KORREKTNO, TAK KAK ESLI h 2 I DRUGOJ INDEKS TAKOJ, ^TO x; y 2 Ih, TO USLOWIE 2) GARANTIRUET, ^TO x Áh y W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA x Áj y. nAM OSTALOSX E]E PROWERITX, ^TO TAK POSTROENNOE OTNO[ENIE Á WPOLNE UPORQDO^IWAET MNOVESTWO A. qSNO, ^TO A LINEJNO UPORQDO^ENO \TIM OTNO[ENIEM I NAM NUVNO LI[X POKAZATX, ^TO L@BOE NEPUSTOE PODMNOVESTWO B W A IMEET NAIMENX[IJ \LEMENT. w SAMOM DELE, TAK KAK B NEPUSTO, TO NAJDETSQ TAKOJ INDEKS j 2 I, ^TO B \ Aj NEPUSTO. pUSTX b 2 B — NAIMENX[IJ \LEMENT MNOVESTWA B\Aj. pOKAVEM, ^TO TOGDA b QWLQETSQ NAIMENX[IM \LEMENTOM MNOVESTWA B. w SAMOM DELE, PO OPREDELENI@ b NE BOLX[E L@BOGO \LEMENTA a 2 Aj. pREDPOLOVIM TEPERX, ^TO SU]ESTWUET \LEMENT a 2 B n Aj TAKOJ, ^TO a Á b. wOZXMEM L@BOJ INDEKS h 2 I TAKOJ, ^TO a 2 Ah. tOGDA Aj µ Ah, TAK ^TO a Áh b I TEPERX USLOWIE 3) GARANTIRUET, ^TO a 2 Aj, PROTIWORE^IE. tEM SAMYM, L@BOE PODMNOVESTWO B µ A IMEET NAIMENX[IJ \LEMENT I, ZNA^IT, A WPOLNE UPORQDO^ENO.

tAKIM OBRAZOM PO LEMME kURATOWSKOGO—cORNA MNOVESTWO Z SODERVIT MAKSIMALXNYJ \LEMENT, SKAVEM, (A; ÁA). pREDPOLOVIM, WOPREKI OVIDANIQM, ^TO A 6= X. wOZXMEM z 2 X n A I RASSMOTRIM MNOVESTWO B = A [ fzg. pRODOLVIM PORQDOK Á S A NA B, POLAGAQ x ÁB y DLQ L@BYH x; y 2 A W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA x ÁA y I x ÁB z DLQ WSEH x 2 A. tOGDA, O^EWIDNO, (A; ÁA) < (B; ÁB), ^TO PROTIWORE^IT MAKSIMALXNOSTI (A; ÁA). pOLU^ENNNOE PROTIWORE^IE POKAZYWAET, ^TO A = X TAK ^TO MNOVESTWO X WPOLNE UPORQDO^IWAEMO.

tEOREMA cERMELO WLE^ET AKSIOMU WYBORA. pUSTX X — L@BOE

MNOVESTWO POPARNO DIZ_@NKTNYH MNOVESTW. sOGLASNO TEOREME cERMELO WSE MNOVESTWA A 2 X MOVNO WPOLNE UPORQDO^ITX. rASSMOTRIM TEPERX OB_EDINENIE B = [A, A 2 X, I WWEDEM NA NEM ^ASTI^NYJ PORQDOK, PREWRA]A@]IJ EGO W KOPROIZWEDENIE UPORQDO^ENNYH MNOVESTW A. tOGDA MNOVESTWO MINIMALXNYH \LEMENTOW QWLQETSQ TRANSWERSALX@ K RAZBIENI@ X MNOVESTWA A.

tEOREMA hAUSDORFA. l@BAQ CEPX W ^UME X MOVET BYTX WKL@^ENA W MAKSIMALXNU@ PO WKL@^ENI@ CEPX.

x ?. aKSIOMA WYBORA W FORME tARSKOGO

tEOREMA. eSLI X — BESKONE^NOE MNOVESTWO, TO jX £ Xj = jXj.

dOKAZATELXSTWO. rASSMOTRIM MNOVESTWO Ω PAR (Y; f), GDE Y — BESKONE^NOE PODMNOVESTWO X, A f 2 Inj(Y; X £ X) — TAKOE IN_EKTIWNOE OTOBRAVENIE, ^TO Im(f) = Y £ Y . w PREDPOLOVENII AKSIOMY WYBORA MNOVESTWO Ω NEPUSTO (DOSTATO^NO WZQTX W KA^ESTWE Y L@BOE S^ETNOE PODMNOVESTWO W X). wWEDEM NA Ω ^ASTI^NYJ PORQDOK POLAGAQ (Y; f) · (Z; g), ESLI Y µ Z I f = gjZ. pO LEMME cORNA Ω SODERVIT MAKSIMALXNYJ \LEMENT (Z; g).

oBRATNO, KAK POKAZAL aLXFRED tARSKIJ, \TO SWOJSTWO \KWIWALENTNO AKSIOME WYBORA.

(action) W TO^NOM TEHNI^ESKOM SMYSLE: “DEJSTWIE ^EGO-TO NA ^EM-TO”,

SM. x ?.

2. iNFIKSNAQ ZAPISX BINARNOJ OPERACII. pRI ZAPISI BINARNOJ OPERACII WMESTO f(x; y) INOGDA PI[UT xfy, NO ^A]E WSEGO ZAMENQ@T f KAKIM-LIBO ZNAKOM DEJSTWIQ, NAPRIMER, ‘¤’, ‘+’, ‘¢’, I T.D. I WMESTO f(x; y) PI[UT x ¤y, x + y, x ¢y (ILI PROSTO xy) ILI ^TO-NIBUDX W TAKOM DUHE. kOGDA NEOBHODIMO POD^ERKNUTX, ^TO MNOVESTWO X RASSMATRIWAETSQ WMESTE S ZADANNOJ NA NEM OPERACIEJ ¤, PI[UT (X; ¤).

tAKAQ ZAPISX, KOGDA ZNAK OPERACII PI[ETSQ MEVDU OPERANDAMI, NAZYWAETSQ INFIKSNOJ, W OTLI^IE OT PREFIKSNOJ ZAPISI f(x; y), KOGDA ZNAK OPERACII PI[ETSQ PERED OPERANDAMI. wO WTOROM SLU^AE MOVNO OBOJTISX BEZ SKOBOK I PISATX fxy, \TO TAK NAZYWAEMAQ ZAPISX lUKASEWI^A (NAZYWAEMAQ W POPULQRNOJ LITERATURE POLXSKOJ ZAPISX@), OBY^NAQ W LOGIKE I computer science, NO ALGEBRAISTY REDKO EJ POLXZU@TSQ. w NEKOTORYH MIKROKALXKULQTORAH ISPOLXZUETSQ POSTFIKSNAQ ZAPISX, KOGDA ZNAK OPERACII WWODITSQ POSLE OPERANDOW. w POPULQRNOJ LITERATURE TAKAQ ZAPISX OBY^NO NAZYWAETSQ OBRATNOJ POLXSKOJ ZAPISX@. w NASTOQ]EM KURSE MY W SOOTWETSTWII S ALGEBRAI^ESKOJ TRADICIEJ POLXZUEMSQ PO^TI ISKL@^ITELXNO INFIKSNOJ ZAPISX@. w NEKOTORYH SLU^AQH TRADICIONNO ISPOLXZUETSQ CIRKUMFIKSNAQ ZAPISX, KOTORAQ OHWATYWAET OPERANDY S DWUH STORON (SO^E- TANIE SOWMESTNO RABOTA@]IH PREFIKSA I POSTFIKSA), SKAVEM, [x; y], (x; y) I T.D.

pERE^ISLIM E]E NESKOLXKO OBY^NYH OBOZNA^ENIJ BINARNYH OPERA-

CIJ: x ± y, x ? y, x £ y, x u y, x o y, x " y, x # y, x ^ y, x _ y, x f y, x g y, x \ y, x [ y, x e y, x d y, x u y, x t y, x ] y, x>y, x?y, x ` y, x a y, x © y, x - y, x ª y, x ® y, x ¯ y, x ¢ y, x £ y, x ¯ y, x ¡ y, x¤y, x§y, [x; y], xy, yx, xˆy I T.D.). sOOTWETSTWENNO \TOMU OPERANDY NAZYWA@T-

SQ SLAGAEMYMI, SOMNOVITELQMI, FAKTORAMI I T.D., A REZULXTAT NAZYWAETSQ SUMMOJ, PROIZWEDENIEM, SUPERPOZICIEJ I T.D. — W x ? MY PODROBNEE OBSUDIM TERMINOLOGI@, OTNOSQ]U@SQ K NEKOTORYM NAIBOLEE UPOTREBITELXNYM NOTACIQM.

3. tABLICA k\LI. l@BAQ BINARNAQ ALGEBRAI^ESKAQ OPERACIQ ¤ NA MNOVESTWE X MOVET BYTX ZADANA POSREDSTWOM SWOEJ TABLICY k\LI, STROKI I STOLBCY KOTOROJ ZANUMEROWANY \LEMENTAMI X, A NA PERESE- ^ENII STROKI S NOMEROM x I STOLBCA S NOMEROM y STOIT \LEMENT x ¤ y. tAKAQ TABLICA DOSTATO^NO NAGLQDNA LI[X DLQ KONE^NYH MNOVESTW NEBOLX[IH PORQDKOW, NO W \TOM SLU^AE MY BUDEM INOGDA POLXZOWATXSQ TAKIM PREDSTAWLENIEM OPERACII. w KA^ESTWE PRIMERA, IZOBRAZIM TABLICY k\LI DLQ POLUGRUPPY LEWYH NULEJ I POLUGRUPPY PRAWYH NULEJ