vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

PREDIKATA. kAK POKAZYWA@T NAZWANIQ, SUB_EKT I PREDIKAT SWQZANY S PODLEVA]IM I SKAZUEMYM W GRAMMATIKE, NO W LOGIKE ONI OBY^NO TRAKTU@TSQ BOLEE [IROKO. nEFORMALXNO, SUB_EKT ESTX TO, O ^EM GOWORITSQ W PREDLOVENII, A PREDIKAT ESTX TO, ^TO GOWORITSQ W PREDLOVENII.

w PROSTEJ[EM SLU^AE PREDLOVENIE IMEET ODIN SUB_EKT. nAPRIMER, W RASSMOTRENNOJ WY[E FRAZE (a) SUB_EKTOM QWLQETSQ ‘sOKRAT’, A PREDIKATOM — SWOJSTWO BYTX KOTOM. uNARNYJ PREDIKAT P MOVNO RASSMATRIWATX KAK PROPOZICIONALXNU@ FUNKCI@, KOTORAQ SOPOSTAWLQET KAVDOMU ZNA^ENI@ ARGUMENTA x NEKOTOROE WYSKAZYWANIE P (x), W NA[EM SLU^AE WYSKAZYWANIE ‘x ESTX KOT’. eSLI x RASSMATRIWAETSQ KAK PEREMENNAQ, TO FRAZA ‘x ESTX KOT’ NE QWLQETSQ WYSKAZYWANIEM, ONA QWLQETSQ

oDNAKO W OBY^NOM QZYKE (NAPRIMER, RUSSKOM) KAK SUB_EKT, TAK I PREDIKAT MOGUT PEREDAWATXSQ RAZLI^NYMI ^LENAMI PREDLOVENIQ. kROME TOGO, PREDLOVENIE MOVET IMETX NESKOLXKO SUB_EKTOW. nAPRIMER, S LOGI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ PRQMOE DOPOLNENIE OBY^NO QWLQETSQ SUB_EKTOM PREDLOVENIQ — W PASSIWNOJ KONSTRUKCII ONO STANOWITSQ PODLEVA]IM. wOZXMEM, NAPRIMER, PREDLOVENIE “hOSROW L@BIT {I- RIN”, HOTQ S TO^KI ZRENIQ GRAMMATIKI ‘hOSROW’ I ‘{IRIN’ WHODQT S@DA NERAWNOPRAWNO (‘hOSROW’ — PODLEVA]EE, A ‘{IRIN’ – PRQMOE DOPOLNENIE), S TO^KI ZRENIQ LOGIKI I ‘hOSROW’ I ‘{IRIN’ QWLQ@TSQ SUB_EKTAMI \TOGO PREDLOVENIQ, A ‘L@BITX’ — PREDIKATOM. |TO PREDLOVENIE MOVET BYTX PREOBRAZOWANO W “{IRIN L@BIMA hOSROWOM”, GDE ‘{I- RIN’ STANOWITSQ PODLEVA]IM, A ‘hOSROW’ – DOPOLNENIEM. w OTLI^IE OT RASSMOTRENNYH RANEE UNARNYH PREDIKATOW PREDIKAT ‘L@BITX’ QWLQETSQ BINARNYM. |TO ZNA^IT, ^TO ON TREBUET DWUH ARGUMENTOW DLQ OBRAZOWANIQ WYSKAZYWANIQ.

x ?. kWANTORY

?.sWOBODNYE I SWQZANNYE PEREMENNYE.

?.zAKONY DE mORGANA DLQ KWANTOROW. sLEDU@]IE DWA PRAWI-

LA PERESTANOWKI OTRICANIQ S KWANTORAMI, NAZYWAEMYE ZAKONAMI DE mORGANA BYLI OTKRYTY FON lEJBNICEM W KONCE XVII WEKA.

tAKIM OBRAZOM, ^TOBY OPROWERGNUTX, ^TO P (x) WYPOLNQETSQ DLQ WSEH x (NEOBHODIMO I) DOSTATO^NO DOKAZATX, ^TO P (x) NE WYPOLNQETSQ HOTQ BY

DLQ ODNOGO x. aNALOGI^NO, ^TOBY OPROWERGNUTX, ^TO P (x) WYPOLNQETSQ HOTQ BY DLQ ODNOGO x NEOBHODIMO (I DOSTATO^NO) DOKAZATX, ^TO P (x) NE WYPOLNQETSQ DLQ WSEH x.

?. |FFEKTIWNYE I \KZISTENCIALXNYE DOKAZATELXSTWA. w KLASSI^ESKOJ LOGIKE ZAKONY DE mORGANA MOVNO PEREPISATX E]E W TAKOJ FORME:

tAKIM OBRAZOM, DLQ TOGO, ^TOBY DOKAZATX, ^TO OB_EKT x SO SWOJSTWOM P SU]ESTWUET, DOSTATO^NO DOKAZATX, ^TO NE L@BOJ OB_EKT OBLADAET SWOJSTWOM :P . oDNAKO NEKOTORYE LOGI^ESKIE [KOLY (INTUICIONISTY I KONSTRUKTIWISTY) NE S^ITA@T, \TO DOKAZATELXSTWOM SU]ESTWOWANIQ. oNI S^ITA@T, ^TO LEWAQ ^ASTX \TOGO WYRAVENIQ OZNA^AET, ^TO “x SU]ESTWUET”, A PRAWAQ – ^TO “x NE MOVET NE SU]ESTWOWATX”, A S IH TO^KI ZRENIQ \TO SOWSEM NE ODNO I TO VE. dOKAZATELXSTWO TOGO, ^TO 9x; P (x) PUTEM PRED_QWLENIQ x S NUVNYM SWOJSTWOM ONI NAZYWA@T \FFEKTIWNYM ILI KONSTRUKTIWNYM, A DOKAZATELXSTWO TOGO, ^TO :8x; :P (x) — \KZISTENCIALXNYM (W STAROMODNOM RUSSKOM PEREWODE “^ISTOE DOKAZATELXSTWO SU]ESTWOWANIQ”). rADIKALXNYE PREDSTAWITELI \TIH TE^ENIJ POLNOSTX@ OTRICA@T, ^TO \KZISTENCIALXNOE DOKAZATELXSTWO GOWORIT NAM ^TO-LIBO O SU]ESTWOWANII x. tEM SAMYM, NAPRIMER, POLNOSTX@ OTRICA@TSQ WSE DOKAZATELXSTWA, ISPOLXZU@]IE AKSIOMU WYBORA.

oDNAKO PODAWLQ@]EE BOLX[INSTWO RABOTA@]IH MATEMATIKOW MALO INTERESUETSQ PODOBNYMI TONKIMI RAZLI^IQMI. pLATON SKAZAL “wSE SU]ESTWU@]EE SWOBODNO OT PROTIWORE^IJ, A WSE SWOBODNOE OT PROTIWORE^IJ SU]ESTWUET” (SM. [pUANKARE], W STAROM NETO^NOM PEREWODE \TA FRAZA BYLA ISKAVENA DO NEUZNAWAEMOSTI: “WSE DEJSTWITELXNOE RAZUMNO, A WSE RAZUMNOE DEJSTWITELXNO”). bOLX[INSTWO MATEMATIKOW, WSLED ZA pLATONOM, WERIT, ^TO SU]ESTWUET (exists) WSE ^TO MOVET SU]ESTWOWATX, A WSE, ^TO NE MOVET NE SU]ESTWOWATX — SU]ESTWUET S NEOBHODIMOSTX@, ILI, NA VARGONE FIZIKOW DEJSTWITELXNO SU]ESTWUET (really exists). oDNAKO KONSTRUKTIWISTY, PRIZNA@T TOLXKO TAKIE WE]I, KOTORYE DEJSTWITELXNO DEJSTWITELXNO SU]ESTWU@T (really really exist) ILI VE TOLXKO TAKIE WE]I, KOTORYE DEJSTWITELXNO DEJSTWITELXNO DEJSTWITELXNO SU]ESTWU@T (really really really exist) I TAK DALEE, PO WOSHODQ]EJ, W ZAWISIMOSTI OT STEPENI WERNOSTI WSEPOBEVDA@]E- MU U^ENI@. oDNAKO MATEMATIKI UBEVDENY, ^TO PODOBNYJ PODHOD NE PRINOSIT W MATEMATIKU NI^EGO NOWOGO, KROME NEKOTOROJ WY^URNOSTI QZYKA.

tIPI^NYM PRIMEROM \KZISTENCIALXNOGO DOKAZATELXSTWA QWLQETSQ DOKAZATELXSTWO kANTORA SU]ESTWOWANIQ TRANSCENDENTNYH ^ISEL, KOTOROE MY RAZBIRAEM W gLAWE I. wE]ESTWENNYH ^ISEL STROGO BOLX[E, ^EM ALGEBRAI^ESKIH W NEKOTOROM TO^NO OPREDELENNOM SMYSLE, PO\TOMU TRANSCENDENTNYE ^ISLA NE MOGUT NE SU]ESTWOWATX. w TO VE WREMQ, PRED_QWITX HOTQ BY ODNO TRANSCENDENTNOE ^ISLO, NE GOWORQ UVE O TOM, ^TOBY DOKAZATX TRANSCENDENTNOSTX DANNOGO ^ISLA, SOWSEM NEPROSTO. dOKAZATELXSTWA lIUWILLQ, |RMITA, lINDEMANNA DA@T \F- FEKTIWNYE (WPRO^EM, NE UWEREN, KONSTRUKTIWNYE LI) DOKAZATELXSTWA SU]ESTWOWANIQ TRANSCENDENTNYH ^ISEL.

?. nEPERESTANOWO^NOSTX KWANTOROW. nET SOMNENIQ, ^TO DWA OD-

NOIMENNYH KWANTORA 8 I 9 PO RAZLI^NYM PEREMENNYM PERESTANOWO^NY MEVDU SOBOJ, T.E.

nA SAMOM DELE, DWA ODNOIMENNYH KWANTORA MOGUT BYTX ISTOLKOWANY KAK ODIN KWANTOR, PO BOLEE [IROKOJ OBLASTI PEREMENNYH.

w TO VE WREMQ, DWA RAZNOIMENNYH KWANTORA WOOB]E GOWORQ NE PERESTANOWO^NY. wERNA LI[X SLEDU@]AQ IMPLIKACIQ:

9x8y; P (x; y) =) 8y9x; P (x; y);

ODNAKO OBRATNAQ IMPLIKACIQ NE IMEET MESTA. w SAMOM DELE, ESLI U KAVDOJ VEN]INY DEREWNI aLX-fATH ESTX MUV, OTS@DA, WOOB]E GOWORQ, NE SLEDUET, ^TO SU]ESTWUET MUV^INA, KOTORYJ QWLQETSQ MUVEM WSEH VEN]IN \TOJ DEREWNI. a WOT I MATEMATI^ESKIJ PRIMER. pUSTX, NAPRIMER, P (x; y) WYRAVAET OTNO[ENIE x + y = 0. tOGDA 8x9y; P (x; y) OZNA^AET, ^TO DLQ L@BOGO x NAJDETSQ y TAKOE, ^TO x + y = 0, WESXMA PRAWDOPODOBNOE SWOJSTWO. wESXMA SOMNITELXNO, ^TOBY OTS@DA ^I- STO LOGI^ESKI, BEZ KAKIH-LIBO DOPOLNITELXNYH PREDPOLOVENIJ O SWOJSTWAH 0 I +, WYTEKALO, ^TO 9y8x; P (x; y), T.E. ^TO NAJDETSQ TAKOE y, ^TO x + y = 0 DLQ WSEH x.

oDIN IZ NAIBOLEE IZWESTNYH MATEMATI^ESKIH PRIMEROW NEPERESTANOWO^NOSTI KWANTOROW — \TO OPREDELENIQ POTO^E^NOJ SHODIMOSTI I RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI POSLEDOWATELXNOSTI WE]ESTWENNYH FUNKCIJ.

8² 2 R+8x 2 R9n 2 N8m ¸ n; jfm(x) ¡ f(x)j < ²;

8² 2 R+9n 2 N8x 2 R8m ¸ n; jfm(x) ¡ f(x)j < ²:

qSNO, ^TO IZ WTOROGO UTWERVDENIQ SLEDUET PERWOE, NO NE NAOBOROT. w SAMOM DELE, WO WTOROJ FORMULE UTWERVDAETSQ, ^TO ‘NAJDETSQ n’ (ODNO I TO VE DLQ WSEH x), A W PERWOJ FORMULE – ^TO ‘DLQ KAVDOGO x NAJDETSQ n’ (DLQ KAVDOGO SWOE).

?. nEDISTRIBUTIWNOSTX KWANTOROW OTNOSITELXNO KON_@NK-

CII I DIZ_@NKCII. o^EWIDNO, ^TO 8 DISTRIBUTIWNO OTNOSITELXNO & , A 9 DISTRIBUTIWNO OTNOSITELXNO _, T.E.

w TO VE WREMQ, KWANTOR 8, WOOB]E GOWORQ, NE DISTRIBUTIWEN S _, A KWANTOR 9, WOOB]E GOWORQ, NE DISTRIBUTIWEN OTNOSITELXNO & . w DEJSTWITELXNOSTI IME@T MESTO LI[X SLEDU@]IE IMPLIKACII:

(8x; P (x) _ 8x; Q(x)) =) 8x; (P (x) _ Q(x));

9x; (P (x) & Q(x)) =) (9x; P (x) & 9x; Q(x)):

oBRATNYE IMPLIKACII MOGUT NE WYPOLNQTXSQ. w SAMOM DELE, PUSTX x PROBEGAET CELYE ^ISLA, P — SWOJSTWO BYTX ^ETNYM, A Q — SWOJSTWO BYTX NE^ETNYM. tOGDA L@BOE x QWLQETSQ ^ETNYM ILI NE^ETNYM, NO NEWERNO, ^TO L@BOE x QWLQETSQ ^ETNYM ILI L@BOE x QWLQETSQ NE^ETNYM. |TO POKAZYWAET NEWOZMOVNOSTX OBRATITX PERWU@ IMPLIKACI@. w TEH VE OBOZNA^ENIQH SU]ESTWUET ^ETNOE x I SU]ESTWUET NE^ETNOE x, NO \TO NE ZNA^IT, ^TO SU]ESTWUET x, KOTOROE ODNOWREMENNO QWLQETSQ ^ETNYM I NE^ETNYM. |TO POKAZYWAET NEWOZMOVNOSTX OBRATITX WTORU@ IMPLIKACI@.

w DEJSTWITELXNOSTI, PRAWILXNOE OBRA]ENIE S KWANTORAMI W PODOBNYH SLU^AQH SOSTOIT W TOM, ^TOBY WWESTI NOWU@ SWQZANNU@ PEREMENNU@. kAK MY ZNAEM, 8x; P (x) OZNA^AET TO VE SAMOE, ^TO 8y; P (y), A 9x; P (x) OZNA^AET TO VE SAMOE, ^TO 9y; P (y). tAKIM OBRAZOM, NA SAMOM DELE NUVNO TRAKTOWATX PEREMENNU@ x W 8x; P (x) _ 8x; Q(x)) KAK DWE RAZNYE PEREMENNYE, TAK ^TO

(8x; P (x) _ 8x; Q(x)) () 8x8y(P (x) _ Q(y))

I, PO TOJ VE PRI^INE,

(9x; P (x) & 9x; Q(x)) () 9x9y(P (x) & Q(y)):

x ?. mATEMATIKA I LOGIKA

lOGIKA I MATEMATIKA TESNO SWQZANNYE, NO GLUBOKO RAZLI^NYE NAUKI. w PERWU@ O^EREDX RAZLI^NY RUKOWODQ]IE IDEI I METODY \TIH NAUK I, W OSOBENNOSTI, MENTALXNOSTX MATEMATIKOW I LOGIKOW. lOGIKA WSEGDA INTERESOWALASX GLAWNYM OBRAZOM RAZLOVENIEM DOKAZATELXSTW NA WOZMOVNO BOLX[EE ^ISLO WOZMOVNO MENX[IH [AGOW, W TO WREMQ KAK OSNOWNAQ CELX MATEMATIKI — POISK NAIBOLEE MO]NYH I \KONOMI^NYH SPOSOBOW RASSUVDENIQ, POZWOLQ@]IH OHWATYWATX ODNIM WZGLQDOM GROMADNYE OBLASTI WNE[NE NE SWQZANNYH MEVDU SOBOJ QWLENIJ. oSNOWNYE KRITERII CENNOSTI W ^ISTOJ MATEMATIKE — \TO SILA, KRASOTA I \F- FEKTIWNOSTX.

w CELOM SWQZX MATEMATIKI S LOGIKOJ NE BOLEE TESNAQ, ^EM, SKAVEM, S FIZIKOJ, ASTRONOMIEJ, LINGWISTIKOJ, MUZYKOJ ILI BIOLOGIEJ. mNOGIE MATEMATIKI GLUBOKO INTERESOWALISX LOGIKOJ — NO, WIDIMO, E]E BOLX[E TAKIH, KTO GLUBOKO INTERESOWALSQ FIZIKOJ I ESTESTWENNYMI NAUKAMI, ILI, SKAVEM, MUZYKOJ, ISKUSSTWOM, ISTORIEJ ILI PSIHOLOGIEJ.

rOLX LOGIKI W MATEMATIKE W CELOM TAKAQ VE, KAK ROLX GRAMMATIKI W LITERATURNOM TWOR^ESTWE. kAK POKAZYWAET OPYT, ZNANIE GRAMMATIKI NE QWLQETSQ, WOOB]E GOWORQ, NI NEOBHODIMYM,NI DOSTATO^NYM DLQ GRAMOTNOGO PISXMA. iZU^ENIE GRAMMATIKI W [KOLE MOVET ^ASTI^NO KOMPENSIROWATX OTSUTSTWIE U U^ENIKA NAWYKA GRAMOTNOSTI, NO CELX@ OBU^ENIQ KAK RAZ I QWLQETSQ WYRABOTKA AWTOMATIZMA, POSLE ^EGO WSE GRAMMATI^ESKIE PRAWILA MOGUT BYTX BLAGOPOLU^NO ZABYTY. tO^NO TAK VE ROLX LOGIKI W MATEMATIKE SOSTOIT W TOM, ^TOBY IZBEGATX O^E- WIDNYH O[IBOK W RASSUVDENIQH. nO ODNOJ IZ CELEJ OBU^ENIQ MATEMATIKE KAK RAZ I QWLQETSQ WYRABOTKA AWTOMATIZMA, POSLE ^EGO LOGI- ^ESKIE PRAWILA MOGUT BYTX ZABYTY. bOLEE TOGO, GRAMOTNOMU PISXMU MOVNO NAU^ITX I INA^E, BEZ FORMALXNOJ GRAMMATIKI, “PO OBRAZCAM”. iMENNO TAK OBY^NO I PROISHODIT IZU^ENIE STANDARTNYH LOGI^ESKIH

lOGIKA, PODOBNO GRAMMATIKE — \TO LESA, NUVNYE, ^TOBY POSTROITX ZDANIE; POSLE TOGO, KAK ONO POSTROENO, O NIH ZABYWA@T. zNANIE ZAKONOW AKUSTIKI NE TOLXKO SAMO PO SEBE NE DELAET WLADE@]EGO IM ^ELOWEKA OPERNYM PEWCOM, NO, I STROGO GOWORQ, NE QWLQETSQ NEOBHODIMYM DLQ USPE[NOJ KARXERY

nEMNOGIE MATEMATIKI DALI SEBE TRUD POZNAKOMITXSQ HOTQ BY S OSNOWAMI LOGIKI I NIKTO IZ OSTALXNYH NE POSTRADAL OT SWOEGO NEWEVESTWA W \TOJ OBLASTI. wO WSQKOM SLU^AE MOVNO WSTRETITX PERWOKLASNYH SPECIALISTOW PO MATEMATI^ESKOMU ANALIZU, DIFFERENCIALXNYM URAWNENIQM ILI TEORII WEROQTNOSTEJ, KOTORYE NIKOGDA NE SLY[ALI O

“TEORII DOKAZATELXSTW” ILI “QZYKE PERWOGO PORQDKA”, ^TO NISKOLXKO NE ME[AET IM DELATX ZAME^ATELXNYE MATEMATI^ESKIE OTKRYTIQ I DOKAZYWATX wAN hAO WYRAZIL \TO SLEDU@]IMI SLOWAMI: “tRADICIONNAQ LOGIKA BOLX[E ME[AET, ^EM POMOGAET NA[EMU RASSUVDENI@, KOTOROE WPOLNE UDOWLETWORQETSQ NA[IMI ESTESTWENNYMI SPOSOBNOSTQMI. |TO WIDNO IZ TOGO FAKTA, ^TO ^EM BOLEE ^ISTO RACIONALXNOJ QWLQETSQ DEQTELXNOSTX, TEM MENEE \TA LOGIKA NUVNA.”

q DUMA@, ^TO PODAWLQ@]EE BOLX[INSTWO MATEMATIKOW PODPI[ETSQ POD SLEDU@]EJ FRAZOJ `RIQ mANINA: “wEROQTNO, LOGIKA SPOSOBNA OBOSNOWATX MATEMATIKU NE W BOLX[EJ MERE, ^EM BIOLOGIQ – OBOSNOWATX VIZNX”.

Mais, si la logique est l’hygi`ene du mathematicien, ce n’est pas elle qui lui fournit sa nouritture; le pain quotidien don’t il vit, ce sont les grandes probl`emes.

Andr`e Weil “L’Avenir des Mathematiques”, Collected Works, 1947a.

dOWOLXNO \TOJ KANCELQR]INY, gENRIH. nAPI[ITE TAM, “bRAK S^ITAETSQ SOWER[IW[IMSQ” I DAWAJTE KU[ATX. uVASNO KU- [ATX HO^ETSQ.

e.l.{WARC ‘dRAKON’

x ?. aKSIOMATIKA

rASSMATRIWAQ MODELI, LU^[E IMETX IH DWE, ^EM ODNU, TAK KAK \TO USTRANQET SOBLAZN PRIDAWATX KAKOJ-NIBUDX IZ NIH ^REZMERNOE ZNA^ENIE. nA[I GEOMETRI^ESKIE RASSUVDENIQ OPIRA- @TSQ TOLXKO NA AKSIOMY.

g.s.m.kOKSETER, “wWEDENIE W GEOMETRI@”, m., nAUKA, 1966, 648S. S.419

x 7. mETOD MATEMATI^ESKOJ INDUKCII

mNOGIE DOKAZATELXSTWA PROWODQTSQ ‘PO INDUKCII’. w PROSTEJ[EM SLU^AE PRINCIP INDUKCII WYGLQDIT TAK.

1. pRINCIP MATEMATI^ESKOJ INDUKCII. pUSTX IMEETSQ NEKO-

TORYJ PREDIKAT P OPREDELENNYJ NA MNOVESTWE N NATURALXNYH ^ISEL. pREDPOLOVIM, ^TO WYPOLNENY SLEDU@]IE DWA UTWERVDENIQ: 1) P (1) ISTINNO (BAZA INDUKCII), 2) dLQ L@BOGO n 2 N ISTINNOSTX P (n) (INDUKCIONNOE PREDPOLOVENIE) WLE^ET ISTINNOSTX P (n + 1) ([AG INDUKCII alias INDUKCIONNYJ PEREHOD). tOGDA P (n) ISTINNO DLQ WSEH n 2 N.

sFORMULIROWANNYJ WY[E PRINCIP NAZYWAETSQ TAKVE AKSIOMOJ INDUKCII, TAK KAK ON FIGURIROWAL (POD NOMEROM 5) W SPISKE AKSIOM pEANO. gOWORQ PO-PROSTOMU, ESLI KAKOE-TO PODMNOVESTWO X µ N SODERVIT 1 I WMESTE S KAVDYM NATURALXNYM ^ISLOM n SODERVIT TAKVE n + 1, TO X = N. fORMALIZACIQ \TOJ AKSIOMY PRISUTSTWUET I W FORMALXNOJ ARIFMETIKE, NO, RAZUMEETSQ, TAM ONA GORAZDO SLABEE, TAK KAK TEPERX EE MOVNO PRIMENQTX NE KO WSEM PREDIKATAM, A LI[X K TEM IZ NIH, KOTORYE WYRAVA@TSQ FORMULAMI QZYKA PERWOGO PORQDKA.

wOT NESKOLXKO IZWESTNYH ZADA^, LEGKO RE[AEMYH METODOM INDUKCII.

2.zADA^A. ~EMU RAWNA SUMMA UGLOW n-UGOLXNIKA?

3.zADA^A. dOKAVITE, ^TO [AHMATNU@ DOSKU S UDALENNOJ UGLOWOJ KLETKOJ MOVNO ZAMOSTITX KOSTQ[KAMI TRIMINO W FORME ‘UGOLKOW’.

uKAZANIE. wOSPOLXZUJTESX PRINCIPOM lAGRANVA I S^ITAJTE, ^TO

8= 2n.

4.zADA^A. nA SKOLXKO ^ASTEJ DELQT PLOSKOSTX n PRQMYH W OB]EM POLOVENII. (gOWORQT, ^TO PRQMYE NAHODQTSQ W OB]EM POLOVENII, ESLI NIKAKIE DWE IZ NIH NE PARALLELXNY I NIKAKIE TRI NE PERESEKA- @TSQ W ODNOJ TO^KE.)

5.zADA^A. nA SKOLXKO ^ASTEJ DELQT PLOSKOSTX PRQMYE, PROWEDENNYE ^EREZ WSEWOZMOVNYE PARY n TO^EK W OB]EM POLOVENII. (gOWORQT,

^TO TO^KI NAHODQTSQ W OB]EM POLOVENII, ESLI NIKAKIE TRI IZ NIH NE LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ I NIKAKIE TRI PRQMYE, PROWEDENNYE ^EREZ PARY \TIH TO^EK, NE PERESEKA@TSQ W TO^KE, OTLI^NOJ OT ISHODNYH.)

uKAZANIE. wNIMANIE! pRQMYE, PROWEDENNYE ^EREZ n TO^EK W OB- ]EM POLOVENII, NE OBRAZU@T ¡n2¢ PRQMYH W OB]EM POLOVENII, ESLI n ¸ 4. |TA ZADA^A O^ENX BLIZKA K ZADA^E, UPOMQNUTOJ NA S.58 KNIGI a.i.kOSTRIKINA.

6.zADA^A. ~TOBY ZAKREPITX PONQTIE OB]EGO POLOVENIQ, POS^I- TAJTE, NA SKOLXKO ^ASTEJ DELQT PROSTRANSTWO n PLOSKOSTEJ W OB]EM POLOVENII. (gOWORQT, ^TO PLOSKOSTI NAHODQTSQ W OB]EM POLOVENII, ESLI NIKAKIE DWE IZ NIH NE PARALLELXNY, NIKAKIE TRI NE PROHODQT ^E- REZ ODNU PRQMU@, L@BYE TRI IME@T OB]U@ TO^KU, NIKAKIE ^ETYRE NE PROHODQT ^EREZ ODNU TO^KU — PERWYE TRI IZ \TIH USLOWIJ OZNA^A@T PROSTO, ^TO NIKAKIE TRI PLOSKOSTI NE PARALLELXNY ODNOJ PRQMOJ).

7.zADA^A. pUSTX Hn OBOZNA^AET n-E GARMONI^ESKOE ^ISLO,

nAJTI FORMULU DLQ H1 + : : : + Hm.

uKAZANIE. rE[A@]EJ PODSKAZKOJ QWLQETSQ SLOWO ‘NAJTI’ W FORMULIROWKE ZADA^I, KOTOROE UKAZYWAET NA TO, ^TO TAKAQ FORMULA SU]E- STWUET. pOSLE TOGO, KAK WY DOGADAETESX DO OTWETA H1 + : : : + Hm = (m + 1)(Hm+1 ¡ 1), DOKAZATELXSTWO EGO PO INDUKCII SOWER[ENNO STANDARTNO. sU]ESTWUET, RAZUMEETSQ, I STANDARTNYJ METOD NAHOVDENIQ OTWETA W PODOBNYH SITUACIQH, NE TREBU@]IJ NIKAKOGO UGADYWANIQ, A IMENNO, WOSHODQ]IJ K |JLERU I lAPLASU METOD PROIZWODQ]IH FUNKCIJ, NAZYWAEMYJ PO-ANGLIJSKI ‘generatingfunctionology’.

7.aLEKSANDR mAKEDONSKIJ NE SU]ESTWOWAL. w SBORNIKE “fI-

ZIKI [UTQT” PRIWODITSQ DOKAZATELXSTWO TEOREMY, UTWERVDA@]EJ, ^TO aLEKSANDR mAKEDONSKIJ NE SU]ESTWOWAL. |TO DOKAZATELXSTWO OSNOWANO NA TREH LEMMAH, IZ KOTORYH DLQ NAS PREDSTAWLQET INTERES SLEDU@- ]AQ

8.‘lEMMA’. wSE PREDMETY ODNOGO CWETA.

‘dOKAZATELXSTWO’. bAZA INDUKCII. oDIN PREDMET ODNOGO CWETA.

{AG INDUKCII. pREDPOLOVIM, ^TO L@BYE n PREDMETOW ODNOGO CWETA. wOZXMEM n + 1 PREDMET. wYBROSIM ODIN IZ \TIH PREDMETOW, PO INDUKCIONNOMU PREDPOLOVENI@ OSTAW[IESQ n PREDMETOW ODNOGO CWETA. wYBROSIM TEPERX ODIN IZ \TIH n PREDMETOW I DOBAWIM WYBRO[ENNYJ RANEE n + 1-J PREDMET. sNOWA PO INDUKCIONNOMU PREDPOLOVENI@

\TI n PREDMETOW ODNOGO CWETA, SLEDOWATELXNO, CWET n + 1-GO PREDMETA SOWPADAET S CWETOM PERWYH n PREDMETOW, ^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX.

9.pRINCIP DOMINO. |TO ‘DOKAZATELXSTWO’ POKAZYWAET, ^TO NUVNO BYTX OSTOROVNYM S TEM, ^TO W DEJSTWITELXNOSTI QWLQETSQ BAZOJ INDUKCII — ESLI MY HOTIM, ^TOBY ZAKL@^ENIE WYPOLNQLOSX DLQ WSEH NATURALXNYH ^ISEL, INDUKCIONNYJ [AG DOLVEN PROHODITX DLQ WSEH NATURALXNYH n, NA^INAQ S 1, A W \TOM SLU^AE ON PREDPOLAGAET, ^TO PERESE^ENIE DWUH n-\LEMENTNYH PODMNOVESTW n + 1-\LEMENTNOGO MNOVESTWA NEPUSTO, T.E. NARU[AETSQ W SLU^AE n = 1. i DEJSTWITELXNO, POWSEDNEWNYJ OPYT PODSKAZYWAET NAM, ^TO SU]ESTWU@T DWA PREDMETA RAZNOGO CWETA.

nAGLQDNO INDUKCIONNOE RASSUVDENIE MOVET BYTX PROILL@STRIROWANO SLEDU@]IM OBRAZOM. rASSTAWIM (S^ETNOE) MNOVESTWO KOSTQ[EK DOMINO W CEPO^KU DRUG ZA DRUGOM, TAK, ^TOBY DOSTATO^NO BLIZKO ZA KAVDOJ KOSTQ[KOJ STOQLA ROWNO ODNA NEPOSREDSTWENNO SLEDU@]AQ I PERED KAVDOJ KOSTQ[KOJ, KROME ROWNO ODNOJ, NAZYWAEMOJ ‘PERWOJ’, STOQLA ROWNO ODNA NEPOSREDSTWENNO PRED[ESTWU@]AQ. pREDPOLOVIM, TEPERX, ^TO WYPOLNQ@TSQ DWA USLOWIQ: 1) MY TOLKNULI PERWU@ KOSTQ[KU S SILOJ, DOSTATO^NOJ, ^TOBY ONA UPALA (BAZA INDUKCII); 2) DLQ KAVDOJ KOSTQ[KI WERNO, ^TO PADAQ (INDUKCIONNOE PREDPOLOVENIE) ONA TOLKNET NEPOSREDSTWENNO SLEDU@]U@ KOSTQ[KU S SILOJ, DOSTATO^NOJ, ^TOBY OPROKINUTX I EE ([AG INDUKCII). tOGDA PRINCIP MATEMATI^ESKOJ INDUKCII, NAZYWAEMYJ W PROSTORE^II PRINCIPOM DOMINO, GLASIT, ^TO WSE KOSTQ[KI UPADUT.

10.wARIANTY INDUKCII. ~ASTO WOZNIKA@T RAZLI^NYE WARIANTY INDUKCII. uPOMQNEM NEKOTORYE NAIBOLEE ^ASTO WSTRE^A@]IESQ IZ NIH.

wO-PERWYH, INDUKCIQ MOVET NA^INATXSQ NE S n = 1 A S KAKOGO-TO NATURALXNOGO n > 1, W \TOM SLU^AE TAKVE I ZAKL@^ENIE INDUKCII SPRAWEDLIWO NA^INAQ S \TOGO n.

kRATNAQ INDUKCIQ.

.

sOWMESTNAQ INDUKCIQ. w BOLX[INSTWE NASTOQ]IH DOKAZATELXSTW INDUKCIQ WSTRE^AETSQ KAK SOWMESTNAQ INDUKCIQ PO NESKOLXKIM PARAMETRAM. |TO ZNA^IT, ^TO

rAZDEL. III. sOWSEM NAIWNAQ TEORIQ KATEGORIJ

~TO IMENNO PODRAZUMEWAETSQ POD SLOWOM “KATEGORIQ” U aRISTOTELQ, U kANTA I U gEGELQ, Q, PRIZNATXSQ, NIKOGDA NE BYL W SOSTOQNII PONQTX.

bERTRAN rASSEL, iSTORIQ zAPADNOJ fILOSOFII (m., 1959, s.223)

gL. ?. oSNOWNYE OPREDELENIQ

x 1. kATEGORII

w \TOM PARAGRAFE MY OPREDELIM OSNOWNU@ STRUKTURU SEGODNQ[NEJ MATEMATIKI.

mATEMATIKA KAK TEORIQ KATEGORIJ. tO^KA ZRENIQ, ^TO MATEMA-

TIKA QWLQETSQ TEORIEJ MNOVESTW MNOGOKRATNO DEKLARIROWALASX I MY OBSUVDALI EE W x ?. oDNAKO ZA PRO[ED[IE POLWEKA PERSPEKTIWA IZMENILASX. w 1945 GODU |JLENBERG I mAKLEJN WWELI KATEGORII, FUNKTORY I ESTESTWENNYE \KWIWALENTNOSTI. sEGODNQ, SPUSTQ BOLEE ^EM POLWEKA, MOVNO OPREDELENNO UTWERVDATX, ^TO TEORIQ KATEGORIJ DAET OBOSNOWANIE MATEMATIKI NE PROSTO ALXTERNATIWNOE K TEORII MNOVESTW, A GORAZDO BOLEE GLUBOKOE, WKL@^A@]EE W SEBQ TEORI@ MNOVESTW, KAK NULEWOJ UROWENX, NO DALEKO WYHODQ]EE ZA EE PREDELY.

nEFORMALXNO OTLI^IE TEORII KATEGORIJ OT TEORII MNOVESTW MOVNO OPISATX SLEDU@[IM OBRAZOM. tEORIQ MNOVESTW WYRAVAET WSE W TERMINAH PONQTIQ PRINADLEVNOSTI. w OTLI^IE OT NEE TEORIQ KATEGORIJ WYRAVAET WSE OSTALXNYE MATEMATI^ESKIE PONQTIQ (W TOM ^ISLE I PRINADLEVNOSTX) W TERMINAH PONQTIQ BINARNOGO OTNO[ENIQ (KOTOROE PRI \TOM NE OTOVDESTWLQETSQ SO SWOIM GRAFIKOM, A WOSPRINIMAETSQ KAK PERWI^NOE PONQTIE). ~ASTO GOWORQT, ^TO TEORIQ KATEGORIJ WYRAVAET WSE W TERMINAH OTOBRAVENIJ, NO \TO NE SOWSEM TO^NO. oSNOWNOJ PRIMER KATEGORII — \TO KATEGORIQ MNOVESTW, MORFIZMAMI KOTOROJ QWLQ@TSQ BINARNYE OTNO[ENIQ. iNYMI SLOWAMI, TEORIQ MNOVESTW SWQZANA S ‘WNUTRENNIMI’ SWOJSTWAMI OB_EKTOW, A TEORIQ KATEGORIJ — S IH ‘WNE[NIMI’ SWOJSTWAMI. zAME^ATELXNYM OTKRYTIEM TEORII KATEGORIJ QWLQETSQ TO, ^TO WSE SWOJSTWA OB_EKTA MOGUT BYTX WYRAVENY W TERMINAH EGO SWQZEJ S DRUGIMI OB_EKTAMI. |TO UVE PRIWELO K IZMENENI@ MNOGIH TO^EK ZRENIQ W MATEMATIKE. dLQ ^ELOWEKA, WOSPITANNOGO NA KLASSI^ESKOJ MATEMATIKE, MNOGIE KONSTRUKCII TEORII KATEGORIJ MOGUT POKAZATXSQ ^REZMERNO ABSTRAKTNYMI I TUMANNYMI, NO OB_EKTIWNYE MEDICINSKIE ISSLEDOWANIQ POKAZYWA@T, ^TO IZU^ENIE TEORII