Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

.pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
21.03.2016
Размер:
2.45 Mб
Скачать

MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive

291

ISHODNYM PORQDKOM NA \TIH MNOVESTWAH, A L@BYE x 2 X I y 2 Y NESRAWNIMY. pORQDKOWYJ TIP MNOVESTWA X t Y NAZYWAETSQ KAR-

DINALXNOJ SUMMOJ TIPOW ® I ¯ I OBOZNA^AETSQ ® + ¯.

kARDINALXNOE UMNOVENIE PORQDKOWYH TIPOW.

oPREDELENIE. pUSTX X — MNOVESTWO PORQDKOWOGO TIPA ®, A Y

MNOVESTWO PORQDKOWOGO TIPA ¯. uPORQDO^IM MNOVESTWO X £ Y SLEDU@]IM OBRAZOM: OGRANI^ENIE PORQDKA NA (x; y) · (u; v) W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA x 2 u W X I y · v W Y . pORQDKOWYJ TIP MNOVESTWA XtY NAZYWAETSQ KARDINALXNYM PROIZWEDENIEM TIPOW ® I ¯ I OBOZNA^AETSQ ®¯.

uBEDITESX, ^TO \TI TIPY DEJSTWITELXNO ZAWISIT TOLXKO OT TIPOW ®

I¯.

²kARDINALXNOE SLOVENIE PORQDKOWYH TIPOW ASSOCIATIWNO: (® +

¯) + ° = ® + (¯ + °);

²kARDINALXNOE SLOVENIE PORQDKOWYH TIPOW KOMMUTATIWNO: ®+¯ =

¯ + ®;

²kARDINALXNOE UMNOVENIE PORQDKOWYH TIPOW ASSOCIATIWNO: (®¯)° =

®(¯°)

²kARDINALXNOE UMNOVENIE PORQDKOWYH TIPOW ASSOCIATIWNO: (®¯) = (¯®)

²kARDINALXNOE UMNOVENIE PORQDKOWYH TIPOW DISTRIBUTIWNO OTNOSITELXNO KARDINALXNOGO SLOVENIQ: ®(¯ + °) = ®¯ + ®° I (® + ¯)° =

®° + ¯°.

x 16. oRDINALXNAQ ARIFMETIKA PORQDKOWYH TIPOW

oRDINALXNOE SLOVENIE PORQDKOWYH TIPOW.

oPREDELENIE. pUSTX X — MNOVESTWO PORQDKOWOGO TIPA ®, A Y

MNOVESTWO PORQDKOWOGO TIPA ¯. uPORQDO^IM MNOVESTWO X t Y SLEDU@]IM OBRAZOM: OGRANI^ENIE PORQDKA NA X I NA Y SOWPADAET S ISHODNYM PORQDKOM NA \TIH MNOVESTWAH I x < y DLQ L@BYH x 2 X, y 2 Y . tOGDA PORQDKOWYJ TIP MNOVESTWA X t Y NAZYWAETSQ

ORDINALXNOJ SUMMOJ TIPOW ® I ¯ I OBOZNA^AETSQ ® © ¯.

|TOT TIP DEJSTWITELXNO ZAWISIT TOLXKO OT TIPOW ® I ¯. oBRATITE WNIMANIE, ^TO ORDINALXNAQ SUMMA — \TO TO, ^TO TRADICIONNO NAZYWAETSQ PROSTO SUMMOJ PORQDKOWYH TIPOW I OBOZNA^AETSQ ® + ¯.

² sLOVENIE PORQDKOWYH TIPOW ASSOCIATIWNO: (®+¯)+° = ®+(¯+°)

292

NIKOLAJ WAWILOW

² sAMOE PORAZITELXNOE SWOJSTWO SLOVENIQ PORQDKOWYH TIPOW SOSTOIT W TOM, ^TO SLOVENIE NEKOMMUTATIWNO. nAPRIMER, LEGKO WIDETX, ^TO DLQ L@BOGO KONE^NOGO n IMEEM n + ! = ! =6 ! + n, TAK KAK W MNOVESTWE TIPA ! + n ESTX NAIBOLX[IJ \LEMENT, A W MNOVESTWE TIPA ! — NET. pO\TOMU SLAGAEMYE W ®+¯ IME@T RAZNYE NAZWANIQ, ® NAZYWAETSQ angendus, A ¯ — addendus.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO n + !¤ =6 !¤ + n = !¤ I ! + !¤ =6 !¤ + !. pOSTROJTE PODMNOVESTWA W Q, UPORQDO^ENNYE PO TIPU ! + !¤ I PO TIPU !¤ + !.

oTWET. w KA^ESTWE PRIMERA MNOVESTWA, UPORQDO^ENNOGO PO TIPU !¤ +

!ESTESTWENNO WZQTX Z. s DRUGOJ STORONY, W KA^ESTWE MNOVESTWA TIPA

!+ !¤ MOVNO WZQTX, NAPRIMER,

1 < ¡12 < : : : < ¡n1 < : : : < n1 < : : : < 12 < 1g:

w \TOM MNOVESTWE ESTX KAK NAIBOLX[IJ, TAK I NAIMENX[IJ \LEMENT, W TO WREMQ KAK W MNOVESTWE Z NET.

zADA^A. kOTOROE IZ SLEDU@]IH RAWENSTW PREDSTAWLQETSQ wAM BOLEE PRAWDOPODOBNYM:

n+ (!¤ + !) = !¤ + ! = (!¤ + !) + n;

n+ (! + !¤) = ! + !¤ = (! + !¤) + n?

zADA^A. dOKAVITE, ^TO ´ + 1 + ´ = ´ + ´ = ´. zADA^A. dOKAVITE, ^TO ¸ + 1 + ¸ = ¸, NO ¸ + ¸ =6 ¸. oRDINALXNOE UMNOVENIE PORQDKOWYH TIPOW.

oPREDELENIE. pUSTX X — MNOVESTWO PORQDKOWOGO TIPA ®, A Y

MNOVESTWO PORQDKOWOGO TIPA ¯. uPORQDO^IM MNOVESTWO X £ Y SLEDU@]IM OBRAZOM: OGRANI^ENIE PORQDKA NA (x; y) · (y; v) W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA LIBO x < y, LIBO x = y I u · v. pORQDKO- WYJ TIP MNOVESTWA X t Y NAZYWAETSQ ORDINALXNYM PROIZWEDENIEM TIPOW ® I ¯ I OBOZNA^AETSQ ® - ¯.

iNYMI SLOWAMI, ZDESX PREDPOLAGAETSQ, ^TO MNOVESTWO X £Y UPORQDO^ENO LEKSIKOGRAFI^ESKI. |TOT TIP DEJSTWITELXNO ZAWISIT TOLXKO OT TIPOW ® I ¯. oBRATITE WNIMANIE, ^TO ORDINALXNOE PROIZWEDENIE

— \TO TO, ^TO TRADICIONNO NAZYWAETSQ PROSTO PROIZWEDENIEM PORQDKOWYH TIPOW I OBOZNA^AETSQ ®¯.

MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive

293

²uMNOVENIE PORQDKOWYH TIPOW ASSOCIATIWNO: (®¯)° = ®(¯°).

²s DRUGOJ STORONY, OTSUTSTWIE KOMMUTATIWNOSTI TEPERX UVE NE DOLVNO WYZWATX U NAS NIKAKOGO UDIWLENIQ. nAPRIMER, QSNO, ^TO DLQ L@BOGO KONE^NOGO n IMEEM n! = ! 6= !n = ! + : : : + !.

²uMNOVENIE PORQDKOWYH TIPOW DISTRIBUTIWNO OTNOSITELXNO SLOVENIQ SLEWA, ®(¯ + °) = ®¯ + ®°,

²uMNOVENIE PORQDKOWYH TIPOW, WOOB]E GOWORQ NE QWLQETSQ DISTRIBUTIWNYM OTNOSITELXNO SLOVENIQ SPRAWA, (®+¯)° 6= ®° +¯°. w SAMOM DELE, ! = 2! = (1 + 1)! 6= 1! + 1! = ! + !.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO I !!¤ 6= !¤!.

uKAZANIE. pOSMOTRITE NA NIVNIE KONUSY \LEMENTOW W \TIH MNOVESTWAH.

tEPERX U NAS WSE GOTOWO, ^TOBY NA^ATX SNOWA U^ITXSQ ARIFMETIKE. mY UVE ZNAEM, ^TO !(! + n) = !2 + !n DLQ L@BOGO NATURALXNOGO n. sEJ^AS MY UWIDIM NE^TO BOLEE WITIEWATOE.

zADA^A. uBEDITESX, ^TO (! +m)! = !2 I (! +m)(! +n) = !2 +!n+m

DLQ L@BYH NATURALXNYH m; n.

uDIWITELXNOE RQDOM: dOKAVITE, ^TO SLOVENIE I UMNOVENIE PORQDKOWYH TIPOW SLEDU@]IM OBRAZOM WEDUT SEBQ PO OTNO[ENI@ K DWOJ-

STWENNOSTI:

(® + ¯)¤ = ¯¤ + ®¤; (®¯)¤ = ®¤¯¤:

pOTENCIROWANIE PORQDKOWYH TIPOW.

x 16. pORQDKOWYE TIPY LINEJNO UPORQDO^ENNYH MNOVESTW

pORQDKOWYJ TIP ´ IGRAET SOWER[ENNO ISKL@^ITELXNU@ ROLX PO OTNO[ENI@ K KLASSU S^ETNYH LINEJNO UPORQDO^ENNYH MNOVESTW.

tEOREMA kANTORA. l@BOE S^ETNOE LINEJNO UPORQDO^ENNOE MNOVE- STWO IZOMORFNO PODMNOVESTWU W Q.

tEOREMA lINDENBAUMA. dLQ TOGO, ^TOBY PORQDKOWYJ TIP LINEJ- NO UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA UDOWLETWORQL USLOWI@ ®¤ = ®, NEOB- HODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY SU]ESTWOWAL TAKOJ PORQDKOWYJ TIP

¯, ^TO ® = ¯ + ¯¤ ILI ® = ¯ + 1 + ¯¤

dOKAZATELXSTWO. rASSMOTRIM UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO X TIPA ®, I ANTIAWTOMORFIZM f : X ¡! X MNOVESTWA X.

zAMETIM, PREVDE WSEGO, ^TO f IMEET W X NE BOLX[E ODNOJ NEPODWIVNOJ TO^KI. w SAMOM DELE, ESLI f(x) = x I f(y) = y. tAK KAK MNOVESTWO

294

NIKOLAJ WAWILOW

X LINEJNO UPORQDO^ENO, TO \LEMENTY x I y SRAWNIMY. PUSTX, SKAVEM, x · y. tAK KAK f OBRA]AET PORQDOK, TO y = f(y) · f(x) = x. tEM SAMYM, x = y. |TO ZNA^IT, ^TO LIBO U OTOBRAVENIQ f NET NI ODNOJ NEPODWIVNOJ TO^KI, LIBO SU]ESTWUET EDINSTWENNAQ NEPODWIVNAQ

TO^KA x0.

tEPERX SOWER[ENNO QSNO, KAK USTROENO DOKAZATELXSTWO. rASSMOTRIM MNOVESTWA

X¡ = fx 2 X j f(x) > xg; X+ = fx 2 X j f(x) < xg:

qSNO, ^TO ESLI x 2 X¡ I y · x, TO, TEM BOLEE, y 2 X¡. w SAMOM DELE, f(y) ¸ f(x) > x ¸ y. tO^NO TAK VE ESLI x 2 X+ I y ¸ x, TO y 2 X+. s DRUGOJ STORONY, PUSTX x 2 X¡ I y 2 X+. tOGDA f(x) > x I y > f(y), TAK ^TO NERAWENSTWO x > y PO TRANZITIWNOSTI WLEKLO BY f(x) > f(y), ^TO NEWOZMOVNO. |TO ZNA^IT, ^TO x < y DLQ L@BYH x 2 X¡ I y 2 X+.

tAKIM OBRAZOM, W ZAWISIMOSTI OT TOGO, ESTX LI U OTOBRAVENIQ f NEPODWIVNAQ TO^KA, IMEEM X = X¡ t X+, LIBO X = X¡ t fx0g t X+.

nAM OSTAETSQ DOKAZATX, ^TO X+ » (X¡)¤. w SAMOM DELE, ESLI x 2

=

X¡, TO x < f(x), TAK ^TO f(x) > f(f(x)) I, ZNA^IT, f(x) 2 X+. tO^NO TAK VE f(x) 2 X¡ DLQ L@BOGO x 2 X+. s DRUGOJ STORONY, TAK KAK f ANTIAWTOMORFIZM MNOVESTWA X, TO DLQ L@BOGO y 2 X+ NAJDETSQ EDINSTWENNOE x 2 X TAKOE, ^TO f(x) = y. qSNO, ^TO x 6= x0. s DRUGOJ STORONY, ESLI x 2 X+, TO f(x) 2 X¡. pO\TOMU OSTAETSQ EDINSTWENNAQ WOZMOVNOSTX x 2 X¡. |TO ZNA^IT, ^TO OGRANI^ENIE f NA X¡ ZADAET ANTIIZOMORFIZM X¡ NA X+.

dLQ KONE^NOGO PORQDKOWOGO TIPA ® WOZMOVNOSTI QWLQ@TSQ WZAIMOISKL@^A@]IMI. w TO VE WREMQ ODIN I TOT VE BESKONE^NYJ PORQDKOWYJ TIP MOVET BYTX ODNOWREMENNO I ^ETNYM I NE^ETNYM. tAK, NAPRIMER, U UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA Q SU]ESTWU@T KAK ANTIAWTOMORFIZMY S NEPODWIVNYMI TO^KAMI I TAK I ANTIAWTOMORFIZMY BEZ NEPODWIVNYH TO^EK (POSTROJTE IH!)

x 16. wPOLNE UPORQDO^ENNYE MNOVESTWA

lINEJNO UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO X NAZYWAETSQ WPOLNE UPORQDO^ENNYM, ESLI W L@BOM NEPUSTOM PODMNOVESTWE Y µ X SU]ESTWUET NAIMENX[IJ \LEMENT.

²kONE^NOE MNOVESTWO WPOLNE UPORQDO^ENO.

²!, ! + 1, ! + !, ! ¢ ! WPOLNE UPORQDO^ENY.

²!¤, ´ I ¸ NE QWLQ@TSQ WPOLNE UPORQDO^ENNYMI.

dOKAZATELXSTWO SLEDU@]EGO REZULXTATA OSNOWANO NA AKSIOME WYBORA.

MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive

295

tEOREMA. lINEJNO UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE WPOLNE UPORQDO^ENO, KOGDA X NE SODERVIT !¤.

dOKAZATELXSTWO. o^EWIDNO, ESLI X SODERVIT !¤, TO ONO NE MOVET BYTX WPOLNE UPORQDO^ENNYM.

oBRATNO, PUSTX Y µ X — NEPUSTOE PODMNOVESTWO, NE SODERVA]EE MINIMALXNOGO \LEMENTA. tOGDA DLQ KAVDOGO y 2 Y NIVNIJ KONUS yO = fz 2 Y j z < yg NEPUST. pUSTX f : Y 7!Y — FUNKCIQ TAKAQ, ^TO f(y) < y DLQ L@BOGO y 2 Y . tOGDA MNOVESTWO fy > f(y) > f2(y) > : : : g IMEET PORQDKOWYJ TIP !¤.

x 16. pRINCIP TRANSFINITNOJ INDUKCII

sLEDU@]IJ REZULXTAT NAZYWAETSQ PRINCIPOM TRANSFINITNOJ INDUKCII.

tEOREMA. pUSTX X — FUNDIROWANNOE UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO,

Yµ X. pREDPOLOVIM, ^TO

1)wSE MINIMALXNYE \LEMENTY MNOVESTWA X PRINADLEVAT Y .

2)eSLI DLQ DANNOGO x 2 X WSE \LEMENTY y 2 X, y < x PRINADLE- VAT Y , TO x 2 Y .

tOGDA Y = X.

dOKAZATELXSTWO. w SAMOM DELE, PREDPOLOVIM, ^TO X nY NEPUSTO. tOGDA W SILU FUNDIROWANNOSTI X MNOVESTWO X n Y IMEET MINIMALXNYJ \LEMENT z. iMEET MESTO SLEDU@]AQ ALXTERNATIWA.

|LEMENT z QWLQETSQ MINIMALXNYM \LEMENTOM MNOVESTWA X. tOGDA ON PRINADLEVIT Y PO USLOWI@ 1), PROTIWORE^IE.

|LEMENT z NE QWLQETSQ MINIMALXNYM \LEMENTOM MNOVESTWA X. tOGDA DLQ L@BOGO w 2 X, TAKOGO, ^TO w < z, W SILU MINIMALXNOSTI z IMEEM w 2 Y . zNA^IT z 2 Y PO USLOWI@ 2), TAK ^TO MY SNOWA POLU^AEM PROTIWORE^IE.

tEM SAMYM X n Y = ?.

296

NIKOLAJ WAWILOW

gLAWA 5. sRAWNENIE MNOVESTW PO MO]NOSTI

To see the world in a grain of sand,

And a heaven in a wild flower;

Hold infinity in the palm of your hand,

And eternity in an hour.*

William Blake

O ye Powers! (for powers ye are, and great ones too) —

Laurence Sterne, “Tristram Shandy”, vol.III, Ch.23

oDNAKO ODIN LI[X ANALIZ E]E NE WEDET NAS K GLUBO^AJ[E- MU POSTIVENI@ SU]NOSTI BESKONE^NOGO. |TOJ CELI SKOREE MOVET SPOSOBSTWOWATX NAU^NAQ DISCIPLINA, STOQ]AQ BLIVE K OB]EFILOSOFSKOMU PODHODU I PRIZWANNAQ PREDSTAWITX W NOWOM SWETE WESX KOMPLEKS WOPROSOW, KASA@]IHSQ BESKONE^- NOGO. |TOJ DISCIPLINOJ QWLQETSQ U^ENIE O MNOVESTWAH, SOZDATELEM KOTOROGO BYL gEORG kANTOR, I ZDESX MY RASSMOTRIM TOLXKO TO DEJSTWITELXNO EDINSTWENNOE W SWOEM RODE I ORIGINALXNOE, ^TO SOSTAWLQET ISTINNOE QDRO KANTOROWSKOGO U^ENIQ, — EGO TEORI@ TRANSFINITNYH ^ISEL. oNA PRED-

STAWLQETSQ MNE DOSTOJNYM NAIBOLX[EGO UDIWLENIQ CWETKOM MATEMATI^ESKOGO DUHA I WOOB]E ODNIM IZ WYS[IH DOSTIVENIJ TREZWOGO ^ELOWE^ESKOGO RAZUMA.

dAWID gILXBERT141

oSNOWOJ ARIFMETIKI tLENA QWLQETSQ PONQTIE BESKONE^NYH ^ISEL. oSOBAQ WAVNOSTX PRIDAETSQ PONQTIQM BOLX[EGO I MENX[EGO, KOTORYE NA[IMI MATEMATIKAMI OBOZNA^A@TSQ ^E- REZ > I <. mATEMATIKI tLENA UTWERVDA@T, ^TO SAM PROCESS S^ETA IZMENQET KOLI^ESTWO I PREWRA]AET EGO IZ NEOPREDELENNOGO W OPREDELENNOE. tOT FAKT, ^TO NESKOLXKO INDIWIDUUMOW, PODS^ITYWAQ ODNO I TO VE KOLI^ESTWO, PRIHODQT K ODINAKOWOMU REZULXTATU, PREDSTAWLQET DLQ PSIHOLOGOW PRIMER ASSOCIACII IDEJ ILI HORO[EGO UPRAVNENIQ PAMQTI.

h.bORHES “tLEN, uKBAR, oRBIS tERCIUS”

w NA[EM MIRE dEJSTWIQ (aSIQ), TAK VE KAK I W WYS[IH MIRAH sOZIDANIQ (iECIRA) I tWORENIQ (bRIQ), ESTX RAZLI^IE MEVDU SUB_EKTOM I OB_EKTOM, MEVDU SOWER[A@]IM DEJSTWIE I TEM, NAD KEM ONO SOWER[AETSQ. w TO VE WREMQ W WYS[EM

*w DANNOM KONKRETNOM SLU^AE RUSSKIJ PEREWOD (“... W ODNOM MGNOWENXI WIDETX WE^NOSTX I NEBO W ^A[E^KE CWETKA ...”) STOLX VE ^UDESEN, KAK I ANGLIJSKIJ ORIGINAL.

141d.gILXBERT, o BESKONE^NOM. STR.436. – W KNIGE: d.gILXBERT, iZBRANNYE tRUDY, T.I. — fAKTORIAL, m., 1998, S.431–448.

MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive

297

MIRE |MANACII (aCILUT), W KOTOROM SFIROT NE OTDELENY OT SWOEGO ISTO^NIKA W b-VESTWE, \TOGO RAZLI^IQ NET. pO\TOMU QWLENIQ W NIVNIH MIRAH MOGUT OBLADATX OPREDELENNOSTX@, OTDELXNOSTX@. dAVE ANGEL W MIRE TWORENIQ (bRIQ), SOWER- [ENNOE ORUDIE b-VESTWENNOJ WOLI, \TO WSE-TAKI SU]ESTWO SO SWOIM “q”. tOLXKO W MIRE |MANACII (aCILUT) NET GRANICY MEVDU tWORCOM I TWORENIEM, I b-G I eGO MIR — EDINY. sLEDOWATELXNO, WSE, ^TO MY MOVEM TAK ILI INA^E RAZLI^ITX, KAKIM BY WELIKIM ONO NI BYLO | NE b-G.

aDIN {TAJNZALXC. tWORQ]EE SLOWO

bESSMERTNAQ ZASLUGA gEORGA kANTORA SOSTOIT WOWSE NE W TOM, ^TO ON WWEL W MATEMATI^ESKIJ OBIHOD TERMIN ‘MNOVESTWO’, I NE W TOM, ^TO ON IZU^IL BULEWY OPERACII NAD MNOVESTWAMI — KAK SAMI \TI OPERACII, TAK I IH SWOJSTWA BYLI HORO[O PONQTY K NA^ALU XVIII WEKA. gLAWNYM DOSTIVENIEM kANTORA — TEM RAEM, KOTORYJ ON SOZDAL DLQ MATEMATIKOW — QWILOSX PRIZNANIE BESKONE^NYH MNOVESTW KAK POLNOPRAWNYH MATEMATI^ESKIH SU]NOSTEJ. oDNAKO SAMAQ SUTX TEORII kANTORA, EGO WELI^AJ[EE OTKRYTIE, SOSTOIT W WOZMOVNOSTI SRAWNENIQ BESKONE^- NOSTEJ.

pERWAQ IZ APORIJ zENONA, ‘MERA’ REDKO CITIRUETSQ. mEVDU TEM, S MATEMATI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ ONA PREDSTAWLQETSQ MNE NAIBOLEE INTERESNOJ IZ WSEH, TAK KAK W NEJ WPERWYE GOWORITSQ O RAZLI^II MEVDU S^ETNYMI MNOVESTWAMI I MNOVESTWAMI MO]NOSTI KONTINUUMA. zAME^ATELXNO, ^TO BOLEE, ^EM ZA DWE TYSQ^I LET WPLOTX DO OTKRYTIQ kANTORA, NIKTO TAK I NE SMOG OSMYSLITX \TOGO RAZLI^IQ. |TA APORIQ DOKAZYWAET, ^TO PRQMAQ NE MOVET SOSTOQTX IZ TO^EK. w SAMOM DELE, ARGUMENTIRUET zENON. eSLI MERA TO^KI 0, TO IZ TO^EK NELXZQ SOSTAWITX OTREZOK, MERA KOTOROGO BOLX[E 0. eSLI VE MERA TO^KI > 0, TO MERA L@BOGO OTREZKA BESKONE^NA. kAK RE[AETSQ \TA APORIQ W KANTOROWSKOJ MATEMATIKE?

kANTOR K

mY BUDEM ISPOLXZOWATX LI[X DWE BESKONE^NYE MO]NOSTI. nAPOMNIM, ^TO MNOVESTWO A NAZYWAETSQ S^ETNYM, ESLI ONO RAWNOMO]NO Z. w \TOM SLU^AE MY PI[EM jAj = @0 (PROIZNOSITSQ ‘ALEF-NOLX’). mNOVESTWO A NAZYWAETSQ KONTINUALXNYM, ESLI ONO RAWNOMO]NO R. mO]- NOSTX KONTINUUMA BUDET OBOZNA^ATXSQ ^EREZ c. kONTINUUM-GIPOTEZA UTWERVDAET, ^TO c = @1 = 2@0 , NO MY NE BUDEM NUVDATXSQ W \TOM PREDPOLOVENII.

x 1. |KWIWALENTNOSTX, MO]NOSTX MNOVESTWA

Cantor’s continuum problem is simply the question: How many

298

NIKOLAJ WAWILOW

points are there on a straight line in Euclidean space? In other terms, the question is: How many di erent sets of integers do there exist? This question, of course, could arise only after the concept of “number” had been extended to infinite sets; hence it might be doubted if this extension can be e ected in a uniquely determined manner and if, therefore, the statement of the problem in the simple terms used above is justified. Closer examination, however, shows that Cantor’s definition of infinite numbers really has this character of uniqueness, and that in a very striking manner.

Kurt G¨odel142

1. |KWIWALENTNOSTX MNOVESTW. sEJ^AS MY OPREDELIM PONQTIE IZOMORFIZMA W KATEGORII MNOVESTW, KOTOROE OPISYWAET, KOGDA DWA MNOVESTWA ODINAKOWO USTROENY KAK MNOVESTWA.

oPREDELENIE. gOWORQT, ^TO MNOVESTWA A I B \KWIWALENTNY,

IZOMORFNY (KAK MNOVESTWA) ILI RAWNOMO]NY I PI[UT A » B ILI jAj = jBj, ESLI SU]ESTWUET BIEKTIWNOE OTOBRAVENIE IZ A W B.

tAKIM OBRAZOM, PO OPREDELENI@ DWA MNOVESTWA \KWIWALENTNY W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA Bij(A; B) NEPUSTO. lEGKO WIDETX, ^TO \KWIWALENTNOSTX MNOVESTW DEJSTWITELXNO QWLQETSQ \KWIWALENTNOSTX@, W TOM SMYSLE, KOTORYJ OBY^NO PRIPISYWAETSQ \TOMU SLOWU. iNYMI SLOWAMI, \TO OZNA^AET, ^TO \KWIWALENTNOSTX MNOVESTW OBLADAET SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI:

1)rEFLEKSIWNOSTX: A » A;

2)sIMMETRI^NOSTX: A » B =) B » A;

3)tRANZITIWNOSTX: A » B & B » C =) A » C.

wSE \TI SWOJSTWA MOMENTALXNO USMATRIWA@TSQ IZ OPREDELENIQ. pERWOE IZ NIH SLEDUET IZ TOGO, ^TO idA 2 Bij(A; A) I, PO\TOMU, Bij(A; A) WSEGDA NEPUSTO; WTOROE — IZ TOGO, ^TO ESLI Bij(A; B) NEPUSTO I f

— KAKOJ-TO \LEMENT \TOGO MNOVESTWA, TO OBRATNOE OTOBRAVENIE f¡1 PRINADLEVIT Bij(B; A); I, NAKONEC, TRETXE — IZ TOGO, ^TO ESLI f 2 Bij(A; B) I g 2 Bij(B; C), TO IH KOMPOZICIQ g±f PRINADLEVIT Bij(A; C).

2. mO]NOSTX MNOVESTWA. fIGURIRU@]IE FORMULE jAj = jBj WYRAVENIQ jAj I jBj NAZYWA@TSQ MO]NOSTQMI MNOVESTW A I B SOOTWETSTWENNO. rAWNOMO]NOSTX A I B OZNA^AET, ^TO IH MO]NOSTI RAWNY.

142K.G¨odel, What is Cantor’s continuum problem? — Amer. Math. Monthly, 1947, vol.54, p.515–525.

MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive

299

mY NE HOTIM POKA UTO^NQTX, ^TO TAKOE MO]NOSTX, SDELATX \TO WOZMOVNO, NO DALEKO NE PROSTO. gLAWNOE, L@BOE TAKOE UTO^NENIE NE TOLXKO NE SDELAET \TO PONQTIE BOLEE QSNYM, NO, NAOBOROT, OKON^ATELXNO ZAPUTAET NA^INA@]EGO.

w gLAWE 5 MY UVE IMELI DELO S MO]NOSTQMI KONE^NYH MNOVESTW. eSLI MNOVESTWO X KONE^NO, TO jXj OBOZNA^AET ^ISLO \LEMENTOW MNOVESTWA X, QWLQ@]EESQ NATURALXNYM ^ISLOM ILI NULEM. fORMULA jXj = n OZNA^AET, ^TO MNOVESTWO X SODERVIT n \LEMENTOW ILI, ^TO TO VE SAMOE, ^TO SU]ESTWUET BIEKCIQ MEVDU X I NA^ALXNYM OTREZKOM NATURALXNOGO RQDA n DLINY n. |TO ZNA^IT, ^TO MY WOOB]E MOGLI BY OBOJTISX BEZ UPOMINANIQ ‘^ISLA \LEMENTOW’ MNOVESTWA X, I PISATX PROSTO X » n, HOTQ \TO, WIDIMO, INOGDA BYLO BY MENEE UDOBNO (WPRO- ^EM, UDOBSTWO I NEUDOBSTWO ESTX ISKL@^ITELXNO WOPROS PRIWY^KI).

iNTUITIWNO I DLQ BESKONE^NOGO MNOVESTWA X MO]NOSTX ESTX ‘^ISLO \LEMENTOW’ \TOGO MNOVESTWA, TOLXKO DLQ BESKONE^NOGO MNOVESTWA \TO ‘^ISLO’ UV NIKAK NE QWLQETSQ NATURALXNYM ^ISLOM — ILI WOOB]E KAKIM-NIBUDX ‘^ISLOM’, RASSMATRIWAW[IMSQ W MATEMATIKE DO kANTORA. iMENNO kANTOR WWEL NOWYE ‘BESKONE^NYE’ ^ISLA, NAZYWAEMYE KAR-

DINALXNYMI ^ISLAMI ILI, SOKRA]ENNO, KARDINALAMI, KOTORYE IZMERQ@T MO]NOSTI (NE OBQZATELXNO KONE^NYH) MNOVESTW. wPRO^EM, PODHOD kANTORA DOSTATO^NO SLOVEN I TREBUET PREDWARITELXNOGO RASSMOTRENIQ PORQDKOW NA MNOVESTWE X I WWEDENIQ ORDINALXNYH ^ISEL ILI, SOKRA]ENNO, ORDINALOW. sEGODNQ DAVE BOLX[INSTWO PROFESSIONALXNYH MATEMATIKOW (NE SPECIALISTOW PO TEORII MNOVESTW) NE WLADEET TONKOSTQMI \TOGO PODHODA.

kOMMENTARIJ. sU]ESTWU@T I DRUGIE PONIMANIQ MO]NOSTI, OTLI^NYE OT kANTOROWSKOGO. nAPRIMER, LOGIKI I FILOSOFY WO GLAWE S fREGE, rASSELOM I uAJTHEDOM OTOVDESTWLQLI MO]NOSTX MNOVESTWA S KLASSOM WSEH \KWIWALENTNYH EMU MNOVESTW I S^ITALI, ^TO TO OB]EE, ^TO ESTX U WSEH RAWNOMO]NYH MNOVESTW, SOSTOIT W TOM, ^TO ONI PRINADLEVAT ODNOMU I TOMU VE KLASSU. qSNO, ^TO \TO WESXMA GROMOZDKAQ KONSTRUKCIQ. dLQ L@BOGO NEPUSTOGO MNOVESTWA KLASS WSEH \KWIWALENTNYH EMU MNOVESTW SAM NE QWLQETSQ MNOVESTWOM, T.E. QWLQETSQ SOBSTWENNO KLASSOM. sKAVEM, DLQ TOGO, ^TOBY OPREDELITX ^ISLO 1, MY DOLVNY RASSMOTRETX WSE MYSLIMYE ODNO- \LEMENTNYE MNOVESTWA, NAPRIMER, WSE ODNO\LEMENTNYE MNOVESTWA WE]ESTWENNYH ^ISEL, WSE MNOVESTWA, EDINSTWENNYMI \LEMENTAMI KOTORYH QWLQ@TSQ MNOVESTWA WE]ESTWENNYH ^ISEL I T.D. wRQD LI PODOBNYJ PODHOD K OPREDELENI@ ^ISLA 1 NAJDET MNOGO STORONNIKOW SREDI PREPODAWATELEJ MATEMATIKI W DETSKOM SADU.

wPRO^EM, DLQ NA[IH BLIVAJ[IH CELEJ — DA I WOOB]E DLQ BOLX- [INSTWA PRILOVENIJ \TOGO PONQTIQ W OBY^NOJ MATEMATIKE — NE IMEET ABSOL@TNO NIKAKOGO ZNA^ENIQ, ^TO TAKOE MO]NOSTI ‘NA SAMOM DELE’. dOSTATO^NO NAU^ITXSQ OPERIROWATX S MO]NOSTQMI: SRAWNIWATX MNOVESTWA PO MO]NOSTI, T.E. BYTX W SOSTOQNII ZAPISYWATX RAWEN-

300

NIKOLAJ WAWILOW

STWA I NERAWENSTWA WIDA jAj = jBj, jAj > jBj, jAj < jBj, SKLADYWATX I UMNOVATX MO]NOSTI, T.E. BYTX W SOSTOQNII RE[ITX, WERNO LI, ^TO jAj+jBj = jCj ILI jAj¢jBj = jCj I TOMU PODOBNOE. s TO^KI ZRENIQ \TOGO INSTRUMENTALXNOGO PODHODA FORMULA jAj = jBj QWLQETSQ PROSTO DRUGOJ ZAPISX@ OTNO[ENIQ Bij(A; B) 6= ?, A, SKAVEM, FORMULA jAj · jBj

— DRUGOJ ZAPISX@ OTNO[ENIQ Inj(A; B) 6= ?, KOTOROE MY OBSUVDAEM W x 3.

x 1. oSNOWNYE PRAWILA TEORII PERE^ISLENIQ

1.pORQDOK KONE^NOGO MNOVESTWA. w SLEDU@]EJ GLAWE MY NA^NEM SISTEMATI^ESKOE RASSMOTRENIE MO]NOSTEJ. mO]NOSTX MNOVESTWA X OBOZNA^AETSQ ^EREZ Card(X) ILI, OBY^NO, PROSTO ^EREZ jXj. w SLU^AE, KOGDA MNOVESTWO KONE^NO, EGO MO]NOSTX MOVET BYTX ISTOLKOWANA KAK

\LEMENT N0. w \TOM SLU^AE ONA ^ASTO NAZYWAETSQ TAKVE PORQDKOM

ILI ^ISLOM \LEMENTOW X.

2.pRAWILO RAWENSTWA. eSLI MEVDU MNOVESTWAMI X I Y MOVNO USTANOWITX WZAIMNO-ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE, TO jXj = jY j. w ^ASTNOSTI, ^ISLO \LEMENTOW MNOVESTWA OPREDELENO ODNOZNA^NO.

3.pRAWILO SUMMY. eSLI X = `Xi, TO jXj = PjXij. w DEJ-

STWITELXNOSTI \TA FORMULA QWLQETSQ OPREDELENIEM SLOVENIQ MO]-

NOSTEJ. iMENNO TAK U^AT SKLADYWATX MALENXKIH DETEJ: ESLI K x QBLOKAM PRIBAWITX y QBLOK, TO POLU^ITSQ x + y QBLOK.

4. zADA^A: PRAWILO RAZNOSTI. dOKAVITE, ^TO ESLI X µ Y , TO jY n Xj = jY j ¡ jXj.

rE[ENIE. pRIMENITE PRAWILO SUMMY K RAZLOVENI@ Y = X `(Y nX).

5. zADA^A: OB]EE PRAWILO RAZNOSTI. dOKAVITE, ^TO DLQ L@BYH DWUH MNOVESTW X I Y IMEET MESTO RAWENSTWO jY n Xj = jY j ¡ jX \ Y j.

rE[ENIE. w SAMOM DELE, Y n X = Y n (X \ Y ). sLEDU@]AQ ZADA^A ILL@STRIRUET \TI PRAWILA.

6. zADA^A: WOENNYE I DEPUTATY gOSUDARSTWENNOJ dUMY. a) dOKAVITE, ^TO ESLI IZ ^ISLA DEPUTATOW gOSUDARSTWENNOJ dUMY WY- ^ESTX ^ISLO TEH IZ NIH, KOTORYE NE QWLQ@TSQ WOENNYMI, TO POLU^ITSQ TOT VE REZULXTAT, ^TO PRI WY^ITANII IZ ^ISLA WSEH WOENNYH ^ISLA TEH IZ NIH, KOTORYE NE QWLQ@TSQ DEPUTATAMI gOSUDARSTWENNOJ dUMY;

b) wERNO LI, ^TO ESLI IZ ^ISLA DEPUTATOW gOSUDARSTWENNOJ dUMY WY^ESTX ^ISLO TEH IZ NIH, KOTORYE QWLQ@TSQ WOENNYMI, TO POLU^ITSQ TOT VE REZULXTAT, ^TO ESLI IZ ^ISLA WOENNYH WY^ESTX ^ISLO TEH IZ NIH, KOTORYE QWLQ@TSQ DEPUTATAMI gOSUDARSTWENNOJ dUMY?

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]