vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

x 3. pERESE^ENIE I OB_EDINENIE

bULEWYMI OPERACIQMI OBY^NO NAZYWA@TSQ SLEDU@]IE ^ETYRE BINARNYE OPERACII NA MNOVESTWAH: PERESE^ENIE, OB_EDINENIE, RAZNOSTX, SIMMETRI^ESKAQ RAZNOSTX. sU]ESTWOWANIE WSEH OPERACIJ, KROME OB_EDINENIQ, GARANTIRUETSQ AKSIOMOJ ZF60, TAK KAK ZDESX REZULXTAT OPERACII WOZNIKAET KAK PODMNOVESTWO UVE IME@]EGOSQ MNOVESTWA. s DRUGOJ STORONY, SU]ESTWOWANIE OB_EDINENIQ NUVNO POSTULIROWATX OTDELXNO.

1. pERESE^ENIE. pERWAQ WAVNEJ[AQ OPERACIQ NAD MNOVESTWAMI, PERESE^ENIE (intersection, Durchschnitt) QWLQETSQ PROSTO PEREWODOM KON_@NKCII S INTENCIONALXNOGO NA \KSTENSIONALXNYJ QZYK.

oPREDELENIE. pERESE^ENIEM DWUH MNOVESTW X I Y NAZYWAETSQ MNOVESTWO X \ Y , SOSTOQ]EE IZ TEH I TOLXKO TEH \LEMENTOW, KO- TORYE PRINADLEVAT OBOIM MNOVESTWAM X I Y ,

X \ Y = fx 2 X j x 2 Y g = fx 2 Y j x 2 Xg:

uPOMQNUTAQ WY[E ANALOGIQ S KON_@NKCIEJ \KSPLICIRUETSQ SLEDU- @]IM OBRAZOM: ESLI X — PODMNOVESTWO MNOVESTWA U, WYDELENNOE SWOJSTWOM P , A Y — PODMNOVESTWO TOGO VE MNOVESTWA, WYDELQEMOE SWOJSTWOM Q, TO

X \ Y = fx 2 U j P (x)g \ fx 2 U j Q(x)g = fx 2 U j P (x) & Q(x)g:

w TERMINAH WKL@^ENIQ PERESE^ENIE MOVNO OPREDELITX TAK: PERESE^E- NIE MNOVESTW X I Y — \TO INFIMUM PARY fX; Y g, INYMI SLOWAMI, NAIBOLX[EE MNOVESTWO Z TAKOE, ^TO Z µ X I Z µ Y . w ^ASTNOSTI, X \ Y = X () X µ Y I, SOOTWETSWENNO, X \ Y = Y () Y µ X.

2. oB_EDINENIE. tO^NO TAK VE WTORAQ WAVNEJ[AQ OPERACIQ, OB_EDINENIE (union, Vereinigung), QWLQETSQ \KSTENSIONALXNYM ANALOGOM DIZ_@NKCII.

oPREDELENIE. oB_EDINENIEM MNOVESTW X I Y NAZYWAETSQ MNO-

VESTWO X [Y , SOSTOQ]EE IZ TEH I TOLXKO TEH \LEMENTOW, KOTORYE PRINADLEVAT PO KRAJNEJ MERE ODNOMU IZ MNOVESTW X I Y ,

X [ Y = fx j x 2 X _ x 2 Y g:

mY DOGOWORILISX, ^TO ZAPISX fx j P (x)g NE IMEET SMYSLA (PO KRAJNEJ MERE DO TEH POR, POKA NE PROWERENO, ^TO SWOJSTWO P QWLQETSQ KOLLEKTIWIZIRU@]IM), NO W DANNOM SLU^AE SU]ESTWOWANIE X [ Y GARANTIRUETSQ AKSIOMOJ ZF4.

Eq(f; 0) tO^NO TAK VE, RE[ITX URAWNENIE g(x; y) = 0 OZNA^AET NAJTI URAWNITELX Y = Eq(g; 0). rE[ITX SISTEMU URAWNENIJ

½f(x; y) = 0 g(x; y) = 0

OZNA^AET NAJTI PERESE^ENIE X \ Y \TIH URAWNITELEJ.

²w [KOLXNOM KURSE ALGEBRY ^ASTO POLXZU@TSQ ZAPISX@

·f(x; y) = 0 g(x; y) = 0

UKAZYWA@]EJ NA TO, ^TO MY I]EM MNOVESTWO PAR (x; y) 2 R2, UDOWLETWORQ@]IH HOTQ BY ODNOMU IZ URAWNENIJ, f(x; y) = 0 I g(x; y) = 0, T.E. W OBOZNA^ENIQH PREDYDU]EGO PRIMERA I]ETSQ OB_EDINENIE X [ Y .

² wO WSEH OSNOWNYH GRAFI^ESKIH PROGRAMMAH IMPLEMENTIROWANY OPERACII \ I [ NAD PLOSKIMI FIGURAMI. w Adobe Illustrator \TI OPERACII TAK I NAZYWA@TSQ Intersect I Unite.

zADA^A. ~EMU RAWNO PERESE^ENIE DWUH INTERWALOW WE]ESTWENNOJ OSI?

oTWET. pUSTX (a; b), a < b I (c; d), c < d, DWA INTERWALA. eSLI b · c ILI d · a, TO IH PERESE^ENIE PUSTO. eSLI VE b > c I d > a, TO PERESE- ^ENIE \TIH INTERWALOW QWLQETSQ INTERWALOM (max(a; c); min(b; d)).

zADA^A. rASSMOTRIM DWA INTERWALA WE]ESTWENNOJ OSI (a; b), a < b, I (c; d), c < d. kOGDA IH OB_EDINENIE SNOWA QWLQETSQ INTERWALOM? ~EMU ONO RAWNO W \TOM SLU^AE?

oTWET. tOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA (a; b) I (c; d) PERESEKA@TSQ, T.E. KOGDA c < b I a < d. w \TOM SLU^AE IH OB_EDINENIE RAWNO

(min(a; c); max(b; d)).

zADA^A. dOKAVITE SLEDU@]U@ LEMMU dANVU: ESLI TRI INTERWALA WE]ESTWENNOJ OSI IME@T OB]U@ TO^KU, TO PO KRAJNEJ MERE ODIN IZ NIH SODERVITSQ W OB_EDINENII DWUH DRUGIH.

rE[ENIE. pUSTX Ii = (ai; bi), ai < bi, GDE i = 1; 2; 3 – TRI INTERWALA. pO USLOWI@ NAJDETSQ TAKAQ TO^KA x 2 R, ^TO ai < x < bi DLQ WSEH i = 1; 2; 3. dWAVDY PRIMENQQ REZULXTAT PREDYDU]EJ ZADA^I, POLU^AEM

I1 [ I2 [ I3 = (min(a1; a2; a3); max(b1; b2; b3)):

wOZXMEM KAKOE-TO i TAKOE, ^TO min(a1; a2; a3) = ai. tEPERX WOZXMEM KAKOE-TO j 6= i TAKOE, ^TO max(b1; b2; b3) = bj, LIBO, ESLI TAKOGO j NE SU]ESTWUET (INA^E GOWORQ,

ESLI bi > bj DLQ j 6= i), TO WOOB]E L@BOE j 6= i. tOGDA Ii [Ij = (ai; bj) = I1 [I2 [I3, TAK ^TO, ESLI h INDEKS TAKOJ, ^TO fi; j; hg = f1; 2; 3g, TO Ih µ Ii [ Ij.

x 4. tOVDESTWA DLQ OB_EDINENIQ I PERESE^ENIQ: RE[ETKI

sAMU@ BOLX[U@ WELI^INU, WNE KOTOROJ NI^EGO NET, Q NAZYWA@ WELIKIM EDINSTWOM; SAMU@ MALU@ MALOSTX, WNUTRI KOTOROJ NI^EGO NET, Q NAZYWA@ MALYM EDINSTWOM. tO, ^TO NE OBLADAET TOL]INOJ, NE MOVET BYTX NAKOPLENO I WSE VE EGO GROMADA PROSTIRAETSQ NA TYSQ^U LI*. wELIKOE TOVDESTWO OTLI^AETSQ OT MALOGO TOVDESTWA — \TO Q NAZYWA@ MALYM RAZLI^IEM TOVDESTW. wSQ TXMA WE]EJ ABSOL@TNO TOVDESTWENNA I ABSOL@TNO RAZLI^NA — \TO Q NAZYWA@ BOLX[IM RAZLI^IEM TOVDESTW.

hU(\)J {I (CITIRUETSQ PO ~VUAN-CZY, gL. 33, pODNEBESNAQ)

w NASTOQ]EM PUNKTE MY USTANOWIM, ^TO BULEAN 2U PROIZWOLXNOGO MNOVESTWA U QWLQETSQ DISTRIBUTIWNOJ RE[ETKOJ S 0 I 1 OTNOSITELXNO OPERACIJ PERESE^ENIQ I OB_EDINENIQ.

1. oSNOWNYE TOVDESTWA. pERE^ISLIM OSNOWNYE TOVDESTWA, KOTORYM POD^INQ@TSQ OPERACII PERESE^ENIQ I OB_EDINENIQ. wSE \TI TOVDESTWA, KAK I TOVDESTWA WOZNIKA@]IE W DALXNEJ[EM, LEGKO DOKAZATX, POLXZUQSX SWOJSTWAMI LOGI^ESKIH SWQZOK I AKSIOMOJ OB_EMNOSTI. iNYMI SLOWAMI, DLQ TOGO, ^TOBY PROWERITX, ^TO X = Y NUVNO PROWERITX, ^TO DLQ L@BOGO x 2 X WYPOLNENO x 2 Y , A DLQ L@BOGO y 2 Y WYPOLNENO y 2 X. pRIMER TAKOJ PROWERKI, PRIWODITSQ W x ? PRI OBSUVDENII SWOJSTW SIMMETRI^ESKOJ RAZNOSTI. wSE OSTALXNYE PODOBNYE PROWERKI PROWODQTSQ PO TAKOJ VE SHEME I PREDOSTAWLQ@TSQ ^ITATEL@ W KA^ESTWE UPRAVNENIQ. nA^INA@]EMU NASTOQTELXNO REKOMENDUETSQ PROWESTI TRI-^ETYRE PODOBNYH DOKAZATELXSTWA SAMOSTOQTELXNO.

L1 aSSOCIATIWNOSTX

(X [ Y ) [ Z = X [ (Y [ Z); (X \ Y ) \ Z = X \ (Y \ Z):

L2 kOMMUTATIWNOSTX

L3 iDEMPOTENTNOSTX

*lI — KITAJSKAQ MERA DLINY, W RUSSKOM PEREWODE OBY^NO PEREDAETSQ KAK MILQ. tYSQ^A LI ILI DESQTX TYSQ^ LI — USTOJ^IWYE WYRAVENIQ, OBOZNA^A@]IE OGROMNOE RASSTOQNIE ILI PROTQVENNOSTX, NAPRIMER, ‘PUTX W TYSQ^U LI NA^INAETSQ S ODNOGO [AGA’ (dAO DE CZIN) ILI W ‘SKAKUNY cI-CZI I hUA-L@ ZA DENX PROBEGALI TYSQ^U LI’ (~VUAN-CZY, GLAWA 17, ‘oSENNIJ RAZLIW’).

tOVDESTWA ASSOCIATIWNOSTI I KOMMUTATIWNOSTI DLQ \TIH OPERACIJ BYLI QWNO SFORMULIROWANY bULEM. aSSOCIATIWNOSTI POZWOLQET OPREDELITX OB_EDINENIE I PERESE^ENIE L@BOGO KONE^NOGO SEMEJSTWA MNOVESTW. a IMENNO, MY MOVEM POLOVITX A [ B [ C = (A [ B) [ C I A \ B \ C = (A \ B) \ C. iDEMPOTENTNOSTX BYLA WPERWYE W QWNOJ FORME UPOMQNUTA lEJBNICEM, A POGLO]ENIE — gRASSMANOM. w PREDYDU]EM PARAGRAFE MY UVE WSTRE^ALISX S POGLO]ENIEM W FORME USLOW- NYH TOVDESTW: A µ B =) A \ B = A I, SOOTWETSTWENNO, A ¶ B =)

A [ B = A.

2. rE[ETKI. wWEDEM ODIN IZ WAVNEJ[IH KLASSOW ALGEBRAI^ESKIH SISTEM, WPERWYE OPREDELENNYJ W TAKOM WIDE |RNSTOM {REDEROM99 I rIHARDOM dEDEKINDOM100.

|RNST {REDER (25.11.1841, pFORCHAJM — 16.06.1902, kARLSRU\) — NEMEC-

KIJ LOGIK I ALGEBRAIST. s 1874 GODA BYL PROFESSOROM pOLITEHNI^ESKOGO iNSTITUTA W dARM[TADTE I kARSLU\. w OTLI^IE bULQ I BOLX[INSTWA EGO POSLEDOWATELEJ {REDER PERWYM NA^AL QWNYM OBRAZOM WYDELQTX, ^TO W ALGEBRE LOGIKI PRINIMAETSQ W KA^ESTWE AKSIOM, I DOKAZYWATX WSE OSTALXNOE. oN PERWYM QWNO SFORMULIROWAL NESKOLXKO WAVNYH PRINCIPOW W \TOJ OBLASTI, W TOM ^ISLE PRINCIP DWOJSTWENNOSTI.

dEDEKIND WPERWYE OTMETIL UNIWERSALXNOSTX \TOGO PONQTIQ I EGO WOZNIKNOWENIE ZA PREDELAMI LOGIKI I TEORII MNOVESTW, W TEORII ^ISEL101 I ALGEBRE (RE[ETKA DELITELEJ, RE[ETKA IDEALOW, RE[ETKA PODGRUPP, RE[ETKA NORMALXNYH PODGRUPP I T.D.).

oPREDELENIE. nEPUSTOE MNOVESTWO L, NA KOTOROM ZADANY DWE OPE- RACII \ I [, UDOWLETWORQ@]IE PERE^ISLENNYM WY[E TOVDESTWAM L1–L4, NAZYWAETSQ RE[ETKOJ.

99E.Schr¨oder, Algebra der Logik. Bd.I–III, Leipzig, 1890–1895. iMENNO W \TOJ KNIGE AKSIOMY L1–L4 WPERWYE QWNO WYDELENY IZ AKSIOM BULEWOJ ALGEBRY.

101wPERWYE \TI IDEI BYLI OPUBLIKOWANY W NAPISANNOM dEDEKINDOM PRILOVE-

NII K 4-MU IZDANII KNIGI P.G.Lejeune Dirichlet, Vorlesungen uber¨ Zahlentheorie, Braunschweig, 1894, ODNAKO W RUSSKOM PEREWODE (p.g.lEVEN dIRIHLE, lEKCII PO TEORII ^ISEL, onti, m.–l., 1936, S.1–403) \TO PRILOVENIE OPU]ENO!

RE[ETOK KAK ^ASTI^NO UPORQDO^ENNYH MNOVESTW.

iSTORI^ESKIJ KOMMENTARIJ. pRI \TOM pIRS S^ITAL WSE RE[ETKI DISTRIBUTIWNYMI, NA O[IBO^NOSTX ^EGO UKAZAL W 1894 GODU |.{REDER. oDNAKO pIRS PRODOLVAL NASTAIWATX NA SWOEM!!! wOT CITATA IZ PISXMA pIRSA hANTINGTONU103 OT 14.02.1904: “dELO W TOM, ^TO UPOMQNUTAQ STATXQ BYLA NAPISANA W DNI WYNUVDENNOGO DOSUGA, PREDOSTAWLENNOGO MNE SILXNEJ[IM GRIPPOM. gOTOWQ RABOTU K PE^ATI, Q OPUSTIL DOKAZATELXSTWO, OTMETIW, ^TO ONO “SLI[KOM DLINNOE I NEINTERESNOE” I ^TO ONO KAVETSQ MNE DOSTATO^NO O^EWIDNYM. nO KOGDA d-R {REDER USOMNILSQ W SAMOJ EGO WOZMOVNOSTI, Q OKAZALSQ NE W SOSTOQNII WOSSTANOWITX HOD EGO RASSUVDENIJ I PODUMAL, ^TO, TAKIM OBRAZOM, OBNARUVENA E]E ODNA IZ MNOGO^ISLENNYH W \TOJ RABOTE NELEPYH O[IBOK, KOTORYMI Q BYL OBQZAN GRIPPU.” iMENNO POD WLIQNIEM \TOJ DISKUSSII dEDEKIND I NA^AL IZU^ATX TOVDESTWA DISTRIBUTIWNOSTI I MODULQRNOSTI RE[ETOK.

3. rE[ETKA WE]ESTWENNYH FUNKCIJ. w DALXNEJ[EM NAM WSTRETITSQ MNOGO PRIMEROW RE[ETOK. oDNAKO, ^TOBY SRAZU DATX ^ITATEL@ MYSLENNYJ OBRAZ RE- [ETKI, KOTORAQ (NA PERWYJ WZGLQD!) OTLI^NA OT RE[ETKI MNOVESTW, PRIWEDEM SLEDU@]IJ PRIMER. pUSTX L = RR — MNOVESTWO WE]ESTWENNOZNA^NYH FUNKCIJ

WE]ESTWENNOGO ARGUMENTA. oPERACII [ I \ NA \TOM MNOVESTWE WWODQTSQ SLEDU@- ]IM OBRAZOM104

fUNKCIQ f [ g NAZYWAETSQ WERHNEJ OGIBA@]EJ FUNKCIJ f I g, A FUNKCIQ f \ g

— IH NIVNEJ OGIBA@]EJ.

zADA^A. pOKAVITE, ^TO L OBRAZUET (DISTRIBUTIWNU@) RE[ETKU OTNOSITELXNO WWEDENNYH OPERACIJ.

mNOGIE WAVNYE KLASSY FUNKCIJ ZAMKNUTY OTNOSITELXNO WERHNIH I NIVNIH OGIBA@]IH, DAVE ESLI ONI NE ZAMKNUTY OTNOSITELXNO DRUGIH OBY^NYH OPERACIJ, SKAVEM, OTNOSITELXNO PROIZWEDENIQ FUNKCIJ. nAPRIMER, TAKIM SWOJSTWOM OBLADAET KLASS WSEH FUNKCIJ, INTEGRIRUEMYH PO lEBEGU105.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO OTOBRAVENIE L ¡! L, f 7! ¡f, GDE (¡f)(x) = ¡f(x) QWLQETSQ DUALXNYM AWTOMORFIZMOM RE[ETKI L = RR, T.E.

¡(f [ g) = (¡f) \ (¡g); ¡(f \ g) = (¡f) [ (¡g):

pO^EMU W \LEMENTARNYH KURSAH ANALIZA NE PRINQTO GOWORITX OB \TOJ RE[ETKE? dELO W TOM, ^TO TAM PRINQTO WYRAVATX WSE SWOJSTWA \TOJ RE[ETKI PRI POMO]I ODNOJ UNARNOJ OPERACII j j : L ¡! L, f 7!fjj, OPREDELENNOJ POSREDSTWOM jfj = f [ (¡f). qSNO, ^TO [ I \ WYRAVA@TSQ W TERMINAH \TOJ OPERACII, HOTQ I NE O^ENX ESTESTWENNO:

103E.V.Huntington, Sets of independent postulates for the algebra of logic, Trans. Amer. Math. Soc., 1904, vol.5, p.288–309, SM TAKVE [Salii], STR.48–50.

104sM., NAPRIMER, K.Maurin, Analiza, I. Elementy. — PWN, Warszawa, 1971, p.1–486, STR. 311 I DALEE.

105b.gELBAUM, dV.oLMSTED, kONTRPRIMERY W ANALIZE. — mIR, m., 1967, S.1– 251. gLAWA 13.

nO, KONE^NO, BOLEE KOMPETENTNYE I ALGEBRAI^ESKI NASTROENNYE ANALISTY* QWNYM OBRAZOM WWODQT NA L STRUKTURU, OPREDELENNU@ OPERACIQMI [ I \.

4. nEJTRALXNYE \LEMENTY. pRODOLVIM RASSMOTRENIE RE[ETKI L = 2U WSEH PODMNOVESTW FIKSIROWANNOGO MNOVESTWA U. w \TOJ RE- [ETKE ESTX \LEMENTY

L50 sU]ESTWOWANIE NULQ

X \ ? = ?; X [ ? = X:

L500 sU]ESTWOWANIE EDINICY

X \ U = X; X [ U = U:

w ABSTRAKTNYH RE[ETKAH \TI \LEMENTY OBY^NO OBOZNA^A@TSQ ^EREZ 0 I 1, ^TO I OB_QSNQET IH NAZWANIQ. zAMETIM, ^TO, WOOB]E GOWORQ, ONI NE OBQZANY SU]ESTWOWATX. tAK, NAPRIMER, ESLI MNOVESTWO U BESKONE^NO, TO W V(U) ESTX 0, NO NET 1, A W Cof(U) ESTX 1, NO NET 0. rE[ETKA L NAZYWAETSQ RE[ETKOJ S 0 I 1, ESLI W NEJ SU]ESTWU@T \LEMENTY, UDOWLETWORQ@]IE AKSIOMAM L50 I L500, SOOTWETSTWENNO. kAK TOLXKO ^TO OTME^ENO, 2U — RE[ETKA S 0 I 1.

pREDOSTEREVENIE. nA[A NUMERACIQ AKSIOM SLEGKA OTLI^AETSQ OT PRINQTOJ SPECIALISTAMI PO TEORII RE[ETOK. a IMENNO, WO-PERWYH, TAK KAK TOVDESTWO ASSOCIATIWNOSTI PREDSTAWLQETSQ MNE SAMYM FUNDAMENTALXNYM IZ WSEH, Q PERESTAWIL AKSIOMY L1 I L3, POSTAWIW EGO NA PERWOE MESTO. wO-WTORYH, WMESTO SU]ESTWOWANIQ 0 I 1 W [Bi2] W KA^ESTWE AKSIOMY L5 FIGURIRUET MODULQRNOSTX.

x 5. tOVDESTWA, SWQZYWA@]IE PERESE^ENIE S OB_EDINENIEM: DISTRIBUTIWNYE I MODULQRNYE RE[ETKI

dO SIH POR MY IZU^ALI \ I [ PO OTDELXNOSTI. sEJ^AS MY POSMOTRIM, KAK ONI SWQZANY MEVDU SOBOJ.

1. dISTRIBUTIWNOSTX. w DEJSTWITELXNOSTI OPERACII OB_EDINENIQ I PERESE^ENIQ DISTRIBUTIWNY DRUG OTNOSITELXNO DRUGA. tAK KAK MY UVE ZNAEM, ^TO \TI OPERACII KOMMUTATIWNY, DOSTATO^NO ZAPISATX TOVDESTWA LEWOJ DISTRIBUTIWNOSTI.

*nEKOTORYE ANALITIKI (analyst) WOZRAVA@T PROTIW NEDISKRIMINIROWANNOGO ISPOLXZOWANIQ FORMY ANALIST, ODNAKO \TA FORMA WPOLNE OTWE^AET PRAWILAM RUSSKOGO QZYKA, PARALLELXNA TAKIM OB]EUPOTREBITELXNYM SLOWAM, KAK DAOSIST, ALGEBRAIST, DIFFURIST, PROBABILIST, TAKSIDERMIST I MNOGOKRATNO ISPOLXZOWALASX nABOKOWYM,

KOTORYJ GOWORIL PSIHOANALIST, A NE PSIHOANALITIK: Are you an Analyst? | I am an Oralist.

MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive 109

L6 dISTRIBUTIWNOSTX.

A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C); A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C);

dISTRIBUTIWNOSTX PERESE^ENIQ OTNOSITELXNO OB_EDINENIQ BYLA WPERWYE QWNO SFORMULIROWANA bULEM, A OB_EDINENIQ OTNOSITELXNO PERESE^ENIQ — pIRSOM. wOOB]E GOWORQ, L6 NE WYTEKAET IZ OSTALXNYH AKSIOM, RE[ETKA, DLQ KOTOROJ ONA WYPOLNQETSQ, NAZYWAETSQ DISTRIBUTIWNOJ. w DALXNEJ[EM NAM WSTRETITSQ MNOGO RE[ETOK, KOTORYE NE QWLQ@TSQ DISTRIBUTIWNYMI, SKAVEM, RE[ETKA PODPROSTRANSTW WEKTORNOGO PROSTRANSTWA, RE[ETKA PODGRUPP GRUPPY, I T.D. oKAZYWAETSQ, S U^ETOM PREDYDU]IH AKSIOM DOSTATO^NO PROWERQTX TOLXKO ODIN IZ FIGURIRU@]IH W L6 ZAKONOW DISTRIBUTIWNOSTI (SM. [Bi2], tEOREMA 9 NA STR.24).

zADA^A. pUSTX L — ABSTRAKTNAQ RE[ETKA. pROWERXTE, ^TO KAVDYJ IZ ZAKONOW DISTRIBUTIWNOSTI WLE^ET WTOROJ ZAKON.

sLEDU@]IJ ZAME^ATELXNYJ REZULXTAT UTWERVDAET, ^TO W DEJSTWITELXNOSTI NIKAKIH DISTRIBUTIWNYH RE[ETOK, KROME PODRE[ETOK W 2U , NET.

tEOREMA bIRKGOFA. wSQKAQ DISTRIBUTIWNAQ RE[ETKA IZOMORFNA PODRE[ETKE W 2U DLQ PODHODQ]EGO MNOVESTWA U.

dOKAZATELXSTWO \TOJ TEOREMY NESLOVNO, NO ISPOLXZUET NEKOTORYE KONSTRUKCII OB]EJ ALGEBRY (TAKIE, SKAVEM, KAK PODPRQMOE PROIZWEDENIE), PO\TOMU MY NE MOVEM EGO ZDESX PRIWESTI, SM., NAPRIMER, [Sal],

STR. 34–35.

2. mODULQRNOSTX. w DEJSTWITELXNOSTI, BOLX[INSTWO REALXNO WOZNIKA@]IH W ALGEBRE RE[ETOK NE QWLQ@TSQ DISTRIBUTIWNYMI, NO UDOWLETWORQ@T NESKOLXKO BOLEE SLABOMU USLOWI@ MODULQRNOSTI, WPERWYE OTME^ENNOMU dEDEKINDOM.

zADA^A. pOKAVITE, ^TO ESLI L DISTRIBUTIWNAQ RE[ETKA, TO DLQ EE \LEMENTOW WYPOLNENO SLEDU@]EE TOVDESTWO MODULQRNOSTI

(X \ Z) [ (Y \ Z) = ((X \ Z) [ Y ) \ Z:

oDNAKO ^A]E USLOWIE MODULQRNOSTI FORMULIRU@T NE W WIDE TOVDESTWA, A W WIDE USLOWNOGO TOVDESTWA (W OB]EJ ALGEBRE USLOWNYE TOVDESTWA PRINQTO NAZYWATX

KWAZITOVDESTWAMI).

zADA^A. dOKAVITE, ^TO WYPOLNENIE TOVDESTWA MODULQRNOSTI \KWIWALENTNO WY-

POLNENI@ SLEDU@]EGO KWAZITOVDESTWA MODULQRNOSTI

X · Z =) X [ (Y \ Z) = (X [ Y ) \ Z:

rE[ENIE. w SAMOM DELE, PREDPOLOVIM, ^TO WYPOLNQETSQ TOVDESTWO MODULQRNOSTI. tOGDA, ESLI X · Z, TO

X [ (Y \ Z) = (X \ Z) [ (Y \ Z) = ((X \ Z) [ Y ) \ Z = (X [ Y ) \ Z:

oBRATNO, ESLI WERNO KWAZITOVDESTWO MODULQRNOSTI, TO, TAK KAK X \ Z · Z, EGO MOVNO PRIMENITX K (X \ Z) [ (Y \ Z).

rE[ETKA NAZYWAETSQ MODULQRNOJ ILI DEDEKINDOWOJ, ESLI W NEJ WYPOLNQETSQ TOVDESTWO MODULQRNOSTI. kAK TOLXKO ^TO BYLO ZAME^ENO, KAVDAQ DISTRIBUTIWNAQ RE[ETKA MODULQRNA. oDNAKO OBRATNOE, WOOB]E GOWORQ, BEZNADEVNO NEWERNO: RE[ETKI PODPROSTRANSTW WEKTORNOGO PROSTRANSTWA, IDEALOW KOLXCA, NORMALXNYH PODGRUPP GRUPPY I T.D. MODULQRNY, NO NE DISTRIBUTIWNY! a RE[ETKA WSEH PODGRUPP GRUPPY, WOOB]E GOWORQ, NE QWLQETSQ DAVE MODULQRNOJ.

x 6. mEDIANA

w DEJSTWITELXNOSTI OBE OPERACII \ I [ LEGKO WOSSTANAWLIWA@TSQ PO ODNOJ TERNARNOJ OPERACII NA PODMNOVESTWAH. sLEDU@]IJ CIKL ZADA^ WZQT IZ KNIGI gARRETA bIRKGOFA [Bi1], W OSOBENNOSTI STR. 196–197.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO ESLI L — DISTRIBUTIWNAQ RE[ETKA, TO

(X \ Y ) [ (Y \ Z) [ (Z \ X) = (X [ Y ) \ (Y [ Z) \ (Z [ X):

oPREDELIM TEPERX MEDIANU TREH MNOVESTW RAWENSTWOM

M(X; Y; Z) = (X \ Y ) [ (X \ Z) [ (Z \ X)

kAK POKAZYWAET PREDYDU]AQ ZADA^A, MY MOGLI BY W \TOM OPREDELENII POMENQTX MESTAMI \ I [.

zADA^A. uBEDITESX, ^TO MEDIANA X; Y; Z SOSTOIT IZ TEH \LEMENTOW, KOTORYE PRINADLEVAT PO KRAJNEJ MERE DWUM IZ MNOVESTW X; Y; Z.

w ^ASTNOSTI, MEDIANA SIMMETRI^NA OTNOSITELXNO L@BYH PERESTANOWOK X; Y; Z:

M(X; Y; Z) = M(X; Z; Y ) = M(Y; X; Z) = M(Y; Z; X) = M(X; Y; Z) = M(Z; Y; X):

sMYSL WWEDENIQ MEDIANY SOSTOIT W TOM, ^TO ONA OPISYWAET TEORETIKO-MNOVEST- WENNOE OTNO[ENIE LEVATX MEVDU W TOM VE SAMOM DUHE, W KAKOM \ I [ OPISYWA@T OTNO[ENIQ µ I ¶.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO M(X; Y; Z) = Z W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA X \Y µ Z µ X [ Y .

zADA^A. dOKAVITE, ^TO M(X; Y; Z) = W W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA

X \ Y µ W µ X [ Y; X \ Y µ W µ X [ Y; X \ Y µ W µ X [ Y:

uKAZANIE. iSPOLXZUJTE REZULXTATY PREDYDU]IH ZADA^!

pEREJDEM TEPERX K RASSMOTRENI@ SLU^AQ, KOGDA WSE NA[I PODMNOVESTWA QWLQ- @TSQ PODMNOVESTWAMI FIKSIROWANNOGO UNIWERSALXNOGO MNOVESTWA U.