vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv
.pdf
MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive |
11 |
WA@TSQ TEORETIKO-KATEGORNYE ASPEKTY \TIH PONQTIJ (MNOVESTWO WSEH OTOBRAVENIJ Map(X; Y ), UNIWERSALXNOE SWOJSTWO, FUNKTORIALXNOSTX, KOWARIANTNOSTX I KONTRAWARIANTNOSTX, OPREDELENIE IN_EKCIJ I S@R_EKCIJ KAK MONOMORFIZMOW I \PIMORFIZMOW ILI KAK KORETRAKCIJ I RETRAKCIJ I T.D.).
kTO DOLVEN PRO^ESTX \TU KNIGU
kAVDYJ, KTO IZU^AET MATEMATIKU, PROGRAMMIROWANIE, TEORI@ kAVDYJ, KTO PREPODAET MATEMATIKU W
kAVDYJ, KTO ISPOLXZUET ILI SOBIRAETSQ ISPOLXZOWATX MATEMATIKU
— W POISKAH NOWYH METAFOR, ...
kAVDYJ, KTO UMEET ^ITATX PO-RUSSKI. |TA KNIGA QWLQETSQ PAMQTNIKOM RUSSKOJ SLOWESNOSTI.
~EGO NET W \TOJ KNIGE
sOBSTWENNO AKSIOMATI^ESKOJ TEORII MNOVESTW, KAK W LOGI^ESKIH ASPEKTAH
wSEJ SHOLASTI^ESKOJ TEORII BESKONE^NYH KARDINALOW I ORDINALOW, NE IME@]EJ SWQZEJ S NASTOQ]EJ MATEMATIKOJ.
bESKONE^NOJ KOMBINATORIKI tEORII TOPOSOW.
Mengenlehre: QZYK, INSTRUMENT, DOKTRINA I TEORIQ
mATERIQ ESTX OB_EKTIWNAQ REALXNOSTX, DANNAQ NAM bOGOM W O]U]ENIQH.
fRIDRIH |NGELXS
tO^NOE ZNANIE AKSIOM NE QWLQETSQ OBQZATELXNYM. nO OBQZATELXNOJ QWLQETSQ WERA W TO, ^TO WSQ KLASSI^ESKAQ MATEMATIKA SLEDUET IZ \TIH AKSIOM.
dVON bERDVES4
gOWORQ O TEORII MNOVESTW RAZNYE AWTORY PODRAZUMEWA@T, PO KRAJNEJ MERE TRI PRINCIPIALXNO RAZLI^NYE WE]I:
² nAIWNU@ TEORI@ MNOVESTW. iSTORIQ NAIWNOJ TEORII MNOVESTW NAS^ITYWAET PO KRAJNEJ MERE 3–4 TYSQ^I LET. nAPRIMER, TRADICIONNYJ PORQDOK GEKSAGRAMM i cZIN, PRIPISYWAEMYJ fU sI, SODERVIT TABLICY k\LI DLQ BULEWYH OPERACIJ NA KONE^NYH MNOVESTWAH5.
4dV.p.bERDVES, wYNUVDENIE. – sTR. 99–157 W KNIGE [ML].
5`.k.}UCKIJ, kLASSI^ESKAQ KITAJSKAQ ‘kNIGA PEREMEN’. — iZD-WO ‘wOSTO^NAQ lITERATURA’ ran, m., 1997, S.1–605; SM. FORZAC, SHEMY 8 I 10.
12 |
NIKOLAJ WAWILOW |
uVE W SOWER[ENNO SOWREMENNOM WIDE WSQ NAIWNAQ TEORIQ MNOVESTW (PRINADLEVNOSTX, WKL@^ENIE, SWOJSTWA BULEWYH OPERACIJ, DEKARTOWO PROIZWEDENIE, KONE^NAQ KOMBINATORIKA I T.D.) BYLA RAZWITA W XVII
— XVIII WEKAH pXEROM DE fERMA, rENE dEKARTOM, gOTTFRIDOM FON lEJBNICEM, qKOBOM I iOGANNOM bERNULLI I lEONARDOM |JLEROM.
² kANTOROWSKOE U^ENIE O MNOVESTWAH. oBRATITE WNIMANIE,
^TO NEMECKIJ ORIGINAL GOWORIT O Mengenlehre, A WOWSE NE Mengentheorie! iNYMI SLOWAMI, O TEORETIKO-MNOVESTWENNOJ DOKTRINE* ILI
U^ENII, NO NE O TEORII!!! oSNOWY \TOGO U^ENIQ BYLI ZALOVENY W XIX WEKE bERNARDOM bOLXCANO, gEORGOM kANTOROM I rIHARDOM dEDEKINDOM. kAK WSQKOE U^ENIE, U^ENIE O MNOVESTWAH IMEET FAKTI^E- SKIE, TEORETI^ESKIE, DOKTRINALXNYE I RITUALXNYE ASPEKTY. oSNOWOJ \TOGO U^ENIQ, EGO SIMWOLOM WERY QWLQETSQ PO^TI NEOGRANI^ENNOE PRINQTIE AKTUALXNOJ BESKONE^NOSTI. nET SOMNENIQ, ^TO \TO KREDO W ZNA^ITELXNOJ STEPENI OPREDELILO MATEMATIKU XX WEKA I OTWETSTWENNO ZA WSE EE DOSTIVENIQ.
bERNARD bOLXCANO (Bolzano, 05.10.1781, pRAGA — 18.12.1848, pRAGA) —
^E[SKIJ MATEMATIK I TEOLOG, OSNOWNYE MATEMATI^ESKIE RABOTY KOTOROGO OTNOSQTSQ K OBOSNOWANI@ ANALIZA. w 1805 GODAH ZANQL KAFEDRU FILOSOFII RELIGII W pRAVSKOM UNIWERSITETE, NO W 1819 GODU POSLE KLQUZY pAPY K iMPERATORU BYL OTSTRANEN OT DOLVNOSTI I SOSLAN W DEREWN@ POD NADZOR POLICII, S LI[ENIEM PRAWA PUBLI^NYH WYSTUPLENIJ I PUBLIKACIJ. w pRAGU SMOG WERNUTXSQ LI[X 1842 GODU. pO OPISANYM WY[E PRI^INAM MNOGIE IZ EGO REZULXTATOW WO[LI W ISTORI@ POD IMENAMI kO[I, wEJER[TRASSA, dEDEKINDA I kANTORA. w 1830 GODU (ZA 30 LET DO ZNAMENITOGO PRIMERA wEJER[TRASSA!) W KNIGE ‘u^ENIE O FUNKCIQH’ bOLXCANO POSTROIL PRIMER NEPRERYWNOJ KRIWOJ, NE IME@]EJ KASATELXNOJ NI W ODNOJ TO^KE. w KURSE ANALIZA WSTRE^A@TSQ TEOREMY bOLXCANO, bOLXCANO-wEJER[TRASSA, I T.D. bYL PRED[ESTWENNIKOM kANTORA W INTERESE K MATEMATI^ESKOMU IZU^ENI@ PONQTIQ AKTUALXNOJ BESKONE^NOSTI. w KNIGE ‘pARADOKSY BESKONE^NOGO’ bOLXCANO OPREDELIL BESKONE^NOE MNOVESTWO KAK MNOVESTWO, \KWIWALENTNOE SWOEJ SOBSTWENNOJ ^ASTI
— TO, ^TO SEGODNQ NAZYWAETSQ BESKONE^NOSTX@ PO dEDEKINDU.
² nAKONEC, AKSIOMATI^ESKU@ TEORI@ MNOVESTW. |TA RAZWITAQ W XX WEKE TEORIQ PREDSTAWLQET SOBOJ W WYS[EJ STEPENI SPECIALIZIROWANNNU@ OBLASTX PROFESSIONALXNYH ISSLEDOWANIJ, S TRUDNYMI I GLUBOKIMI REZULXTATAMI. wLADENIE DETALQMI \TOJ TEORII NE QWLQETSQ NEOBHODIMYM BOLX[INSTWU MATEMATIKOW. ~TO, ODNAKO, POLEZNO ZNATX KAVDOMU MATEMATIKU, TAK \TO TO, ^TO \TA TEORIQ SPOSOBNA SLUVITX
*dOKTRINA — U^ENIE, WEROU^ENIE, SISTEMA FILOSOFSKIH, RELIGIOZNYH, IDEOLOGI^ESKIH ILI TEORETI^ESKIH WZGLQDOW.
MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive |
13 |
gEORG kANTOR (Georg Cantor, 03.03.1845, sANKT-pETERBURG — 06.01.1918, gALLE) — U^ILSQ W ETH W c@RIHE, bERLINSKOM I gETTINGENSKOM uNIWERSITETAH. s 1869 GODA RABOTAL W uNIWERSITETE gALLE, GDE W 1879 GODU BYL IZBRAN ORDINARNYM PROFESSOROM. eGO RANNIE RABOTY OTNOSILISX K TEORII ^ISEL I TEORII FUNKCIJ. nA^INAQ S SEREDINY 1870-H GODOW EGO INTERESY PERENOSQTSQ NA MATEMATI^ESKU@ TRAKTOWKU PONQTIQ AKTUALXNOJ BESKONE^- NOSTI. sOZDANIE IM TEORII MNOVESTW BYLO, NESOMNENNO, ODNIM IZ SAMYH REWOL@CIONNYH OTKRYTIJ WO WSEJ ISTORII NAUKI. w 1874 GODU kANTOR DOKAZAL NES^ETNOSTX MNOVESTWA WE]ESTWENNYH ^ISEL, A W 1878 GODU WWEL PONQTIQ KARDINALXNYH I ORDINALXNYH ^ISEL, KOTORYE GLUBOKO ISSLEDOWAL W CIKLE RABOT 1879–1884 GODOW. w NA[EM KURSE WSTRE^A@TSQ AKSIOMA kANTORA, PARADOKS kANTORA, TEOREMA kANTORA—bERN[TEJNA, NESKOLXKO TEOREM kANTORA O MO]NOSTQH, POSTROENIE WE]ESTWENNYH ^ISEL PO kANTORU I T.D. pOSLEDNIE DESQTILETIQ EGO VIZNI BYLI OMRA^ENY RAZWQZNOJ I NESPRAWEDLIWOJ TRAWLEJ SO STORONY NEKOTORYH FILOSOFOW I MATEMATIKOW, KOTORAQ PRIWELA K TQVELOMU PSIHI^ESKOMU ZABOLEWANI@. oSNOWNYE RABOTY kANTORA PO TEORII MNOVESTW OPUBLIKOWANY W Mathematische Annalen W 1878–1897 GODAH. |TI RABOTY PEREWEDENY NA RUSSKIJ W KNIGE gEORG kANTOR, tRUDY PO TEORII MNO-
VESTW. — nAUKA, m., 1985, S.1–431.
rIHARD `LIUS wILXGELXM dEDEKIND (Richard Dedekind, 06.10.1831, bRAUN[WEJG — 12.02.1916, ibid.) — OB]EPRIZNANNYJ KLASSIK NAUKI XIX WEKA, NEPOSREDSTWENNYJ U^ENIK gAUSSA I dIRIHLE, I BLIZKIJ DRUG rIMANA dEDEKIND BYL ODNIM IZ OSNOWOPOLOVNIKOW SOWREMENNOJ ALGEBRY I ALGEBRAI^ESKOJ TEORII ^ISEL. pOSLE OBU^ENIQ W bRAUN[WEJGE, GDE ON UWLEKALSQ GLAWNYM OBRAZOM HIMIEJ I FIZIKOJ, W 1850 GODU dEDEKIND POSTUPIL W uNIWERSITET gETTINGENA. w 1858 GODU NA^AL PREPODAWATX W ETH W c@RIHE. pRINQW \TO PREDLOVENIE dEDEKIND NA^AL DLITELXNU@ TRADICI@, KOGDA RABOTA W c@RIHE BYLA DLQ NEMECKIH ALGEBRAISTOW PERWYM [AGOM DLQ POLU- ^ENIQ PROFESSORSKOJ DOLVNOSTI W gERMANII, POSLE dEDEKINDA TEM VE PUTEM PRO[LI fROBENIUS, gURWIC, wEBER, mINKOWSKIJ I MNOGIE DRUGIE. w 1862 GODU dEDEKIND WERNULSQ W bRAUN[WEJGSKIJ POLITEHNI^ESKIJ INSTITUT, GDE RABOTAL DO SAMOJ SMERTI. dEDEKIND PERWYM WKL@^IL W UNIWERSITETSKIJ KURS ALGEBRY TEORI@ POLEJ I TEORI@ gALUA, WWEL PONQTIQ KOLXCA I IDEALA. mNOGO RAZMY[LQL NAD PROBLEMAMI OBOSNOWANIQ MATEMATIKI, I TEORIEJ MNOVESTW. {IROKOJ PUBLIKE IZWESTEN SWOEJ PORQDKOWOJ KONSTRUKCIEJ WE- ]ESTWENNYH ^ISEL (DEDEKINDOWY SE^ENIQ). w ^ESTX NEGO NAZWANY DEDEKINDOWY KOLXCA, DEDEKINDOWY RE[ETKI. w NA[EM KURSE WSTRE^A@TSQ TEOREMA kRONEKERA—dEDEKINDA, FORMULA mEBIUSA—dEDEKINDA, LEMMA dEDEKINDA, LEMMA dEDEKINDA—aRTINA I T.D., A TAKVE DESQTKI WWEDENNYH IM TERMINOW: OTOBRAVENIE, IDEAL, KOMMUTATOR, GAMILXTONOWY GRUPPY, ...
NADEVNYM OSNOWANIEM DLQ FORMALIZACII WSEH OBY^NYH PONQTIJ, ISPOLXZUEMYH W KLASSI^ESKOJ MATEMATIKE.
w NASTOQ]EJ KNIGE TEORIQ MNOVESTW INTERESUET NAS, PREIMU]E- STWENNO KAK QZYK I INSTRUMENT. oDNAKO SERXEZNYJ ^ITATELX DOLVEN POLNOSTX@ OTDAWATX SEBE OT^ET W TOM, ^TO SOZNATELXNO OWLADETX
14 |
NIKOLAJ WAWILOW |
\TIM QZYKOM I PROFESSIONALXNO ISPOLXZOWATX \TOT INSTRUMENT NEWOZMOVNO, NE PRIOB]IW[ISX HOTQ BY K OSNOWAM\ TEORETIKO-MNOVESTWEN- NOJ DOKTRINY I NE OWLADEW RUDIMENTAMI AKSIOMATI^ESKOJ TEORII MNOVESTW.
x 1. mNOVESTWO KAK OPREDELQEMOE PONQTIE
tUZEMCY BOLX[EJ ^ASTX@ POLAGA@T, ^TO aNGLIQ, lONDON I sEWERNAQ aMERIKA SUTX RAZLI^NYE NAZWANIQ ODNOGO I TOGO VE MESTA: ODNAKO NAHODILISX I L@DI BOLEE SWEDU]IE, – ONI ZNALI, ^TO lONDON I sEWERNAQ aMERIKA – OTDELXNYE, NO SOSEDNIE MEVDU SOBOJ STRANY, A aNGLIQ – \TO BOLX[OJ GOROD W lONDONE.
~ARLXZ dARWIN6
w TO WREMQ, NEZADOLGO DO \KSPEDICII pIRI, cERMELO NRAWILOSX DOKAZYWATX NEWOZMOVNOSTX DOSTIVENIQ sEWERNOGO PO- L@SA. oN UTWERVDAL, ^TO KOLI^ESTWO WISKI, TREBUEMOE DLQ DOSTIVENIQ NEKOTOROJ [IROTY, PROPORCIONALXNO TANGENSU \TOJ [IROTY, TEM SAMYM ONO STREMITSQ K BESKONE^NOSTI PRI PRIBLIVENII K POL@SU. kOGDA PRIEZVAW[IE W gETTINGEN MATEMATIKI ZADAWALI EMU WOPROS O EGO FAMILII, ON OTWE- ^AL IM: “kOGDA-TO ONA ZWU^ALA KAK Walzermelodie, NO ZATEM PRI[LOSX UBRATX PERWYJ I POSLEDNIJ SLOGI”.
kONSTANS rID7.
sOWREMENNOMU MATEMATIKU NIKOGDA NE PRIDET W GOLOWU, ^TO KAKAQ-TO KOMBINACIQ MATEMATI^ESKIH SIMWOLOW MOVET IMETX SMYSL DO TOGO, KAK EJ PRIDAN SMYSL S POMO]X@ OPREDELENIQ. nO \TO NE BYLO TRIWIALXNOSTX@ DAVE DLQ NAIBOLEE WYDA- @]IHSQ MATEMATIKOW WOSEMNADCATOGO WEKA. oPREDELENIQ NE BYLI W IH OBY^AE; DLQ NIH NE BYLO ESTESTWENNO GOWORITX “POD X MY PONIMAEM Y ”. s NEKOTORYMI OGOWORKAMI WERNO BUDET SKAZATX, ^TO MATEMATIKI DO kO[I SPRA[IWALI NE “KAK OPREDELITX 1 ¡1 + 1 ¡: : : ?”, A “^TO ESTX 1 ¡1 + 1 ¡: : : ?”; I \TOT SKLAD MY[LENIQ PRIWODIL IH K NENUVNYM ZATRUDNENIQM I SPORAM, ZA^ASTU@, PO SU]ESTWU, ^ISLO LINGWISTI^ESKOGO HARAKTERA.
\o BOLX[EM RE^I NE IDET. pONIMANIE WSEH BOLEE GLUBOKIH SLOEW kANTOROWSKOJ DOKTRINY BEZ SWOBODNOGO WLADENIQ NEMECKIM QZYKOM NEWOZMOVNO. pERESKAZATX NA DRUGOM QZYKE TEKSTY kANTORA, STOLX VE NEWOZMOVNO, KAK, SKAVEM, PERESKAZATX TEKSTY nOWALISA, nIC[E, {PENGLERA ILI `NGA. wSE IZWESTNYE MNE PEREWODY NE TOLXKO RAZRU[A@T O^AROWANIE, NO I GRUBO ISKAVA@T TONALXNOSTX, A ^ASTO I SMYSL SKAZANNOGO.
6~.dARWIN, pUTE[ESTWIE NATURALISTA, gL. III. 7k.rID, gILXBERT, S.131–132
MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive |
15 |
gAROLXD hARDI8
pOSLE TOGO, KAK DANY NAZWANIQ IZU^AEMYM OB_EKTAM I IH OSNOWNYM OTNO[ENIQM, A TAKVE AKSIOMY, KOTORYM \TI OTNO[ENIQ DOLVNY POD^INQTXSQ, WSE DALXNEJ[EE IZLOVENIE DOLVNO OSNOWYWATXSQ ISKL@^ITELXNO NA \TIH AKSIOMAH, NE OPIRAQSX NA OBY^NOE KONKRETNOE ZNA^ENIE \TIH OB_EKTOW I IH OTNO[ENIJ.
aNDREJ kOLMOGOROW9
1. mNOVESTWO KAK “NEOPREDELQEMOE” PONQTIE. ~ASTO PRIHODIT-
SQ ^ITATX, ^TO PONQTIE MNOVESTWA QWLQETSQ PERWI^NYM I, PO\TOMU, NEOPREDELQEMYM. wOT, ^TO NAPISANO PO \TOMU POWODU W KLASSI^ESKOM U^EBNIKE |DUARDA gURSA10: “mY UVE NESKOLXKO RAZ UPOTREBLQLI SLOWO MNOVESTWO. pONQTIE MNOVESTWA PRINADLEVIT K ^ISLU TEH, KOTORYE, PO-WIDIMOMU, BESPOLEZNO OPREDELQTX INA^E, KAK S POMO]X@ PRIMEROW. wSQKAQ SOWOKUPNOSTX PREDMETOW W KONE^NOM ILI BESKONE^NOM ^ISLE SOSTAWLQET MNOVESTWO.” a WOT, ^TO GOWORITSQ W U^EBNIKE lUZINA11: “~TO TAKOE “MNOVESTWO”? mY NE STANEM DOBIWATXSQ OTWETA NA \TOT WOPROS, POTOMU ^TO PONQTIE MNOVESTWA QWLQETSQ STOLX PERWONA^ALXNYM, ^TO ZATRUDNITELXNO, PO KRAJNEJ MERE NA SEGODNQ[NIJ DENX, OPREDELITX EGO PRI POMO]I BOLEE PROSTYH PONQTIJ. : : : iTAK, MY NE STANEM ISKATX OPREDELENIQ SLOWA “MNOVESTWO”. mOVNO, RAZUMEETSQ, BYLO BY SKAZATX, ^TO MNOVESTWO ESTX “SOBRANIE”, “KOLLEKCIQ”, “KLASS”, “SISTEMA”, “SEMEJSTWO”, “KOMPLEKS”, “ANSAMBLX”, I TAK DALEE. nO TAKAQ ZAMENA ODNOGO SLOWA DRUGIM NIKOGDA NE MOVET DATX SAMU IDE@ MNOVESTWA TOMU, KTO RANX[E NE PRIOBREL EE KAKIM-NIBUDX OBRAZOM.”
|TO ZABLUVDENIE BOLEE ^EM WEKOWOJ DAWNOSTI ^ASTO POWTORQETSQ W RUKOWODSTWAH PO TAK NAZYWAEMOMU MATEMATI^ESKOMU ANALIZU I DRUGIH NAU^NO-POPULQRNYH SO^INENIQH I SEJ^AS (I@NX 2005 GODA). ~A- STO I SEGODNQ PRIHODITSQ ^ITATX, ^TO MNOVESTWO ESTX PROSTO SINONIM SLOW SOWOKUPNOSTX, KLASS, SEMEJSTWO, SOBRANIE. |TO SOWER[ENNO NE TAK: MNOVESTWO ESTX ABSOL@TNO TO^NO OPREDELENNYJ MATEMATI^E- SKIJ TERMIN DLQ KLASSOW, OBRAZOWANNYH PO ^REZWY^AJNO PROSTYM
8g.g.hARDI, rASHODQ]IESQ RQDY. — l., 1951, S.1–504; STR.19.
9a.n.kOLMOGOROW, oSNOWNYE PONQTIQ TEORII WEROQTNOSTEJ. — m., 1974, S.1–120; STR.9.
10|.gURSA, kURS MATEMATI^ESKOGO ANALIZA, T.1. — m., onti, 1936, STR.19.
11n.n.lUZIN, tEORIQ FUNKCIJ DEJSTWITELXNOGO PEREMENNOGO. — gupi, m., 1948, S.1–318; STR.7.
16 |
NIKOLAJ WAWILOW |
QWNO OPISANNYM PRAWILAM, I, W ^ASTNOSTI, OTN@DX NE L@BAQ BES-
KONE^NAQ SOWOKUPNOSTX PREDMETOW BUDET OBRAZOWYWATX MNOVE-
STWO*.
eSLI ^ITATELX UVE WLADEET TEORIEJ MNOVESTW NA UROWNE, NEOBHODIMOM DLQ PONIMANIQ NEHITROJ MYSLI, ^TO NE WSE, WOKRUG ^EGO MOV-
NO POSTAWITX FIGURNYE SKOBKI, PREDSTAWLQET SOBOJ MNOVE-
STWO, ON MOVET SMELO PROPUSTITX NASTOQ]U@ KNIGU I PEREJTI NEPOSREDSTWENNO K kNIGE II. k SOVALENI@, BOLX[INSTWO PREPODAWATELEJ NE TOLXKO TAK NAZYWAEMOJ WYS[EJ MATEMATIKI W TEHNI^ESKIH WUZAH, NO I TAK NAZYWAEMOGO MATEMATI^ESKOGO ANALIZA W UNIWERSITETAH, OB \TOM NE SLY[ALI, TAK ^TO DLQ NIH ^TENIE \TOJ KNIGI ABSOL@TNO NEOBHODIMO!!
2. mNOVESTWA PO kANTORU I dEDEKINDU. nEOBHODIMOSTX WWE-
DENIQ AKSIOMATIKI SWQZANA OTN@DX NE S MNIMYMI “PROTIWORE^IQMI” “NAIWNOJ” TEORII MNOVESTW. pOWTORQ@]EESQ IZ KNIGI W KNIGU UTWERVDENIE O PROTIWORE^IQH kANTOROWSKOJ TEORII MNOVESTW SOWER[ENNO ABSURDNO. |TI PROTIWORE^IQ OBNARUVILISX NE W TEORII kANTORA I dEDEKINDA, A W TEORIQH, PRIDUMANNYH SAMIMI LOGIKAMI, SPECIALXNO S CELX@ OBNARUVITX W NIH PROTIWORE^IQ.
wSE SU]ESTWENNOE DLQ INTUITIWNOGO PONIMANIQ MNOVESTWA SODERVITSQ W SLEDU@]EM KLASSI^ESKOM IZRE^ENII gEORGA kANTORA: “Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten in unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem ganzen”*\.
|TO OPREDELENIE UKAZYWAET, ^TO PONQTIE MNOVESTWA OFORMLQET IDE@ PRINADLEVNOSTI, OTNO[ENIE MEVDU MNOVESTWOM I EGO \LEMENTAMI. mNOVESTWO — \TO TO, ^TO IMEET \LEMENTY, ILI, ESLI UGODNO, SOSTOIT IZ \LEMENTOW, NO PRI \TOM SAMO MYSLITSQ KAK NEKOE NOWOE EDINSTWO, NEKIJ NOWYJ OB_EKT BOLEE WYSOKOGO UROWNQ.
dRUGOE KL@^EWOE SLOWO W \TOM OPREDELENII, wohlunterschiedenen, TRUDNO PEREWODIMOE NA RUSSKIJ QZYK, MOVET UKAZYWATX NA TO, ^TO, WOPERWYH, \LEMENTY MNOVESTWA POPARNO RAZLI^NY, WO-WTORYH, ^TO ONI
*w TO VE WREMQ SEMEJSTWO ESTX OTOBRAVENIE, RASSMATRIWAEMOE S TO^NOSTX@ DO RAWENSTWA, NE U^ITYWA@]EGO OBLASTX ZNA^ENIJ.
*pOD MNOVESTWOM MY PONIMAEM L@BOE SOEDINENIE M OPREDELENNYH RAZLI^NYH (RAZLI^IMYH) OB_EKTOW NA[EGO UMOZRENIQ ILI NA[EJ MYSLI (KOTORYE BUDUT NAZYWATXSQ \LEMENTAMI M) W EDINOE CELOE.
\q DUMA@, ^TO DOPOLNITELXNYM MOMENTOM, STOLX ZATRUDNIW[IM DLQ SOWREMENNIKOW OWLADENIE IDEQMI kANTORA, BYL EGO NEWRAZUMITELXNYJ I TQVELOWESNYJ NEMECKIJ. mNOGIE FRAGMENTY PROIZWODQT WPE^ATLENIE WNUTRENNIH PEREWODOW S RUSSKOGO, KOTORYM ON, O^EWIDNO, WLADEL LU^[E.
MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive |
17 |
POPARNO RAZLI^IMY, T.E. MY MOVEM SKAZATX, RAWNY DWA \LEMENTA MNOVESTWA MEVDU SOBOJ ILI NET*. oBA \TI ZNA^ENIQ SLOWA wohlunterschiedene RASKRYWA@TSQ W SLEDU@]EJ FRAZE12: “Eine Mannigfaltigkeit (ein Inbegri , eine Menge) von Elementen, die irgendwelcher Begri s- sph¨are angeh¨oren, nenne ich wohldefiniert wenn : : : es als intern bestimmt angesehen werden muß, sowohl ob irgendein derselben Begri sph¨are angeh¨origes Objekt zu der gedachten Mannigfaltigkeit als Element geh¨ort oder nicht, wie auch, ob zwei zur Menge geh¨orige Objekte, trotz formaler Unterschiede in der Art des Gegebenseins, eindander gleich sind oder nicht.”*
w KNIGE ‘Was sind und was sollen die Zahlen’13 rIHARD dEDEKIND PISAL “mNOVESTWO S POLNOSTX@ OPREDELENO TOLXKO TOGDA, KOGDA OTNOSITELXNO WSQKOJ WE]I IZWESTNO, QWLQETSQ LI ONA \LEMENTOM MNOVESTWA S ILI NET”. qSNO, ^TO TAKOJ WZGLQD NA MNOVESTWA USTRANQET WSE PARADOKSY DO IH POQWLENIQ, NO EGO SLABOSTX SOSTOIT NE W IZLI[NEJ [IROTE, A W NEDOPUSTIMOJ UZOSTI PONQTIQ MNOVESTWA. w DEJSTWITELX-
NOSTI, OPISYWAEMAQ NIVE TEORIQ cERMELO|fRENKELQ PONIMAET MNOVESTWA ZNA^ITELXNO BOLEE [IROKO, ^EM IH PONIMALI OSNOWATELI TEORII MNOVESTW kANTOR I dEDEKIND, HOTQ, KONE^NO,
BOLEE UZKO, ^EM IH PERWONA^ALXNO PONIMALI fREGE I rASSEL.
3. aKSIOMATIKA cERMELO—fRENKELQ. pERWAQ NEPROTIWORE^I-
WAQ\ SISTEMA AKSIOM DLQ TEORII MNOVESTW BYLA PREDLOVENA W 1908
*i, W-TRETXIH, KONE^NO, NA PROIZWOLXNOSTX \TIH \LEMENTOW — l.a.kALUVNIN DAVE c^ITAL \TOT SMYSL OSNOWNYM. oN PREDLAGAL SLEDU@]IJ PEREWOD FRAZY kANTORA: “pOD MNOVESTWOM MY PONIMAEM L@BOE SOEDINENIE M PROIZWOLXNYH TO^NO OPREDELENNYH OB_EKTOW: : : ”
12G.Cantor, Ges. Abh., S.150.
*wOT POPYTKA PEREWODA, POWTORY I OB]AQ KORQWOSTX T]ATELXNEJ[IM OBRAZOM WOSPROIZWODQT LINGWISTI^ESKIE OSOBENNOSTI NEMECKOGO ORIGINALA. nESMOTRQ NA NEUKL@VESTX I TQVELOWESNOSTX WYRAVENIQ, PAFOS \TOGO OTRYWKA ABSOL@TNO PONQTEN: “mNOGOOBRAZIE (SOEDINENIE, MNOVESTWO) \LEMENTOW, KOTORYE PRINADLEVAT KAKOJ-LIBO PREDMETNOJ OBLASTI, Q NAZYWA@ WPOLNE OPREDELENNYM, KOGDA : : : SLEDUET RASSMATRIWATX KAK WNUTRENNIM OBRAZOM OPREDELENNOE, KAK TO, PRINADLEVIT LI KAKOJ-LIBO LEVA]IJ W TOJ VE OBLASTI OB_EKT RASSMATRIWAEMOMU MNOGOOBRAZI@ ILI NET, TAK I TO, QWLQ@TSQ LI DWA PRINADLEVA]IH \TOMU MNOVESTWU OB_EKTA, NESMOTRQ NA FORMALXNYE RAZLI^IQ W SPOSOBE IH ZADANIQ, RAWNYMI MEVDU SOBOJ ILI NET.”
13r.dEDEKIND, ~TO TAKOE ^ISLA I DLQ ^EGO ONI SLUVAT. — iZW. fIZ.–mAT. oBWA kAZANSKOGO uN-TA, 1906, T.15, S.25–104. tO^NEE BYLO BY PEREWESTI NAZWANIE KAK ‘~TO TAKOE ^ISLA I ZA^EM ONI NUVNY’.
\kONE^NO, KAK MY TEPERX ZNAEM, NEPROTIWORE^IWOSTX SISTEM Z, ZF I ZFC NE MOVET BYTX USTANOWLENA FINITNYMI SREDSTWAMI I, TAKIM OBRAZOM, W IZWESTNOM SMYSLE, PREDSTAWLQET SOBOJ WOPROS WERY. nEKOTORYE AWTORY [LI NASTOLXKO DA-
18 |
NIKOLAJ WAWILOW |
GODU14 |RNSTOM cERMELO. oNA SOSTOQLA IZ AKSIOM OB_EMNOSTI, SU]E- STWOWANIQ, PARY, OB_EDINENIQ, BESKONE^NOSTI, PODMNOVESTW, STEPENI I WYBORA. sISTEMA cERMELO, OBOZNA^AEMAQ OBY^NO ^EREZ Z, DOSTATO^NA DLQ OBOSNOWANIQ WSEJ KLASSI^ESKOJ DOKANTOROWSKOJ MATEMATIKI, I, ZAMETIM, PO^TI WSEJ SOWREMENNOJ MATEMATIKI, KROME SAMOJ KANTOROWSKOJ TEORII MNOVESTW.
|RNST cERMELO (27.06.1871, bERLIN — 21.05.1953, fRAJBURG) — NEMEC-
KIJ MATEMATIK. w 1894 GODU OKON^IL bERLINSKIJ uNIWERSITET, POSLE ^E- GO RABOTAL W gETTINGENE, c@RIHE I fRAJBURGE. nAIBOLX[EJ IZWESTNOSTX@ POLXZU@TSQ EGO ISSLEDOWANIQ PO OSNOWANIQM TEORII MNOVESTW I ^ASTI^NO UPORQDO^ENNYM MNOVESTWAM. w NA[EM KURSE WSTRE^A@TSQ SISTEMY cERMELO, cERMELO—fRENKELQ I IH WARIANTY, AKSIOMA cERMELO I TEOREMA cERMELO O POLNOM UPORQDO^ENII. kROME TOGO, cERMELO ZANIMALSQ TEORIEJ WEROQTNOSTEJ I TEORIEJ DINAMI^ESKIH SISTEM.
w 1922 GODU aBRAHAM fRENKELX ZAMENIL W SISTEME cERMELO ODNU IZ AKSIOM, AKSIOMU PODMNOVESTW, NA ZNA^ITELXNO BOLEE SILXNU@ AKSIOMU PODSTANOWKI15. wPRO^EM, W POSLEDNEE WREMQ ONA WSE ^A]E OBOZNA^AETSQ ZFC (=ZF+Choice), ^TOBY POD^ERKNUTX, ^TO W NEE WHODIT AKSIOMA WYBORA, A ^EREZ ZF OBOZNA^AETSQ SISTEMA IZ 8 AKSIOM, BEZ AKSIOMY WYBORA. w SISTEME ZFC WSEGO ODIN TIP OB_EKTOW — MNOVESTWA, WSEGO ODNO OTNO[ENIE 2, WSEGO ODNA KONSTANTA — ?, W NEE WHODIT WSEGO 9 ^REZWY^AJNO ESTESTWENNYH I UDIWITELXNO PROSTYH AKSIOM, A EE WYRAZITELXNAQ MO]X ^UDOWI]NO WELIKA.
aBRAHAM (aDOLXF) fRENKELX (17.02.1891, m@NHEN — 15.10.1965, iERU-
SALIM) — ODIN IZ WEDU]IH SPECIALISTOW PO AKSIOMATI^ESKOJ TEORII MNOVESTW I FILOSOFII MATEMATIKI. pREPODAWAL W mARBURGE I kILE, A W 1933 GODU PEREHAL W eWREJSKIJ uNIWERSITET iERUSALIMA. kROME RABOT PO TEORII MNOVESTW NAPISAL NESKOLXKO STATEJ PO ALGEBRE. nA RUSSKIJ PEREWEDENA EGO SOWMESTNAQ S i.bAR-hILLELOM KNIGA ‘oSNOWANIQ TEORII MNOVESTW’.
w x 10 MY DADIM POLNOE OPREDELENIE PONQTIQ MNOVESTWA TAK, KAK ONO PONIMAETSQ SEGODNQ BOLX[INSTWOM MATEMATIKOW. |TO POLNOE OPREDELENIE SOSTOIT W TOM, ^TO MNOVESTWA I OTNO[ENIE PRINADLEVNOSTI
LEKO, ^TO DAVE OPREDELQLI MATEMATIKA KAK TOGO, KTO WERIT W NEPROTIWORE^IWOSTX SISTEMY ZF. sLEDUET ODNAKO ZAMETITX, ^TO KAK ^ISTO FORMALXNYH, TAK I \PISTEMOLOGI^ESKIH OSNOWANIJ DLQ TAKOJ WERY ZNA^ITELXNO BOLX[E, ^EM OSNOWANIJ DLQ WERY W SU]ESTWOWANIE WNE[NEGO MIRA.
14E.Zermelo, Untersuchungen uber¨ die Grundlagen der Mengenlehre. I. — Math. Ann., 1908, Bd.65, S.261–281.
15A.Frenkel, Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre. — Math. Ann., 1922, Bd.86, S.230–237.
MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive |
19 |
2 UDOWLETWORQ@T AKSIOMAM cERMELO—fRENKELQ ZF1 — ZF9 PERE^ISLQ@]IM WSE OSNOWNYE OB]EPRINQTYE SPOSOBY OBRAZOWANIQ MNOVESTW. sOGLASNO \TIM AKSIOMAM MNOVESTWOM NEOBHODIMO QWLQETSQ TO, ^TO:
²SOSTOIT IZ KONE^NOGO ^ISLA OB_EKTOW,
²QWLQETSQ MNOVESTWOM WSEH NATURALXNYH ^ISEL,
²POLU^AETSQ PRIMENENIEM K UVE IME@]EMUSQ MNOVESTWU UVE IME- @]EJSQ FUNKCII (ILI, ^TO PO^TI TO VE SAMOE, POLU^AETSQ WZQTIEM PODMNOVESTWA UVE IME@]EGOSQ MNOVESTWA),
²QWLQETSQ OB_EDINENIEM UVE IME@]EGOSQ MNOVESTWA UVE IME@- ]IHSQ MNOVESTW,
²QWLQETSQ MNOVESTWOM WSEH PODMNOVESTW UVE IME@]EGOSQ MNOVESTWA.
wSE!!! dLQ SOWOKUPNOSTI OB_EKTOW NE SU]ESTWUET NIKAKIH DRUGIH PRI^IN WYNUVDA@]IH EE BYTX MNOVESTWOM, KROME PERE^ISLENNYH WY- [E I AKSIOMY WYBORA. iNYMI SLOWAMI, ESLI KAKOE-TO MNOVESTWO NE POLU^AETSQ PRI POMO]I PERE^ISLENNYH WY[E KONSTRUK-
CIJ, TO ONO, KONE^NO, MOVET SU]ESTWOWATX, NO EDINSTWENNOJ PRI-
^INOJ, PO KOTOROJ ONO DOLVNO SU]ESTWOWATX, QWLQETSQ AKSIOMA WYBORA.
s TO^KI ZRENIQ WSEH PRILOVENIJ TEORII MNOVESTW W MATEMATIKE MY MOGLI BY SKAZATX, ^TO NIKAKIH DRUGIH MNOVESTW, KROME TEH, SU- ]ESTWOWANIE KOTORYH GARANTIRUETSQ OPISANNYMI WY[E KONSTRUKCIQMI, NE SU]ESTWUET. bOLEE TOGO, DEJSTWITELXNO IMEETSQ TAKAQ MODELX TEORII MNOVESTW — MODELX gEDELQ — W KOTOROJ NIKAKIH DRUGIH MNOVESTW, KROME KONSTRUKTIWNYH, PROSTO NET.
~TO KASAETSQ PROPU]ENNOJ ZDESX AKSIOMY REGULQRNOSTI ZF9, TO ONA, PO-WIDIMOMU, NIKOGDA NE ISPOLXZOWALASX W OBY^NOJ MATEMATIKE, A WS@DU, GDE ONA ISPOLXZOWALASX PO NEWEDENI@\, EE LEGKO OBOJTI. w TO VE WREMQ OTBROSITX AKSIOMU WYBORA ZF8 BEZ NARU[ENIQ CELOSTNOSTI MATEMATIKI NEWOZMOVNO, POSKOLXKU ONA ISPOLXZUETSQ POSTOQNNO I BOLX[EJ ^ASTX@ BESSOZNATELXNO. tAKIM OBRAZOM, QDRO SISTEMY cERMELO—fRENKELQ SOSTOIT IZ AKSIOM ZF1 — ZF8. w RASSUVDENQH O MNOVESTWAH MOGUT ISPOLXZOWATXSQ I DOPOLNITELXNYE PREDPOLOVENIQ (GIPOTEZA KONTINUUMA, SU]ESTWOWANIE UNIWERSUMOW, SU]ESTWOWANIE BOLX[IH KARDINALOW, AKSIOMA KONSTRUKTIWNOSTI I T.D.), NO \TI PREDPOLOVENIQ NE QWLQ@TSQ OB]EPRINQTYMI I IH ISPOLXZOWANIE DOLVNO KAVDYJ RAZ T]ATELXNO OGOWARIWATXSQ.
\nAPRIMER, O[IBO^NOE OPREDELENIE UPORQDO^ENNOJ PARY (a; b) KAK fa; fa; bgg
20 |
NIKOLAJ WAWILOW |
pRI^INY, PO KOTORYM MY OSNOWYWAEM NA[E IZLOVENIE NA ZFC, NOSQT NE FILOSOFSKIJ ILI UMOZRITELXNYJ, A ^ISTO PRAGMATI^ESKIJ HA-
RAKTER. zA 80 LET SU]ESTWOWANIQ SISTEMY ZFC NE BYLO PREDLOVENO NI ODNOGO NOWOGO PRINCIPA OBRAZOWANIQ MNOVESTW,
KOTORYJ POLU^IL BY DOSTATO^NO [IROKOE PRIZNANIE ILI KAK-TO PO-
WLIQL BY NA OBY^NU@ MATEMATIKU.
4. mESTO TEORII MNOVESTW W MATEMATIKE. iMENNO SISTEMA cERMELO—fRENKELQ ZFC, EE MODIFIKACII I RAZNOWIDNOSTI (NAPRIMER, SISTEMA, IZLOVENNAQ W PERWOM TOME TRAKTATA “|LEMENTY MATEMATIKI” nIKOLA bURBAKI) ILI \KWIWALENTNAQ EJ DLQ WSEH PRAKTI^ESKIH CELEJ SISTEMA gEDELQ—bERNAJSA GB LEVAT W OSNOWE PODAWLQ@]EJ ^ASTI SOWREMENNOJ MATEMATIKI I W TE^ENIE MNOGIH DESQTILETIJ WOOB- ]E NE IMELI SKOLX-NIBUDX SERXEZNOJ ALXTERNATIWY W KA^ESTWE OSNOWANIQ MATEMATIKI.
u MNOGIH MATEMATIKOW DAVE WOZNIKLA ILL@ZIQ, ^TO MATEMATIKA QWLQETSQ RAZDELOM TEORII MNOVESTW. |TA ILL@ZIQ PODDERVIWALASX TEM, ^TO QZYK TEORII MNOVESTW UDIWITELXNO SILEN I GIBOK, I ^TO WSQ KLASSI^ESKAQ MATEMATIKA DEJSTWITELXNO LEGKO MOVET BYTX PROINTERPRETIROWANA NA \TOM QZYKE. tAK, NAPRIMER, W 1949 GODU nIKOLA bURBAKI PISAL “wSE MATEMATI^ESKIE TEORII MOVNO RASSMATRIWATX KAK RAS[I- RENIQ OB]EJ TEORII MNOVESTW. q UTWERVDA@, ^TO NA \TOM FUNDAMENTE MOVNO POSTROITX WSE ZDANIE SEGODNQ[NEJ MATEMATIKI.” sOGLA[AETSQ S \TIM I pOLX kO\N: “aNALIZIRUQ MATEMATI^ESKIE RASSUVDENIQ, LOGIKI PRI[LI K UBEVDENI@, ^TO PONQTIE MNOVESTWA QWLQETSQ SAMYM OSNOWNYM W MATEMATIKE”. zA PRO[ED[IE POLWEKA PERSPEKTIWA NESKOLXKO IZMENILASX, TAK KAK ZA \TO WREMQ WOZNIKLI TO^KI ZRENIQ NA OSNOWANIQ MATEMATIKI ALXTERNATIWNYE K TEORII MNOVESTW I, W DEJSTWITELXNOSTI, GORAZDO BOLEE OB]IE, ^EM TEORIQ MNOVESTW. tEM NE MENEE, I SEGODNQ TEORIQ MNOVESTW PRODOLVAET OSTAWATXSQ WAVNEJ[EJ ^ASTX@ MATEMATI^ESKOGO QZYKA I POLNOSTX@ DOSTATO^NA DLQ OBOSNOWANIQ MATEMATI^ESKIH DISCIPLIN ANALITI^ESKOGO CIKLA (SOBSTWENNO MATEMATI^ESKIJ ANALIZ, TEORIQ WEROQTNOSTEJ, TEORIQ DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ I T.D.).
o PRIRODE MATEMATI^ESKOGO ZNANIQ
—|TO NE OSOZNANIE QWLQETSQ PI]EJ oRLA. |TO oREL QWLQETSQ PI]EJ OSOZNANIQ.
—kAKOJ IMENNO oREL?
—dA L@BOJ. i MAGI DREWNEGO `KATANA TOVE, WMESTE SO WSEM SWOIM BIZNESOM — SEMINARAMI, workshop’AMI, WIDEOKASSETAMI I POVILYMI MUVESTWENNYMI NAGWALQMI. wSE BEZ