vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

IGRA ZAKON^ENA, W NEJ ROWNO ODIN POBEDITELX. nAZOWEM IGRU G PO^TI KONE^NOJ, ESLI ONA UDOWLETWORQET SLEDU@]EMU USLOWI@:

i) kAVDAQ PARTIQ ZAKAN^IWAETSQ ^EREZ KONE^NOE ^ISLO HODOW.

nAZOWEM IGRU G KONE^NOJ, ESLI, KROME TOGO,

ii) w KAVDYJ MOMENT PARTII IMEETSQ LI[X KONE^NOE ^ISLO WOZMOVNYH HODOW.

s U^ETOM \TIH OPREDELENIJ MY MOVEM RASSMOTRETX SUPERIGRU, PRAWILA KOTOROJ TAKOWY: IGROK A DELAET PERWYJ HOD, KOTORYM ON WYBIRAET L@BU@ KONE^NU@ IGRU G. pOSLE \TOGO A I B IGRA@T W IGRU G, PERWYJ HOD W KOTOROJ DELAET IGROK B. pOBEDITELX W \TOJ IGRE G PROWOZGLA[AETSQ POBEDITELEM SUPERIGRY. mOVET LI IGROK A SWOIM PERWYM HODOM PEREDATX HOD IGROKU B, T.E. NAZWATX SUPERIGRU? nET, TAK KAK SUPERIGRA NE QWLQETSQ KONE^NOJ: W NA^ALE IGRY U IGROKA A IMEETSQ BESKONE^NOE ^ISLO WOZMOVNYH HODOW, TAK KAK IMEETSQ BESKONE^NOE ^ISLO KONE^NYH IGR. oDNAKO SUPERIGRA O^EWIDNYM OBRAZOM PO^TI KONE^NA.

tEPERX RASSMOTRIM GIPERIGRU, KOTORAQ IGRAETSQ PO TEM VE PRAWILAM, ^TO I SUPERIGRA, ZA ISKL@^ENIEM TOGO, ^TO PERWYM HODOM IGROK A MOVET NAZWATX L@- BU@ PO^TI KONE^NU@ IGRU G. o^EWIDNYJ WOPROS, QWLQETSQ LI GIPERIGRA PO^TI KONE^NOJ? s ODNOJ STORONY, ONA, O^EWIDNO, UDOWLETWORQET TOMU VE USLOWI@ i), ^TO I SUPERIGRA, TAK ^TO ONA DOLVNA BYTX PO^TI KONE^NOJ. s DRUGOJ STORONY, ESLI ONA PO^TI KONE^NA, TO W KA^ESTWE PERWOGO HODA IGROK A MOVET SKAZATX ‘GIPERIGRA!’. pOSLE \TOGO IGROK B MOVET OTWETITX ‘GIPERIGRA!’ I T.D. tAKIM OBRAZOM, GIPERIGRA NE MOVET BYTX PO^TI KONE^NOJ.

2. pRIMER RAZOBLA^ENIQ. oPISANIE \TOGO PARADOKSA W KNIGAH {MULXQNA I gARDNERA SODERVIT NETO^NOSTX, TAK KAK TAM GOWORITSQ, ^TO ESLI GIPERIGRA NE QWLQETSQ PO^TI KONE^NOJ, TO EE NELXZQ ISPOLXZOWATX W KA^ESTWE PERWOGO HODA, TAK ^TO ONA QWLQETSQ PO^TI KONE^NOJ. oDNAKO, \TO RASSUVDENIE O[IBO^NO, TAK KAK ONO IGNORIRUET WOZMOVNOSTX SU]ESTWOWANIQ DRUGIH PO^TI KONE^NYH IGR, KOTORYE MOGUT PRIWODITX K BESKONE^NYM PARTIQM W GIPERIGRE. pRAWILXNOE OPISANIE SU]NOSTI \TOGO PARADOKSA PRIWEDENO W STATXE cWIKERA.

pOSTARAEMSQ, PREVDE WSEGO, PRIDATX TO^NYJ MATEMATI^ESKIJ SMYSL TOMU, ^TO OPISANO W PREDYDU]EM PUNKTE. kAK PRO]E WSEGO PROMODELIROWATX PO^TI KONE^NU@ IGRU G W TEORII MNOVESTW? oBY^NYM SPOSOBOM IZOBRAVENIQ TAKIH IGR QWLQ@TSQ UKORENENNYE DEREWXQ (rooted trees), KOTORYE OBY^NO IZOBRAVA@TSQ RASTU]IMI OT KORNQ WNIZ. w NA^ALE IGRY MY NAHODIMSQ W KORNE DEREWA, PERWYJ HOD SOSTOIT W TOM, ^TO MY WYBIRAEM ODNO IZ RASTU]IH IZ KORNQ REBER I SPUSKAEMSQ PO NEMU NA ODIN UROWENX W SLEDU@]U@ WER[INU. pOSLE \TOGO WTOROJ HOD SOSTOIT W TOM, ^TO MY WYBIRAEM REBRO RASTU]EE WNIZ IZ \TOJ WER[INY I SPUSKAEMSQ PO NEMU E]E NA ODIN UROWENX, I T.D. tERMINALXNYE WER[INY POME^ENY A I B, ^TOBY UKAZATX NA TO, KTO WYIGRAL. sLABAQ KONE^NOSTX IGRY OZNA^AET W TO^NOSTI, ^TO \TO DEREWO FUNDIROWANO, T.E. W NEM NET BESKONE^NYH WEDU]IH WNIZ PUTEJ. kONE^NOSTX IGRY OZNA^AET, KROME TOGO, ^TO KAVDAQ WER[INA \TOGO DEREWA IMEET KONE^NU@ WALENTNOSTX, T.E. IZ NEE WYHODIT KONE^NOE ^ISLO REBER.

sUPERIGRA SOSTOIT W TOM, ^TO MY SKLEIWAEM PREDSTAWITELI KLASSOW IZOMORFIZMA (PORQDKOWYE TIPY) KONE^NYH UKORENENNYH DEREWXEW. (w DEJSTWITELXNOSTI, TREBUETSQ E]E POSTAWITX NA TERMINALXNYH WER[INAH METKI A I B, TAK ^TO TIPOW IGR BOLX[E, ^EM PORQDKOWYH TIPOW, NO \TO NE WLIQET NA WOPROSY SU]ESTWOWANIQ). tAK KAK \TI PORQDKOWYE TIPY OBRAZOWYWA@T MNOVESTWO, TAKAQ OPERACIQ WOZMOVNA.

s DRUGOJ STORONY, GIPERIGRA SOSTOIT W TOM, ^TO MY SKLEIWAEM PORQDKOWYE TIPY WSEH FUNDIROWANNYH DEREWXEW. oDNAKO PARADOKS bURALI-fORTI ZAPRE]AET DAVE RASSMOTRENIE MNOVESTWA WSEH ORDINALOW, KOTORYE SOOTWETSTWU@T PORQDKOWYM TIPAM LINEJNO UPORQDO^ENNYH FUNDIROWANNYH MNOVESTW! a GIPERIGRA WKL@^A- ET PORQDKOWYE TIPY WSEH (A NE TOLXKO LINEJNO UPORQDO^ENNYH!) FUNDIROWANNYH MNOVESTW. zNA^IT NIKAKOJ GIPERIGRY NE MOVET SU]ESTWOWATX.

Little more sympathy. pO POWODU \TOGO UTWERVDENIQ cWIKER64 ZAME^AET: It is easy to have a strong gut reaction against this claim. How can a certain game fail to exist when the rules for playing are clear (but are they clear?) I have actually played Hypergame (or so I thought at the time) so how can it not have existed? These reactions show that achieving the shift in perspective in our gut is not so easy even when the mathematics is transparent. The reader might wish to sound his or her own heart on this question: does it seem natural that Hypergame is not a game? If not, do you feel a little more sympathy with those to whom Russell’s paradox was ba ing and important even after the publication of Zermelo’s paper.

w DEJSTWITELXNOSTI DAVE GORAZDO MENX[AQ SOWOKUPNOSTX PO^TI KONE^NYH IGR, ZAKAN^IWA@]IHSQ POBEDOJ IGROKA A NA PERWOM [AGE, NE OBRAZUET MNOVESTWA, TAK KAK TAKIE IGRY OPISYWA@TSQ KARDINALXNYMI ^ISLAMI (ALEFAMI), KOTORYE NE MOGUT OBRAZOWYWATX MNOVESTWA W SILU PARADOKSA kANTORA. tAKIM OBRAZOM, PARADOKS GIPERIGRY QWLQETSQ PROSTO SLEGKA ZAWUALIROWANNOJ FORMOJ PARADOKSOW kANTORA I bURALI-fORTI.

wSE TAK NAZYWAEMYE “PROTIWORE^IQ” SNIMA@TSQ KAK TOLXKO MY GOTOWY PRIZNATX, AKT IMENOWANIQ NE QWLQETSQ ODNOWREMENNO AKTOM TWORENIQ: NE WSE, ^TO MY MOVEM NAZWATX, SU]ESTWUET. ‘gIPERIGRA’ QWLQETSQ TAKIM VE OKS@MORONOM* KAK “MNOVESTWO WSEH MNOVESTW”, “MNOVESTWO WSEH MNOVESTW, NE QWLQ@]IHSQ SOBSTWENNYMI \LEMENTAMI”, “^ESTNYJ POLITIK”, “PRAWDIWYJ VURNALIZM”, etc., I SU]E- STWUET LI[X KAK IMQ DLQ OBOZNA^ENIQ FIKCII, KOTORAQ NE TOLXKO NE SU]ESTWUET, NO I NE MOVET SU]ESTWOWATX W DEJSTWITELXNOSTI65.

x 10. aKSIOMATIKA cERMELO|fRENKELQ ZFC

w MIRE WSE WE]I ROVDA@TSQ W BYTII, A BYTIE ROVDAETSQ W NEBYTII.

dAO D\ CZIN, x 40.

64ibid., page 510

*oKS@MORON — ZAWEDOMAQ GLUPOSTX, OT GRE^ESKOGO o»À& — REZKIJ, OSTRYJ, KISLYJ (OTKUDA RUSSKOE UKSUS) I ¹o½o& — GLUPYJ (OTKUDA RUSSKOE MORON). oBY^NO UPOTREBLQETSQ W SPECIALXNOM TEHNI^ESKOM SMYSLE, UKAZYWA@]EM NA SO^ETANIE ZA- WEDOMO PROTIWORE^IWYH PONQTIJ: “HRISTIANSKAQ NAUKA”, “NAU^NYJ KOMMUNIZM”, “SWOBODA I RAWENSTWO”, “RAWENSTWO I BRATSTWO”, “ZAKONNOSTX I SPRAWEDLIWOSTX”, “PRAWOWOE GOSUDARSTWO”, “POLITI^ESKAQ KORREKTNOSTX”, “DEMOKRATI^ESKAQ REWOL@- CIQ”, : : :

65lOGI^ESKOE NAPRAWLENIE QWLQETSQ ISTO^NIKOM NEIS^ERPAEMOGO KOLI^ESTWA SU]- NOSTEJ, SU]ESTWOWANIE KOTORYH W DEJSTWITELXNOSTI LI[X SLOWESNO. — n.n.lUZIN, sOBRANIE SO^INENIJ, T.2. dESKRIPTIWNAQ TEORIQ MNOVESTW. — iZD-WO an sssr, m., 1958, STR.23.

sU]ESTWUET NA^ALO I TO, ^TO E]E NE NA^ALO BYTX NA- ^ALOM, A TAKVE TO, ^TO E]E NE NA^ALO BYTX TEM, ^TO E]E NE NA^ALO BYTX NA^ALOM. sU]ESTWUET BYTIE, SU-

]ESTWUET NEBYTIE, SU]ESTWUET TO, ^TO E]E NE NA^ALO BYTX NEBYTIEM, A TAKVE TO, ^TO E]E NE NA^ALO BYTX TEM, ^TO E]E NE NA^ALO BYTX NEBYTIEM. wNEZAPNO POQWLQETSQ NEBYTIE, I NEIZWESTNO, ^TO VE NA SAMOM DELE SU]ESTWUET, A ^TO VE NE SU]ESTWUET, BYTIE ILI NEBYTIE.

~VUAN-CZY, gL. 2.

1.nI BYTIQ NE BYLO TOGDA, NI NEBYTIQ. nI WOZDU[NOGO PROSTRANSTWA, NI NEBA. ~TO DWIGALOSX? gDE? pOD ^XEJ ZA- ]ITOJ? sOSTOQLA LI IZ WODY GLUBOKAQ BEZDNA?

2.nI SMERTI NE BYLO TOGDA, NI NE-SMERTI; DENX I NO^X NE RAZLI^ALISX TOGDA. sAMO PO SEBE, BEZ DUNOWENIQ, DY[ALO LI[X |TO; I NI^EGO NE BYLO, KROME |TOGO.

rIGWEDA, gIMN X, 129

w STARINU MUDRYE CARI PROZRELI OB]U@ OSNOWU nEBA I zEMLI W ^EREDOWANII SIL iNX I qN. nO EVELI WSE OBLADA@- ]EE FORMOJ RODILOSX IZ BESFORMENNOGO, OT ^EGO VE RODILISX nEBO I zEMLQ? q OTWE^A@: WNA^ALE BYLA wELIKAQ pUSTOTA, POTOM POQWILOSX wELIKOE nA^ALO, ZATEM POQWILASX wELIKAQ oSNOWA, POSLE ^EGO POQWILASX wELIKAQ wE]ESTWENNOSTX. w wELIKOJ pUSTOTE E]E NE BYLO lOGOSA. wELIKOE nA^ALO BYLO NA^ALOM lOGOSA. wELIKAQ oSNOWA BYLA NA^ALOM WSEH FORM. wELIKAQ wE]ESTWENNOSTX — NA^ALO WSEH WE]EJ. lOGOS, FORMA I WE]X E]E NE OTDELILISX DRUG OT DRUGA, POSEMU TAKOE SOSTOQNIE ZOWETSQ HAOSOM. hAOS OZNA^AET SME[ENIE WSEH WE- ]EJ, E]E NE OTDELIW[IHSQ DRUG OT DRUGA. wSMATRIWAJSQ W NEGO — I NE UWIDI[X, WSLU[IWAJSQ W NEGO — I NE USLY[I[X. pOSEMU ON ZOWETSQ pUSTOTOJ. pUSTOE NE IMEET NI FORMY, NI GRANIC. pRETERPEW PREWRA]ENIE, ONO STALO eDINYM, A IZ eDINOGO ONO STALO SEMX@, SEMX VE PREWRATILOSX W DEWQTX. nA DEWQTKE PREWRA]ENIQ IS^ERPYWA@TSQ I SNOWA PRIHODQT K EDINICE. a \TO eDINOE ESTX NA^ALO PREWRA]ENIJ WSEH FORM.

lE cZY, gL. I, nEBESNAQ DOLQ

wNA^ALE BYL LOGOS I LOGOS BYL U BOGA I LOGOS BYL BOG.

eWANGELIE OT iOANNA

sNA^ALA NE BYLO NI^EGO: NI ZEMLI, NI PESKA, NI HOLODNYH WOLN. bYLA LI[X ODNA ^ERNAQ BEZDNA gINNUNGAGAP.

sKAZANIQ O BOGAH

w NASTOQ]EM PARAGRAFE MY IZLAGAEM SAMU@ IZWESTNU@ I SAMU@ POPULQRNU@ AKSIOMATIKU TEORII MNOVESTW — TEORI@ cERMELO—fREN- KELQ S AKSIOMOJ WYBORA ZFC. w ORTODOKSALXNOJ TEORII cERMELO— fRENKELQ ZFC SU]ESTWUET EDINSTWENNYJ TIP OB_EKTOW — MNOVESTWA I EDINSTWENNYJ PREDIKAT 2. mNOVESTWA I OTNO[ENIE PRINADLEVNOSTI POD^INENY SLEDU@]IM DEWQTI AKSIOMAM ZF1—ZF9.

ZF1 (aKSIOMA \KSTENSIONALXNOSTI). dWA MNOVESTWA RAWNY, x = y, ESLI ONI SODERVAT ODNI I TE VE \LEMENTY, T.E. ESLI z 2 x () z 2 y.

oPREDELIM OTNO[ENIQ WKL@^ENIQ x µ y KAK z 2 x =) z 2 y. w \TIH OBOZNA^ENIQH x = y W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA x µ y I x ¶ y.

zAME^ANIE 1. |TA PARADOKSALXNAQ AKSIOMA, NAZYWAEMAQ TAKVE AKSIOMOJ OB_EMNOSTI, QWLQETSQ KWINT\SSENCIEJ TEORETIKO-MNOVESTWENNOJ TO^KI ZRENIQ. eE NETRIWIALXNOSTX SOSTOIT, KONE^NO, NE W TOM, ^TO DWA RAWNYH MNOVESTWA IME@T ODINAKOWYE \LEMENTY, A W TOM, ^TO DWA MNOVESTWA, IME@]IE ODINAKOWYE \LEMENTY, POLAGA@TSQ RAWNYMI. pOQSNIM \TO SLEDU@]IM PRIMEROM, PRINADLEVA]IM rASSELU: MNOVESTWO DWUNOGIH BEZ PERXEW RAWNO MNOVESTWU L@DEJ, NO WSQKOE RASSUVDENIE O TOM, BUDET LI DWUNOGIJ BEZ PERXEW (NAPRIMER, POPAW[IJ W O]IP PETUH) BOLEE SPOSOBEN, ^EM ^ELOWEK, RAZWITX OPERENIE, NAHODITSQ WNE SFERY TEORII MNOVESTW, TAK KAK AKSIOMA ZF1 ZAPRE]AET RAZLI^ATX DWA \TI OPISANIQ. dAVE W SAMOJ MATEMATIKE \TO ^ASTO SLI[KOM SUROWOE OGRANI^ENIE.

zAME^ANIE 2. iNOGDA PRIHODITSQ SLY[ATX, ^TO WE]X RAWNA TOLXKO SEBE SAMOJ. w DEJSTWITELXNOSTI RAWENSTWO, KAK I WSE OSTALXNOE, QWLQETSQ REZULXTATOM SOGLA[E- NIQ, PRODUKTOM NEPROTIWLENIQ STORON. w KA^ESTWE ILL@STRACII \TOGO MOVNO UPOMQNUTX, ^TO W SISTEME NF kUAJNA RAWENSTWO MNOVESTW OPREDELQETSQ NE PO kANTORU, A PO lEJBNICU, T.E. DWOJSTWENNYM OBRAZOM KAK identitas indiscernibilium. a IMENNO, DWA MNOVESTWA RAWNY, ESLI ONI SODERVATSQ W KA^ESTWE \LEMENTOW W ODNIH I TEH VE MNOVESTWAH: x = y ESLI I TOLXKO ESLI x 2 z () y 2 z.

mNOVESTWO, NE SODERVA]EE NI ODNOGO \LEMENTA, NAZYWAETSQ PUSTYM MNOVESTWOM I OBOZNA^AETSQ ?. |TO OBOZNA^ENIE BYLO WWEDENO bURBAKI (PO PREDLOVENI@ aNDRE wEJLQ), I PREDSTAWLQET SOBOJ DATSKU@ (I NORWEVSKU@) BUKWU o¨. dO SIH POR MY NE ZNAEM, SU]ESTWUET LI HOTQ BY ODNO MNOVESTWO. sLEDU@]AQ AKSIOMA GARANTIRUET, ^TO ODNO MNOVESTWO OPREDELENNO SU]ESTWUET.

ZF2 (aKSIOMA SU]ESTWOWANIQ). sU]ESTWUET PUSTOE MNOVEST- WO.

zAMETIM, ^TO SOGLASNO AKSIOME ZF1 SU]ESTWUET ROWNO ODNO PUSTOE MNOVESTWO. pO OPREDELENI@ UTWERVDENIE x 2 ? LOVNO DLQ L@BOGO x. pO\TOMU UTWERVDENIE x 2 ? =) P (x) ILI, ^TO TO VE SAMOE, 8x 2 ?; P (x) ISTINNO DLQ L@BOGO SWOJSTWA P . tAKIM OBRAZOM, L@BOJ

\LEMENT PUSTOGO MNOVESTWA OBLADAET L@BYM SWOJSTWOM (A TAKVE OTRICANIEM \TOGO SWOJSTWA).

kOMMENTARIJ. o TOM, ^TO PONQTIE PUSTOGO MNOVESTWA SOWER[ENNO NE O^EWIDNO, GOWORIT HOTQ BY TOT FAKT, ^TO ONO BYLO WWEDENO LI[X W KONCE XVII WEKA FON lEJBNICEM POD IMENEM non Ens (NEBYTIE, NE SU]EE). wSQ TRADICIONNAQ LOGIKA, SLEDUQ aRISTOTEL@, PRIZNAWALA PRAWILO KONWERSII: “ESLI WSQKOE A ESTX B, TO NEKOTOROE A ESTX B”, QWNYM OBRAZOM PODRAZUMEWA@]EE, ^TO A NEPUSTO. nA NA[EM QZYKE \TO OZNA^AET, ^TO IZ A µ B DELAETSQ WYWOD, ^TO A \ B 6= ?. nAPRIMER, IZ POSYLKI “WSE KENTAWRY LYSY” aRISTOTELX DELAET WYWOD “SU]ESTWUET LYSYJ KENTAWR”. mOVET BYTX LYSYJ KENTAWR DEJSTWITELXNO SU]ESTWUET (\TO NE PROTIWORE^IT IZWESTNYM SEGODNQ FIZI^ESKIM ZAKONAM), NO S NA[EJ SEGODNQ[NEJ TO^KI ZRENIQ \TO NIKAK NE SLEDUET IZ POSYLKI. iMENNO NA IGRE S \TIM PRAWILOM POSTROENO BOLX[INSTWO TAK NAZYWAEMYH “LOGI^ESKIH PARADOKSOW” (PARADOKS rASSELA I EGO RODSTWENNIKI). bERETSQ PROIZWOLXNYJ \LEMENT PUSTOGO MNOVESTWA I WYWODITSQ, ^TO ON OBLADAET KAK SWOJSTWOM P , TAK I SWOJSTWOM :P , POSLE ^EGO WSE DOLGO W NEDOUMENII SMOTRQT NA POLU^IW[EESQ PROTIWORE^IE. oDNAKO W DEJSTWITELXNOSTI PROTIWORE^IE POLU^AETSQ TOLXKO PRI DOPOLNITELXNOM PREDPOLOVENII, ^TO W PUSTOM MNOVESTWE ESTX HOTQ BY ODIN \LEMENT. kAK GOWORITSQ PO \TOMU POWODU W sIN-SIN-MEJ: PUSTOJ UM SWOBODEN OT PROTIWORE^IJ.

tRI SLEDU@]IE AKSIOMY I AKSIOMA ZF7 QWLQ@TSQ AKSIOMAMI SWERTYWANIQ, UTWERVDA@]IMI, ^TO SU]ESTWU@T NEKOTORYE MNOVESTWA, POSTROENNYE PO STROGO OPREDELENNYM PRAWILAM.

ZF3 (aKSIOMA NEUPORQDO^ENNYH PAR). dLQ L@BYH DWUH WE]EJ x

I y SU]ESTWUET MNOVESTWO fx; yg, EDINSTWENNYMI \LEMENTAMI KO- TOROGO QWLQ@TSQ x I y.

w SLU^AE, KOGDA x =6 y MNOVESTWO fx; yg, SU]ESTWOWANIE KOTOROGO UTWERVDAETSQ W \TOJ AKSIOME, NAZYWAETSQ NEUPORQDO^ENNOJ PAROJ S \LEMENTAMI x I y ILI PROSTO PAROJ. tAKAQ PARA NAZYWAETSQ NEUPORQDO^ENNOJ, POTOMU ^TO, SOGLASNO AKSIOME ZF1 PARA fy; xg RAWNA PARE fx; yg. w SLU^AE VE, KOGDA x = y, W SILU TOJ VE AKSIOMY fx; xg = fxg, TAK ^TO IZ ZF3 WYTEKAET, ^TO DLQ L@BOGO OB_EKTA x SU]ESTWUET ODNO- \LEMENTNOE MNOVESTWO fxg, NAZYWAEMOE E]E SINGLETONOM. zAMETIM, ^TO W STANDARTNOJ TEORII MNOVESTW NI DLQ ODNOJ WE]I x ODNO\LEMENTNOE MNOVESTWO fxg NE MOVET SOWPADATX S x.

kOMMENTARIJ: ZAWISIMOSTX AKSIOMY PARY OT OSTALXNYH AKSIOM ZF. kAK ZAMETIL qN mY^ELXSKI, AKSIOMA ZF3 MOMENTALXNO WYTEKAET IZ AKSIOM SU]ESTWOWANIQ ZF2, STEPENI ZF7 I PODSTANOWKI ZF6. w SAMOM DELE, 22? = f?; f?gg, POSLE ^EGO SU]ESTWOWANIE L@BOJ PARY fa; bg SLEDUET IZ AKSIOMY PODSTANOWKI. mY, ODNAKO, NE BUDEM ZANIMATXSQ TAKOJ ERUNDOJ, KAK ISKL@^ENIE ZF3 IZ SPISKA AKSIOM ZF. w SAMOM DELE, AKSIOMA ZF3 NOSIT GORAZDO BOLEE NAGLQDNYJ HARAKTER, ^EM KAVDAQ IZ AKSIOM ZF6 I ZF7, DOSTATO^NA DLQ MNOGIH PRILOVENIJ I BYLA WWEDENA DLQ SISTEMY Z, GDE WMESTO AKSIOMY ZF6 FIGURIROWALA LI[X ZNA^ITELXNO BOLEE SLABAQ AKSIOMA PODMNOVESTW ZF60, NE POZWOLQ@]AQ WYWESTI ZF3 IZ OSTALXNYH

AKSIOM. wOOB]E, NAWQZ^IWOE STREMLENIE LOGIKOW FORMULIROWATX NEZAWISI- MYE SISTEMY AKSIOM QWLQETSQ RODOM AGRESSIWNOGO BEZUMIQ. s TO^KI ZRE-

NIQ MATEMATIKA GORAZDO WAVNEE IMETX UDOBNYE I NAGLQDNYE SISTEMY AKSIOM, ^EM NEZAWISIMYE.

eSLI x — L@BOE MNOVESTWO MNOVESTW, TO OB_EDINENIEM EGO \LEMENTOW NAZYWAETSQ MNOVESTWO z = Sy, y 2 x, SOSTOQ]EE IZ TEH I TOLXKO TEH \LEMENTOW, KOTORYE PRINADLEVAT PO KRAJNEJ MERE ODNOMU IZ MNOVESTW y 2 x. sOGLASNO \TOMU OPREDELENI@ DLQ L@BOGO MNOVESTWA MNOVESTW X IMEEM

[

u 2 z = y () 9y 2 x; u 2 y:

y2x

oDNAKO POKA SOWER[ENNO NEPONQTNO, PO^EMU OPISANNOE W \TOM OPREDELENII MNOVESTWO OBQZANO SU]ESTWOWATX.

ZF4 (aKSIOMA OB_EDINENIQ). dLQ L@BOGO MNOVESTWA MNOVESTW x SU]ESTWUET OB_EDINENIE Sy, y 2 x.

sU]ESTWOWANIE KONE^NYH MNOVESTW. aKSIOMY ZF3 I AKSIOMY OB_EDINENIQ ZF4, UTWERVDA@]EJ, ^TO OB_EDINENIE L@BOGO MNOVESTWA MNOVESTW SAMO QWLQETSQ MNOVESTWOM (SM. gLAWA 2) UVE DOSTATO^NO, ^TOBY DOKAZATX SU]ESTWOWANIE L@BYH KONE^NYH MNOVESTW.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO DLQ L@BYH TREH WE]EJ x; y; z SU]ESTWUET MNOVESTWO fx; y; zg, EDINSTWENNYMI \LEMENTAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ x; y I z. wOOB]E, PUSTX x1; : : : ; xn – L@BYE n WE]EJ, GDE n 2 N. dOKAVITE, ^TO SU]ESTWUET MNOVESTWO fx1; : : : ; xng, EDINSTWENNYMI \LEMENTAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ x1; : : : ; xn.

rE[ENIE. pOLXZUQSX AKSIOMOJ ZF3, OBRAZUEM PARU fx; yg I ODNO\LEMENTNOE MNOVESTWO fzg. tOGDA PO AKSIOME ZF4 SU]ESTWUET IH OB_EDINENIE, KOTOROE RAWNO fx; y; zg. pRODOLVIM DEJSTWOWATX REKURSIWNO. dOPUSTIM, MY UVE ZNAEM, ^TO SU]ESTWUET MNOVESTWO fx1; : : : ; xn¡1g. pO AKSIOME ZF4 MOVNO OBRAZOWATX EGO OB_EDINENIE S ODNO\LEMENTNYM

MNOVESTWOM fxng.

iTAK, IZ AKSIOM ZF3 I ZF4 WYTEKAET, ^TO L@BAQ KONE^NAQ SOWOKUPNOSTX WE]EJ OBRAZUET MNOVESTWO. sMYSL SLEDU@]EJ AKSIOMY SOSTOIT W TOM, ^TO SU]ESTWUET HOTQ BY ODNO BESKONE^NOE MNOVESTWO. rAZUMEETSQ, TAK KAK BESKONE^NYE MNOVESTWA E]E NE BYLI NAMI OPREDELENY WNUTRI SISTEMY ZF, OBY^NO \TA AKSIOMA FORMULIRUETSQ KAK SU]E- STWOWANIE NATURALXNOGO RQDA. pRI \TOM LOGIKI OBY^NO S^ITA@T, ^TO NATURALXNYJ RQD NA^INAETSQ S 0, T.E. FAKTI^ESKI STROQT MNOVESTWO N0, KOTOROE ONI, K TOMU VE, OBY^NO OBOZNA^A@T ^EREZ !.

w SO^ETANII S DRUGIMI AKSIOMAMI, TAKIMI, KAK AKSIOMA STEPENI I AKSIOMA OB_EDINENIQ, AKSIOMA PODSTANOWKI POZWOLQET STROITX GROMADNYE MNOVESTWA, PREDSTAWLQ@]IE INTERES LI[X DLQ SPECIALISTOW PO AKSIOMATI^ESKOJ TEORII MNOVESTW. dLQ WSEH PRILOVENIJ W OBY^NOJ MATEMATIKE DOSTATO^NO ZNA^ITELXNO BOLEE SLABYH PREDPOLOVENIJ, NAPRIMER, SLEDU@]EJ AKSIOMY, NAZYWAEMOJ AKSIOMOJ PODMNOVESTW (axiom of subsets) ILI AKSIOMOJ WYDELENIQ, KOTORAQ WHODILA W PERWONA^ALXNU@ AKSIOMATIKU cERMELO Z. tAK KAK IMENNO \TA AKSIOMA OTLI^AET Z KAK OT AKSIOMATIKI fREGE, TAK I OT AKSIOMATIKI cERMELO—fRENKELQ ZF, IMENNO EE — A WOWSE NE WWEDENNU@ bEPPO lEWI AKSIOMU WYBORA! — ESTESTWENNO NAZYWATX AKSIOMOJ cERMELO. wPRO^EM, NA \TO NAZWANIE MOGLI BY PRETENDOWATX I OSTALXNYE SEMX AKSIOM SISTEMY Z!!!

ZF60 (aKSIOMA PODMNOVESTW). dLQ L@BOGO MNOVESTWA x I DLQ L@BOGO SWOJSTWA P SU]ESTWUET MNOVESTWO WSEH y 2 x, OBLADA@]IH SWOJSTWOM P .

|TA AKSIOMA POZWOLQET OBRAZOWYWATX MNOVESTWO WSEH OB_EKTOW, OBLADA@]IH NEKOTORYM SWOJSTWOM, PRI USLOWII, ^TO ONI UVE PRINADLEVAT NEKOTOROMU MNOVESTWU. nAPRIMER, IZ NEE NEMEDLENNO SLEDUET SU]ESTWOWANIE PERESE^ENIQ Ty, y 2 x, L@BOGO MNOVESTWA MNOVESTW I RAZNOSTI x n y L@BYH DWUH MNOVESTW. w SO^ETANII S AKSIOMOJ OB_EDINENIQ ZF4 ONA POZWOLQET OBRAZOWATX MNOVESTWO WSEH OB_EKTOW, OBLADA@]IH NEKOTORYM SWOJSTWOM, PRI USLOWII, ^TO ONI UVE PRINADLEVAT KAKIM-TO — BYTX MOVET RAZLI^NYM! — MNOVESTWAM.

oKAZYWAETSQ, DAVE AKSIOMA BESKONE^NOSTI NE POZWOLQET STROITX SKOLX UGODNO BOLX[IE MNOVESTWA. kL@^EWOE OTKRYTIE kANTORA SOSTOQLO W TOM, ^TO MNOVESTWO WSEH PODMNOVESTW L@BOGO MNOVESTWA IMEET MO]NOSTX STROGO BOLX[U@, ^EM SAMO \TO MNOVESTWO. oDNAKO POKA MY NE ZNAEM, MOVNO LI SOEDINITX WSE PODMNOVESTWA DANNOGO MNOVESTWA x W MNOVESTWO. dLQ BESKONE^NOGO MNOVESTWA x \TO NE WYTEKAET IZ OSTALXNYH AKSIOM, DAVE S U^ETOM AKSIOMY PODSTANOWKI ZF6. pO\TOMU WOZMOVNOSTX TAKOGO SOEDINENIQ DOLVNA POSTULIROWATXSQ OTDELXNO. sLEDU@]AQ UDIWITELXNAQ AKSIOMA BYLA WWEDENA kANTOROM. wNE WSQKOGO SOMNENIQ, IMENNO ONA I SOSTAWLQET SUTX kANTOROWSKOJ TEORII MNOVESTW.

ZF7 (aKSIOMA STEPENI). dLQ L@BOGO MNOVESTWA x SU]ESTWUET MNOVESTWO z TAKOE, ^TO y 2 z W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA y µ x.

mNOVESTWO z, SU]ESTWOWANIE KOTOROGO POSTULIRUETSQ \TOJ FEERI-

^ESKOJ AKSIOMOJ, OBY^NO OBOZNA^AETSQ 2x I NAZYWAETSQ BULEANOM x.

pO OPREDELENI@,

y 2 2x () y µ x:

sLEDU@]AQ AKSIOMA — AKSIOMA WYBORA — QWLQETSQ NAIBOLEE IZWESTNOJ IZ WSEH. pO SOWER[ENNO ZAGADO^NYM PRI^INAM \TO EDINSTWEN- NAQ AKSIOMA, KOTORAQ UPOMINAETSQ NA PERWYH STRANICAH L@BOGO U^EBNIKA PO MATEMATI^ESKOMU ANALIZU. mY SFORMULIRUEM AKSIOMU WYBORA W ISTORI^ESKI PERWOJ I NAIBOLEE PROSTOJ FORME — AKSIOMU lEWI66. w gLAWE ? MY DADIM E]E POLTORA–DWA DESQTKA \KWIWALENTNYH FORMULIROWOK \TOJ AKSIOMY (W FORME cERMELO, W FORME rASSELA, W FORME hAUSDORFA, W FORME lINDENBAUMA, W FORME kURATOWSKOGO— cORNA, W FORME tARSKOGO, W FORME gAMELQ, W FORME kRULLQ I T.D.). nAPOMNIM (PODROBNEE PO POWODU OTOBRAVENIJ SM. x ?), ^TO OTOBRAVENIE f : X ¡! Y NAZYWAETSQ S@R_EKTIWNYM, ESLI DLQ L@BOGO y 2 Y SU]ESTWUET x 2 X TAKOE, ^TO f(x) = y.

ZF8 (aKSIOMA WYBORA). pUSTX f : X ¡! Y – S@R_EKTIWNOE OTOB- RAVENIE. tOGDA SU]ESTWUET OTOBRAVENIE g : Y ¡! X TAKOE, ^TO DLQ L@BOGO y 2 Y IMEET MESTO RAWENSTWO f(g(y)) = y.

iNYMI SLOWAMI, \TA AKSIOMA UTWERVDAET, ^TO SU]ESTWUET TAKOE PODMNOVESTWO Z µ X, KOTOROE PERESEKAETSQ S KAVDYM SLOEM OTOBRAVENIQ f ROWNO PO ODNOMU \LEMENTU (T.E. TAKOE, ^TO OGRANI^ENIE fjZ OTOBRAVENIQ f NA Z BIEKTIWNO).

ZF9 (aKSIOMA REGULQRNOSTI). pUSTX y =6 ?. tOGDA SU]ESTWUET TAKOJ \LEMENT x 2 y, ^TO DLQ L@BOGO \LEMENTA z 2 y WYPOLNQETSQ z 2= x.

aKSIOMA REGULQRNOSTI ZAPRE]AET SU]ESTWOWANIE MNOVESTW x TAKIH, ^TO x 22 x. w SAMOM DELE, \TA AKSIOMA QWNYM OBRAZOM ZAPRE]AET PRINADLEVNOSTX x 2 x, TAK KAK INA^E W MNOVESTWE fxg NE BYLO BY \LEMENTA, KOTORYJ NE SODERVIT NI ODNOGO \LEMENTA \TOGO MNOVESTWA. kROME TOGO, ZF9 ZAPRE]AET ODNOWREMENNOE WYPOLNENIE WKL@^ENIJ x 2 y 2 x. tO^NO TAK VE, NE SU]ESTWUET TREH WE]EJ x; y I z, DLQ KOTORYH x 2 y 2 z 2 x, I TAK DALEE.

x 11. sISTEMY FON nEJMANA I gEDELQ|bERNAJSA GB

w DIAMETRE aLEF IMEL DWA-TRI SANTIMETRA, NO BYLO W NEM WSE PROSTRANSTWO WSELENNOJ, PRI^EM NI^UTX NE UMENX[ENNOE.

66bEPPO lEWI

kAVDYJ PREDMET BYL BESKONE^NYM MNOVESTWOM PREDMETOW, POTOMU ^TO Q EGO QSNO WIDEL SO WSEH TO^EK WSELENNOJ.

hORHE lUIS bORHES, aLEF

mY UVE UPOMINALI TEORI@ ZFU, W KOTOROJ SU]ESTWU@T PRA\LEMENTY. eSTX MNOGO DRUGIH TEORIJ, KOTORYE ZAMETNO OTLI^A@TSQ OT ZF. tOLXKO ODNA IZ \TIH SISTEM, A IMENNO, SISTEMA gEDELQ—bERNAJSA GB, POLU^ILA TAKOE VE RASPROSTRANENIE KAK SISTEMA ZF.

1.aKSIOMATIKA FON nEJMANA, IDEQ KLASSA. w 1925–28 GODAH FON nEJMAN PREDLOVIL ORIGINALXNU@ AKSIOMATIKU TEORII MNOVESTW N, OSNOWANNU@ NE NA PO-

NQTIQH MNOVESTWA I PRINADLEVNOSTI, A NA PONQTIQH FUNKCII I UPORQDO^ENNOJ PARY67. mY NE BUDEM PYTATXSQ ZDESX WOPROIZWESTI ILI KAK-TO PROKOMMENTIROWATX \TU ^REZWY^AJNO SLOVNU@ SISTEMU. oDNAKO ODNA IZ KL@^EWYH IDEJ, POLOVENNYH W OSNOWU \TOJ SISTEMY, POLU^ILA W DALXNEJ[EM RAZWITIE W DRUGOM NAPRAWLENII. |TA IDEQ SOSTOIT W TOM, ^TO PARADOKSY OBUSLOWLENY NE SU]ESTWOWANIEM “BOLX[IH” MNOVESTW, A TEM, ^TO \TIM “BOLX[IM” MNOVESTWAM RAZRE[AETSQ WHODITX KAK \LEMENTY W DRUGIE MNOVESTWA. tAKIM OBRAZOM, FON nEJMAN PREDLOVIL WWESTI NOWOE PONQTIE KLASSA. pRI \TOM KLASS, KOTORYJ MOVET WHODITX W KA^ESTWE \LEMENTA W KAKOJ-TO DRUGOJ KLASS, NAZYWAETSQ MNOVESTWOM, A KLASSY, KOTORYE NE WHODQT KAK \LEMENTY NI W KAKOJ KLASS NAZYWA@TSQ SOBSTWENNO KLASSAMI. sOBSTWENNO KLASSY OBLADA@T WSEMI INTUITIWNYMI SWOJSTWAMI MNOVESTW, KROME TOGO, ^TO ONI NE MOGUT BYTX \LEMENTAMI DRUGIH KLASSOW I, TEM SAMYM, DLQ NIH NELXZQ OPREDELITX KLASS WSEH PODKLASSOW. aKSIOMA fREGE TEPERX SPRAWEDLIWA DLQ KLASSOW — T.E. DLQ L@BOGO SWOJSTWA MOVNO OBRAZOWATX KLASS, SOSTOQ]IJ IZ WSEH MNOVESTW, OBLADA@]IH \TIM SWOJSTWOM, — NO NE WEDET K PROTIWORE^I@. nAPRIMER, MOVNO NEPROTIWORE^IWYM OBRAZOM GOWORITX O KLASSE WSEH MNOVESTW.

2.aKSIOMATIKA gEDELQ—bERNAJSA. pOSTROENNAQ W 1937 GODU SISTEMA gEDE-

LQ—bERNAJSA, OBOZNA^AEMAQ OBY^NO GB, KAK RAZ I QWLQETSQ AKSIOMATI^ESKOJ TEORIEJ MNOVESTW, REALIZU@]EJ \TU IDE@68;69.

~TOBY POD^ERKNUTX PREEMSTWENNOSTX OSNOWNOJ IDEI \TOJ SISTEMY S SISTEMOJ FON nEJMANA, MNOGIE AWTORY NAZYWA@T EE SISTEMOJ FON nEJMANA—gEDELQ— bERNAJSA I OBOZNA^A@T NBG. oDNAKO W DEJSTWITELXNOSTI, KAK TEHNI^ESKI, TAK I PO SU]ESTWU SISTEMA GB GORAZDO BLIVE K SISTEME ZF. w SISTEME GB DWA TIPA OB_EKTOW: KLASSY (OBOZNA^AEMYE BOLX[IMI BUKWAMI) I MNOVESTWA (OBOZNA^AEMYE MALENXKIMI BUKWAMI) I ODNO OTNO[ENIE 2.

67J.von Neumann, Die Axiomatisierung der Mengenlehre. — Math. Z., 1928, Bd.27, S.669–752.

68w DEJSTWITELXNOSTI, W 1937 GODU BYLA OPUBLIKOWANA PERWAQ IZ SEMI STATEJ bERNAJSA POD OB]IM NAZWANIEM ‘A system of axiomatic set theory’, W KOTORYH STROILASX \TA SISTEMA, POSLEDNQQ IZ KOTORYH POQWILASX W 1954. a.fRENKELX I bARhILLEL HARAKTERIZU@T \TI STATXI bERNAJSA KAK ‘SAMOE OB[IRNOE I GLUBOKOE IZ SU]ESTWU@]IH ISSLEDOWANIJ PO AKSIOMATI^ESKOJ TEORII MNOVESTW’. dETALXNOE IZLOVENIE SISTEMY GB MOVNO NAJTI W KNIGE P.Bernays, Axiomatic set theory. — Amsterdam, 1958, p.1–225.

69k.gEDELX, sOWMESTIMOSTX AKSIOMY WYBORA I OBOB]ENNOJ KONTINUUM-GIPOTEZY S AKSIOMAMI TEORII MNOVESTW. — uSPEHI mAT. nAUK, 1948, T.3, N.1, S.96–149