vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

kOMMENTARIJ. w \TOM MESTE wIKTOR pETROW ZAMETIL, ^TO, POSKOLXKU MASTX NE SKONSTRUIROWANA QWNYM OBRAZOM IZ PUSTYH MNOVESTW, \TOT PRIMER MOVET BYTX PODWERGNUT KRITIKE S TEH VE POZICIJ, S KOTORYH Q SAM KRITIKU@ “MNOVESTWO ZELENYH QBLOK”. w TOM WIDE, W KOTOROM \TO ZDESX IZLAGAETSQ, \TO, KONE^NO, TAK, ODNAKO SPOSOBNOSTX (I VELANIE!!!) OBRA]ATX WNIMANIE NA PODOBNYE DETALI PREDSTAWLQET SLEDU@]IJ UROWENX SOFISTIKACII, PO SRAWNENI@ S TEM, NA KOTOROM Q OBY^NO OSTANAWLIWA@SX W LEKCIQH PERWOMU KURSU. w DEJSTWITELXNOSTI, S TO^KI ZRENIQ IZLAGAEMOGO PRIMERA SU]ESTWENNO LI[X, ^TO Ä; ~; }; | PREDSTAWLQ@T SOBOJ SIMWOLY, KOTORYE ^ITATELX W SOSTOQNII OTLI^ITX DRUG OT DRUGA I OT WSEH OSTALXNYH UPOTREBLQEMYH SIMWOLOW. sU]ESTWOWANIE TAKIH SIMWOLOW KAK DANNOSTEJ QZYKA NE WYZYWAET SOMNENIQ. wOZMOVNOSTX SKONSTRUIROWATX SOOTWETSTWU@]IE OB_EKTY W RAMKAH IZLAGAEMOJ ZDESX TEORII MOVET BYTX OBOSNOWANA, NAPRIMER, SLEDU@]IM OBRAZOM:

±ONI MOGUT BYTX QWNYM OBRAZOM DOBAWLENY K MNOVESTWU PRA\LEMENTOW;

±IZ AKSIOMY PODSTANOWKI SLEDUET SU]ESTWOWANIE POTUSTORONNIH WE]EJ, T.E. MNOVESTW, OTLI^NYH OT WSEH MNOVESTW, RASSMATRIWAW[IHSQ DO SIH POR.

e]E RAZ POWTORIM, ^TO KONKRETNAQ PRIRODA MASTEJ NE IMEET NIKAKOGO ZNA^ENIQ. s TO^KI ZRENIQ NA[EJ TEORII WAVNO LI[X, ^TO SIMWOLY Ä; ~; }; | OTLI^A@TSQ DRUG OT DRUGA I OT WSEH OSTALXNYH RASSMATRIWAEMYH SIMWOLOW. sLOWOM, MY NE BU-

DEM OBSUVDATX WOZMOVNOSTX OBU^ITX PRINCIPAM FORMALIZOWANNOGO QZYKA SU]ESTWA, UMSTWENNOE RAZWITIE KOTORYH NE DOHODILO BY DO UMENIQ ^ITATX, PISATX I S^ITATX.42. iLI, INA^E, “^TOBY PREDUPREDITX WOZRAVENIQ: ODNO ^ISLO, NI ODNOGO ^ISLA, DWA SLU^AQ, WSE WE]I IZ DANNOJ SOWOKUPNOSTI I T.P., WSE \TO — QSNYE QZYKOWYE OBRAZOWANIQ. tEOREMA 1, TEOREMA 2, : : : , TEOREMA 301 (I ANALOGI^NO DLQ AKSIOM, OPREDELENIJ, GLAW I PARAGRAFOW) ILI 1), 2) I T.P. PRI RAZBIENIQH NA SLU^AI — PROSTO ZNAKI, OTLI^A@]IE DRUG OT DRUGA TEOREMY, AKSIOMY, : : : , SLU^AI I BOLEE UDOBNYE PRI SSYLKAH, ^EM ESLI BY Q, SKAVEM, GOWORIL

SWETLOSINQQ TEOREMA, TEMNOSINQQ TEOREMA I T.P.”43

3. zADANIE MNOVESTWA UKAZANIEM PRAWILA. pERE^ISLITX WSE \LEMENTY BESKONE^NOGO MNOVESTWA OBY^NO DOWOLXNO ZATRUDNITELXNO, PO\TOMU PERE^ISLQ@T NESKOLXKO PERWYH \LEMENTOW \TOGO MNOVESTWA, W KOLI^ESTWE, DOSTATO^NOM, ^TOBY WOSSTANOWITX PRAWILO, PO KOTOROMU OBRAZU@TSQ WSE EGO \LEMENTY, A INOGDA UKAZYWAETSQ E]E I “OB]IJ” \LEMENT.

²! = N0 = f0; 1; 2; 3; : : : g — MNOVESTWO NEOTRICATELXNYH CELYH ^ISEL;

²2N = f2; 4; 6; : : : g — MNOVESTWO ^ETNYH NATURALXNYH ^ISEL, ZAPISYWAETSQ E]E KAK f2; 4; : : : 2n; : : : g;

²2Z = f0; §2; §4; : : : g — MNOVESTWO ^ETNYH CELYH ^ISEL, ZAPISYWAETSQ E]E KAK f0; §2; : : : § 2n; : : : g;

42[Bourbaki], STR.26.

43|.lANDAU, oSNOWY ANALIZA, il, m., 1947, S.1–182. STR.7.

²f1; 4; 9; 16; : : : g — MNOVESTWO KWADRATOW NATURALXNYH ^ISEL, ZAPISYWAETSQ E]E KAK f1; 4; 9; : : : n2; : : : g;

²P = f2; 3; 5; 7; : : : g = f2; 3; 5 : : : p; : : : g, – MNOVESTWO PROSTYH ^I- SEL. pRI \TOM S^ITAETSQ, ^TO IZ KONTEKSTA QSNO, ^TO p OBOZNA^AET IMENNO PROSTOE ^ISLO (BUDU^I PERWOJ BUKWOJ SLOWA prime, p QWLQETSQ SAMYM UPOTREBITELXNYM OBOZNA^ENIEM PROSTYH ^ISEL, DRUGIE ^ASTO WSTRE^A@]IESQ OBOZNA^ENIQ q I `).

²f1; 2; 4; 8; : : : g = f1; 2; 4; : : : 2n; : : : g – MNOVESTWO STEPENEJ DWOJKI.

4.tESTY IQ. w NEKOTORYH SLU^AQH PRAWILO, PO KOTOROMU OBRAZUETSQ OB]IJ \LEMENT MNOVESTWA, UGADATX NE TAK PROSTO I ZADA^I TAKOGO TIPA ^ASTO WHODILI W TESTY DLQ PROWERKI UROWNQ UMSTWENNOGO RAZWITIQ, SOKRA]ENNO NAZYWAEMYE TESTAMI IQ (A KTO PROWERQL UROWENX UMSTWENNOGO RAZWITIQ AWTOROW \TIH TESTOW?). ~TO, NAPRIMER, DOLVNO OBOZNA^ATX f2; 3; 5; 7; 13; : : : g I KAK PRODOLVITX f1; 2; 5; 14; : : : g? aWTORY BOLX[ISTWA TESTOW IQ WERQT, ^TO PODOBNYE WOPROSY DOPUSKA@T ODNOZNA^- NYE OTWETY. w DEJSTWITELXNOSTI \TO, KONE^NO, NE TAK. oTWETY NA PODOBNYE WOPROSY OBY^NO OPREDELQ@TSQ KONTEKSTOM I FONOM (background), A WOWSE NE INTELLEKTOM. eSLI SPROSITX PROFESSIONALXNOGO ALGEBRAISTA, ^TO BUDET SLEDU@]IM \LEMENTOM MNOVESTWA

f2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; : : : g;

TO ON, NESOMNENNO, TUT VE ZAMETIT, ^TO UKAZANNYE ^ISLA PREDSTAWLQ@T SOBOJ PORQDKI KONE^NYH PROSTYH GRUPP I OTWETIT, ^TO \TO 60. sPECIALIST VE PO TEORII ^ISEL, RE[IT, ^TO \TO RACIONALXNYE PROSTYE ^ISLA, SLEDU@]EE IZ KOTORYH 61. w TO VE WREMQ, NE IMEETSQ NIKAKIH DOSTOWERNYH ISSLEDOWANIJ, KOTORYE PODTWERVDALI BY STATISTI^ESKI ZNA^IMYE OTLI^IQ W UROWNE UMSTWENNOGO RAZWITIQ ALGEBRAISTOW I TEORETIKO-^ISLOWIKOW.

x 4. aLFAWIT

w 30-E GODY MATEMATI^ESKIJ UROWENX FIZIKA-TEORETIKA SWELSQ K RUDIMENTARNOMU WLADENI@ LATINSKIM I GRE^ESKIM ALFAWITAMI.

rES jOST44

eSLI wY NE IZU^ALI GRE^ESKIH KLASSIKOW W PODLINNIKE, TO wY NE MOVETE ZNATX NAZWANIJ GRE^ESKIH BUKW.

mAJKL sPIWAK45

kARAMZIN IZOBREL TOLXKO BUKWU ÄE: H, P, V IZOBRELI kIRILL I mEFODIJ.

44cITIRUETSQ PO m.rID, b.sAJMON, mETODY SOWREMENNOJ mATEMATI^ESKOJ FIZIKI, T. 4, aNALIZ OPERATOROW. — mIR, m., 1982, S.1–428. STR.11.

45m.sPIWAK, wOSHITITELXNYE TEX (The Joy of TEX). — m., mIR, 1993, S.1–284; STR.54.

wENEDIKT eROFEEW, iZ ZAPISNYH KNIVEK

1.rUSSKIJ ALFAWIT. oBOZNA^IM ^EREZ Cyr = fA,B,W,: : : ,\,@,Qg — MNOVESTWO BUKW SOWREMENNOGO RUSSKOGO ALFAWITA, SODERVA]EE 32 \LEMENTA (MY S^ITAEM J OTDELXNOJ BUKWOJ, NO Äe TAKOWOJ NE QWLQETSQ, TAK ^TO Äe=E). dLQ MNOGIH FORMULIRUEMYH W DALXNEJ[EM ZADA^, W KOTORYH WSTRE^AETSQ Cyr, SU]ESTWENNO, ^TO NI ODNO RUSSKOE SLOWO NE MOVET NA^INATXSQ S X, _, KOTORYE W SOWREMENNOM RUSSKOM QZYKE NE WYRAVA@T FONEM, NE IME@T SOBSTWENNYH ^TENIJ I FAKTI^ESKI WYPOLNQ@T FUNKCI@ DIAKRITI^ESKIH ZNAKOW, A NE BUKW, ^TO POD^ERKIWAETSQ I IH OB]EPRINQTYMI NAZWANIQMI. wPRO^EM, TRADICIONNO _, ON VE ER_, BYL POLUGLASNOJ, ^ITAW[EJSQ KAK schwa W SOWREMENNOM ANGLIJSKOM QZYKE (I SOHRANIW[EJ \TO ^TENIE W NEKOTORYH DRUGIH SLAWQNSKIH QZYKAH, NAPRIMER, W B_LGARSKOM). tAK KAK GENETI^ESKI Y QWLQETSQ DIGRAFOM, SOSTOQ]IM IZ _ I i, TO PO TEM VE ISTORI^ESKIM PRI^INAM NI ODNO FAKTI^ESKI SU]ESTWU@]EE RUSSKOE SLOWO NE NA^INAETSQ S Y. nO, POSKOLXKU BUKWA Y IMEET SAMOSTOQTELXNOE FONETI^ESKOE ZNA^ENIE, LEGKO PREDSTAWITX SEBE ZAIMSTWOWANNOE SLOWO, NAPRIMER, LI^NOE IMQ, S NEE NA^INA@]EESQ. tAKIM OBRAZOM, WO WSEH ZADA^AH OB INICIALAH I T.D. MY S^ITAEM, ^TO RUSSKOE SLOWO MOVET NA^INATXSQ S L@BOGO IZ 30 \LEMENTOW Cyr OTLI^NYH OT X I _.

2.lATINSKIJ ALFAWIT. oBOZNA^IM ^EREZ Lat = fa; b; c; : : : ; x; y; zg — MNOVESTWO BUKW LATINSKOGO ALFAWITA. rAZUMEETSQ, PRI ISPOLXZOWANII W MATEMATI^ESKOJ RE^I PONQTIE “LATINSKOGO” ALFAWITA, KAK I L@BOE DRUGOE PONQTIE, NUVDAETSQ W TO^NOM OPREDELENII, TAK KAK W OBIHODE POD “LATINSKIM” ALFAWITOM MOVET PONIMATXSQ PRAKTI^ESKI ^TO UGODNO, NEKOTORYE “LATINSKIE” ALFAWITY SODERVAT BOLEE

50BUKW. pOMIMO DOPOLNITELXNYH BUKW I BUKW S DIAKRITI^ESKIMI ZNAKAMI MNOGIE QZYKI ISPOLXZU@T SO^ETANIQ DWUH BUKW KAK EDINYE BUKWY, TAK ^TO, NAPRIMER, “LATINSKIJ” ALFAWIT, ISPOLXZUEMYJ DLQ ZAPISI SOWREMENNOGO ISPANSKOGO QZYKA, SODERVIT BUKWY ch I ll, OTKRYWA@]IE OTDELXNYE RAZDELY SLOWARQ. dAVE FILOLOGI KLASSIKI RASHODQTSQ W WOPROSE O TOM, SKOLXKO \LEMENTOW, 22, 23, 24 ILI 25, SODERVIT Lat. |TO SWQZANO, PREVDE WSEGO, NE S NEWOZMOVNOSTX@ OPREDELITX, KAKIE \LEMENTY PRINADLEVAT Lat (\TA TRUDNOSTX WOZNIKAET LI[X W SLU^AE w = vv), A S NEWOZMOVNOSTX@ RE[ITX, KOGDA DWA \LEMENTA Lat RAWNY MEVDU SOBOJ (A IMENNO, WERNO LI, ^TO c = g, i = j I u = v? wOT TUT TO I NUVNO WSPOMNITX kANTOROWSKOE wohlunterschiedene!). eSLI PROTIWNOE NE OGOWORENO QWNO, W \TOJ KNIGE POD “LATINSKIM” ALFAWITOM MY WS@DU PODRAZUMEWAEM ANGLIJSKIJ ALFAWIT, TAK ^TO, W ^ASTNOSTI, g; j; v; w 2 Lat I MNOVESTWO Lat SODERVIT 26 \LEMENTOW. w TO VE WREMQ, TRADICIONNO ISPOLXZUEMYE RUSSKIMI MATEMATIKAMI NAZWANIQ \LEMENTOW Lat, OSNOWANNYE NA GIMNAZI^ESKOJ LATYNI S FRANCUZSKIM AKCENTOM, ZAMETNO OTLI^A@TSQ OT ^TENIQ SOOTWETSTWU@]IH BUKW ANGLIJSKOGO QZYKA I PRIWEDENY NIVE:

3. gOTI^ESKIJ ALFAWIT. w KLASSI^ESKIH KNIGAH PO ALGEBRE (W ^ASTNOSTI, W U^EBNIKE WAN DER wARDENA) [IROKO ISPOLXZUETSQ “GOTI^ESKIJ” ALFAWIT Frac =

fa; b; c; : : : ; x; y; zg. pRIWEDEM NA^ERTANIQ I TRADICIONNYE NAZWANIQ PE^ATNYH GOTI^ESKIH BUKW46:

oBRATITE WNIMANIE, ^TO ^TENIQ BUKW g, h, v, w, y, z, OTLI^A@TSQ OT ^TENIQ SOOTWETSTWU@]IH “LATINSKIH” BUKW!

4. gRE^ESKIJ ALFAWIT. oBOZNA^IM ^EREZ Greek = f®; ¯; °; : : : ; Â; Ã; !g – MNOVESTWO BUKW GRE^ESKOGO ALFAWITA. eSLI PROTIWNOE NE OGOWORENO QWNO, POD “GRE^E- SKIM” ALFAWITOM MY PONIMAEM DREWNEGRE^ESKIJ ALFAWIT KLASSI^ESKOGO PERIODA, SODERVA]IJ 24 \LEMENTA. tAKIM OBRAZOM, MNOVESTWU Greek NE PRINADLEVAT NI ARHAI^ESKIE BUKWY DIGAMMA, STIGMA, KOPPA I SAMPI, NI ISPOLXZUEMYE W NOWOGRE^E- SKOM W KA^ESTWE BUKW DIGRAFY ¹¼, º¿ I T.D. tAK KAK GRE^ESKIE BUKWY ^REZWY^AJNO [IROKO ISPOLXZU@TSQ W MATEMATIKE, NIVE MY WOSPROIZWODIM NA^ERTANIQ PROPISNYH I STRO^NYH GRE^ESKIH BUKW I IH TRADICIONNYE RUSSKIE NAZWANIQ:

|TI TRADICIONNO ISPOLXZUEMYE RUSSKIMI U^ENYMI NAZWANIQ NE IME@T NIKAKOGO OTNO[ENIQ K ^TENI@ \TIH BUKW NI W DREWNEGRE^ESKOM (FILOLOGI-KLASSIKI S^ITA@T, ^TO DREWNIE NAZYWALI \TU BUKWU TH\TA), NI W NOWOGRE^ESKOM (GDE ¯ NAZYWAETSQ WITA, A µ, ESTESTWENNO, µITA — ILI, PRI OTSUTSTWII PEREDNIH ZUBOW, FITA), NI, KONE^NO, W ANGLIJSKOM, (GDE " NAZYWAETSQ IPSAJLEN, A Â — KAJ).

pREDOSTEREVENIE. nEKOTORYE GRE^ESKIE BUKWY IME@T DWA TRADICIONNYH NA- ^ERTANIQ, NAPRIMER, BUKWA SIGMA W NA^ALE ILI SEREDINE SLOWA PI[ETSQ KAK ¾, A W KONCE SLOWA — KAK &. bOLX[INSTWO MATEMATIKOW ISPOLXZU@T PRIWEDENNYE WY[E NA^ERTANIQ BUKW \PSILON " I FI '. mEVDU TEM, TEX TRAKTUET KAK OSNOWNYE NA^ERTANIQ ² I Á. s DRUGOJ STORONY, ISPOLXZOWANIE NA^ERTANIJ TETA KAK #, RO KAK % I KAPPA KAK { WMESTO OBY^NYH µ, ½ I · OGRANI^ENO NEKOTORYMI SPECIALXNYMI KONTEKSTAMI, TAKIMI KAK TEORIQ #-FUNKCIJ. w SWO@ O^EREDX, GRAFI^ESKIJ WARIANT $ BUKWY PI ISPOLXZUETSQ ^REZWY^AJNO ^ASTO (\TO STANDARTNOE OBOZNA^ENIE DLQ FUNDAMENTALXNYH WESOW W TEORII ALGEBR lI), NO PODAWLQ@]EE BOLX[INSTWO MATEMATIKOW, KOTORYM NE UDALOSX PRO^ESTX GRE^ESKIH KLASSIKOW W ORIGINALE, S^ITAET,

46|TO GERMANSKOE NA^ERTANIE, KOTOROE PROFESSIONALY NAZYWA@T FRAKTUROJ, ^TOBY OTLI^ITX EGO OT “LATINSKOGO” NA^ERTANIQ, NAZYWAEMOGO ANTIKWOJ.

^TO \TO PROSTO PLOHO PROPE^ATANNAQ ! — E]E ODIN POWOD WSPOMNITX kANTOROWSKOE wohlunterschiedene! ~TOBY RAZLI^ATX \TI NA^ERTANIQ TEX ISPOLXZUET RAZLI^NYE KOMANDNYE POSLEDOWATELXNOSTI, A IMENNO,

w KA^ESTWE E]E ODNOGO PREDOSTEREVENIQ STOIT UPOMQNUTX, ^TO PO-GRE^ESKI BUKWA IPSILON PEREDAET OGUBLENNYJ ZWUK BLIZKIJ K NEMECKOMU u¨ I PO\TOMU À POROVDAETSQ KONTROLXNOJ POSLEDOWATELXNOSTX@ nupsilon, A WOWSE NE nipsilon, KAK MOVNO BYLO BY OVIDATX IZ RUSSKOGO ^TENIQ.

w PRODWINUTYH RABOTAH PO TEORII MNOVESTW DLQ OBOZNA^ENIQ BESKONE^NYH MO]- NOSTEJ OBY^NO ISPOLXZUETSQ EWREJSKIJ ALFAWIT Hebrew = f@; i; j; k; : : : g NO, TAK KAK RAZLI^ATX PE^ATNYE (I, TEM BOLEE, NEPE^ATNYE) EWREJSKIE BUKWY NA^INA@]EMU TRUDNO, MY POSTARAEMSQ OBOJTISX LATINSKIM I GRE^ESKIM ALFAWITAMI.

x 5. pO^EMU NELXZQ GOWORITX O MNOVESTWE ZELENYH QBLOK?

w DEJSTWITELXNOSTI, TEORIQ MNOVESTW NE IMEET NI^EGO OB- ]EGO S NAU^NO-TEHNI^ESKIM PROGRESSOM I NE QWLQETSQ NOWEJ- [IM DOSTIVENIEM MATEMATIKI. tEORETIKO-MNOVESTWENNAQ IDEOLOGIQ PRIWODIT, NAPRIMER, K TAKIM URODSTWAM, KAK ZAMENA TERMINA “RAWENSTWO” GEOMETRI^ESKIH FIGUR TERMINOM “KONGRU\NTNOSTX” I OPREDELENIE WEKTORA KAK “PARALLELXNYJ SDWIG PROSTRANSTWA”.

l.s.pONTRQGIN47

oDINOKO BROVU SREDX TOLPY Q i NE WIVU MNE RAWNOGO W NEJ. dO ^EGO VE WSE L@DI TUPYE, dO ^EGO VE IH WSEH Q UMNEJ.

wSE DRUGIE GORAZDO TUPEE,

nET TAKOGO, ^TOB RAWEN BYL MNE. lI[X ODIN SEBE RAWEN W TOLPE Q. lI[X ODIN. dA I TO NE WPOLNE.

iGORX iRTENXEW, sTIHI RAZNYH LET

1. wNEMATEMATI^ESKIE PRIMERY “MNOVESTW”. wO MNOGIH \LEMENTARNYH RU-

KOWODSTWAH PRIWODQTSQ PRIMERY “MNOVESTW”, “FUNKCIJ” I “OTNO[ENIJ”, QKOBY WOZNIKA@]IE W “REALXNOJ VIZNI”. tAK DLQ NAGLQDNOSTI INOGDA POSTUPAEM I MY. sLEDUET, ODNAKO IMETX W WIDU, ^TO WSE \TI PRIMERY NOSQT METAFORI^ESKIJ HARAKTER: W OKRUVA@]EM NAS MIRE NET NI^EGO, ^TO MOVNO BYLO BY WOSPRINIMATX

47l.s.pONTRQGIN, aNALIZ BESKONE^NO MALYH, nAUKA, m., 1980, S.1–256.

KAK MNOVESTWA BUKWALXNO — MNOVESTWA PRINADLEVAT NA[IM MODELQM WNE[NEGO MIRA. wPRO^EM, TO VE SAMOE OTNOSITSQ KO WSEM MATEMATI^ESKIM PONQTIQM: W DEJSTWITELXNOSTI ONI GOWORQT NE^TO NE O WNE[NEM MIRE, A O NA[EM WOSPRIQTII \TOGO MIRA. w MATERIALXNOM MIRE KAK TAKOWOM NET NE TOLXKO NIKAKOGO PRQMOGO ANALOGA TAKIH PONQTIJ, KAK “NATURALXNOE ^ISLO” (ZABUDEM PRO “WE]ESTWENNYE ^ISLA”!), “TO^KA” ILI “PRQMAQ”, NO I NI^EGO, ^TO DELALO BY NEOBHODIMYM WWEDENIE IMENNO \TIH PONQTIJ. iMENNO \TA ^ERTA MATEMATIKI POD^ERKNUTA W ZAME^ATELXNO TO^-

NOM OPREDELENII FON lEJBNICA: mATEMATIKA IZU^AET WSE W OBLASTI ^ISTOGO UMOZRENIQ, ^TO PODDAETSQ TO^NOMU OPREDELENI@.

gOTTFRID wILXGELXM FON lEJBNIC (01.07.1646, lEJPCIG — 14.11.1716, gANNOWER) — KL@^EWAQ FIGURA W RAZWITII MATEMATIKI I WSEJ eWROPEJSKOJ KULXTURY. kROME MATEMATIKI ON ZANIMALSQ LINGWISTIKOJ, ISTORIEJ, FILOSOFIEJ, GEOLOGIEJ, BYL @RISTOM, DIPLOMATOM I ARHIWISTOM gANNOWERSKOJ FAMILII. u^ENIKAMI lEJBNICA BYLI BRATXQ bERNULLI, W SWO@ O^EREDX lEONARD |JLER BYL NEPOSREDSTWENNYM U^ENIKOM iOGANNA bERNULLI. tAKIM OBRAZOM, pETERBURGSKAQ MATEMATIKA WOSHODIT K [KOLE lEJBNICA. w 1663–1676 GODAH ON RAZWIL DIFFERENCIALXNOE I INTEGRALXNOE IS^ISLENIE I WWEL OBOZNA^ENIQ TAKIE KAK R I dx, KOTORYE ISPOLXZU@TSQ I SEGODNQ. w 1679 W SWQZI S POISKAMI ‘UNIWERSALXNOGO METODA’, KOTORYJ DOLVEN SWESTI RASSUVDENIQ K WY^ISLENIQM, ON RAZWIL DWOI^NU@ ARIFMETIKU. k lEJBNICU WOSHODQT DESQTKI PONQTIJ, TERMINOW I OBOZNA^ENIJ W UNIWERSITETSKIH KURSAH, W TOM ^ISLE FUNKCIQ, OPREDELITELX, DIFFERENCIROWANIQ KOLEC, PROIZWODNAQ, DIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ, ALGORITM, KOORDINATY, ALGEBRAI^ESKOE versus TRANSCENDENTNOGO, KRUGI |JLERA I T.D. tOLXKO O^ENX NEMNOGIE IZ \TIH PONQTIJ OFICIALXNO NOSQT EGO IMQ: FORMULA lEJBNICA, PRIZNAK lEJBNICA ...

2. ~TO TAKOE “RAWENSTWO” \LEMENTOW? pROBLEMA S WNE[NIM MIROM SOSTOIT IMENNO W TOM, ^TO ON NE OTNOSITSQ, PO WSEJ WIDIMOSTI, K OBLASTI ^ISTOGO UMOZRE-

NIQ I MALO ^TO W NEM PODDAETSQ TO^NOMU OPREDELENI@. tRUDNOSTI WOZNIKA@T UVE NA UROWNE SAMYH PROSTYH (I, PO\TOMU, SAMYH FUNDAMENTALXNYH!) PONQTIJ, TAKIH KAK RAWENSTWO DWUH \LEMENTOW ILI PRINADLEVNOSTX \LEMENTA MNOVESTWU. pONQTIE RAWENSTWA, W SMYSLE, PEREDAWAEMOM TAKVE SLOWAMI TOVDESTWENNOSTX, IDENTI^NOSTX, ODINAKOWOSTX NE OBLADAET SWOJSTWAMI, KOTORYE MY PRIPISYWAEM EMU W MATEMATIKE. pO-WIDIMOMU, W MAKROMIRE NI ODIN OB_EKT NE RAWEN SAMOMU SEBE. oBY^NYM WYRAVENIEM \TOGO QWLQETSQ FRAZA gERAKLITA: NELXZQ DWAVDY WOJTI W ODNU I TU VE REKU. wPRO^EM, ^ELOWEK PODSOZNATELXNO WOSPRINIMAET PROISHODQ]IE W PRIRODE PROCESSY KAK NEPRERYWNYE I PO\TOMU kRATIL WOZRAZIL EMU, ^TO NELXZQ WOJTI I ODIN RAZ. nAPROTIW, W MIKROMIRE WSE OB_EKTY ODNOGO TIPA SLEDUET W SAMOM STROGOM SMYSLE RASSMATRIWATX KAK ODIN I TOT VE OB_EKT. s \TOJ TO^KI ZRENIQ ABSOL@TNO BESSMYSLENNY PRIMERY TIPA “MNOVESTWO ATOMOW WODORODA NA sOLNCE”.

w SAMOJ MATEMATIKE RAWENSTWO DWUH WE]EJ ESTX PRODUKT SOGLA[ENIQ (SOGLA-

SIE ESTX PRODUKT NEPROTIWLENIQ STORON) I MOVET W RAZNYH SITUACIQH PONIMATX-

SQ PO-RAZNOMU. dOSTATO^NO WSPOMNITX KONTROWERZI@ OB UPOTREBLENII SLOW RAWNYJ I KONGRU\NTNYJ W [KOLXNOJ GEOMETRII: ^TO TAKOE DWE RAWNYE FIGURY? wSKORE MY WSTRETIMSQ S UPOTREBLENIEM SLOW OTOBRAVENIE I SEMEJSTWO, KOTORYE OTLI^A@TSQ TOLXKO ISPOLXZUEMYM PONQTIEM RAWENSTWA. w BOLEE PRODWINUTYH OBLASTQH ALGEBRY PONQTIE RAWENSTWA OB_EKTOW UTRA^IWAET WSQKOE ZNA^ENIE, I NA PERWYJ PLAN

WYDWIGAETSQ PONQTIE DRUGOE PONQTIE ODINAKOWOSTI, A IMENNO, IZOMORFIZM. e]E NA [AG DALX[E PONQTIE IZOMORFIZMA STANOWITSQ STOLX VE BESSMYSLENNYM, KAK PONQTIE RAWENSTWA, I NA PERWYJ PLAN WYDWIGAETSQ PONQTIE \KWIWALENTNOSTI ILI

GOMOTOPII I TAK DALEE.

3.pRIMER NEOPREDELENNOSTI, SWQZANNYJ S WELI^INOJ MNOVESTWA. rAS-

SMOTRIM RAZLI^NYE IZDANIQ ODNOJ I TOJ VE KLASSI^ESKOJ KNIGI OB_EMOM, SKAVEM,

500STRANIC. pREDPOLOVIM, ^TO W \TOJ KNIGE SDELANA 1000 OPE^ATOK (WPOLNE REALISTI^ESKAQ OCENKA SNIZU). bUDEM LI MY PO PREVNEMU WOSPRINIMATX DWA RAZLI^NYH \KZEMPLQRA KNIGI, S RAZNYMI OPE^ATKAMI, KAK ODNU I TU VE KNIGU? (|TA PROBLEMA PODROBNO OBSUVDAETSQ W RASSKAZE bORHESA “bIBLIOTEKA”). wOZXMEM KAKOJNIBUDX TEKST, KOTORYJ, S ODNOJ STORONY, E]E DOSTATO^NO BLIZOK K SOWREMENNOMU QZYKU, ^TOBY BYTX POLNOSTX@ PONQTNYM I NE NUVDATXSQ W PEREWODE, A, S DRUGOJ STORONY, SU]ESTWENNO RASHODITSQ S NORMAMI SOWREMENNOGO QZYKA ORFOGRAFI^ESKI. dLQ BOLX[INSTWA OSNOWNYH EWROPEJSKIH QZYKOW WREMENNOJ GRANICEJ QWLQETSQ NA- ^ALO XVI WEKA, HORO[IMI PRIMERAMI MOGUT SLUVITX KNIGI rABLE ILI mARGARITY nAWARRSKOJ, KONE^NO, SU]ESTWU@T GORAZDO BOLEE KONSERWATIWNYE QZYKI, ^EM RUSSKIJ, ANGLIJSKIJ, NEMECKIJ ILI FRANCUZSKIJ. bUDET LI IZDANIE “gARGANT@A I pANTAGR@\LQ” W ORIGINALXNOJ ORFOGRAFII TOJ VE SAMOJ KNIGOJ, ^TO IZDANIE S MODERNIZIROWANNOJ ORFOGRAFIEJ?

4.pRIMERY NEOPREDELENNOSTI, NE SWQZANNYE S WELI^INOJ MNOVESTW. mO-

VET POKAZATXSQ, ^TO WSE PRIMERY NEOPREDELENNOSTI SWQZANY S BOLX[OJ WELI^INOJ RASSMATRIWAEMYH OB_EKTOW. oDNAKO DAVE NA UROWNE SAMYH MALENXKIH “MNOVESTW” SOWER[ENNO NEQSNO, KAKIE \LEMENTY PRINADLEVAT IM I SKOLXKO \TIH \LEMENTOW. mY UVE PRIWODILI PRIMER NEOPREDELENNOSTI, SWQZANNYJ S PONIMANIEM WYRAVENIQ “MNOVESTWO BUKW LATINSKOGO ALFAWITA”. mOVNO UKAZATX MNOGO DRUGIH SITUACIJ, GDE NEOPREDELENNOSTX WOWSE NE SWQZANA S WELI^INOJ, A WOZNIKAET PO SOWER[ENNO DRUGIM PRI^INAM. hRESTOMATIJNYM QWLQETSQ PRIMER “MNOVESTWO WELIKIH RUSSKIH ROMANOW XX WEKA” (PRINADLEVIT LI ‘lOLITA’ \TOMU MNOVESTWU? — I ESLI NET, TO PO^EMU?). dAVE TAKOE NEWINNOE — I, PO WIDIMOSTI, TO^NOE — WYRAVENIE KAK “MNOVESTWO PADEVEJ SOWREMENNOGO RUSSKOGO QZYKA” MOMENTALXNO PRIWODIT K NERAZRE[IMOJ PROBLEME, ^TO IMENNO NADLEVIT S^ITATX RAZLI^NYMI \LEMENTAMI \TOGO MNOVESTWA: SLEDUET LI W VIWOM WELIKORUSSKOM QZYKE OTLI^ATX WOKATIW OT

NOMINATIWA, PARTITIW OT GENITIWA, I ABLATIW OT PREDLOVNOGO PADEVA?. kONE^NO,

MOVNO POSTULIROWATX — KAK \TO DELA@T AWTORY [KOLXNYH U^EBNIKOW, — ^TO \TO MNOVESTWO SOSTOIT IZ 6 \LEMENTOW, NO L@BOJ NEPREDWZQTYJ MORFOLOGI^ESKIJ ANALIZ POKAZYWAET, ^TO W SOWREMENNOM RUSSKOM QZYKE IMEETSQ PO KRAJNEJ MERE 9 PADEVEJ S RAZLI^NYMI FORMAMI.

x 6. pODMNOVESTWA, WKL@^ENIE

1. wKL@^ENIE, PODMNOVESTWA. w TERMINAH OTNO[ENIQ PRINADLEVNOSTI MOVNO OPREDELITX NESKOLXKO DRUGIH OTNO[ENIJ MEVDU MNOVESTWAMI, WAVNEJ[EE IZ NIH — \TO OTNO[ENIE WKL@^ENIQ.

oPREDELENIE. eSLI KAVDYJ \LEMENT x MNOVESTWA A PRINADLEVIT MNOVESTWU B, TO GOWORQT, ^TO MNOVESTWO A SODERVITSQ W MNO- VESTWE B, ILI ^TO MNOVESTWO A QWLQETSQ PODMNOVESTWOM W B I

PI[UT A µ B.

wWEDENNYJ W \TOM OPREDELENII ZNAK µ NAZYWAETSQ ZNAKOM WKL@^E- NIQ, EGO TEXNI^ESKOE NAZWANIE nsubseteq. pO OPREDELENI@ A µ B OZNA^AET, ^TO x 2 A =) x 2 B. tAK VE, KAK I ZNAK PRINADLEVNOSTI 2, ZNAK WKL@^ENIQ µ ^ASTO PI[ETSQ W DRUGU@ STORONU, A IMENNO, B ¶ A, TEXNI^ESKI nsupseteq, OZNA^AET TO VE SAMOE, ^TO I A µ B, NO ^ITAETSQ ‘B QWLQETSQ NADMNOVESTWOM A’, ‘B WKL@^AET A’ ILI ‘B

SODERVIT A W KA^ESTWE PODMNOVESTWA’. zAMETIM, ^TO ZNAK ½ TOVE BYL WWEDEN pEANO I SEGODNQ OBY^NO WOSPRINIMAETSQ KAK SLEGKA DEFORMIROWANNYJ ZNAK NERAWENSTWA <.

kOMMENTARIJ. wPRO^EM, SAM pEANO ISPOLXZOWAL EGO W PROTIWOPOLOVNOM SMYSLE I ZAPISYWAL WKL@^ENIE A W B KAK A ¾ B (IZ A SLEDUET B). wEROQTNO, \TO UKAZYWAET NA PROISHODIW[U@ W EGO SOZNANII BORXBU \KSTENSIONALXNOJ I INTENSIONALXNOJ TO^EK ZRENIQ. dELO W TOM, ^TO ESLI P I Q DWA PREDIKATA, TO

(P =) Q) =) fx 2 X j P (x)g µ fx 2 X j Q(x)g:

dLQ OTRICANIQ WKL@^ENIQ ZNAK µ PERE^ERKIWAETSQ. tAKIM OBRAZOM, A 6µB OZNA^AET, ^TO A NE QWLQETSQ PODMNOVESTWOM W B, T.E. ^TO NAJDETSQ TAKOE x 2 A, ^TO x 2= B. eSLI A µ B, NO PRI \TOM B 6µA, TO GOWORQT, ^TO A STROGO (SOBSTWENNO) SODERVITSQ W B ILI ^TO A QWLQETSQ SOBSTWENNYM PODMNOVESTWOM W B I PI[UT A ½ B. zNAK ½ NAZYWAETSQ ZNAKOM STROGOGO WKL@^ENIQ, TEXNI^ESKI nsubset. tO^- NO TAK VE B ¾ A, OZNA^AET, ^TO B QWLQETSQ SOBSTWENNYM NADMNO-

VESTWOM A ILI, ^TO TO VE SAMOE, B STROGO (SOBSTWENNO) SODERVIT

A. zNAK ¾ TEXNI^ESKI NAZYWAETSQ nsupset.

2. sWOJSTWA WKL@^ENIQ. zNAK µ DOLVEN NAPOMINATX, ^TO OTNO[E- NIE WKL@^ENIQ ANALOGI^NO OTNO[ENI@ NERAWENSTWA ·. pERE^ISLIM NAIBOLEE WAVNYE SWOJSTWA WKL@^ENIQ.

²rEFLEKSIWNOSTX: A µ A;

²aNTISIMMETRI^NOSTX: ESLI A µ B I B µ A, TO A = B;

²tRANZITIWNOSTX: ESLI A µ B I B µ C, TO A µ C.

sWOJSTWA OTNO[ENIJ ¶, ½ I ¾ ANALOGI^NY SWOJSTWAM ¸, < I >, SOOTWETSTWENNO.

rEFLEKSIWNOSTX OZNA^AET, ^TO KAVDOE MNOVESTWO A QWLQETSQ PODMNOVESTWOM SEBQ SAMOGO. pODMNOVESTWO A µ A NAZYWAETSQ OBY^NO NESOBSTWENNYM PODMNOVESTWOM MNOVESTWA A. w x 6 BUDET OPREDELENO PUSTOE MNOVESTWO ?. tAK KAK U PUSTOGO MNOVESTWA WOOB]E NET \LEMENTOW, TO L@BOJ \LEMENT PUSTOGO MNOVESTWA QWLQETSQ TAKVE \LEMENTOM L@BOGO DRUGOGO MNOVESTWA A I, ZNA^IT, ? µ A. |TO PODMNOVESTWO OBY^NO NAZYWAETSQ TRIWIALXNYM. tAKIM OBRAZOM, KAVDOE

MNOVESTWO A IMEET PO KRAJNEJ MERE DWA PODMNOVESTWA, TRIWIALXNOE I NESOBSTWENNOE (KOTORYE MOGUT, WPRO^EM, SOWPADATX MEVDU SOBOJ).

kOMMENTARIJ: rAWENSTWO MNOVESTW. aNTISIMMETRI^NOSTX W DEJSTWITELXNOSTI QWLQETSQ OPREDELENIEM RAWENSTWA MNOVESTW: DWA MNOVESTWA NAZYWA@TSQ RAWNYMI, ESLI KAVDOE IZ NIH QWLQETSQ PODMNOVESTWOM DRUGOGO. |TO OPREDELENIE PREDSTAWLQET SOBOJ PEREFORMULIROWKU AKSIOMY OB_EMNOSTI ZF1, KOTORU@ MY PODROBNO OBSUVDAEM W x 5.

oTSTUPLENIE: sILLOGIZM Barbara. tRANZITIWNOSTX WKL@^ENIQ IZWESTNA W TRADICIONNOJ LOGIKE POD NAZWANIEM SILLOGIZMA Barbara: ESLI L@BOE A ESTX B I L@BOE B ESTX C, TO L@BOE A ESTX C. pODOBNAQ CEPO^KA WKL@^ENIJ OBY^NO ZAPISYWAETSQ KAK A µ B µ C. wOT KLASSI^ESKIJ PRIMER WERNOGO RASSUVDENIQ, OSNOWANNOGO NA \TOM SILLOGIZME: “L@BAQ VABA ESTX MLEKOPITA@]EE, L@BOE MLEKOPITA@]EE ESTX VIWOTNOE, SLEDOWATELXNO, L@BAQ VABA ESTX VIWOTNOE”. oBRATITE WNIMANIE, ^TO MY NE OBSUVDAEM ZDESX SPRAWEDLIWOSTX POSYLOK I ZAKL@^ENIQ, A GOWORIM LI[X, ^TO ESLI POSYLKI OCENENY KAK ISTINNYE, TO I ZAKL@^ENIE DOLVNO BYTX OCENENO KAK ISTINNOE. a WOT KAK ISPOLXZOWAL \TOT SILLOGIZM lX@IS k\R- ROLL: “mQSO, KOTOROE Q EM NA OBED, — \TO MQSO, KOTOROE Q POKUPA@ NA RYNKE; MQSO, KOTOROE Q POKUPA@ NA RYNKE, — \TO SYROE MQSO. pO\TOMU MQSO, KOTOROE Q EM NA OBED, – \TO SYROE MQSO”. zAMETIM, WPRO^EM, ^TO TRADICIONNAQ LOGIKA NE OTLI^ALA \TO RASSUVDENIE OT RASSUVDENIQ WIDA: ESLI x 2 A I A µ B, TO x 2 B.

3. pERWYE PRIMERY PODMNOVESTW. pRIWEDEM NESKOLXKO O^EWID-

NYH PRIMEROW PODMNOVESTW.

²iME@T MESTO WKL@^ENIQ N µ Z µ Q µ Q; R µ C. iZ MNOVESTW Q I R NI ODNO NE SODERVITSQ W DRUGOM;

²2N; P µ N;

²f1; 3; 5; 7g µ Digit;

²fa; b; cg µ Lat;

²wKL@^ENIE m µ n IMEET MESTO W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA m · n;

x 7. lOGI^ESKIE PARADOKSY, ANTINOMII I FANFREL@[KI

Votre conseil, dist Panurge, soubs correction, semble `a la chanson de Ricochet: ce ne sont que sarcasmes, moqueries, paronomasies, ´epanalepses et redictes contradictoires. Les unes destruisent les aultres. Je ne s¸cai esquelles me tenir. — Aussi, repondit Pantagruel, en vos propositions tant y ha de Si et de Mais, que je n’y s¸caurons rien fonder, ne rien r´esouldre.

Fran¸cois Rabelais*

*wA[I SOWETY, SKAZAL pANURG, ESLI NE O[IBA@SX, NAPOMINA@T PESENKU O rIKO[E: ODNI LI[X SARKAZMY, NASME[KI, PARONOMAZII, \PANALEPSII I NESKON^AEMYE PROTIWORE^IQ. oDNI IZ NIH RAZRU[A@T DRUGIE. q NE ZNA@, KAKOGO IZ NIH PRI-

kOGDA bOLXCMAN PO^TI STOLETIE NAZAD SFORMULIROWAL H- TEOREMU, TO PROTIW NEE BYLI WYDWINUTY WOZRAVENIQ NA TOM OSNOWANII, ^TO ONA WEDET K “PARADOKSAM”. mY UPOMINAEM OB \TIH “PARADOKSAH” TOLXKO WWIDU IH ISTORI^ESKOGO INTERE-

SA. pARADOKSA ZDESX NET, POSKOLXKU UTWERVDENIE, NA KOTOROE ON OPIRAETSQ, O[IBO^NO.

kERZON hUANG48.

Epimenides to Buddha: I have come to ask a question. What is the best question to be asked, and what is the best answer to be given?

Buddha: The best question that can be asked is the question you are asking, ans the best answer that can be given is the answer I am giving.

R.Smullyan

mNOVESTWO ^AJNYH LOVEK SAMO NE ESTX ^AJNAQ LOVKA, A MNOVESTWO WE]EJ, NE QWLQ@]IHSQ ^AJNYMI LOVKAMI, ESTX ODNA IZ WE]EJ, NE QWLQ@]IHSQ ^AJNOJ LOVKOJ.

bERTRAN rASSEL, ‘mOE FILOSOFSKOE RAZWITIE’

oSTRIE KRITIKI LOGI^ESKIH PARADOKSOW BYLO NACELENO NA SODERVA]EESQ W NIH DOPU]ENIE, ^TO DLQ L@BOGO SWOJSTWA P (x) SU]ESTWUET SOOTWETSTWU@]EE MNOVESTWO WSEH \LEMENTOW x, OBLADA@]IH SWOJSTWOM P (x). sTOIT LI[X OTWERG-

NUTX \TO DOPU]ENIE, I LOGI^ESKIE PARADOKSY STANOWQTSQ NEWOZMOVNYMI.

|LLIOT mENDELXSON49

tO^NO TAK VE I W NA[I DNI MALENXKIE [UTKI WNOSQT BESPORQDOK W MATEMATI^ESKIE TEORII. mY NAZYWAEM IH PARADOKSAMI. pARADOKS pERRONA SOSTOIT W SLEDU@]EM. pUSTX N NAIBOLX[EE POLOVITELXNOE CELOE ^ISLO. tOGDA DLQ N =6 1 MY IMEEM N2 > N, ^TO PROTIWORE^IT OPREDELENI@ N KAK NAIBOLX[EGO. sLEDOWATELXNO, N = 1. pOSLEDSTWIQ \TOGO PARADOKSA RAZRU[ITELXNY. rE[AQ ZADA^U MY TEPERX UVE NE MOVEM PREDPOLAGATX, ^TO RE[ENIE SU]ESTWUET. sTRANNO,

DERVIWATXSQ. — tO^NO TAKVE, OTWETIL pANTAGR@\LX, I W WA[IH PREDLOVENIQH SODERVITSQ STOLXKO ‘eSLI’ I STOLXKO ‘nO’, ^TO Q NE SMOG BY NI ODNOGO IZ NIH OBOSNOWATX I NI^EGO DOKAZATX. — kNIGA III, gLAWA X. pARONOMAZIQ — SOPOSTAWLENIE ILI SME[ENIE PARONIMOW (RAZLI^NYH PO ZNA^ENI@, NO BLIZKIH PO ZWU^ANI@ SLOW), IGRA SLOW, OSNOWANNAQ NA SOZWU^II, KALAMBUR; \PANALEPSIQ — POWTORENIE SLOW.

48k.hUANG, sTATISTI^ESKAQ MEHANIKA — m., mIR, 1966, 520S.

49|.mENDELXSON, wWEDENIE W MATEMATI^ESKU@ LOGIKU. — m., nAUKA, 1971, S.1– 320, STR.10.