vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

|MILX bORELX (07.01.1871, St A rique — 03.02.1956, pARIV) — ZNAMENI-

TYJ FRANCUZSKIJ MATEMATIK, OSNOWNYE RABOTY KOTOROGO OTNOSQTSQ K TEORII MERY, TEORII FUNKCIJ, TEORII WEROQTNOSTEJ I TEORII IGR. u^ILSQ W pARIVE I BYL PROFESSOROM W pARIVSKOM uNIWERSITETE. w PODHODE K TEORII MNOVESTW ZANIMAL KRAJNE SUMBURNU@ POZICI@. w NA[EM KURSE UPOMINA- @TSQ NESKOLXKO KLASSI^ESKIH TEOREM bORELQ: TEOREMA O SWERTKE, TEOREMA O RQDE tEJLORA I T.D. w KURSE ANALIZA WSTRE^AETSQ TEOREMA gEJNE—bORELQ I BORELEWSKIE MNOVESTWA. kROME MATEMATIKI bORELX USPE[NO ZANIMALSQ POLITI^ESKOJ DEQTELXNOSTX@, DO KONCA VIZNI BYL M\ROM sEN-aFRIK. wO WREMQ PERWOJ MIROWOJ WOJNY BYL WOENNO-MORSKIM MINISTROM W DWUH PRAWITELXSTWAH pENLEWE. |MILQ bORELQ NE SLEDUET PUTATX S BOLEE ZNAMENITYM [WEJCARSKIM MATEMATIKOM aRMANOM bORELEM, ODNIM IZ ^LENOW bURBAKI, W ^ESTX KOTOROGO NAZWANY BORELEWSKIE PODGRUPPY, BORELEWSKIE PODALGEBRY I T.D.

aNRI lEON lEBEG (Lebesgue) (28.06.1875, Beauvais (Oise) — 26.07.1941, pARIV) — ZNAMENITYJ FRANCUZSKIJ ANALITIK, OSNOWNYE RABOTY KOTOROGO OTNOSQTSQ K TEORII MERY I INTEGRALA, RQDAM fURXE I DRUGIM WOPROSAM WE]ESTWENNOGO ANALIZA. kROME TOGO, NAPISAL NESKOLXKO STATEJ W OBLASTI TOPOLOGII I GEOMETRII. pOSLE OKON^ANIQ 1897 GODU Ecole Normale RABOTAL WNA^ALE [KOLXNYM U^ITELEM, S 1910 GODA — PROFESSOROM pARIVSKOGO UNIWERSITETA, A S 1912 GODA — W Coll`ege de France. oDIN IZ NEMNOGIH U^ENYH PROLETARSKOGO PROISHOVDENIQ. cENTRALXNU@ ROLX W ANALIZE IGRA@T MERA lEBEGA I INTEGRAL lEBEGA. w KURSE ANALIZA UPOMINAETSQ NESKOLXKO TEOREM lEBEGA. lEBEG MNOGO, OHOTNO I, KAK PRAWILO, O[IBO^NO WYSKAZYWALSQ PO WOPROSAM TEORII MNOVESTW. pOSLEDNIE 20 LET ZANIMALSQ GLAWNYM OBRAZOM PEDAGOGIKOJ I ISTORIEJ MATEMATIKI. nA RUSSKIJ QZYK PEREWEDENA EGO KNIGA ‘oB IZMERENII WELI^IN’.

vAK sALOMON aDAMAR (Hadamard) (08.12.1865, wERSALX — 17.10.1953, pARIV) – ZAME^ATELXNYJ FRANCUZSKIJ ANALITIK. pOSLE OKON^ANIQ Ecole Normale RABOTAL W sORBONNE, College de France I l’Ecole Politechnique, NA

1940/47 GODY UEZVAL W s{a, POSLE ^EGO WOZWRATILSQ W pARIV. iZWESTEN SWOIMI RABOTAMI W OBLASTI ANALITI^ESKOJ TEORII ^ISEL, TEORII ANALITI- ^ESKIH FUNKCIJ, TEORII DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ W ^ASTNYH PROIZWODNYH, WARIACIONNOMU IS^ISLENI@ I DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRII. w NA[EM KURSE WSTRE^A@TSQ MATRICY aDAMARA, PROIZWEDENIE aDAMARA, NERAWENSTWO aDAMARA. w OBLASTI OSNOWANIJ MATEMATIKI ZANIMAL POZICI@ BEZOGOWORO^- NOJ PODDERVKI AKSIOMY WYBORA. nA RUSSKIJ QZYK PEREWEDENY EGO KNIGI ‘nE\WKLIDOWA GEOMETRIQ W TEORII AWTOMORFNYH FUNKCIJ’, ‘pSIHOLOGIQ IZOBRETENIQ W OBLASTI MATEMATIKI’ I DWUHTOMNYJ U^EBNIK ‘|LEMENTARNAQ GEOMETRIQ’.

2. nE^ETKIE MNOVESTWA. sREDI INVENEROW BOLX[U@ POPULQRNOSTX POLU^I- LA TAK NAZYWAEMAQ TEORIQ NE^ETKIH MNOVESTW94;95. pUSTX U — FIKSIROWANNOE

94l.zADE, pONQTIE LINGWISTI^ESKOJ PEREMENNOJ I EGO PRIMENENIE K PRINQTI@ PRIBLIVENNYH RE[ENIJ. — m., mIR, 1976, S.1–165.

95a.kOFMAN, wWEDENIE W TEORI@ NE^ETKIH MNOVESTW. — m., rADIO I SWQZX,

gLAWA 2. bULEWY OPERACII

iZMENENIQ NAZWANIJ, SOOTWETSTWU@]IE IZMENENIQM WE]EJ

INE SOOTWETSTWU@]IE IM, OB_EDINQ@TSQ W PREDELAH PRIRODY, SWOBODNO SLEDU@T BESKONE^NYM PEREMENAM I PO\TOMU POLNOSTX@ IS^ERPYWA@T ESTESTWENNYJ SROK SU]ESTWOWANIQ. ~TO OZNA^AET ‘OB_EDINQ@TSQ W PREDELAH PRIRODY’? oTWE- ^U: SU]ESTWUET ISTINA I LOVX, SU]ESTWUET PRAWDA I NEPRAWDA. eSLI ISTINA DEJSTWITELXNO QWLQETSQ ISTINOJ, TO NE^EGO SPORITX, NASKOLXKO ISTINA OTLI^AETSQ OT LVI. eSLI PRAWDA DEJSTWITELXNO QWLQETSQ PRAWDOJ, TO NE^EGO SPORITX, NASKOLXKO PRAWDA OTLI^AETSQ OT NEPRAWDY. zABUDEM O TE^E- NII WREMENI, ZABUDEM O SUVDENIQH O TOM, ^TO TAKOE PRAWDA

INEPRAWDA, NAJDEM RADOSTX W BESKONE^NOSTI I POSELIMSQ W BESKONE^NOM.

~VUAN ~VOU, gL. 2, sGLAVIWANIE PROTIWOPOLOVNOSTEJ96

zDESX MY NAPOMINAEM OPREDELENIQ I OSNOWNYE SWOJSTWA TEORETIKO- MNOVESTWENNYH, TAK NAZYWAEMYH BULEWYH OPERACIJ NAD MNOVESTWAMI. rAZLI^NYE SWOJSTWA \TIH OPERACIJ BYLI OTKRYTY E]E W GLUBOKOJ DREWNOSTI, NO KAK CELOSTNAQ SISTEMA ONI BYLI IZU^ENY I SISTEMATIZIROWANY TOLXKO W XVII–XIX WEKAH.

x 1. bULEAN I WNE[NIE STEPENI MNOVESTWA

1. bULEAN. ~EREZ 2U = P (U) BUDET OBOZNA^ATXSQ MNOVESTWO WSEH PODMNOVESTW MNOVESTWA U, NAZYWAEMOE TAKVE MNOVESTWOM ^A-

STEJ ILI BULEANOM MNOVESTWA U.

zAMETIM, ^TO ‘U’ ZDESX QWLQETSQ PERWOJ BUKWOJ SLOWA universal (set)

— UNIWERSALXNOE MNOVESTWO. dELO W TOM, ^TO ESLI MY HOTIM DOBITXSQ POLNOJ SIMMETRII MEVDU SWOJSTWAMI PERESE^ENIQ I OB_EDINENIQ, MY DOLVNY W KAVDYJ DANNYJ MOMENT OGRANI^IWATXSQ RASSMOTRENIEM PODMNOVESTW NEKOTOROGO FIKSIROWANNOGO MNOVESTWA. nAPRIMER,

96iMEETSQ TRI RUSSKIH PEREWODA ~VUAN-CZY, WYPOLNENNYH l.d.pOZDNEEWOJ, s.kU^EROJ I w.w.mALQWINYM. pRIWEDENNYJ FRAGMENT QWLQETSQ KOMBINACIEJ PEREWODA s.kU^ERY (dREWNEKITAJSKAQ FILOSOFIQ, SOBRANIE TEKSTOW W DWUH TOMAH. T.1.

—mYSLX., m., 1972, S.1–363., STR.261.) I PEREWODA l.pOZDNEEWOJ, WPERWYE OPUBLIKOWANNOGO W 1967 GODU (‘aTEISTY, MATERIALISTY, DIALEKTIKI DREWNEGO kITAQ. qN ~VU, lE-CZY, ~VUAN-CZY. – m., 1967’) I NEDAWNO PEREIZDANNOGO (~VUAN-CZY.

—aMFORA, spB, 2000, S.1–367., STR.34.) nOWYJ PEREWOD w.w.mALQWINA (~VUANCZY, — aSTRELX, m., 2002, S.1–429.) SODERVIT MASSU INTERESNOGO SPRAWO^NOGO MATERIALA, NO, K SOVALENI@, NE PEREDAET SIMMETRI@ ORIGINALA I WNOSIT W TEKST SOWER[ENNO OTSUTSTWU@]U@ TAM WY^URNOSTX. wOT, NAPRIMER, KAK TAM PEREDAETSQ POSLEDNQQ FRAZA: ‘zABUDEM O NA[IH ZABOTAH, ZABUDEM O NA[IH OBQZANNOSTQH, OBRETEM BESPREDELXNOSTX I BUDEM WE^NO W NEJ PREBYWATX’.

dVORDV bULX (02.11.1815, lINKOLXN — 08.12.1869, kORK) — ANGLIJSKIJ LOGIK I MATEMATIK, OSNOWNYE RABOTY KOTOROGO OTNOSQTSQ K ALGEBRE LOGIKI I TEORII WEROQTNOSTEJ. wYROS W KRAJNEJ NI]ETE, SAMOSTOQTELXNO WYU^IL NESKOLXKO QZYKOW I RABOTAL ^ASTNYM PREPODAWATELEM. w 1840-H GODAH ON ZAMETIL ANALOGI@ MEVDU ZAKONAMI LOGIKI I ZAKONAMI OPERACIJ NAD ^ISLAMI. iTOGOM \TIH NABL@DENIJ QWILISX KNIGI ‘The mathematical analysis of logic’ (1847 GOD) I ‘An investigation of the laws of thought’ (1854 GOD), W KOTORYH bULX WWEL TO, ^TO TEPERX NAZYWAETSQ BULEWYMI ALGEBRAMI. s 1849 GODA BYL PROFESSOROM W kORKE, iRLANDIQ. w NA[EM KURSE WSTRE^A@TSQ BULEANY, BULEWY OPERACII, BULEWY FUNKCII, BULEWY KOLXCA, BULEWY RE[ETKI, BULEWY ALGEBRY I T.D. mLAD[AQ DO^X bULQ |TELX lILIAN W ZAMUVESTWE wOJNI^ (11.05.1864, kORK — 28.07.1960, nX@ jORK), STALA DOWOLXNO IZWESTNOJ PISATELXNICEJ, AWTOROM POPULQRNOGO W sssr ROMANA ‘oWOD’ (1897).

W KA^ESTWE U MOVNO WZQTX KAKOJ-TO UNIWERSUM, ESLI MY WERIM W EGO SU]ESTWOWANIE, NO U SOWSEM NE OBQZATELXNO DOLVNO BYTX NASTOLXKO BOLX[IM. s DRUGOJ STORONY, ‘P’ QWLQETSQ PERWOJ BUKWOJ ANGLIJSKOGO SLOWA ‘part’. w STARINNYH KNIGAH OBY^NO POLXZOWALISX GOTI^ESKIMI BUKWAMI, TAK ^TO WMESTO P (U) OBY^NO PISALI P(U). CLEDU@]IJ REZULXTAT OB_QSNQET SMYSL ISPOLXZUEMOGO SEGODNQ OBOZNA^ENIQ 2U .

tEOREMA. eSLI MNOVESTWO U KONE^NO, TO MNOVESTWO 2U SODERVIT 2jUj \LEMENTOW.

dOKAZATELXSTWO. dOKAZYWAEM PREDLOVENIE INDUKCIEJ PO n = jUj. w KA^ESTWE BAZY INDUKCII MOVNO WZQTX SLU^AJ U = ?, KOGDA 2? = f?g SOSTOIT IZ ODNOGO \LEMENTA, ^TO SOOTWETSTWUET FORMULE 20 = 1. pREDPOLOVIM TEPERX, ^TO X NEPUSTO I FIKSIRUEM TO^KU x 2 U. rASSMOTRIM, KAK PODMNOVESTWA MNOVESTWA U RASPOLOVENY OTNOSITELXNO x. dLQ PODMNOVESTWA X µ U IMEET MESTO SLEDU@]AQ ALXTERNATIWA: LIBO x 2 X, LIBO x 2= X. wO WTOROM SLU^AE MNOVESTWO X SODERVITSQ W (n¡1)-\LEMENTNOM MNOVESTWE U nfxg I PO INDUKCIONNOMU PREDPOLOVENI@ IMEETSQ ROWNO 2n¡1 TAKIH MNOVESTW. s DRUGOJ STORONY, W PERWOM SLU^AE X IMEET WID X = Y [ fxg, DLQ EDINSTWENNOGO Y µ U n fxg, TAK ^TO TAKIH MNOVESTW SNOWA ROWNO 2n¡1. nO \TO I ZNA^IT, ^TO WSEGO W U ROWNO 2n¡1 + 2n¡1 = 2n, KAK I UTWERVDALOSX.

pO ANALOGII I DLQ BESKONE^NYH MNOVESTW 2U OBOZNA^AETSQ ^EREZ 2jUj. nAPRIMER, MO]NOSTX MNOVESTWA WSEH PODMNOVESTW N OBOZNA^A- ETSQ ^EREZ 2@0 , MO]NOSTX WSEH PODMNOVESTW MNOVESTWA R OBOZNA^AETSQ ^EREZ 22@0 I T.D.

kOMMENTARIJ. rASSMOTRENIE BULEANA KAK MNOVESTWA NEIZMENNO OSTAETSQ ODNIM IZ SAMYH OSPARIWAEMYH PUNKTOW WSEGO KANTOROWSKOGO U^ENIQ. oDNAKO, ESLI W NA^ALE XX WEKA OSPARIWALASX WOZMOVNOSTX RASSMATRIWATX BULEAN KAK MNOVESTWO (a.lEBEG, l.bRAUER I DR.), TO SEGODNQ OSPARIWAETSQ CELESOOBRAZNOSTX TAK

EGO RASSMATRIWATX. w DEJSTWITELXNOSTI, DLQ L@BOGO MNOVESTWA U EGO BULEAN 2U QWLQETSQ NE PROSTO MNOVESTWOM, A MNOVESTWOM UPORQDO^ENNYM OTNO[ENIEM WKL@- ^ENIQ. sOWREMENNAQ TO^KA ZRENIQ SOSTOIT W TOM, ^TOBY ISTOLKOWYWATX BULEAN 2U KAK KATEGORI@, OB_EKTAMI KOTOROJ QWLQ@TSQ PODMNOVESTWA MNOVESTWA U, PRI^EM MNOVESTWO Mor(X; Y ) PUSTO, ESLI X 6µY I SOSTOIT IZ EDINSTWENNOGO \LEMENTA, ESLI X µ Y . kOMPOZICII MORFIZMOW SOOTWETSTWU@T CEPO^KAM X µ Y µ Z. tEPERX MNOVESTWO 22U ESTESTWENNO ISTOLKOWYWATX KAK 2-KATEGORI@ I T.D. w ^ASTNOSTI, S \TOJ TO^KI ZRENIQ WE]ESTWENNYE ^ISLA OBRAZU@T KATEGORI@, A MNOVESTWO WSEH MNOVESTW WE]ESTWENNYH ^ISEL — 2-KATEGORI@.

2. wNE[NIE STEPENI MNOVESTWA. mNOVESTWO m-\LEMENTNYH POD-

MNOVESTW MNOVESTWA U NAZYWAETSQ m-J WNE[NEJ STEPENX@ MNOVESTWA U I OBOZNA^AETSQ ^EREZ Vm(U) (W KOMBINATORIKE ^ASTO ISPOLXZUETSQ TAKVE OBOZNA^ENIE X(m)):

Vm(U) = fX µ U j jXj = mg:

~EREZ V(U) OBOZNA^AETSQ MNOVESTWO WSEH KONE^NYH PODMNOVESTW MNOVESTWA U. tAKIM OBRAZOM, DLQ KONE^NOGO MNOVESTWA V(U) = 2U .

zAME^ANIE. w DEJSTWITELXNOSTI, DLQ MNOGIH TEORETIKO-MNOVESTWEN- NYH KONSTRUKCIJ, W KOTORYH OBY^NO PROISHODIT SSYLKA NA AKSIOMU STEPENI ZF7, DOSTATO^NO SU]ESTWOWANIQ V(U). pO\TOMU W NEKOTORYH NEKANTOROWSKIH TEORIQH MNOVESTW WMESTO AKSIOMY ZF7 PRINIMAETSQ ZNA^ITELXNO BOLEE SLABAQ AKSIOMA ZF70, UTWERVDA@]AQ SU]ESTWOWANIE V(U) DLQ L@BOGO MNOVESTWA U (SLABAQ AKSIOMA STEPENI). |TA AKSIOMA NIKOGDA NE PODWERGALOSX STOLX OVESTO^ENNYM ATAKAM, KAK AKSIOMA kANTORA O SU]ESTWOWANII BULEANA. dELO W TOM, ^TO DLQ BESKONE^NYH MNOVESTW j V(U)j = jUj, TAK ^TO W IZWESTNOM SMYSLE V(U) NE BOLX[E, ^EM U I EGO SU]ESTWOWANIE NE POZWOLQET, W OTLI^IE OT AKSIOMY kANTORA, STROITX BESKONE^NU@ IERARHI@ BESKONE^NYH MO]NOSTEJ.

kOMMENTARIJ. nAZWANIE I OBOZNA^ENIE Vm(X) PODSKAZANY ANALOGIEJ S WEKTORNYMI PROSTRANSTWAMI. s TO^KI ZRENIQ KOMBINATORIKI MNOVESTWA QWLQ@TSQ ^ASTNYM SLU^AEM WEKTORNYH PROSTRANSTW, A IMENNO, WEKTORNYMI PROSTRANSTWAMI NAD POLEM IZ ODNOGO \LEMENTA (TOGO SAMOGO, PRO KOTOROE MY WSKORE SKAVEM, ^TO EGO NE SU]ESTWUET). pRI \TOM MNOVESTWO SOWPADAET SO SWOIM BAZISOM, PO\TOMU WSE OTOBRAVENIQ MNOVESTW LINEJNY (NAD POLEM IZ ODNOGO \LEMENTA, RAZUMEETSQ). tAKIM OBRAZOM, WSE KOMBINATORNYE ZADA^I O MNOVESTWAH STANOWQTSQ ^ASTNYMI SLU^AQMI SOOTWETSTWU@]IH ZADA^ O WEKTORNYH PROSTRANSTWAH, PRI^EM RE[ENIE BOLEE OB]EJ ZADA^I OBY^NO PRO]E. pRI \TOM PODMNOVESTWAM SOOTWETSTWU@T PODPROSTRANSTWA, OTOBRAVENIQM — LINEJNYE OTOBRAVENIQ I T.D. wSE SKAZANNOE POLU^AET FORMALXNOE ISTOLKOWANIE W TEORII ¸-KOLEC, SM., NAPRIMER [tD], gL.3.

x 2. bINOMIALXNYE KO\FFICIENTY

1. bINOMIALXNYE KO\FFICIENTY. kOLI^ESTWO m-\LEMENTNYH

bLEZ pASKALX (19.06.1623, kLERMON-fERRAN — 19.08.1662, pARIV) — GE-

NIALXNYJ FRANCUZSKIJ MATEMATIK, FIZIK I PISATELX. oTEC bLEZA pASKALQ |TXEN pASKALX TOVE UWLEKALSQ MATEMATIKOJ, I ULITKA pASKALQ NAZWANA W ^ESTX NEGO. |TXEN pASKALX NE HOTEL, ^TOBY bLEZ U^IL MATEMATIKU, I PRQTAL OT NEGO MATEMATI^ESKIE KNIGI. oDNAKO \TOT ZAPRET TOLXKO WOZBUDIL INTERES bLEZA I ON NA^AL TAJKOM ^ITATX |WKLIDA. w WOZRASTE 16 LET bLEZ pASKALX OTKRYL TEOREMU pASKALQ O [ESTIUGOLXNIKE I E]E NESKOLXKO TEOREM PROEKTIWNOJ GEOMETRII. w 1640 GODU WY[LA EGO PERWAQ KNIGA “|SSE O KONI- ^ESKIH SE^ENIQH”. w 1642 GODU pASKALX SKONSTRUIROWAL PERWYJ KOMPX@TER, KOTORYJ W PRINCIPE BYL USTROEN TAK VE, KAK MEHANI^ESKIE KALXKULQTORY, ISPOLXZOWAW[IESQ DO 1960-H GODOW. hOTQ pASKALX NE BYL PERWYM, KTO ISSLEDOWAL TREUGOLXNIK pASKALQ, EGO “tRAKTAT OB ARIFMETI^ESKOM TREUGOLXNIKE” BYL SAMYM POLNYM SO^INENIEM NA \TU TEMU, OKAZAW[IM WLIQNIE NA nX@TONA I lEJBNICA. nA^INAQ S 1647 GODA OSNOWNYE INTERESY pASKALQ NA KAKOE-TO WREMQ SME]A@TSQ W OBLASTX FIZIKI, GDE ON IZU^AL ATMOSFERNOE DAWLENIE I GIDRODINAMIKU — GEKTOPASKALI! pASKALX I DE fERMA BYLI PERWYMI MATEMATIKAMI, KOTORYE W 1654 GODU POLU^ILI SERXEZNYE REZULXTATY W OBLASTI TEORII WEROQTNOSTEJ. pOD WLIQNIEM RAZLI^NYH SOBYTIJ LI^NOGO HARAKTERA I TQVELOJ BOLEZNI W NOQBRE 1654 GODA pASKALX OBRATILSQ W RADIKALXNOE HRISTIANSTWO. k \TOMU PERIODU OTNOSQTSQ EGO ZNAMENITYE “pISXMA pROWINCIALA” I “mYSLI”.

DOE m-\LEMENTNOE PODMNOVESTWO Z µ X QWLQETSQ OBRAZOM Y POD DEJ-

STWIEM NEKOTOROGO \LEMENTA GRUPPY G = S » S , PRI^EM, KAK MY

X = n

ZNAEM, jGj = n!. tAKIM OBRAZOM, IZ TEOREMY O SWQZI ORBIT I STABILIZATOROW WYTEKAET, ^TO OB]EE KOLI^ESTWO TAKIH MNOVESTW RAWNO jGY j = jG=Hj = jGj=jHj, GDE H = StabG(Y ). oSTALOSX ZAMETITX, ^TO STABILIZATOR H MNOVESTWA Y PREDSTAWLQET SOBOJ PODGRUPPU `NGA H = Sm £ Sn¡m, PORQDOK KOTOROJ RAWEN jHj = m!(n ¡ m)!

sOOTNO[ENIE, OPREDELQ@]EE TREUGOLXNIK pASKALQ — \TO TAK NAZYWAEMOE REKURRENTNOE SOOTNO[ENIE TREUGOLXNOGO TIPA. iTERIRUQ

— 0, \TO O^EWIDNO IZ FORMULY BINOMA nX@TONA DLQ (1 + 1)n I (1 ¡1)n W Z ILI IZ NEPOSREDSTWENNOGO WY^ISLENIQ, ISPOLXZU@]EGO WYRAVENIE BINOMIALXNYH KO\FFICIENTOW ^EREZ FAKTORIALY. oDNAKO MY HOTIM NAJTI APRIORNYE DOKAZATELXSTWA, NE ZAWISQ]EE OT WY^ISLENIQ BINOMIALXNYH KO\FFICIENTOW. w PERWOJ ZADA^E \TO O^EWIDNO, TAK KAK DLQ KONE^NOGO MNOVESTWA X IMEEM

2X = V(X) = `n Vm(X):

m=0

oSTALOSX WSPOMNITX, ^TO DLQ n-\LEMENTNOGO MNOVESTWA j2nj = 2n. wO WTOROJ ZADA^E TREBUETSQ USTANOWITX APRIORNOE SOOTWETSTWIE MEVDU ^ETNYMI I NE^ETNYMI PODMNOVESTWAMI W X = n. eSLI n SAMO NE^ETNO, TO TAKOE SOOTWETSTWIE ZADAETSQ DOPOLNENIEM (ESLI Y µ X IMEET NE^ETNYJ PORQDOK, TO PORQDOK Y = X nY ^ETEN. w OB]EM SLU^AE SNOWA WOSPOLXZUJTESX TOJ VE IDEEJ, ^TO W DOKAZATELXSTWE TEOREMY!

rE[ENIE. fIKSIRUEM TO^KU x 2 X I RASSMOTRIM OTOBRAVENIE invx : X ¡! X, OPREDELENNOE POSREDSTWOM invx(Y ) = Y 4 fxg. qSNO, ^TO invx OBRATIMO (W DEJSTWITELXNOSTI invx QWLQETSQ INWOL@CIEJ, T.E. (invx)2 = idX) I PEREWODIT ^ETNYE PODMNOVESTWA W NE^ETNYE.

oTSTUPLENIE: DOKAZATELXSTWO versus PROWERKI. bOLX[INSTWO ALGEBRAISTOW RAZLI^AET ‘DOKAZATELXSTWO’ I ‘PROWERKU’. kAKOJ-TO FAKT MOVET BYTX ‘PROWEREN’, NO NE ‘DOKAZAN’. s \TOJ TO^KI ZRENIQ WY^ISLENIE SUMMY, ISPOLXZU@]EE WYRAVE-

NIE mn

‘DOKAZATELXSTWOM’, ILI, KAK SKAZALI BY OSTALXNYE MATEMATIKI, ‘APRIORNYM DOKAZATELXSTWOM’, OPIRA@]IMSQ TOLXKO NA OPREDELENIQ. |TO RAZLI^IE PRIOBRETAET DRAMATI^ESKIJ HARAKTER W RAZDELAH ALGEBRY, ISPOLXZU@]IH NETRIWIALXNYE KLASSIFIKACIONNYE TEOREMY. mNOGIE KLASSI^ESKIE PROBLEMY TEORII GRUPP (PROBLEMA vORDANA, GIPOTEZA {RAJERA I T.D.) RE[ENY PO MODUL@ KLASSIFIKACII KONE^- NYH PROSTYH GRUPP (NAZYWAEMOJ W DALXNEJ[EM PROSTO kLASSIFIKACIEJ), T.E. PROWERENO, ^TO DLQ WSEH (IZWESTNYH!) KONE^NYH PROSTYH GRUPP SOOTWETSTWU@]EE UTWERVDENIE IMEET MESTO. w TO VE WREMQ NIKAKIH APRIORNYH (T.E. NE ISPOLXZU@- ]IH kLASSIFIKACI@) DOKAZATELXSTW \TIH UTWERVDENIJ NET.

zADA^A (SOOTNO[ENIE wANDERMONDA). dAJTE APRIORNOE DOKAZA-

TELXSTWO TOVDESTWA

GDE SUMMA BERETSQ PO WSEM 0 · i · l.

uKAZANIE. pREDSTAWXTE MNOVESTWO PORQDKA m+n KAK KOPROIZWEDENIE m-\LEMENTNOGO MNOVESTWA X I n-\LEMENTNOGO MNOVESTWA Y I POSMOTRITE, KAKIE PERESE^ENIQ EGO l-\LEMENTNOE MNOVESTWO Z IMEET S X I Y . nEKOTORYE AWTORY NAZYWA@T \TO TOVDESTWO TOVDESTWOM kO[I.

zADA^A. dAJTE APRIORNOE DOKAZATELXSTWO TOVDESTWA

uKAZANIE. wOZXMITE n-\LEMENTNOE MNOVESTWO X I POS^ITAJTE DWUMQ

SPOSOBAMI (SM. gLAWU V) KOLI^ESTWO TAKIH PAR (Y; Z), ^TO Y 2 Vm(X),

Z 2 Vl(X), Y ¶ Z.

3. bINOMIALXNYE KO\FFICIENTY CELOGO ARGUMENTA. sEJ^AS MY NAPI[EM FORMULU DLQ ^ISLA m-\LEMENTNYH PODMNOVESTW W ‘MNOVESTWE OTRICATELXNOJ MO]NOSTI’. pUSTX m; n 2 N0. uBYWA@]IJ I WOZRASTA@]IJ FAKTORIALY [¡n]m I [¡n]m OPREDELQ@TSQ FORMULAMI: [¡n]m = (¡1)m[n]m I [¡n]m = (¡1)m[n]m, TAKIM OBRAZOM, UBYWA@]IJ I WOZRASTA@]IJ FAKTORIALY NAHODQTSQ W DWOJSTWENNOSTI. tEPERX MY MOVEM OPREDELITX

³¡n´ = [¡n]m = (¡1)m[n]m m m! m!

kOMMENTARIJ: kOMBINATORNYE FORMULY versus ZNAKOPEREMENNYH. mY RASPROSTRANILI BINOMIALXNYE KO\FFICIENTY NA OTRICATELXNYE ZNA^ENIQ ARGUMENTOW, POTOMU ^TO POLU^ATX FORMULY DLQ Z OBY^NO ZNA^ITELXNO PRO]E, ^EM DLQ N. oDNAKO W ZNAKOPEREMENNYH FORMULAH (TIPA ‘WKL@^ENIQ-ISKL@^ENIQ’, SM. x 4) NE WSE SLAGAEMYE IME@T KOMBINATORNYJ SMYSL, NAPISATX IH OBY^NO PROSTO, A REALXNO S^ITATX PRI POMO]I NIH ^TO-TO O^ENX DOLGO I DOROGO. oSNOWNYM SODERVANIEM KOMBINATORIKI QWLQETSQ BORXBA ZA KOMBINATORNYE FORMULY, W KOTORYH WSE SLAGAEMYE POLOVITELXNY.

w rAZDELE IV MY OBSUVDAEM E]E ODNO WAVNEJ[EE OBOB]ENIE BINO-

MIALXNYH KO\FFICIENTOW: GAUSSOWSKIE KO\FFICIENTY ³ n ´ . m q