vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

ISKL@^ENIQ QWLQETSQ PI]EJ OSOZNANIQ. wIKTOR pELEWIN, nASTOLXNAQ KNIGA OBOROTNQ

— kAK TAK — SUMEET PONQTX TAJNU PQTX RAZ? eSLI TY ^TO-TO PONQL, ZA^EM TEBE PONIMATX \TO E]E ^ETYRE RAZA? wEDX TY UVE W KURSE. — sOWSEM NAOBOROT. w BOLX[INSTWE SLU^AEW, ESLI TY ^TO-TO PONQL, TY UVE NIKOGDA NE SUMEE[X PONQTX \TOGO SNOWA, IMENNO POTOMU, ^TO TY WSE KAK BY UVE ZNAE[X. a W ISTINE NET NI^EGO TAKOGO, ^TO MOVNO PONQTX RAZ I NAWSEGDA. pOSKOLXKU MY WIDIM EE NE GLAZAMI, A UMOM, MY GOWORIM “Q PONIMA@”. nO KOGDA MY DUMAEM, ^TO MY EE PONQLI, MY EE UVE POTERQLI. ~TOBY OBLADATX ISTINOJ, NADO EE POSTOQNNO WIDETX — ILI, DRUGIMI SLOWAMI, PONIMATX WNOWX I WNOWX, SEKUNDA ZA SEKUNDOJ, NEPRERYWNO. o^ENX MALO KTO NA \TO SPOSOBEN.

wIKTOR pELEWIN, nASTOLXNAQ KNIGA OBOROTNQ

pOKA MY NAHODIMSQ W DONAU^NOM SOSTOQNII, NAM WSE PONQTNO, A PERWYJ PRIZNAK NAUKI — NEPONIMANIE.

`RIJ lOTMAN

In Mathematics we do not understand things, we just get used to them.

John von Neumann

lET PQTXDESQT NAZAD W SREDE TAK NAZYWAEMOJ “INTELLIGENCII” BYLO PRINQTO ZADAWATX WOPROSY O “PONIMANII”. {AGU NEWOZMOVNO BYLO STUPITX, ^TOBY NE NARWATXSQ NA IDIOTSKIJ WOPROS TIPA “pONIMAETE LI wY MUZYKU {ENBERGA?” ILI NE USLY[ATX SLABOUMNYJ KOMMENTARIJ W DUHE “q NE PONIMA@ ABSTRAKTNU@ VIWOPISX.” pRI \TOM “PONIMANIE” ISTOLKOWYWALOSX KAK WOZMOVNOSTX POROVDATX NEKIJ MALOOSMYSLENNYJ TEKST “NA TEMU”. |TO QWLENIE ESLI I NE UNIWERSALXNO, TO DOSTATO^NO RASPROSTRANENO WO WSEJ eWROPE, WEKA S XVII. nA RUSSKOJ PO^WE, DA E]E W SOWETSKOE WREMQ ONO KATASTROFI^ESKI USUGUBLQLOSX OB]EJ LITERATURNOSTX@ VIZNI I GUMANITARIZACIEJ OBRAZOWANIQ16.

mEVDU TEM, WERBALXNOE ZNANIE QWLQETSQ TOLXKO ODNOJ, DALEKO NE WYS[EJ, FORMOJ ZNANIQ. w NEMECKOM OPPOZICIQ WERBALXNOGO I PODLINNOGO ZNANIQ PEREDAETSQ PROTIWOPOSTAWLENIEM wissen I kennen. sAKRAMENTALXNYJ PRIMER, ILL@STRIRU@]IJ RAZLI^IE MEVDU DWUMQ \TIMI TIPAMI ZNANIQ, PRIWEDEN W SLOWARE BRATXEW gRIMM:

16tRUDNO UKAZATX DRUGU@ STRANU, W KOTOROJ W KA^ESTWE OSNOWNOGO BARXERA PRI POSTUPLENII NA MATEMATI^ESKIE I ESTESTWENNONAU^NYE SPECIALXNOSTI WYSTUPAL BY \KZAMEN PO LITERATURE, WPRO^EM, KOWARNO ZAMASKIROWANNYJ POD \KZAMEN PO RUSSKOMU QZYKU.

²ich wei¼ den Weg = Q ZNA@ DOROGU POTOMU, ^TO PRO^EL O NEJ ILI KTO-TO MNE RASSKAZAL,

²ich kenne den Weg = Q ZNA@ DOROGU, POTOMU ^TO SAM PO NEJ HODIL.

qSNO, ^TO ZNANIE PERWOGO TIPA, LITERATURNOE ILI TEORETI^ESKOE, NI W MALEJ[EJ STEPENI NE PODRAZUMEWAET ZNANIQ WTOROGO TIPA, PODLINNOGO WNUTRENNEGO ZNANIQ. ~UTX MENEE O^EWIDNO, NO STOLX VE WERNO I TO, ^TO WNUTRENNEE ZNANIE NE PODRAZUMEWAET SPOSOBNOSTI EGO WERBALXNOJ FORMULIROWKI. kOGDA Q OBRATIL WNIMANIE MOEJ NEMECKOJ ZNAKOMOJ NA \TOT PRIMER, ONA NEMEDLENNO PARIROWALA: ich konnte die Unterschied, aber ich wu¼te sie nicht.

s MOEJ NYNE[NEJ TO^KI ZRENIQ, W MATEMATIKE, KAK W VIWOPISI I MUZYKE, NET NI^EGO TAKOGO, ^TO MOGLO BY BYTX ADEKWATNO OPREDELENO W TERMINAH WERBALXNOGO PONIMANIQ. mUZYKU NUVNO SLU[ATX, VIWOPISX SMOTRETX, A MATEMATI^ESKIE IDEI — OSOZNAWATX. mATEMATI^E- SKIE OB_EKTY WOSPRINIMA@TSQ DRUGIMI ORGANAMI ^UWSTW, ^EM KARTINY ILI KWARTETY, I MEHANIZM IH SOZDANIQ DRUGOJ, NO OT \TOGO ...

gORAZDO BOLEE TO^NYMI PREDSTAWLQETSQ MNE OPREDELENIQ W TERMINAH WIDENIQ ILI OSOZNANIQ. mATEMATIKA — \TO TO, ^TO MY, KAK PRAKTIKU@]IE MATEMATIKI, NEPOSREDSTWENNO PONIMAEM.

zNANIE QZYKA KAK RODNOGO I KAK INOSTRANNOGO. ~ELOWEK MOVET WLADETX QZYKOM, NE ZNAQ NI^EGO O FONEMAH, PADEVAH ILI ZALOGAH. fILOLOG MOVET ZNATX WSE NO PRI \TOM NE BYTX W SOSTOQNII PONQTX ILI PROIZNESTI NA \TOM QZYKE PROSTEJ[IE FRAZY.

rAZUMEETSQ, NASTOQ]EE ZNANIE, TO ZNANIE, K KOTOROMU MY WSE STREMIMSQ, \TO TAKOE ZNANIE, KAK U BRATXEW gRIMM, SO^ETA@]EE NEPO-

SREDSTWENNOE ZNANIE S WOZMOVNOSTX@ EGO FORMULIROWKI —

W TOM ^ISLE, KONE^NO, I WERBALXNOJ — I PEREDA^I DRUGIM.

~ASTO KRAT^AJ[IM PUTEM MEVDU DWUMQ IDEQMI W RAZNYH OBLASTQH QWLQETSQ PARABOLA. pO\TOMU PRODOLVU METAFORU BRATXEW gRIMM.

pREDPOLOVIM, ^TO wY EDETE W GOSTI W NOWYJ RAJON GORODA, GDE NI RAZU NE BYLI. wY POLU^AETE INSTRUKCII TIPA: DOEHATX DO STANCII METRO, ... PEREJTI PROSPEKT ... SESTX W AWTOBUS ... PROEHATX 5 OSTANOWOK, WYJTI I POJTI NALEWO, MIMO STROQ]EGOSQ DOMA ... pREWRATITX \TI WERBALXNYE INSTRUKCII W FAKTI^ESKIJ MAR[RUT ^ASTO BYWAET DOWOLXNO TRUDNO. bOLEE TOGO, PLAN ILI KARTA OBY^NO GORAZDO POLEZNEE PODOBNYH WERBALXNYH INSTRUKCIJ.

a WOT PRIMER DRUGOGO RODA. q TYSQ^I RAZ HODIL PE[KOM PO STRELKE wASILXEWSKOGO oSTROWA. pRI VELANII Q, WIDIMO, MOG BY OPISATX SWOJ MAR[RUT, NAZYWAQ KAVDOE ZDANIE W PREDELAH WIDIMOSTI. nO SWORA^I- WAQ S uNIWERSITETSKOJ NABEREVNOJ NA dWORCOWYJ MOST Q NE DOLVEN

~TOBY PONQTX OBSTANOWKU, KOTORAQ PRIWELA K FORMIROWANI@ \TOGO STEREOTIPA, NUVNO ZNATX KAK W TO WREMQ BYLA ORGANIZOWANA MATEMATI^ESKAQ VIZNX. gERMANIQ BYLA NE CENTROM MATEMATI^ESKOGO MIRA — gERMANIQ BYLA MATEMATI^ESKIM MIROM. |TO NE ZNA^IT, ^TO

s ODNOJ STORONY, \TO SWQZANO KRAJNE POWERHNOSTNYM PONIMANIEM TEORII MNOVESTW BOLX[INSTWOM FRANCUZSKIH ANALISTOW, KOTORYE NE WLADELI W DOSTATO^NOJ STEPENI NEMECKIM QZYKOM\

s DRUGOJ STORONY, W SAMOJ gERMANII BYLI ^REZWY^AJNO SILXNY TRADICII KONSTRUKTIWIZMA. kRONEKER

nEKOTORYE NEOBY^NYE S TO^KI ZRENIQ MATEMATIKOW NA^ALA XX WEKA TEOREMY, UTWERVDA@]IE NESU]ESTWOWANIE ILI, NAOBOROT, SU]ESTWOWANIE NEKOTORYH MNOVESTW, TAKIE KAK TEOREMA kANTORA—rASSELA ILI TEOREMA bANAHA—tARSKOGO BYLO PRINQTO NAZYWATX PARADOKSAMI.

5. pARADOKSY I KRIZIS OSNOWANIJ. w 1902 G. bERTRAN rASSEL POPYTALSQ “WYGNATX NAS IZ RAQ, KOTORYJ SOZDAL NAM kANTOR”. oDNAKO POPYTKA rASSELA OKAZALASX NEUDA^NOJ18.

bERTRAN rASSEL (Bertrand Russell, 18.05.1872, Trelleck (Monmouthshire) — 02.02.1970, Penrhyndedraeth (Wales)) — ANGLIJSKIJ FILOSOF, LOGIK, PISA-

TELX I POLITI^ESKIJ DEQTELX, AWTOR DESQTKOW BLISTATELXNYH KNIG NA NA- U^NYE, ISTORI^ESKIE I POLITI^ESKIE TEMY. sREDI \TIH KNIG TAKIE ZAME- ^ATELXNYE PROIZWEDENIQ KAK ‘~ELOWE^ESKOE POZNANIE, EGO GRANICY I SFERA’, ‘iSTORIQ zAPADNOJ FILOSOFII’. w LOGIKE I OSNOWANIQH MATEMATIKI BYL PARTIZANOM LOGICIZMA, SOSTOQ]EGO W PROPAGANDE NELEPOJ IDEI, ^TO MATEMA-

TIKA ESTX ^ASTX LOGIKI: ‘Principles of Mathematics’, ‘Principia Mathematica’ (SOWMESTNAQ S a.n.uAJTHEDOM). w FILOSOFII ZNAMENIT KAK ODIN IZ SAMYH QRKIH PREDSTAWITELEJ LOGI^ESKOGO POZITIWIZMA. w [IROKIH KRUGAH IZWESTEN GLAWNYM OBRAZOM PACIFIZMOM, BORXBOJ PROTIW QDERNOGO ORUVIQ I KNIGOJ ‘pO^EMU Q NE HRISTIANIN’. eGO TEKSTY PREDSTAWLQ@T SOBOJ NEPREWZOJDENNYE [EDEWRY ANGLIJSKOJ PROZY XX WEKA I S POLNYM OSNOWANIEM BYLI UDOSTOENY nOBELEWSKOJ PREMII 1954 GODA PO LITERATURE. k SOVALENI@, rASSEL NE PONIMAL DUHA MATEMATIKI: WSE EGO SUVDENIQ NA MATEMATI^ESKIE TEMY SOWER[ENNO ABSURDNY I SPRAWEDLIWO WYSMEIWALISX EGO SOWREMENNIKAMI, W TOM ^ISLE gILXBERTOM, pUANKARE I gERMANOM wEJLEM. wINER WSPOMINAL: “rASSEL WNU[IL MNE WESXMA RAZUMNU@ MYSLX, ^TO ^ELOWEK, SOBIRA@]IJ-

SQ SPECIALIZIROWATXSQ PO MATEMATI^ESKOJ LOGIKE I FILOSOFII MATEMATIKI, MOG BY ZNATX KOE-^TO I IZ SAMOJ MATEMATIKI. oSTAETSQ TOLXKO GADATX, PO^EMU ON SAM NE PYTALSQ SLEDOWATX STOLX RAZUMNOMU RECEPTU”.

\sLEDUET LI \TO, S U^ETOM UPOMQNUTOGO WY[E DOMINIROWANIQ NEMECKOJ MATEMATIKI, KWALIFICIROWATX KAK KULXTURNU@ ILI KAK UMSTWENNK@ OTSTALOSTX?

18H.Weyl, The philosophy of Bertrand Russell. — Amer. Math. Monthly, 1946, vol.53, p.208–214.

wSE \TI TAK NAZYWAEMYE “PARADOKSY”, KAK I IH RE[ENIE, BYLI IZWESTNY kANTORU LET ZA 20 DO \TOGO. wOT, NAPRIMER, OTRYWOK IZ PISXMA kANTORA gILXBERTU OT 20 SENTQBRQ 1897 GODA19: TotalitÄaten die nicht als Mengen von uns gefaßt werden k¨onnen (wovon ein Beispiel die Totalit¨at aller Alefs ist, wie oben bewiesen wurde) habe ich schon vor vielen Jahren absolut unendliche TotalitÄaten genannt und sie von den transfiniten Mengen scharf unterschieden*.

a WOT OTRYWOK IZ PISXMA kANTORA dEDEKINDU OT 28 AWGUSTA 1899 GO-

DA20: Eine Vielheit kann n¨ahmlich so bescha en sein, daß die Annahme eines “zusammenseins” aller ihrer Elemente auf eine Widerspruch f¨uhrt, so daß es unm¨oglich ist, die Vielheit als eine Einheit, als ein “fertiges Ding” aufzufassen. Solche Vielheiten nenne ich absolut unendliche oder inkonsistente Vielheiten : : : Wenn hingegen die GEsamtheit der Elemente einer Vielheit ohne Wiederspruch als “zusammenseiend” gedacht werden kann, so daß ihr Zusammengefaßtwerden zu “einem Ding” m¨oglich ist, nenne ich sie eine konsistente Vielheit oder eine Menge.*.

tAKIM OBRAZOM, PO kANTORU, MNOVESTWO \TO NE L@BAQ SOWOKUPNOSTX, A TOLXKO TAKAQ SOWOKUPNOSTX, SU]ESTWOWANIE KOTOROJ NE MOVET PRIWESTI K PROTIWORE^I@. zAMETIM, ^TO WSE \TO PROISHODILO ZADOLGO DO AVIOTAVA PO POWODU “PARADOKSOW” “NAIWNOJ” TEORII MNOVESTW.

nAM ZDESX NET NUVDY OBSUVDATX [OK, TREPET I PRO^U@ DURX, TIPA INTUICIONIZMA, KOTORYE OHWATILI NE UMEW[U@ ^ITATX PO-NEMECKI ^ASTX MATEMATI^ESKOGO MIRA W PERWYE DESQTILETIQ XX WEKA. gOTTLOB fREGE: “sUEWEREN STRAH I BLAGOGOWEEN TREPET MATEMATIKOW PE-

19W.Purkert, Georg Cantor und die Antinomien der Mengenlehre. — Bull. Soc. Math. Belg., 1986, v.38, p.313–327. |TA STATXQ SODERVIT PUBLIKACI@ ARHIWNYH PISEM kANTORA gILXBERTU. k SOVALENI@, \TI PRINCIPIALXNO WAVNYE DLQ PONIMANIQ ISTORII TEORII MNOVESTW DOKUMENTY NE WKL@^ENY W Ges. Abh. 1932 GODA. oRI-

GINALY HRANQTSQ W Nieders¨achsische Staatsund Universit¨atsbibliothek G¨ottingen, Handschriftenabteilung.

*sOWOKUPNOSTI, KOTORYE MY NE MOVEM RASSMATRIWATX KAK MNOVESTWA (PRIMEROM ^EGO, KAK UVE BYLO DOKAZANO, QWLQETSQ SOWOKUPNOSTX WSEH ALEFOW), Q UVE MNOGO LET NAZAD NAZWAL ABSOL@TNO BESKONE^NYMI SOWOKUPNOSTQMI I TCATELXNO OTLI^AL OT TRANSFINITNYH MNOVESTW.

20Aus dem Briefwechsel zwischen Cantor und Dedekind. — in G.Cantor, Gesammelte Abhandlungen, Hrsg. von E.Zermelo, Berlin, 1932, S.443–451.

*sOWOKUPNOSTX MOVET BYTX TAK USTROENA, ^TO PRINQTIE ODNOWREMENNOGO SU]E- STWOWANIQ WSEH EE \LEMENTOW WEDET K PROTIWORE^I@, TAK ^TO NEWOZMOVNO WOSPRINIMATX \TU SOWOKUPNOSTX KAK NE^TO EDINOE, KAK ZAKON^ENNYJ OB_EKT. tAKIE SOWOKUP-

NOSTI Q NAZYWA@ ABSOL@TNO BESKONE^NYMI ILI PROTIWORE^IWYMI SOWOKUPNOSTQMI : : :

kOGDA, NAPROTIW, WSE \LEMENTY SOWOKUPNOSTI MOVNO BEZ PROTIWORE^IQ MYSLITX KAK “SOWMESTNO SU]ESTWU@]IE”, TAK ^TO EE MOVNO OHWATITX KAK “EDINYJ OB_EKT”,

ONA NAZYWAETSQ NEPROTIWORE^IWOJ SOWOKUPNOSTX@ ILI MNOVESTWOM.

RED LICOM PROTIWORE^IQ”. nO fREGE BYL LOGIKOM, A NE MATEMATIKOM, NAPROTIW, kANTOR BYL MATEMATIKOM I ON SKAZAL “tO, ^TO POLU^IL bURALI-fORTI — SU]AQ ^EPUHA.” (SM. wAN hAO).

gOTTLOB fREGE (08.11.1848, wISMAR — 26.07.1925, bAD kLQJNEN) — NEMEC-

KIJ LOGIK, KOTORYJ PYTALSQ WYWESTI ARIFMETIKU IZ LOGI^ESKIH PRINCIPOW. u^ILSQ W gETTINGENE, A W 1879–1918 GODAH BYL PROFESSOROM W jENE. rAZRABOTAL O^ENX SLOVNU@ DWUMERNU@ SISTEMU NOTACII LOGI^ESKIH PONQTIJ (Begri sschrift) (NA RUSSKOM QZYKE PRIMER ISPOLXZOWANIQ SISTEMY fREGE PRIWODITSQ NA STR.429–431 KNIGI n.i.sTQVKIN, fORMIROWANIE MATEMATI^E- SKOJ LOGIKI, m., nAUKA, 1967, S.1–508.), KOTORAQ, ODNAKO, NE POLU^ILA NIKAKOGO RASPROSTRANENIQ, PROIGRAW ZNA^ITELXNO BOLEE PROSTOJ NOTACII pEANO.

w L@BOJ AKSIOMATI^ESKOJ TEORII MNOVESTW IMPLEMENTIROWAN MEHANIZM, POZWOLQ@]IJ IZBEVATX POQWLENIQ LOGI^ESKIH PARADOKSOW. sO-

WREMENNOMU MATEMATIKU TRUDNO PONQTX, PO^EMU LOGI^ESKIE PARADOKSY PROIZWELI TAKOJ AVIOTAV W NA^ALE XX WEKA. tEM NE MENEE, MY PODROBNO OBSUVDAEM PARADOKSY WWIDU IH BOLX[OJ RAZWLEKATELXNOJ CENNOSTI. oDNAKO SMYSL AKSIOMATI^ESKOJ TEORII MNOVESTW SOSTOIT WOWSE NE W TOM, ^TOBY IZBAWITXSQ OT PARADOKSOW, KOTORYE I TAK NIKOGDA NE WOZNIKALI W OBY^NO PROWODIMYH W MATEMATIKE DOKAZATELXSTWAH, A W TOM, ^TOBY QWNO ZAFIKSIROWATX DOPUSTIMYE SPOSOBY RASSUVDENIQ O MNOVESTWAH.

Behaupte, wo du stehst!

sOMNENIQ PO POWODU KLASSI^ESKOJ MATEMATIKI KAVUTSQ BOLEE SOMNITELXNYMI, ^EM ONA SAMA. oBY^NYE UMOZAKL@^ENIQ O BESKONE^NOM WPOLNE UBEDITELXNY DLQ PONIMA@]EGO MATEMATIKA. |LIMINACIQ PONQTIJ, OTNOSQ]IHSQ K BESKONE^NOMU, NE DAET NAM DOPOLNITELXNOJ UWERENNOSTI W TEOREMAH. nAPROTIW, OPYT POKAZYWAET, ^TO FINITIZIROWANNYE, FORMALIZOWANNYE DOKAZATELXSTWA PRIWODQT K TRUDNO OTSLEVIWAEMYM WY^ISLITELXNYM O[IBKAM. kONCEPTUALXNYE DOKAZATELXSTWA WPOLNE UBEDITELXNY I NAGLQDNY, DAVE ESLI ONI ISPOLXZU@T PONQTIQ, OTNOSQ]IESQ K BESKONE^NOMU.

|RWIN |NGELER21

bESSMERTIE KANTOROWSKOJ TEORII MNOVESTW SOSTOIT NE W TOM, ^TO ONA NASTOQ]AQ, A KAK RAZ, NAOBOROT, W EE FANTASTI^NOSTI, W EE SPOSOBNOSTI NAWODITX NA RAZMY[LENIQ, KOTORYE POZWOLILI EJ WDOHNOWLQTX MATEMATIKU CELOJ \POHI.

21|.|NGELER, mETAMATEMATIKA \LEMENTARNOJ MATEMATIKI. — m., mIR, 1987,

S.1–127; STR.11.

pETR wOPENKA22

dLQ KWALIFICIROWANNOGO ^ITATELQ WYSKAVEM NESKOLXKO PRINCIPIALXNYH — KAK PRINQTO GOWORITX, ‘FILOSOFSKIH’, NO W DEJSTWITELXNOSTI, SKOREE IDEOLOGI- ^ESKIH I MIFOLOGI^ESKIH — SOOBRAVENIJ.

²kANTOROWSKAQ TEORIQ MNOVESTW — NEZAWISIMO OT TOGO, KAK K NEJ OTNO-

SITXSQ — PREDSTAWLQET SOBOJ SAMOE WAVNOE IZ WSEGO, ^TO DO SIH POR PROIZO[LO W MATEMATIKE. nE PREDSTAWLQET TRUDA DAVE ZNA^ITELXNO USILITX \TO UTWERVDENIE. sOZDANIE Mengenlehre \TO ODNO IZ TREH SAMYH WAVNYH SOBYTIJ PROIZO[ED[IH W ISTORII ^ELOWE^ESTWA ZA POSLEDNIE 6000 LET, SOPOSTAWIMOE PO SWOEMU ZNA^ENI@ TOLXKO S IZOBRETENIEM PISXMA I OTKRYTIEM KWANTOWOJ MEHANIKI. uVE ODNA TOLXKO ROLX TEORII MNOVESTW W ISTORII NA[EJ NAUKI OBQZYWAET KAVDOGO SERXEZNOGO STUDENTA

—I, TEM BOLEE, PREPODAWATELQ — MATEMATIKI POPYTATXSQ POSTI^X DUH I PAFOS \TOJ TEORII, A NE PROSTO NAU^ITXSQ ISPOLXZOWATX PARU TEORETIKO-MNOVESTWENNYH ZNA^KOW. kROME TOGO, NE WIDNO NIKAKIH SIMPTOMOW TOGO, ^TO ROLX PONQTIQ AKTUALXNOJ BESKONE^NOSTI W KA^ESTWE OSNOWY I SU]NOSTI MATEMATI^ESKOGO MY[LENIQ MOVET PODWERGNUTXSQ REWIZII W BLIVAJ[IE STOLETIQ.

²w WOPROSE O BESKONE^NOSTI SU]ESTWU@T DWE POSLEDOWATELXNYE TO^KI ZRENIQ:

DEJSTWIQ I SUVDENIQ (DEJSTWIE MOE OGRANI^ENO, NO SUVDENIE NE ZNAET GRA-

NIC). s ODNOJ STORONY, \TO PROPAGANDIRUEMAQ MATEMATIKAMI I RAZDELQEMAQ PRODWINUTYMI TEORETI^ESKIMI FIZIKAMI TO^KA ZRENIQ AKTUALXNOJ BESKONE^NOSTI. s DRUGOJ STORONY, \TO TO^KA ZRENIQ FAKTI^ESKOJ OSU]ESTWIMOSTI, KOTOROJ RUKOWODSTWU@TSQ WSE OSTALXNOE ^ELOWE^ESTWO, WKL@^AQ INVENEROW I PROGRAMMISTOW. wSE POPYTKI LOGIKOW I FILOSOFOW OSESTX MEVDU DWUMQ \TIMI STULXQMI SO SWOEJ “ABSTRAKCIEJ POTENCIALXNOJ BESKONE^NOSTI” BESSLAWNO PROWALILISX, I Q WER@, ^TO TAK BUDET I WPREDX. q SKLONEN SOGLA[ATXSQ S kANTOROM, ^TO NIKAKAQ MATEMATI^ESKI POSLEDOWATELXNAQ TRAKTOWKA PONQTIQ BESKONE^NOSTI, OTRICA@]AQ AKTUALXNU@ BESKONE^NOSTX, NEWOZMOVNA.

²kONE^NYE NATURALXNYE ^ISLA, UVE TAKIE SRAWNITELXNO NEBOLX[IE, KAK 101010 QWLQ@TSQ NE BOLEE, A MENEE DOSTUPNYMI NA[EJ INTUICII, ^EM BESKONE^NYE MO]NOSTI. q NE WER@, ^TO U NAS MOVET BYTX QSNAQ I OT^ETLIWAQ IDEQ O RAZLI^II MEVDU

KONE^NYMI KARDINALXNYMI (ILI ORDINALXNYMI) ^ISLAMI\ 101010 I 101010 + 1, W TO WREMQ KAK MNOGIE MATEMATIKI WERQT, ^TO U NIH ESTX cOWER[ENNO ^ETKOE PONIMANIE RAZLI^IQ MEVDU ! I ! + 1 ILI, SKAVEM, MEVDU @0 I @1. nA[A INTUICIQ BOLX[IH KONE^NYH OB_EKTOW WTORI^NA PO OTNO[ENI@ K INTUICII BESKONE^NOSTI.

22p.wOPENKA, mATEMATIKA W ALXTERNATIWNOJ TEORII MNOVESTW, m., mIR, 1983,

S.1–150; STR.132.

\rAZUMEETSQ, \TO WYSKAZYWANIE OTNOSITSQ LI[X K WELI^INE \TIH ^ISEL. kAK ZAMETIL LI^NO TOWARI] pIFAGOR, RASSMATRIWAEMYE KAK \LEMENTY KOLXCA Z, ^ISLA 101010 I 101010 + 1 OTLI^A@TSQ: PERWOE IZ NIH QWLQETSQ VENSKIM/^ETNYM, A WTOROE — MUVSKIM/NE^ETNYM! |TO OTLI^IE NAHODIT OTRAVENIE I W STROENII KONE^NYH MNOVESTW. tAK, NA MNOVESTWE PORQDKA 101010 SU]ESTWU@T INWOL@CII BEZ NEPODWIVNYH TO^EK, W TO WREMQ KAK KAVDAQ INWOL@CIQ NA MNOVESTWE PORQDKA 101010 + 1 IMEET NEPODWIVNU@ TO^KU. nO \TO OB]EE SUVDENIE NIKAK NE SWQZANO

S NA[IM WOSPRIQTIEM WELI^INY \TIH ^ISEL, EGO SMYSL I SODERVANIE DLQ PARY 101010 I 101010 + 1 TAKIE VE, KAK DLQ PARY 16 I 17.

w BOLX[INSTWE OSMYSLENNYH I PRAWILXNO POSTAWLENNYH WOPROSOW TRAKTOWKA BESKONE^NOGO PRO]E ILI MNOGO PRO]E, ^EM TRAKTOWKA KONE^NOGO: the infinite we'll do rightaway, the finite may take a little bit longer.

²iZLOVENIE TEORII MNOVESTW, PRETENDU@]EE NA KAKU@-TO STEPENX NAU^NOSTI, MOVET WESTISX TOLXKO NA AKSIOMATI^ESKOJ OSNOWE. oDNAKO PRIRODA MATEMATIKI SOSTOIT NE PROSTO W TO^NOSTI, A W KONTROLIRUEMOJ TO^NOSTI. w FOKUSE SOBSTWENNO MATEMATI^ESKOGO ISSLEDOWANIQ (W PROTIWOPOLOVNOSTX LOGI^ESKOMU ILI FILOSOFSKOMU!) NAHODITSQ MATEMATI^ESKAQ REALXNOSTX — TO^NO W TAKOM VE SMYSLE, W KOTOROM ESTESTWENNYE NAUKI SKONCENTRIROWANY NA PONIMANII FIZI^ESKOJ REALXNOSTI. mATEMATI^ESKAQ REALXNOSTX QWLQETSQ SWOBODNYM TWORENIEM ^ELOWE^ESKOGO RAZUMA. oDNAKO, BUDU^I ODNAVDY PEREWEDENA IZ PREDSU]ESTWOWANIQ W SU]ESTWOWANIE, ONA PRIOBRETAET TAKU@ STEPENX NEZAWISIMOSTI, ^TO BOLX[INSTWO MATEMATIKOW NE GOTOWY WOSPRINIMATX SWO@ DEQTELXNOSTX KAK ^ISTO LINGWISTI^E- SKU@. q, KAK I WSE PROFESSIONALY, S KEM MNE DOWELOSX OBSUVDATX \TOT WOPROS, SKLONEN S^ITATX, ^TO, BOLX[AQ ^ASTX MATEMATI^ESKIH PONQTIJ, FAKTOW I TEORIJ IMEET SMYSL I CENNOSTX (“SU]ESTWUET”) NEZAWISIMO OT TUMANNYH AKSIOM LOGIKI I TEORII MNOVESTW. a RAZ TAK, TO UTO^NENIE QZYKA SWERH NEOBHODIMYH PREDELOW, W ^ASTNOSTI, \KSPLICIROWANIE PRAWIL WYWODA, NE TOLXKO NE QWLQETSQ VELATELXNYM, NO, NAOBOROT, IMEET TOT VE \FFEKT, ^TO PRIBLIZITELXNOSTX I RASPLYW^ATOSTX, TO ESTX SMAZYWAET KARTINU I ZASLONQET OT NAS REALXNOSTX.

²pRI RE[ENII WOPROSA O WYBORE KONKRETNOJ AKSIOMATIKI SLEDUET RUKOWODSTWOWATXSQ PRAKTI^ESKIMI, A NE UMOZRITELXNYMI SOOBRAVENIQMI. oSNOWNYM KRITERIEM ZDESX QWLQETSQ BLIZOSTX K VIWOMU MATEMATI^ESKOMU QZYKU, PRINQTOMU BOLX- [INSTWOM MATEMATIKOW. s \TOJ TO^KI ZRENIQ DOSTOINSTWO SISTEMY cERMELO—

fRENKELQ ZFC SOSTOIT W TOM, ^TO ONA NE WWODIT NIKAKIH \KZOTI^ESKIH PONQTIJ I OSNOWANA ISKL@^ITELXNO NA OB]EPRIZNANNYH\ PRINCIPAH OBRAZOWANIQ MNOVESTW. bOLEE TOGO, ZA WOSEMXDESQT LET NE BYLO PREDLOVENO NI ODNOJ OB]EZNA^I- MOJ NOWOJ KONSTRUKCII MNOVESTW, KOTORAQ NE MODELIROWALASX BY W SI-

STEME cERMELO|fRENKELQ. pRI WSEH LINGWISTI^ESKIH PREIMU]ESTWAH SISTEMY gEDELQ—bERNAJSA, WSE MOI SIMPATII KAK RABOTA@]EGO MATEMATIKA — I, TEM BOLEE, KAK PREPODAWATELQ, — NAHODQTSQ NA STORONE SISTEMY cERMELO—fRENKELQ.

rASSMOTRIM S \TOJ TO^KI ZRENIQ STATUS TREH WAVNEJ[IH KLASSI^ESKIH UTWERVDENIJ: AKSIOMY WYBORA, AKSIOMY REGULQRNOSTI (alias AKSIOMY FUNDIROWANIQ) I GIPOTEZY KONTINUUMA.

² iSPOLXZOWANIE AKSIOMY WYBORA W MATEMATIKE NEWOZMOVNO PROKONTROLIROWATX, TAK KAK ONA ISPOLXZUETSQ NA KAVDOM [AGU, PRI^EM TAKOE ISPOLXZOWANIE PROISHODIT BOLX[EJ ^ASTX@ BESSOZNATELXNO. gRUBO GOWORQ, KAK TOLXKO MY PROIZNOSIM ^TO NIBUDX W DUHE ‘WOZXMEM : : : ’ ILI ‘PUSTX : : : ’ W PRIMENENII K BESKONE^NYM MNOVESTWAM, INOGDA — OBYKNOWENNO – WSEGDA NET NIKAKIH PRI^IN, PO KOTORYM \TO MOVNO PRODELATX, KROME AKSIOMY WYBORA AC. tAKIM OBRAZOM, NIKAKAQ \LIMINACIQ AKSIOMY WYBORA IZ MATEMATIKI NEWOZMOVNA BEZ FAKTI^ESKOGO RAZRU[ENIQ BOLX[EJ ^ASTI KLASSI^ESKOJ MATEMATIKI, W TOM ^ISLE I EE PRIKLADNYH RAZDELOW].

\kROME WKL@^ENNOJ W NEE POZVE AKSIOMY REGULQRNOSTI!

]w \TOM MESTE wIKTOR pETROW SDELAL SLEDU@]EE PRIME^ANIE: “sKAZANNOE BEZUSLOWNO SPRAWEDLIWO PO OTNO[ENI@ K S^ETNOJ AKSIOME WYBORA CC. w TO VE WREMQ MOE GLUBOKOE UBEVDENIE SOSTOIT W TOM, ^TO W NAUKAH “ANALITI^ESKOGO CIKLA”

kROME TOGO, KAK POKAZAL gEDELX, NIKAKAQ FALXSIFIKACIQ AC W RAMKAH TEORII ZF NEWOZMOVNA. mY MOVEM LI[X POSTULIROWATX, ^TO AC NE IMEET MESTA. rOLX DETALXNOGO OBSUVDENIQ AKSIOMY WYBORA NA NA^ALXNOM \TAPE IZU^ENIQ MATEMATIKI SOSTOIT W TOM, ^TOBY PRIU^ITX NA^INA@]EGO K MYSLI, ^TO NIKAKOE OSOBOE OBSUVDENIE AKSIOMY WYBORA NE NUVNO. nET NIKAKIH OSNOWANIJ OTWERGATX AKSIOMU WYBORA, ILI WOOB]E KAK-TO WYDELQTX EE SREDI DRUGIH AKSIOM cERMELO.

²w PROTIWOPOLOVNOSTX AKSIOME WYBORA AKSIOMA REGULQRNOSTI NIKOGDA NE

ISPOLXZOWALASX W OBY^NOJ MATEMATIKE. oTRICANIE AKSIOMY REGULQRNOSTI NEWOZMOVNO FALXSIFICIROWATX W ZFC¡, NAOBOROT, WESXMA PROSTO POSTROITX MNOVESTWA, NE UDOWLETWORQ@]IE \TOJ AKSIOME. mNE KAVETSQ, ^TO OTBRASYWANIE \TOJ AKSIOMY PRIWODIT K PLODOTWORNYM NOWYM TO^KAM ZRENIQ I OBOGA]AET NA[U TEORETIKOMNOVESTWENNU@ INTUICI@. nUVNO LI WWODITX W AKSIOMATIKU QWNOE TREBOWANIE SU]ESTWOWANIQ NEFUNDIROWANNYH MNOVESTW, DLQ MENQ WOPROS NEQSNYJ. s ODNOJ STORONY, AKSIOMY ANTIFUNDIROWANIQ QWNO SIMPATI^NY TEM, ^TO WOZWRA]A@T RASSMOTRENIE PORO^NOGO KRUGA = vicious circle W OBLASTX STROGOGO MATEMATI^ESKOGO IZU^ENIQ. s DRUGOJ STORONY, NIKAKAQ IH \TIH AKSIOM NE OBLADAET POKA STATUSOM OB]EZNA^IMOSTI. oDNAKO, W L@BOM SLU^AE, NET NIKAKIH OSNOWANIJ PRINIMATX AKSIOMU REGULQRNOSTI.

²sTATUS GIPOTEZY KONTINUUMA CH PRINCIPIALXNO OTLI^EN KAK OT STATUSA AKSIOMY WYBORA, TAK I OT STATUSA AKSIOMY REGULQRNOSTI. pRINADLEVA]AQ gEDEL@ POLOWINA RE[ENIQ GIPOTEZY KONTINUUMA SOSTOIT W TOM, ^TO CH NEWOZMOVNO OPROWERGNUTX. pRINADLEVA]AQ kO\NU POLOWINA RE[ENIQ GIPOTEZY KONTINUUMA SOSTOIT W TOM, ^TO CH NEWOZMOVNO DOKAZATX, PRI^EM SNOWA W SAMOM SILXNOM SMYSLE SLOWA NEWOZMOVNO. oDNAKO, MY MOVEM POSTULIROWATX SU]ESTWOWANIE KONTR-PRIMERA K GIPOTEZE KONTINUUMA, A PRI NEKOTORYH DOWOLXNO ESTESTWENNYH PREDPOLOVENIQH MY MOVEM DAVE POSTROITX TAKOJ KONTR-PRIMER. bOLX[INSTWO MATEMATIKOW SOGLASNY S TEM, ^TO U NAS NET NIKAKIH APRIORNYH OSNOWANIJ ZA-

NIMATX KAKU@-LIBO POZICI@ W WOPROSE O SPRAWEDLIWOSTI GIPOTEZY KON-

TINUUMA. mATEMATIKA, W KOTOROJ WYPOLNQETSQ ODNO IZ OTRICANIJ AKSIOMY KONTIUUMA, PREDSTAWLQETSQ MNE LI^NO BOLEE INTERESNOJ, NO \TO WOPROS INDIWIDUALXNOGO \STETI^ESKOGO SUVDENIQ.

²oTWEDENIE OSNOWNOJ ROLI WPOLNE UPORQDO^ENNYM MNOVESTWAM I ORDINALAM W NASTOQ]EE WREMQ POLNOSTX@ UTRATILO SMYSL. bOLX[INSTWO SO-

WREMENNYH MATEMATIKOW WOSPRINIMAET IMENNO PONQTIE ^ASTI^NO UPORQDO^ENNOGO, A NE LINEJNO UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA, KAK PERWI^NOE. wSE RASSUVDENIQ, SWQZANNYE S TRANSFINITNOJ INDUKCIEJ, STANOWQTSQ BOLEE PROSTYMI I ESTESTWENNYMI, A IH PRIMENIMOSTX UWELI^IWAETSQ, ESLI RASSMATRIWATX IH DLQ PROIZWOLX- NYH FUNDIROWANNYH ^ASTI^NO UPORQDO^ENNYH MNOVESTW. fAKTI^ESKI, BOLX[INSTWO MATEMATIKOW ISPOLXZUET W SWOEJ RABOTE NETEROWU INDUKCI@ W FORME LEMMY

NES^ETNAQ AKSIOMA WYBORA GLUBOKO DESTRUKTIWNA I MOVET ISPOLXZOWATXSQ TOLXKO W PODRYWNYH CELQH (NAPRIMER, DLQ POSTROENIQ MNOVESTWA, NE IME@]EGO MERY, ILI “TEOREMY TAKOGO-TO O BEZMERNOJ MERE”, KAK fEJNMAN NAZWAL PARADOKS bANAHA— tARSKOGO). w TO VE WREMQ, W ALGEBRE AC NUVNA BEZUSLOWNO, ^TOBY NE DOBAWLQTX KAVDYJ RAZ IDIOTSKIE PRISKAZKI WRODE “MY PREDPOLAGAEM, ^TO WO WSEH RASSMATRIWAEMYH KOLXCAH L@BOJ IDEAL SODERVITSQ W MAKSIMALXNOM”. tAKIM OBRAZOM, MOQ TO^KA ZRENIQ SOSTOIT W TOM, ^TO DLQ RAZNYH NAUK NUVNY RAZNYE TEORII MNOVESTW: DLQ ANALIZA ZF+AD, A DLQ ALGEBRY — ZFC.”

kURATOWSKOGO—cORNA ILI KAKOGO-TO EE \KWIWALENTA, A WOWSE NE TRANSFINITNU@ INDUKCI@, WYRAVENNU@ NA QZYKE TEORII ORDINALOW.

²w SAMOM PONQTII MNOVESTWA NET NI^EGO NEPRIKOSNOWENNOGO. nAM NEOBHODIMO KAKOE-TO PERWI^NOE PONQTIE DLQ ORGANIZACII MATEMATI^ESKOJ REALXNOSTI I MODELIROWANIQ MATEMATI^ESKIH OB_EKTOW. mNOVESTWA QWLQ@TSQ TRADICIONNYM I NAIBOLEE RASPROSTRANENNYM, NO NE EDINSTWENNYM WOZMOVNYM INSTRUMENTOM DLQ \TOGO. nA SAMOM DELE, W KA^ESTWE OSNOWANIQ MATEMATIKI MOVNO BYLO BY WZQTX L@BOE DRUGOE PONQTIE, \KWIWALENTNOE PONQTI@ MNOVESTWA PO SWOEJ WYRAZITELXNOJ SILE, NAPRIMER, PONQTIE SPISKA, NABORA, ^ASTI^NO UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ, GRAFA, DEREWA, : : : w DEJSTWITELXNOSTI, computer science OPERIRUET S PONQTIEM SPISKA (MASSIWA), I ESLI BY MY DOLVNY BYLI PRINIMATX RE[ENIE SEGODNQ, TO, WEROQTNO, POLOVILI BY I W OSNOWU PREPODAWANIQ MATEMATIKI KAKOE-NIBUDX BOLEE SILXNOE PONQTIE, SKOREE WSEGO, LIBO PONQTIE SPISKA, LIBO PONQTIE NABORA (MULXTIMNOVESTWA) POSKOLXKU BOLX[INSTWO MATEMATI^ESKIH KONSTRUKCIJ DOPUSKA@T BOLEE KOROTKIE OPISANIQ W TERMINAH \TIH PONQTIJ, ^EM W TERMINAH MNOVESTW.

²tEORIQ MNOVESTW NE QWLQETSQ EDINSTWENNYMYM SPOSOBOM MYSLITX MATEMATI- ^ESKIE OB_EKTY I W ^ISTO FAKTI^ESKOM PLANE. tEORIQ KATEGORIJ QWLQETSQ NE TOLXKO REALXNOJ ALXTERNATIWOJ TEORETIKO-MNOVESTWENNOMU MIROWOZZRENI@, NO I GORAZDO BOLEE OB]EJ TO^KOJ ZRENIQ. uVE SEGODNQ MNOGIE ALGEBRAISTY I TOPOLOGI WLADE@T TEORETIKO-KATEGORNYM QZYKOM STOLX VE HORO[O, KAK – ILI LU^[E, ^EM TEORETIKO-MNOVESTWENNYM. nEDAWNO Q S IZUMLENIEM ZAMETIL, ^TO EDINSTWENNYJ SPOSOB WSPOMNITX OPREDELENIE \KWIWARIANTNOGO OTOBRAVENIQ f(gx) = gf(x) SOSTOQL DLQ MENQ W TOM, ^TOBY NARISOWATX SOOTWETSTWU@]U@ KOMMUTATIWNU@ DIAGRAMMU. l@BOE SOWREMENNOE IZLOVENIE TEORII MNOVESTW DOLVNO POD^ERKIWATX TEORETIKO-KATEGORNYE PONQTIQ I KONSTRUKCII I GOTOWITX STUDENTA K PEREHODU NA KATEGORNYJ QZYK.

²w DEJSTWITELXNOSTI TEORIQ MNOVESTW I TEORIQ KATEGORIJ QWLQ@TSQ LI[X PERWYMI DWUMQ ^LENAMI BESKONE^NOJ IERARHII TEORIJ. gOWORITX O MNOVESTWE WSEH MNOVESTW NE TOLXKO NELXZQ, NO I BESSMYSLENNO, POLEZNO RASSMATRIWATX KATEGORI@ MNOVESTW. tO^NO TAK VE, BESSMYSLENNO RASSMATRIWATX KATEGORI@ WSEH KATEGORIJ KAK KATEGORI@ – KATEGORIQ WSEH KATEGORIJ PREDSTAWLQET SOBOJ 2-KATEGORI@, MORFIZMAMI KOTOROJ QWLQ@TSQ FUNKTORY, A 2-MORFIZMAMI — ESTSESTWENNYE PREOBRAZOWANIQ FUNKTOROW. tEORIQ MNOVESTW OPISYWAET OB_EKTY, TEORIQ KATEGORIJ

–PREOBRAZOWANIQ OB_EKTOW, TEORIQ 2-KATEGORIJ – PREOBRAZOWANIE \TIH PREOBRAZOWANIJ, I T.D. pOQSNIM \TO METAFOROJ IZ PROGRAMMIROWANIQ. tEORIQ MNOVESTW OPISYWAET DANNYE. tEORIQ KATEGORIJ OPISYWAET PROGRAMMY, KOTORYE QWLQ@TSQ SPOSOBAMI PREOBRAZOWANIQ ODNIH DANNYH W DRUGIE. nO POSLE \TOGO WOZNIKAET UROWENX 2-KATEGORIJ, SOSTOQ]IJ W IZU^ENII SPOSOBOW PEREPISYWANIQ ODNIH PROGRAMM W DRUGIE, UROWENX 3-KATEGORIJ, SOSTOQ]IJ W IZU^ENII SPOSOBOW PEREPISYWANIQ SPOSOBOW PEREPISYWANIQ PROGRAMM I T.D.

²sPECIFIKA TEORII MNOVESTW SOSTOIT W TOM, ^TO ONA ISPOLXZUET KLASSI^E- SKU@ DWUZNA^NU@ LOGIKU DLQ KLASSIFIKACII PODOB_EKTOW. |TO ZNA^IT, ^TO DLQ L@BOGO x 2 X I L@BOGO Y µ X IMEET MESTO ALXTERNATIWA: LIBO x 2 Y , LIBO x 2= Y . iNYMI SLOWAMI, HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ PODMNOVESTWA PRINIMAET ZNA^ENIQ W DWUH\LEMENTNOM MNOVESTWE f0; 1g. wPLOTX DO KONCA 1960-H GODOW BYLO PREDPRINQTO MNOGO NAIWNYH POPYTOK RAS[IRITX LOGIKU DO TREHZNA^NOJ (KOGDA