vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

zADA^A. uBEDITESX, ^TO

X \ Y = M(X; Y; ?); X = M(?; X; U); X [ Y = M(X; Y; U):

zADA^A. dOKAVITE, ^TO PEREHOD K DOPOLNENI@ QWLQETSQ AWTOMORFIZMOM OTNOSITELXNO MEDIANY, T.E. M(X; Y; Z)0 = M(X0; Y 0; Z0).

|TU ZADA^U MOVNO ZNA^ITELXNO USILITX. w SLU^AE jUj = n U ALGEBRY (2U ; \; [)

IMEETSQ n! AWTOMORFIZMOW, KOTORYE OBRAZU@T SIMMETRI^ESKU@ GRUPPU S » S .

U = n

mEDIANA ZAME^ATELXNA TEM, ^TO ONA DAET NAIBOLEE PROSTOJ SPOSOB REALIZACII OKTA\DRALXNOJ GRUPPY Octn.

zADA^A. pUSTX jUj = n. dOKAVITE, ^TO U ALGEBRY (2U ; M) ROWNO 2nn! AWTOMOMORFIZMOW.

wOT NA ZAKUSKU NESKOLXKO BOLEE \KZOTI^ESKIH TOVDESTW, POKAZYWA@]IH, ^TO PRIHODIT NA ZAMENU IDEMPOTENTNOSTI I ASSOCIATIWNOSTI DLQ TERNARNYH OPERACIJ.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO

1)M(X; M(X; Y; Z); Z) = M(X; Y; Z);

2)M(X; Y; M(Z; U; V )) = M(M(X; Y; Z); U; M(X; Y; V );

3)M(M(X; Y; Z); U; V ) = M(M(X; U; V ); Y; M(Y; Z; V )).

x 7. mETOD WKL@^ENIQ-ISKL@^ENIQ

sEJ^AS MY OPI[EM WAVNEJ[IJ KOMBINATORNYJ INSTRUMENT, KOTORYM MY BUDEM POSTOQNNO POLXZOWATXSQ W DALXNEJ[EM.

1. fORMULA WKL@^ENIQ-ISKL@^ENIQ DLQ DWUH ILI TREH MNO-

VESTW. pUSTX WNA^ALE X = [Xi, i 2 I, – POKRYTIE MNOVESTWA X. mY HOTIM WY^ISLITX jXj. w KA^ESTWE PERWOGO PRIBLIVENIQ WOSPOLXZUEMSQ PRAWILOM SUMMY. oDNAKO PRI \TOM \LEMENTY, PRINADLEVA]IE BOLEE ^EM ODNOMU MNOVESTWU Xi BUDUT POS^ITANY NESKOLXKO RAZ I DLQ POLU^ENIQ PRAWILXNOGO OTWETA MY DOLVNY IH ISKL@^ITX. pRI \TOM MY ISKL@^IM TE \LEMENTY, KOTORYE SODERVATSQ BOLEE, ^EM W DWUH MNOVESTWAH Xi SLI[KOM MNOGO RAZ, I NAM PRIDETSQ IH SNOWA WKL@^ITX I T.D.

pOSMOTRIM, PREVDE WSEGO, KAK WYGLQDIT FORMULA WKL@^ENIQ-IS- KL@^ENIQ DLQ NEBOLX[OGO KOLI^ESTWA MNOVESTW. dLQ DWUH MNOVESTW \TA FORMULA ZAPISYWAETSQ W WIDE

jA [ Bj = jAj + jBj ¡ jA \ Bj:

dLQ TREH MNOVESTW ONA PRIOBRETAET WID

jA [ B [ Cj = jAj + jBj + jCj ¡ jA \ Bj ¡ jA \ Cj ¡ jB \ Cj + jA \ B \ Cj:

i W TOM I W DRUGOM SLU^AE EE LEGKO PEREPISATX W WIDE KOMBINATORNYH FORMUL jA [ Bj = jAj + jB n Aj I jA [ B [ Cj = jA n Bj + jB n Cj + jC n Aj + jA \ B \ Cj.

zADA^A. nAPI[ITE FORMULU WKL@^ENIQ-ISKL@^ENIQ W SLU^AE ^ETYREH MNOVESTW. wERNO LI, ^TO \TU FORMULU MOVNO PEREPISATX W WIDE KOMBINATORNOJ FORMULY jA [ B [ C [ Dj = jA n Bj + jB n Cj + jC n Dj + jD n Aj + jA \ B \ C \ Dj?

uKAZANIE. wTOROJ WOPROS SOSTOIT IZ DWUH ^ASTEJ: WERNO LI, ^TO

A [ B [ C [ D = (A n B) [ (B n C) [ (C n D) [ (D n A) [ (A \ B \ C \ D)

I WERNO LI, ^TO PQTX PODMNOVESTW W PRAWOJ ^ASTI \TOGO WYRAVENIQ POPARNO DIZ_@NKTNY?

2. oB]AQ FORMULA WKL@^ENIQ-ISKL@^ENIQ. ~ASTO NAM DAN PO-

RQDOK OB_EDINENIQ MNOVESTW, PORQDKI POPARNYH RAZNOSTEJ I T.D., A NEIZWESTNYM QWLQETSQ KAKOJ-TO IZ PORQDKOW PERESE^ENIJ. nA \TOJ IDEE OSNOWANO BOLX[OE KOLI^ESTWO FOLXKLORNYH ZADA^.

zADA^A (FORMULA WKL@^ENIQ-ISKL@^ENIQ). dOKAVITE, ^TO IME-

ET MESTO RAWENSTWO

X X X

j [ Xij = jXij ¡ jXi \ Xjj + jXi \ Xj \ Xhj ¡ : : :

GDE PERWAQ SUMMA BERETSQ PO WSEM i, WTORAQ — PO WSEM i < j, TRETXQ — PO WSEM i < j < h I T.D.

uKAZANIE. iSPOLXZUJTE INDUKCI@ PO n.

sLEDSTWIE: FORMULA RE[ETA. pUSTX TEPERX Xi, i 2 I, — L@-

BAQ SISTEMA PODMNOVESTW W X. tOGDA IZ POSLEDNEJ ZADA^I SLEDUET, ^TO ^ISLO jX n [Xij \LEMENTOW MNOVESTWA X, NE SODERVA]IHSQ NI W ODNOM IZ MNOVESTW Xi RAWNO

X X X

jX n [Xij = jXj ¡ jXij + jXi \ Xjj ¡ jXi \ Xj \ Xhj + : : : :

|TA FORMULA NAZYWAETSQ FORMULOJ RE[ETA. nESMOTRQ NA SWO@ KRAJN@@ PROSTOTU ONA POZWOLQET DATX ZAME^ATELXNO PROSTYE DOKAZATELXSTWA NEKOTORYH ^REZWY^AJNO WAVNYH ARIFMETI^ESKIH FAKTOW.

zADA^A: FORMULA DLQ FUNKCII |JLERA iZWESTNO, ^TO DLQ L@BOGO NATURALX-

NOGO n KOLI^ESTWO '(n) ^ISEL MEVDU 0 I n ¡ 1 WZAIMNO PROSTYH S n RAWNO

'(n) = n 1 ¡ 1 : : : 1 ¡ 1 ; p1 ps

GDE p1; : : : ; ps PROBEGAET WSE RAZLI^NYE PROSTYE DELITELI ^ISLA n. dOKAVITE \TO ISPOLXZUQ FORMULU RE[ETA.

oTWET. pO FORMULE RE[ETA POLU^AEM, ^TO

Dn = n!(1 ¡ 1=1! + 1=2! ¡ : : : + (¡1)n1=n!)

iNTERESNO, ^TO FORMULA W SKOBKAH — \TO NA^ALO RAZLOVENIQ W RQD DLQ e¡1. tAKIM OBRAZOM, DLQ NE SLI[KOM MALENXKIH n ^ISLO e¡1 > 1=3 QWLQETSQ O^ENX HORO[IM PRIBLIVENIEM DLQ OTNO[ENIQ Dn=n!, T.E. WEROQTNOSTI TOGO, ^TO NAUGAD WZQTAQ PERESTANOWKA n SIMWOLOW NE OSTAWLQET NA MESTE NI ODNOGO SIMWOLA. sOWER[ENNO UDIWITELXNO, ^TO \TA WEROQTNOSTX PRAKTI^ESKI NE ZAWISIT OT n! kAK ZAME^AET PO \TOMU POWODU rAJZER [Ry], “DLQ WSEH PRAKTI^ESKIH CELEJ WEROQTNOSTX RAWNA e¡1” (“DLQ GRENLANDSKIH KITOW ¼ = 3”).

zADA^A. sKOLXKIMI SPOSOBAMI MOVNO RASSTAWITX [AHMATNOJ DOSKE 8 LADEJ TAK, ^TOBY NI ODNA IZ NIH NE BILA DRUGIE I ^TOBY NI ODNA NE STOQLA NA GLAWNOJ DIAGONALI a8–h1.

10. oB]IJ SLU^AJ FORMULY WKL@^ENIQ-ISKL@^ENIQ. tEPERX MY HOTIM RE[ITX BOLEE OB]U@ ZADA^U. pUSTX NAM DANY PODMNOVESTWA Xi, i 2 I, W X. nAJTI ^ISLO \LEMENTOW x 2 X, KOTORYE PRINADLEVAT ROWNO m IZ MNOVESTW Xi. kAK MY SEJ^AS UWIDIM, KROME ^EREDOWANIQ ZNAKOW ZDESX W FORMULE WKL@^ENIQ-ISKL@^ENIQ WOZNIKNUT BINOMIALXNYE KO\FFICIENTY (KOTORYE BYLI RAWNY 1 W RASSMOTRENNOM WY[E ^ASTNOM SLU^AE m = 0).

11. zADA^A (OB]AQ FORMULA WKL@^ENIQ-ISKL@^ENIQ). pOLOVIM

X

w(s) = jXi1 \ : : : \ Xis j;

GDE SUMMA BERETSQ PO WSEM s-\LEMENTNYM PODMNOVESTWAM fi1; : : : ; isg MNOVESTWA INDEKSOW I. dOKAVITE, ^TO TOGDA ^ISLO \LEMENTOW, KOTORYE PRINADLEVAT ROWNO m

rE[ENIE. o^EWIDNO, ^TO ESLI x 2 X PRINADLEVIT MENX[E, ^EM m MNOVESTWAM, TO EGO WKLAD W \TU ZNAKOPEREMENNU@ SUMMU RAWEN 0. eSLI x 2 X PRINADLEVIT ROWNO m MNOVESTWAM, TO ON WHODIT TOLXKO W PERWOE SLAGAEMOE I EGO WKLAD W ZNAKOPEREMENNU@ SUMMU RAWEN 1. tAKIM OBRAZOM, NAM OSTALOSX LI[X POKAZATX, ^TO ESLI x PRINADLEVIT BOLEE, ^EM m PODMNOVESTWAM, TO EGO WKLAD W ZNAKOPEREMENNU@ SUMMU RAWEN 0. w SAMOM DELE, PUSTX x PRINADLEVIT t > m PODMNOVESTWAM. tOGDA

x 8. rAZNOSTX MNOVESTW

w \TOM PARAGRAFE MY PRODOLVIM OPREDELQTX BULEWY OPERACII, A IMENNO, WWEDEM I IZU^IM RAZNOSTX MNOVESTW.

1. rAZNOSTX. kAK WSEGDA, NA^NEM S OPREDELENIQ.

oPREDELENIE. rAZNOSTX@ DWUH MNOVESTW X I Y NAZYWAETSQ MNO- VESTWO X nY , SOSTOQ]EE IZ TEH I TOLXKO TEH \LEMENTOW, KOTORYE PRINADLEVAT MNOVESTWU X, NO NE PRINADLEVAT MNOVESTWU Y ,

X n Y = fx 2 X j x 2= Y g:

eSLI X — PODMNOVESTWO MNOVESTWA U, WYDELENNOE SWOJSTWOM P , A Y — PODMNOVESTWO TOGO VE MNOVESTWA, WYDELQEMOE SWOJSTWOM Q, TO

X n Y = fx 2 U j P (x)g n fx 2 U j Q(x)g = fx 2 U j P (x) & :Q(x)g:

w TERMINAH WKL@^ENIQ RAZNOSTX MOVNO OPREDELITX TAK: RAZNOSTX MNOVESTW X I Y — \TO NAIBOLX[EE PODMNOVESTWO W X, KOTOROE NE PERESEKAETSQ S Y . oPERACII PERESE^ENIQ I RAZNOSTI NE QWLQ@TSQ NEZAWISIMYMI, A IMENNO, PERESE^ENIE SLEDU@]IM OBRAZOM WYRAVAETSQ ^EREZ RAZNOSTX: A \B = A n(A nB). w TEX’E ZNAK TEORETIKO-MNOVESTWENNOJ RAZNOSTI n NAZYWAETSQ nsetminus.

2. pRIMERY RAZNOSTI. w [KOLE MY STALKIWALISX S RAZNOSTX@ KAVDYJ RAZ, KOGDA NUVNO BYLO ISKL@^ITX ‘LI[NIE’ RE[ENIQ.

Y= fx 2 R j f(x) < 0g.

²w OSNOWNYH GRAFI^ESKIH PAKETAH IMPLEMENTIROWANA I OPERACIQ n NAD PLOSKIMI FIGURAMI. w DEJSTWITELXNOSTI, W Adobe Illustrator

TAKIH OPERACIJ CELYH DWE, I NAZYWA@TSQ ONI MinusFront I MinusBack. kAK wY DUMAETE, PO^EMU? oTWET DAETSQ W SLEDU@]EM PUNKTE.

zADA^A. ~EMU RAWNO PERESE^ENIE DWUH INTERWALOW WE]ESTWENNOJ OSI?

3. sWOJSTWA RAZNOSTI. rAZNOSTX MNOVESTW, WOOB]E GOWORQ, NE QWLQETSQ NI KOMMUTATIWNOJ, NI ASSOCIATIWNOJ.

zADA^A. kOGDA A n B = B n A?

zADA^A. (i) dOKAVITE, ^TO DLQ L@BYH TREH MNOVESTW IMEET MESTO WKL@^ENIE (A n B) n C µ A n (B n C).

(ii)pRIWEDITE PRIMER TREH MNOVESTW, DLQ KOTORYH \TO WKL@^ENIQ QWLQETSQ STROGIM.

(iii)wERNO LI, ^TO (A n B) n C = (A n C) n B?

(iv)wERNO LI, ^TO (A n B) n C = (A n C) n (B n C)?

rE[ENIE. lEWAQ ^ASTX i) SOSTOIT IZ TEH x 2 A, KOTORYE NE LEVAT NI W B, NI W C, W TO WREMQ KAK PRAWAQ ^ASTX I, TEM SAMYM, SODERVITSQ W A n B. pRAWAQ VE ^ASTX SOSTOIT IZ TEH x 2 A, KOTORYJ NE LEVAT W B n C I, TEM SAMYM SODERVIT A n B. mOVNO OB_QSNITX \TO I PO DRUGOMU: LEWAQ ^ASTX SOSTOIT IZ TEH x, DLQ KOTORYH x 2 A & x 2= B & x 2= C, W TO WREMQ KAK PRAWAQ ^ASTX – IZ TEH x, DLQ KOTORYH (x 2 A & x 2= B) _ (x 2 A & x 2 C) (SM. x ?). tAKIM OBRAZOM, ^TOBY PRIWESTI PRIMER TREH MNOVESTW, DLQ KOTORYH ZDESX IMEET MESTO STROGOE NERAWENSTWO, DOSTATO^NO WZQTX TRI L@BYH MNOVESTWA, DLQ KOTORYH A \ C NE SODERVITSQ W B. ~TO KASAETSQ iii) I iv), \TI TOVDESTWA WERNY.

4. fORMULY DE mORGANA. rAZNOSTX DISTRIBUTIWNA SPRAWA OT-

NOSITELXNO PERESE^ENIQ I OB_EDINENIQ. iNYMI SLOWAMI, DLQ L@BYH TREH MNOVESTW IME@T MESTO RAWENSTWA

(A \ B) n C = (A n C) \ (B n C); (A [ B) n C = (A n C) [ (B n C):

aWGUST DE mORGAN (1806 iNDIQ — 1871) — ZNAMENITYJ ANGLIJSKIJ LOGIK I MATEMATIK. pOSLE OBU^ENIQ W kEMBRIDVE S 1828 PO 1866 GODY (S NEBOLX- [IM PERERYWOM) BYL PROFESSOROM University College W lONDONE, GDE SREDI EGO U^ENIKOW BYL, W ^ASTNOSTI, dV.sILXWESTR. dE mORGAN PERWYM QWNO WWEL PONQTIE OTNO[ENIQ I OSNOWNYE OPERACII NAD OTNO[ENIQMI, KOTORYE W DALXNE[EM IZU^ALI {REDER, kANTOR I pEANO. oN ZAMETIL ANALOGI@ TOVDESTW, KOTORYM UDOWLETWORQ@T OPERACII NAD WYSKAZYWANIQMI W LOGIKE, ^ISLAMI W ALGEBRE I SOBYTIQMI W TEORII WEROQTNOSTEJ, KOTORU@ POTOM DETALXNO OBSUVDALI bULX I DRUGIE.

zADA^A. zAPI[ITE PRAWU@ DISTRIBUTIWNOSTX OTNOSITELXNO PERESE- ^ENIQ KAK TOVDESTWO, W KOTOROM FIGURIRUET TOLXKO RAZNOSTX.

oTWET. (A n (A n B)) n C = (A n C) n ((A n C) n (B n C)).

zADA^A. wERNO LI, ^TO RAZNOSTX MNOVESTW DISTRIBUTIWNA SLEWA OTNOSITELXNO PERESE^ENIQ I OB_EDINENIQ, T.E. ^TO DLQ L@BYH TREH MNOVESTW IME@T MESTO RAWENSTWA A n (B \ C) = (A n B) \ (A n C) I

A n (B [ C) = (A n B) [ (A n C)?

oTWET. nET, NEWERNO! pRIWEDITE PRIMERY, POKAZYWA@]IE, ^TO DISTRIBUTIWNOSTX SLEWA NE IMEET MESTA.

w DEJSTWITELXNOSTI ZAMENOJ LEWOJ DISTRIBUTIWNOSTI RAZNOSTI OTNOSITELXNO PERESE^ENIQ I OB_EDINENIQ QWLQ@TSQ FORMULY DE mORGANA, W KOTORYH PERESE^ENIE I OB_EDINENIE MENQ@TSQ MESTAMI:

A n (B \ C) = (A n B) [ (A n C); A n (B [ C) = (A n B) \ (A n C):

kAVETSQ, ^TO \TI FORMULY BYLI IZWESTNY WSEGDA I NEWOZMOVNO PREDSTAWITX, ^TOBY IH NE ZNALI lEJBNIC I |JLER, ODNAKO W DEJSTWITELXNOSTI, ONI BYLI WPERWYE OPUBLIKOWANY LI[X a.DE mORGANOM W 1848 GODU I ~.s.pIRSOM W 1867 GODU.

pREDOSTAWIM NA^INA@]EMU PROWERITX E]E NESKOLXKO TOVDESTW, W KOTORYE WHODQT PERESE^ENIE, OB_EDINENIE I RAZNOSTX.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO

i)A n B = A n (A \ B);

ii)A \ (B n C) = (A \ B) n C;

iii)A \ (B n C) = B \ (A n C);

iv)A \ (B n A) = ?;

v)(A n B) \ (C n D) = (A n D) \ (C n B).

rE[ENIE. oBE ^ASTI i) SOSTOQT IZ TEH x, DLQ KOTORYH x 2 A & x 2= B. oBE ^ASTI ii) SOSTOQT IZ TEH x, DLQ KOTORYH x 2 A & x 2 B & x 2= C. zAMETIM, ^TO ii) PREDSTAWLQET SOBOJ WIDOIZMENENIE PRAWOJ DISTRIBUTIWNOSTI. tEPERX iii) SLEDUET IZ ii) S U^ETOM KOMMUTATIWNOSTI PERESE- ^ENIQ, A iv) MOMENTALXNO WYTEKAET IZ iii) I SWOJSTWA POGLO]ENIQ DLQ PERESE^ENIQ A\(BnA) = B\(AnA) = B\? = ?. nAKONEC, W v) OBE ^A- STI SOSTOQT IZ TEH x, DLQ KOTORYH x 2 A & x 2= B & x 2 C & x 2= D.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO

i)(A n B) n C = A n (B [ C);

ii)A n (B n C) = (A n B) [ (A \ C);

iii)(A \ B) n (C [ D) = (A n C) \ (C n D);

x 9. dOPOLNENIE: BULEWY ALGEBRY

w \TOM PARAGRAFE MY ZAWER[IM OPISANIE ALGEBRY MNOVESTW.

1. dOPOLNENIE. mY PRODOLVAEM RASSMATRIWATX BULEAN 2U MNOVESTWA FIKSIROWANNOGO MNOVESTWA U. pUSTX X µ U. rAZNOSTX X0 = U nX NAZYWAETSQ DOPOLNENIEM K X ILI, ESLI NUVNA OSOBAQ TO^NOSTX, DOPOLNENIEM X W MNOVESTWE U. w ^ASTNOSTI, ?0 = U I U0 = ?

mNOGIE AWTORY OBOZNA^A@T DOPOLNENIE K X ^EREZ {X, ILI, ESLI NUVNO QWNO UKAZATX MNOVESTWO U, ^EREZ {U X. zNAK { QWLQETSQ PROSTO STILIZOWANNOJ BUKWOJ C — PERWOJ BUKWOJ SLOWA complement. w TEX’E ZNAK PERESE^ENIQ { TAK I NAZYWAETSQ ncomplement.

tEPERX MY GOTOWY ZAKON^ITX FORMULIROWKU AKSIOM BULEWOJ ALGEBRY:

zADA^A. dOKAVITE, ^TO

1)X µ Y () X0 ¶ Y 0.

2)X \ Y = ? () X µ Y 0 () Y µ X0.

3)X [ Y = U () X ¶ Y 0 () Y ¶ X0.

2.rE[ETKI S DOPOLNENIQMI. pUSTX L — RE[ETKA S 0 I 1. |LEMENT Y NAZYWAETSQ DOPOLNENIEM \LEMENTA X, ESLI X \ Y = 0, X [ Y = 1. sLEDU@]IJ REZULXTAT BYL FAKTI^ESKI ZAME^EN gRASSMANOM.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO W DISTRIBUTIWNOJ RE[ETKE S 0 I 1 KAVDYJ \LEMENT IMEET NE BOLEE ODNOGO DOPOLNENIQ.

rE[ENIE. w PRINCIPE DOKAZATELXSTWO O^ENX POHOVE NA DOKAZATELXSTWO EDINSTWENNOSTI OBRATNOGO \LEMENTA W MONOIDAH, TOLXKO WMESTO ASSOCIATIWNOSTI W NEM ISPOLXZUETSQ ASSOCIATIWNOSTX. a IMENNO, PUSTX Y; Z — DWA RAZLI^NYH DOPOLNENIQ K \LEMENTU X. tOGDA Y = Y \ 1 =

Y \ (X [ Z) = (Y \ X) [ (Y \ Z) = (0 [ (Y \ Z) = Y \ Z. sOWER[ENNO ANALOGI^NO DOKAZYWAETSQ I RAWENSTWO Z = Y \ Z.

rE[ETKA L S 0 I 1 NAZYWAETSQ RE[ETKOJ S DOPOLNENIQMI, ESLI L@BOJ EE \LEMENT IMEET DOPOLNENIE. rE[ETKA L NAZYWAETSQ RE[ET-

KOJ S EDINSTWENNYMI DOPOLNENIQMI, ESLI KAVDYJ EE \LEMENT IMEET EDINSTWENNOE DOPOLNENIE. kAK BYLO TOLXKO ^TO ZAME^ENO, W

kOMMENTARIJ. nEKOTORYE AWTORY GOWORQT O BULEWOJ ALGEBRE KAK O MNOVESTWE S DWUMQ OPERACIQMI, NO W \TOM SLU^AE \TO OPERACII \ I 0, LIBO [ I 0. w SAMOM DELE, PRI NALI^II DOPOLNENIQ [ WYRAVAETSQ ^EREZ \ PO TOVDESTWU DE mORGANA KAK X [ Y = (X0 \ Y 0)0 I, SOOTWETSTWENNO, NAOBOROT, \ WYRAVAETSQ ^EREZ [ PO TOVDESTWU DE mORGANA KAK X \ Y = (X0 [ Y 0)0.

w PROIZWOLXNOJ BULEWOJ ALGEBRE IME@TSQ ANALOGI WSEH RASSMOTRENNYH DO SIH POR OPERACIJ I WYPOLNQ@TSQ WSE TOVDESTWA, KOTORYE MY PROWERQLI W 2U . dOKAZATELXSTWO WSEH \TIH TOVDESTW LEGKO WYTEKAET IZ AKSIOM L1 — L9. nAPRIMER, X n Y MOVNO OPREDELITX KAK X n Y = X \ Y 0. pOPROBUJTE WYWESTI USTANOWLENNYE W PREDYDU]EM PARAGRAFE SWOJSTWA RAZNOSTI TOLXKO NA OSNOWE AKSIOM.

4. aLGEBRY MNOVESTW. w SAMYH RAZLI^NYH OBLASTQH MATEMATIKI NA KAVDOM [AGU WOZNIKAET SLEDU@]IJ OSNOWNOJ PRIMER BULEWYH ALGEBR. aLGEBROJ MNOVESTW NAZYWAETSQ PROIZWOLXNAQ BULEWA PODALGEBRA A ALGEBRY 2U . iNYMI SLOWAMI, NEPUSTOE PODMNOVESTWO A µ 2U QWLQETSQ ALGEBROJ PODMNOVESTW U, ESLI DLQ L@BYH X; Y 2 A TAKVE X \ Y; X [ Y; X0 2 A. tOGDA AWTOMATI^ESKI TAKVE I X n Y 2 A.

kOMMENTARIJ. wPRO^EM, POSLE POLUTORAWEKOWYH UPRAVNENIJ TERMINOLOGIQ ZDESX WSE E]E NE USTANOWILASX. mNOGIE AWTORY GOWORQT O KOLXCAH, POLQH I DAVE TELAH MNOVESTW! kONE^NO, ESLI BY \TA TEMA PRIWLEKLA WNIMANIE WELIKOGO SPECIALISTA PO PODMNOVESTWAM ABSTRAKTNOGO PUSTOGO MNOVESTWA nIKOLA bURBAKI107, MY BY ZNALI, KAKOJ TERMINOLOGII PRIDERVIWATXSQ. oDNAKO U bURBAKI TEORIQ INTEGRALA STROITSQ NA OSNOWE TEOREMY rISSA (KOTORAQ PRINIMAETSQ ZA OPREDELENIE) NEZAWISIMO OT MERY MNOVESTW, PO\TOMU DAVE ALGEBRY MNOVESTW OPREDELQ@TSQ IM W TERMINAH HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ! wOT I PRIHODITSQ BRODITX KAVDOMU SAMOMU PO SEBE: NE SMOGLI PRIDTI K SOGLASI@ DAVE AWTORY STATEJ W ‘mATEMATI^ESKOJ \NCIKLOPEDII’, KOTORYE W STATXQH ‘ALGEBRA MNOVESTW’, ‘BORELEWSKIE MNOVESTWA’, ‘BULEWA ALGEBRA’ I ‘MERA’ POLXZU@TSQ DLQ OBOZNA^ENIQ ODNOGO I TOGO VE PONQTIQ ^ETYRXMQ RAZNYMI TERMINAMI! mNE, ODNAKO, TERMINOLOGIQ, SWQZANNAQ S ‘KOLXCAMI’ I ‘POLQMI’ MNOVESTW S OPERACIQMI \ I [, PREDSTAWLQETSQ ZLOSTNYM ANAHRONIZMOM. hO^ETSQ, WSE VE, ^TOBY HOTQ BY OTNOSITELXNO KAKOJ-TO IZ \TIH OPERACIJ ‘KOLXCO’ OBRAZOWYWALO GRUPPU, A \TOGO, KAK RAZ, NI W ODNOM SLU^AE, KROME DETALXNO IZU^ENNOGO bURBAKI KOLXCA PODMNOVESTW PUSTOGO MNOVESTWA, NE NABL@DAETSQ.

pRIWEDEM PRIMER ALGEBRY MNOVESTW, OTLI^NOJ OT 2U .

zADA^A. dOKAVITE, ^TO V(U) [ Cof(U) µ 2U OBRAZUET ALGEBRU MNOVESTW.

x 10. sIMMETRI^ESKAQ RAZNOSTX MNOVESTW

sEJ^AS MY WWEDEM E]E ODNU OPERACI@ NAD MNOVESTWAMI, KOTORAQ

107‘oTMETIM, ^TO MNOVESTWO PODMNOVESTW PUSTOGO MNOVESTWA ?, SWODQ]EESQ K EDINSTWENNOMU PODMNOVESTWU ?, ESTX ALGEBRA’ — n.bURBAKI, iNTEGRIROWANIE (mERY NA LOKALXNO KOMPAKTNYH PROSTRANSTWAH, PRODOLVENIE MERY, INTEGRIROWANIE MER, MERY NA OTDELIMYH PROSTRANSTWAH). – nAUKA, m., 1977, S.1–600, STR.152.

POZWODIT NAM PREWRATITX 2U W ASSOCIATIWNOE KOLXCO.

1. sIMMETRI^ESKAQ RAZNOSTX. sLEDU@]AQ OPERACIQ, NESMOTRQ NA TO, ^TO MY WWODIM EE POSLEDNEJ, QWLQETSQ SAMOJ WAVNOJ SREDI WSEH TEORETIKO-MNOVESTWENNYH OPERACIJ.

oPREDELENIE. sIMMETRI^ESKOJ RAZNOSTX@ DWUH MNOVESTW A I

BNAZYWAETSQ MNOVESTWO A 4 B, SOSTOQ]EE IZ TEH I TOLXKO TEH \LEMENTOW, KOTORYE PRINADLEVAT ROWNO ODNOMU IZ MNOVESTW A ILI

B,

A 4 B = (A n B) [ (B n A) = (A [ B) n (A \ B):

sIMMETRI^ESKAQ RAZNOSTX WSTRE^AETSQ W PRIRODE POD RAZNYMI DISGAJZAMI — I POD RAZNYMI NAZWANIQMI:

²w ANTI^NOSTI OB_EDINENIE ^ASTO NAZYWALOSX SUMMOJ MNOVESTW, NO W DEJSTWITELXNOSTI NASTOQ]IM ANALOGOM SUMMY ^ISEL QWLQETSQ IMENNO SIMMETRI^ESKAQ RAZNOSTX. pO\TOMU W DALXNEJ[EM MY BUDEM INOGDA OBOZNA^ATX SIMMETRI^ESKU@ RAZNOSTX ^EREZ + I NAZYWATX EE BULEWOJ SUMMOJ, ^TOBY POD^ERKNUTX ANALOGI@ S SUMMOJ PO MODUL@

2.

²w STARINNNYH NEMECKIH KNIGAH SIMMETRI^ESKAQ RAZNOSTX FIGURIROWALA POD ^REZWY^AJNO SUGGESTIWNYM NAZWANIEM ÄUberschu¼ — IZLI[EK, IZBYTOK, ILI, NA wASILEOSTROWSKOM DIALEKTE, UEBER[US.

²w BOLX[INSTWE OSNOWNYH GRAFI^ESKIH PAKETOW IMPLEMENTIROWANA OPERACIQ 4 NAD PLOSKIMI FIGURAMI. w ^ASTNOSTI, W Adobe Illustrator \TA OPERACIQ NAZYWAETSQ Exclude.

zADA^A. uBEDITESX, ^TO X 4 Y = (X [ Y ) 4 (X \ Y ).

zADA^A. pUSTX X; Y µ U. dOKAVITE, ^TO X 4Y = (X [Y )\(X0 [Y 0).

2. sWOJSTWA SIMMETRI^ESKOJ RAZNOSTI. sIMMETRI^ESKAQ RAZ-

NOSTX OBLADAET E]E BOLEE ZAME^ATELXNYMI SWOJSTWAMI, ^EM PERESE^E- NIE I OB_EDINENIE.

G1 aSSOCIATIWNOSTX (X 4 Y ) 4 Z = X 4 (Y 4 Z).

G2 sU]ESTWOWANIE NEJTRALXNOGO \LEMENTA A 4 ? = A =

? 4 A.

G3 sU]ESTWOWANIE SIMMETRI^NOGO \LEMENTA A 4 B = ? =

B 4 A.

G4 kOMMUTATIWNOSTX X 4 Y = Y 4 X.

w DEJSTWITELXNOSTI SWOJSTWO G3 MOVNO USILITX.

G5 iNWOL@TIWNOSTX A 4 A = ?.