vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

— KLASSY IZOMORFIZMA (WE]ESTWENNOJ) PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI, BUTYLKI kLEJNA I TORA, SOOTWETSTWENNO.

zADA^A. |LEMENTARNAQ TOPOLOGIQ U^IT NAS, ^TO M POROVDAETSQ KLASSAMI P I T (T.E. L@BAQ KOMPAKTNAQ POWERHNOSTX POLU^AETSQ IZ SFERY PRIKLEIWANIEM ‘PLENOK’ I ‘RU^EK’), PRI^EM T POROVDAET W M PODMONOID, IZOMORFNYJ N0, A IMENNO, nT — \TO KOMPAKTNAQ ORIENTIROWANNAQ POWERHNOSTX S n RU^KAMI. kROME TOGO, 2P = K, A 3P = P + K = P + T . wYWESTI OTS@DA, ^TO WOOB]E (2n + 1)P = P + nT , A (2n + 2)P = K + nT I, TEM SAMYM, L@BOJ \LEMENT M ODNOZNA^NO PREDSTAWLQETSQ W WIDE mP + nT , GDE m = 0; 1; 2, A n 2 N0.

x 4. oBRATIMYE \LEMENTY

pREVDE, ^EM PEREJTI K DALXNEJ[IM PRIMERAM, WWEDEM E]E DWA ^REZWY^AJNO WAVNYH OPREDELENIQ, ILL@STRIRU@]IE ROLX ASSOCIATIWNOSTI.

1. oBRATIMYE \LEMENTY. pUSTX x 2 X. gOWORQT, ^TO x OBRATIM SLEWA, ESLI SU]ESTWUET TAKOE y 2 X, ^TO y ¤ x = e. w \TOM SLU^AE y NAZYWAETSQ LEWYM OBRATNYM DLQ x. aNALOGI^NO OPREDELQ@TSQ

OBRATIMOSTX SPRAWA I PRAWYE OBRATNYE. a IMENNO, z NAZYWAET-

SQ PRAWYM OBRATNYM DLQ x, ESLI x ¤ z = e. |LEMENT, DLQ KOTOROGO SU]ESTWUET LEWYJ ILI PRAWYJ OBRATNYJ NAZYWAETSQ ODNOSTORONNE OBRATIMYM. wOOB]E GOWORQ, DLQ \LEMENTA MOVET SU]ESTWOWATX MNOGO ODNOSTORONNIH OBRATNYH (LIBO NE SU]ESTWOWATX NI ODNOGO). nO W MONOIDAH LEWYJ OBRATNYJ OBQZAN SOWPADATX S PRAWYM, ESLI OBA SU]E- STWU@T.

lEMMA. pUSTX (X; ¤) — MONOID I x 2 X. eSLI y – LEWYJ OBRATNYJ, A z — PRAWYJ OBRATNYJ DLQ x, TO y = z.

dOKAZATELXSTWO. w SAMOM DELE, y = y ¤ e = y ¤ (x ¤ z) = (y ¤ x) ¤ z = e ¤ z = z.

zAMETIM, ^TO W \TOM DOKAZATELXSTWE SAMYM SU]ESTWENNYM OBRAZOM ISPOLXZOWANA ASSOCIATIWNOSTX OPERACII W X. w gLAWE 2 MY PRIWEDEM PRIMERY, POKAZYWA@]IE, ^TO U BESKONE^NOJ MATRICY MOVET SU]E- STWOWATX BESKONE^NO MNOGO DWUSTORONNIH OBRATNYH. rAZUMEETSQ, \TO WOZMOVNO TOLXKO POTOMU, ^TO UMNOVENIE BESKONE^NYH MATRIC NEASSOCIATIWNO.

sLEDSTWIE. eSLI U \LEMENTA x 2 X SU]ESTWUET BOLX[E ODNOGO LE- WOGO OBRATNOGO, TO U NEGO NE SU]ESTWUET PRAWOGO OBRATNOGO. tO VE SAMOE S ZAMENOJ LEWYH OBRATNYH NA PRAWYE.

pREDOSTEREVENIE. sU]ESTWOWANIE EDINSTWENNOGO LEWOGO OBRATNOGO NEOBHODIMO, NO NE DOSTATO^NO DLQ OBRATIMOSTI. pRIWEDITE KONTRPRIMER!!

zADA^A. rASSMOTRIM SIMMETRI^ESKIJ MONOID NN. dOKAVITE, ^TO U OTOBRAVENIQ Á : N ¡! N, n 7!n+1, BESKONE^NO MNOGO LEWYH OBRATNYH.

oTWET. lEWYE OBRATNYE K Á IME@T WID Ãm, GDE Ãm(n) = n ¡ 1 DLQ n ¸ 2, A Ãm(1) = m.

oPREDELENIE. pUSTX (X; ¤) — MONOID. |LEMENT x 2 X NAZYWAETSQ OBRATIMYM, ESLI ON OBRATIM KAK SLEWA, TAK I SPRAWA, T.E. ESLI NAJDETSQ TAKOJ y 2 X, ^TO y ¤ x = e = x ¤ y. w \TOM SLU^AE y NAZYWAETSQ OBRATNYM K x.

iNOGDA \MFATI^ESKI GOWORQT O DWUSTORONNE OBRATNYH. tERMIN ‘OBRATNYJ’ PODSKAZAN, KONE^NO, OBOZNA^ENIEM ¤ KAK UMNOVENIQ, SM. NIVE. bOLEE PEDANTI^NYE AWTORY GOWORQT W OB]EM SLU^AE OB y KAK O SIMMETRI^NOM K x \LEMENTE. w L@BOM MONOIDE ESTX PO KRAJNEJ MERE ODIN OBRATIMYJ \LEMENT, A IMENNO SAM e, NAZYWAEMYJ TRIWIALXNYM OBRATIMYM \LEMENTOM.

|LEMENT x MONOIDA X NAZYWAETSQ INWOL@CIEJ, ESLI x2 = e. tEM SAMYM, INWOL@CIQ — \TO TAKOJ OBRATIMYJ \LEMENT MONOIDA, ^TO x¡1 = x.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO PROIZWEDENIE DWUH KOMMUTIRU@]IH INWOL@- CIJ SNOWA QWLQETSQ INWOL@CIEJ. tEM SAMYM, INWOL@CII W KOMMUTATIWNOM MONOIDE M OBRAZU@T PODGRUPPU W GRUPPE M¤ EGO OBRATIMYH \LEMENTOW.

|LEMENT MONOIDA NAZYWAETSQ IDEMPOTENTOM, ESLI x2 = x. zADA^A. mOVET LI IDEMPOTENT BYTX OBRATIMYM?

x 5. rEGULQRNYE \LEMENTY

1. rEGULQRNYE \LEMENTY. |LEMENT x MONOIDA X NAZYWAETSQ REGULQRNYM SLEWA, ESLI DLQ L@BYH a; b 2 X IZ x¤y = x¤z WYTEKAET y = z. aNALOGI^NO, x NAZYWAETSQ REGULQRNYM SPRAWA, ESLI IZ y ¤ x = z ¤ x WYTEKAET y = z. iNYMI SLOWAMI, \LEMENT x REGULQREN SLEWA/SPRAWA, ESLI NA NEGO MOVNO SOKRA]ATX SLEWA/SPRAWA. |LEMENT NAZYWAETSQ REGULQRNYM, ESLI ON REGULQREN SLEWA I SPRAWA. tAKIM OBRAZOM, NA REGULQRNYJ \LEMENT MOVNO SOKRA]ATX KAK SLEWA, TAK I SPRAWA.

iZ gLAWY ? MY ZNAEM, ^TO \LEMENT SIMMETRI^ESKOGO MONOIDA Map(X; X) W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE

²REGULQREN SLEWA, KOGDA ON QWLQETSQ IN_EKTIWNYM,

²REGULQREN SPRAWA, KOGDA ON QWLQETSQ S@R_EKTIWNYM,

²REGULQREN, KOGDA ON QWLQETSQ BIEKTIWNYM.

kAK POKAZYWAET PRIMER ?, DAVE W KOMMUTATIWNOM SLU^AE NE KAVDYJ \LEMENT MONOIDA REGULQREN. a IMENNO, KLASSY GOMEOMORFIZMA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI P I BUTYLKI kLEJNA K NE QWLQ@TSQ REGULQRNYMI \LEMENTAMI MONOIDA M. w SAMOM DELE, P + K = P + T I K + K = K + T , W TO WREMQ KAK K =6 T .

²wSE \LEMENTY R REGULQRNY OTNOSITELXNO SLOVENIQ.

²wSE \LEMENTY R, KROME 0 REGULQRNY OTNOSITELXNO UMNOVENIQ (‘NA NOLX SOKRA]ATX NELXZQ’).

²f 2 XX REGULQRNO SLEWA W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA f IN_EKCIQ.

²f 2 XX REGULQRNO SPRAWA W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA f S@R_EKCIQ.

²f 2 XX REGULQRNO W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA f BIEKCIQ.

²? QWLQETSQ EDINSTWENNYM REGULQRNYM \LEMENTOM OTNOSITELXNO \

W 2X.

²X QWLQETSQ EDINSTWENNYM REGULQRNYM \LEMENTOM OTNOSITELXNO

[ W 2X.

2 . mONOID S SOKRA]ENIEM. mONOID M NAZYWAETSQ MONOIDOM S SOKRA]ENIEM, ESLI WSE EGO \LEMENTY REGULQRNY. iNYMI SLOWAMI, DLQ L@BYH x; y; z 2 M IZ RAWENSTWA xy = xz SLEDUET y = z, A IZ RAWENSTWA xz = yz SLEDUET x = y. qSNO, ^TO M W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE MONOID S SOKRA]ENIEM, KOGDA DLQ KAVDOGO x 2 M LEWAQ TRANSLQCIQ Lx : M ¡! M, y 7!xy, I PRAWAQ TRANSLQCIQ Rx : M ¡! M, y 7!yx, IN_EKTIWNY.

3. oBRATIMYE I REGULQRNYE \LEMENTY. nA REGULQRNYJ \LE-

MENT MOVNO SOKRA]ATX, NO \TO NE ZNA^IT, ^TO ON OBRATIM. nAPRIMER, WSE \LEMENTY MULXTIPLIKATIWNOGO MONOIDA N I ADDITIWNOGO MONOIDA N0 REGULQRNY, W TO WREMQ KAK NIKAKIH NETRIWIALXNYH OBRATIMYH \LEMENTOW TAM NET. oDNAKO IZ ASSOCIATIWNOSTI WYTEKAET, ^TO OBRATIMYJ \LEMENT OBQZATELXNO REGULQREN.

lEMMA. oBRATIMYJ SLEWA/SPRAWA \LEMENT REGULQREN SLEWA/SPRAWA.

dOKAZATELXSTWO. pUSTX, NAPRIMER, w — LEWYJ OBRATNYJ K x. dOMNOVIW OBE ^ASTI RAWENSTWA x ¤ y = x ¤ z NA w, I WOSPOLXZOWAW[ISX

ASSOCIATIWNOSTX@, POLU^AEM,

y = e ¤ y = (w ¤ x) ¤ y = w ¤ (x ¤ y) = w ¤ (x ¤ z) = (w ¤ x) ¤ z = e ¤ z = z:

dOKAZATELXSTWO DLQ SLU^AQ, KOGDA x OBRATIM SPRAWA, ANALOGI^NO.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO ESLI x 2 X OBRATIM SLEWA/SPRAWA I REGULQREN SPRAWA/SLEWA, TO ON OBRATIM.

rE[ENIE. pUSTX yx = 1. tOGDA (xy)x = x(yx) = x = 1x. sLEDOWATELXNO, xy = 1.

x 6. gOMOMORFIZM

1. bULEWY POLURE[ETKI, IZOMORFIZM MONOIDOW. pUSTX X = 2Z

— MNOVESTWO PODMNOVESTW KAKOGO-TO FIKSIROWANNOGO MNOVESTWA Z. tOGDA X QWLQETSQ MONOIDOM OTNOSITELXNO OB_EDINENIQ I PERESE^ENIQ. tO^NEE, NA X OPREDELENY DWE STRUKTURY MONOIDA (X; [; ?) I (X; \; Z). kAK ONI SWQZANY MEVDU SOBOJ? sLEDU@]EE PONQTIE QWLQETSQ ARHETI- PI^NYM I BUDET W DALXNEJ]EM WOZNIKATX W RAZNYH SITUACIQH.

oPREDELENIE. pUSTX (X; ¤X; eX) I (Y; ¤Y ; eY ) — DWA MONOIDA. oTOB- RAVENIE f : X ¡! Y NAZYWAETSQ GOMOMORFIZMOM X W Y , ESLI f(eX) = eY I DLQ L@BYH x; y 2 X WYPOLNQETSQ RAWENSTWO f(x ¤X y) = f(x)¤Y f(y). bIEKTIWNYJ GOMOMORFIZM NAZYWAETSQ IZOMORFIZMOM. mONOIDY X I Y NAZYWA@TSQ IZOMORFNYMI, ESLI SU]ESTWUET IZO- MORFIZM X NA Y .

sLOWO ‘GOMOMORFIZM’ OBRAZOWANO OT GRE^ESKIH KORNEJ ‘`o¹o&` — ‘RAWNYJ’, ‘PODOBNYJ’ I ¹o½'´` — ‘FORMA’, ‘TIP’. pERWYJ KOMPONENT SLOWA ‘IZOMORFIZM’ — GRE^ESKIJ KORENX `¶¾o& – ‘TOT VE SAMYJ’, ‘RAWNYJ’. rASSMOTRIM OTOBRAVENIE X W SEBQ, PEREWODQ]EE PODMNOVESTWO A µ

Z W EGO DOPOLNENIE Z nA (OBOZNA^AEMOE OBY^NO A, A0 LIBO sA). tOGDA O^EWIDNO ? = Z I Z = ?, A ZAKONY DE mORGANA UTWERVDA@T, ^TO (A [ B) = A\B I (A \ B) = A[B. tAKIM OBRAZOM, WZQTIE DOPOLNENIQ ZADAET GOMOMORFIZM MONOIDA (X; [; ?) W MONOID (X; \; Z) (I, NAOBOROT, MONOIDA (X; \; Z) W MONOID (X; [; ?). pOSKOLXKU W DEJSTWITELXNOSTI OTOBRAVENIE A 7!A QWLQETSQ BIEKCIEJ X NA SEBQ, STRUKTURY MONOIDA, ZADANNYE PERESE^ENIEM I OB_EDINENIEM IZOMORFNY.

x 7. pOLUGRUPPA MATRI^NYH EDINIC, GRASSMANOW MONOID,

w \TOM PARAGRAFE MY POSTROIM MENEE TRIWIALXNYE PRIMERY POLUGRUPP I MONOIDOW, IGRA@]IE KOLOSSALXNU@ ROLX W DALXNEJ[EM.

1. pOLUGRUPPA MATRI^NYH EDINIC. sEJ^AS MY OPREDELIM WEROQT-

NO WOOB]E SAMU@ WAVNU@ IZ WSEH POLUGRUPP. pUSTX X – PROIZWOLXNOE MNOVESTWO, A 0 — \LEMENT, NE PRINADLEVA]IJ X £X. wWEDEM NA MNOVESTWE M(X) = X £ X [ f0g STRUKTURU POLUGRUPPY S NULEM, POLA-

GAQ, ^TO 0 ¢ (x; y) = 0 = (x; y) ¢ 0 DLQ WSEH x; y 2 X, A (x; y)(u; v) = (x; v),

ESLI y = u I 0 W PROTIWNOM SLU^AE (PROWERXTE, ^TO \TO UMNOVENIE DEJSTWITELXNO ASSOCIATIWNO!).

w \TOM KONTEKSTE \LEMENTY X £ X OBY^NO NAZYWA@TSQ MATRI^- NYMI EDINICAMI I OBOZNA^A@TSQ (x; y) = exy, x; y 2 X, A FORMULU UMNOVENIQ ZAPISYWA@T W WIDE exyeuv = ±yuexv, GDE ±yu — SIMWOL kRONEKERA, RAWNYJ 1 PRI y = u I 0 PRI y 6= u, PRI \TOM PODRAZUMEWAETSQ, ^TO 1 ¢ exv = exv. lEGKO WIDETX, ^TO ESLI jXj ¸ 2, TO \TO UMNOVENIE NEKOMMUTATIWNO. dEJSTWITELXNO, WOZXMEM x; y 2 X, x 6= y. tOGDA exxexy = exy, W TO WREMQ KAK exyexx = 0.

zAME^ANIE. |TA POLUGRUPPA QWLQETSQ ODNIM IZ WAVNEJ[IH OB_EKTOW ALGEBRY. a IMENNO, ALGEBRA MATRIC M(n; R) NAD KOMMUTATIWNYM KOLXCOM R SOSTOIT IZ FORMALXNYH LINEJNYH KOMBINACIJ MATRI^NYH

EDINIC eij, i; j 2 n = f1; : : : ; ng, S KO\FFICIENTAMI IZ R I S UMNOVENIEM, PRODOLVA@]IM UMNOVENIE MATRI^NYH EDINIC PO LINEJNO-

STI. iNYMI SLOWAMI, KWADRATNYE MATRICY QWLQ@TSQ FUNKCIQMI NA

M(n) = M(n) = f0; eij; 1 · i; j · ng, OTOBRAVA@]IMI 0 2 M(n) W 0 2 R, PRI^EM UMNOVENIE MATRIC ZADAETSQ KAK SWERTKA FUNKCIJ

POSREDSTWOM UMNOVENIQ NA M(n). nA TEHNI^ESKOM QZYKE KOLXCO KWADRATNYH MATRIC M(n; R) PREDSTAWLQET SOBOJ SVATU@ POLUGRUPPO-

WU@ ALGEBRU (‘contracted semigroup algebra’) POLUGRUPPY M(n) NAD

R. zAME^ATELXNO, ^TO HOTQ POLUGRUPPA M(n) I NE QWLQETSQ MONOIDOM, ESLI n ¸ 2, W ALGEBRE MATRIC M(n; R) EDINICA POQWLQETSQ. a IMENNO, ROLX EDINICY W M(n; R) IGRAET EDINI^NAQ MATRICA e = e11 + : : : + enn (T.E. FUNKCIQ, PRINIMA@]AQ ZNA^ENIE 1 NA MATRI^NYH EDINICAH eii I 0 NA WSEH OSTALXNYH \LEMENTAH POLUGRUPPY M(n)).

2. gRASSMANOW MONOID. pUSTX X — NEKOTOROE MNOVESTWO, A 0 — SIMWOL, NE PRINADLEVA]IJ 2X. oPREDELIM NA G(X) = 2X [f0g STRUKTURU MONOIDA, POLAGAQ A _ B = A [ B, ESLI A \ B = ? I A _ B = 0 W PROTIWNOM SLU^AE. oPERACIQ _ NAZYWAETSQ WNE[NIM PROIZWEDENIEM ILI DVOJNOM (OT ANGLIJSKOGO join). zAMETIM, ^TO ^ASTO, SLEDUQ aNRI kARTANU, OPERACIQ W GRASSMANOWOM MONOIDE OBOZNA^AETSQ DWOJSTWENNYM OBRAZOM, T.E. WMESTO A_B PI[ETSQ A^B. mY VE, ^TOBY POD^ERKNUTX ANALOGI@ S OB_EDINENIEM I PERESE^ENIEM, OBOZNA^IM ^EREZ ^ OPERACI@ MIT (OT ANGLIJSKOGO meet), OPREDELENNU@ POSREDSTWOM A ^ B = A \ B, ESLI A [ B = X I A ^ B = 0 W PROTIWNOM

tAKIM OBRAZOM, W (X) PREWRA]AETSQ W MONOID, NAZYWAEMYJ SWOBODNYM MONOIDOM W ALFAWITE X. gOWORQT TAKVE, ^TO W (X) SWOBODNO POROVDAETSQ MNOVESTWOM X.

wSE \LEMENTY \TOGO MONOIDA REGULQRNY, NO NI ODIN IZ NIH, KROME PUSTOGO SLOWA, NE QWLQETSQ OBRATIMYM. k \TOMU MONOIDU PRIMENIMY WSE DANNYE WY[E OPREDELENIQ. nAPRIMER, MOVNO GOWORITX O STEPENQH SLOW. w ^ASTNOSTI, bububu = (bu)3. pRI jXj ¸ 2 MNOVENIE W \TOM MONOIDE NASTOLXKO DALEKO OT KOMMUTATIWNOSTI, NASKOLXKO \TO TOLXKO WOZMOVNO. nAPRIMER, ub =6 bu I (bu)3 =6 b3u3.

2. sWOBODNYJ KOMMUTATIWNYJ MONOID.

x 9. dEJSTWIE MONOIDA NA MNOVESTWE

nAS BUDUT INTERESOWATX GLAWNYM OBRAZOM DEJSTWIQ GRUPP, NO MY DADIM OSNOWNYE OPREDELENIQ W ^UTX BOLX[EJ OB]NOSTI. wPRO^EM, NUVNO IMETX W WIDU, ^TO MNOGIE PROSTEJ[IE SWOJSTWA GRUPPOWYH DEJSTWIJ SU]ESTWENNYM OBRAZOM ZAWISQT OT TOGO, ^TO WSE WYPOLNQEMYE PREOBRAZOWANIQ OBRATIMY, I NE OBOB]A@TSQ NA DEJSTWIQ MONOIDOW.

1. dEJSTWIE MONOIDA. nA^NEM S OSNOWNOGO OPREDELENIQ.

oPREDELENIE. pUSTX M — MONOID, A X — MNOVESTWO. gOWORQT, ^TO M DEJSTWUET NA X SLEWA, ESLI ZADANO OTOBRAVENIE act : M £ X ¡! X, (f; x) 7!fx, TAKOE, ^TO

1) WNE[NQQ ASSOCIATIWNOSTX: (fg)x = f(gx) DLQ WSEH f; g 2 M,

x2 X;

2)UNITALXNOSTX: ex = x.

pRI \TOM X NAZYWAETSQ M-MNOVESTWOM.

pRO \LEMENT fx GOWORQT, ^TO ON POLU^AETSQ IZ x PRIMENENIEM \LEMENTA f ILI ^TO ON QWLQETSQ OBRAZOM x POD DEJSTWIEM f. iNOGDA DLQ DEJSTWIQ MONOIDA M NA X ISPOLXZU@TSQ I DRUGIE SISTEMY ZAPISI, NAPRIMER, OBRAZ x POD DEJSTWIEM f OBOZNA^AETSQ ^EREZ f + x, f ± x, f ¢ x, f ² x, f(x), f x ILI KAK NIBUDX E]E, NO ^A]E WSEGO MY BUDEM ISPOLXZOWATX OBY^NU@ MULXTIPLIKATIWNU@ ZAPISX.

aNALOGI^NO OPREDELQETSQ PRAWOE DEJSTWIE X £ M ¡! X MONOIDA M NA MNOVESTWE X. pRI \TOM WNE[NQQ ASSOCIATIWNOSTX PRIOBRETAET WID x(fg) = (xf)g. tAKIM OBRAZOM, RAZLI^IE SOSTOIT W TOM, ^TO PRI LEWOM DEJSTWII PERWYM DEJSTWUET WTOROJ MNOVITELX, A PRI PRAWOM DEJSTWII PERWYM DEJSTWUET PERWYJ MNOVITELX. rEZULXTAT PRIMENENIQ f K x PRI PRAWOM DEJSTWII ^ASTO ZAPISYWAETSQ E]E KAK xf ,

PRI \TOM WNE[NQQ ASSOCIATIWNOSTX WYRAVAETSQ OBY^NOJ FORMULOJ

xfg = (xf )g.

2.sWQZX PRAWYH I LEWYH DEJSTWIJ. iZU^ENIE PRAWYH DEJSTWIJ LEGKO SWODITSQ K IZU^ENI@ LEWYH DEJSTWIJ. w SAMOM DELE, PUSTX Mo

— PROTIWOPOLOVNYJ K M MONOID. nAPOMNIM, KAK MNOVESTWO Mo SOWPADAET S M, NO PRI \TOM OPERACIQ W Mo OPREDELQETSQ KAK f ±g = gf. ~ASTO ISPOLXZUETSQ DRUGOE SOGLA[ENIE, A IMENNO, ^TOBY POD^ERKNUTX, ^TO f 2 M RASSMATRIWAETSQ KAK \LEMENT Mo, EGO OBOZNA^A@T ^EREZ fo, A OPERACIQ W Mo ZAPISYWAETSQ KAK UMNOVENIE, NO OTOBRAVENIE M 7!Mo, PEREWODQ]EE f W fo QWLQETSQ NE IZOMORFIZMOM, A ANTIIZOMORFIZMOM, T.E. fogo = (gf)o. tOGDA PRAWOE DEJSTWIE M NA X \TO PO SU]ESTWU TO VE SAMOE, ^TO LEWOE DEJSTWIE Mo NA X. a IMENNO, POLAGAQ fox = xf MY PREWRA]AEM PRAWOE M-MNOVESTWO W LEWOE Mo-MNOVESTWO. w DALXNEJ[EM MY BUDEM KAK PRAWILO GOWORITX LI[X O LEWYH DEJSTWIQH, IMEQ W WIDU, ^TO PRI POMO]I \TOJ KONSTRUKCII WSE OPREDELENIQ I REZULXTATY AWTOMATI^ESKI PERENOSQTSQ I NA PRAWYE DEJSTWIQ.

3.eSTESTWENNOE DEJSTWIE MONOIDA \NDOMORFIZMOW. oPI[EM WAVNEJ[IJ PRIMER DEJSTWIQ MONOIDOW, KOTORYJ, W DEJSTWITELXNOSTI, QWLQETSQ UNIWERSALXNYM. a IMENNO, PUSTX M = End(X) = Map(X; X)

— MONOID \NDOMORFIZMOW MNOVESTWA X, T.E. WSEH OTOBRAVENIJ X W SEBQ. w TEH SLU^AQH, KOGDA OBOZNA^ENIE End(X) SOPRQVENO S DWUSMYSLENNOSTX@ (NAPRIMER, ESLI MNOVESTWO X NESET DOPOLNITELXNU@ STRUKTURU I \NDOMORFIZMAMI NAZYWA@TSQ LI[X OTOBRAVENIQ X W SEBQ, SOHRANQ@]IE \TU STRUKTURU), WMESTO End(X) ISPOLXZUETSQ OBOZNA^ENIE Map(X; X) ILI XX.

tOGDA PO SAMOMU OPREDELENI@ M DEJSTWUET NA X SLEWA POSREDSTWOM fx = f(x). w SAMOM DELE, OPERACIQ W M OPREDELQETSQ TAK, ^TOBY WYPOLNQLASX WNE[NQQ ASSOCIATIWNOSTX. dEJSTWITELXNO, UMNOVENIE W M

— \TO KOMPOZICIQ OTOBRAVENIJ, DLQ KOTOROJ (fg)(x) = f(g(x)), NO \TO I ESTX PROSTO DRUGAQ ZAPISX WNE[NEJ ASSOCIATIWNOSTI. w SWO@ O^E- REDX, UNITALXNOSTX \TO PROSTO OPREDELENIE TOVDESTWENNOGO OTOB-

RAVENIQ e = idX. |TO DEJSTWIE End(X) NA X NAZYWAETSQ ESTESTWENNYM DEJSTWIEM End(X) NA X. sEJ^AS MY UWIDIM, ^TO PROIZWOLXNOE DEJSTWIE NA MNOVESTWE X WYRAVAETSQ W TERMINAH ESTESTWENNOGO DEJ-

STWIQ End(X).

4.dEJSTWIE NA X KAK GOMOMORFIZM W End(X). pUSTX X ESTX

M-MNOVESTWO. zADADIM OTOBRAVENIE µf = µfX : X ¡! X POSREDSTWOM x 7!fx. tOGDA WNE[NQQ ASSOCIATIWNOSTX OZNA^AET, ^TO µfg = µf µg, W UNITALXNOSTX — ^TO µe = idX. tAKIM OBRAZOM, OTOBRAVENIE µ : M ¡! End(X), f 7!µf , QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM MONOIDOW. oBRATNO, ESLI

µ : M ¡! End(X), f 7!µf , PROIZWOLXNYJ GOMOMORFIZM MONOIDOW, TO, O^EWIDNO, FORMULA fx = µf (x) ZADAET LEWOE DEJSTWIE MONOIDA M NA X. |TIM USTANAWLIWAETSQ WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU WSEMI LEWYMI DEJSTWIQMI M NA X I WSEMI GOMOMORFIZMAMI M W

End(X).

tAK KAK PRAWOE DEJSTWIE M NA X SWODITSQ K LEWOMU DEJSTWI@ Mo NA X, TO SU]ESTWUET TAKOE VE WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU

PRAWYMI DEJSTWIQMI M NA X I ANTIGOMOMORFIZMAMI M W End(X).

5. mORFIZMY M-MNOVESTW. kAK WSEGDA, KAK TOLXKO WWODITSQ NOWYJ KLASS MATEMATI^ESKIH OB_EKTOW, NUVNO SRAZU VE OPREDELITX DOPUSTIMYJ KLASS OTOBRAVENIJ MEVDU \TIMI OB_EKTAMI.

oPREDELENIE. pUSTX X I Y SUTX DWA M-MNOVESTWA. tOGDA OTOB- RAVENIE Ã : X ¡! Y NAZYWAETSQ MORFIZMOM M-MNOVESTW ILI M- \KWIWARIANTNYM OTOBRAVENIEM, ESLI DLQ L@BOGO f 2 M I L@BOGO x 2 X IMEET MESTO RAWENSTWO Ã(fx) = fÃ(x).

w OBOZNA^ENIQH PREDYDU]EGO PUNKTA \KWIWARIANTNOSTX OZNA^AET, ^TO DLQ KAVDOGO f 2 M SLEDU@]IJ KWADRAT OTOBRAVENIJ

µfX

X ¡¡¡¡! X

KOMMUTATIWEN, T.E. õfX = µfY Ã.

mNOVESTWO WSEH M-\KWIWARIANTNYH OTOBRAVENIJ IZ X W Y BUVET OBOZNA^ATXSQ ^EREZ MapM (X; Y ). bIEKTIWNOE \KWIWARIANTNOE OTOBRAVENIE NAZYWAETSQ IZOMORFIZMOM M-MNOVESTW. dWA M-MNOVESTWA X I Y NAZYWA@TSQ IZOMORFNYMI, ESLI SU]ESTWUET IZOMORFIZM Ã : X ¡! Y . oDNOJ IZ NA[IH PERWYH OSNOWNYH CELEJ QWLQETSQ KLASSIFIKACIQ GRUPPOWYH DEJSTWIJ S TO^NOSTX@ DO IZOMORFIZMA.

6.tRIWIALXNOE DEJSTWIE. dLQ L@BOGO MONOIDA M I L@BOGO MNO-

VESTWA X OTOBRAVENIE M ¡! End(X), f 7!idX, QWLQETSQ KAK GOMOMORFIZMOM, TAK I ANTIGOMOMORFIZMOM (TRIWIALXNYJ GOMOMORFIZM). |TOMU GOMOMORFIZMU OTWE^AET TRIWIALXNOE DEJSTWIE M NA X, DLQ KOTOROGO fx = x DLQ WSEH f 2 M, I WSEH x 2 X.

7.dEJSTWIE MONOIDA NA SEBE SDWIGAMI. e]E ODIN WAVNEJ[IJ PRIMER DEJSTWIQ — DEJSTWIE MONOIDA NA SEBE SDWIGAMI. uMNOVENIE

W MONOIDE M OPREDELQET DEJSTWIE MONOIDA M NA SEBE LEWYMI SDWIGAMI. a IMENNO, W \TOM SLU^AE X = M I DEJSTWIE M £ M ¡! M OPREDELQETSQ POSREDSTWOM (f; x) 7!fx. iNYMI SLOWAMI, W \TOM SLU^AE µf = fL : x 7!fx PREDSTAWLQET SOBOJ UMNOVENIE NA f SLEWA. pRI \TOM WNE[NQQ ASSOCIATIWNOSTX SOWPADAET S ASSOCIATIWNOSTX@ UMNOVENIQ W MONOIDE, A UNITALXNOSTX — \TO PROSTO OPREDELENIE NEJTRALXNOGO \LEMENTA.

aNALOGI^NO OPREDELQETSQ DEJSTWIE MONOIDA NA SEBE PRAWYMI SDWIGAMI, KOGDA µf = fR : x 7!xf PREDSTAWLQET SOBOJ UMNOVENIE NA f SPRAWA. iSPOLXZUEMYE ZDESX SIMWOLY fL I fR QWLQ@TSQ STANDARTNYMI OBOZNA^ENIQMI LEWOGO I PRAWOGO SDWIGA NA f, SOOTWETSTWENNO. pRI \TOM, RAZUMEETSQ, L QWLQETSQ SOKRA]ENIEM OT Left, a R — OT Right. tOT FAKT, ^TO OTOBRAVENIE X ¡! Map(X; X), f 7!fL, PREDSTAWLQET SOBOJ GOMOMORIFZM MONOIDOW, PREDSTAWLQET SOBOJ PROSTO PEREFORMULIROWKU ASSOCIATIWNOSTI I OPREDELENIQ NEJTRALXNOGO \LEMENTA. aNALOGI^NO, X ¡! Map(X; X), f 7!fR, PREDSTAWLQET SOBOJ ANTIGOMOMORFIZM MONOIDOW.

8. dEJSTWIE DWOJNYMI SDWIGAMI. dEJSTWIE MONOIDA NA SEBE LE-

WYMI I PRAWYMI SDWIGAMI MOVNO OB_EDINITX W DEJSTWIE NEKOTOROGO NOWOGO MONOIDA. nAPOMNIM, ^TO DEJSTWIE M NA SEBE PRAWYMI SDWIGAMI MOVNO RASSMATRIWATX KAK DEJSTWIE Mo NA M LEWYMI SDWIGAMI: (go; x) 7!gR(x) = xg. tAK KAK LEWYE I PRAWYE SDWIGI KOMMUTIRU@T, fLgR = gRfL DLQ L@BYH f; g 2 M, TO \TO DEJSTWIE MOVNO OB_EDINITX S DEJSTWIEM M NA SEBE DEWYMI SDWIGAMI. a IMENNO, RAScMOTRIM MONOID M £Mo. tOGDA M £Mo DEJSTWUET NA M POSREDSTWOM ((f; go); x) 7!fxg. iNYMI SLOWAMI, DLQ \TOGO DEJSTWIQ µ(f;go) = fLgR.

x 10. gRUPPA gROTENDIKA

1. mONOID RAZNOSTEJ. pUSTX (M; +; 0) — ADDITIWNO ZAPISANNYJ KOMMUTATIWNYJ MONOID, S — PODMONOID MONOIDA M. rASSMOTRIM MNOVESTWO PAR M £ S I WWEDEM NA NEM OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI. dLQ a; b 2 M, u; v 2 S MY POLAGAEM

(a; u) » (b; v) () 9w 2 S; a + v + w = b + u + w;

uPRAVNENIE. dOKAVITE, ^TO \TO OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI QWLQETSQ KONGRU\NCIEJ OTNOSITELXNO OPERACII +.

oBOZNA^IM KLASS \KWIWALENTNOSTI (a; u) ^EREZ [a ¡ u]. tAK KAK \TO KONGRU\NCIQ, TO

[a ¡ u] + [b ¡ v] = [(a + b) ¡ (u + v)]